Procesos de Difusión Física Ambiental. Tema 4.

Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Tema 4.- " Procesos de Difusión" • Conducción del calor: ley de Fourrier, conductividad térmica. • Convección del calor: Ley de enfriamiento de Newton. • Radiación térmica: cuerpo negro (leyes de Kirchhoff , Wein y Stefan-Boltzmann). • Difusión molecular: Ley de Fick. • Teorema de continuidad.- Ecuación unidimensional de la Difusión: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. • Condiciones de contorno. • Aplicación a la transmisión unidimensional del calor en régimen estacionario: Resistencia térmica. Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Procesos de Difusión Estructura de los procesos de difusión.

Procesos de Difusión

Mecanismos de transmisión del calor

Difusión Molecular Ley de Fick

Ley de Fourrier Conductividad Térmica

Leyes de la Radiación Ley de Stefan

Ley de Kirchoff

Ley de Wien

Convección Coeficiente de película Ley de Newton

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Mecanismos de transmisión del calor. CONDUCCIÓN: Transporte de energía, en forma de calor, por vibración molecular. No hay transporte de materia.

CONVECCIÓN: Transporte de energía, asociado al movimiento relativo de partes del sistema en su interior.

RADIACIÓN: Transporte de energía, por medio del mecanismo de absorción/emisión de ondas electromagnéticas. Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Conducción del calor: ley de Fourrier, conductividad térmica. Ley de Fourrier:

∆Q ∆T δQ dT ∝ ⇒ Φ = ∝ A ∆t ∆x dt dx Φ x ( x, t ) = − KA

1-Dimensión:

dT Φ = − KA dx

Experimento FA4

∂T ( x, t ) ∂x

K- Conductividad térmica.(W/mK). φ-Flujo de energía (W). A- área (m2). dT/dx- gradiente de temperatura (K/m).

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Conducción del calor: conductividad térmica. MATERIAL

K(W/mK)

Aire (27ºC) Agua (27ºC) Hielo Aluminio Cobre Oro Hierro Roble Vidrio Hormigón

0.026 0.609 0.592 237 401 318 80.4 0.15 0.7 a 0.9 0.19 a 1.3 Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Convección del calor. El coeficiente de transmisión superficial del calor o coeficiente de película, representa la cantidad de calor intercambiado, por unidad de superficie, entre el material y el fluido ambiente que lo rodea cuando el gradiente de temperaturas es de 1º.

Φ = h∆T = h(Ts − T∞ )

h=

Φ (Ts − T∞ )

[Φ ] = W m 2 [h] = W m 2 K

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Convección del calor:Ley de enfriamiento de Newton. Φ = h∆T = h(Ts − T∞ ) ⇓

δQ = hS∆Tdt δW ≅ 0

Dilatación térmica despreciable.

⇓

δQ = hS∆Tdt = dU = − mcP dTs ⇓

dTS hS =− (TS − T∞ ) dt mcP Experimento FA5

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Convección del calor:Ley de enfriamiento de Newton. Cuando la pérdida de calor de la superficie es proporcional a la diferencia de temperatura entre ella y el ambiente, éste con temperatura constante. La temperatura del la superficie decrece exponencialmente con el tiempo. τ hS dTS = −∫ dt 0 mc T0 (T − T ) S ∞ P

∫

T

⇓ (Ts − T∞ ) = (T0 − T∞ )e Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

−

hs t mc P 9

Radiación térmica.

Los dos sistemas tienden al equilibrio térmico, segundo principio de la termodinámica, aunque no haya contacto físico entre ellos. El intercambio de energía se realiza mediante absorción/emisión de ondas electromagnéticas. Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Radiación térmica: cuerpo negro (ley de StefanBoltzmann). La radiación contenida en un espacio isotermo como el de la figura se puede considerar como de Cuerpo Negro. Ley de Stefan-Boltzmann: Cualquier cuerpo a una temperatura, T, en equilibrio térmico, emite una cantidad de radiación que, por unidad de tiempo, viene determinado por:

Φ = εσAT 4

Φ- Potencia de radiación emitida (W). ε- Emisividad de la superficie. A- Área del emisor (m2) T- Temperatura de equilibrio del emisor (K).

