Práctica 7. Control de posición de un servomotor de corriente continua Asignatura: Curso: Profesora: Realización:

Sistemas Electrónicos de Control 2007/2008-2 Rosa Mª Fernández 26-5-08 (g17) y 3-6-08 (g12), 18h-20h, Laboratorio de control (D4-211)

Material necesario: diversos (R, C,…)

Cables BNC-banana y banana-banana, protoboard, componentes

1. Introducción. Objetivos de la práctica.............................................................................. 1 2. Control proporcional (P) de la posición ............................................................................ 2 2.1 Estudio teórico y simulación ....................................................................................... 2 2.2 Montaje y medidas ...................................................................................................... 6 2.3 Efecto de una constante de tiempo adicional en el lazo ............................................ 10 3. Control PD mediante lazo auxiliar tacométrico .............................................................. 12 3.1 Control PD de la posición ......................................................................................... 12 3.2 Estabilización mediante el lazo auxiliar tacométrico ................................................ 16 4. Compensadores de avance y retardo ............................................................................... 19 4.1 Compensador de avance ............................................................................................ 19 4.2 Compensador de avance con constante de tiempo adicional .................................... 21 4.3 Compensador de avance-retardo ............................................................................... 22

1. Introducción. Objetivos de la práctica En esta segunda práctica con el motor de la casa Feedback se van a implementar los siguientes algoritmos de control con los objetivos detallados a continuación: Control proporcional (P) ajustable de la posición del eje del motor  Comprobar que es un servomecanismo de posición.  Estudiar la influencia de kp en el transitorio y en las dimensiones de la zona muerta.  Estudiar la precisión y velocidad de respuesta midiendo los errores en régimen permanente y las constantes de error.  Estudiar el deterioro del comportamiento y la estabilidad debido a la introducción de una nueva constante de tiempo en el sistema Control proporcional-derivativo (PD) de la posición vía un lazo auxiliar tacométrico  Comparar el transitorio del control PD con el del control P: Ver cómo influye kT sobre la constante de tiempo del lazo principal, sobre kv y sobre el comportamiento en lazo cerrado en general (rebasamiento y velocidad de respuesta).  Comparar el comportamiento de los controladores P y PD en condiciones de carga y no carga.  Estudiar el caso de excesiva retroacción de velocidad.  Estudiar la estabilización vía lazo auxiliar tacométrico Opcionalmente se ensayarán compensadores de avance y retardo implementados en protoboard.

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1

Práctica 7

2. Control proporcional (P) de la posición Se va a estudiar el siguiente control proporcional (P) ajustable de la posición de un servomotor de corriente continua: Driver y motor

0

r

1 10

Vr

+

Ve

kM  M s 1

kp

M

1 s

M

Potenciómetro

155

Vc

1 10 1 Potenciómetro 10 Fig. 1. Control P de posición.

-155

c

1 30 Engranajes

Datos nominales: Motor:

k M  238 rpm V 1 ,  M  250 ms ,

Tacómetro:

kT  2.6 V / 1000 rpm

Controlador: kp = kopamp  aten  kpreamp = 1    25 = 25 con 0.0   1.0. kv,max=40 (Nota: El dial de la unidad atenuadora corresponde a 10).

2.1 Estudio teórico y simulación Se pide: 1) Hallar la función de transferencia del lazo L(s) en función de la constante de velocidad kv. L( s )  k p

k k kv k M 1 1 1 k p k M / 300   , k v  lim sL( s )  p M s 0  M s  1 s 10 30 s( M s  1) s( M s  1) 300

2) Hallar la función de transferencia en lazo cerrado M ( s ) 

M ( s) . r ( s)

kM 1 300k p k M 300k p k M 1 1 1 M s 1 s M ( s)    2 k M 1 1 1 10 300 M s  s   k p k M 10 300 M s 2  s   k p k M 10 1  k p  M s  1 s 10 30 kp

M ( s) 

0.1k p k M /  M s 2  s /  M  k p k M /(300 M )

3) Determinar la expresión de  y n, en función de kp, kM y M.

 n  k p k M /(300 M )

,

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2n  1 /  M

   1 /(2 k p k M  M / 300 )

2

Práctica 7

Análisis de estabilidad 1) Representar el lugar geométrico de las raíces (LGR) de Evans (rlocus) para kp entre 0 e infinito y comentar cómo afectará a los polos (, n, d) y a la estabilidad un aumento de kp. Determinar si el sistema será inestable para algún valor de kp. 8

Un aumento de kp aumenta n y disminuye .

