PRÁCTICA DE LABORATORIO: MEDICIONES E INCERTEZAS. INTRODUCCIÓN Si se desea obtener un valor experimental directo de una magnitud física se debe realizar una medida de la magnitud. El valor de esta medida tiene una incerteza que se debe a distintas causas (observador, medio, instrumento, método, objeto). Esta incerteza en el valor de la medida se conoce como error experimental. Si la medida se utiliza para calcular un valor experimental indirecto, la incerteza de la medida genera una incerteza en el valor calculado. Por lo tanto, el valor experimental directo o indirecto que se obtiene en una experiencia debe expresarse siempre con su correspondiente error experimental: V E ± ΔV E donde el error experimental ΔV E recibe el nombre de error absoluto. La relación entre el error absoluto y el valor experimental obtenido se conoce con el nombre de error relativo: ΔV E /V E Esta relación da un valor adimensional y permite comparar los errores relativos de distintas magnitudes. Por otra parte, cuando el valor del error relativo es menor a 0.05 se dice que el valor obtenido es aceptable. Si se mide una sola vez, el resultado del valor experimental directo es el valor obtenido en la medición y el error absoluto es la mínima escala del instrumento utilizado. Si el valor experimental es indirecto el resultado se calcula mediante una expresión matemática, usando en ella los valores medidos directamente, y el error absoluto se obtiene calculando los valores máximo y mínimo que puede tomar la expresión matemática utilizando los valores medidos directamente mas o menos sus errores absolutos según sea el caso. El error absoluto se expresa en este caso como: ΔV E = [V Emax − V Emin ]/2 Siempre que sea posible es conveniente medir las magnitudes físicas más de una vez. Cuando se repiten las medidas aproximadamente 10 veces, el resultado del valor experimental y del error absoluto se expresan como: V E = [V E (1) + V E (2) + ………. + V E (N)]/N ΔV E = [V Emax − V Emin ]/2 donde N, V Emax y V Emin son el número de mediciones y los valores máximo y mínimo medidos. Otra expresión para el error absoluto puede calcularse como el promedio de las diferencias absolutas entre el valor V E y cada uno de los valores medidos V E (i): ΔV E = [V E (1) − V E  + V E (2) − V E + ………. + V E (N) − V E ]/N En esta última expresión todos los valores medidos tienen el mismo peso en el cálculo del error mientras que en la anterior expresión solamente se le da importancia a los valores extremos. Ahora vamos a aplicar estos conceptos para obtener el valor del largo de una mesa del laboratorio y su correspondiente error absoluto. DESARROLLO En la práctica cada integrante del grupo debe medir 10 veces el largo de una mesa del laboratorio utilizando una regla de 10cm construida por el grupo. Para realizar la experiencia seguir los siguientes pasos: 1) Construir una regla de 10cm con una escala mínima de 1mm. 1

2) Con la regla de 10cm cada integrante debe medir 10 veces el largo de la mesa desplazando la regla sin marcar la posición. Cuando se llega al extremo si ninguna marca coincide con el borde, el valor de la lectura es el de la marca en mm que mas cerca esté del borde. 3) Realizar un histograma con las 10 mediciones tomando el ancho de cada intervalo como 10 veces la mínima escala del instrumento y compararlo con los otros histogramas del grupo. 4) Obtener el largo de la mesa = ∑L i /N y compararlo con los otros valores del grupo. 5) Calcular el error absoluto ΔL como [LMAX – LMIN ]/2. 6) Calcular el error absoluto ΔL como {∑ − L i ) }/N y compararlo con el valor anterior. 7) Expresar el resultado (L ± ΔL) con el número correcto de cifras significativas. 8) Obtener un valor del grupo y un error absoluto del grupo como [ –]/2. 9) Comparar los valores obtenidos con el largo de la mesa medido con una cinta métrica. 10) Contestar las siguientes preguntas: a) ¿Qué diferencias existen entre , y el valor obtenido con la cinta métrica? b) ¿Es el error de lectura de la regla el único que influye en ΔL? c) ¿Cómo expresa el resultado (L ± ΔL) si sólo se hace una medida? d) ¿Es posible que se haya cometido un error sistemático en la medición de todos los valores Li ?

2

PRÁCTICA DE LABORATORIO: HISTOGRAMAS. INTRODUCCIÓN Un Histograma es un gráfico realizado en un sistema de coordenadas cartesianas. El eje X se divide en NI intervalos de ancho δX llamados Intervalos de Clases. En el eje Y se representa el número de datos (ND) que cae dentro de cada intervalo y se lo denomina Frecuencia de Clase. El número de intervalos y su ancho se calculan como: NI = 1 + 3.3 log N δX = [V Emax − V Emin ]/NI en donde N es el número de datos experimentales medidos, V Emax el valor experimental máximo obtenido y V Emin el valor experimental mínimo obtenido. En ciertos casos, cuando los datos experimentales medidos toman valores discretos, el número de intervalos es considerado igual al número de los posibles valores discretos. Si N es un número chico (N~10) el valor de NI puede en principio considerarse igual a 6. El punto medio del Intervalo de Clases se denomina Marca de Clase y puede tomarse como el valor representativo de cada clase. Si los errores de medición son de origen accidental y N es un número grande, el histograma que se obtiene adquiere la siguiente forma:

ND

Número de datos en el intervalo (Frecuencia Absoluta)

Marca de Clase

I Valor Experimental Mínimo

Ancho del Intervalo (δX) Intervalo de Clase

Valor Experimental Máximo

Pero para pocos datos experimentales pueden obtenerse histogramas como los siguientes: 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

14 12 10 8 6 4 2 0

0

0 1

5

9 13 17 21 25 29 33 37 41

1

5 9 13 17 21 25 29 33 37 41

3

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41

Con los valores experimentales pueden calcularse Parámetros Estadísticos de dos tipos: Parámetros de Tendencia Central y Parámetros de Dispersión. Parámetros de Tendencia Central: estiman el valor más probable de una serie de datos. Mediana: es el valor del eje X que separa en partes iguales el área del histograma. Moda: es el valor en el eje horizontal en el cual el histograma tiene su valor máximo. Media: es el valor promedio del conjunto de valores experimentales. Indica cual es el valor más probable y se calcula como: V EP = [V E (1) + V E (2) + ……. + V E (N)]/N Parámetros de Dispersión: estiman como se dispersan los datos respecto de los valores centrales. Rango: es la diferencia entre el valor experimental máximo y el valor experimental mínimo. Desviación Media: es el promedio de las desviaciones que presenta cada medida respecto del valor promedio. Se calcula como: D M = {V E (1) − V EP  + V E (2) − V EP  +…….+ V E (N) − V EP }/N Desviación Típica (Dispersión Estándar o Error Cuadrático Medio): es el error cuadrático medio de una serie de mediciones y se calcula como: σ = {([V E (1) − V EP ]2 + [V E (2) − V EP ]2 +…….+ [V E (N) − V EP ]2)/[N − 1]}1/2 Varianza: es el cuadrado de la desviación estándar (σ2). Error Estándar de la Media (Error Cuadrático Medio del Promedio): es el error cuadrático medio del promedio. Se calcula como: ξ = σ/(N)1/2 Ahora vamos a aplicar estos conocimientos para realizar histogramas y calcular los distintos parámetros estadísticos, para ello utilizaremos un mazo de cartas considerando los valores desde el 1 al 10.

DESARROLLO Parte 1 En la práctica cada integrante del grupo debe realizar los siguientes pasos: 1) Mezclar las cartas del mazo. Sacar cuatro cartas y sumar los valores. Repetir 10 veces el procedimiento con el mazo completo. 2) Realizar un histograma con los 10 valores de las sumas. 3) Calcular la Media, el Rango, la Desviación Media y la Dispersión Estándar. 4) Calcular Rango/2 y compararlo con la Desviación Media y la Dispersión Estándar. 5) Comparar el histograma y los valores calculados con los obtenidos por los otros integrantes del grupo. 6) Realizar un histograma y los cálculos del punto 3 con todos los valores obtenidos por el grupo. 7) Contestar las siguientes preguntas: a) ¿Existen diferencias entre los histogramas? b) ¿Cuál es la diferencia mayor entre Rangos, Desviaciones Medias y Dispersiones Estándar? c) ¿Cuál es la diferencia mayor entre las Medias? d) ¿Cómo expresa el valor más probable y el grado de incertidumbre? Parte 2 Con el programa Histocartas que se encuentra en la Cátedra Virtual de la materia el grupo debe realizar los siguientes pasos: 4

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) a) b) c) d) e)

Obtener 10 histogramas tomando N=10. Comparar la Media, el Rango, la Desviación Media y la Dispersión Estándar de los 10 histogramas. Realizar el gráfico Número de Serie vs Media, Valor Máximo y Valor Mínimo de c/serie. Obtener la Media, el Rango, la Desviación Media y la Dispersión Estándar tomando como dato el valor de la Media de c/serie. Obtener 4 histogramas tomando N= 100, 1000, 10000 y 100000. Comparar la Media, el Rango, la Desviación Media y la Dispersión Estándar de los 4 histogramas. Comparar la Media, el Rango, la Desviación Media y la Dispersión Estándar de los 4 histogramas con los 5 obtenidos usando las cartas. Contestar las siguientes preguntas: ¿Qué conclusiones obtiene del gráfico Número de Serie vs Media, Valor Máximo y Valor Mínimo de c/serie? ¿El valor del Rango/2 (que se obtiene tomando como dato el valor de la Media de c/serie) es similar al valor de la Desviación Media/Dispersión Estándar de la primera serie? ¿Cuál es la probabilidad de obtener sumas iguales a 10, 20 y 30? ¿Cuántos valores entran en el rango 15-29 en el histograma de N=100000? ¿Se puede aproximar el histograma de N= 100000 a una curva continua?