Si el cuerpo es perfectamente negro ε=1, en caso de cuerpos grises 0< ε ( S1 + S 2 ) i

Estado inicial:

( S1 + S 2 ) i = (n1 + n2 ) R ln V

Estado final:

( S1 + S 2 ) f = (n1 + n2 ) R ln 2V

⇒

∆Suniv. > 0

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Difusión molecular: Ley de Fick. El flujo de partículas tiene dirección opuesta al gradiente de partículas y es proporcional a él. El coeficiente de proporcionalidad depende del tipo de sustancia y se denomina coeficiente de difusión molecular. Ley de Fick:

dn Φ = −D dx

D- coef. de difusión molecular (m2/s). dn/dx- Gradiente de concentración (1/m4). Φ- Flujo de partículas, que por unidad de tiempo atraviesan una superficie unidad (1/m2s). Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Difusión molecular: interpretación estadística.

La temperatura del sistema permanece constante, por tanto las velocidades moleculares medias son iguales en ambos sub-sistemas.

Pero el número de colisiones es mayor en, A, debido a que el nº de partículas es mayor que en, B. Por ello, aparece un flujo efectivo de partículas de A hacia B. Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Difusión molecular: ejemplos.

n( x) = n0 −

Φ x; t → ∞ D

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Inicialmente fuera del depósito la concentración es nula, a partir de la abertura de la llave de paso comienza a formarse un gradiente de concentraciones en el tubo. Al cabo de cierto tiempo si continúa siendo constante la concentración en el recipiente, n0, se alcanza el régimen permanente o estacionario (independiente del tiempo).

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Difusión molecular: ejemplos. Durante el régimen estacionario, el flujo de partículas es constante en todo el tubo, el número de partículas que entran por un extremo es igual al número de ellas que salen por el otro extremo, no hay acumulación. La distribución de concentraciones permanece constante.

Φ = −D

dn = cte dx

⇓ n( x) = n0 −

Φ x; t → ∞ D

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Difusión molecular: ejemplos. En el caso de un sistema idéntico al anterior, pero con el extremo cerrado. La distribución de concentraciones, tanto durante el régimen transitorio como estacionario, es diferente.

n( x) = n0 ; t → ∞ Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Difusión molecular: ejemplos. Sistema experimental para determinar el coeficiente de difusión molecular. Las concentraciones tanto en la base del tubo, n0, presión de vapor del líquido, como en el extremo libre, n1, son constantes. En régimen estacionario tendremos:

n1 = n0 −

 L  Φ  L ⇒ D = Φ D n n −  0 1

El flujo de partículas se conoce como función de la presión de vapor del líquido en función de su temperatura constante durante el proceso. Problema 2. Hoja FA4a

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Teorema de continuidad. Ecuación unidimensional de la Difusión: coordenadas cartesianas. El flujo de calor que entra por una de las caras es diferente al que sale por la otra. La diferencia de energía contribuirá positiva o negativamente al balance de la energía interna del sistema.

∂T ∂x ∂U = dmc p ∂T

[Φ x + dx − Φ x ] + Φ int erno = − ∂u

Φ x = −K

∂t

Φ int erno = 0

[Φ x + dx − Φ x ] = − K ∂ 2T dx ↓

∂φ ∂x

 dm  ∂T = −c p   ∂x  dx  ∂t 2

↓

ρ

Ley de Fourrier Primera ley de la Termodinámica

Ec. de Difusión del Calor:

α

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∂ 2T ∂T = ;α = K 2 ρc p ∂x ∂t 22

