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Problemas de Mecánica de Fluidos para Ingeniería Aeronáutica R. Castilla López y P.J. Gámez Montero Dpt. de Mecánica de Fluidos E.T.S.E.I.A.T. Universitat Politècnica de Catalunya
Febrero 2010
2
Índice general 1. Propiedades físicas de los uidos
5
2. Hidroestática
11
3. Cinemática. Masa y de cant. de movimiento
17
4. momento cinético y energía
23
5. Análisis Dimensional y Flujo Viscoso
31
6. Capa límite y Flujo Externo
39
7. Flujo compresible
47
3
4
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1 Propiedades físicas de los uidos 1.1. En un
viscosímetro de cilindros rotatorios, el uido problema es arrastrado ∆r
por un cilindro en rotación contra otro concèntrico jo, con un espacio
R.
Consideremos un per l de velocidad lineal entre los dos cilindros, y que
podemos medir el momento su velocidad angular
ω
M
que resiste el cilindro interior para mantener
constante.
Encontrad una expresión para la viscosidad dinámica del uido problema
µ
en los casos: a) Negligiendo el efecto de la base del cilindro b) Incluyendo este efecto ω
H
2R
1.2.
viscosímetro de conos rotatorios, el uido objecto es arrastrado por en rotación contra otro concèntrico jo, con un espacio ∆r R.
En un un cono
5
6
CAPÍTULO 1.
PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS FLUIDOS
Consideremos un per l de velocidad lineal entre los dos conos, y que podemos medir el momento angular
ω
M
que resiste el cono interior para mantener su velocidad
constant.
Encontrad una expresión para
µ. ω
R γ e
1.3. En el embrague de un automóvil los dos volantes están separados una distancia de 5 mm, y tienen un diámetro de 30 cm. Entre ambos hay aceite con una viscosidad dinámica de 0,38 Pa s. El volante motor gira a 1450 rpm, y el transmisor a 1390 rpm. ¾Cuál es el par que se transmite?
5 mm 30 cm
1390 rpm
1450 rpm
µ = 0,38 Pa s
1.4. Por un plano inclinado, con angulo caja) de base
S
i peso
aceite con viscosidad
µ.
W
β
resbala un cuerpo hexahedrico (una
encima de una película, de espesor
e
√ S,
de
Considerando que el cuerpo inicia su movimiento
de bajada desde el reposo, calculad, haciendo las hipótesis oportunas, la ecuación diferencial de su movimiento y la velocidad límite.
7
1.5.
1.5. Ahora se trata de resolver el mismo problema anterior, de la caja sobre una pelicula de aceite, pero el aceite se halla sobre otra película de agua (como se sabe, el aceite y el agua son inmiscibles, y el primero siempre está sobre el segundo). Cada uno de los líquidos ocupa la mitad del espesor total.
1.6. Per un tubo vertical de diámetre con viscosidad masa
m.
µ
Re ,
L y lleno de un líquido Ri < Re y longitud H L, y
longitud
baja un cilindro, de radio
Demostrad que, si la longitud del tubo es su cientmente grande, el
cilindro no se acelera de forma inde nida, sino que su velocidad alcanza una cierta
velocidad límite,
y calculad el valor de esta velocidad.
1.7.
µ resbala por una pared completamente vertical. d de la capa puede no ser un espacio, se llega a un ujo estacionario, con d
Un líquido de viscosidad
En principio, el ujo es transitorio, y el grosor uniforme, pero al cabo de
uniforme, como se muestra en la gura. a) Dibujad, de forma esquemática, la forma del per l de velocidades del ujo, explicando brevemente porqué es así. b) Si medimos, con la ayuda de un anemómetro láser Doppler, el gradiente ∂v , encontrad una expresión que permita de la velocidad en la pared, ∂x x=0 calcular el valor de la viscosidad del líquido.
11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111
d
8
CAPÍTULO 1.
PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS FLUIDOS
1.8. Si un uido newtoniano circula por un conducto circular, de radio
R,
con una velocidad su cientemente baja, el ujo es laminar, y el per l de velocidades es una paràbola,
v(r) = vmax
r2 1− 2 R
!
a) Calculad la fuerza por unidad de longitud que se está haciendo, por fricción viscosa, sobre un tubo de corriente de radio la correpondiente a
r R,
y, en concreto,
r = R.
b) Dado que el ujo es estacionario, tiene que haber otra fuerza que compense la fricción. Esta se produce por la diferencia de presión a lo largo del conducto. Relacionad esta diferencia de presión con la viscosidad, para encontrar la ecuación de Poiseuille.
r
x
r R
1.9. Una pompa de jabón de radio ando otra de radio
R3
R1
R2 , crecoalescencia ).
se funde con otra de radio
(éste fenómeno recibe el nombre de
Considerando que todo el proceso es isotérmico, calculad
R3 .
1.10. Dos placas muy delgadas estan medio sumergidas en un líquido, de densidad
ρ, y inclinadas un ángulo α una contra la otra, como muestra la gura.
Por efecto de capilaridad, el líquido sube por las paredes de las placas. Si a nivel de la super cie libre del líquido, las placas están separadas una distáncia
L,
calculad la altura
h
que sube el líquido en función del ángulo
α.
9
1.11.
θ α
h
L
1.11. Si las placas del problema anterior forman un ángulo en lugar de cerrándose, ¾cuánto valdrá la altura
α
pero abriéndose
h?
1.12. Al contrario de lo puede pensarse, una bola de acero maciza puede no hundirse en el agua. ¾Cuál tendría que ser su diámetro máximo? ¾Y si la bola es de aluminio ? Datos:
ρacero = 7800 Kg/m3 , ρAl = 2700 Kg/m3
10
CAPÍTULO 1.
PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS FLUIDOS
Capítulo 2 Hidroestática 2.1. Un cubo cilíndrico, de altura
h
y diámetro
D,
vacio (bueno, en realidad,
lleno de aire a presión atmosférica y temperatura normal), se introduce boca abajo en agua hasta una cierta profundidad
E.
Calculad la fuerza que hay
que hacer sobre el cubo para mantenerlo en esta posición si todo el proceso se ha realizado de forma isotérmica.
E
e h
D En la película Piratas del Caribe: la Maldición de la Perla Negra dos personajes caminan por el fondo del mar respirando el aire acumulado en una barca boca abajo. Discutid, en base al cálculo anterior, la credibilidad de esta maniobra.
2.2. ¾El agua es incompresible? Depende de las condiciones. El agua en reposo tiene también una cierta compresibilidad, aunque normalmente es menospre-
11
12
CAPÍTULO 2.
HIDROESTÁTICA
ciable. El coe ciente de compresibilidad, de nido como
β=ρ toma un valor aproximado de
2,2 109
dp dρ
Pa para el agua. Suponiendo que este
valor es constante, calculad la distribución de densidad y de presión del agua en reposo en función de la profundidad
h. ¾A que profundidad tendremos un
aumento de la densidad de un 10 %? Sabemos que la fuerza ejercida por el agua, considerada como incompre1/2ρgBh2 . ¾Cuál es el error
sible, sobre una super cie vertical sumergida es
cometido por no considerar la compresibilidad? Aplicad este resultado a la super cie lateral de un pilar de una plataforma petrolífera que tenga 100 metros de profundidad.
2.3. Un émbolo libre, que pesa
16 kp
y puede desplazarse sin rozamiento
apreciable a lo largo de un cilindro, determina dos cámaras en el mismo, una ocupada por un líquido cuyo módulo de elasticidad isotérmico es β = 20500 kp/cm2 , prácticamente independiente de la presión, y la otra ocupada por nitrógeno. Las condiciones iniciales son: presión absoluta inicial del ni5 ◦ trógeno de 10 Pa, temperatura inicial de 15 C y geométricamente las representadas en la gura. Sabiendo que el cilindro es prácticamente indeformable y que la evolución del gas es isotérmica, se pide: a) ¾Cuál deberá ser la presión del gas para que el volumen ocupado por el líquido experimente una reducción del 0.5 %? b) En tales condiciones, ¾cuál es la masa del gas que se ha debido añadir al cilindro?