5

PRÁCTICA DE LABORATORIO: CUADRADOS MÍNIMOS. INTRODUCCIÓN Cuando se quiere conocer como se relacionan dos magnitudes físicas se debe realizar un conjunto de medidas de las magnitudes. No alcanza con medir repetidamente un par de valores para determinar la relación, sino que es necesario medir varios pares de valores. Veamos los siguientes ejemplos:

Y

Y

Y= aX2

Y= aX

X

X Figura 1

Figura 2

Como puede verse en las figuras anteriores, cuando los pares de valores (X i ; Y i ) se encuentran separados apreciablemente es posible encontrar la ley que los relaciona dentro del rango medido. Veamos un caso como el de la figura 2 en donde la ley que surge de los datos experimentales es: Y= aX Para determinar el valor de a (pendiente de la recta) tenemos que usar todos los pares de valores experimentales obtenidos (X i ; Y i ). Para encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales se debe minimizar la suma de las distancias entre los puntos y la recta. Si consideramos que el error en cada Y i es mucho mayor que el error en cada X i se debe minimizar la suma de las distancias ε i entre cada punto experimental y la recta Y= aX, tal como se muestra en la figura siguiente:

Y Yi

Y= aX εi

Xi

Figura 3

X 6

Por razones matemáticas lo que se minimiza no es la suma de los ε i sino la suma de las distancias ε i al cuadrado:

∑(ε i )2= ∑(Y i − aX i )2 Aquí hay que determinar el valor de a que minimiza la suma. Para ello se encuentra el valor de a que hace que la función anterior tenga un extremo que sea un mínimo, por lo tanto, se deriva la expresión anterior respecto de a y se la iguala a cero: ∂[∑(Y i − aX i ) ]/∂a= 0 2

∑2(Y i − aX i )(−X i )= −2∑(Y i X i − a(X i )2)=0 Despejando a de esta última expresión se tiene que:

a= [∑Y i X i ]/[∑(X i )2] Así queda determinado el valor de a y por lo tanto la recta que mejor ajusta a los datos experimentales. Si se tiene una recta como la que se muestra en la figura siguiente deben determinarse los valores de a y b.

Y

Y= aX + b b X Figura 4 Ahora hay que encontrar los valores de a y b que minimizan la función:

∑(ε i )2= ∑(Y i − (aX i + b))2 Entonces derivando respecto de a y de b e igualando a cero se encuentran los valores de a y b: ∂[∑(Y i − aX i − b) ]/∂a= 0 2

∂[∑(Y i − aX i − b) ]/∂b= 0 2

Las derivadas quedan expresadas como:

∑2(Y i − aX i − b)(−X i )= −2∑(Y i X i − a(X i )2 − bX i )= 0 ∑2(Y i − aX i − b)(−1)= −2∑(Y i − aX i − b)= 0 7

De estas expresiones se tiene que:

∑(Y i X i − a(X i )2 − bX i )= ∑Y i X i − ∑a(X i )2 − ∑bX i = ∑Y i X i − a∑(X i )2 − b∑X i = 0 ∑(Y i − aX i − b)= ∑Y i − ∑aX i − ∑b= ∑Y i − a∑X i − Nb= 0 en donde N es el número de datos medidos. Despejando b de la última expresión y reemplazando en la anteúltima expresión se encuentran los valores de a y b en función de los datos experimentales:

a= [N∑Y i X i − ∑Y i ∑X i ]/[N∑(X i )2 − (∑X i )2] b= [∑Y i ∑(X i )2 − ∑X i ∑Y i X i ]/[N∑(X i )2 − (∑X i )2] Resumiendo, la recta que mejor ajusta a los datos experimentales viene dada por la expresión Y= aX + b, en donde a y b se calculan con las expresiones anteriores. Si existe un error comparable en los dos ejes se debe minimizar la distancia ε i que se muestra en la figura siguiente:

Y Yi

Y’= −(1/a)X + b’

Y= aX εi Yi Yk Xi

εi

Y= aX

Xi Xk

X Figura 5

Para encontrar las distancias ε i se utiliza la recta perpendicular a Y= aX que pasa por el punto (X i ; Y i ) y que viene dada por la expresión Y’= (−1/a)X +b’. De la figura se puede ver que:

(ε i )2= (X k − X i )2 + (Y k − Y i )2 El punto (X k ; Y k ) pertenece a las dos rectas, por lo tanto:

Y’ k = Y k (−1/a)X k + b’ = aX k Entonces:

X k = b’/(a + 1/a) Por otra parte el punto (X i ; Y i ) pertenece a la recta Y’= (−1/a)X + b’, entonces: 8

Y i = Y’ i = (−1/a)X i + b’ De esta expresión se obtiene que:

b’= Y i + (1/a)X i Entonces Y k y X k se escriben como:

X k = (Y i + (1/a)X i )/(a + 1/a)= (aY i + X i )/(1 + a2) Y k = aX k = (a2Y i + aX i )/(1 + a2) Ahora se puede escribir ε i en función de los valores experimentales. Por lo tanto la suma de las distancias ε i al cuadrado queda:

∑(ε i )2= ∑ [(X k − X i )2 + (Y k − Y i )2]= ∑[((aY i + X i )/(1 + a2) − X i )2 + ((a2Y i + aX i )/(1 + a2) − Y i )2] Derivando esta expresión respecto de a e igualando a cero se encuentra el valor de a que minimiza la suma de las distancias ε i al cuadrado. Como la ecuación resultante es cuadrática en a, hay dos posibles valores que minimizan las distancias ε i al cuadrado:

a= [∑(Y i )2 − ∑(X i )2 ± (4(∑(X i Y i ))2 +(∑(X i )2 − ∑(Y i )2)2)1/2]/[2∑(X i Y i )] En este caso el valor de a que tiene sentido es el que se obtiene cuando el cálculo se realiza con el signo +. Si ahora se tiene un ajuste como el que se muestra en la figura siguiente pueden hacerse dos cosas. Una es realizar un cambio de variable (Z i = (X i )2) y hacer un ajuste lineal (Y= aZ) para obtener a. Otra es minimizar la suma de las distancias al cuadrado (∑(ε i )2= ∑(Y i − a(X i )2)2 para obtener a.

Y

Y

Y= aX2

Y= aZ

X

Z

Figura 6

En el primer caso el valor de a viene dado por la expresión:

a= [∑Y i Z i ]/[∑(Z i )2]= [∑Y i (X i )2 ]/[∑(X i )4] 9

En el segundo caso se debe minimizar el valor de:

∑(ε i )2= ∑(Y i − a(X i )2)2 Para encontrar el valor de a que hace que la función anterior tenga un extremo que sea un mínimo se deriva la expresión anterior respecto de a y se la iguala a cero: ∂[∑(Y i − a(X i ) ) ]/∂a= 0 2 2

∑2(Y i − a(X i )2)(−X i )2= −2∑(Y i (X i )2 − a(X i )4)=0 Despejando a de esta última expresión se tiene que:

a= [∑Y i (X i )2 ]/[∑(X i )4] En este caso particular esta expresión es la misma que se obtiene cuando se realiza un ajuste lineal haciendo un cambio de variables. En el caso de considerar el error en los dos ejes el camino mas fácil de encontrar a es hacer un cambio de variables (Z i = (X i )2) y seguir el procedimiento desarrollado anteriormente. El valor de a queda dado entonces por la expresión:

a= [∑(Y i )2 − ∑(X i )4 ± (4(∑((X i )2Y i ))2 +(∑(X i )4 − ∑(Y i )2)2)1/2]/[2∑((X i )2Y i )] DESARROLLO En la práctica se debe medir 10 pares de valores (X i ; Y i ), realizar un gráfico y encontrar la función que relaciona a X con Y. Para realizar la experiencia seguir los siguientes pasos: 1) 2) 3) 4)

Medir el perímetro y el diámetro de distintos círculos. Hacer un gráfico perímetro vs diámetro. Utilizando el método de cuadrados mínimos encontrar la curva que mejor ajusta a los datos experimentales. Calcular el error en la pendiente. Para ello se debe calcular una pendiente máxima (a max ) y una pendiente mínima (a min ). Si sólo se considera error en Y la pendiente máxima se calcula sumando a todos los valores Y i el error experimental. La pendiente mínima se calcula restando a todos los valores Y i el error experimental. El error en la pendiente se calcula como ∆a= (a max – a min )/2. Si se considera el error en los dos ejes, la pendiente máxima se calcula sumando a todos los valores Y i el error experimental y restando a todos los valores X i el error experimental. La pendiente mínima se calcula restando a todos los valores Y i el error experimental y sumando a todos los valores X i el error experimental. 5) Medir la superficie y el diámetro de distintos círculos. 6) Hacer un gráfico superficie vs diámetro. 7) Utilizando el método de cuadrados mínimos encontrar la curva que mejor ajusta a los datos experimentales. 8) Hacer un gráfico superficie vs (diámetro)2. 9) Utilizando el método de cuadrados mínimos encontrar la curva que mejor ajusta a los datos experimentales. 10) Calcular el error en la pendiente. 11) Comparar los resultados de las distintas a con el número pi.

