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Preparación de Olimpiadas RSME Bloque Geometría
Rosendo Ruiz Sánchez David Crespo Casteleiro
Los siguientes conceptos y resultados, sirven de ayuda para resolver los problemas de tipo geométrico que se plantean en las pruebas de las Olimpiadas. Además, algunas de las cuestiones que citamos en este compendio, no aparecen recogidas en los libros de texto convencionales y en el mejor de los casos se ven de manera superficial. 1. COSTRUCCIOES ELEMETALES CO REGLA Y COMPAS •
PRODUCTO DE SEGMENTOS
Consideremos los puntos A, B y C. Pretendemos un segmento cuya longitud sea el producto de las longitudes de CA y CB, es decir . La construcción está basada en el teorema · de Tales. 1. Calculamos un punto D sobre la semirrecta CB, que se encuentre a una unidad de C. 2. Unimos los puntos A y C. 3. Trazamos un segmento paralelo al AD y que pase por B. Tal segmento corta a la semirrecta CA en un punto que llamamos E. Por el Teorema de Tales, los triángulos CAD y CBE son semejantes y por lo tanto sus lados son proporcionales. Esto es:
· = ⇒ = 1 •
COCIENTE DE SEGMENTOS
Este problema es una variante del anterior. Consideremos los puntos A, B y C. Esta vez queremos obtener un segmento cuya longitud sea el cociente de las longitudes de CA y . CB, es decir / •
INVERSO DE UN SEGMENTO
= 1 Puede verse como cas particular del anterior tomando •
MEDIA PROPORCIONAL DE DOS SEGMENTOS
Sean A, O y B tres puntos alineados. Buscamos un punto C, de manera que =
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1. Trazamos una circunferencia cuyo centro sea el punto medio del segmento AB y que pase por ambos puntos. 2. Dibujamos la recta perpendicular al segmento AB y que pasa por O. 3. Esta recta corta a la circunferencia anterior en dos puntos, del que sólo nos interesa un que hemos nombrado por C. 4. El triángulo ACB es rectángulo en C, ya que es un ángulo inscrito y por lo tanto su amplitud es la mitad del ángulo central correspondiente que es de 180º. 5. Por el teorema de la altura · ⟹ = •
=
RAIZ CUADRADA DE UN SEGMENTO
Es un caso particular del anterior, pues se resume en tomar por ejemplo = 1 •
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otros dos. Por lo tanto, la mediatriz será una recta de puntos perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Obviamos su construcción pero la ilustramos con un dibujo.
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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo. Estos puntos se encuentran en una recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Obviamos su construcción pero la ilustramos con un dibujo.
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TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO
Son las rectas trazadas desde un punto y que cortan a la circunferencia en un único punto. Sea O el centro de la circunferencia sobre la que vamos a calcular las tangentes y A el punto desde el que se trazan. 1. Calculamos el punto medio del segmento AO, al que llamamos B.
2. Trazamos la circunferencia de centro B y radio . 3. Dicha circunferencia auxiliar, corta a la inicial en los puntos C y D, que son precisamente los puntos de tangencia. El ángulo que forman las tangentes y el radio de la circunferencia es recto.
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TANGENTES INTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS
Son las rectas que dejan a ambas circunferencias en distintos semiplanos. Hay dos soluciones, simétricas respecto de la recta que une los centros. Sean C y C’ dos circunferencias de centros O y O’ y radios r y r’ respectivamente. Trazamos el segmento OO’ que une los centros de las dos circunferencias. Dibujamos las rectas perpendiculares al segmento anterior que pasan por los centros de las dos circunferencias. La recta correspondiente al punto O corta a la circunferencia C en los puntos A y B, y la que corresponde a O’ corta a la circunferencia C’en D y E. 3. Ahora trazamos el segmento AE, que corta al segmento OO’ en el punto F. 4. Queremos dibujar ahora la circunferencia de diámetro FO’. Para ello podemos dibujar el punto medio G del segmento FO’. Esta circunferencia corta a la circunferencia C’en los puntos H e I. Estos son los dos puntos de la circunferencia C’ por los que pasarán las tangentes interiores. 5. Por último dibujamos las rectas que unen F con H y F con I, que son precisamente las tangentes interiores a las dos circunferencias. 1. 2.
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TANGENTES EXTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS
Son las rectas que dejan a ambas circunferencias en el mismo semiplano. Hay dos soluciones, simétricas respecto de la recta que une los centros. Sean C y C’ dos circunferencias de centros O y O’ y radios r y r’ respectivamente 1.
