PROBLEMAS DE DIAMANTE

2.1.1 producto

En cada Problema de diamante, el producto de los dos números a los lados (izquierda y derecha) es el número arriba y la suma es el número de abajo. Los Problemas de diamantes son una excelente manera de practicar sumas, restas, multiplicación y división de números enteros positivos y negativos, decimales y fracciones. Tienen el beneficio adicional de preparar a los estudiantes para la factorización de binomios en álgebra.

ab a

b a+b suma

Ejemplo 1 –20

10

El número de arriba es el producto de –20 y 10, o –200. El número de abajo es la suma de –20 y 10, o –20 + 10 = –10.

–200 –20 10 –10

Ejemplo 2 El producto del número de la derecha y –2 es 8. Entonces si usted divide 8 por –2 resulta –4, el número de la derecha. La suma de –2 y –4 es –6, el número de abajo.

8 –2

8 –2

–4 –6

Ejemplo 3 4

Para obtener el número de la izquierda, reste 4 de 6, 6 – 4 = 2. El producto de 2 y 4 es 8, el número de arriba.

8 2

4 6

6

Ejemplo 4 –8 2

La manera más fácil de encontrar los números a los lados en esta situación es buscar todos los pares de factores de –8. Son:

–8 –2

4 2

–1 y 8, –2 y 4, –4 y 2, y –8 y 1. Solamente uno de estos pares tiene una suma de 2: –2 y 4. Entonces los números a los lados son –2 y 4.

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Problemas Complete cada Problema de diamante. 1.

2. 4

3.

8

–8

4.

–6

–1

–2

–7

5.

6. 3.8

7.

1.2

8.

8.1

9.6 3.2

3.4 3.1

9.

5

6.8

10.

11.

12. 1

13.

14. x

15.

16.

a

y

3a

8b

7a

2b

Respuestas 1.

–32 y –4

2.

–4 y –6

3.

–6 y 6

4.

6 y –1

5.

4.56 y 5

6.

5 y 40.5

7.

3.4 y 11.56

8.

3 y 6.2

9.

1 5 – 14 y − 14

10.

13 10

11.

13. xy y x + y

y

13 50

14. a y 2a

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1 2

y

7 5

12.

15. –6b y –48b2

1 3

y

1 3

16. 4a y 12a2

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OPERACIONES CON DECIMALES

2.1.1

OPERACIONES ARITMÉTICAS CON DECIMALES SUMANDO Y RESTANDO DECIMALES: Escriba el problema en forma de columna con los puntos de una columna vertical. Escriba ceros para que todos los puntos decimales del número tengan los mismos dígitos. Sume o reste como con números enteros. Escriba el decimal en la respuesta alineada con los de arriba. MULTIPLICANDO DECIMALES: Multiplique como con números enteros. El producto tiene el número de lugares decimales igual al total de número de lugares decimales de los factores (los números que multiplicó). A veces se debe agregar ceros para poner el punto decimal. DIVIDENDO DECIMALES: Cuando se divide un decimal por un número entero, ponga el punto decimal en la respuesta directamente arriba del punto decimal en el número siendo dividido. Divida como con números enteros. A veces es necesario agregar ceros al número siendo dividido para completar la división. Cuando se dividen decimales o números enteros por un decimal, el divisor se debe multiplicar por un poder de diez para hacerlo en número entero. El dividendo se debe multiplicar por el mismo poder de diez. Después divida siguiendo las mismas reglas para las divisiones por números enteros. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 3.3.2 y 3.3.3 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Suma 47.37, 28.9, 14.56 y 7.8.

Reste 198.76 de 473.2. Multiplique 27.32 por 14.53. 27.32 (2 puntos decimales) 473.20 ×14.53 (2 puntos decimales) − 198.76 8196 ––––––––––––––– 13660 274.44 10928 2732

47.37 28.90 14.56 + 7.80

––––––––––––

Ejemplo 3

–––––––––––––––

98.63

396.9596

(4 puntos decimales)

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Multiplique 0.37 por 0.0004. 0.37 (2 puntos decimales) × 0.0004 (4 puntos decimales)

Divida 32.4 por 8. 4.05 8) 32.40 32

Divida 27.42 por 1.2. Primero multiplique cada número por 101 o 10.

––––––––––––––

0.000148 (6 puntos decimales)

–––––––––––––

0 40 40 –––––––

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22.85 1.2 27.42 ⇒ 12 274.2 ⇒ 12 274.20 24 34 24 10 2 96 60 60 0

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Problemas 1.

4.7 + 7.9

2.