6 4

En principio, y si no aparecen otras constantes de tiempo en el lazo, el sistema es incondicionalmente estable.

Imag Axis

2 0 -2 -4

>> km=238;taum=0.25; >> numl=km/300;denl=[taum 1 0]; >> rlocus(numl,denl)

-6 -8 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

2) Para kv = 1, obtener los márgenes de estabilidad (margin) ¿es incondicionalmente estable? 3) Para kv = 1, representar el diagrama polar del lazo (nyquist) y comentar su estabilidad aplicando el criterio de Nyquist. >> kv=1;numl=kv;denl=[taum 1 0]; >> margin(numl,denl) >> nyquist(numl,denl) Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 76.3 deg (at 0.972 rad/sec)

Nyquist Diagram

40

4

3 0

2

-20 -40

Imaginary Axis

Magnitude (dB)

20

-60

Phase (deg)

-80 -90

1

0

-1

-2

-135

-3 -180 -1 10

0

1

10

-4 -1

2

10

10

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Real Axis

Frequency (rad/sec)

4) Para kv = 1, representar el diagrama fase-ganancia del lazo. Con ayuda del ábaco de Nichols determinar Mr, r y b. 5) Representar el diagrama de Bode del sistema en lazo cerrado y verificar Mr, r y b. 40

0

0.01002

Gain dB

0.02298

30

0.05269 20

0.1208

-30 -1 10

0.635 0 1.403 -10

0

10 Frequency (rad/sec)

1

10

0 Phase deg

2.828 5.008

-20

8.24 -30 -40 -350

-20

0.277

10 dB

-10

13.07

-90

-180 -300

-250

-200

-150

-100

-50

PHASE

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0

10

-1

10

0

1

10

Frequency (rad/sec)

3

Práctica 7

6) Correlación -t. Completar la siguiente tabla:



kv

Rpt

Mr

1.00

n

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

2.0

-

-

1.56

2.5

1.5%

-

2.78

3.3

10%

1.04

6.25

5.0

25%

1.35

25.00 100.00

10.0

50%

2.55

Análisis del régimen permanente. Velocidad y precisión 1) Obtener la función de transferencia del error  e ( s ) /  r ( s ) , siendo e=r-M. Aplicando el Teorema del Valor Final, obtener e() en el caso de que la referencia r sea tipo escalón y tipo rampa. Calcular las constantes de error kpos y kv. ¿De qué tipo es el sistema?

 e ( s) s ( M s  1)   r ( s ) s ( M s  1)  (k p / 10)k M (1 / 30)

s 2 ( M s  1) 1 1   0 , kpos= s 0 s ( s  1)  ( k / 10) k (1 / 30) s 1  k M p M pos

 e,esc ()  lim s e ( s)  lim s 0

 e,rampa ()  lim s e ( s)  s 0

kM k p 1 1  , kv  300 k M k p (1 / 300) k v

El sistema es de tipo 1

2) Suponiendo kp = 25, obtener la respuesta del sistema a un escalón de 45 (step) y a una rampa unitaria (lsim). Representar en una misma gráfica tanto la excitación como la respuesta (plot). ¿existe offset? Verificar los valores de e() y kpos y kv. 3

60

Ángulos r y c [grados]

Ángulo de salida c [grados]

70

50 40 30 20 10 0 0

0.5

1

1.5

2

Tiempo [s]

2.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo [s]

Valores para kp=25: Escalón: e()=0, kpos= y rampa e()=0.05, kv=19.8.