Trazamos ahora el segmento OO’, que une los centros de las dos circunferencias, y a continuación los segmentos perpendiculares a éste que pasan por esos centros. El correspondiente al punto O corta a C en el punto A y el de O’corta a C’ en B. 5
Trazamos ahora la recta que pasa por OO’ y la que pasa por AB. Estas dos rectas se cortan en un punto, al que llamamos D. 3. Ahora debemos dibujar una circunferencia de diámetro OD. Para ello calculamos el punto medio del segmento OD, al que notamos por F, y después representamos la circunferencia de centro este punto F y radio . Esta circunferencia corta a la circunferencia C en dos puntos, G y H, que son los puntos de C por los que pasarán las tangentes exteriores. 2.
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DIVISIÓN AUREA DE UN SEGMENTO
Dado un segmento de extremos A y B, queremos encontrar un punto X que cumpla que la parte total es a la mayor como esta a la pequeña. Esta división también se llama división en media y extrema razón. Algebraicamente esta relación se expresa como: =
Si tomamos el segmento XB como unidad, es decir, de longitud 1, y llamamos x a la longitud de AX, la longitud del segmento total AB será 1+x, y podemos escribir la proporción de esta forma:
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1 = ⟹ 1 = ⟹ 1 = 1 De las dos soluciones de esta ecuación de segundo grado, la positiva es =
1 = 1 1 ! ! "
Esta relación entre dos segmentos, se llama proporción áurea y aparece en multitud de situaciones. Para la división áurea de un segmento de extremos A y B procederemos como sigue: Construimos un cuadrado cuyo lado sea AB. Marcamos el punto medio M del lado BC y unimos A con M. 2. Con un compás, hacemos centro en M y con radio MB trazamos un arco hasta que corte al segmento AM, llamando a este punto N. 3. Haciendo centro en A y con radio AN, trazamos otro arco hasta que corte al segmento AB en el punto X. Este punto X divide al segmento original en dos partes cuya razón es el número de oro. 1.
2. ÁGULOS GULOS E LA CIRCUFERECIA •
ÁNGULO CENTRAL
Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. Si el radio de la circunferencia es la unidad, la medida del arco corresponde con el valor del ángulo expresada en radianes radianes. Es decir: # = $%&'()*+,-./%,
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ÁNGULO INSCRITO
Es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos rectas secantes. Su valor es la mitad del central correspondiente 0=
•
0
ÁNGULO SEMIINSCRITO
Es el que tiene el vértice en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente. Su valor es la mitad del central correspondiente 0=
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0
•
ÁNGULO EXTERIOR
Es el que tiene el vértice fuera de la circunferencia y los lados son dos secantes. Su valor es la semidiferencia de los dos arcos centrales. Este resultado sigue siendo válido si los lados del ángulo son tangentes a la circunferencia. 0= # = 1 2 ⇔
•
0 54 0 4
ÁNGULO INTERIOR
Es el que tiene el vértice dentro de la circunferencia y los lados son dos secantes. Su valor es la semisuma de los dos arcos centrales
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0= # = 1 2 ⇔
•
0 4 5 0
ARCO CAPAZ DE UN ÁNGULO DADO SOBRE UN SEGMENTO
Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve un segmento dado bajo ángulo constante. Por lo tanto es un arco de circunferencia. Dado un ángulo # y un segmento , queremos construir el arco capaz sobre AB. Veamos los pasos a seguir para su construcción. 1. Trazamos la mediatriz del segmento 2. Dibujamos una recta que pase por A y que forme con el segmento un ángulo #. Esta recta corta a la mediatriz calculada en 1 en un punto que notamos D. 3. Trazamos una perpendicular a la recta AD y que pase por A. El punto de corte entre esta perpendicular y la recta calculada en 1 es el centro de la circunferencia. 4. El arco capaz es el arco de la circunferencia de centro O y radio OA, desde A hasta B. •
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
Es aquel en el que existe una circunferencia que pasa por sus cuatro vértices. La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible es que dos ángulos opuestos sean suplementarios. 10
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CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIPTIBLE
Es aquel en el que existe una circunferencia que es tangente a sus cuatro lados. La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea circunscriptible es que los lados opuestos sumen igual. •
POLÍGONOS REGULARES
Un polígono regular de n lados (n-ágono) es el que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales, respectivamente. Se llama radio del polígono (y lo denotaremos por r) al de su circunferencia circunscrita Se llama apotema del polígono (y la denotaremos a) al segmento que une el centro de la circunferencia circunscrita, con el punto medio de cualquier lado. Denotando por l al lado del polígono, claramente se tiene . = permite conociendo dos de los elementos, conocer el tercero.
