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Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes G.L. Baume - 2011
Procesamiento de Imágenes
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Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes G.L. Baume - 2011
Procesamiento de Imágenes 1. Introducción 2. Definiciones Básicas 3. Filtrado de Imágenes 4. Restauración de Imágenes 5. Combinación de Imágenes 6. Imágenes color
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1. Introducción
Procesamiento
La tecnología digital moderna ha hecho posible la manipulación de señales multi-dimensionales. El grado de manipulación permite hacer la siguiente clasificación:
Imagen in
Imagen out
Análisis Imagen in
Parámetros (números)
Entendimiento Imagen in
Pdescripción de alto nivel
http://web.njit.edu/~gary/202/Lecture6.html
Desde tierra
HST (pre 1994)
HST procesada
HST (post 1994)
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1. Introducción Campos de Aplicación Existen infinidad de aplicaciones en ciencia, e ingeniería Solo unos pocos ejemplos pueden ser: Sensores remotos: Imágenes terrestres obtenidas por satélites Astronomía: Imágenes obtenidas con telescopios o satélites Navegación (aerea, marítima, terrestre): Imágenes obtenidas por radar, sonar o IR Medicina: p.e. Imágenes por ultrasonido o por rayos X Biología: Imágenes obtenidas con microscopios Ingeniería: p.e. Visión para computadoras, transmisión de datos Seguridad: p.e. Identificación de huellas digitales etc, etc, etc... 4
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Procesamiento de Imágenes 1. Introducción 2. Definiciones Básicas 3. Filtrado de Imágenes 4. Restauración de Imágenes 5. Combinación de Imágenes 6. Imágenes color
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2. Definiciones Básicas Imagen: Imagen analógica Se define como una función real de dos variables reales Ejemplo: a(x,y), donde a es la amplitud (p.e. el brillo) de la imagen en las coordenadas x,y. Pueden considerarse solo partes de esa función acotando el rango de las coordenadas originando las “regiones de interés” (ROI). Este concepto es útil cuando se tienen varios objetos en una imagen de manera de asociar un ROI con cada objeto.
ROI
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2. Definiciones Básicas Imagen: Imagen digital Se define como una matriz de valores enteros Ejemplo La matriz A de N filas y M columnas donde cada elemento es a(i,j) Una imagen digital se puede obtener de una imagen analógica por medio de dos procesos: Muestreo: • Se divide la imagen analógica en N filas y M columnas. • La intersección de una fila y una columna determina un “píxel” • El valor asignado a dicho píxel es usualmente el promedio del valor de la función a(x,y) dentro de ese píxel Cuantización • Se le asigna el valor entero más cercano a cada píxel 7
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2. Definiciones Básicas
Procesamiento Imagen in
Imagen out
Técnicas (por ejemplo)
“Image enhancement” “Image restoration” “Edge detection” “Image Filtering” “Image compression” y “Video processing” (util para transporte y comunicación de datos) 8
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2. Definiciones Básicas Clases de procesamiento de imágenes “Image enhancement” (mejora de imágenes): Este proceso consiste en la transformación de las intensidades para el realzado de imágenes Este proceso conduce a un cambio de brillo y/o contraste de una imagen En este caso se alteran los valores de la matriz que representa la imagen (NO es solo un cambio de “stretch function”) Por ejemplo:
I out = c I in
γ
Nota: El término “enhancement” suele utilizarse tambien como el concepto general de “procesamiento” 9
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2. Definiciones Básicas Clases de procesamiento de imágenes “Image restoration”: Restauración de imágenes “Image denoising” Disminución del ruido de una imagen
“Image deblurring” Aclarado de imágenes
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2. Definiciones Básicas Clases de procesamiento de imágenes “Edge detection”: Detección de bordes
“Image Filtering”: Filtrado de imágenes Esta es una metodología del procesamiento de imágenes con la que se puede llevar a cabo alguno de los objetivos mencionados anteriormente (p.e.: restauración o detección de bordes) El tipo de filtrado se puede clasificar como • Lineal – No lineal • Dominio: espacial – frecuencia 11
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2. Definiciones Básicas
Análisis Imagen in
Parámetros (números) Valor medio Desviacion estándar Moda, etc.
Tareas IRAF
imstatistic imexamine imhistogram phot 12
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2. Definiciones Básicas
Entendimiento Imagen in
Pdescripción de alto nivel Una chica con un sombrero mirando hacia un lado
Tecnicas y programas (por ejemplo) “Image segmentation” “FOCAS” 1981 (Faint Object Classification and Analisys System) “Picture Processing Package” 1991 “Source Extractor” 1996 13
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2. Definiciones Básicas “Image segmentation” Segmentación de imágenes Consiste en el reconocimiento de distintos elementos en una imagen Ejemplo: La imagen presentada contiene tres (o cuatro)elementos • Fondo • Mano • Rosquilla • Anillo ??