2.4. Un tronco de madera (ρ
= 800 kg/m3 ), de 1,20 m de diámetro tiene 2,40 m
de largo, y se usa como presa de agua, como se muestra en la gura. Calculad la reacción en el punto
A.
A
13
2.5.
2.5. Como todos los grandes emperadores, los Faraones Egipcios eran conocidos por su gran excentricidad. Imaginemos uno excepcionalmente excéntrico que, aconsejado por su astrólogo real, decide construir su Gran Pirámide bajo el mar. Supongamos que esta Gran Pirámide tendrá las dimensiones exactas de la Gran Pirámide de Khufu en Giza (2600 A.C.): altura 153 m; ◦ base 241 × 241 m; ángulo de inclinación de las caras triangulares 51, 5 y construida con 2300000 bloques de piedra de 2,5 Tm cada uno. La pirámide tendrá su punta superior a 5 metros por debajo del nivel del mar, y su base estará asentada sobre el fondo del Mar Mediterráneo. Como consejo de ingenieros reales y expertos en estática de uidos, debeis aconsejar al Faraón acerca del diseño de la pirámide. Comparada con la pirámide al aire libre, ¾qué fuerzas adicionales deberá soportar esta pirámide? Se descarta dar al Faraón el consejo, posiblemente muy juicioso, de abandonar el proyecto por completo.
1
2.6. Cuando sube el nivel del agua en el lado izquierdo de la compuerta de la gura, ésta se abre automáticamente. Calcular el nivel mínimo del agua por encima del punto A para que se abra, a) menospreciando el peso de la compuerta b) considerando una compuerta de un material de densidad
ρc
de espesor
e A l
2.7. Si la salida de aceite del carter de un automóvil se encuentra en una lado del mismo, como indica la gura, podemos encontrarnos con el problema de que en una curva el motor se quede sin aceite, debido a la inclinación del nivel.
1 Adaptado de una contribución de Mohamed Gad-el-Hak, de la Virginia Commonwealth University, a la página web de e-Fluids.
14
CAPÍTULO 2.
Calculad, para un nivel de aceite
h
HIDROESTÁTICA
y una amplitud del carter
b,
la relación
entre velocidad máxima del automóvil y radio de la curva de forma que este problema no surja. Si el radio es de 500 metros, el carter tiene una amplitud de 30 cm y el nivel de aceite es de 15 cm, ¾cuál podrá ser la velocidad máxima del vehículo?
h aceite
b
2.8. Los globos llenos de helio son usados comunmente en meteorologia para medir temperatura, presión, humedad, etc. . . a diferentes alturas en la atmósfera. Supongamos que un globo se llena hasta un volument
V
a nivel del
mar con He, de forma que se obtiene en el interior del globo un presión mayor que la atmosférica a nivel del mar, a) Calculad la masa máxima
mmax
p,
p0 .
que puede tener el globo y la instru-
mentación de forma que el globo pueda empezar a elevarse. b) Suponiendo que el volumen del globo se mantiene constante (globo rígido), y que la masa del globo y la instrumentación es
m < mmax ,
calculad
la altura hasta la que se elevará el globo en una atmósfera adiabática. 3 Aplicad numéricamente los resultados a un volumen V = 0,5 m , presión inicial
p = 1,1 p0 ,
y
m = 0,75 mmax
2.9. La densidad del agua del mar no es uniforme, sino que varia con la profundidad, debido a la variación de salinidad, de temperatura y de presión. Su 3 valor se encuentra, de forma aproximada, entre 1020 Kg/m en la super cie, 3 y 1050 Kg/m como valor máximo. Su puede tomar, como valor medio, unos 1030 Kg/m3 . Se puede construir un aparato sencillo para medir este per l con una esfera de diámetro interior
Di
y espesor
e,
llena de aire a presión
pi .
15
2.9.
La esfera está conectada con un conducto a un compresor/bomba de vacio, de forma que podemos, fácilmente desde el barco, controlar la presión
pi
y la
profundidad a la que se encuentra la esfera. a) Si el material con el que se contruye la esfera es acero, estimad el valor de
Di
en función del espesor
e.
b) Calculad la relación entre la densidad del agua
ρ
y la presión del aire
en el interior de la esfera. c) Calculad el rango de presiones necesario poder realizar nuestro experimento. Nota: Puede ser conveniente considerar que el espesor del material es mucho menor que el diámetro de la esfera
16
CAPÍTULO 2.