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- , relación que nos
El ángulo central # es el que tiene el vértice en el centro y sus lados sobre dos radios que unen vértices consecutivos. Llamando 1 al ángulo formado por dos lados consecutivos del polígono, se tiene: #= •
º , &
1=
& 1 º &
TEOREMA DE TOLOMEO
La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea convexo e inscriptible es que el producto de sus diagonales sea igual a la suma de los productos de los lados opuestos 3. PUTOS OTABLES E EL TRIAGULO Y PRIMERAS RELACIOES MÉTRICAS Consideremos un triángulo de vértices A, B y C •
MEDIATRICES, CIRCUNCENTRO
Una mediatriz de un triángulo, es cada una de las mediatrices de sus lados. Las tres mediatrices de un triángulo, se cortan en un punto llamado ortocentro, al que notaremos por O y que cumple: = =
Por lo tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita. El valor del radio r de tal circunferencia, puede ser obtenido aplicando el Teorema de los senos:
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= = = . 9:&, 9:&, 9:&,
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ALTURAS, ORTOCENTRO
Las alturas de un triángulo, son las rectas perpendiculares a un lado trazadas desde el vértice opuesto. Se cortan en un punto llamado ortocentro y que notamos H.
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BISECTRICES, INCENTRO
Las bisectrices de un triángulo, son las bisectrices de los ángulos de este. Se cortan en un punto llamado incentro, que notaremos por I. Por construcción, I está a la misma distancia de los tres lados del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita.
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EXINCENTROS
Para localizar estos puntos hay que trabajar con las bisectrices exteriores. Ocurre que dos bisectrices exteriores concurren en un puno con la bisectriz interior correspondiente al tercer punto. Estos puntos, que notaremos ; ; ;< , se llaman exincentros y son los centros de las circunferencias tangentes exteriores a un lado y a la prolongación de los otros dos. Tales circunferencias, se llaman circunferencias exinscritas. En el dibujo, en verde, se encuentran dibujadas las circunferencias exinscritas.
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TRIANGULO ÓRTICO
Un proceso en sentido opuesto al anterior, sería: dado un triángulo de vértices ABC, trazamos sus alturas. Al unir sus pies, se forma un triángulo de vértices = = =< que se llama triángulo órtico (dibujado en línea discontinua). Una propiedad de esta construcción, es que las bisectrices interiores del triángulo órtico, coinciden con las alturas del triángulo inicial.
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MEDIANAS, BARICENTRO
Las medianas son los segmentos que unen cada vértice con la mitad del lado opuesto. Además son concurrentes en un punto, llamado baricentro y que notaremos por G, que es el centro de gravedad del triángulo.
El baricentro divide a la mediana en dos partes, siendo la distancia del baricentro a un vértice el doble que a la mitad del lado opuesto. Usando la notación del dibujo: = >′ > > = >′ = >′ > •
RECTA DE EULER
En todo triángulo, el baricentro G, el ortocentro H y el circuncentro O están alineados siendo la distancia GH doble que GO.
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RECTA DE SIMSON
Si desde cualquier punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo distinto de los vértices se trazan perpendiculares a los lados del triángulo, los pies de estas perpendiculares están alineados formando la recta de SIMSON. •
CUADRADO DE UN LADO DE UN TRIÁNGULO
Queremos calcular el cuadrado del lado de un triángulo. En el caso de los triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras nos da la clave. Nos centramos entonces en los otros dos casos y aplicamos el teorema de Pitágoras al trazar la altura. a) El ángulo opuesto es agudo.
- = ℎ / @ = A @ / @ /@ = A / /@ b) El ángulo es obtuso
- = ℎ @ & = A @ / @ /@ = A / /@ Nótese que estas fórmulas son equivalentes al teorema del coseno - = A / A/,/%9,
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SUMA Y DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS LADOS DE UN TRIANGULO
Consideremos un triángulo en el que hemos trazado la mediana y la altura que parten desde el vértice C, que cortan al lado AB en los puntos M y H respectivamente.