“Source Extractor” (1996): Herramienta para separar estrellas de galaxias en una imagen astronómica
Tabla indicando las posiciones de los objetos y discriminando si se trata de estrellas o galaxias
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Procesamiento de Imágenes 1. Introducción 2. Definiciones Básicas 3. Filtrado de Imágenes 4. Restauración de Imágenes 5. Combinación de Imágenes 6. Imágenes color
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3. Filtrado de Imágenes Conceptos Básicos Se considera una imagen que es afectada por un sistema que se puede representar por un operador “H[ ]”
f(x,y)
Si el operador “H[ ]” es lineal:
H[ ]
g(x,y)
g(x,y) = H[f(x,y)]
H[k1 f1(x, y) + k2 f2(x, y)] = k1 H[f1(x, y)] + k2 H[f2(x, y)] Entonces se puede aplicar superposición y la salida se puede expresar como: ∞
g ( x, y ) = ∫∫ f (α , β ) H [δ ( x − α , y − β )] dα dβ −∞
si h(x,α,y,β) es la respuesta del sistema a un impulso (centrado en α, β):
h( x,α , y, β ) = H [δ ( x − α , y − β )]
La función h(x,α,y,β) es directamente la “Point Spread Function” (PSF) del sistema Bajo las consideraciones hechas, ella posee toda la información necesaria para modelar la degradación de la imagen 16
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3. Filtrado de Imágenes Conceptos Básicos La imagen resultante (g(x,y)) viene dada entonces por la denominada “Integral de Fredholm” Considerando además que el operador “H[ ]” es “invariante al desplazamiento”, la integral anterior se transforma en una “Integral de convolución”
“Integral de Fredholm”
g ( x, y ) = ∫ ∫
∞
−∞
f (α , β ) h( x,α , y, β ) dα dβ
Invarianza al desplazamiento: h(x,α,y,β) = h(x − α, y − β) “Integral de Convolución”
g ( x, y ) = ∫∫
∞
−∞
f (α , β ) h( x − α , y − β ) dα dβ
“Convolución Discreta”
Expresiones válidas para un sistema lineal e invariante al desplazamiento (“LSI System”)
∞
g (m, n) =
∑ f ( k , l ) h( m − k , n − l ) k ,l = −∞
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3. Filtrado de Imágenes Conceptos Básicos Entonces, un “Sistema LSI” (“Linear-ShiftInvariant”) se puede describir en forma simple como: • Una convolución en el dominio espacial (x,y) o • Una multiplicación en el dominio de Fourier (u,v)
f(x,y)
H[ ]
g(x,y)
LSI System
g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)
El operador H[] se conoce normalmente como “filtro” o “kernel”
G(u,v) = F(u,v) H(u,v) Un “Sistema LSI” queda totalmente caracterizado por su respuesta al impulso 18
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3. Filtrado de Imágenes Conceptos Básicos Sistema óptico LSI: En este caso particular, se definen las siguientes funciones:
f(x,y)
g(x,y)
H[ ] LSI System
• OTF: “Optical Transfer function” Es la función de transferencia normalizada • MTF: “Modulation Transfer function” Es el módulo de la OTF
OTF (u , v) =
H (u, v) H (0,0)
MTF (u, v) =
H (u, v) H (0,0)
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3. Filtrado de Imágenes Aplicaciones Algunas aplicaciones destacadas de la técnica de filtrado de imágenes son: • Suavizado de Imágenes (“Smoothing”)
f(x,y)
H[ ]
g(x,y)
g(x,y) = H[f(x,y)]
• Detección de bordes (“Edge detection”) • Realce de detalles (“unsharp masking”) • Restauración de Imágenes (“Restoration”)
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3. Filtrado de Imágenes Aplicaciones 1. Suavizado de Imágenes: Filtro “Average” (Promedio):
1 ... 1 1 h(m, n) = 2 M O M N 1 ... 1 N = tamaño del filtro
Efectos: Suaviza el ruido (“denoising”): En tamaño moderado, mejora la SNR Borronea los bordes
Nota: Existe un problema al procesar los píxeles de los bordes. Esto se puede solucionar agregando valores ficticios “fuera” de la matriz original y puede hacerse según diversos criterios, por ejemplo: Efecto espejo Valor medio Valor más cercano
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Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes G.L. Baume - 2011 Imagen original
3. Filtrado de Imágenes
N=3
Aplicaciones 1. Suavizado de Imágenes: Filtro “Average” (Promedio): N=5
Ejemplos Imagen original
N=3
N=9
N=7
N = 15
N = 35
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3. Filtrado de Imágenes Aplicaciones
Imagen original
σ = 230
σ = 80
σ = 30
σ = 15
σ=5
1. Suavizado de Imágenes: Filtro “Gaussiano”:
m +n 1 exp − Z 2σ 2 − N ≤ m, n ≤ N 2
2
h(m, n) =
2N = tamaño del filtro
Efectos: Similares al caso “Average” Suaviza el ruido (“denoising”): En tamaño moderado, mejora la SNR Borronea los bordes 23
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3. Filtrado de Imágenes Aplicaciones 2. Detección de bordes: Filtro “Laplaciano”: La expresión analítica es:
∂2 f ∂2 f ∇ f = 2 + 2 ∂x ∂y 2
Mientras que las versiones discretas puede ser una de las siguientes: 0 -1 0
-1 -1 -1
0
1
-1 4 -1
-1 8 -1
1 -4 1
1 -8 1
0 -1 0
-1 -1 -1
0
1
1
0 0
1
1 1
Imagen original
Imagen filtrada
1 1
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Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes G.L. Baume - 2011 Imagen original
3. Filtrado de Imágenes Aplicaciones 3. Realce de detalles: “Unsharp masking”: Este filtrado consiste en una combinación de un filtrado gaussiano y la imagen original. La expresión del “kernel” es:
Imagen luego de aplicar un filtro gaussiano
Imagen luego de aplicar un filtro laplaciano
h(m, n) = 2 I − G 0 ... 0 I = M 1 M 0 ... 0
Imagen luego de aplicar un “unsharp masking”
I = kernel identidad G = kernel gaussiano
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Procesamiento de Imágenes 1. Introducción 2. Definiciones Básicas 3. Filtrado de Imágenes 4. Restauración de Imágenes 5. Combinación de Imágenes 6. Imágenes color
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4. Restauración de Imágenes Objetivo Hallar cómo era una imagen original luego que ha sido degradada de alguna forma (por el sistema de observación)
Degradación Se pueden distinguir dos fuentes: • Borroneo (“blur”): Debido al movimiento relativo entre el detector y el objeto, turbulencia atmosférica, imágenes fuera de foco • Ruido (“noise”): Debido a diversas causas como los granos en una fotografía o ruido electrónico (ruido Jhonson) y ruido de cuantización en sistemas digitales
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4. Restauración de Imágenes Beneficios Obtener mayor resolución: • Mejorar las posibilidades de identificación de objetos en una imagen: La reducción de la superposición de objetos permite la identificación mas sencilla de las características presentes en la imagen (para ello se necesitan SNRs elevadas) • Poder hacer un mejor análisis cuantitativo • Mejorar como luce una imagen “Problema Inverso”: Esta es la forma en que se denomina en Matemáticas este tipo problema de reconstrucción el objetivo original
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4. Restauración de imágenes Modelos de degradación Es necesario hacer un modelo de cómo fue degradada la imagen y utilizar un método inverso Modelo: Si se supone que la imagen fue degradada por medio de un proceso lineal e invariante con el desplazamiento y además afectado por ruido, entonces se tiene el siguiente esquema:
Entre los posibles defectos que un sistema de imagen puede causar degradación se encuentran: • Desenfocado • Movimiento • No linealidad en el sensor • Ruido • Etc....
