PROBABILIDAD EXPERIMENTOS ALEATORIOS Experimento determinista y aleatorio

• •

Un experimento aleatorio tiene un resultado impredecible al repetirlo en condiciones similares. Un experimento determinista tiene un resultado predecible al repetirlo en condiciones similares.

Espacio muestral El espacio muestral de una experiencia aleatoria está formado por el conjunto de resultados posibles al realizar el experimento. Pueden ser de tipo discreto (finito o infinito) o continuo. Lo designamos con E.

EJEMPLOS 1.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire un dado y observar el resultado. Resolución: Al lanzar un dado al aire los posibles resultados son las seis caras existentes en el dado. El espacio muestral asociado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire dos monedas a la vez. Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el diagrama en árbol de sucesos. El espacio muestral es: E = { (C, C), (C, X), (X, C), (X,X) }

SUCESOS 1.- Definiciones •

Suceso elemental es cada uno de los posibles resultados de una experiencia aleatoria, se designan mediante una letra mayúscula: A, B, C, ... Los sucesos elementales están formados por un único elemento del espacio muestral.

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Suceso o suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral que tiene más de un elemento. Un suceso compuesto se puede descomponer en otros sucesos, es decir está formado por más de un elemento del espacio muestral.

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Espacio de sucesos es el conjunto formado por todos los sucesos (subconjuntos del espacio muestral). Se designa con P(E) o S. Si el espacio muestral tiene n elementos, el espacio de sucesos S tiene 2n elementos.

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Un suceso se verifica cuando al realizar la experiencia aleatoria el resultado obtenido es uno de los que componen dicho suceso.

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Un suceso no se verifica cuando al realizar la experiencia aleatoria correspondiente, el resultado obtenido no es uno de los que componen dicho suceso.

PROBABILIDAD

1

•

Suceso imposible es aquel suceso que no se realiza nunca. Se designa por φ.

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Suceso seguro es aquel que siempre se cumple. Está formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, coincide con el espacio muestral E.

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Sucesos compatibles son aquellos que pueden darse simultáneamente, ya que la realización de uno no impide la realización de otro. Si dos sucesos A y B son compatibles tienen intersección no nula. A ∩B ≠ φ

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Sucesos incompatibles son aquellos que no pueden darse simultáneamente ya que la realización de uno impide la realización de otro. Si dos sucesos A y B son incompatibles tienen intersección nula. A∩B = φ

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Suceso contrario de A es el suceso A que ocurre cuando no se verifica A. 1.- E = φ 2.- Φ = E

EJEMPLOS 1.- Halla el espacio muestral y el espacio de sucesos del experimento lanzar al aire una moneda y observar el resultado obtenido. Resolución: • Espacio muestral es E = { C, X} • Espacio de sucesos es S = {Φ, {C}, {X}, {C, X} } 2.- En el experimento aleatorio “lanzamiento de un dado” enuncia dos sucesos compatibles y dos incompatibles. Resolución: Son compatibles: • A = “que salga par” = {2, 4, 6} • B = “que salga múltiplo de tres” = {3, 6} Como A∩B = {6}, ambos pueden verificarse a la vez. Son incompatibles: • A = “que salga par” = {2, 4, 6} • B = “que salga impar” = {1, 3, 5} • Puesto que A∩B = φ, ambos no pueden verificarse simultáneamente.

OPERACIONES CON SUCESOS Unión de sucesos Dados dos sucesos A y B, llamamos unión de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales comunes y no comunes de A y B y lo expresamos como A∪B.

Intersección de sucesos Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales comunes de A y B y lo expresamos como A∩B.

Diferencia de sucesos Dados dos sucesos A y B, llamamos diferencia de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales de A que no están en B y lo expresamos como A-B.

Propiedades de las operaciones

PROBABILIDAD

2

Propiedades Asociativa Conmutativa Idempotente Simplificativa Distributiva Contrario

Operaciones Unión (A∪B)∪C = A∪(B∪C) A∪B = B∪A A∪A = A A∪(B∩A) = A A∪ (B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Intersección (A∩B)∩C = A∩(B∩C) A∩B = B∩A A∩A = A A∩(B∪A) = A A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

A∪ A = E

A∩ A = Φ

Leyes de "De Morgan": • A∩B = A∪B • A∪B = A∩B

EJEMPLOS 1.- En el experimento “sacar una carta de una baraja española y observar el resultado” consideramos los sucesos A = “sacar una carta que sea múltiplo de 4 y B = “sacar una carta que sea múltiplo de 3”, halla A∪B, A∩B y A-B. Resolución: Como los sucesos son A = { 4, 8} y B = {3, 6, 9, 12}: A∪B = {3, 4, 6, 8, 9, 12} A∩B = {6, 12} A - B = A∩ B = {2, 4, 8, 10}

