PROBLEMAS ESTÁTICA FARMACIA

1º Parcial curso 2012- 2013

PROBLEMA 1

75º

W · a · sin 90º  FA · b · sin   0

W FA

Resistencia

La figura muestra el diagrama de fuerzas sobre la cadera izquierda de una persona de 70 kg puesta en pie que apoya todo su peso sobre el pie izquierdo (ha encogido la pierna derecha de modo que el pie derecho no toca el suelo). Los músculos de la cadera izquierda deben contraerse para mantener la pelvis horizontal contrarrestando el peso del cuerpo. (a) ¿Qué género de palanca es el mostrado en la figura? Identifíquese el fulcro, la potencia y la resistencia. (b) Usando los valores de distancias y ángulos dados en la figura, calcular la fuerza FA realizada por los músculos de la cadera. b Fulcro 5 cm a) Palanca de primer género 5 cm

FA 

14 cm

W · a · sin 90º b · sin 

75º



W 14 cm

FA

a

b) Cálculo de la fuerza: aplicamos la ecuación de momentos W ·14 · sin 90º  FA · 5 · sin 75  0 FA 

14 · 70 · 9.8 14 ·W   1989 N 5 · sin 75 5 · 0.9659

2

Final ordinario curso 2012- 2013

PROBLEMA 2 La figura muestra un brazo (masa m = 3.50 kg) sosteniendo una bola de masa M. Se indican las fuerzas que actúan y sus respectivos puntos de aplicación. Si el músculo deltoides, que se inserta formando un ángulo  = 15.4º, puede soportar como máximo una tensión T = 2500 N, calcular cuál es el máximo valor de la masa M que puede sostenerse con el brazo extendido y cuál es el valor de la fuerza de reacción R indicada en la figura (módulo y ángulo respecto a la horizontal). Equilibrio de momentos respecto al punto O: De esta ecuación despejamos la masa máxima M correspondiente a la máxima tensión T: Equilibrios de fuerzas:

F

X

Y a

T

a

F

0

Y

O

a

a

b a  15 cm b  40 cm

 O

R mg Mg

 a·T ·sin   2a·mg  2a  b ·Mg  0

0

a·T ·sin   2a·mg 0.15 · 2500 · sin 15.4º 0.30 · 3.5 · 9.8   13 kg 0.30  0.40· 9.8 2a  b·g

Eje Y 0

T sin   R sin   mg  Mg  0

 T cos  R cos  0 R sin   T sin   mg  Mg

b

 O

Eje X

M

M

T

R cos  T cos

X



a  15 cm b  40 cm

tan  

T sin   mg  Mg  0.2083 T cos 

R mg

Mg

R T

cos  cos 

R  2462 N

  11.7º

3

Final extraordinario curso 2012- 2013

PROBLEMA 3 Calcular la fuerza de reacción en el codo y la fuerza Fm que ha de ejercer el bíceps para contrarrestar el peso del antebrazo (cuya masa es 2.4 kg) y del objeto que sostiene la mano (peso indicado con Fg, masa 3 kg). Puede suponerse que el centro de masa del antebrazo está a 20 cm de la articulación del codo. Datos de distancias en la figura.

Suma de momentos respecto al codo (C): FC C

Fm

Fm  3  FA  20  Fg  40  0 FA

Fg

Suma de fuerzas (eje vertical)

Fm 

FA  20  Fg  40 3



2.4  9.8  20  3  9.8  40 470.4  1176   548.8 N 3 3

FC  Fm  FA  Fg  0

FC   Fm  FA  Fg  548.8  2.4  9.8  2.4  9.8  548.8  23.52  29.40  495.88 N

El signo negativo del resultado quiere decir que el vector FC tiene en realidad sentido contrario al indicado en el esquema

4

Final ordinario curso 2011- 2012

Problema 4 Una bailarina de 584 N de peso se pone de puntillas. El diagrama de las fuerzas que actúan sobre su pie se presenta en la figura adjunta. El vector F0 es la reacción normal del suelo sobre el pie, F1 es la tensión ejercida por el tendón de Aquiles, y F2 es la fuerza ejercida por los huesos de la pierna sobre el pie. Las líneas de acción de las tres fuerzas concurren en el punto O. Considerando que el peso del cuerpo se reparte por igual entre ambos pies, hágase un diagrama de las tres fuerzas concurrentes en O y determinar el valor de F1 y de F2.