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4

Práctica 7

3) Hallar una fórmula que permita calcular kv a partir de r. Para ello, abrir el lazo y relacionar la velocidad de giro del potenciómetro de salida con el ángulo de referencia fijado en el potenciómetro de entrada. Si se abre el lazo, se tiene que la velocidad del potenciómetro de salida es

 pot salida , ss 

1 1  k p  kM   r  kv  r . 10 30

Si r es tal que el potenciómetro de salida gira a 60rpm, entonces kv=60/r. Para obtener una expresión en función de las tensiones de referencia y tacómetro, podemos aplicar el hecho que la velocidad del potenciómetro de salida es 30 veces menor

1 1 , con lo que  m   kv  r . 30 30 k Multiplicando ambos términos de la ecuación por T , 10 kT k 1  m   kv  r  T 10 30 10 V 1 1 queda, finalmente, VT   k v  Vr  kT  k v  T  Vr 300k T 300

que la del eje del motor,

 pot salida ,ss   m 

Régimen transitorio: 1) Suponiendo r=45, representar la respuesta indicial (step) para ganancias del 10%, 20%, 50% y 100% ( = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0; o posiciones 1, 2, 5, 10 del dial, o kp=2.5, 5, 12.5, 25). Medir en cada caso Rpt, tp, tr y ts. Ángulo de salida c [grados]

70 60 50 40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

Tiempo [s]

No existe offset. Los parámetros de la respuesta indicial son:

kp 2.5 5.0 12.5 25.0



Rpt

tp [s]

tr [s]

ts [s]

0.1 0.2 0.5 1.0

4.2% 16.1% 34.9% 48.5%

1.58 0.91 0.53 0.36

1.19 0.61 0.32 0.21

2.88 3.41 3.69 3.79

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5

Práctica 7

2) Escoger un valor de  y simular la respuesta del servo a una señal cuadrada de amplitud 2v y frecuencia 0.25Hz (square, lsim, plot). 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 0

2

4

6

8

10

12

3) Zona muerta (deadband): Para que el motor empiece a girar la tensión mínima es de 5V. Determinar la mínima tensión Ve (y el mínimo ángulo r) en los casos en que la ganancia sea del 10%, 20%, 50% y 100%. Determinar asimismo la anchura de la zona muerta. Con los datos, rellenar la siguiente tabla: La tensión de error mínima será Vemin=5/(25), con =0.1, 0.2, 0.5 y 1.0, y el ángulo correspondiente, Vemin10.

 0.1 0.2 0.5 1.0

Ve

r

2 1 0.4 0.2

20 10 4 2

DB 40 20 8 4

2.2 Montaje y medidas Montaje: 1) Controlar el motor por inducido (conexiones A del driver). 2) Polarizar los siguientes módulos: 2.1) Potenciómetro de entrada entre -15V y +15V. 2.2) Potenciómetro de salida entre +15V y -15V. 2.3) Unidad operacional con -15V, COM y 15V. 2.4) Módulo preamplificador con -15V, COM y +15V. Nota: A fin de que el sistema de control sea estable, la retroacción debe ser negativa. Por ello, la tensión proporcionada por el potenciómetro de salida debe tener signo opuesto a la tensión proporcionada por el potenciómetro de referencia.

3) Sin excitación, ajustar el offset del preamplificador para que la tensión en ambas entradas, V1 y V2, sea igual (aproximadamente de 0.01V) y la tensión en ambas salidas, V3 y V4, sea igual (aproximadamente de 1.37V). 4) Implementar el controlador P de ganancia variable kp. Para ello:

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Práctica 7



Implementar la retroacción de la unidad operacional con ayuda de uno de los dos potenciómetros de la unidad atenuadora tal y como se indica en la Fig. 2. Ajustar la ganancia al mínimo (dial=0).



Realizar la conexión entre la salida del controlador (unidad operacional+unidad atenuadora) y la entrada del preamplificador; y entre la salida del amplificador y la entrada del driver.



Ajustar la tensión del potenciómetro de referencia a cero y realizar la conexión entre la salida del potenciómetro de entrada y la entrada de la unidad operacional.