g(x,y) =H[f(x,y)] + n(x,y) g(x,y): Iimagen observada f(x,y): Imagen original (no degradada) H[ ]: Operador de la degradación introducida por el sistema n(x,y): Ruido aditivo 29
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4. Restauración de imágenes Modelos de degradación Modelo simplificado: 1. Suposiciones:
g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)
Se considera un modelo con las siguientes caracteríticas: • sin ruido • un “Sistema LSI” f(x,y)
H[ ]
g(x,y)
G(u,v) = F(u,v) H(u,v)
g(x,y) = H[f(x,y)] 30
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4. Restauración de imágenes Datos
Modelos de degradación Modelo simplificado: 2. Respuesta al impulso: h(x,y)
g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)
En general, es necesario estimar h(x,y) a partir de las imágenes de objetos a los que se les conoce las propiedades. Usualmente se estima la función transferencia del sistema que es la transformada de Fourier de la h(x,y) (F [h(x,y)] = H(u,v)) En Astronomía, los objetos conocidos son las estrellas que se adoptan como objetos puntuales (delta de Dirac) y su imagen observada es directamente la PSF (h(x,y))
G(u,v) = F(u,v) H(u,v) Incógnitas
Proceso de Deconvolución: Se denominan así a los métodos utilizados para estimar la imagen original (f(x,y)) a partir de la imagen observada (g(x,y)) teniendo una estimación de la PSF.
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4. Restauración de imágenes Métodos de deconvolución Clasificación de los métodos: Los métodos se pueden clasificar de varias formas. Clasificación 1: “No-blind deconvolution”: la función h(x,y) es cononocida “Blind deconvolution”: la función h(x,y) es descononocida Clasificación 2: Métodos lineales: Se basan en funciones originales (f(x,y)) que no dependen del modelado utilizado para el ruido de las observaciones (n(x,y)) Métodos no lineales: Se basan en funciones originales (f(x,y)) que explícitamente adoptan un modelo para el ruido (n(x,y)) 32
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4. Restauración de imágenes Métodos de deconvolución Clasificación de los métodos: Busko 1994, PASP 106, 1310
Métodos lineales
Métodos no lineales
Fourier-Wiener (FW)
Richardson-Lucy (RL)
Andrews & Hunt 1977 en Digital Image Restoration, Prentice-Hall
• Filtrado Inverso • Filtrado de Wiener
Maximum Entropy (ME - MEM) Wu 1993, ASP Conf. Ser. 52, 520
Iterative Least-Squares (ILS) Katsaggelos 1991 en Restoration, Springer
Richardson 1972, Opt. Eng. 29, 393; Lucy 1974, AJ 79, 745
Digital
Image
Sigma-Clean (SC)
Hogborn 1974, A&AS 15, 417 Clark 1980, A&A 83, 337 Keel 1991, PASP 103, 723
Deconvolución Regularizada
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4. Restauración de imágenes 1. Filtrado Inverso En el modelo simplificado sin ruido planteado anteriormente se obtiene una simple multiplicación en el dominio de Fourier Entonces, la forma directa de hallar la imagen original es: Haciendo un cociente Tomar la transformada inversa de Fourier El proceso entonces permite aparentemente lograr “una recuperación perfecta de la señal buscada”
G(u,v) = F(u,v) H(u,v)
1 G (u, v) F (u, v) = H ( u , v ) f(x,y) = F-1[F(u,v)] Filtro Inverso
1 Filtro (u , v) = H ( u , v )
Problema Importante: Dado que en la deconvolución se realiza un cociente, si H(u,v) posee ceros (o valores pequeños) el proceso puede provocar overflow durante su cómputo
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4. Restauración de imágenes 1. Filtrado Inverso Solución: Una forma de evitar (o aminorar) el problema anterior es adoptar valores pequeños para el filtro cuando éste tiende a diverger
Filtro Pseudo-inverso
1 si H (u, v) > δ Filtro (u, v) = H (u, v) 0 si H (u, v) ≤ δ δ = umbral pequeño
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4. Restauración de imágenes 1. Filtrado Inverso Ejemplo: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso” o de un “Filtro Pseudo-inverso” a una ltro o Fi vers imagen borroneada in
Filtro Pseudo-inverso δ = 0.1 36
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4. Restauración de imágenes
Filtrado Inverso
1. Filtrado Inverso Ejemplo: • Se nota la presencia de patrones periódicos (lineas verticales) en ambos resultados • Los patrones de ruido repetitivos son causados por picos en la función estimada para F(u,v)
Filtrado Pseudo-inverso
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4. Restauración de imágenes
Filtrado Inverso (f(x,y))
1. Filtrado Inverso Ejemplo: • Para solucionar este inconveniente, normalmente se procede a suprimir esos picos antes de efectuar la transformada inversa para obtener el resultado final
Pico a eliminar
F
F
-1
Transformada Inversa de Fourier
-1
Supresión de los picos F(u,v) estimada (negativo) 38
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4. Restauración de imágenes 1. Filtrado Inverso
g(x,y) = f(x,y) * h(x,y) + n(x,y)
Otro problema: Si se considera un caso más realista donde aparece el término del ruido y se aplica el procedimiento anterior, aparece un término adicional que puede ser dominante (normalmente a frecuencias elevadas)
G(u,v) = F(u,v) H(u,v) + N(u,v)
G (u, v) Fˆ (u, v) = H (u , v) N (u, v) Fˆ (u, v) = F (u, v) + H (u, v)
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4. Restauración de imágenes 1. Filtrado Inverso Solución: Una forma de evitar el problema anterior es hacer el filtrado solo en una parte limitada del “plano u-v”, o sea utilizar un filtro acotado solo a las frecuendias bajas
Filtro Inverso Limitado Radialmente
1 si u 2 + v 2 ≤ R Filtro (u, v) = H (u, v) 0 si u 2 + v 2 > R R = radio límite
Como justificaciones para este tipo de filtro se pueden mencionar que: • La energía de las imágenes normalmente se concentra a bajas frecuencias • La energía del ruido se halla aproximadamente distribuida sobre todas las frecuencias (“white noise”) 40
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4. Restauración de imágenes Imagen borroneada (observada)
1. Filtrado Inverso Ejemplo: Resultado obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso” a una imagen borroneada
Filtrado Inverso
Imagen original
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4. Restauración de imágenes Imagen borroneada (observada)
1. Filtrado Inverso Ejemplo 1: Resultado obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso Limitado Radialmente” a una imagen borroneada
R = 40