 75º F1

O  F2

45º

45º

 Como el peso del cuerpo W se reparte F 0 equitativamente sobre ambos pies, la reacción normal F0  W / 2  584 / 2  292 N será igual a la mitad del peso: Y Equilibrio estático: suma de fuerzas igual a cero

 F0

O 75º

 F2

F F

 F1 15º

X

45º

X

 F1 cos15º  F2 sin 45º  0

Y

 F0  F1 sin 15º  F2 cos 45º  0

 F1 cos15º cos 45º  F2 sin 45º cos 45º  0 F0 sin 45º  F1 sin 15º sin 45º  F2 cos 45º sin 45º  0 F0 sin 45º F1 sin 15º sin 45º  cos15º cos 45º   0

45º

F2 

F0  F1 cos15º  sin 15º 

F1 

292 F0   413 N cos15º  sin 15º 0.9659  0.2588

292  0.9659  cos15º F0  cos15º    564 N  F1    sin 45º  sin 45º  cos15º  sin 15º   0.7071  0.9659  0.7071

5

Final extraordinario curso 2012- 2013

Problema 5 Calcular las fuerzas F1 y F2 sobre el diente representado en el esquema, suponiendo que se aplica un fuerza horizontal de 0.5 N como se muestra en la figura. ¿En qué criterio físico nos basamos para este cálculo? (En ortodoncia las fuerzas aplicadas sobre los dientes se transmiten a los huesos que los sostienen. Gradualmente el tejido del hueso se destruye y permite que el diente se mueva o gire. En el espacio intermedio va creciendo nuevo tejido óseo. Las fuerzas deben ser lo suficientemente pequeñas para no dañar la raíz del diente).

F  0 .5 N

F1

2 cm

F2

O

La suma de fuerzas aplicadas tiene que tener resultante cero, e igualmente la suma de todos los momentos aplicados sobre la pieza debe ser igualmente cero para que haya equilibrio estático. Nos basaremos en esto para determinar las fuerzas desconocidas. Fuerzas

+

+

F1  F2  0.5

Momentos (respecto al punto O) F  0.03  F1  0.02  0

F  F1  F2  0 F2  F1  0.5

F2  0.75  0.5  0.25 N

1 cm

F1  0.02  0.5  0.03

F1  0.75 N

6

1º Parcial curso 2012- 2013

PROBLEMA 6 El músculo deltoides levanta el brazo hasta la posición horizontal. En una persona adulta típica podemos suponer que este músculo se inserta a una distancia x1 = 15 cm de la articulación del hombro y en posición horizontal la fuerza que ejerce forma un ángulo  = 18º con el húmero. Para un peso del brazo W = 35 N aplicado a una distancia x2 = 35 cm de la articulación del hombro, se pide: 1. ¿De qué género de palanca se trata? 2. La tensión T ejercida por el músculo. 3. Las componentes de la reacción sobre la articulación, RX y RY, así como su módulo R y el ángulo que forma el vector R con el eje horizontal..

F

R

1. El fulcro es la articulación del hombro, es una palanca de

3er

género.

2. Tomamos como origen de coordenadas O la articulación del hombro y calculamos T a partir de la ecuación de momentos. x W T 2  O  T  x1  sin 180     W  x2  sin 90º  0 x1  sin 



T

Y

O

RY

T sin  W

f

Cálculo numérico: 35 cm  35 N T  264 N 15 cm  sin 18

180  

 X

f

RX

W

x1 x2

Véase que la fuerza que ha de ejercer el músculo es bastante más grande que el peso W. 7

1º Parcial curso 2012- 2013

PROBLEMA 6 (Continuación) 3. Cálculo de las componentes de la reacción sobre la articulación, módulo y ángulo.

T

Y

RX

180  



 X

O

RY

RX W

x1

x2



FX  T  cos   R X  0

Y

Y

R

R  RX2  RY2  2512  47 2  256 N

RX  T  cos 

RX  264  cos 18º  251 N

 F  T  sin   R  W  0

RY

tan  

RY 47   0.1857 RX 251

  10.5º

RY  T  sin   W

RY  264  sin 18  35  47 N

8

Final ordinario curso 2010- 2011

PROBLEMA 7 La mandíbula de un reptil primitivo es un sistema de palanca como el presentado en la figura. Cuando muerde una presa el sistema muscular del animal ejerce una fuerza M hacia arriba, la fuerza del bocado es B y la reacción sobre la mandíbula, aplicada en el punto donde ésta se articula a la mandíbula superior, es R. a) Suponiendo que el punto de aplicación de la fuerza M se encuentra a tres cuartas partes de la distancia entre los puntos de M Articulación de aplicación de B y R (más cerca de R) ¿Qué fuerza M tiene que la mandíbula hacer el músculo si la fuerza del bocado es B = 2.5 N? b) ¿Qué fuerza es mayor, el bocado B o la reacción R en la articulación? ¿Merece esto algún comentario? R B

a) Para que haya equilibrio mecánico, la suma de las tres fuerzas ha de ser cero:

BM R0

xB 3 / 4  3 xR 1 / 4

M

Articulación de la mandíbula

 M  BR

El momento respecto a cualquier punto también ha de xB ser cero:

 M  B  xB  R  xR  0

 R  B

B

xB

xR R

xR

 x  M  B  R  B 1  B   B 1  3  4 B  4  2.5  10 N  xR  b) La fuerza R es mayor que B, pues R  M  B  4 B  B  3B  7.5 N La solidez de la articulación de la mandíbula es la que determina la fuerza del bocado del animal.

Para conseguir una mordedura fuerte no solo hace falta un músculo poderoso, sino también 9 una articulación resistente.

Final extraordinario curso 2010- 2011

PROBLEMA 8 Un accidentado requiere que se le aplique tracción en la pierna, lo cual se consigue mediante un sistema de poleas como el mostrado en la figura. (a) Dibujar el diagrama de fuerzas sobre la polea central, y para un ángulo  = 60º, determinar qué peso W hay que colgar para que la tracción sea de 50 N. (b) Si el ángulo fuese de 45º y se mantiene colgada la misma pesa del apartado anterior, ¿cuál sería la tracción sobre la pierna?

 

W

(a) Como la situación es estática (poleas en reposo, no giran) la tensión de la cuerda es la misma en todos los tramos. Las poleas únicamente sirven para cambiar de dirección. Todas las poleas están en reposo, luego la suma de las fuerzas que actúan sobre cada una debe ser cero. Diagrama de fuerzas Requisito del enunciado: F  50 N

F

X

T W T W

T W F  50 N

polea central Y

 2 W cos   F  0

F  50 N

F 50 W   50 N 2 cos 2  1 / 2 

W

  60º X   60º

W (b) Mismo W = 50 N, distinto ángulo ’ = 45º, la nueva tracción es F’

 F   2 W cos   F   0 X

Diagrama de fuerzas

F   2 W cos    2  50  cos 45º  50 2 N

T W

T W

 

T W

T W

T W 10

W

PROBLEMA 9 Una persona está levantando con las manos una pesa de masa M = 20 kg, lo cual le hace adoptar una postura con el tronco inclinado 45º respecto a la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la columna del sujeto aparecen en el esquema al margen. La tensión T es debida a los músculos sacroespinales que tiran de la columna vertebral desde la cadera, cuya acción conjunta puede describirse simplificadamente como la de un solo músculo que se inserta en su parte superior a 2/3 de la longitud L (véase figura) formando un ángulo de unos 10º con su eje. Considerando que la masa del tronco, la cabeza y las extremidades superiores es m = 50 kg, y que el centro de gravedad de estas partes del cuerpo coincide con el punto de aplicación de la tensión T, calcular dicha tensión T y las componentes de la reacción en la articulación del coxis (vector R en el diagrama).

11

X PROBLEMA 9 Continuación

45º

L

Y

L 45º

2L / 3

Mg R

45º

T

10º

Momento de las fuerzas que intervienen respecto al coxis:

mg

Coxis Ángulo a determinar

2 2  O  T  L  sin 10º mg  L  sin 45º  Mg  L  sin 45º  0 3 3



No es necesario conocer L

2 mg  sin 45º  Mg  sin 45º 3 T 2 sin 10º 3

Y L T

El hombre está inclinado 45º respecto a la vertical

2L / 3

X

10º

T  3192.5 N

45º

Coxis

Ángulo a determinar

mg

  45º

45º

Mg R

12

T  3192.5 N

PROBLEMA 9 Continuación

F

X

45º

 T  cos 10º  R X  mg  cos 45º  Mg  cos 45º  0

L

RX  T  cos 10º  mg  cos 45º  Mg  cos 45º RX  3629.1 N

 F  T  sin 10ºR  mg  sin 45ºMg  sin 45º  0 Y

Y

RY  T  sin 10º mg  sin 45º  Mg  sin 45º RY  69.3 N tan  

Y

RY  0.01909 RX

  1.1º RX

 RY

Y L T

El hombre está inclinado 45º respecto a la vertical

2L / 3

X

10º

X R

45º

Coxis

Ángulo a determinar

mg

  45º

45º

Mg R

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