10

Considerando error en los dos ejes, en el gráfico siguiente se muestra un ejemplo en donde se muestra la recta de pendiente máxima y la recta de pendiente mínima 20 18 PERIMETRO (cm)

16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5

DIAMETRO (cm)

11

6

7

PRÁCTICA DE LABORATORIO: ESTÁTICA. INTRODUCCIÓN Cuando se tienen fuerzas concurrentes la condición de equilibrio viene dada por la expresión: ∑F= 0

[1]

Esta expresión puede separarse en componentes quedando: ∑F X = 0 ∑F Y = 0 ∑F Z = 0

[2] [3] [4]

Vamos a aplicar estas condiciones al ejemplo que se muestra en la figura siguiente: α

β

L

Y

L1

L2

T1

T2 X T T

P Las condiciones de equilibrio llevan a las siguientes ecuaciones: T – P= 0 T 1Y + T 2Y – T= 0 T 2X – T 1X = 0

[5] [6] [7]

En donde: T 1X = T 1 T 2X = T 2 T 1Y = T 1 T 2Y = T 2

Coseno (α) Coseno (β) Seno (α) Seno (β)

[8] [9] [10] [11]

De la ecuación [7] se tiene que: T 1 = T 2 Coseno (β)/ Coseno (α) 12

[12]

De las ecuaciones [5] y [6] se tiene que: P= T 1 Seno (α) + T 2 Seno (β)

[13]

Usando la ecuación [12] para reemplazar en [13] se encuentra que: P= [T 2 Coseno (β)/ Coseno (α)] Seno (α) + T 2 Seno (β)

[14]

Despejando T 2 de la ecuación [14]: T 2 = P/[Coseno (β) Tang (α) + Seno (β)]

[15]

Si el peso se encuentra en el medio, los ángulos son iguales y se tiene que T 2 = T 1 . Entonces la ecuación [15] queda: T 2 = T 1 = P/[2 Seno (α)]

[16]

Esta ecuación muestra que cuanto menor es el valor del ángulo α, mayor es la tensión que realizan las cuerdas. Si el ángulo tiende a 0° las tensiones de las cuerdas tienden a infinito independientemente del valor del peso del cuerpo. En el gráfico siguiente se muestra el valor de la tensión en función del ángulo para un cuerpo de 10N de peso.

350 300

Tension (N)

250 200 150 100 50 0 0

20

40

60

80

100

Angulo (grados)

Si el peso se encuentra descentrado se debe usar el teorema del coseno para ligar los largos L 1 y L 2 con los ángulos α y β. Si se miden los valores de L, L 1 y L 2 se puede calcular los ángulos mediante las expresiones: Coseno (α)= [L2 + (L 1 )2 – (L 2 )2]/[ 2LL 1 ] Coseno (β)= [L2 + (L 2 )2 – (L 1 )2]/[ 2LL 2 ]

[17] [18]

Si L= 1m y L 1 + L2 = 2m el mínimo valor de L1 es 0,75 y el máximo es 1. Por lo tanto, el ángulo α varía entre 90° y 60° respectivamente. En el gráfico siguiente se muestran las tensiones en función del largo L 1 para un cuerpo de 10N de peso. Allí puede verse que la tensión T 1 va disminuyendo a medida que L1 se alarga y la tensión T 2 va aumentando a medida que L 1 se alarga. Cuando L 1 = L 2 ambas tensiones son iguales. 13

12

TENSION (N)

10 8 6 4 2 0 0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

LARGO 1 (m )

En la práctica se va comprobar si los datos experimentales coinciden dentro del error experimental con la curva teórica. Para ello se miden las tensiones con dinamómetros ubicados en las cuerdas tal como se muestra en la figura siguiente:

L

α

β

Dinamómetro

Dinamómetro Y

L1

L2

T1

T2 X T T

P DESARROLLO En la práctica se deben medir distintos largos L 1 para obtener los ángulos y las tensiones teóricas para compararlas con las experimentales. Para realizar la experiencia seguir los siguientes pasos: 1) Tomar una cuerda de aproximadamente 1,5m y unir las puntas a los dinamómetros separados aproximadamente 0,8m. 2) Ubicar un peso conocido en el punto medio y medir las tensiones en los dinamómetros. 3) Acortar la cuerda, ubicar el peso en el punto medio y medir las tensiones. Repetir 15 veces. 14

4) 5) 6) 7) 8)

Realizar un gráfico de Tensión vs Largo con los puntos experimentales y comparar con la curva teórica. Ubicar un peso conocido en el punto medio y medir las tensiones en los dinamómetros. Mover el peso hacia un lado y medir las tensiones. Repetir 15 veces. Realizar un gráfico de Tensiones vs L1 con los puntos experimentales y comparar con las curvas teóricas. ¿Se puede decir que dentro de los errores experimentales los valores medidos cumplen con lo esperado?

15

PRÁCTICA DE LABORATORIO: CÁLCULO DE COEFICIENTES DE ROZAMIENTO. INTRODUCCIÓN Un objeto de masa M se encuentra en un plano inclinado que forma un ángulo α con el piso horizontal. Las fuerzas que actúan sobre el objeto son el peso, la normal y la fuerza de rozamiento entre el piso y el objeto. Como el peso P se encuentra actuando en una dirección que no coincide con ninguno de los ejes de coordenadas elegidos para describir el problema, se descompone P en las componentes Px y Py. Y Fr N L Py

α

Px

H X

P

D

α

α

Cuando el objeto se encuentra en reposo la fuerza neta que actúa sobre el objeto en cada eje debe ser nula, por lo tanto: Px – Fr = 0 N – Py = 0

[1] [2]

en donde Px = P seno(α) y Py = P coseno(α). Si se aumenta la inclinación, el valor del ángulo α aumenta y el objeto puede comenzar a deslizar. Justo antes que el objeto comience a deslizar la fuerza de rozamiento estática toma su valor máximo y puede entonces expresarse como Fr = μ E N. En ese caso tenemos de las ecuaciones [1] y [2] que: P seno(α) = μ E N N = P coseno(α)

[3] [4]

Reemplazando N en la ecuación [3] obtenemos que: P seno(α) = μ E P coseno(α)

[5]

Despejando μ E de esta última ecuación: μ E = tang(α) = H/D = H/(L2 – (H)2)1/2

[6]

El coeficiente de rozamiento estático puede entonces calcularse si se conoce el ángulo que forma el plano inclinado con el piso horizontal o también si se conocen los valores de H y D (o L). DESARROLLO El plano inclinado que se utiliza en la práctica es una madera de largo L que se levanta lentamente de un extremo hasta que un bloque que se encuentra apoyado sobre el plano comienza a deslizar. En ese momento se deja de levantar la madera y se mide H. Con los valores medidos de H y L se calcula el valor del coeficiente de rozamiento estático madera-superficie del bloque. Para realizar la experiencia se utilizan dos bloques, uno de madera y otro de fórmica, por lo tanto, se obtienen los coeficientes de rozamiento estático madera-madera y maderafórmica. 16

Para ambos bloques realizar los siguientes pasos: 1) Medir el largo L del plano inclinado. 2) Con el plano inclinado en forma horizontal apoyar el bloque correspondiente sobre el plano inclinado. Levantar lentamente el plano inclinado hasta que el bloque comienza a deslizar. Medir la altura H. 3) Repetir 15 veces el paso anterior. 4) Con cada valor de H y el valor de L calcular μ Ei = H i /(L2 – (H i )2)1/2 donde i = 1,…, 15. 5) Obtener el valor promedio = ∑μ Ei /N donde N = 15. 6) Calcular el error absoluto Δμ E como [μ Emax − μ Emin ]/2 7) Calcular el error absoluto Δμ E como {∑< μ E >- μ Ei }/N y compararlo con el valor anterior. 8) Expresar el resultado (μ E ± Δμ E ) con el número correcto de cifras significativas. 9) Contestar las siguientes preguntas: a) ¿Qué incerteza se tiene en el valor de L? b) ¿Qué incerteza se tiene en el valor de H? c) ¿Cómo expresa el resultado (μ E ± Δμ E ) si sólo se hace una medida de H y de L? d) ¿Son los errores de lectura de H y de L los únicos que influyen en Δμ E ? e) ¿Es posible, en esta experiencia, decir como conclusión que pueden diferenciarse los coeficientes de rozamiento madera-madera y madera-fórmica?

17

PRÁCTICA DE LABORATORIO: RESORTE. INTRODUCCIÓN Se tiene un resorte metálico helicoidal en posición vertical y sujeto de su extremo superior. De acuerdo con la ley de Hooke, si se cuelga una masa M en el extremo inferior del resorte este se alarga y el alargamiento es proporcional al peso de la masa (P=Mg) mientras no se sobrepase el límite de elasticidad. Si Lo es la longitud del resorte sin peso que cuelga y ΔL=(L−Lo) el estiramiento que le produce un peso P, se tiene que: P=KΔL

[1]

donde K es la constante elástica del resorte.