HIDROESTÁTICA
Capítulo 3 Cinemática. Conservación de masa y conservación de cantidad de movimiento 3.1. Un ujo bidimensional esta de nido por
~ı + ~v = − x2Ky +y 2
Kx ~, donde x2 +y 2
K
es una constante positiva. a) ¾Es incompresible este ujo? b) ¾Es irrotacional? c) Encontrad la ecuación general de la función de corriente, y dibujad, de forma esquemàtica, las líneas de corriente. d) ¾Cual es la velocidad angular intrínseca de las partículas uidas? e) Encontrad el campo de aceleraciones f ) Demostrad que la circulación del campo de velocidades sobre una línea cerrada, de forma rectangular, contenida en el plano
xy
es proporcional a la
superfície que encierra esta línea.
3.2. Un vehículo, con super cie de techo con una velocidad
St
y super cie frontal
Sf
se desplaza
v bajo la lluvia, que forma un ángulo α respecto la vertical, v . La precipitación de lluvia, considerada como un
y en dirección contraria a continuo, es de
m
mm por metro cuadrado y por segundo. Calcular en qué
medida se moja el vehículo y demostrar que, si la lluvia es completamente vertical, el volumen de agua recibido en la parte frontal al desplazarse una cierta distancia es independiente de la velocidad.
17
18CAPÍTULO 3. CINEMÁTICA. MASA Y DE CANT. DE MOVIMIENTO
m α v AMC
40602
602 U.S. AIR FORCE
3.3. En la gura se presenta un esquema similar a un gasómetro de campana en condiciones de equilibrio y cuando la válvula está cerrada.
1000
placa
gas
200
1500
5000
Ø6000
agua
.
m válvula Ø6500
En un cierto instante, la válvula se abre y comienza la entrada de un caudal másico de gas al interior de la campana, de valor
m ˙ = 0,10 kg/min
que la hace subir hasta que llega a tocar la placa, siendo este su máximo. Considerando que todo el proceso es isotérmico, a una temperatura de
◦
10 C ,
se pide:
a) calcular cómo varía la altura de la campana en función del tiempo y b) calcular cómo varía la presión del gas en el interior de la campana antes y después de tocar la placa
3.4.
D se encuentra inicialmente abieriniciales de presión P0 = Patm y densidad
Un tanque esférico de diámetro interior to a la atmósfera con condiciones
19
3.5.
ρ0 . En el instante t = 0, el tanque se cierra a la atmósfera y se abre la válvula de entrada VA dejando pasar un ujo de gas constante m ˙ ,manteniendo la válvula de salida VB cerrada. En el instante t = t1 , la presión en el interior del tanque es p1 (relativo) y, a partir de este instante, la válvula de salida VB deja pasar un caudal constante QB . Tomando todo el proceso como isotérmico, se pide: a) Determinar el tiempo
t1 .
b) Evaluar cómo varía la densidad del uido en el interior del tanque a partir del tiempo
t1 .
c) Determinar el tiempo t2 para el cual la densidad del uido en el interior del tanque alcanza un valor de un 5 % más que la densidad nal (condición de equilibrio).
Figura 2.4.1 Evolución aperturas válvulas
mA
VA
VB QB
3.5. El modelo del coche de la gura pesa
17 N y es acelerado desde el reposo 75 m/s y un diámetro de 1 cm.
por un chorro de agua con una velocidad de
Despreciando la resistencia del aire y el rozamiento de las ruedas, se pide calcular la ecuación de la velocidad del coche en función del tiempo y del espacio.
20CAPÍTULO 3. CINEMÁTICA. MASA Y DE CANT. DE MOVIMIENTO
3.6. Una turbina de reacción es colocada en un túnel de viento donde recibe aire con una velocidad
U,
a una presión
p
y una densidad
ρ.