Cerrar el lazo, es decir, realizar la conexión entre el potenciómetro de salida y la entrada de la unidad operacional. Nota: La polaridad debe ser tal que el motor evolucione en la dirección de disminuir el error, no de aumentarlo. Una forma de comprobarlo es ajustar el potenciómetro de referencia a 0 y el de salida a 45 e incrementar lentamente la ganancia del controlador. Si el potenciómetro de salida se mueve hacia el origen la polaridad es la correcta +15v Unidad operacional 100K

100K

Preamplificador

10K 100K

driver -15v

100K

Motor más tacómetro

+

Potenciómetro de entrada

10K -15v Unidad atenuadora

10K Potenciómetro de salida +15v

Fig. 2. Control P de posición (montaje experimental)

Medidas 1) Control de posición: Entrar diferentes consignas mediante el potenciómetro de entrada y verificar, visualmente y en la pantalla del osciloscopio, que el ángulo de salida sigue al de entrada. Medir la tensión del potenciómetro de salida y la tensión del potenciómetro de entrada en cada caso. ¿Hay offset?

Vpot,in [V] Vpot,out [V]

2) Régimen transitorio: Desconectar el potenciómetro de entrada y, en su lugar, conectar un generador de señales. Elegir una señal cuadrada de frequencia muy baja (por ejemplo, de amplitud 2V y frecuencia 0.25Hz).

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Práctica 7

Excitación: Frecuencia:__________ Amplitud:__________ 2.1) Ajustando el controlador P a la posición “1”, representar en el osciloscopio un periodo de la excitación junto con la tensión del potenciómetro de salida. Comparar la forma de la señal con la obtenida por simulación (constante de tiempo, offset). Repetir para las posiciones “2”, “5” y “10”. ¿Se observan diferencias con el resultado obtenido por simulación? Un aumento de la ganancia aumenta el rebasamiento y el tiempo de establecimiento

 0.05 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

kp 1.25 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Rpt

tp [s]

tr [s]

ts [s]

14%

0.50

0.30

0.75 1.20

2.3) Escoger una ganancia para el controlador y repetir el apartado anterior pero ahora aumentando la carga del motor por medio del freno magnético. Representar en el osciloscopio un periodo de la excitación junto con la tensión del potenciómetro de entrada. Repetir para diversas posiciones del freno magnético. 3) Medida de la zona muerta: 3.1) Con r = 0 (Vr = 7V, Ve = 0V), ajustar la ganancia al 10%, (kp=2.5). Medir el ángulo total que hay que girar en el potenciómetro de entrada antes de que el motor gire. ¿Es un valor aceptable? 3.2) Repetir para el resto de ganancias (atenuaciones 20%, 50% y 100%) y verificar los valores de la tabla del estudio teórico. 

Vr,max

Vr,min

0.1 0.2 0.5 1.0

8.91v 7.44v 7.36v 7.14v

6.09v 6.58 6.79v 6.93v

Vr

2.82v 0.86v 0.57v 0.21v

r,max 25 35 5 1

r,min

DB = r

20 10 5 1

55 45 10 2

La zona muerta (deadband) es la mínima señal necesaria para que el sistema responda (para que el motor empiece a girar). Su presencia se debe a la fricción seca (Coulomb) de las escobillas y a la histéresis de los engranajes. Su valor es inversamente proporcional a la ganancia.

4) Medida de la constante de error de velocidad: 4.1) Ajustar la ganancia a cero y, con el potenciómetro de referencia a 0, abrir el lazo desconectando el potenciómetro de salida de la unidad operacional. 4.2)

Si se mueve el potenciómetro de entrada en cualquier dirección el motor empezará a girar. Ajustar r para que la velocidad de giro del potenciómetro de salida sea aproximadamente de 1rps y rellenar la siguiente tabla:

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Práctica 7



kp

Vr

VT

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0

-1.39 -0.60 -0.37 -0.28 -0.19 -0.19 -0.15 -0.15 -0.14 -0.08

4.85 4.72 4.80 4.75 4.10 5.10 4.90 5.88 6.10 3.60

kv 

k p kM 300

1.98 3.97 5.95 7.93 9.90 11.90 13.88 15.87 17.85 19.83

kv 

VT Vr 900kT

1.49 3.36 5.54 7.25 9.22 11.47 13.96 16.75 18.62 19.23

5) Medida del error de seguimiento: 5.1) Desconectar el potenciómetro de entrada y en su lugar aplicar una señal triangular de 10v a 0.1Hz. ¿A qué excursión (en grados) y velocidad del potenciómetro de entrada sería equivalente? Si kv = 10 (kp =12.5), ¿Cuánto vale el error de seguimiento en grados? La amplitud 10v es equivalente a girar el potenciómetro de entrada de -100 a 100. Por tanto la excursión es de 200. La frecuencia 0.1Hz corresponde a un periodo de 10s. En medio periodo se pasa de -100 a 100, por tanto la velocidad del potenciómetro de entrada equivalente sería 200/5s. El primer semiperiodo de la señal triangular no es más que una rampa de pendiente 200/5s=40/s. Por lo tanto, e()=(40/s)/kv=4, o lo que es lo mismo Ve()=0.4v.

5.2) Para medir la tensión de error, introducir en el canal 1 (eje x) del osciloscopio la señal triangular y entrar en el canal 2 (eje y) la señal del potenciómetro de salida para obtener un trazo como el de la figura. La distancia d es el doble del error de seguimiento.

d

(kv=10) Puesto que d=0.8, Ve()=d/2=0.4v.

5.3) Completar experimentalmente la siguiente tabla:



kp

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0

kv 

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k p kM 300

1.98 3.97 5.95 7.93 9.90 11.90 13.88 15.87 17.85 19.83

e = 40/kv

4.00

d

Ve = d/2

2.00

1.00

1.00 0.80 0.68

0.50 0.40 0.34

0.50

0.25

0.40

0.20

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Práctica 7

2.3 Efecto de una constante de tiempo adicional en el lazo

En general una nueva constante de tiempo en el lazo deteriora el comportamiento y las prestaciones del sistema, pudiendo incluso provocar inestabilidad. Además el transitorio del sistema con dos constantes de tiempo es mucho más lento que el que sólo tiene una. Estudio teórico y simulación:

kp

Suponiendo que en el sistema de la Fig. 1, kp pasa a ser

 1s  1



kp 0.1s  1

. Se pide:

1) Hallar la nueva expresión de L(s).

(k p / 10)k M (1 / 30)

L( s ) 

Nuevo lazo:

s ( M s  1) 1 s  1



kv s ( M s  1) 1 s  1

2) Representar el lugar geométrico de las raíces de Evans (kv) y estudiar la estabilidad. 3) Representar el diagrama polar del lazo (kv=1) y determinar sus márgenes de estabilidad. El LGR muestra que, para valores de kv mayores que 14 el sistema se vuelve inestable, mientras que, por su lado, el diagrama polar nos indica que los márgenes de estabilidad son MG=23dB, MF=71. 20

0.25

15

0.2

60

10

30

Imag Axis

Imag Axis

0.1

14

5 0

0.15

1 1

1

0 -0.05

-5

14 -0.1

-10

60

-0.15

-15 -20 -20

0.05

-0.2

-10

0

10

20

-0.25 -0.25

Real Axis

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Real Axis

4) Calcular los valores críticos n y kv. Los valores críticos de n y kv son los que hacen que L(jn)=-1. n es el valor de  tal que Im[L]=0 y vale

n 

Re[L(jn)]=-1 y vale

1



1

 6.5rad / s . kv es el valor de la ganancia tal que

0.25  0.1  M1    1 0.25  0.1 kv  M  14 .   M1 0.25  0.1

5) ¿Cuál será el desfase de la posición en n? ¿Y el desfase de la velocidad? El desfase de la posición a n será de 180. El desfase de la velocidad será 90 ya que el integrador añade un desfase de 90.

