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Prismas 1 Escriban los nombres de tres objetos que tengan forma de prismas. A
2 De las dos figuras dadas, la de la izquierda es la imagen de un prisma de base triangular. Se pueden observar sólo 2 de sus 5 caras y 5 de sus 6 vértices, señalados con puntos rojos. La figura que está a su derecha representa el mismo prisma, pero sus caras son transparentes. Allí se pueden ver todos sus vértices y todas sus caras. Observen los siguientes prismas; utilicen la versión transparente para contar sus vértices y señálenlos con puntos rojos. B
C
3 El prisma transparente de la actividad anterior también se puede utilizar como guía para contar las aristas de la figura. En este prisma, 3 de sus aristas fueron marcadas con verde. Señalen con otro color las demás aristas y determinen cuántas son en total. 4 Cuenten las aristas de los prismas de la actividad 2. 5 Irina pintó una de las caras de un prisma y la apoyó sobre un papel, donde dejó esta marca:
¿De qué tipo de prismas puede tratarse? Nombren dos.
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Pirámides 6 Indiquen a qué pirámide corresponde cada desarrollo. B
A
C
1
2
3
4
7 Completen la tabla. Base de la pirámide
Número de lados de la base
Número de aristas de la pirámide
Triangular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal Octogonal
8 Si una pirámide tiene como base un polígono de 42 lados, ¿cuántos vértices tiene? ¿Y aristas? 9 Una pirámide tiene 7 vértices. ¿Cómo es la base de la figura?
Sugerencias para estudiar P
Dibujar un polígono regular Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos de la misma medida se llaman polígonos regulares. Algunos, como el hexágono regular (seis lados), pueden construirse utilizando regla y compás.
Paso 1. Tracen una circunferencia y marquen un punto sobre ella. Sin cambiar la P
abertura del compás, fíjenlo en ese punto y tracen un arco sobre la circunferencia, para obtener el punto P.
Paso 2. Ahora fijen el compás en el punto P y, con la misma abertura, tracen otro arco; obtendrán un nuevo punto. Repitan esta operación hasta dar la vuelta completa a la circunferencia. P
2
Paso 3. De esta forma, obtienen seis puntos sobre la circunferencia, que son los vértices del hexágono regular. Utilizando una regla, unan esos vértices.
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Polígonos y poliedros regulares 10 Utilicen compás y transportador para decidir cuáles de los siguientes polígonos son regulares.
11 Consulten las primeras páginas del tema e indiquen a qué poliedro regular corresponde cada uno de los siguientes desarrollos planos.
12 Con los desarrollos planos de la actividad anterior, pueden construirse los 5 poliedros regulares, con cartón o madera. Utilizando alguno de los modelos propuestos en todo el tema, completen la siguiente tabla. Poliedro regular
Número de caras (C)
Número de aristas (A)
Número de vértices (V)
Tetraedro
Caras + Vértices - Aristas (C + V - A)
Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
¿A qué conclusión pueden llegar? 13 Desde hace 2 300 años, se sabe que solo existen 5 sólidos regulares (los de la actividad 12). Si toman dos tetraedros regulares iguales y los pegan haciendo coincidir dos de sus caras como muestra la figura, obtienen un poliedro con seis lados que son triángulos equiláteros iguales. ¿Por qué este nuevo cuerpo no es un sólido regular? Construyan con cartulina ese poliedro para observar sus características.
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Cuerpos redondos 14 Nombren 3 objetos que tengan forma cilíndrica, 3 que tengan forma cónica y 3 que sean esféricos. 15 Averigüen a qué se llama “cono de sombra lunar”. 16 ¿Qué cuerpo se obtiene al girar el siguiente triángulo rectángulo? ¿Y al girar el rectángulo?
17 Sandra y Lorena creen que al girar un círculo pueden obtener una esfera. Sandra propone pegar una varilla que pase por el centro del círculo, y luego girar la varilla. Lorena, por su parte, propone pegar la varilla a un punto de la circunferencia y luego girarla. ¿Es cierto que las dos obtienen una esfera? 18 A cada una de estas esferas se le cortó una parte. Unan, mediante flechas, las partes que forman esferas. A
1
C
B
2
3
19 La esfera se utiliza para gran diversidad de juegos y deportes. Reúnanse en grupos y escriban un listado de todos los que conocen. ¿Cuántos pudieron nombrar?