Filtrado Inverso Limitado Radialmente R = 70
R = 85
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4. Restauración de imágenes 1. Filtrado Inverso Ejemplo 2:
Imagen de una estrella aislada observada con problemas de tracking
Imagen de una estrella doble observada con problemas de tracking
Imagen de la estrella doble restaurada a partir de la imagen de una estrella aislada
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4. Restauración de imágenes 2. Filtrado de Wiener En éste método se considera tanto a la imagen como al ruido como procesos aleatorios
(
e 2 = E f ( x, y ) − fˆ ( x, y )
2
)
Se trata de encontrar, entonces, una “función estimadora de f(x,y)” ( f^(x,y) ) de manera de minimizar el error medio cuadrático Consideraciones: • El ruido (n(x,y)) y la imagen (f(x,y)) no se hallan correlacionadas • Alguno de los dos posee valor medio nulo • Los niveles de intensidad de la imagen estimada (f^(x,y)) son funciones lineales de los niveles de intensidad de la imagen degradada (g(x,y)) 44
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4. Restauración de imágenes 2. Filtrado de Wiener
Fˆ (u, v) =
La función f^ viene dada por las expresiones de la derecha, donde aparecen: • Distribución espectral de energía de la señal:
Sf (u,v) = |F(u,v)|2 • Distribución espectral de energía del ruido
H * (u, v) S f (u, v) 2
S f (u, v) H (u, v) + S n (u, v)
G (u, v)
2 1 H (u , v) G (u , v ) Fˆ (u , v) = H (u , v) H (u , v) 2 + S n (u , v) S f (u , v) 1 / SNR2
Sn (u,v) = |N(u,v)|2 Filtro de Wiener 2
H (u , v) 1 Filtro(u , v) = H (u , v) H (u , v ) 2 + S n (u , v) S f (u, v) 45
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4. Restauración de imágenes 2. Filtrado de Wiener Propiedades: • Si el ruido es nulo (Sn(u,v) = 0), el “filtro de Wiener” se reduce al “filtro inverso” estudiado antes • El espectro de potencia del ruido es constante si se trata de ruido blanco (“white noise”) Si no se conocen muy bien los parámetros del ruido, se puede introducir el “término K”. Este se considera como un parámetro libre que se ajusta interactivamente para obtener el mejor resultado, aunque generalmente es mejor estimar la SNR como función de u y v
Filtro de Wiener 2
H (u , v) 1 Filtro(u , v) = H (u , v) H (u , v ) 2 + S n (u , v) S f (u, v)
2 1 H (u, v) Fˆ (u, v) = G (u, v) 2 H ( u , v ) H ( u , v ) K +
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4. Restauración de imágenes Imagen borroneada (observada)
2. Filtrado de Wiener Ejemplo 1: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de diferentes filtros a una imagen borroneada
Filtro Inverso Limitado Radialmente (R = 70)
Filtro Inverso
Filtro de Wiener
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4. Restauración de imágenes 2. Filtrado de Wiener Ejemplo 2: Aplicación observación astronómica Imagen observada
a
una
Imagen recuperada (Wiener)
PSF
Se nota que la imagen recuperada posee mejor resolución pero existen valores negativos (no físicos) 48
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4. Restauración de imágenes 2. Filtrado de Wiener “Denoising Wiener filter”:
Denoising Wiener Filter
Este es un caso particular del “Filtro de Wiener” con el que solo intenta eliminar el ruido y no el borroneado de la imagen
Filtro (u , v) =
S f (u , v ) 1 = 1 + K S f (u , v) + S n (u , v)
Este surge considerando H(u,v) = 1 en la expresión general
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4. Restauración de imágenes Resumen de Filtros Fourier-Wiener
Filtro Inverso
1 Filtro (u, v) = H ( u , v )
Filtro Pseudo-inverso
Filtro Inverso Limitado Radialmente
1 si H (u, v) > δ Filtro (u, v) = H (u, v) 0 si H (u, v) ≤ δ
1 si u 2 + v 2 ≤ R Filtro (u, v) = H (u , v) 0 si u 2 + v 2 > R
δ = umbral pequeño
Filtro de Wiener
R = radio límite
Denoising Wiener Filter 2
Filtro(u , v) =
H (u , v) 1 H (u , v) H (u , v ) 2 + S n (u , v) S f (u, v)
Filtro (u , v) =
S f (u , v ) 1 = 1 + K S f (u , v) + S n (u , v) 50
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4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF: Paquete images.imfilter: Este paquete posee una variedad de filtros: convolve: Convolve a list of 1 or 2-D images with a rectangular filter
fmedian: Quantize and box median filter a list of 1D or 2D images fmode: Quantize and box modal filter a list of 1D or 2D images frmedian: Quantize and ring median filter a list of 1D or 2D images frmode: Quantize and ring modal filter a list of 1D or 2D images
gauss: Convolve a list of 1 or 2-D images with an elliptical Gaussian gradient: Convolve a list of 1 or 2-D images with a gradient operator laplace: Laplacian filter a list of 1 or 2-D images
median: Median box filter a list of 1D or 2D images mode: Modal box filter a list of 1D or 2D images rmedian: Ring median filter a list of 1D or 2D images rmode: Ring modal filter a list of 1D or 2D images 51
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4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF: Paquete stsdas.analysis.fourier: forward: Calcula la transformada de Fourier de una imagen inverse: Calcula la trasnformada inversa de Fourier de una imagen Paquete stsdas.analysis.restore: wiener: Aplica un un filtro de Fourier a una imagen para realizar la deconvolución. • Los filtros posibles son: - inverse (alpha = 0) - wiener (alpha = 1) - geometric (alpha = 0.5) - Parametric • La tarea permite diversos modelos para estimar los espectros de energía del ruido y de la imagen original 52
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4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF: Wiener task: Filter implementation The most general filter implementation may be written as: F(u,v) = G(u,v) * (I(u,v) ** alpha) * (W(u,v) ** (1.-alpha)) Where: F(u,v) = the estimated image Fourier transform, G(u,v) = the input, degraded image Fourier transform, I(u,v) = the inverse filter function, W(u,v) = the Wiener filter function, and alpha = a parameter. (u,v is spatial frequency) For alpha=0 we have the standard Wiener filter, and for alpha=1. the standard inverse filter. By varying alpha between 0. and 1. we may emphasize the relative effect of each filter. The so-called geometric mean filter is obtained setting alpha=0.5. This geometric mean filter was introduced [1] as an attempt to de-emphasize the low-frequency dominance of the Wiener filter, while avoiding the early singularity of the inverse filter.
