PLAN DE REFUERZO Dia

25

Mes

03

Año

PERIODO: I 2015

Fecha: META DE COMPRENSIÓN: La estudiante desarrolla comprensión acerca las técnicas de conteo con y sin repetición. COLEGIO BETHLEMITAS

DOCENTE: Yeiler Cordoba Asprilla NOMBRE ESTUDIANTE:

AREA: Matemáticas ASIGNATURA: estadística

Nº

GRADO: 9º

1. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES:El siguiente plan de refuerzo contiene

la ejercitación básica de los tópicos desarrollados durante el período. Se debe tener en cuenta para su realización las guías de desarrollo e informativa trabajadas, los apuntes de clase, las guías de control corregidas y los referentes bibliográficos que encontrará al final del plan. La metodología bajo la cual se desarrollará este consiste en el desarrollo guiado -por el docente. La participación en la jornada de retroalimentación y el desarrollo del plan de refuerzo equivale al 20% del porcentaje total de la nota de recuperación. (El estudiante debe presentarse a la retroalimentación con su respectivo plan de refuerzo impreso), la asistencia a dicha retroalimentación será de obligatorio cumplimiento para todos los estudiantes que hayan reprobado alguna de las asignaturas. Si el estudiante no se presenta a la jornada de retroalimentación, se asume como juicio valorativo 1.0 y se deja constancia en el anecdotario en “Atención especializada”. (SIEE Art 2, Nota 2) 2. IDENTIFICACIÓN DE TÓPICOS: TECNICAS DE CONTEO: Sucesos aleatorios  Principio de multiplicación  Principio de la suma Función factorial  Combinación Permutación 3. DESARROLLO CONCEPTUAL

SUCESOS ALEATORIOS 

 

EXPERIMENTO ALEATORIO: Un experimento es un experimento aleatorio si puede dar lugar a varios resultados y de antemano no se puede saber cuál de ellos va a ocurrir. Por ejemplo, lanzar un dado, extraer una bola de una urna, etc. ESPACIO MUESTRAL: Se llama espacio maestral de un experimento al conjunto de todos los resultados posibles. SUCESOS ALEATORIOS: Un suceso aleatorio es un subconjunto del espacio maestral, esto es, un conjunto de resultados posibles del experimento aleatorio. por ejemplo: Al lanzar una moneda salga cara, Al lanzar un dado se obtenga 4. Los resultados de un experimento aleatorio pueden ser: - Suceso elemental: Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio maestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 2. - Suceso compuesto: Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera impar, otro, obtener múltiplo de 2. TECNICAS DE CONTEO

Permiten determinar el número de posibilidades que tienen aleatorio, con la certeza de que todos los eventos son contados.

un experimento



PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN: Si una operación se puede efectuar de n1 maneras y para cada una de ellas se puede efectuar una segunda operación de n2 maneras y así sucesivamente hasta la operación nr, entonces el número de maneras en que el proceso puede realizarse será el producto: n1*n2*n3...nr. Donde r es el número de sucesos nr el número de formas que ocurre r Ejemplo: Dos viajeros llegan a una ciudad en la que hay 3 hoteles ¿De cuántas maneras pueden hospedarse si cada uno debe estar en un hotel diferente?

Solución. El primer viajero puede seleccionar cualquiera de los 3 hoteles y el segundo viajero tendrá 2 hoteles para escoger, ya que debe de estar en uno diferente, por lo que el número de formas en que pueden hospedarse los 2 viajeros en los 3 hoteles será (3) (2) = 6. Si deseamos resolver este problema mediante el diagrama del árbol, representamos los hoteles como H1, H2 y H3. Entonces tendremos:

PRINCIPIO DE LA SUMA: Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación puede realizarse de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de m + n maneras. Ejemplo: Tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. ¿A cuántos diferentes lugares podemos ir a almorzar? Solución: 3 + 2 + 4 = 9 diferentes lugares. FUNCIÓN FACTORIAL: La función factorial se simboliza ( , es el resultado de multiplicar los números descendientes de n hasta 1, siendo n un número entero positivo. Ejemplo Se define como el producto que se obtiene de multiplicar los números enteros desde n hasta el número 1 indicado en el factorial. 5! (factorial de 5) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5)=120 COMBINACIONES: Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: No influye el orden en que se colocan. Por ejemplo, sean cuatro elementos { a,b,c,d } . Los conjunto, tomados de tres en tres, que se pueden formar con esos cuatro elementos es: {a,b,c} y {a,b,d} {a,c,d} {b,c,d} Los conjuntos {b,c,d } = { c,b,d } se consideran iguales por tener los mismo elementos, aunque se hayan escrito en diferentes orden. 

Disponiendo de los colores {azul, blanco, negro, rojo, verde} ¿Cuántas banderas tricolores podrás formar de modo que el último color sea siempre el verde?

FÓRMULA: La fórmula general para calcular las combinaciones que se pueden obtener con n elementos, tomados de r en r, es: ( )

(

(

(

En la nevera hay cinco salsas diferentes ¿De cuántas formas se pueden combinar en un plato, sabiendo que no quiero echar más de tres salsas? No nos importa el orden (una vez en el plato, todo va mezclado) ni hay repeticiones, lo cual nos indica de inmediato que se trata de combinaciones: C5,3 = 5!/(3!·2!) = 10 posibilidades distintas. En una reunión de 20 trabajadores se quiere elegir un comité formado por tres personas. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? No trabajamos con todos los elementos, no puede haber repeticiones y tampoco importa el orden (sólo qué tres personas resultan escogidas). Se trata, por lo tanto, de combinaciones: C20,3 = 20!/(3!·17!) = 1140 comités distintos. Características: en la combinación:   

No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos

PERMUTACIÓN: Dado un conjunto de n objetos a1, a2,. . ., an, llamaremos permutación a cualquier ordenación de los mismos. Por tanto, dos permutaciones serán distintas si los objetos están colocados en orden diferente. Ejemplo: Encontrar el número de formas en que se pueden ordenar los números 1, 2, 3 Hay seis diferentes formas de ordenar tres números y son las siguientes: 1 2 3 , 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 2 1, 3 1 2

Un total de seis permutaciones

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN: Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn. Para construir las permutaciones sin repetición de un conjunto de n elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir.    