4
D
4
E
5
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Actividades integradoras 20 En los dados que se usan habitualmente para jugar a distintos juegos, las 6 caras están numeradas del 1 al 6, de tal manera que las caras opuestas siempre suman 7. ¿Cuánto suman en cada caso las caras que están tocando la mesa?
a.
b.
c.
21 ¿Cuál de los cubos se formó al plegar el desarrollo?
A
B
C
D
22 En la actividad 14 observaron que en los poliedros regulares se cumple esta condición: Caras + Vértices - Aristas = 2.
Verifiquen si esta igualdad, llamada fórmula de Euler, se cumple en el cuerpo dibujado a la derecha.
23 ¿Puede una pirámide tener todas sus caras iguales? 24 ¿Es posible construir una pirámide que tenga 25 aristas? ¿Por qué? 25 Determinen de qué cuerpo geométrico se trata, según las características indicadas. Tiene 2 bases, que son heptágonos. Las caras laterales son rectángulos. Es un cuerpo redondo con una sola base. No tiene vértices.
y
Tiene una base, que es un rectángulo, y sus caras laterales son triángulos. Tiene 2 bases, que son triángulos. Sus caras laterales son rectángulos. No tiene vértices. No tiene bases.
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Para hacer con mate Un hexágono de origami El origami es un antiguo arte de origen japonés que consiste en realizar figuras mediante el doblado de papel. Esta tradición, reservada en un principio a la nobleza, tiene como uno de sus objetivos desarrollar la calma y la paciencia en quienes la practican. En esta actividad, les proponemos construir un hexágono regular sin regla ni compás, utilizando la técnica del origami.
1. Corten una tira larga de papel de
2. Doblen hacia arriba en cualquier
color:
ángulo:
3. Desdoblen:
4. Doblen hacia abajo siguiendo el doblez anterior:
5. Desdoblen nuevamente:
6. Vuelvan a doblar hacia arriba siguiendo el doblez anterior:
7. Desdoblen nuevamente:
8. Otra vez doblen hacia abajo siguiendo el doblez anterior:
9. Desdoblen:
10. Continúen doblando alternativamente hacia arriba y hacia abajo, siempre siguiendo el doblez anterior:
11. Corten los triángulos irregulares de las puntas. Plieguen por los lados marcados en rojo y quedará armado el hexágono.
Así queda el hexágono terminado.
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El baúl matemático Los cuerpos en la pintura del Renacimiento La pintura muestra al fraile franciscano Luca Pacioli dictando una lección de geometría. Luca Pacioli se dedicó a la matemática y trabajó, en colaboración con Leonardo Da Vinci, en un famoso tratado de geometría llamado La divina proporción. El retrato que ven en esta estampilla italiana, hecha en conmemoración de los 500 años de la publicación de su obra Suma de aritmética, geometría, proporción y proporcionalidad, muestra a Pacioli realizando una construcción geométrica. En la mesa, además de su libro y un reloj de arena, pueden verse un dodecaedro y un modelo esférico.
Figuras imposibles M. C. Escher (Holanda, 1898-1972) fue un importante artista plástico que, sin ser matemático, reflejó en su obra parte de las ideas matemáticas modernas. Muchos de sus dibujos con perspectivas imposibles presentan poliedros como elementos de su composición. En la terraza de este castillo pintado por Escher, por ejemplo, hay dos hileras de monjes. Unos bajan y bajan, pero siempre regresan al mismo lugar; mientras tanto otros, por la misma escalera, suben infinitamente. Por más que sepamos que eso es imposible, el dibujo está tan bien hecho que engaña nuestra razón.
Los prismas y la luz Al hacer pasar un rayo de luz por un prisma de cristal, se produce un efecto óptico que da como resultado un haz con una dirección diferente de la original y con sus componentes separados. Es el mismo efecto que se produce en la naturaleza cuando se forma el arco iris.
Descomposición de la luz al pasar por un prisma de cristal.
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