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4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF:
Wiener task: Filter implementation The inverse filter is simply: H*(u,v) I(u,v) = ----------------(abs(H(u,v)))**2 and the Wiener filter is: H*(u,v) W(u,v) = --------------------------------------(abs(H(u,v)))**2 + (Pn(u,v) / Pg(u,v)) Where: H(u,v) = the PSF Fourier transform, H*(u,v) = the PSF complex conjugate, Pn(u,v) = the noise power spectrum, and Pg(u,v) = the original, undegraded image, power spectrum
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4. Restauración de imágenes Métodos de deconvolución Clasificación de los métodos: Busko 1994, PASP 106, 1310
Métodos no lineales
Métodos lineales
Richardson-Lucy (RL)
Fourier-Wiener (FW)
Andrews & Hunt 1977 en Digital Image Restoration, Prentice-Hall
• Filtrado Inverso • Filtrado de Wiener
Maximum Entropy (ME - MEM) Wu 1993, ASP Conf. Ser. 52, 520
Iterative Least-Squares (ILS) Katsaggelos 1991 en Restoration, Springer
Richardson 1972, Opt. Eng. 29, 393; Lucy 1974, AJ 79, 745
Digital
Image
Sigma-Clean (SC)
Hogborn 1974, A&AS 15, 417 Clark 1980, A&A 83, 337 Keel 1991, PASP 103, 723
Deconvolución Regularizada 55
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4. Restauración de imágenes 3. Método de Richardson-Lucy (RL) El algoritmo de Richardson-Lucy corresponde al caso MLE en el que se realiza una estimación de “maximun a posteriori” adoptando “a priori” una distribución uniforme P(f) Se parte del planteo de la convolución en el caso discreto como una sumatoria
Convolución Discreta
g i = ∑ hi , j f j j
Donde:
∑h
i, j
=1 ∀ j
j
hij = PSF discreta fi = imagen original
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4. Restauración de imágenes 3. Método de Richardson-Lucy (RL) Si se hace un análisis estadístico suponiendo que el ruido sigue una distribución de Poisson, se encuentra que la imagen original fi “más probable” (“Maximum Likelihood Solution”) dada la imagen observada gi y conocida la PSF hij viene dada resolviendo la ecuación iterativa presentada a la derecha Nota: Hay versiones que tienen en cuenta además las características del detector (ruido de Poisson + gaussiano; ver Snyder 1990, The Restoration of HST Images and Spectra)
f j( t +1) = f j( t ) ∑ i
gi hi , j gˆ i( t )
Donde:
gˆ i( t ) = ∑ f k(t ) hi , k k
Normalmente la iteración se inicia considerando:
fj(0) = constante
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4. Restauración de imágenes 3. Método de Richardson-Lucy (RL) Se nota que en la resolución es muy buena (“super-resolución”) que permite reconocer un cuarto componente
Ejemplo 1:
Imagen observada
Imagen recuperada (Richardson-Lucy)
PSF
Super-resolución: Se conoce así a los casos en los que es posible recuperar información de frecuencias más elevadas que la frecuencia de corte impuesta por el sistema de medida
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4. Restauración de imágenes 3. Método de Richardson-Lucy (RL) Ejemplo 1: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de diferentes filtros a una imagen observada Imagen recuperada (Wiener)
Existen valores negativos (no físicos)
Imagen recuperada (Richardson-Lucy)
Se obtienen todos valores positivos y mejor resolución
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4. Restauración de imágenes Imagen original
3. Método de Richardson-Lucy (RL) Ejemplo 2: Resultados obtenidos para diferentes SNRs
SNR = 2500
SNR = 250
SNR = 25
Imagen borroneada (“Diffraction limited”)
PSF
El método trabaja mejor para SNRs elevadas 2000 iteraciones
200 iteraciones
26 iteraciones
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4. Restauración de imágenes SNR = 250
3. Método de Richardson-Lucy (RL) Ejemplo 2: Resultados obtenidos para diferente cantidad de iteraciones a partir de una dada SNR
26
200
500
1000
2000
5000
Iteraciones
El método sufre de amplificación de ruido No existe una forma clara de cuando terminar de iterar.