Lo

Lo

L ΔL L

ΔL

KΔL

KΔL

Y

K(ΔL+Y) P P+F

P

Para determinar la constante K pueden seguirse dos procedimientos: uno estático y otro dinámico. En el procedimiento estático se cuelgan pesos P i en orden creciente y se miden los correspondientes alargamientos ΔL i =(L i −Lo). La constante K puede obtenerse de un gráfico, donde en las ordenadas se marcan los pesos P i y en las abcisas los estiramientos ΔL i . Dentro de los errores experimentales el gráfico debe ser una recta cuya pendiente es la constante elástica del resorte K. En el procedimiento dinámico se suspende un peso P y además se aplica una fuerza adicional F que produce un alargamiento total ΔL+Y. Si el cuerpo se encuentra en equilibrio la fuerza neta sobre el cuerpo es nula, entonces: P+F−K(ΔL+Y)=0

[2]

Si la fuerza adicional se quita, la fuerza neta sobre el cuerpo no es nula y el cuerpo comienza a oscilar. De acuerdo a la segunda ley de Newton se tiene que: P−K(ΔL+Y)=MΫ

[3]

donde Ϋ es la derivada segunda de la posición con respecto al tiempo (aceleración del cuerpo). Como P= KΔL, entonces la ecuación [3] se reduce a: −KY=MΫ

[4]

Esta es una ecuación diferencial cuya solución es: Y=Yo seno (ωt +φ)

[5] 18

donde Yo, ω y φ son constantes que dependen de cada caso particular y reciben el nombre de elongación máxima, frecuencia angular y fase inicial respectivamente. Si se reemplaza Y (ecuación de movimiento del sistema) y la derivada segunda respecto al tiempo Ϋ en la ecuación diferencial [4], la igualdad se cumple si: ω2=K/M

[6]

Como la frecuencia angular está relacionada con el período (ω=2π/T), se concluye que la masa oscilará armónicamente con un período: T=2π(M/K)1/2

[7]

Así, midiendo el período de oscilación de una masa M puede determinarse la constante elástica del resorte. Si se cuelgan masas M i en orden creciente y se miden los correspondientes períodos T i la constante K puede obtenerse de un gráfico (T i )2 vs M i . Dentro de los errores experimentales el gráfico debe ser una recta cuya pendiente es 4π2/K. Si la masa del resorte Mr es despreciable frente a las masas M i la ecuación [7] puede utilizarse para calcular K. Pero si el resorte no puede ser considerado ideal, tiene una masa que oscila junto con la masa M, entonces habrá que hacer algunas modificaciones en la ecuación [7]. No todas las partes del resorte oscilan con la misma amplitud, por lo tanto, en la ecuación [7] no puede sumarse a la masa M la masa Mr del resorte, pero si una fracción de Mr (fMr). La ecuación de movimiento queda entonces: [8]

−KY=(M+fMr)Ϋ Entonces el período se expresa como: T=2π((M+fMr)/K)1/2

[9]

Si se cuelgan masas M i en orden creciente y se miden los correspondientes períodos T i la constante K puede obtenerse de un gráfico (T i )2 vs M i . Dentro de los errores experimentales el gráfico debe ser una recta cuya pendiente es 4π2/K y cuya intersección con el eje de las abcisas es 4π2fMr/K. DESARROLLO Para el procedimiento estático realizar los siguientes pasos: 1) Colgar una pesa para producir un estiramiento inicial y medir el alargamiento. 2) Ir aumentando los pesos midiendo el alargamiento respecto del estiramiento inicial. 3) Realizar un gráfico poniendo los pesos P i en las ordenadas y los alargamientos ΔL i en las abcisas. Dibujar los errores en cada punto. 4) Determinar de la pendiente el valor de K y su correspondiente error absoluto. 5) Con cada par de valores (P i , ΔL i ) calcular los correspondientes K i . Obtener el valor promedio = ∑K i /N. Calcular el error absoluto ΔK como [K max − K min ]/2 y como {∑< K> − K i }/N. 6) Comparar los valores de K y los errores obtenidos. Para el procedimiento dinámico realizar los siguientes pasos: 1) Colgar una pesa para producir un estiramiento inicial. Tirar cuidadosamente de la pesa y soltarla. Tomar el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones y obtener el período. 2) Aumentar el peso y medir el período como en el paso anterior. 3) Realizar un gráfico poniendo los períodos (T i )2 en las ordenadas y las masa M i en las abcisas. Dibujar los errores en cada punto. 4) Pesar el resorte. 5) Determinar de la pendiente el valor de K y su correspondiente error absoluto. 6) Determinar de la intersección con el eje de las abcisas el valor de fMr y su correspondiente error absoluto. 19

7) Comparar los valores de K ± ΔK con los obtenidos en el procedimiento estático.

20

PRÁCTICA DE LABORATORIO: RELACIÓN ENTRE CALORES ESPECÍFICOS. INTRODUCCIÓN Para obtener la relación γ= C P /C V de un gas se deben relacionar procesos isotérmicos, isocóricos y adiabáticos. Estos procesos son irreversibles pero, como se verá mas adelante, pueden ser considerados reversibles bajo ciertas consideraciones. Antes de obtener γ relacionemos el equipo a utilizar con los distintos procesos involucrados en la experiencia. A continuación en la figura 1 se muestra el equipo a utilizar: Llave VC PAT Manómetro Pistón

PGAS VB

Figura 1

Un recipiente de aproximadamente 25 litros y paredes anchas se encuentra conectado a dos tubos: uno que conduce a un manómetro, y el otro conectado a un cilindro a través de una llave. El cilindro está provisto de un pistón de masa despreciable que puede moverse sin fricción. De un lado se encuentra el gas a estudiar y del otro una presión externa P AT . Las paredes del recipiente son suficientemente gruesas como para evitar la transferencia de calor durante el proceso adiabático (Proceso 1). Sin embargo, ellas son conductoras de calor, de tal manera que se puede llegar a un equilibrio térmico con el medio luego de un cierto tiempo (Proceso 2). El volumen del recipiente incluyendo los tubos hasta la llave y hasta el manómetro es llamado V B , y el volumen del cilindro es llamado V C . Para comenzar la experiencia se comprime el gas con la llave abierta hasta que V C =0. En estas condiciones se cierra la llave y se deja que el gas llegue al equilibrio térmico con el medio a temperatura T M (punto 1 de la figura 2). Así se tiene que la presión inicial P I (P 1 ) es mayor a P AT . Aquí comienzan a realizarse los distintos procesos para obtener γ. Proceso 1: Abrir la llave, así el gas fluye al cilindro hasta que la presión es igual a P AT y el volumen del gas es V B + V C . La llave se cierra atrapando el gas contenido en el volumen V B y el pistón se traba para que el aumento de temperatura no modifique el volumen final del cilindro. Si el proceso es reversible, el volumen final ocupado por el gas debe ser V F (R)= V B + V C (R) y la temperatura T 2 (R) (punto 2 de la figura 2). Si el proceso es irreversible los valores son respectivamente V F (I)= V B + V C (I) y T 2 (I) (punto 2’ de la figura 2). 21

P1= PI

1

Isoterma TM 3

P3= PF(R)

3’

P3’= PF(I) Adiabática I PAT= P2= P2’

2

V1= VI

V2= VF(R)

2’

Adiabática R

V2’= VF(I)

Figura 2 Proceso 2: Se llega al equilibrio térmico con T M manteniendo el volumen constante. La presión final en el recipiente es según el caso P F (R)= P 3 o P F (I)= P 3’ (puntos 3 y 3’ de la figura 2). Interpretación Reversible Proceso 1

P1V1γ ( R ) = PAT V2γ ( R )

[1]

Isoterma T M

P1V1 = P3V2 = PF ( R)VF ( R)

[2]

Despejando V 2 de la segunda ecuación y reemplazándola en la primera se obtiene: γ ( R)

P1V1

 PV  = PAT  1 1   P3 

γ ( R)

[3]

Simplificando el volumen esta ecuación se reduce a:

 P1 P1 = PAT   P3

   

γ (R)

[4]

Despejando γ se tiene que:

γ =

ln P1 − ln PAT ln P1 − ln PAT = ln P1 − ln P3 ln P1 − ln PF ( R)

Entonces midiendo las presiones P I , P F (R) y P AT se puede calcular γ(R). 22

[5]

Interpretación Irreversible Proceso 1: Para relacionar los estados inicial y final de este proceso es necesario usar la primera ley de la termodinámica ΔU= −W, entonces:

∆U = − PAT (V F ( I ) − V1 )

[6]

La variación de energía interna se puede escribir como: ∆U = nCV (T2 ( I ) − TM ) =

Dado que C P − CV = R se puede escribir CV =

nR (T2 ( I ) − TM ) (γ − 1)

[7]

R . (γ − 1)

Igualando las dos ecuaciones para ∆U se obtiene la siguiente relación: − PAT (V F ( I ) − V1 ) = Isoterma T M

nR (T2 ( I ) − TM ) (γ − 1)

P1V1 = P3'V2 ' = PF ( I )VF ( I )

[8] [9]

De las dos ecuaciones anteriores y usando la ecuación de gas ideal se puede despejar γ :

γ =

PF ( I )( PAT − PI ) PAT ( PF ( I ) − PI )

[10]

Igual que en el caso anterior midiendo las presiones P I , P F (I) y P AT se puede calcular γ(I). Cuestionario a responder antes de realizar la práctica. 1) ¿Qué presiones es necesario medir para calcular γ(R) y γ(I)? 2) ¿Pueden medirse todas las presiones necesarias? 3) ¿Puede calcularse γ(R)? ¿Qué aproximación usaría para el cálculo de γ(R)? 4) ¿Cómo están relacionadas las presiones P I y P F (I) con P AT ? 5) ¿P I difiere mucho de P AT y de P F (I)? 6) ¿Es muy diferente V F (R) de V F (I)? ¿Y T 2 de T 2’ ? 7) ¿Qué sucede si la llave se deja mucho tiempo abierta? ¿Y si se cierra antes de alcanzar P AT ? ¿Cómo influye esto en el valor de γ(R) y γ(I)? 8) ¿Es necesario el cilindro con el pistón? 9) ¿Cuáles son los errores que se cometen en la realización de la práctica? 10) ¿Cuándo se puede usar la ecuación de las adiabáticas P V γ = cte. ? Una vez respondido el cuestionario se está en condiciones de realizar las mediciones y cálculos. DESARROLLO 1) Medir P I y P F (I) y P AT y calcular γ(I). 2) Reemplazar P F (R) por P F (I) en la ecuación [5] y calcular γ(R). 3) Calcular γ ( R) − γ ( I ) . 4) Calcular los errores absoluto y relativo de γ(R) y γ(I). 23

5) 6) 7) 8)

Repetir los pasos anteriores no menos de 20 veces. Hallar los valores medios de γ(R) y γ(I) y su desviación media. Comparar los errores hallados. Hacer algunas mediciones dejando la llave abierta unos instantes después de haber alcanzado P AT al finalizar el proceso 1. 9) Hacer algunas mediciones cerrando la llave antes de alcanzar P AT . 10) Comparar estos últimos valores con los anteriores.