Si aplicamos el resultado anterior a los triángulos AMC y MBC se tiene: / / 4= - = B C 4 / / 4= A = B C 4 Sumando y restando miembro a miembro las igualdades anteriores obtenemos / E F1G,,,,,,,,,,, A - = DB C 4
,,FG,,, A - = /4=
De estas fórmulas podemos obtener dos consecuencias: a) Si despejamos en [1] el valor de la mediana, tendremos su valor en función de los lados: A - / = H 4 B C b) Si fijamos los vértices A y B, obtenemos el lugar geométrico de los puntos cuya suma o diferencia de distancias a l cuadrado a dos puntos fijos es constante. I.
Para que la suma de los cuadrados sea constante siendo C variable (pues en caso contrario el triángulo sería constantes), debe ser constante la mediana. Así el lugar geométrico pedido es una circunferencia de centro el punto medio del lado AB y radio la mediana.
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II.
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Para que la resta sea constante, siendo C variable, debe ser constante el segmento MH (la altura). Así C debe moverse en una recta perpendicular al lado AB.
TEOREMA DE STEWART
Es una generalización de la fórmula [1] anterior cuando CM no es una mediana. Observemos el siguiente dibujo:
Aplicando el resultado anterior a los triángulos MAC y MCB respectivamente, tenemos: A = 9 ) )I - = 9 * *I Despejando v de una de las ecuaciones, al sustituir en la otra y operar quedaría - ) = 9 ) * ) *A *9 *) - ) = 9 * ) *) * ) *A
Teniendo en cuenta que c=u+t, aparece la expresión final del resultado: / 9 *) = A * - ) •
TEOREMA DE CEVA
Se llaman cevianas a las rectas que parten de un vértice y cortan al lado opuesto. Claramente medianas, bisectrices y alturas, son casos particulares de cevianas. El siguiente resultado nos aporta una condición necesaria y suficiente para que las tres cevianas concurran en un punto. Para ello consideremos el siguiente triángulo en el que se han trazados tres cevianas.
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Las cevianas se cortan en un punto si y sólo si
K L J · · =1 J K L
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TEOREMA DE MENELAO
Sean X, Y y Z puntos respectivamente sobre los lados BC, AC y AB (o sus prolongaciones). Entonces, una condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que M N · · =1 M N
4. RELACIOES MÉTRICAS E LA CIRCUFERECIA •
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Consideremos una circunferencia C y P un punto cualquiera del plano. Trazamos por P tres rectas secantes a C en los puntos que indica el siguiente dibujo:
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· K O = KQ · K · KQ O Entonces se verifica: K KO = K Es decir, que el valor del producto no depende de la recta considerada, sino del punto P (nótese que si P es un punto de C, este product producto es cero). Este valor constante de los productos, nos permite definir la potencia de un punto · K O para cualquier recta que respecto de una circunferencia como el producto K corte a C en y en O . Hay dos casos de especial importancia: llas as rectas que pasan por el centro de la circunferencia O y la que es tangente a la circunferencia en un punto T.
, obtenemos las siguientes expresiones: Llamando + = K y . = P · K K O = + . + .
= + . = KP
Dependiendo de si el punto P es exterior a la circunferencia, está contenido en ella o bien es interior, la potencia será positiva, cero o negativa respectivamente. 20
•
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dadas dos circunferencias C y C’, con centros O, O’ y radios r, r’ respectivamente, queremos encontrar todos los puntos del plano que tengan la misma potencia respecto de las dos circunferencias. Razonando como antes y llamando d y d’ a las distancias de P a O y O’ respectivamente, un punto P verifica esta condición si y sólo si:
+ . = + ′ . ′ ⇔ + + ′ = .′ . Podemos concluir que los puntos que buscamos están en una recta perpendicular a la recta que une los centros. Tal recta se llama eje radical de las dos circunferencias dadas. •
CONSTRUCCIÓN DEL EJE RADICAL
Bastará con encontrar un punto de igual potencia respecto de ambas circunferencias y trazar por él una perpendicular a la recta que une los centros. Para ello distinguimos cuatro casos: a) Si las circunferencias son secantes o tangentes, tomaremos como punto del eje uno común a ambas. b) Si las circunferencias son exteriores, trazamos una tangente a ambas, y tomamos como punto, el punto medio del segmento que une los puntos de tangencia c) Si las circunferencias son interiores, trazamos una circunferencia auxiliar que corte a ambas. Calculamos el eje radical de esta con cada una de las primeras, y tomamos como punto el corte de los ejes radicales. d) Si las circunferencias son concéntricas, no hay eje radical. •
CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS
Partimos de tres circunferencias y queremos averiguar el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres. Para ello construimos dos de los ejes radicales y el punto buscado será la intersección de estos ejes. •
CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES
La idea de ángulo de dos rectas, se puede extender al ángulo formado por dos curvas, sustituyendo las curvas por las rectas tangentes en el punto donde se quiera calcular el ángulo (generalmente donde se cortan). Con esta idea, diremos que dos circunferencias C (de centro O y radio r) y C’ (de centro O’ y radio r’) son ortogonales, si se cortan bajo un ángulo de 90º. Dibujamos esta situación para ilustrarla:
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Los siguientes resultados son equivalentes: 1. C y C’ son ortogonales. 2. Los radios de las circunferencias en los puntos de intersección son perpendiculares. 3. La distancia d, entre los centros cumple: + = . .′ . 4. La potencia del centro de cada circunferencia respecto de la otra es su propio radio al cuadrado. •
HACES DE CIRCUNFERENCIAS Y HACES ORTOGONALES
Se deja al lector para su consulta. 5. RELACIOES MÉTRICAS E EL TRIÁGULO En los siguientes epígrafes, vamos a calcular siempre en función de los lados, lados todos los elementos vistos hasta ahora. Usaremos la siguiente notación: -
A, B y C denotarán los vértices. A, b y c serán los lados opuestos. H el ortocentro. G el baricentro. I el incentro. O el circuncentro. R el radio de la circunferencia circunscrita. r el radio de la circunferencia inscrita. 2p el perímetro S el área.
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LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
Partimos de un triángulo ABC al que le trazamos su circunferencia circunscrita siendo su circuncentro el punto O. La bisectrices interiores AI, BI, CI se cortan en el incentro I, y las exteriores que determinan los tres exincentros R S T de modo que ABC es el 22
triángulo órtico de R S T ya que las bisectrices interiores de ABC son alturas de R S T por la perpendicularidad de las bisectrices interiores respecto de las exteriores. Los puntos O O y O bisecan los arcos BC, CA y AB respectivamente y por ellos pasan tanto las mediatrices de los lados del triángulo ABC. Por otra parte, los puntos I, B, R , C son concíclicos y la circunferencia que pasa por ellos tendrá centro en O y diámetro ;R por ser rectos los ángulos IBR y R CI y estar O en la mediatriz de BC. LuegoO es el punto medio del segmento IR .
De forma análoga, se puede probar que O es el punto medio de IS y O es el punto medio de IT .
Repitiendo los razonamientos anteriores, podemos afirmar que: La circunferencia que pasa por los pies de las alturas contiene a los puntos medios de los lados y a los puntos medios de los segmentos determinados por el incentro y cada vértice Esta circunferencia (trazada para el triángulo R ,S ,T ) se llama circunferencia de los nueve puntos, circunferencia de Feuerbach o circunferencia medial del triángulo dado.
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PROPIEDAD MÉTRICA DE LAS BISECTRICES
En un triángulo ABC trazamos la bisectriz interior CD. Sobre la prolongación del lado AC, y hacia el exterior del triángulo, se ha llevado un segmento de longitud a que determina el punto E. El triángulo BCE es isósceles por lo que CF, mediatriz de BE, es también la bisectriz exterior t DC es paralelo a BE. Los triángulos ADC y ABE son semejantes y se tiene: Q / Q = = ,,,,F1G A -A
Luego la bisectriz interior divide al lado opuesto en dos partes proporcionales a los lados que concurren con ella. Despejando los dos segmentos se obtiene: = Q
/·A -A
Q =
/·-A
Para la bisectriz exterior tenemos una construcción análoga llevando un segmento de longitud igual al lado a sobre el lado AC a partir de C y hacia la izquierda determinando el punto L. Así: LCB es isósceles, luego la mediatriz CD de LB es también bisectriz y LB es paralelo a BF con lo que los triángulos ALB y ACF son semejantes y sus lados proporcionales: / = = ,,,, A A-
Despejando, tenemos la misma propiedad que para la bisectriz interior =
/·A A-
Q =
/·A-
Una aplicación consiste en hallar el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a otros dos puntos fijos es constante. •
CÁLCULO DE LAS BISECTRICES
En la figura adjunta, se ha trazado la bisectriz interior que parte de C en el triángulo ABC, la circunferencia circunscrita y el punto M de intersección de éste con la prolongación de la bisectriz. Queremos hallar la longitud del segmento CD en función de los lados a, b y c.