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4. Restauración de imágenes 3. Método de Richardson-Lucy (RL) Ejemplo 3:
Imagen original
Resultados obtenidos al aplicar el método a una imagen de Saturno obtenida con la WF/PC cámara del HST antes de la reparación En la imagen restaurada se distinguen mucho mejor los detalles atmosféricos y los bordes de los anillos
R-L
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4. Restauración de imágenes 3. Método de Richardson-Lucy (RL)
SNR = 2500
Propiedades del método: Resultados positivos: Dado que los datos observacionales (gi) son positivos en el caso de Poisson, la forma del algoritmo garantiza que la solución es siempre positiva (o cero) en cada píxel. Conservación de la energía: La energía es preservada tanto en escala global como local Amplificación del ruido: Este tipo de técnica (“maximum likelihood”) sufre del problema de “amplificación del ruido”, por lo que el algorítmo funciona mejor cuanto mayor es la SNR
2000 iteraciones
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4. Restauración de imágenes 3. Método de Richardson-Lucy (RL)
SNR = 2500
Propiedades del método: Determinación dificil del final de las iteraciones: • Luego de gran cantidad de iteraciones, las diferencias obtenidad son pequeñas y muy probablemente debidas al efecto de “amplificación del ruido” • Las iteraciones se detienen cuando se alcanza un resultado “aceptable”. Aunque existe una variedad de criterios para definir exactamente cuando se considera “aceptable” un resultado (ver Bi & Borner 1994, A&AS 108, 409)
2000 iteraciones
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4. Restauración de imágenes
H1 = ∑ ln( f i )
4. Maximum Entropy (ME - MEM)
i
Este método se basa en maximizar una función de la imagen observada denominada “Entropía”
Entropía utilizada usualmente en radio
H 2 = −∑ f i ln( f i ) i
Entropía: No existe una única definición para esta función y depende de como se realize la implementación del método. Entre las funciones más utilizadas se encuentran las presentadas a la derecha
Entropía utilizada usualmente en óptico
H 3 = −∑ f i ln( f i ) + i
+ ∑ f i ln( zi ) i
Entropía utilizada usualmente en rayos X (zi = eficiencia de detección) 65
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4. Restauración de imágenes 4. Maximum Entropy (ME - MEM) Propiedades del método: La resolución obtenida depende de la SNR, aunque es posible alcanzar “super-resolución” de hasta un orden de magnitud El resultado posee un “bias”, ya que el ruido resultante posee una media no nula. Sin embargo, éste “bias” es mucho menor que el ruido cuando la SNR >> 1 MEM manipula mejor el ruido de Poisson y evita ondulaciones con valores negativos MEM es una aproximación muy flexible al problema de deconvolución lo que permite tratar con datos heterogéneos y provee una herramienta poderosa para trabajar con mosaicos 66
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4. Restauración de imágenes Imagen original
4. Maximum Entropy (ME - MEM) Ejemplo 1: Observaciones del objeto 3C 273 en rayos X con el satélite Einstein (Willingale 1981, MNRAS 194, 359) La deconvolución con MEM revela más claramente la presencia del jet en rayos X y que se corresponde con lo observado en el óptico
MEM
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4. Restauración de imágenes 4. Maximum Entropy (ME - MEM) Ejemplo 2:
Imagen original
Resultados obtenidos al aplicar el método a una imagen de Saturno obtenida con la WF/PC cámara del HST antes de la reparación En la imagen restaurada se distinguen mucho mejor los detalles atmosféricos y los bordes de los anillos
MEM
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4. Restauración de imágenes 5. Sigma-Clean (SC) Ésta técnica es utilizada frecuentemente en radioastronomía y se considera que el objeto se halla compuesto por un conjunto de fuentes puntuales El procedimiento consta de los siguientes pasos: • Localizar la intensidad máxima en la imagen a procesar (“dirty image”) • Sustraer una fracción (ε = “loop gain”) de su intensidad estimada con un modelo de PSF (“dirty beam”). Usualmente: ε = 0.01 para fuentes extendidas y ε = 0.1 o mayor para fuentes puntuales
• Repetir el proceso hasta alcanzar un valor mínimo de SNR (criterio de convergencia) obteniendo una imagen residuo (“residual map”) • La imagen mejorada (“clean image”) viene dada por la convolución de la posición de todos los máximos (δ-dirac) con una PSF ideal (“clean beam”) y adicionándole el residuo (“residual map”) Nota: El “clean beam” es usualmente una gaussiana y es necesario para evitar componentes de alta frecuencia no reales en la imagen final 69
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4. Restauración de imágenes Comparación entre MEM y SC
Imagen original
Imagen degradada
MEM es más rápido que CLEAN en el caso de imágenes grandes (con mas de 106 pixeles) MEM (-I ln I)
MEM (-ln I)
MEM (I1/2)
SC
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4. Restauración de imágenes Consideraciones Generales Salvo FW, el resto de los algorítmos son iterativos y es necesario imponerles algún criterio de convergencia. Solo SC posee éste criterio implícito en el método. En los otros casos el criterio usual se basa en la comparación de los resultados obtenidos con la imagen de referencia En el caso de FW, el filtrado se caracteriza porque los resultados presentan “ruido periódico” (patrones de ruido repetitivos) que son causados por picos en la función F(u,v). Para solucionar esto, normalmente se procede a suprimir esos picos antes de efectuar la transformada inversa para obtener el resultado final
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4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF: Paquete stsdas.analysis.restore: lucy: Restore an image using the Lucy-Richardson method algorithm.