IDEA INTUITIVA DE LA PROBABILIDAD Ley de los grandes números "La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente". Como no seremos capaces de realizar infinitas pruebas de un experimento usaremos el valor aproximado de la probabilidad. Por la propia definición (es una frecuencia relativa) la probabilidad de un suceso es siempre un número comprendido entre 0 y 1 0 ≤ P(A) ≤1 La probabilidad es la mediada de la incertidumbre de un suceso aleatorio, mide las posibilidades que tiene de verificarse el suceso al realizar el experimento.

Ley de Laplace "La probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles".

P(A) =

Casos favorables Casos posibles

Para poder aplicar esta definición hay que tener en cuenta que los experimentos han nde estar formados por sucesos elementales equiprobables.

EJEMPLOS

PROBABILIDAD

3

1.- Se considera el experimento aleatorio lanzar al aire un dado de parchís y observar el resultado obtenido en la cara superior. Halla la probabilidad de obtener: Número impar, primo, múltiplo de tres y múltiplo de cinco. Resolución: El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3 1 = 6 2 3 1 b) Si B = "Obtener primo" = {1,2, 3} ⇒ P(B) = = 6 2 2 1 c) Si C = "Obtener múltiplo de 3" = { 3, 6} ⇒ P(C) = = 6 3 1 d) Si D = "Obtener múltiplo de 5"= { 5} ⇒ P(D) = 6 a) Si A = "Obtener impar" = {1, 3, 5} ⇒ P(A) =

2.- Se realiza el experimento aleatorio lanzar al aire dos monedas. Hallar la probabilidad de obtener: Dos caras, dos cruces, cara y cruz, al menos una cruz. Resolución: El espacio muestral es E = {CC, CX, XC, XX}.

1 4 1 b) Si B = "Obtener dos cruces" = {XX} ⇒ P(B) = 4 a) Si A = "Obtener dos caras" = {CC} ⇒ P(A) =

c) Si C = "Obtener cara y cruz" = { CX, XC} ⇒ P(C) =

2 4

d) Si D = "Obtener al menos una cruz" = { CX, XC, XX} ⇒ P(D) =

3 4

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD Axiomas Probabilidad es una ley que asocia a cada suceso A un número real que llamamos probabilidad de A, P(A), que cumple los siguientes axiomas: 1. La probabilidad de un suceso es positiva o nula. P(A) ≥ 0 2. La probabilidad del suceso cierto es la unidad. P(E) = 1 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. P(A∪B) = P(A) + P(B)

Propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Probabilidad del suceso complementario: P( A ) = 1 - P( A) Probabilidad del suceso imposible: P(Φ) = 0 Si A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) Si A1, A2,... An son incompatibles dos a dos: P(A1∪A2∪... ∪An) = P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An) Unión de dos sucesos compatibles P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) Diferencia de sucesos: P(A-B) = P(A) - P(A∩B)

EJEMPLOS 1.- En el experimento lanzar al aire dos caras halla la probabilidad del sucesos "obtener al menos una cruz". Resolución: El espacio muestral es E = {C, C}, {C, X}, {X, C}, {X, X}.

PROBABILIDAD

4

P(A) = 1 - P( A ) = 1 -

1 3 = 4 4

2.- De 200 estudiantes, 110 estudian Física, 70 estudian Química y 30 estudian ambas. Escogido un estudiante al azar: a) Halla la probabilidad de que estudie Física o Química . b) Halla la probabilidad de que no estudie Física ni Química. Resolución: Sean F = "El estudiante elegido estudia Física" y Q = "El estudiante elegido estudia Química".: 110 11 70 7 30 3 P(F) = = ; P(Q) = = ; P(F∩Q) = = 200 20 200 20 200 20 a) La probabilidad de que estudie Física o Química es: 11 7 3 15 3 P(F∪Q) = P(F) + P(Q) - P(F∩Q) = + = = 20 20 20 20 4 b) La probabilidad de que no estudie Física ni Química es, aplicando las Leyes de De Morgan: 3 1 P( F ∩ Q ) = P( F∪ Q ) = 1- = 4 4 3.- En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de que una persona lea un periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02. Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. Resolución: Sean los sucesos A = "leer el periódico A", B = "leer el periódico B" P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(A∩B) = 0,02 Por las leyes de Morgan sabemos que A ∩ B = A∪ B y su probabilidad es: P( A ∩ B ) =P( A∪ B ) = 1 -P(A∪B) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,1+0,1-0,02 = 0,18 P( A ∩ B ) = 1 -0,18 = 0,82.