24

PRÁCTICA DE LABORATORIO: CALORIMETRÍA. PARTE 1: Determinación del π de un calorímetro. INTRODUCCIÓN Al mezclar dos cantidades de líquidos a distinta temperatura se genera una transferencia de energía en forma de calor desde el más caliente al más frío. Dicho tránsito de energía se mantiene hasta que se llega al equilibrio térmico en donde se igualan las temperaturas. La cantidad de calor Q que se transfiere desde el líquido a mayor temperatura al líquido a menor temperatura responde a la expresión: Q = MCΔT donde M es la masa del líquido, C su calor específico y ΔT la variación de temperatura. La mezcla se realiza dentro de un calorímetro y como éste intercambia calor con la mezcla es necesario determinar su masa y capacidad calorífica. Para la determinación de la capacidad calorífica del calorímetro se mezclan cierta cantidad de agua fría con agua caliente y se mide la temperatura de equilibrio. En el calorímetro se introduce una cierta cantidad conocida de agua fría y se deja que el sistema agua-calorímetro llegue al equilibrio (T F ). Luego se agrega una cantidad conocida de agua caliente a temperatura T C . Durante este proceso una parte de la energía cedida por el agua caliente es absorbida por el calorímetro que eleva su temperatura desde T F a la temperatura de equilibrio final T E . En consecuencia, como en el calorímetro no se producen pérdidas de energía hacia el exterior, la variación del conjunto formado por el calorímetro y las cantidades de agua será nula, por lo que se puede escribir: M C C(T E

−

TC)

+

M F C(T E

−

T F)

+

M CAL C CAL (T E

−

TF)

=

0

[1] donde al producto M CAL C CAL se conoce como PI del calorímetro (π) y se determina midiendo las masas de agua y todas las temperaturas. Además se considera al calor específico del agua como una constante igual a 1 cal g-1 K-1. DESARROLLO Para realizar la experiencia seguir los siguientes pasos: 1) Medir cuidadosamente 200ml de agua fría (aproximadamente 20ºC) con una probeta. 2) Echar los 200ml de agua fría en el calorímetro. Tapar el calorímetro colocando el termómetro y el agitador. Al cabo de cierto tiempo anotar su temperatura (T F ). 3) Medir cuidadosamente 200ml de agua fría con una probeta y colocarlos en un Erlenmeyer. Introducir un termómetro cuidando que no toque el fondo o las paredes del recipiente. Calentar el agua hasta alcanzar aproximadamente 60ºC. 4) Verter el agua caliente en el calorímetro, procurando anotar su temperatura (T C ) justo antes de introducirse en el mismo. 5) Agitar la mezcla y leer la temperatura de equilibrio (T E ) luego de transcurrido un minuto o el tiempo necesario para que la lectura del termómetro se mantenga constante. Usar un termómetro en el cual se pueda apreciar hasta 0,1ºC. 6) Usando la ecuación [1] determinar el π del calorímetro y su error absoluto. 7) Repetir los pasos anteriores utilizando 300ml de agua. PARTE 2: Medida del Calor Latente de fusión del hielo. INTRODUCCIÓN El Calor Latente de fusión LF se define como la cantidad de calor por unidad de masa que se necesita para fundir un sólido que coexiste con el líquido a la temperatura de fusión. Por lo tanto, el calor necesario para fundir una masa M de hielo que se encuentra en agua a la temperatura de 0ºC viene dada por la expresión: 25

Q = M LF

[2]

en donde el valor experimental aceptado para el calor latente de fusión del hielo es igual a 80cal/g. En un calorímetro se encuentran en equilibrio una mezcla de agua y hielo (M H + M F a 0ºC). Al mismo se le agrega una cantidad de agua caliente (M C a T C ) que alcanza para fundir el hielo y llegar a una temperatura de equilibrio mayor a 0ºC y menor a T C . El calor entregado por el agua caliente es absorbido por la mezcla y el calorímetro, entonces se tiene que: M H LF

+

(M F

+

M H )C(T E

−

0ºC)

+

M C C(T E

−

TC)

+

M CAL C CAL (T E

−

0ºC)

=

0

[3] L F se determina midiendo todas las masas, el π del calorímetro y todas las temperaturas. DESARROLLO Para realizar la experiencia seguir los siguientes pasos: 1) Mantener el calorímetro lleno de agua y hielo para que su temperatura sea 0ºC. 2) Medir cuidadosamente 200ml de agua fría (a 0ºC) con una probeta. 3) Vaciar el calorímetro, echar los 200ml de agua fría en el calorímetro y agregar una masa de hielo picado M H (a 0ºC). Tapar el calorímetro colocando el termómetro y el agitador. 4) Medir cuidadosamente 200ml de agua fría con una probeta y colocarlos en un Erlenmeyer. Introducir un termómetro cuidando que no toque el fondo o las paredes del recipiente. Calentar el agua hasta alcanzar aproximadamente 60ºC. 5) Verter el agua caliente en el calorímetro, procurando anotar su temperatura (T C ) justo antes de introducirse en el mismo. 6) Agitar la mezcla y leer la temperatura de equilibrio (T E ) luego de transcurrido un minuto o el tiempo necesario para que la lectura del termómetro se mantenga constante. Usar un termómetro en el cual se pueda apreciar hasta 0,1ºC. 7) Volcar el contenido del calorímetro en una probeta. Medir el volumen de agua. La diferencia con el volumen inicial es el volumen de hielo. 8) Determinar la masa de hielo considerando la densidad del agua como 1g/ml. 9) Usando la ecuación [3] determinar el Calor Latente de fusión del hielo.

26

PRÁCTICA DE LABORATORIO: PÉNDULO IDEAL. INTRODUCCIÓN Un péndulo ideal esta formado por un cuerpo puntual de masa M unido a una cuerda de largo L y masa despreciable. Si la masa se aparta de la posición de equilibrio y se suelta realiza un movimiento de oscilación periódico. Si se considera que no actúan fuerzas de fricción las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son el Peso y la Tensión tal como se muestra en la figura. Si se toma un sistema de ejes perpendiculares (t, n) el peso P puede descomponerse en las componentes normal P n y tangencial P t . La componente tangencial del peso es la fuerza responsable de que la masa tenga una aceleración tangencial variable, por lo tanto, no puede pensarse este movimiento como un MCUV. Pero, sin hacer un desarrollo teórico puede estudiarse el período del péndulo variando la masa, la longitud y el ángulo inicial desde donde se suelta.

n

α T

Pn

α

Pt t

P

DESARROLLO Para estudiar como depende el período del péndulo de la masa, de la longitud y del ángulo inicial realizar los siguientes pasos: 1) Medir con un calibre el diámetro de las masas a utilizar (dos masas). Como la masa no es puntual, se toma el largo L del péndulo como la suma del largo de la cuerda más el radio de la masa que se utiliza. 2) Medir en una balanza el valor de las masas a utilizar. 3) Se construye un péndulo de aproximadamente 1m de largo. Se aparta a la masa del equilibrio un ángulo de aproximadamente 10° y se la suelta. Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en hacer 10 oscilaciones. Con este tiempo se calcula el período T y su correspondiente error absoluto. Dejando la masa y el largo fijos se toman los tiempos de 10 oscilaciones para ángulos de 7° y 3° aproximadamente y se calculan los períodos y sus errores absolutos. 4) Dejando fija la longitud del péndulo se cambia la masa y se repite el paso anterior. 5) Comparar los períodos teniendo en cuenta los errores absolutos y decir si el período depende o no del ángulo y de la masa. 6) Con una masa cualquiera de las usadas y un ángulo menor a 10° se mide el tiempo que tarda el péndulo en hacer 10 oscilaciones tomando una longitud de 10cm y se calcula el período. Se repite el procedimiento variando la longitud cada 10cm desde el largo mínimo de 10cm hasta un largo máximo de 1,20m. 7) Comparar los períodos teniendo en cuenta los errores absolutos y decir si el período depende o no del largo L. 8) Con los 12 pares de valores (Longitud, Período) se realizan los siguientes gráficos: T vs L, T vs L2, T vs L1/2 y T vs L3/2. 9) Usando los gráficos determinar si existe una ley de variación lineal del período en función del largo L.

