MÓDULO MATEMÁTICA

Fundamentación

La Matemática es una ciencia dinámica, siempre inserta en la historia de la humanidad como ciencia autónoma y como instrumento para otras ciencias, unida al desarrollo tecnológico e íntimamente ligada a la filosofía por su reflexión teórica. La Matemática se ha incluido en toda propuesta curricular, no sólo por el valor y finalidad de sus contenidos específicos, sino también por sus aportes para el desarrollo del razonamiento lógico. En este sentido, cabe señalar que la educación matemática tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los estudiantes tanto en forma individual como en grupos. "Es necesario que los alumnos adquieran habilidades sociales, que les permitan trabajar y resolver dificultades en grupos heterogéneos, con personas de diferentes capacidades que ellos. Debemos formar ciudadanos sanamente escépticos, inquietos, con gran curiosidad y ganas de aprender, y con recursos propios para poder hacerlo. El reto está ahí (…) es necesario saber afrontarlo..."1 En el intento de lograr alfabetizarlos académicamente, los estudiantes deberán fortalecer procesos típicos del pensamiento matemático ya adquiridos o incorporar otros nuevos, comunicarlos y compartirlos para lo cual se enfatizará el conocimiento y el empleo de estrategias de resolución de problemas, es decir se promoverá que los estudiantes aborden estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus pares, expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de otros, acepten críticas así como otros puntos de vista. El Proceso de Aprendizaje de la Matemática, en el contexto de la Universidad, debe constituir una instancia en la que el futuro profesional interactúe con el conocimiento matemático de un modo constructivo que le permita apropiárselo y, simultáneamente, le proporcione la vivencia de que él también es un productor generador de dicho conocimiento; es esta vivencia la que le permitirá revalorizarse como sujeto activo de su propio proceso de formación. Las competencias de resolución de problemas son el eje de la actividad matemática. Estas competencias se desarrollan mediante el tratamiento de ciertos contenidos por su valor instrumental ante las demandas científicas, tecnológicas, sociales y éticas, de este tiempo. En consecuencia, la formación del futuro profesional, la búsqueda de ejes de articulación e integración entre contenidos y métodos, conocimientos y procedimientos, saberes científicos y saberes de construcción posibilitan la evolución de la estructura del pensamiento.

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Claudi Alsina en “El curriculum de matemática en los inicios del siglo XXI”, 2000 1

Presentación del módulo Bienvenidos/as a esta joven casa de estudios que, a partir de hoy, esperamos que sientan suya. Entre otros preparativos que ya habrán advertido, pensamos en este módulo acorde con la fundamentación del área, para que juntos comencemos a repasar algunos contenidos que trabajaron en la escuela secundaria, pero además estas páginas tienen otro objetivo: comenzar a prepararlos para el estilo de trabajo que se espera que desarrollen en el ámbito académico superior. Por supuesto que la asimilación del estilo de trabajo habitual en una Universidad no se adquiere de la mañana a la noche y por eso este módulo y todo el trabajo que vamos a desarrollar juntos durante el curso introductorio es una pequeña muestra del mismo (como para “empezar”) y esperamos continuar con esta tarea durante todo el primer año en forma explícita y durante toda la carrera en la habitualidad de la vida académica. En este marco es conveniente contarles algunas características del material que tienen en sus manos de manera que no se sorprendan al encontrarse con la propuesta y puedan aprovecharla de la mejor manera. Antes de empezar queremos que sepan que estamos concientes de que la Matemática suele considerarse una de las materias más difíciles y por ahí es cierto: es una materia que necesita que le presten mucha atención. Pero históricamente es fruto del trabajo sostenido de muchas personas. Personas como ustedes y como nosotros. Es cierto que entre las personas algunas son capaces de lograr genialidades con lo que todos manejamos cotidianamente pero también es verdad que no es necesario ser un genio capaz de inventar un teléfono celular, para usarlo en forma competente. Es decir: la Matemática es una creación humana y como tal es accesible a todos. Está a su disposición para que la aprendan, la dominen y la apliquen cuando la necesiten. Continuando con el módulo, en primer lugar se han pensado seis bloques que serán los ejes de trabajo en cada encuentro:

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Bloque 1: Números y operaciones

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Bloque 2: Polinomios

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Bloque 3: Funciones - Función lineal

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Bloque 4: Función lineal II

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Bloque 5: Función cuadrática

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Bloque 6: Trigonometría

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Los bloques tienen una estructura que progresivamente irán incentivando una forma de trabajo autónomo. En cada uno de ellos encontrarán multitud de actividades que les permitirán -

Recordar los contenidos involucrados

En este caso, se trató de secuenciar las actividades para que repases. -

Aplicar esos contenidos en la resolución de problemas

Existen tres tipos de estas actividades: ejercicios, desafíos y problemas. En cada tipo de actividades tendrán la oportunidad de poner en juego sus conocimientos. Los desafíos suelen ser problemas al interior de los contenidos trabajados, no son tan difíciles, en todos se han incluidos algunas ayudas, pero lo importante es que se “animen” con ellos y traten de lograr algo aunque tengan que realizar consultas entre ustedes o con el profesor para lograr continuar. En el caso de los problemas es posible que, además de conocer los contenidos necesarios para resolverlos, tengan que usar una cuota de ingenio para poder interrelacionarlos y lograr una solución aunque sea provisoria. -

Distinguir cuestiones que es importante que consulten y estudien

Permanentemente aparecen recuadros o señalamientos que es importante que tengan en cuenta a la hora de estudiar. Recuerden que este módulo es de ustedes y que resultará conveniente que se adueñen de él para realizar anotaciones de cuestiones que les parezcan importantes y que amplíen de forma personal lo que sugerimos que estudien. Esta es una propuesta que esperamos mejorar después de ponerla en acción con su ayuda, por lo que esperamos que lo utilicen lo mejor que puedan y realicen consultas para que podamos hacer cambios para beneficio de quienes mañana serán tus compañeros. Les agradecemos su trabajo, el empeño que, estamos seguros, van a poner en esta empresa y que nos hayan elegido para continuar sus estudios.

Los profesores de Matemática

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BLOQUE 1: Números y Operaciones Introducción En este bloque recordaremos los distintos conjuntos numéricos, su representación en la recta numérica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Ésta es una de las etapas en la que haremos un recorrido por conocimientos ya adquiridos, por lo tanto no se preocupen, todo esto ya lo vieron, tenemos ahora la oportunidad de revisar juntos todo lo que ya saben. La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al “lenguaje matemático” para resolver situaciones problemáticas, es decir que repasen el trabajo de resolución de ecuaciones e inecuaciones logrando reconocer los tipos de números que estén involucrados en ese trabajo.

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Guía de trabajo nº 1 Conjuntos numéricos •

Introducción

Desde que el hombre tiene memoria siempre se ha manejado con cantidades, siempre ha contado. Contando es como aparece el primer concepto de número, es así como surgen los números naturales (N). En el conjunto de los números naturales pueden realizarse sin problemas operaciones como la adición y la multiplicación. Esto quiere decir que la suma de dos números naturales es siempre natural lo mismo sucede con los productos. Pero no todas las operaciones son así. Por ejemplo la resta de dos números naturales da un número natural siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo, de lo contrario la sustracción no sería posible. Es decir: 187 – 35 = 152 En este caso la sustracción es posible en el conjunto de los naturales ya que 182 > 35, pero si intercambiamos minuendo y sustraendo: 35 – 182 = ¿? No existe ningún número natural que sea resultado de esta sustracción. Para que la sustracción no quede “incompleta” (ya que son infinitos los casos en los que puede suceder esto) se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números enteros (Z) en el que se agrega a los naturales el cero y los números negativos. Cada número negativo es opuesto de uno positivo, es decir, la suma entre ambos es cero. Ahora si: 35 – 182 = -152 Esto tiene su aplicación en otras ciencias: Por ejemplo, en Física que asigna el “cero” para el punto de congelación del agua. Las temperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y las inferiores son las temperaturas negativas. Del mismo modo se procede para “completar” la división: el cociente es entero siempre y cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Por esos infinitos casos en los que la división no es posible en el conjunto de los números enteros se creó un nuevo conjunto numérico que amplía el de los enteros agregando las fracciones: El conjunto de los números racionales (Q). Ahora: -196 : 36 = -4 porque -196 es múltiplo de 36 y… 3 : -4 = - ¾ ya que 3 no es múltiplo de -4 Cuando en Física surge la necesidad de medir magnitudes, que no son exactas, se usan números racionales. Un número racional es todo aquel número que se puede expresar como un cociente de dos números enteros. Pero allí estamos en presencia de otro problema: hay algunos números que no pueden escribirse como fracciones (es verdad… aunque usted no lo crea) Por ejemplo 2 : Sabemos que 2 no es un número entero ya que no hay ningún entero que elevado al cuadrado de 2. Supongamos entonces que 2 es racional, es decir:

2=

a b

Donde: 5

1. a y b son números enteros 2. b no es cero ¿por qué? 3. a no es múltiplo de b ¿por qué? Entonces:

2=

a2 b2

y… 2

2.b 2 = a 2

Con lo cual a debería ser múltiplo de b2 y para que eso suceda a debería ser múltiplo de b lo que contradice lo que dijimos en 3. Esta contradicción provino de suponer que 2 era racional, y por lo tanto no lo es. 2 es un número irracional Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos raíces como 2 que no son exactas, tienen infinitas cifras decimales no periódicas y, por lo tanto no pueden expresarse como fracciones. Para esos casos se usan los números llamados irracionales. Los números irracionales se agregan a los racionales para formar el conjunto de los números reales (R) Existen números irracionales muy conocidos en el mundo de la matemática como el número Pi, el número e y el número de Oro. Hasta aquí ya hemos completado el conjunto de los números Reales, que está formado por los números Racionales y los números Irracionales. Es así que a cada momento, cuando leemos algún artículo, cuando debemos realizar alguna compra o alguna medición siempre encontramos representantes de los diferentes conjuntos numéricos. El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna información más:

Será conveniente que, después de leer, consulten las dudas que tengan sobre la información que brindan el texto y el cuadro. Ahora les proponemos algunas actividades:

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Actividad 1 Teniendo en cuenta los conjuntos numéricos, escriban V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. Justifiquen sus respuestas. (a) 1950 es un Número Real. (b) El número 11,68 es un número entero. (c) El número 3,5 se puede expresar como cociente de dos números enteros, por eso se trata de un número racional. (d) -3 es un número natural. (e) Todo número natural es entero. (f) Todo número entero es natural. (g) Los múltiplos de 11 son números enteros. (h) La raíz cuadrada de de cinco es racional.

Actividad 2 Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales o irracionales. Ayuda: a veces resultará útil aplicar propiedades de la radicación (a) 2 +

3

(b)

2+7

(c)

5+ 7

(d)

10

(e)

2. 8

(f)

6. 6

Siempre se aprende algo nuevo Recordemos que Todos estos tipos de números se pueden representar en la llamada recta numérica. Vamos a ver con un ejemplo como representar algunos irracionales ya que los racionales son de representación “más sencilla” Por ejemplo: Representar en la recta numérica

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Procedimiento: 1- trazamos una circunferencia con centro en 2,5 que pase por cero. Es decir, el diámetro es 5 que es el número del que buscamos la raíz 2- trazamos una perpendicular a la recta numérica que pase por 1, esta perpendicular corta a la circunferencia en a. 3- La distancia desde 0 hasta a es

5 . Compruébenlo

4- Usando el compás trasladamos

5 sobre la recta numérica

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Intervalos numéricos En el conjunto de los números reales se pueden definir intervalos como por ejemplo [-2; 5) que incluye todos los números que están entre el -2 y el 5 , incluyendo al 2 pero sin incluir al 5.

Actividad 3 Coloquen para cada raíz cuadrada los números enteros consecutivos entre los cuales se encuentra el resultado de la misma. (a) _____< 17