imagen+1 = imagen
original data --------------- * reflect(PSF) imagen * PSF
where: * = convolution operator reflect(PSF) = PSF(-x,-y)
mem: Perform deconvolution of an image by MEM sclean: Sigma-CLEAN deconvolution of 2-d images. 72
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4. Restauración de imágenes Ejemplo
R-L
Localización en el infrarrojo medio de una fuente coincidente con el agujero negro Sagittarius A utilizando técnicas de deconvolución (Stolovy et al. 1996 ApJ 470 L45)
Detalle del recuadro aplicando diferentes métodos de deconvolución 73
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4. Restauración de imágenes El punto de vista Bayesiano Hipótesis de Bayes: Los distintos métodos no lineales puedes considerarse como diferentes variantes de un planteo más general identificados por la igualdad de Bayes En este marco, La imagen más problable f(xy), dada una medida g(x,y), se obtiene con las siguientes consideraciones: • Maximizando P(f/g) • Adoptando una P(g/f) dada por un modelo de formación de la imagen • Y, si es posible, con un conocimiento “a priori” P(f) de las características de la imagen original (p.e.: fuentes puntuales o variación suave de la intensidad)
P( f | g ) =
P( g | f ) ⋅ P( f ) P( g )
P(f|g): Probabilidad “a posteriori” P(f): Probabiliddad “a priori” P(g|f): Probabilidad condicional P(g): Probabilidad marginal (constante de normalización)
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4. Restauración de imágenes El punto de vista Bayesiano Métodos: Los métodos de decovolución se clasifican entonces, en relación con la forma en que ellos maximizan P(f/g), así se tienen: • MAP = “Maximum maximiza P(g|f) P(f)
a
posteriori”:
Se
P( f | g ) =
P( g | f ) ⋅ P( f ) P( g )
P(f|g): Probabilidad “a posteriori” P(f): Probabiliddad “a priori”
• MLE = “Maximum likelihood estimator”: Es MAP considerando P(f)=cte. Solo se maximiza P(g|f) • MEM = “Maximum entropy method”: Es MAP con P(f) dado por la “hipótesis de máxima entropía” (= mínima incerteza de datos)
P(g|f): Probabilidad condicional P(g): Probabilidad marginal (constante de normalización)
• “Regularization method”: Es MAP pero con determinadas restricciones sobre P(f) 75
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Procesamiento de Imágenes 1. Introducción 2. Definiciones Básicas 3. Filtrado de Imágenes 4. Restauración de Imágenes 5. Combinación de Imágenes 6. Imágenes color
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5. Combinación de Imágenes Introducción Es usual adquirir varias imágenes de un mismo objeto. Esto se puede deber a diversas causas: • El objeto es muy extenso y no puede ser cubierto por el FOV del sistema de observación utilizado • El objeto es muy debil y requiere un tiempo de integración extremadamente elevado (mas alla del permitido por el sistema de observación para una única observación) • Facilitar la eliminación de alguna clase de ruido (p.e.: remover efectos de los rayos cósmicos) o de algún defecto del detector (p.e.: píxeles y/o columnas en mal estado) En esta situación es necesario obtener una única imagen a partir de la combinación de varias imágenes
y’
x’ To Measure the Sky Chromey 2010
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5. Combinación de Imágenes Alineación simple: Solo translación Para poder realizar la combinación, las imágenes deben hallarse “alineadas”, o sea todas ellas deben tener el mismo objeto puntual (estrella) localizado en las mismas coordenadas El proceso más simple de alineación consiste en una translación de todas las imágenes tomando como referencia objetos en común en las distintas imágenes. Este proceso solo es válido si se verifica que: las distintas imágenes fueron adquiridas con el mismo “sistema de observación” (igual escala) en forma sucesiva (no existe rotación) el desplazamiento entre imágenes y/o el FOV no es elevado (se puede aproximar la esfera celeste a un plano tangente) El instrumental no produce deformación
To Measure the Sky Chromey 2010
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5. Combinación de Imágenes Tipos de combinaciones El objetivo final de la combinación puede ser producir:
• “Overlap”: Imagen mejorada de la zona en común de las distintas imágenes individuales. En este caso es necesario recortar las partes en común (generar una matriz más pequeña) y luego realizar la combinación
• “Mosaic”: Imagen que cubre una zona más amplia que las imágenes originales En este caso es necesario generar una matriz más grande y realizar la combinación asignando un valor constante artificial para la zona en la que no existen datos. Usualmente se utiiza un valor negativo (p.e.: -9999)
To Measure the Sky Chromey 2010
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5. Combinación de Imágenes Alineaciones complicadas: Transformaciones geométricas El caso más general de alineación de imágenes NO consiste solo en una translación debiendo aplicarse otras transformaciones adicionales como son: • Magnificación: Las diferentes imágenes no poseen la misma escala debido a que fueron obtenidas con distintos insturmentos. • Rotación: Esta puede surgir aún utilizando el mismo instrumental, ya que el mismo puede tener una alineación diferente para distintas observaciones. Puede deberse también a defectos en la alineación polar del telescopio (montura ecuatorial) o en el trabajo del rotador de campo (montura altazimutal) • Distorsión: Estas pueden ser originadas tanto por problemas en la óptica como por la curvatura misma de la esfera celeste
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5. Combinación de Imágenes Alineaciones complicadas: Transformaciones geométricas Para poder hacer la combinalción es necesario obtener para cada imagen una transformación geométrica (fi y gi) entre las coordenadas de cada imagen (xi, yi) y un sistema de coordenadas final o “coordenadas estándard” (η, ξ). Estas últimas pueden ser α; δ, ∆α; ∆δ (respecto a alguna coordenada de referencia) o simplemente los valores en píxeles de alguna de las imágenes originales
(x1, y1)
(x2, y2)
xi = f i (ξ , η ) y i = g i (ξ , η ) η
(x3, y3)
ξ
(x4, y4)
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5. Combinación de Imágenes Alineaciones complicadas: Transformaciones geométricas Para determinar dichas transformaciones: • Se adoptan funciones (f y g) adecuadas al tipo de transformación que se desea efectuar con una cierta cantidad de parámetros libres (N) • Se determinan las coordenadas en ambos sistemas de coordenadas (individual y estándard) de un conjunto de M objetos (M ≥ N) • Se determinan los valores de los parámetros libres en base al ajuste por mínimos cuadrados • Se aplican las transformaciones a toda la imagen a alinear Nota importante: NO todas las transformaciones conservan el flujo de una imagen
Transformaciones genéricas