3.93 + 2.82

3.

38.72 + 6.7

4. 58.3 + 72.84

5.

4.73 + 692

6.

428 + 7.392

7. 42.1083 + 14.73

8.

9.87 + 87.47936

9.

9.999 + 0.001

10. 0.0001 + 99.9999

11. 0.0137 + 1.78

12. 2.037 + 0.09387

13. 15.3 + 72.894

14. 47.9 + 68.073

15. 289.307 + 15.938

16. 476.384 + 27.847

17. 15.38 + 27.4 + 9.076

18. 48.32 + 284.3 + 4.638

19. 278.63 + 47.0432 + 21.6

20. 347.68 + 28.00476 + 84.3

21. 8.73 – 4.6

22. 9.38 – 7.5

23. 8.312 – 6.98

24. 7.045 – 3.76

25. 6.304 – 3.68

26. 8.021 – 4.37

27. 14 – 7.431

28. 23 – 15.37

29. 10 – 4.652

30. 18 – 9.043

31. 0.832 – 0.47

32. 0.647 – 0.39

33. 1.34 – 0.0538

34. 2.07 – 0.523

35. 4.2 – 1.764

36. 3.8 – 2.406

37. 38.42 – 32.605

38. 47.13 – 42.703

39. 15.368 + 14.4 – 18.5376

40. 87.43 – 15.687 – 28.0363

41. 7.34 ⋅ 6.4

42. 3.71 ⋅ 4.03

43. 0.08 ⋅ 4.7

44. 0.04 ⋅ 3.75

45. 41.6 ⋅ 0.302

46. 9.4 ⋅ 0.0053

47. 3.07 ⋅ 5.4

48. 4.023 ⋅ 3.02

49. 0.004 ⋅ 0.005

50. 0.007 · 0.0004

51. 0.235 ⋅ 0.43

52. 4.32 ⋅ 0.0072

53. 0.0006 · 0.00013

54. 0.0005 ⋅ 0.00026

55. 8.38 ⋅ 0.0001

56. 47.63 · 0.000001

57. 0.078 ⋅ 3.1

58. 0.043 ⋅ 4.2

59. 350 ⋅ 0.004

60. 421 ⋅ 0.00005

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Divida. Si es necesario, redondee las respuestas a la centésima. 61. 14.3 ÷ 8

62. 18.32 ÷ 5

63. 147.3 ÷ 6

64. 46.36 ÷ 12

65. 100.32 ÷ 24

66. 132.7 ÷ 28

67. 47.3 ÷ 0.002

68. 53.6 ÷ 0.004

69. 500 ÷ 0.004

70. 420 ÷ 0.05

71. 1.32 ÷ 0.032

72. 3.486 ÷ 0.012

73. 46.3 ÷ 0.011

74. 53.7 ÷ 0.023

75. 25.46 ÷ 5.05

76. 26.35 ÷ 2.2

77. 6.042 ÷ 0.006

78. 7.035 ÷ 0.005

79. 207.3 ÷ 4.4

80. 306.4 ÷ 3.2

Respuestas 1.

12.6

2.

6.75

3.

45.42

4.

131.14

5.

696.73

6.

435.392

7.

56.8383

8.

97.34936

9.

10.000

10. 100.0000

11. 1.7937

12. 2.13087

13. 88.194

14. 115.973

15. 305.245

16. 504.231

17. 51.856

18. 337.258

19. 347.2732

20. 459.98476

21. 4.13

22. 1.88

23. 1.332

24. 3.285

25. 2.624

26. 3.651

27. 6.569

28. 7.63

29. 5.348

30. 8.957

31. 0.362

32. 0.257

33. 1.2862

34. 1.547

35. 2.436

36. 1.394

37. 5.815

38. 4.427

39. 11.2304

40. 43.7067

41. 46.976

42. 14.9513

43. 0.376

44. 0.15

45. 12.5632

46. 0.04982

47. 16.578

48. 12.14946

49. 0.000020

50. 0.0000028

51. 0.10105

52. 0.031104

53. 0.000000078 54. 0.000000130

55. 0.000838

56. 0.0004763

57. 0.2418

58. 0.1806

59. 1.4

60. 0.02105

61. 1.7875 o 1.79

62. 3.664 o 3.66

63. 24.55

64. 3. 863 o 3.86

65. 4.18

66. 4.74

67. 23,650

68. 13,400

69. 125,000

70. 8400

71. 41.25

72. 290.5

73. 4209.09

74. 2334.78

75. 5.04

76. 11.98

77. 1007

78. 1407

79. 47.11

80. 95.75

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EQUIVALENTES DE FRACCIÓN-DECIMAL-PORCENTAJE 2.1.1 y 2.1.2 Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes maneras de representar a la misma porción o número. fracción

palabras o imágenes porcentaje

decimal

Representaciones de una porción Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 2 en Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplos De decimal a porcentaje: Multiplique el decimal por 100. (0.81)(100) = 81%

De porcentaje a decimal:

De fracción a porcentaje:

De porcentaje a fracción:

Escriba la proporción para encontrar la fracción equivalente usando 100 como el denominador. El numerador es el porcentaje.