La distribución
de velocidad en el chorro en la super cie de entrada, de valor
Se ,
puede
considerarse uniforme. En la salida, con una super cie circular de radio
rs ,
la velocidad no es uniforme, sino que tiene una distribución parabólica,
"
u(r) = 2U0 La presión en la salida del chorro es
r 1− rs
2 #
.
ps , y la densidad del gas es ρs . La cantidad
de combustrible introducido lateralmente corresponde al 2 % de la masa total de aire que circula. Calculad el empuje horizontal
R
sobre el motor. ¾Cuál
sería l valor de este empuje si la distribución de velocidad en la salida fuese uniforme?
combustible
Se
Ss
R
3.7. Un cohete se encuentra en el espacio exterior. No hay, por tanto, ni efectos de la gravedad ni del rozamiento con la atmósfera. La masa del cohete, sin
mc . En un instante determinado la masa de combustrible es m0 . El cohete empieza a eliminar combustible por la tobera con una velocidad ve y una tasa de consumo β . Calculad la ecuación del movimiento del cohete. combustible, es
3.8.
S y velocidad v0 incide sobre un θ, que se mueve en la misma dirección que el chorro con
Un chorro de agua de sección circular álabe, de incilinación una velocidad
U.
Calculad la fuerza que ejerce el chorro sobre el álabe y la
velocidad que debe tener éste para que la potencia transmitida sea máxima.
21
3.9.
θ v0
U
3.9. Sobre una caja con ruedas, agujereada en un lado, incide un chorro de
M0
agua, tal y como muestra la gura. La caja tiene una masa diámetro
y el chorro, de
D incide con una velocidad va . Calculad la ecuación del movimiento
de la caja. v(t)
va
D
3.10. Se quiere probar un sistema de frenado para un vehículo, consistente en un depósito con aire comprimido que impulsa aire en el sentido contrario a la marcha, como indica la gura. El depósito, de volumen temperatura velocidad
vc
T
V,
está inicialmente lleno de aire a presión
y, la descarga de aire, a partir de
t = 0,
p0
y
se realiza con una
constante e igual a la inicial (hipótesis de trabajo). Si la masa
inicial total (contando también el aire) del vehículo es una velocidad
v0 ,
M0 ,
y éste se mueve a
se pide:
a) La velocidad de descarga del aire. b) La expresión de la presión en el interior del depósito en función del tiempo. c)La expresión de la masa total del vehículo en función del tiempo. d)La ecuación diferencial que describe la variación de la velocidad del vehículo en el tiempo. e) La expresión de la velocidad del vehículo en función del tiempo suponiendo que la masa inicial de aire es muchísimo menor que la del vehículo. f ) La variación de la velocidad del vehículo cuando se ha descargado todo el aire del depósito.
22CAPÍTULO 3. CINEMÁTICA. MASA Y DE CANT. DE MOVIMIENTO v0
vc
Capítulo 4 Conservación de momento cinético y conservación de energía 4.1. Un cohete está ligado a una barra horizontal rígida articulada en un punto
O. La masa del cohete sin combustible es mc . En un instante determinado la masa de combustible es m0 , y el cohete empieza a expulsarlo por la tobera con una velocidad ve y una tasa de consumo β . Calculad la ecuación del movimiento del cohete.
ve
4.2. La bomba centrífuga de la gura tiene un caudal
θ2 ,
Q que sale con un ángulo
medido respecto a los álabes. El uido de entra con ujo completamente
radial en la sección 1. Suponiendo ujo incompresible y menospreciando pérdidas por rozamiento, halla una expresión para la potencia accionar la bomba cuando gira a una velocidad
23
ω.
P
necesaria para
24
CAPÍTULO 4.
MOMENTO CINÉTICO Y ENERGÍA
4.3. La turbina Pelton de la gura, de 1,5 m de radio, es accionada por un chorro de 50 m/s, y gira a una velocidad de 200 rpm. Suponiendo que no hay pérdidas por rozamiento, ¾ cuál es la potencia desarrollada por la rueda? ¾A qué velocidad será esta potencia máxima?
Nota: se supone que hay muchas cucharas en la rueda, de forma que el chorro siempre está incidiendo en una.
25
4.4.
4.4. Un canal abierto de profundidad fondo, de altura
h0 .
