Prof. Enrique Mateus N. Doctorando en Educación Matemática.

Serie matemática En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

a1 , a2 , , an lo cual suele escribirse en

forma más compacta con el símbolo de sumatorio:  an . El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Definiciones Sumas Parciales: Para cualquier secuencia a n  de números racionales, reales, complejos, sus 

funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

a n 0

n

 a0  a1    an

que corresponde a las siguientes sumas parciales:

S1  a1 S 2  a1  a2 S 3  a1  a2  a3  S n  a1  a2  a3    an La sucesión de sumas parciales

S k  asociada a una sucesión a n  está definida para

cada k como la suma de la sucesión a n desde

k

a0 hasta ak : S k   an  a0  a1    ak Muchas de n 0

las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

1

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a

Convergencia: Por definición, la serie

n 0

sumas parciales asociada

Sk

n

converge al límite L si y solo si la sucesión de

converge a

L . Esta definición suele escribirse como

k

L   a n  L  lim S k k 

n 0

. Ejemplos 

En una serie "p" cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada  razón r. En este ejemplo, r  12 : 1  1  1     1 . n 2 4 n 0 2



En general, una serie geométrica es convergente, sólo si r  1, a:



 1 1 1 1 La serie armónica es la serie 1        . La serie armónica es divergente. 2 3 4 n 1 n



a z n 0



Una serie alternada es n 1  1 1 1 1 1        (-1) . 2 3 4 n n 0



Una serie telescópica es la suma

una

serie

a

n

donde

los

términos

, donde a n  bn  bn1 :

n

n 0

de

dicha serie y su suma se pueden calcular S N  b0  b1   b1  b2     bN 1  bN   bN  bN 1   b0  lim bn1



a 1 z

cambian

N

( b

n

de

signo:

 bn1 ) La convergencia

fácilmente,

ya

que:

x 





Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

a n 0

n

, con an  1   n  

an

 n 

Convergencia de series

Una serie   a n se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión S N de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de S N es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie. La serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos.

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (esto es en espacios completos), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, _______

0.111… y /9; o bien 1  0, 999 1

(para quien desee profundizar este tema véase: Serie de Taylor,

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Serie de Laurent, 1 - 2 + 3 - 4 + . . ., Fórmula de Faulhaber, Serie convergente, Límite de una sucesión, Series matemáticas)

Si la sucesión S N tiene límite finito S, la serie es convergente (converge a S). A S se le llama suma de la serie. Si lim S N    ó,   se dice que la serie es divergente. Si S N no tiene límite, se dice que la serie es oscilante.

Nota: S N es la sucesión de sumas parciales, no la sucesión a n

Propiedades de las series 

Propiedad asociativa: En toda serie se pueden sustituir varios términos por su suma efectuada, sin que varíe el carácter ni la suma de la serie. Nota: a. La propiedad asociativa no es válida en series oscilantes. b. La propiedad disociativa no es válida para series convergentes o divergentes.



Propiedad distributiva: La hipótesis es: La tesis es:

a

 ka

n

n

Converge y su suma es S

Converge y su suma es kS

Demostración:

S n   an y Tn   kan

lim S n  lim a0  a1    an  s

n 

n 

lim Tn  lim k a0  k a1    k an  k S   k an Converge y su suma es kS.

n

n

De manera análoga:  



a Si  a Si



n

diverge,

n

es oscilante,

k an también diverge.



k an también es oscilante.

Propiedad aditiva

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Hipótesis: Sean S n   a n y Tn   bn

dos series convergentes con sumas S y T

respectivamente. Tesis: La serie

a

n

 bn es convergente y su suma es S + T.

Demostración: El término n-ésimo de la serie

a

n

 bn es S n  Tn  lim S n  Tn  lim S n  lim Tn  S  T (por n 

límite de una suma de sucesiones), de ahí que



a

n

n 

n 

 bn converge a S n  Tn

Propiedad de linealidad. Hipótesis: Sean S n   a n y Tn   bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente, y sean h y k dos constantes Tesis: La serie

a

n

 bn n es convergente y su suma es k S  hT .

Demostración:

a n

Converge

n

converge a T  por la propiedad distributiva,

propiedad aditiva

a

S  por

n

 ka

n

la

propiedad

distributiva,





k an

converge

a

kS

h bn converge a hT, entonces por la

 h bn converge a k S  hT

Teorema Condición necesaria para la convergencia: Es condición necesaria para que la serie

a

n

sea convergente, que lim an  0 . n 

Hipótesis S n   a n convergente. Tesis: lim an  0 n 

Demostración

S n  a0  a1    an1  an y S n-1  a0  a1    an1 ; entonces

an  S n  S n1 entonces: si Sn es convergente

lim S n  lim S n-1  lim an  lim S n  S n - 1  S  S  0

n 

n 

n 

n 

Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el término n-ésimo tiende a 0, no se puede afirmar que la serie sea convergente. Contraejemplo:

1 es divergente aunque 1 lim  0 . n n

n

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Serie geométrica Es Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante).