PROBABILIDAD CONDICIONADA PROBABILIDAD CONDICIONADA Definición

•

Dados dos sucesos A y B se llama probabilidad de B condicionada a A, P(A/B), al valor:

P(A/B) = •

P(A∩ B) P(B)

con P(B) ≠ 0

De igual forma se define probabilidad de A condicionada a B, P(B/A), al valor: P(B/A) =

P(A∩ B) con P(A) ≠ 0 P(A)

2.- Propiedades •

P(A∩B) = P(A). P(B/A)

•

P(A∩B) = P(B). P(A/B)

PROBABILIDAD

5

EJEMPLOS 1.- Un estudiante hace dos pruebas el mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6, la de que pase la segunda es de 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. a) Calcula la probabilidad de que no pase ninguna prueba. b) Calcula la probabilidad de que pase la segunda prueba si no ha superado la primera. Resolución: a) Sean los sucesos A = "Pasar la primera prueba" y B = "Pasar la segunda prueba" Calculamos la probabilidad de no pase ninguna de los pruebas, P( A ∩ B ). Aplicando las leyes de "De Morgan": P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = 0,8 + 0,6 - 0,5 = 0,9 P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0,9 = 0,1 b) Nos piden P(B/ A ) =

P(B ∩ A) P(A)

=

P(B) - P(B ∩ A) 0,8 - 0,5 = = 0,75 1 − P(A) 1 − 0,6

2.- En una empresa hay 90 mujeres y 110 hombres que se reparten entre fumadores y no fumadores según la tabla adjunta. Si se desea elegir una mujer para un cargo, ¿cuándo es más sencillo, si no se ponen condiciones, si se exige que sea no fumadora o si se exige que sea fumadora?. Hombres Mujeres Fumadores 80 20 No fumadores 40 60 Resolución: Realizamos una tabla de contingencia con las sumas parciales

F No F

H 80 40 120

M 20 60 80

100 100 200

La probabilidad de que sea mujer si no se ponen condiciones será: 80 2 P(M) = = 200 5 Para hallar las otras probabilidades, debemos calcular: P(M∩ F) 20 1 P(M/F) = = = P(F) 100 5

P(M/ F) =

P(M∩ F) P(F)

=

60 3 = 100 5

Es decir que exigir que sea no fumador aumenta las posibilidades de elegir una mujer, y exigir que sea fumador disminuye las probabilidades

EXPERIMENTOS COMPUESTOS PROBABILIDAD

6

Definición Un experimento compuesto es aquel que es posible descomponer en varios experimentos simples. Por ejemplo el lanzamiento de varias monedas o dados al aire. En tales experimentos el espacio muestral se obtiene a partir de los espacios muestrales de los experimentos simples que lo forman y la probabilidad es el producto de las probabilidades: P(A∩B) = P(A). P(B/A)

Sucesos independientes Dos o más pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influye en el resultado de las otras. Si dos o tres pruebas son independientes se cumple respectivamente que: P(A∩B) = P(A). P(B) P(A∩B∩C) = P(A). P(B). P(C)

Sucesos dependientes Dos o mas pruebas son dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en el resultado de las otras. Si dos pruebas son dependientes se cumple que: P(A∩B) = P(A). P(B/A)

EJEMPLOS 1.- Calcula la probabilidad de sacar, con y sin devolución, 2 cartas de oros de una baraja española. Resolución: a) Teniendo en cuenta que hay 10 oros y 40 cartas, en la primera extracción y lo mismo en la segunda extracción si la primera ha sido un oro. 10 10 1 P(O1).P(O2 /O1) = . = 40 40 16 b) Teniendo en cuenta que hay 10 oros y 40 cartas, en la primera extracción y 9 oros y 39 cartas en la segunda extracción si la primera ha sido un oro. 10 9 3 P(O1).P(O2 /O1) = . = 40 39 52 2.- De una bola con 3 bolas rojas y 5 verdes se extraen sucesivamente dos bolas. Hallar la probabilidad de que: a) Las dos sean rojas. b) Las dos verdes. c) La primera roja y la segunda verde. d) Una roja y otra verde. Resolución: a) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola roja condicionado a que la primera sea también roja. 3 2 3 P(R1 ∩ R2) = P(R1).P(R2/R1) = . = 8 7 28 b) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola verde condicionado a que la primera sea también verde. 5 4 3 P(V1 ∩ V2) = P(V1).P(V2/V1) = . = 8 7 14 c) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola verde condicionado a que la primera sea roja. 3 5 15 P(R1 ∩ V2) = P(R1).P(V2/R1) = . = 8 7 56 d) Es el suceso obtener la primera bola roja y la segunda verde o viceversa. 3 5 5 3 15 P(R1∩V2) +P(V1∩ R2)=P(R1).P(V2/R1) +P(V1).P(R2/V1) = . + . = 8 7 8 7 28 PROBABILIDAD