27

PRÁCTICA DE LABORATORIO: CÁLCULO DE g CON UN PÉNDULO IDEAL. INTRODUCCIÓN Un péndulo ideal esta formado por un cuerpo puntual de masa M unido a una cuerda de largo L y masa despreciable. Si la masa se aparta de la posición de equilibrio un ángulo θ o y se suelta realiza un movimiento de oscilación periódico. Si se considera que no actúan fuerzas de fricción las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son el Peso y la Tensión tal como se muestra en la figura. Si se toma un sistema de ejes perpendiculares (t, n) el peso P puede descomponerse en las componentes normal P n y tangencial P t . La componente tangencial del peso es la fuerza responsable de que la masa tenga una aceleración tangencial variable dado que dicha fuerza varía con el ángulo.

n

n t

θ0 T

T

Pn

θ

Pt

Pt

θ

t

Pn

P

P

Cuando el péndulo tiene un ángulo positivo la componente tangencial del peso es negativa y cuando el péndulo tiene un ángulo negativo la componente tangencial del peso es positiva. Para un ángulo θ cualquiera, las ecuaciones de movimiento en los ejes t y n son las siguientes: −P t =Ma t T−P n =Ma n

[1] [2]

donde P t =P seno(θ) y P n =P coseno(θ), por lo tanto, las ecuaciones [1] y [2] quedan expresadas como: −Mg seno(θ)=Ma t T−Mg coseno(θ)=Ma n

[3] [4]

Por otra parte, al ser un movimiento circular se tiene que: ω=∂θ/∂t y α=∂ω/∂t a n =V /L=(ωL)2/L y a t =∂V/∂t=∂(ωL)/∂t=L∂ω/∂t=L∂(∂θ/∂t)/∂t 2

Por lo tanto las ecuaciones [3] y [4] se escriben: −g seno(θ)= L∂(∂θ/∂t)/∂t= L∂2θ/∂t2 T−Mg coseno(θ)=ML(∂θ/∂t)2

[5] [6]

La ecuación [5] es una ecuación diferencial que no tiene solución analítica, es decir, no puede encontrarse una expresión del ángulo en función del tiempo, sólo es posible solucionarla por métodos numéricos. Pero, si el péndulo oscila con ángulos menores a 10° puede hacerse la aproximación seno(θ)≈ θ, entonces la ecuación [5] queda: 28

−(g/L)θ=∂2θ/∂t2

[7]

La ecuación [7] tiene una solución analítica para el ángulo en función del tiempo. La solución debe ser una función periódica cuya segunda derivada debe ser igual a la función multiplicada por una constante. Si esta solución se deriva con respecto al tiempo puede encontrarse como varía la tensión de la cuerda con el ángulo. La solución que se propone y sus derivadas son: θ=θ o seno(Ωt+φ) ∂θ/∂t=θ o Ω coseno(Ωt+φ) ∂2θ/∂t2=−θ o Ω2 seno(Ωt+φ)

[8] [9] [10]

donde Ω es la frecuencia angular (2π/T) (T es el tiempo que tarda en volver a la misma posición (período)) y φ es la fase inicial que depende de las condiciones iniciales. Reempleando la solución propuesta en la ecuación [7] se tiene: −(g/L)θ o seno(Ωt+φ)=−θ o Ω2 seno(Ωt+φ)= −θΩ2

[11]

La igualdad [11] es válida si g/L=Ω2, por lo tanto el período del movimiento se escribe: T=2π(L/g)1/2

[12]

El período depende del largo del hilo y del valor de la gravedad. Usando la ecuación [12] es posible obtener el valor de la gravedad midiendo el período del péndulo y la longitud de la cuerda. Resumiendo, las ecuaciones en función del tiempo de ángulo, velocidad angular, aceleración angular, tensión, velocidad tangencial, aceleración normal y aceleración tangencial del péndulo son las siguientes: θ=θ o seno(Ωt+φ) ω=∂θ/∂t=θ o Ω coseno(Ωt+φ) α=∂ω/∂t=−θ o Ω2 seno(Ωt+φ) T=Mg coseno(θ)+ML(θ o Ω coseno(Ωt+φ))2= Mg coseno(θ)+MLω2 V= θ o ΩL coseno(Ωt+φ) a n =V2/L=(ωL)2/L= Lθ o Ω coseno(Ωt+φ) a t =∂V/∂t=∂(ωL)/∂t=L∂ω/∂t=L(−θ o Ω2 seno(Ωt+φ)) En los gráficos siguientes se muestran estas funciones para una masa M=0.5kg, un largo L=1m y un ángulo inicial θ o =5° (g=10m/s2):

6

20

15

4

0 0

0.5

1

1.5

-2

2

2.5

VEL. ANGULAR (1/s)

ANGULO (GRADOS)

10

2

5

0 0

0.5

1

1.5

-5

-10

-4 -15

-6

-20

TIEMPO (s)

TIEMPO (s)

29

2

2.5

140

60

120 40

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

TENSION (N)

ACEL. ANG. (1/s/s)

100 20

-20

80

60 40

20

-40

0 0

-60

0.5

1

1.5

2

1.5

2

2.5

TIEMPO (s)

TIEMPO (s)

20

300

15

250

5

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

-5

ACEL. NORMAL (m/s/s)

VELOC. TANG. (m/s)

10 200

150

100

50

-10 0

-15

0 -20

0.5

1

2.5

-50 TIEMPO (s)

TIEMPO (s)

60

ACEL. TANG. (m/s/s)

40

20

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

-20

-40

-60 TIEMPO (s)

De los gráficos puede verse que, por ejemplo, cuando ω=0 (amplitud θ o ) la tensión es mínima y cuando θ=0 la velocidad angular toma un valor extremo y la tensión su valor mayor. También se observa que la aceleración normal es nula cuando el péndulo está en los extremos de la oscilación (la tensión es igual a P n ) y que la aceleración tangencial es nula cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio. DESARROLLO Para obtener el valor de la gravedad en el laboratorio realizar los siguientes pasos: 1) Construir un péndulo de aproximadamente 1m de largo. Como la masa no es puntual, se toma el largo L del péndulo como la suma del largo de la cuerda más el radio de la masa que se utiliza. Medir con un calibre el diámetro de la masa a utilizar. Medir el largo de la cuerda con un metro. Obtener L y su error absoluto. 30

2) Apartar la masa del equilibrio un ángulo de aproximadamente 10° y soltarla. Medir con un cronómetro el tiempo t que tarda en hacer 1 oscilación. Este tiempo es el período T, por lo tanto el error absoluto del período es el mismo que el de la medición del tiempo t. 3) Calcular el valor de g usando la expresión g=(2π/T)2L. Calcular el error absoluto de g tomando para π el número de cifras necesarias para que no influya en el error de g. 4) Apartar la masa del equilibrio un ángulo de aproximadamente 10° y soltarla. Medir con un cronómetro el tiempo t que tarda en hacer 10 oscilaciones. Con este tiempo se calcula el período T y su correspondiente error absoluto. 5) Calcular el valor de g usando la expresión g=(2π/T)2L. Calcular el error absoluto de g tomando para π el número de cifras necesarias para que no influya en el error de g. 6) Comparar los valores de g ±Δg obtenidos con 1 y 10 oscilaciones. 7) Obtener numéricamente el valor de la tensión de la cuerda en función del tiempo (T=Mg coseno(θ)+MLω2).

31

PRÁCTICA DE LABORATORIO: ONDAS MECÁNICAS. INTRODUCCIÓN Una Onda Mecánica es una perturbación, generada por una fuente, que se propaga en un medio a medida que transcurre el tiempo. Esta perturbación necesita un medio para propagarse (por ejemplo las ondas sonoras o una onda en una cuerda). Por otra parte, la perturbación puede ser una Onda Única (un impulso), un Tren de Ondas (una serie finita de impulsos) o una Onda Infinita (una serie infinita de impulsos). De acuerdo al movimiento del medio (cuerda, aire, resorte, agua) y de la dirección de propagación de la perturbación tenemos dos tipos de Ondas: Ondas Transversales y Ondas Longitudinales. En las primeras el movimiento del medio es perpendicular a la dirección de propagación. En las segundas el movimiento del medio se produce en la misma dirección de la propagación. En ningún caso hay transporte de materia de un lugar a otro del espacio, pero si hay transporte de energía de un lugar a otro del espacio. En el medio solamente hay movimientos de vaivén alrededor de la posición de equilibrio de cada partícula del medio. Las partículas se alejan de la posición de equilibrio y vuelven a su posición original debido a fuerzas de interacción con las partículas vecinas generándose un movimiento oscilatorio. El caso mas simple de estudiar es el de una Onda Infinita que se representa por una función armónica. Una Onda Infinita se caracteriza por distintas magnitudes, a saber: la Amplitud (A), la Longitud de Onda (λ) y la Velocidad de Propagación (c). La Amplitud depende de la fuente y es la máxima elongación que alcanza una partícula del medio. La Longitud de Onda es la distancia que hay entre dos puntos del medio que se mueven en fase (hacen simultáneamente el mismo movimiento) y depende tanto de la fuente como del medio. La Velocidad de Propagación es la velocidad con la que viaja la onda y depende del medio en el que se propaga. En las figuras siguientes se muestran la Amplitud (A) y la Longitud de Onda (λ) de una Onda Infinita Transversal (cuerda) y Longitudinal (sonido en el aire) respectivamente: 1.5

1

Y(X) (cm)

0.5

λ

A

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5

-1

-1.5 POSICION X(m)

λ A

32

3

3.5

De acuerdo al medio en el que viaja la Onda la Velocidad de Propagación viene dada por las expresiones siguientes: Cuerda c = (T E /μ)1/2