H y ancho D tiene un obstáculo en h que sube el nivel del aigua sobre
Calcular la altura
el el
obstáculo. 2
h
1
H h0
4.5.
2L y sección A está sumergido en un tanque lleno de ρ, a una presión pa . El tubo, en posición horizontal,
Un tubo, de longitud un líquido de densidad
está abierto por los dos extremos, de forma que está completament lleno del líquido. Ahora bién, el tubo está hecho de un material piezoeléctrico tal que su área
A
(que se mantiene uniforme en toda la longitud del tubo) puede
variar en el tiempo de forma arbritaria, mediante la aplicación de un cierto voltage al tubo. Supongamos que, mediante la aplicación de un voltage conveniente, el área
A(t)
varia en el tiempo de forma monótonamente decreciente. Asum-
iendo que el ujo en el interior del tubo es entodo momento incomresible e inviscido, encontrad una expresión para a) la velocidad del ujo
u
en una cierta posición
b) la presión en el contro del tubo (x
x
del tubo y
= 0).
c) ¾Són los resultados de (a) y (b) válidos también si
A(t)
aumenta en el
tiempo en lugar de disminuir? 2L
x A(t)
4.6. En un diafragma, que se utiliza para medir el caudal que circula per un conducto, se produce una fuerte caida de presión
p2 − p1 .
Calculad, en
función de esta caida de presión y de la geometría del diafragme, el caudal
Q.
¾Cuál es la fuerza que hace el uido sobre ell diafragma? ¾Cuál es la poténcia consumida?
26
CAPÍTULO 4.
MOMENTO CINÉTICO Y ENERGÍA
p1
D
p2
d
4.7. Un ventilador es instalado en el interior de un embudo, como se indica en al gura. El ventilador impulsa el aire con una velocidad sección circular
S.
V,
y tiene una
Calculad la fuerza que se está ejerciendo sobre el soporte
y el gasto de potencia.
L
S S2
V
S1
4.8. El submarino ruso Plashchof se encuentra tranquilamente navegando por aguas muy profundas cuando tiene una avería muy grave e irreparable y se apagan todos los sistemas. Por suerte la tripulación consigue salvarse, pero el submarino, debido a una cierta cantidad de agua que se ha introducido en el accidente, cae hacia el fondo sin salvación posible. La profundidad a la que se encuentra el submarino cuando ocurre la avería es del fondo del mar en esa posición es agua introducida es
M,
HT .
H0 . La profundidad
La masa del submarino, más la del
y la densidad del agua
ρ.
a) Encontrad una expresión para la velocidad con la que el submarino colisiona contra el fondo. b) Si consideramos la compresibilidad del agua, ¾esta velocidad será igual, menor o mayor? ¾Por qué? Cuando el submarino llega al fondo, la colisión es tan grande que se abre una grieta en la parte inferior del mismo, por donde entra más agua. Con-
27
4.9.
siderando que en todo momento el aire del interior del submarino se encuentra a la misma temperatura y que, inicialmente, su presión es la atmosférica, c) Encontrad la ecuación diferencial que da el nivel de llenado del submarino en función del tiempo. d) ¾Hasta qué nivel se va a llenar el submarino?
H0 HT
HT
h
Pistas: Puede ser muy conveniente idealizar la forma del submarino a una caja rectangular. Por otro lado, en todo momento la profundidad a la que se encuentra el submarino es muy superior a la altura del mismo.
4.9. ¾Cuánto tiempo tarda en vaciarse un embudo lleno de un líquido?
4.10.
resalto hidráulico amplitud b, el agua
En la salida de algunas presas se produce el denominado para disipar la energía que lleva el agua. En un canal de lleva una profundidad con una profundidad
h1
h2
y una velocidad
y una velocidad
v1 ,
para salir después del resalto
v2 .
Si el agua sale a un canal de 2 metros de amplitud con una profundidad de
0,5 metros y una velocidad de 15 m/s, calcular la profundidad y la velocidad despues del resalto y la potencia disipada. Nota: Menospreciar la fricción con el suelo y paredes y suponer que la presión del agua es hidrostática en la entrada y en la salida del resalto.