Use el 100 como denominador. Use el porcentaje como el numerador. Simplifique según sea necesario.

4 5

=

x 100

así que

4 5

=

80 100

= 80%

Divida el porcentaje por 100. 43% ÷ 100 = 0.43

22 = 22% = 100 56 = 56% = 100

11 50 14 25

De decimal a fracción:

De fracción a decimal:

Use los dígitos en decimal como el numerador. Use el valor del lugar como denominador. Simplifique cuando sea necesario.

Divida el numerador por el denominador.

2 = a. 0.2 = 10

1 5

17 b. 0.17 = 100

3 8 3 11

= 3 ÷ 8 = 0.375

5 8

= 5 ÷ 8 = 0.625

= 3 ÷ 11 = 0.2727… = 0.27

Para ver el proceso para convertir decimales periódicos a fracciones, ver problema 2-22 del texto Core Connections en español, Curso 2 o el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

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Problemas Convierta las fracciones, decimales o porcentajes como sea indicado. 1.

Cambie

3.

1 4

2.

Cambie 50% a una fracción a sus términos más bajos.

Cambie 0.75 a una fracción a sus términos más bajos.

4.

Cambie 75% a un decimal.

5.

Cambie 0.38 a un porcentaje.

6.

Cambie

1 5

a un porcentaje.

7.

Cambie 0.3 a una fracción.

8.

Cambie

1 8

a un decimal.

9.

Cambie

10.

Cambie 0.08 a un porcentaje.

11.

Cambie 87% a un decimal.

12.

Cambie

13.

Cambie 0.4 a una fracción a sus términos más bajos.

14.

Cambie 65% a una fracción en sus términos más bajos.

15.

Cambie

1 9

a un decimal.

16.

Cambie 125% a una fracción en sus términos más bajos.

17.

Cambie

8 5

a un decimal.

18.

Cambie 3.25 a un porcentaje.

19.

1 a un decimal. Cambie 16 Cambie el decimal a un porcentaje.

20.

Cambie

21.

Cambie 43% a una fracción. Cambie la fracción a un decimal.

22.

Cambie 0.375 a un porcentaje. Cambie el porcentaje a una fracción.

23.

Cambie 87 a un decimal. Cambie el decimal a un porcentaje.

24.

Cambie 0.12 a una fracción.

25.

Cambie 0.175 a una fracción.

1 3

a un decimal.

a un decimal.

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3 5

1 7

a un porcentaje.

a un decimal.

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Respuestas 3.

3 4

4.

0.75

20%

7.

3 10

8.

0.125

10.

8%

11.

0.87

12.

60%

2 5

14.

13 20

15.

0. 11

16.

5 4

17.

1.6

18.

325%

19.

0.0625; 6.25%

20.

0.142859

21.

43 100

; 0.43

22.

37 12 %;

23.

0.875; 87.5%

24.

12 99

=

25.

1.

0.25

2.

5.

38%

6.

9.

0.33

13.

4 33

1 2

3 8

o 1 14

175 999

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OPERACIONES CON ENTEROS

2.2.1 – 2.2.3

SUMA DE ENTEROS Los estudiantes repasan las sumas de enteros usando dos modelos concretos: el movimiento de un número a través de una recta númerica y azulejos de enteros negativos y positivos. Para sumar dos números enteros usando una recta númerica, empiece con el primer número y después mueva el número apropiado de espacios hacia la derecha o izquierda dependiendo si el segundo número es positivo o negativo. Su ubicación final es la suma de los dos números enteros. Para sumar dos números usando azulejos, un número positivo es representado por el número apropiado de azulejos positivos (+) y un número negativo está representado por el número apropiado de azulejos negativos (–). Para sumar los dos enteros empieza con la representación de azulejos del primer entero en un diagrama y luego ponga la representación de azulejos del segundo número en el diagrama. Cualquier número igual de azulejos (+) y azulejos (–) iguala a cero y pueden ser quitado del diagrama. Los azulejos que quedan representa la suma. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 2.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

–4 + 6

–2 + (–4)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –4 + 6 = 2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –2 + (–4) = –6

Ejemplo 3

Ejemplo 4

5 + (–6)

–3 + 7

Empiece con los azulejos representando el primer número. + + + + + Añada al diagrama los azulejos representando el segundo número. + + + + + – – – –– – Circule los pares de azulejos de suma cero. –1 es la respuesta.