T E = tensión de la cuerda (N)

μ = masa por unidad de longitud (kg/m)

Sólido

c = (J/δ)1/2

J = módulo de elasticidad (N/m2)

δ = densidad (kg/m3)

Gas

c = (RTγ/M)1/2

R = constante de los gases = 8.31 J/(mol K) M = masa molecular (kg/mol)

T = temperatura (K) γ = C P /C V = 1.4 (aire a 298K)

Cuando una fuente emite una Onda Infinita con una Frecuencia f la Longitud de Onda queda determinada por la Velocidad de Propagación y por la Frecuencia. Por ejemplo si se tiene una Onda Infinita en una cuerda: λ = c/f = (T E /μ)1/2/f Aquí se ve que si aumenta la tensión de la cuerda la Longitud de Onda se agranda aunque la fuente siga emitiendo con la misma Frecuencia. La ecuación de una Onda Infinita que se propaga hacia los valores de x>0 se escribe como: y(x, t) = A seno([2Π/λ][x − ct] + φ) = A seno(kx − ωt + φ) en donde k (= 2Π/λ), ω (= 2Πc/λ) y φ son respectivamente el Número de Onda, la Frecuencia angular y la Fase Inicial. La ecuación de una Onda Infinita que se propaga hacia los valores de x0 y cuando tienen el mismo signo la Onda viaja hacia los valores de x0 y tienen distintas Amplitudes, Frecuencias, Fases Iniciales y posición de las fuentes, el resultado es: y1 (x 1 , t) = A 1 seno(k 1 x 1 − ω 1 t + φ 1 ) y 2 (x 2 , t) = A 2 seno(k 2 x 2 − ω 2 t + φ 2 ) y(x, t) = y1 (x 1 , t) + y2 (x 2 , t) = A 1 seno(k 1 x − ω 1 t + φ 1 ) + A 2 seno(k 2 (x − d) − ω 2 t + φ 2 ) en donde d es la separación entre las fuentes y x = x 1 . Si las Ondas tienen la misma Frecuencia pero difieren en la Amplitud y Fase Inicial, el resultado es el siguiente: y1 (x 1 , t) = A 1 seno(kx − ωt + φ 1 ) y 2 (x 2 , t) = A 2 seno(k(x − d) − ωt + φ 2 ) y(x, t) = y1 (x 1 , t) + y2 (x 2 , t) = A seno(kx − ωt + φ) en donde: A2 = (A 1 )2 + (A 2 )2 + 2A 1 A 2 coseno(kd + (φ 1 − φ 2 )) tang(kx + φ) = [A 1 seno(kx + φ 1 ) + A 2 seno(kx + φ 2 − kd)]/[A 1 coseno(kx + φ 1 ) + A 2 coseno(kx + φ 2 − kd)] Si se suman dos Ondas que viajan hacia los valores de x>0 y tienen la misma Amplitud, Frecuencia y posición de las fuentes pero difieren en la Fase Inicial, el resultado es el siguiente: y 1 (x, t) = A seno(kx − ωt + φ 1 ) y 2 (x, t) = A seno(kx − ωt + φ 2 )

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y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) = 2A coseno([∆φ]/2) seno(kx − ωt + [φ 1 + φ 2 ]/2) en donde se usó la relación seno(α) + seno(β) = 2 seno([α + β]/2) coseno([α − β]/2) El resultado es una Onda Viajera de la misma frecuencia que las componentes y de Amplitud 2A coseno([∆φ]/2), por lo tanto si ∆φ = 0 la Amplitud es 2A y si ∆φ = Π la Amplitud es 0. Si se suman dos Ondas, una que viaja hacia los valores de x>0 y la otra que viaja hacia los valores de x0 de Amplitud 1cm, Frecuencia 1s-1 y Velocidad de Propagación 2m/s. ¿Cuánto vale la Longitud de Onda? 2) Generar una Onda Viajera hacia los valores de x0 de Amplitud 1cm, Frecuencia 2s-1 y Velocidad de Propagación 2m/s. ¿Cuánto vale la Longitud de Onda? 4) Generar una Onda Viajera hacia los valores de x>0 de Amplitud 1cm, Frecuencia 20s-1 y Velocidad de Propagación 2m/s. ¿Cuánto vale la Longitud de Onda? 5) Sumar dos Ondas Viajeras hacia los valores de x>0. La Fase Inicial φ 1 = 0 y la Fase Inicial φ 2 = 0. Las dos Ondas tienen Amplitud 1cm, Frecuencia 1s-1 y Velocidad de Propagación 2m/s. ¿Cuánto vale la Amplitud resultante? 6) Sumar dos Ondas Viajeras hacia los valores de x>0. La Fase Inicial φ 1 = 0 y la Fase Inicial φ 2 = Π/2. Las dos Ondas tienen Amplitud 1cm, Frecuencia 1s-1 y Velocidad de Propagación 2m/s. ¿Cuánto vale la Amplitud resultante? ¿Cuánto vale la Longitud de Onda resultante? 7) Sumar dos Ondas Viajeras hacia los valores de x>0. La Fase Inicial φ 1 = 0 y la Fase Inicial φ 2 = Π. Las dos Ondas tienen Amplitud 1cm, Frecuencia 1s-1 y Velocidad de Propagación 2m/s. ¿Cuánto vale la Amplitud resultante? ¿Cuánto vale la Longitud de Onda resultante? 8) Sumar dos Ondas Viajeras hacia los valores de x>0. La Fase Inicial φ 1 = 0 y la Fase Inicial φ 2 = 0. Las dos Ondas tienen Amplitud 1cm, Frecuencias 10s-1 y 10,5s-1 y Velocidad de Propagación 1m/s. ¿Cuánto vale la Longitud de Onda resultante? 9) Sumar dos Ondas Viajeras hacia los valores de x>0. La Fase Inicial φ 1 = 0 y la Fase Inicial φ 2 = 0. Las dos Ondas tienen Amplitud 1cm, Frecuencias 1s-1 y 10s-1 y Velocidad de Propagación 1m/s. 10) Sumar tres Ondas Viajeras hacia los valores de x>0. La Fase Inicial φ 1 = 0, la Fase Inicial φ 2 = Π/2 y la Fase Inicial φ 3 = Π. Las dos Ondas tienen Amplitud 1cm, Frecuencia 2s-1 y Velocidad de Propagación 2m/s. ¿Cuánto vale la Longitud de Onda resultante? 11) Sumar dos Ondas Viajeras, una hacia los valores de x>0 y la otra hacia los valores de x0 y la otra hacia los valores de x0 si está del lado que viene la luz. I>0 si está del lado contrario al que viene la luz. R>0 si el centro de curvatura esta del lado contrario al que viene la luz. FO>0 si está del lado que viene la luz. FI>0 si está del lado contrario al que viene la luz.

Imagen

Si el objeto se encuentra en el infinito la imagen está en el Foco Imagen y si el objeto está en el Foco Objeto la imagen está en el infinito, entonces: 1/F I = [(n 2 – n 1 )/R 1 + (n 3 – n 2 )/R 2 ]/n 3

1/F O = [(n 2 – n 1 )/R 1 + (n 3 – n 2 )/R 2 ]/n 1

De estas ecuaciones concluimos que las distancias focales tienen distinto valor. En el caso particular que la lente se encuentre en aire (n 1 = n 3 = 1) las ecuaciones anteriores se reducen a: 1/F I = [(n 2 – 1)/R 1 + (1 – n 2 )/R 2 ]/1

1/F O = [(n 2 – 1)/R 1 + (1 – n 2 )/R 2 ]/1

Ahora los dos focos tienen el mismo valor, entonces: 1/O + 1/I = (n 2 – 1)[1/R 1 – 1/R 2 ]= 1/F Cuando se desea tener una lente de determinado valor de foco se utilizan las expresiones anteriores para construirla y se las conoce con el nombre de fórmula del constructor de lentes. Con la convención de signos utilizada sólo se necesita dar el valor de foco y el signo para saber de que tipo de lente se trata porque los focos de una lente convergente son positivos y los focos de una lente divergente son negativos. El Aumento A de una lente se define como la relación entre el tamaño del Objeto y de la Imagen. Si el Objeto tiene una altura H y la Imagen una altura H’, el Aumento se define como: A= H’/H H o H’ pueden tomar valores positivos o negativos según estén arriba o abajo del eje óptico (eje perpendicular a la lente que pasa por el centro de la misma). En la figura siguiente se muestra que relación existe entre H y H’ con las distancias I y O. 38

Objeto θ Imagen

Eje Óptico

H H’

O

I

De la igualdad de los ángulos θ se tiene: Tang(θ)= H/O

Tang(θ)= –H’/I

H/O= –H’/I

A= H’/H= –I/O

El Aumento queda expresado en función de las distancias Imagen-Lente y Objeto-Lente. El signo negativo indica que la Imagen está invertida respecto al Objeto. Un fenómeno interesante se presenta cuando se tiene un sistema de varias lentes. En estos casos hay una lente que limita la cantidad de luz que atraviesa al sistema. En el ejemplo siguiente se ve que la Lente 1 es la que limita la cantidad de luz. Si la Lente 2 es menor que el ancho del haz emergente, entonces esta es la Lente que limita la cantidad de luz y se desperdicia parte de la luz que incide en la Lente 1.