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Los triángulos MAC y DBC son semejantes, ya que tienen los ángulos iguales. Por lo tanto: Q · 4 = Q · Q 4Q Q · Q = Q = ⇔ - · A = Q A 4
La última igualdad se debe a que ambas expresiones son la potencia de D respecto de la circunferencia. Sustituyendo los segmentos DA y DB del epígrafe anterior, tenemos: -A = Q
/ -A / -A = -A ⇔ Q - A - A
Teniendo en cuenta que - A / = U y despejando, se tiene: Q =
•
V-AU U / -A
RADIOS DE LAS CIRCUNFERENCIAS INSCRITA Y EXINSCRITAS
Si notamos LR LS LT los radios de las circunferencias exinscritas tangentes a los lados del triángulo, se puede demostrar que: LR = H
U U A U / U U - U / U U - U A LS = H LT = H UUA U/
Y el radio de la circunferencia inscrita viene dado por: U - U A U / .=H U
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CÁLCULO DE LAS MEDIANAS
Establecimos fórmulas para la suma y la diferencia de los cuadrados de los lados, de las que podemos despejar el valor de las medianas. Notando por W W W las medianas que parten de los vértices A, B y C, se tiene: H W = •
A / - !
W = H
- / A !
- A / X = H !
FÓRMULAS PARA EL ÁREA
Vamos a ver distintas fórmulas para calcular el área de un triángulo. Consideremos un caso en el que hemos trazado la altura sobre el lado a.
Y=
-ℎ -/,9:& -/V1 /%9 = =
Despejando de la fórmula del teorema del coseno y sustituyendo en la anterior: /%9
-/V1
- / A E -/ H1 D -/
-/ Z
-/ - / A -/
= = -/ V -/ - / A -/ = V -/ - / A -/ - / A = ! VF - / A GFA - / G = ! V - / A - / A A - / A - / = !
Teniendo en cuenta la notación advertida
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- A / = U / U = - A / ⇒ [ / A = U A \ A / - = U Sustituyendo se tiene VU U A U / U - V1 U U - U A U / = ! ! = VU U - U A U / Finalmente se tiene la conocida como fórmula de Herón para el cálculo del área Y = VU U - U A U / •
FORMULAS PARA LA ALTURA
Sustituyendo en la expresión Y = ℎ =
R]^
la fórmula de Herón y despejando se tiene
VU U - U A U / -
Por simetría en la fórmula tenemos las correspondientes a los otros lados, es decir: ℎ = •
VU U - U A U / A
ℎ< =
VU U - U A U / /
RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
Consideremos la figura adjunta, donde hemos trazado la mediatriz OM del lado AC y la altura trazada desde C, NC. Los ángulos NBC y MOC son iguales por ser uno inscrito en un arco doble que el otro. Por construcción los ángulos BNC y OMC son rectos. Por lo tanto los triángulos BNC y OMC son semejantes. Estableciendo la proporcionalidad entre los lados: L A/ -A = ⇔L= ℎT ℎT Sustituyendo el valor obtenido en el epígrafe anterior para la altura L=
-A/
!VU U - U A U /
Terminamos la sección dando tres resultados clásicos, cuya demostración puede ser consultada por el lector
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TEOREMA DE EULER
Este resultado establece la distancia entre el incentro y el circuncentro en función de los , se tiene: radios de las circunferencias inscrita y circunscrita. Llamando a esta + = ; + = L L.
Una consecuencia inmediata es ≤ + = L L. = L L . ⇔ L . ≥ ⇔ L ≥ . Esta última expresión es conocida con el nombre de desigualdad de Euler. •
TEOREMA DE MORLEY
Si en un triángulo ABC trisecamos los tres ángulos, los puntos de intersección XYZ de las tres rectas trisecantes adyacentes forman un triángulo equilátero
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TEOREMA DE NAPOLEÓN
Los centros PMN de los triángulos equiláteros construidos hacia el exterior sobre los lados de un triángulo cualquiera ABC forman un triángulo equilátero
•
DESIGUALDADES CON LOS LADOS
A. Desigualdad triangular: Cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. B. 3(bc + ca + ab) ≤ (a + b + c)2 < 4 (bc + ca + ab) RST C. (p-a) (p-b) (p-c) ≤ a Siendo válida la igualdad si y solo si el triángulo es equilátero. D. R ≥ 2r b R + E. ≤
ScT
S
RcT
+
T
RcS