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ –

+ –

+ –

+ + + +

–3 + 7 = 4

–

5 + (–6) = –1 © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

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SUMA DE ENTEROS EN GENERAL Cuando suma enteros usando el modelo de azulejos, los pares de azulejos de suma cero son formados solamente si los dos números tienen diferentes signos. Después que encierre en un círculo los pares de azulejos de suma cero, cuente los azulejos que no están circulados para encontrar la suma. Si los signos son iguales, no se forman pares de azulejos de suma cero y encuentra la suma de azulejos. Los enteros se pueden sumar sin hacer un modelo y siguiendo las siguientes reglas. •

Si los signos son iguales, suma los números y deje el mismo signo.

•

Si los signos son diferentes, ignore los signos (es decir, use el valor absoluto de cada número). Reste el número más cerca al cero del número más lejos del cero. El signo de la respuesta es el mismo que el número que está más lejos del cero, es decir, el número con más valor absoluto.

Ejemplo Para –4 + 2, –4 está más lejos del cero en la recta númerica que el 2, así que reste: 4 – 2 = 2. La respuesta es –2, ya que “4,” es decir, el número más lejos del cero, es negativo en el problema original.

Problemas Use cualquier modelo o las reglas anteriores para encontrar estas sumas. 1.

4 + (–2)

2.

6 + (–1)

3.

7 + (–7)

4.

–10 + 6

5.

–8 + 2

6.

–12 + 7

7.

–5 + (–8)

8.

–10 + (–2)

9.

–11 + (–16)

10.

–8 + 10

11.

–7 + 15

12.

–26 + 12

13.

–3 + 4 + 6

14.

56 + 17

15.

7 + (–10) + (–3)

16.

–95 + 26

17.

35 + (–6) + 8

18.

–113 + 274

19.

105 + (–65) + 20

20.

–6 + 2 + (–4) + 3 + 5

21.

5 + (–3) + (–2) + (–8)

22.

–6 + (–3) + (–2) + 9

23.

–6 + (–3) + 9

24.

20 + (–70)

25.

12 + (–7) + (–8) + 4 + (–3)

26.

–26 + (–13)

27.

–16 + (–8) + 9

28.

12 + (–13) + 18 + (–16)

29.

50 + (–70) + 30

30.

19 + (–13) + (–5) + 20

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Respuestas 1.

2

2.

5

3.

0

4.

–4

5.

–6

6.

–5

7.

–13

8.

–12

9.

–27

10.

2

11.

8

12.

–14

13.

7

14.

73

15.

–6

16.

–69

17.

37

18.

161

19.

60

20.

0

21.

–8

22.

–2

23.

0

24.

–50

25.

–2

26.

–39

27.

–15

28.

1

29.

10

30.

21

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OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

2.2.4

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Multiplique y divida dos números enteros a la misma vez. Si los signos son igual es producto será positivo. Si los signos son diferentes, el producto será negativo. Siga las mismas reglas para fracciones y decimales. Recuerde de aplicar el orden correcto de las operaciones cuando esté trabajando con más de una operación. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 3.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplos a.

2⋅3=6 o 3⋅2=6

b.

–2 ⋅ (–3) = 6 o (+2) ⋅ (+3) = 6

c.

2÷3=

d.

(–2) ÷ (–3) =

e.

(–2) ⋅ 3 = –6 o 3 ⋅ (–2) = –6

f.

(–2) ÷ 3 = − 23 o 3 ÷ (–2) = − 23

g.

9 ⋅ (–7) = –63 o –7 ⋅ 9 = –63

h.

–63 ÷ 9 = –7 o 9 ÷ (−63) = −

2 3

o 3÷2=

3 2

2 3

o (–3) ÷ (–2) =

3 2

1 7

Problemas Use las reglas de arriba para encontrar cada producto o cociente. 1.

(–4)(2)

2.

(–3)(4)

3.

(–12)(5)

4.

(–21)(8)

5.

(4)(–9)

6.

(13)(–8)

7.

(45)(–3)

8.

(105)(–7)

9.

(–7)(–6)

10.

(–7)(–9)

11.

(–22)(–8)

12.