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Práctica 7

Montaje y medidas: 1) Desfase de la velocidad a n: Ajustar la ganancia a cero y abrir el lazo desconectando el potenciómetro de salida de la unidad operacional. Desconectar el potenciómetro de entrada y en su lugar aplicar al operacional una senoide de 2v. Ajustar la ganancia al 100%.. Representar en el osciloscopio la señal del tacómetro (eje y) en función del seno (eje x). Ajustar la frecuencia de éste hasta obtener un desfase de 90. Determinar n midiendo la frecuencia de la señal de entrada. Cuando la frecuencia de oscilación es n, el desfase de la velocidad es 90. En ese momento, la frecuencia del seno de entrada es aproximadamente 1Hz, es decir 6.28rad/s que coincide con el valor esperado n=6.5rad/s. La amplitud de la oscilación de salida es 5v, que corresponde a una amplificación de.

2) Inestabilidad: Poner la ganancia a cero y volver a conectar los potenciómetros de entrada y salida. Aumentar poco a poco la ganancia y perturbar el potenciómetro de entrada a 10. A medida que la ganancia aumenta, el comportamiento del sistema se debe ir aproximando a una oscilación. Ajustar la ganancia para tener una oscilación autosostenida de 60. Representar la salida del tacómetro y medir su frecuencia (debe ser de 1Hz). La máxima amplitud de la oscilación es 4v que corresponde a 40. La mínima ganancia para que la oscilación sea sostenida es del 20% (kv=4) y debería ser del 70% (kv=14). La frecuencia de oscilación es efectivamente n=1Hz=6.5rad/s.

Abrir el lazo y determinar el valor de kv. VT=-4.3v y Vr=1.57v, por lo tanto, kv=VT/(Vr300kT)=4.4 y debería dar kv=14.

3) Transitorio: Aplicar una señal cuadrada de 4v y verificar que el rebase de 25% ocurre para una kv del orden de 3. Reducir la frecuencia a medida que la ganancia aumenta para representar el lento decaimiento del transitorio a medida que el sistema se acerca a la inestabilidad.

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Práctica 7

3. Control PD mediante lazo auxiliar tacométrico Para mejorar las prestaciones generales del sistema (robustez, precisión y rechazo a las perturbaciones) se desea aumentar kp más de lo que puede hacerse con un controlador P. Por otro lado, se ha visto que un aumento de la ganancia de lazo tiende a desestabilizar el sistema. En este apartado se recurre a un control PD que, al añadir un cero, mejora la estabilidad y así permite aumentar la kp mejorando la precisión y velocidad de respuesta. Por su facilidad, el PD se implementará con ayuda del un tacómetro, tal y como muestra la figura 0

Driver y motor

r

1 10

Vr

+

k1

+

kM  M s 1

M

1 s

M

Potenciómetro

155

Vc

-135

VT

k2

s

Tacómetro

c 1 1 10 30 1 Potenciómetro Engranajes 10 Fig. 3. Control PD mediante lazo auxiliar tacométrico

Datos: k M  238 rpm V 1 ,  M  250 ms , k T  2.6 v / 1000 rpm , k1 = kopamp  aten1  kpreamp = 1  1  25 = 1 25 con 0.0  1 1.0. k2 = aten2  kT = 2  0.0026 con 0.0  2 1.0.

3.1 Control PD de la posición Estudio teórico y simulación 1) Hallar las funciones de transferencia del lazo y en lazo cerrado del sistema de la Fig. 3. Calcular  y n. kM La función de transferencia del lazo auxiliar es LT ( s )  ( M s  1) s  k M k 2 s k kM La función de transferencia del lazo es L ( s )  1  300 ( M s  1) s  k M k 2 s k1 k M /(300 M ) La función de transferencia total es M ( s )  2 s  s (1  k 2 k M ) /  M  k1 k M /(300 M ) Los polos están caracterizados por

n 

k1 k M 1 300 ,   1  k M k 2  2 300 M k1 k M  M

2) Suponiendo que kT=2.6V/1000rpm, determinar el margen de valores (en rad/(rad/s))de la constante k2. ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control

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Práctica 7 k2=k2max2, siendo 2, 0