S n  a  ak  ak    ak 2

n 1

  ak

Si llamamos a al primer término y k a la constante, n-1

Multiplicando

k S n  ak  ak 2  ak 3    ak n   ak n .

S n  k S n  a - a k n entonces: S n  serie

geométrica



 a.k

n

converge.

Ahora

si

ambos restamos

( a - ak n ) a ak n Para   1 k 1 k 1 k Decimos

 a  ak  ak 2    ak n   ,

en

miembros

general

ambas

por

k

tenemos:

ecuaciones

tenemos:

k  1 , lim S n 

que:

n

La

serie

a pues n k  0, la 1 k

viene

dada

por

con a  0 a esta construcción la llamamos serie geométrica de

n 0

razón k y termino inicial a.

Para

k 1

k n   , Para

la serie diverge pues

k 1

la serie diverge pues

Sn=na.

Para k  1 la serie es oscilante. D

Osc C D

(D =diverge, C=converge, Osc= oscilante).

------|------|------1

1

Serie telescópica Serie tal que cada término se expresa como una diferencia de la forma an  bn  bn  1

Teorema Suma de una serie telescópica: Sean an y bn dos sucesiones tales que an  bn  bn  1 . La serie telescópica donde

a

n

converge si y sólo si la sucesión bn converge y se cumple que  an  b1  L

L  lim bn n

Demostración:

S n   an   ( bn  bn  1 )  b1  b2   b2  b3     bn  bn  1   b1  bn  1 y de ahí

lim S n  lim b1  lim bn 1 . Por lo tanto

n

n

n

a

n

converge si y sólo si bn converge, y en ese caso su suma

es b1  L , donde L  lim bn1 . (Si bn diverge, n

a

n

también).

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Ejemplo: S n   an 

1 n2  n

1 1 1 1 y bn  que converge a 0, entonces   n n2  n n n 1

n

2

1 converge a n

Teorema: Sea a n  una sucesión cualquiera de números reales, y sea

1  lim

n

1 1 n1

b n  una sucesión obtenida a

partir de a n , eliminando, añadiendo o modificando términos. Entonces:



a n 0



n

y

b n 0

n

tienen el

mismo carácter

Teorema: (Criterio de condensación de Cauchy): Sea a n  una sucesión decreciente de términos no negativos. Entonces:



 a. n 0

n

es convergente



  b.n es convergente n 0

Definición: 

1 1  p  p 1 2 n 1 b) En el caso de que p=1, la serie recibe el nombre de serie armónica a) Llamamos p-serie, con p>0, a la serie de la

1

n

p



Serie de términos positivos (STP)

a

Es una serie Ejemplo: es

n

tal que an  0 para todo n. (La serie es siempre una sucesión creciente). Un

1

2

n

Criterios de convergencia para STP

Teorema previo:

Una serie de términos positivos

a

n

converge si y sólo si la sucesión de sus

sumas parciales está acotada superiormente

Demostración: Directo:

a

n

converge, entonces lim S n  S  (por def. de límite finito de una sucesión) para todo n

  0,  N /  n  N, S -   S n  S   , por tanto Sn está acotada superiormente.

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a

Recíproco:

n

es monótona creciente por ser de términos positivos. S n  M ,  n . Toda sucesión

monótona y acotada converge, entonces Sn converge. Como ejemplo veamos

1

 n!

1 1 n-1  n- 1 ,  n  1 Pues n!  2 ya que n! es el producto de (n-1) factores mayores o iguales que 2. n! 2 Por lo tanto

anterior

1

 n!   2

1 n -1

1    2

n-1

 2 por ser una serie geométrica (a=1, k=1/2). Por el teorema

1

 n! converge y su suma es menor que 2.

Criterio de comparación:

Sean

a

n

b

y

n

dos series de términos positivos.

Si existe una constante c  0 tal que an  c bn ,  n, entonces la convergencia de

a

n

b

n

implica la de

.

Demostración:

S n   an  a1  a2    an

Tn   bn  b1  b2    bn

y

con an  c bn ,  n  S n  c Tn . Por

hipótesis Tn   bn converge, entonces (teorema) la sucesión de sus sumas parciales está acotada superiormente: Tn  M  S n  c Tn  c M , entonces

a

n

es convergente pues la sucesión de sus

sumas parciales está acotada superiormente (teorema). Nota: El teorema también es válido si an  c bn ,  n  N.