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3.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada. ¿Son independientes los sucesos "sacar suma par" y "sacar al menos un dos"? Resolución: El espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados y anotar el resultado es: E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)} A = "sacar suma par": A = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} 18 1 P(A) = = 36 2 B = "sacar al menos un dos": B = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)} 11 P(B) = 36 A∩B = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(6,2)} su probabilidad es: 5 P(A∩B) = 36 Si ambos suceso son independientes se debe verificar que: P(A∩B) = P(A).P(B) P(A).P(B)=

1 11 11 . = 2 36 72

5 11 ≠ 36 72 luego no son independientes ambos sucesos.

PROBABILIDAD TOTAL Y BAYES Sistema completo de sucesos Se llama sistema completo de sucesos a n sucesos Ai tales que: • Su unión es el espacio muestral E: A1∪..∪An • Los sucesos A1 ...An son incompatibles dos a dos: Ai ∩Aj = φ, ∀ i ≠ j

Teorema de probabilidad total Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, A1,.., An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera, se cumple que: P(S) = P(A1).P(S/A1) + ... + P(An).P(S/An)

Teorema de Bayes Si tenemos n sucesos A1 ...An incompatibles dos a dos y tales que su unión es el espacio muestral E y un suceso cualquiera S siendo P(A1),...,P(An) no nulas se cumple que: P(Ai/S) =

P(A i )P(S/A i ) P(A 1 )P(S/A 1 ) + ... + P(A i )P(S/A i ) + ... + P(A n )P(S/A n )

EJEMPLOS

PROBABILIDAD

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1.- Una fabrica de tornillos dispone de dos máquinas que elaboran el 25% y el 75% respectivamente. El porcentaje de tornillos defectuosos es del 4% y del 2% respectivamente. Halla la probabilidad de que el tornillo sea defectuoso. la probabilidad de que el tornillo haya sido fabricado por la máquina 1 si sabemos que es defectuoso. Resolución: a) Consideremos los siguientes sucesos: M1 = "el tornillo está fabricado por la máquina 1" M2 = "el tornillo está fabricado por la máquina 2" D = "el tornillo es defectuoso”. N = "el tornillo es normal”. Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(M1).P(D/M1) = 0,25.0,04 = 0,01 P(M2).P(D/M2) = 0,75.0,02 = 0,015 Como el conjunto tenemos un sistema completo de sucesos, utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P(D) = P(M1).P(D/M1)+ P(M2).P(D/M2) = 0,01 + 0,015 = 0,025 b) Tal como se ve en la figura podemos aplicar el Teorema de Bayes: P(M 1 ).P(D/M1 ) 0,25.0,04 P(M1 /D) = = = 0,4 P(M 1 ).P(D/M 1 ) + P(M 2 ).P(D/M 2 ) 0,25.0,04 + 0,75.0,02 2.- De los turistas que visitan Málaga, el 60% hace el viaje en avión, el 30% lo hace por carretera y el 10% lo hace por tren. De los que viajan en avión el 70% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por carretera el 80% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por tren el 50% va a las playas de la costa occidental. Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Málaga, a) ¿cuál es la probabilidad de que haya estado en las playas de la costa occidental? b) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Málaga y que ha estado en las playas de la costa occidental, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en tren? Solución: a) Consideremos los sucesos A = "llegar en avión", C = "llegar por carretera", T = "llegar en tren", O = "ir a la costa occidental” O = "no ir a la costa occidental”. Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(A).P(O/A) = 0,6.0,7 = 0,42 P(C).P(O/C) = 0,3.0,8 = 0,24 P(T).P(O/T) = 0,1.0,5 = 0,05

0 ,7

A 0 ,6 0 ,3

0 ,3

O O

0 ,8

O

0 ,2

O

T 0 ,5

O

0 ,5

O

C

0 ,1

Como tenemos un sistema completo de sucesos, utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P(O) = P(A).P(O/A)+ P(C).P(O/C) + P(T).P(O/T) = 0,42 + 0,24 + 0,05 = 0,71 b) Para hallarlo podemos aplicar el Teorema de Bayes: P(T ∩ O) P(T).P(O/T) 0,05 P(T/O) = = = = 0,07 P(O) P(O) 0,71

PROBABILIDAD

9