28
CAPÍTULO 4.
MOMENTO CINÉTICO Y ENERGÍA
v2 h2
h1
v1
4.11. En el conducto de la gura circula CO2 a una temperatura de
20◦ C.
La
presión estática en 1 es p1 = 170 kPa, y la densidad del líquido del manómetro 3 es ρm = 827 Kg/m . Los diámetros de la tubería son D1 = 10 cm y D2 = 6 cm, y la altura que marca el manómetro es
h = 8 cm.
Calcular el caudal de gas por la tubería. p1
p2
D1
D2
h
Datos: Constante universal de los gases:
R = 8,314 molJ K
Masa moleculares (gr/mol) : C : 12; O : 16
4.12. Un fabricante de juguetes quiere diseñar un disco que se deslice sin rozamiento por el suelo, tipo hovercraft. El disco tendrá un ventilador en el interior que dará un caudal, con una cierta presión. El disco tiene una masa
M,
con pilas incluidas, un diámetro
distancia
e
D
y se quiere que se mantenga a una
del suelo. Suponiendo que no hay pérdidas por rozamiento y ha-
ciendo otras hipótesis oportunas, calcular, usando las leyes de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía,
29
4.12.
pc , que el ventilador debe crear b) el caudal Q que debe dar el ventilador c) la potencia P consumida por el motor
a) la presión,
en la cámara de aire
30
CAPÍTULO 4.
MOMENTO CINÉTICO Y ENERGÍA
Capítulo 5 Análisis Dimensional y Flujo con Viscosidad Dominante 5.1. Un barco se debe situar en un dique seco tal como se muestra en la Figura 1 (prototipo). La abertura de la compuerta produce el descenso del nivel de agua a una velocidad de 25 cm/min. Se desea saber la fuerza qué han de soportar los cables de amarre.
Para ello, se construye un modelo a escala 1:25 en el cual se mide la fuerza de resistencia máxima que ejercen los cables de amarre en el modelo de valor
31
32
CAPÍTULO 5.
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y FLUJO VISCOSO
0.725 kp. Determinar la fuerza de los cables de amarre en el prototipo.
5.2. Un modelo de avión a escala 1:80 es ensayado en una corriente de aire a 20º C y a una velocidad de 45 m/seg.
1. ¾A que velocidad habrá de arrastrarse el modelo si está totalmente sumergido en un agua a 27ºC?
2. ¾Qué arrastre sobre el prototipo en el aire corresponderá a una resistencia sobre el modelo en el agua de 0.55 kg?
5.3. En la gura se presenta un reómetro de extrusión.
Se pide dimensionar el reómetro de forma que permita determinar la 3 viscosidad dinámica de un barro de densidad 1125 kg/m y cuya viscosidad cinemática puede variar entre
1500
y
3000 CSt.
33
5.4.
5.4.
Se diseña una plataforma petrolífera marina que mide 30 metros de lado. En su emplazamiento, esta plataforma tendrá que soportar corrientes de 15 m/s y olas de 3 metros de altura y un periodo de 12 segundos. Para probarla, se construye un modelo a escala 1:60 y se instala en un canal de agua con un generador de olas arti ciales. Escribir la relación de la fuerza que ha de resistir la plataforma en forma adimensional. ¾A qué velocidad deberemos poner el agua en el canal y cual deberá ser la altura y periodo de las olas? Nota: Esta fuerza también dependerá de la densidad y la viscosidad del agua.
5.5.
Un posible viscosímetro sería simplemente un cilindro, de diámetro
D,
en posición vertical (ver gura). En la cara superior del cilindro se vierte un caudal
Q
dinámica
ρ
de un líquido de densidad
µ,
(conocida y constante) y viscosidad
que queremos determinar. El uido cae por la super cie lateral
formando una película de espesor
e
una vez se ha estabilizado el ujo. Se
pide:
1. Razonar que el espesor y, por lo tanto, el per l de velocidad del ujo en la pared lateral, se estabiliza llegando a un valor límite constante.
2. Encontrar el per l de velocidades en función del espesor
e
y de las
propiedades del uido.
3. Derivar, conocido el caudal viscosidad
µ.