Teorema: Sean

a

n

y

b

an  c bn ,  n, entonces si

n

dos series de términos positivos. Si existe una constante c > 0 tal que

b

diverge,

b

diverge, entonces lim Tn    lim cTn  c  lim Tn  

n

a

n

también diverge

Demostración:

S n   an y Tn   bn , si

n

n

n

n 

S n  c  Tn  lim S n     an diverge. n

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Ampliación del criterio: Sean

a

n

y

c

n

a

dos series de términos positivos.

n

c a

y

n

n

convergen o divergen simultáneamente Criterio de comparación por paso al límite: Sean  an y

lim

n 

an  k  0, entonces bn

a

n

b

converge si y sólo si

b

n

dos series de términos positivos. Si

converge. (  an y

n

b

n

son de la misma

clase).

Demostración:

lim

n 

an  k  0, Entonces, (por def. de límite finito de una sucesión)    0,  N / n  N a   o n bn k bn

sea k -   a n  k  

bn

Directo: bn   1  an  por el criterio anterior, si

 k  

a

Recíproco: an  k    bn  por el criterio anterior, si

converge,

n

b

n

b

converge,

n

a

converge.

n

converge.

Nota: Si an y bn son sucesiones equivalentes lim an  1 entonces por el teorema anterior, n  b n

a

n

y

b

n

son de la misma clase. Por lo tanto, para clasificar una serie de términos positivos  an , se puede sustituir an por su equivalente bn

Criterio de D'Alembert: Sea entonces

a

n

a

n

una serie de términos positivos. an  1  k  1,  n  N.

an

Converge.

Demostración:

an  1  k an , k  1  n  N. Entonces an  1  k a N  a N  2  k a N  1  an 1  k an . Multiplicamos:

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a N  1  a N 2 an1  k n N 1  a N  a N 1 an Tenemos an  1 

k  1   k n

k n aN k N 1

aN k N 1

 an  1  Hk n donde H 

Converge (es una serie geométrica), entonces por la propiedad distributiva

converge; entonces por el criterio de comparación

Teorema: Sea

a

a

n

n

converge

una serie de términos positivos. an  1  1,  n  N. Entonces

n

Hk

an

a

n

diverge

Demostración: an  1  an  an1    a N  0 de ahí: an es creciente; an  0,  n,  an no tiende a 0, entonces, (por Condición necesaria para la convergencia)

Corolario de D'Alembert: Sea

a

n

a

n

a

n

diverge.

una serie de términos positivos. lim

n 

an  1  L  1, Entonces an

converge.

Demostración:

an  1 a  L Entonces (por def. de límite finito de una sucesión)    0  N /  n  N n1  L   o n  a an n lim

sea L -  

a n 1  l  an

Para que L + ε < 1 basta elegir   1  L ,  n  N a  l    1 n 1

entonces por el teorema anterior

Teorema: Sea

a

a

n

converge.

una serie de términos positivos. lim

n

ε 1 basta elegir   L ,  n  N a  1 entonces por el n 1 an

diverge.

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Nota: 

Cuando lim

n 

an  1  1 la serie an

a

n

diverge. lim

n 

general an no tiende a 0, lo que implica que 

Cuando lim

n 

Raabe: Sea

a

n

a

n

a

n

an  1  1  an  1  an Entonces el término an

diverge.

an  1  1 D'Alembert no se aplica. an

una serie de términos positivos. n1  an1   1  k ,  n  N, k  IR  . Entonces



an 

converge

Demostración: Escribamos la desigualdad como: nan  nan1  an  kan , Pasemos an para el lado izquierdo:

n  1an  nan1  kan

La desigualdad se cumple  n  N : N - 1a N  Na N 1  ka N

Na N 1   N  1 a N  2  ka N 1  n - 1a n  na N  2  k a N 1 Sumamos:  N - 1a N  na n 1  k(a N  a N 1    a n )  k ( S n  H )

(donde H es la suma de los términos anteriores a aN) k(Sn - H) S2n-1 es decreciente (2) (3) Para todo n S2n < S2n-1 pues S2n-1 - S2n = a2n > 0

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lim a 2n  0  lim S 2 n  S 2 n1  0 Entones

n 

(por

n 

   0,  N/  n  N S 2n-1  S 2 n  0   (4)

def.

de

límite

finito

de

una

sucesión)

De 1), 2), 3) y 4) por definición de PSMC, (S2n,S2n-1) es

un PSMC, entonces por la propiedad de que todo PSMC tiene frontera, existe c perteneciente a

IR  / lim S 2n  lim S 2n-1  c . S2n y S2n-1 son sucesiones contenidas en Sn. Por el teorema anterior, n 

n 

n 1 lim S n  c   - 1 .an Converge

n 

Convergencia absoluta: Una serie

a

Teorema:

n

a

n

es absolutamente convergente si

a

es absolutamente convergente. Entonces

n



an converge.

converge.