(–127)(–4)

13.

(–8)(–4)(2)

14.

(–3)(–3)(–3)

15.

(–5)(–2)(8)(4)

16.

(–5)(–4)(–6)(–3)

17.

(–2)(–5)(4)(8)

18.

(–2)(–5)(–4)(–8)

19.

(–2)(–5)(4)(–8)

20.

2(–5)(4)(–8)

21.

10 ÷ (–5)

22.

18 ÷ (–3)

23.

96 ÷ (–3)

24.

282 ÷ (–6)

25.

–18 ÷ 6

26.

–48 ÷ 4

27.

–121 ÷ 11

28.

–85 ÷ 85

29.

–76 ÷ (–4)

30.

–175 ÷ (–25)

31.

–108 ÷ (–12)

32.

–161 ÷ 23

33.

– 223 ÷ (–223)

34.

354 ÷ (–6)

35.

–1992 ÷ (–24)

36.

–1819 ÷ (–17)

37.

–1624 ÷ 29

38.

1007 ÷ (–53)

39.

994 ÷ (–14)

40.

–2241 ÷ 27

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Respuestas 1.

–8

2.

–12

3.

–60

4.

–168

5.

–36

6.

–104

7.

–135

8.

–735

9.

42

10.

63

11.

176

12.

508

13.

64

14.

–27

15.

320

16.

360

17.

320

18.

320

19.

–320

20.

320

21.

–2

22.

–6

23.

–32

24.

–47

25.

–3

26.

–12

27.

–11

28.

–1

29.

19

30.

7

31.

9

32.

7

33.

1

34.

–59

35.

83

36.

107

37.

–56

38.

–19

39.

–71

40.

–83

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OPERACIONES CON FRACCIONES

2.2.5 y 2.2.6

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES La multiplicación de fracciones es revisada usando un área de modelo rectangular. Las líneas que dividen el rectángulo para representar una fracción se hacen verticalmente, y el número correcto de las partes se sombrea. Las líneas que dividen el rectángulo para representar la segunda fracción se hacen horizontalmente y parte del espacio sombreado se oscurece para representar el producto de las dos fracciones.

Ejemplo 1 1⋅5 2 8

(es decir, 12  de  58 )

Paso 1:

Dibuje un rectángulo genérico y divídalo en 8 partes verticales. Ligeramente sombree 5 de esas partes y etiquetelas como 58 .

Paso 2:

Use una línea horizontal y divida el rectángulo genérico. Sombree 1  de  5 y etiquetelo. 2 8

Paso 3:

Escriba una oración en números.

1 5 ⋅ 2 8

5 = 16

La regla para multiplicar fracciones derivada por el modelo arriba es para multiplicar los numeradores, luego multiplicar los denominadores. Simplifique el producto cuando sea posible. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2.2.5 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 2 a.

2 ⋅ 2   ⇒   2 ⋅ 2   ⇒   4 3 7 3 ⋅  7 21

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b.

3 ⋅ 6   ⇒   3 ⋅ 6   ⇒   18   ⇒   9 4 7 4  ⋅  7 28 14

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Problemas Dibuje un modelo de área para cada una de las siguientes multiplicaciones y escriba la respuesta. 1.

1⋅1 3 6

2.

1⋅3 4 5

3.

2⋅5 3 9

Use la regla para multiplicar fracciones para encontrar la respuesta para los siguientes problemas. Simplifique cuando sea posible. 4.

1⋅2 3 5

5.

2⋅2 3 7

6.

3 1 4⋅5

7.

2⋅2 5 3

8.

2⋅1 3 4

9.

5⋅2 6 3

10.

4⋅3 5 4

11.

2 1 15 ⋅ 2

12.

3 1 7⋅2

13.

3 4 8⋅5

14.

2⋅3 9 5

15.

3 5 10 ⋅ 7

16.

5 6 11 ⋅ 7

17.

5⋅ 3 6 10

18.

10 ⋅ 3 11 5

19.

5 3 12 ⋅ 5

20.

7 5 9 ⋅ 14

·

Respuestas 1.

1 18

4.

2 15

10.

12 20

16.

30 77

2.

=

3 5

5.

4 21

11.

2 30

17.

15 60

3 20

3.

6.

3 20

7.

4 15

1 = 15

12.

3 14

13.

12 40

=

18.

30 55

19.

15 60

1 4

6 = 11

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10 27

8.

2 12

=

3 = 10

14.

6 45

2 = 15

=

20.

35 126

1 4

1 6

9.

10 18

=

15.

15 70

= 143

5 9

5 = 18

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