De un elemento. A = {1}. Únicamente existe una permutación: 1. De dos elementos. A = {1,2}. V2,2 = 2. Las dos permutaciones son: 12 y 21. De tres elementos. A = {1,2,3}. V3,3 = 6. Las seis permutaciones son: 123 , 132 , 213 , 231 , 312 y 321. De cuatro elementos. A = {1,2,3,4}. V4,4 = 24. Las veinticuatro permutaciones son: 1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431 , 3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321.

Y así podemos seguir construyendo permutaciones de cualquier número de elementos. El número de permutaciones de n objetos distintos es: Pn=n! Cuantos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con 1,2,3,4,5 Sí importa el orden. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. P5=5!=120

Características: En la permutación sin repetición:   

Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

PERMUTACIÓN DE R ELEMENTOS EN UN CONJUNTO DE N ELEMENTOS Es una lista ordenada de r objetos escogidos de un conjunto de n objetos. El número de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos se expresa por: (

(

( (

( (

¿Cuántas cifras de 6 números pueden formarse con los dígitos del 1 al 9, si ningún dígito puede repetirse en una cifra?. Solución Se tienen 9 números diferentes y se desea encontrar las diferentes ordenaciones que se pueden tener con 6 cualesquiera de los dígitos. Por lo tanto. (

(

R/ Pueden formarse 60480 de 6 cifras con 9 números PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces... y el último se repite nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1, n2,...,nk. El número de permutaciones con repetición viene dado por:

Ejemplo: En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

R/ Se pueden extraer de 1260 formas distintas Características: En la permutación con repetición:   

Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

EJERCITACIÓN: 1. Una persona intenta recordar una clave de seis letras que ha olvidado, aunque recuerda que estaba formada utilizando dos veces cada una de las iniciales de su nombre "abc". ¿Cuántas posibilidades tiene?

2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? 3. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? 4. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería? 5. ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repetición? 6. A u n a r eu n i ón asi s t en 10 p e rs on as y s e i n te rc am bi an s al u do s en t r e tod o s . ¿ Cu án t o s s al u do s s e h a n i n t er c a mbi ado ?

7. ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición? 8. Ana dispone en su armario de 5 blusas, 3 pantalones, 6 pares de zapatos, y dos collares. ¿De cuántas formas distintas puede vestirse? 9. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? 10. ¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros? 11. Víctor desea viajar de Lima a Piura y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿de cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje? 12. ¿Cuántas parejas de baile diferentes pueden formarse con 5 niños y 3 niñas? 13. ¿Carlos lleva al cine a María y a sus 3 hermanos y encuentra 5 asientos libres en una fila. ¿De cuantas maneras? 14. Pedro desea comprar un nuevo reproductor mp3. Al llegar al supermercado encuentra 3 que cuestan 200$, 2 que cuestan 150$ y 8 que cuestan $400. ¿Cuántas posibilidades tiene Pedro para elegir un reproductor? 15. ¿Cuántas palabras de cinco letras se pueden forman con las letras de la palabra grupo sin repetir letras? 16. Cuántos números se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6, 8, y 9 con repetición de digito. 17. Mariana necesita comprar una casa para lo cual visita 3 condominios donde le ofrecen:  Condominio A 8 casas de un piso  Condominio B 7 casas de dos pisos con jardín  Condominio C 3 apartamentos dúplex. ¿Cuantas opciones de compras tiene mariana? 18 Se lanzan dos dados al aire y se suman los resultados obtenidos en las caras superiores  ¿De cuantas formas se puede obtener un múltiplo de 4? a. Se lanzan dos dados al aire y se suman los resultados obtenidos en las caras superiores  ¿De cuantas formas se puede obtener un múltiplo de 3? 19 Las placas de los vehículos de cierto país constan de 4 letras y 3 números ¿cuantas placas distintas pueden combinarse utilizando las 27 letras del abecedario? 20 Alejandra acude a una oficina de empleo donde encuentra las siguientes opciones de trabajo.  Empresa A: recepcionista con dos horarios distintos, o digitadora con tres horarios.  Empresa B: archivadora con 4 horarios, o auxiliar con dos horarios distintos. ¿Cuantas opciones tiene Alejandra? 21 Para elegir un uniforme un equipo de futbol puede escoger entre una camiseta verde, azul o amarilla así como tres pantalones de los mismos colores ¿Cuántos uniformes distintos puede seleccionar el equipo?

5. METODOLOGÍA DE ESTUDIO PROPIA DE LA ASIGNATURA

1. Lea e interprete los enunciados de los ejercicios. 2. Seleccione los datos que le proporciona el enunciado y que sirven para solucionar el ejercicio. 3. Determine los datos que debe hallar y el procedimiento que debe seguir. 4. Realice el algoritmo o procedimiento que debe seguir para la solución del ejercicio. 5. Verifique que el procedimiento realizado este correcto. 6. Escriba claramente la respuesta con su procedimiento.

6. BIBLIOGRAFÍA:  Arévalo, Sandra P y Otros. Zoom Matemáticas 9º. Editorial libros y libros S.A. Bogotá, 2012.  Barrios , Luis UNIDAD DIDÁCTICA: COMBINATORIA. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2007 Disponible en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Combinatoria/permuta cionescon.htm [2015, 15 de marzo]