x = f (ξ , η ) y = g (ξ , η ) Transformaciones lineales: Translación (∆x, ∆y) Rotación (θ) Magnificación (Mx, My)
x = (∆x + ξ cosθ + η senθ ) M x y = (∆y + η cosθ − ξ senθ ) M y
x = a x + bx ξ + c x η y = a y + by ξ + c y η 82
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5. Combinación de Imágenes “Dither = Shift-and-stare” Esta es una técnica observacional que consiste en tomar sucesivas imágenes de un mismo campo moviendo levemente el telescopio entre ellas de una forma sistemática. De esta forma es posible alinear y combinar dichas imágenes y: Minimizando la cantidad de objetos saturados Eliminando el ruido producido por rayos cósmicos y/o defectos del detector
Limpieza de rayos cósmicos mediante la combinación de 12 imágenes de un campo obtenido con la WFPC2 del HST. En cada imagen el telescopio poseía un “poiting” levemente diferente. La imagen de la izquierda es una de las imágenes individuales mientras que la de la derecha es la imagen combinada http://www.adass.org/adass/proceedings/adass99/O6-02/
Detalles: Fruchter et al. 1997, Proceedings of the 1997 HST Calibration Workshop Gonzaga et al. 1998, The Drizzling Cookbook, STScI Instrument Science Report WFPC2 98-04 http://www.stsci.edu/hst/wfpc2/analysis/wfpc2_patterns.html 83
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4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF: Algunos ejemplos Tarea imexamine: Permite determinar la posición precisa de las coordenadas de objetos comunes en distintas imágenes Paquete images.imgeom: Posee tareas transformaciones básicas sobre imágenes
que
permiten
realizar
imshift: Shift a list of 1-D or 2-D images magnify: Magnify a list of 1-D or 2-D images rotate: Rotate and shift a list of 2-D images imlintran: Linearly transform a list of 2-D images
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4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF: Algunos ejemplos Paquete immatch: Posee tareas que permiten: Alinear diferentes imágenes Realizar sobre ellas transformaciones más sofisticadas imalign: Align and register 2-D images using a reference pixel list geomap: Compute geometric transforms using matched coordinate lists geotran: Transform 1-D or 2-D images using various mappinng transforms wcsmap: Compute geometric transforms using the image wcs wregister: Transform 1-D or 2-D images using the image wcs
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4. Restauración de imágenes Herramientas IRAF: Algunos ejemplos Paquete immatch: Además posee la tarea base que permite combinar imágenes utilizando diversos algoritmos: imcombine: Combine images pixel-by-pixel using various algorithms
Paquete stsdas.toolbox.imgtools imcalc: Perform general arithmetic operations on images Ejemplo: Esta tarea es util para generar mosaicos implementando una operación lógica que permita seleccionar las diferentes imágenes que conforman la imagen final una vez que cada una ha siso transformada 86
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Procesamiento de Imágenes 1. Introducción 2. Definiciones Básicas 3. Filtrado de Imágenes 4. Restauración de Imágenes 5. Combinación de Imágenes 6. Imágenes color
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6. Imágenes color Introducción
Niveles de intensidad como niveles de grises
Las imágenes astronómicas consisten en diferentes niveles de intensidad • En principio, dichos niveles se representan como diferentes niveles de grises (a traves de una “stretch function”) • Aunque dichos niveles tambien pueden representarse por sucesivos colores No obstante, usualmente existe información del color en una imagen. Ella se encuentra indicada por el filtro en el que se realizó la observación Niveles de intensidad como sucesivos colores 88
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6. Imágenes color RGB model
Representación del color: Existen dos modelos para representar una imagen en color: Modelo aditivo (RGB model): Consiste en un conjunto de tres imágenes en las que cada pixel representa el brillo de los colores Rojo, Verde y Azul. Este modelo se utiliza en el despliegue de imágenes Modelo sustractivo (CMYK model): Consiste en un conjunto de cuatro imágenes en las que cada pixel representa el nivel de oscuridad de los colores Cian, Magnenta, Amarillo y Negro. Este modelo se utiliza en la impresión de imágenes
CMYK model
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6. Imágenes color Representación del color: Orden Cromático: Usualmente se utiliza el “RGB model” a partir de tres imágenes adquiridas en tres filtros diferentes de forma que: R: corresponde al filtro de mayor λ G: corresponde al filtro de λ intermedia B: corresponde al filtro de menor λ Aunque esta no es una regla rígida, sobretodo si se buscan efectos estéticos Nota: Si solo se disponen de imágenes en solo dos filtros, ellas se adoptan como las de los extremos y se genera la del medio como el promedio de las otras dos
Imagen color construida utilizando varias imágenes en diferentes filtros (desde ultravioleta al infrarrojo). Es necesario hacer combinaciones intermedias para generar solo tres imágenes y luego aplicar el procedimiento de los tres filtros http://www.spacetelescope.org/projects /fits_liberator/improc/ 90
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6. Imágenes color Ejemplos
Imagen en colores represntativos: Imagen de un par de cúmulos inmersos obtenida como combinación en orden cromático de tres imágenes J, H, K (datos VVV; Baume et al. 2010)
Imagen en colores “mejorados”: Imagen color en la que se le ha asignado el color azul al filtro Ha (en lugar del clasico color rojo), o sea en orden NO cromático http://www.spacetelescope.org/projects /fits_liberator/improc/ 91
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6. Imágenes color Ejemplos
AS002d
AS002a
Imagen en colores represntativos: Imagen de un conjunto de asociaciones de la galaxia NGC 300 obtenida como combinación en orden cromático de tres imágenes F435W (B), F555W (V), F814W (I) (datos ACS/HST; Baume & Feinstein 2009)
AS002c (substraido)
AS002b AS002c γ = 0.31
AS002c
300 pc x 500 pc
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6. Imágenes color Herramientas: IRAF: Paquete dataio export: Crea una imagen de salida en diversos formatos a partir de una o varias imágenes de entrada. En particular, permite crear imágenes color en base a sus tres componentes RGB
DS9 y ALADIN: Además de sus funciones específicas, ambos programas permiten la creación de imágenes color. En particular ALADIN permite generar imágenes color en formato FITS (NAXIS = 3) conservando el sistema de coordenadas
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Procesamiento de Imágenes 1. Introducción 2. Definiciones Básicas 3. Filtrado de Imágenes 4. Restauración de Imágenes 5. Combinación de Imágenes 6. Imágenes color
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