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Teorema de continuidad. Ecuación unidimensional de la Difusión: coordenadas cilíndricas. Consideramos el caso más sencillo en esta geometría, se trata de un tubo cilíndrico muy largo, por lo tanto la única variable que debemos tener en cuenta es la distancia a la generatriz, r. Ec. de Difusión del Calor:

 ∂ 2T 1 ∂T  ∂T  = + 2 ∂ ∂ r r r   ∂t

α 

En este caso, los contornos son superficies cilíndricas concéntricas. Sobre ellas se impondrán las condiciones de temperatura o flujo que determine el problema. Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Condiciones de Contorno. Los mecanismos de intercambio de calor de un sistema dependen de la geometría del mismo, de sus propiedades físicas, de las condiciones iniciales y de las condiciones de contorno.

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Aplicación a la transmisión del calor en un muro homogéneo en régimen estacionario. ∂T ∂ 2T =α 2 ∂t ∂x

En régimen estacionario.

d 2T =0 dx 2

Integrando encontramos la solución lineal, con dos constantes que dependen de las condiciones de contorno del problema.

T ( x) = Ax + B Tema 4. FA (Prof. RAMOS)

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Aplicación a la transmisión del calor en un muro homogéneo en régimen estacionario. Condiciones de contorno de primera clase, temperatura constante en ambas caras.

x = 0 ⇒ T ( x = 0) = T1 = B x = L ⇒ T ( x = L) = T2 = AL + T1

x + T1 L (T − T ) Φ ( x) = −kA 2 1 L T ( x) = (T2 − T1 )

Probema 3 y 4. Hoja FA4a

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Aplicación a la transmisión del calor en un muro homogéneo en régimen estacionario. Las condiciones de contorno en este caso son mixtas de primera clase, temperatura constante, T2 y tercera clase, intercambio de calor siguiendo la ley de Newton con coeficiente de película, h. T2 − Ta K L+ h   T − T  B = T2 +  a 2  K L+  h  

dT ⇒ h(Ta − B ) = − KA dx x = L ⇒ T ( x = L) = T2 = AL + B

A=

x = 0 ⇒ h(Ta − T ( x = 0)) = − K

 T −T   x T ( x) =  a 2 1 −  + T2 1 + K  L  hL   Φ( x) = − KA Problema 1 y 2. Hojas FA4b

dT  A(Ta − T2 )   = dx  L + 1  h  K

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Aplicación: muro heterogéneo. Resistencia térmica.   A(T1 − T2 )   Φ ( x) =   L L  1h + 1 K + 2 K + 1h  1 2 2  1 Al denominador del flujo de calor se le denomina resistencia térmica. Como analogía con la ley de Ohm de la corriente eléctrica. V

I=

R

En aquélla aparece la diferencia de potencial, aquí la diferencia de las temperaturas, allí la intensidad aquí el flujo de calor, allí la resistencia eléctrica aquí la térmica.

m2 K R = 1 + L1 + L2 + 1 ; [R ] = h1 K1 K2 h2 W

Problema 3 y 4 . Hoja FA4b

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Aplicación: Cilindro con condiciones de temperatura constante en las fronteras. En régimen estacionario la ecuación´de transmisión del calor sólo tiene términos espaciales, por lo tanto en coordenadas cilíndricas: Para resolver esta ecuación diferencial  ∂ 2T 1 ∂T  realizamos el siguiente cambio de  2 +  = 0 ∂T variable:

 ∂r

r ∂r 

↓

u=

∂r

Condiciones de contorno:

du 1 + u = 0 ⇒ T (r ) = A ln r + B dr r r = r1 ⇒ T (r1 ) = T1 ⇒ T1 = A ln r1 + B r ln r2 T (r ) = T1 − (T1 − T2 ) r ln 2 r1

r = r2 ⇒ T (r2 ) = T2 ⇒ T2 = A ln r2 + B

Q = −k

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dT 2πkL(T1 − T2 ) = dr r  ln 2   r1  29

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