Demostración:

a

n

Converge por hipótesis. Consideremos bn 

a

n

 an 

.

2

a

Sí an  0, bn  an ; ahora, Sí an  0, bn  0 . Como

n

es una serie alternada (sus términos son

alternadamente positivos y negativos), bn valdrá 0 o |an|. Por lo tanto, 0  bn  an entonces (por el criterio de comparación) Sí

b

n

converge.

an  2bn - an entonces como

b

n

y



an convergen, por la propiedad de linealidad

a

n

converge. Una serie convergente que no es absolutamente convergente se denomina condicionalmente convergente.

Ejemplo:

  1

 - 1

.

n 1

n 1

.

1 converge pero n

 - 1

n 1

.

1 diverge. n

1 Cumple con el criterio de Leibniz. Además, n

 - 1

n 1

.

1 1   que ya hemos visto que n n

diverge. Serie de potencias: Es una serie de la forma

a x n

n

Se puede demostrar que converge en un

entorno simétrico de 0.

Determinación del radio de convergencia R: Para hallar el radio de convergencia podemos utilizar cualquiera de la siguiente fórmula: 

D'Alembert: lim

n

an  1 L an

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Resumen Serie geométrica: S n  a  ak  ak 2    ak n1   ak n - 1 Clasificación según k: D Osc C D D ------|------|------1

Serie telescópica:

a

n

1

 a  ( b n

n

Si k  1 la serie converge y su suma es

a . 1 k

 bn  1 )  b1  b2   b2  b3     bn  bn  1   b1  bn  1

a

Converge  bn converge y se cumple que

n

 b1  L donde L  lim bn  1 n

Series de términos positivos 

Comparación a) Si an  c bn para n  N ,

 a diverge   b diverge  b converge   a converge n

n

n

b) Si lim an  k  0, n

Para clasificar

bn

a

n

, basta con clasificar

a b

n

n

n

y

b

n

son de la misma clase.

, donde bn es equivalente a an .

D'Alembert: a) an1  k  1 para n  N ,

an

  an converge.

an1  1 para n  N , an

  an diverge.

an  1 L n a n

L  1   an

b) lim

converge

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L  1   an

diverge

L  1   an

diverge

L  1 ó 1-  no la clasifica

Raabe:  a  n1  n1   1  n  N, an  



  an Diverge,



 a  n1  n1   1  n  N, an  

  an Converge.



 a lim n 1 - n 1 n  an 

L  1   an

   L 

diverge

L  1   an converge

L  1-  no la clasifica

a

L  1- 

n

diverge

Series alternadas 

Leibniz: a n  0 y lim a n  0 



Convergencia absoluta: Si



Serie de potencias

n 

a x



 - 1

n

an converge con an n monótona decreciente

an converge   an converge

n

n

Determinación del radio de convergencia R 

D'Alembert: lim

n

an  1 L an

Series usuales de comparación 

Armónica generalizada



Bertrand: 1

an  

1 , h n ln  k

1

n

k

, k  1 converge

k 1  h

converge

k 1  h

diverge

k 1 si h  1 converge si h  1

diverge

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Ejercicios.

1. Estudiar la convergencia de las siguientes series: 

1  3 n 1 n

a.





1  5 n n 1

b.

c.

1

n n 1

4

3

2. Estudiar el carácter de las siguientes series:



a

3. Teniendo en cuenta el Teorema (Criterio de la raíz): Sea

n 1

n

una serie tal que an  0 para n

suficientemente grande, y sea. lim n an  l , Entonces: n 

a) Si l  1  la serie converge. b) Si l  1  la serie diverge. c) Si l  1  no se obtiene información. Estudie el carácter de las siguientes series

 5000     n  n 1  

a.

n



b.

e2n

n n 1

n



c.

n3

3 n 1

n

4. Usando el criterio de comparación con el limite, estudie el carácter de las siguientes series

Referencias  Apóstol T. (1978). Calculos. Ed. Reverté, S.A. Barcelona. Segunda edición Tomo I.  K.R. Stromberg, T.J. Bromwich; K. Knopp, A. Zygmund, N.K. Bari (2001), «Series», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.  Weisstein, Eric W. «Series» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.  A history of the calculus (en inglés).

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