Objeto en el infinito

Lente 1

Lente 2 Ancho del haz emergente

Foco Imagen 1

Foco Objeto 1

Ancho del haz incidente

Foco Objeto 2

Foco Imagen 2

Otro ejemplo interesante es el de un ojo simple. Este puede pensarse como una lente convergente de distancia focal corta (cornea + cristalino) y una pantalla (retina). Si el ojo no tiene problemas la distancia focal se modifica de acuerdo a la posición del objeto para que la imagen se forme en la pantalla, pero si el ojo es miope o hipermétrope la imagen se forma por delante o por detrás de la pantalla porque la distancia focal no se ajusta al valor correcto. Para corregir la posición de la imagen se debe poner delante del ojo una lente convergente o una divergente según sea el caso. Estas lentes generan una imagen que es el objeto del ojo, por lo tanto modifican la posición del objeto real y su tamaño. 39

En la figura siguiente se muestra un ojo simple y la imagen formada adelante o atrás de la pantalla (retina) y la forma de corregir el problema. Objeto

Pantalla

Imagen

Objeto

Pantalla Imagen Nítida

Objeto

Pantalla Imagen Nítida

En ambos dibujos se muestran en color naranja la posición del objeto y de la imagen y en color azul donde debe estar el objeto para que la imagen se forme sobre la pantalla. Tanto el objeto como la imagen tienen otro tamaño. En el caso del ojo miope el objeto se achica y esta mas cerca del ojo, por el contrario en el caso del ojo hipermétrope el objeto se agranda y se aleja del ojo. La imagen en el primer caso se achica y en el segundo se agranda cuando se la compara con la imagen sin corregir. DESARROLLO En la práctica debe calcularse las distancias focales de dos lentes convergentes, medir los respectivos aumentos y comparar estos valores con los calculados usando la fórmula del aumento. Para realizar la experiencia seguir los siguientes pasos: 40

1) 2) 3) 4) 5)

En un banco óptico ubicar el objeto y la pantalla a una distancia de 1,5m aproximadamente. Poner una lente en el centro y moverla hacia el objeto hasta encontrar una imagen nítida del objeto utilizado. Tapar con un objeto opaco la mitad de la lente y observar que sucede con la imagen. Medir las distancias I y O y calcular el valor de la distancia focal con el error respectivo. Medir los tamaños del objeto (H) y de la imagen (H’). Hallar la relación H’/H y comparar este resultado con el calculado como –I/O. 6) Mover la lente hacia la pantalla hasta encontrar una nueva imagen nítida del objeto y repetir los dos puntos anteriores. 7) Comparar las distancias focales y los aumentos. 8) Repetir los pasos anteriores para la otra lente. 9) Con las dos lentes convergentes construir un microscopio elemental. La de menor distancia focal es el objetivo y la de mayor distancia focal el ocular. 10) Construir un ojo simple con una lente convergente y una pantalla. Desenfocar levemente la imagen y corregir la imagen ubicando una lente delante del ojo.

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PRÁCTICA DE LABORATORIO: CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA. INTRODUCCIÓN Conexión de resistencias en serie: Se dice que un conjunto de resistencias están conectadas en serie cuando presentan un trayecto único del paso de la corriente. La misma intensidad de corriente I circula a través de cada una de las resistencias conectadas en serie, pero entre los extremos de cada resistencia hay una caída de potencial diferente. Si entre los puntos A y B de la figura 1 se aplica una diferencia de potencial V AB , las caídas de potencial en cada resistencia son proporcionales a sus resistencias respectivas: V1 = I R1 ; V2 = I R2 ; V3 = I R3 A

R1

R2

I

B

R3

Figura 1 Como

V AB =V1 + V2 + V3 se debe cumplir que:

R AB =R1 + R2 + R3 de modo que la resistencia equivalente de varios conductores dispuestos en serie es igual a la suma de sus resistencias. Conexión de resistencias en paralelo: Se dice que varios conductores están conectados en paralelo o derivación cuando todos parten de un mismo punto A y terminan en un mismo punto B, como se muestra en la figura. A

I1 R1

I

B

I2 R2

I3 R3

Figura 2 La misma diferencia de potencial existe entre los extremos de cada uno de los conductores conectados en paralelo, pero cada uno estará atravesado por una corriente diferente. Si entre los puntos A y B de la figura se aplica una diferencia de potencial V AB , la intensidad que circulará por cada conductor será inversamente proporcional a su resistencia respectiva V AB = I1 R1= I2 R2= I3 R3. Como:

I=I1 + I2 + I3 se debe cumplir que:

1/R AB =1/R1 + 1/R2 + 1/R3 de modo que la suma de los valores recíprocos de cada uno de los resistores conectados en paralelo es igual al valor recíproco de la resistencia equivalente de la agrupación.

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Conexión de resistencias en serie-paralelo: La figura siguiente representa una asociación serie-paralelo de resistencias. En este circuito R1 está en paralelo con R2 y equivalen a una resistencia R12 = (R1xR2)/(R1+R2), que a su vez está en serie con R3, y equivale a una resistencia R12,3 tal que R12,3= R12+R3=R AB . A

I1

I R3

R1

B

I2 R2

Figura 3 Leyes de Kirchhoff: Para averiguar como se distribuyen las corrientes en una red de conductores se recurre a las leyes de Kirchhoff. Antes de enunciarlas recordaremos lo que se entiende por nudo, rama y malla en una red. En una red, se llama nudo a todo punto donde convergen tres o más conductores. Constituyen una rama todos los elementos (resistencias, generadores, etc.) comprendidos entre dos nudos adyacentes. Constituye una malla todo circuito (cerrado) que pueda ser recorrido volviendo al punto de partida sin pasar dos veces por un mismo elemento. Evidentemente, la intensidad de la corriente será la misma en cada uno de los elementos que integran una rama. Para los nudos y las mallas tenemos las siguientes leyes: Primera ley de Kirchhoff (ley de los nudos).- Si consideramos positivas las intensidades de corriente que se dirigen hacia un nudo y negativas las que parten del mismo, se cumple que:

∑I=0 es decir, la suma algebraica de las intensidades de las corrientes que convergen en un nudo es cero. Esta ley expresa simplemente que, en régimen estacionario de corriente, la carga eléctrica no se acumula en ningún nudo de la red. Segunda ley de Kirchhoff (ley de las mallas).- La suma algebraica de las f.e.m. en una malla cualquiera de una red es igual a la suma algebraica de los productos IR en la misma malla, es decir:

∑ε= ∑IR en otras palabras, la suma algebraica de las f.e.m. es igual a la suma algebraica de las caídas detensión en los elementos de una malla. Para aplicar esta 2ª ley, será preciso asignar un sentido convencional de circulación positiva para cada malla, y considerar positivas las intensidades y f.e.m. que concuerdan con dicho sentido convencional, y negativas las que no concuerdan. La aplicación de las leyes de Kirchhoff a una red de conductores y generadores se facilita utilizando las siguientes reglas prácticas: 1.- Si hay n nudos en la red, se aplica la ley de los nudos a n - 1 de estos nudos, pudiéndose elegir cualesquiera de ellos. 2.- Si es r el número de ramas en la red (que será el número de intensidades a determinar) y n el número de nudos, el número de mallas independientes es m= r-(n-1). Se aplica m veces la ley de mallas, dispondremos así de m+(n-1) = r ecuaciones independientes que nos permitirán determinar las r intensidades desconocidas. DESARROLLO PARTE 1 Circuitos básicos Anotar los códigos de colores de los resistores que se indican en la tabla 1 y medir su resistencia con el óhmetro anotando los resultados.

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Nota: Dichas resistencias son indicativas. Pueden elegirse los valores indicados u otros de similar orden. I) Circuito serie • Conectar en serie resistencias de forma similar a la indicada en la figura 1 (no aplicar potencia a este montaje). Medir y anotar la resistencia entre los extremos A y B, del montaje en serie. • Aplicar una diferencia de potencial no superior a 12 V (en c.c.) entre los extremos A y B del montaje en serie. Medir y anotar dicha tensión, así como la tensión existente entre los extremos de cada uno de los resistores. • Medir la intensidad de la corriente que circula por el circuito, intercalando el miliamperímetro en varios puntos sucesivamente. Abriendo el circuito en el punto A, intercalar ahí el amperímetro para volver a cerrar. Anotar la intensidad. A continuación, intercalar el amperímetro otros puntos y anotar la intensidad leída. I) Circuito paralelo • Conectar las resistencias en paralelo de forma similar a la indicada en la figura 2 (no aplicar potencia a este montaje). Medir y anotar la resistencia entre los extremos A y B del montaje en paralelo. • Aplicar una tensión de c.c. de unos 12 V entre los puntos A y B. Medir y anotar dicha tensión, así como la existente entre los extremos de cada resistencia. • Medir la intensidad de la corriente que circula por cada una de las resistencias (intercalar el amperímetro en cada una de las ramas). Anotar los resultados. III) Circuito serie-paralelo • Montar el circuito de la figura 3. No aplicar potencial al montaje. • Medir y anotar la resistencia R12. Medir y anotar la resistencia R12,3 comprendida entre los puntos A y B. • Aplicar una tensión de c.c. de unos 12 V entre los puntos a y b. Medir y anotar dicha tensión, así como la existente entre los extremos de cada resistor y agrupación de resistores. • Medir y anotar la intensidad de corriente que circula por las ramas, así como la intensidad total. PARTE 2 1. Compruebe las leyes básicas respecto a resistencias equivalentes, intensidades y tensiones de los modos de conexión serie y paralelo. 2. Calcule la intensidad para el circuito serie y las intensidades de las ramas del circuito paralelo. Compare estos cálculos (medida y error) con los valores experimentales.

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