Q,
una relación entre el espesor
e
y la
34
CAPÍTULO 5.
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y FLUJO VISCOSO
Sugerencia: Si se supone
e D,
se puede hacer una aproximación bidi-
mensional del problema que simpli ca mucho los cálculos.
5.6.
Se quiere explotar una bolsa de petróleo que se encuentra a una profun-
H, y se encuentra rodeada por una bolsa de gas, con una presión manométrica pg , didad
L.
La bolsa tiene forma cilí ndrica, con un radio
R
y una altura
r0
que llega hasta el
supuesta constante en todo momento. Para extraer el petróleo se hace un ori cio de radio
centro de la bolsa. Se quiere encontrar el caudal que obtendremos de petróleo.
35
5.7.
z
2r0
L
H r
2R 5.7. Es bien sabido que hay que ejercer una cierta fuerza para separar dos super cies unidas por una na lámina de uido viscoso, actuando como un adhesivo. Se cree que algunos insectos usan esto para poder andar en super cies horizontales boca abajo. Consideremos el problema modelo de un disco separado de una placa horizontal una distacia fuerza constante
H0 ,
como muestra la gura, en el que se ejerce una
F. D
111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 H
1111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111
σ
F
1. La super cie cilíndrica lateral es una super cie libre, con una tensión super cial
σ.
Utilizad el análisis dimensional para establecer en qué
condiciones los fenómenos de capilaridad serán negligibles.
36
CAPÍTULO 5.
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y FLUJO VISCOSO
2. Considerando que para
t = 0
la separación entre super cies es
H0 ,
escribid las ecuaciones de Navier-Stokes simpli cadas en coordenadas cilíndricas. 3. Encontrad la expresión para
vr
en función de la (hasta ahora descono-
cida) distribución radial de presión. 4. Usando la conservación de la masa, escribid una relación entre el ujo a través de una super cie anular de radio placas
H(t).
r < D/2,
y la separación entre
Con este resultado ya se puede encontrar la distribución
de presión. 5. Integrar el resultado anterior para demostrar que la fuerza viscosa entre las placas es
Fvisc = −
3π 4 H˙ µR 3 2 H
(5.1)
6. Menospreciando la masa y la inercia de la placa, y asumiendo un comportamiento quasiestático, encontrad
H(t).
5.8. Un depósito contiene un cierto uido de viscosidad
µ
y densidad
ρ.
Para
extraer el uido usamos dos cintas transportadoras verticales de ancho y longitud
L
y separadas una distancia
h,
D
mucho menor que el ancho y la
longitud de las cintas. Si las cintas se mueven con una velocidad vertical hacia arriba
V,
y
suponiendo que la viscosidad del uido es lo su cientemente grande como para que el ujo pueda ser considerado laminar, calcular 1. el caudal del uido extraido, y 2. la fuerza que deben hacer las cintas debida a la fricción del uido.
L D
h
37
5.9.
5.9. Un pistón empuja un uido en el interior de un cilindro, como se muestra en la gura. El cilindro tiene un diámetro
D.
El pistón tiene una longitud
l
y el juego, mucho más pequeño que el diámetro, que hay entre el pistón y el cilindro es
e.
El pistón se mueve a una velocidad
del cilindro tiene una viscosidad
µ
Vp ,
y el uido en el interior
y se mantiene a una presión
p.
Se pide:
1. Suponiedo que no hay fugas por el espacio entre el pistón y el ciliendor, el caudal que impulsamos por la tubería de la camara. 2. Una expresión para el caudal que se fuga por el juego entre el pistón y el cilindro, en función de la velocidad del pistón, la presión de la cámara, la viscosidad del uido y la geometría del cilindro y el pistón. 3. Una expresión para el valor del juego entre el pistón y el cilindro para que las fugas sean nulas.
Nota: Dado que el juego es mucho más pequeño que el diámetre, se puede suponer que la superfície del pistón y la del cilindro son planas y paralelas entre sí.
5.10. Una válvula de forma troncocónica es usada para regular el caudal de un uido, de viscosidad
µ
y densidad
ρ,
en un circuito.
La válvula tiene las dimensiones de la gura, donde
e