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MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.
ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero CURSO 13-14
1.-Dada la función ( )
(√
a) (3p.) Dominio de f(x) b) (3 p.) Calcular c) (4p.) Calcular
). Se pide:
( ). ¿Es posible calcular ( )
2.- Estudiar la continuidad de la función: ( )
( )? ¿Por qué?
{
(
3.-a) (5p.) Calcular el siguiente límite: parámetro a.
)
, según los valores del
b) (5p.) De la función ( ) , con a, b , sabemos que pasa por el punto (1,2) y que tiene una asíntota oblicua de pendiente -6. Determinar a y b.
4.-Dada la función ( )
. Se pide:
a) (5p.) Calcular las asíntotas verticales y los límites laterales en caso de que los haya. b) (5p.) Estudiar si existen asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya. 5.-a) (5p.) Hallar el valor de k, sabiendo que la función ( ) pasa por el punto (1,3).
posee una asíntota que
√
b) (5p.) Calcular
√
6.-Sabiendo que ( ) es discontinua en x=2, calcular b y justificar razonadamente el comportamiento de la función en la proximidad de los puntos de discontinuidad. 7.-Se sabe que la recta y = 9 es una asíntota de la función ( ) Estudiar si para dicho valor del parámetro tiene otras asíntotas. 8.-a) Sea la función
( )
{
, se sabe que f(2)=3 y que es continua.
Obtener los valores de a y b. b) Calcular
√
(
. Calcular el valor de a.
)
.
1
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 9.-a) Calcular las asíntotas verticales y horizontales de la función ( ) b) Sea la función ( )
√
√
. Se pide:
b.1. Dominio de f(x) b.2. Calcular sus asíntotas verticales. 10. Hallar las dimensiones del rectángulo de área mayor inscrito en una circunferencia de radio 6.
11. a) (5 p.) Calcula el valor de k para que la función ( )
{
sea continua en
x=0
b)
(5 p.) Determinar
a y b para que ( )
12. Sea ( )
{
sea derivable.
. Hallar a, b y c sabiendo que tiene una asíntota horizontal en y=-1
y tiene un extremo relativo en el punto (0,1). 13. Sea la función
( )
(
)
. Calcular:
a) (7 p.) Su dominio, asíntotas, extremos relativos y puntos de inflexión. b) (3 p.)Esbozar su gráfica. 13. a) (5p.) Obtener las dimensiones de 3 campos cuadrados de modo que el perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del segundo y que se necesitan 1664 m de alambre para vallar los tres campos. La suma de las áreas de los tres campos ha de ser lo menor posible. (
b) (5p.) Calcular los valores de a tal que
2
)
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 14. a) (5p.) Determinar a, b y c sabiendo que la función f(x)= x3+ax2+bx+c tiene extremos relativos en x=1 y x=-3 y que corta a su función derivada en x=0. Determinar, asimismo, la naturaleza de los extremos relativos. b) (5p.) Hallar el valor de , para que la función ( )
15. Sea la función ( )
{
{
sea continua.
. Se pide:
a) (3p.) Calcular el valor de a para que la función sea continua. b) (3p.) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad f(x). c) (4p.) Hallar, si las tiene, sus asíntotas.
16. Dada la función ( )
( {
(
17. )
)
)
)
. Estudiar su derivabilidad
√
√
18.-Sean las funciones f, g: , definidas por f(x)=|x(x-2)| y g(x)=x+4. Se pide: a) (5p) Esboza sus gráficas sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. b) (5p) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. 19.-Sea la función: ( ) . Se pide: a) (4p) Calcular sus asíntotas y estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función b) (6p) Dibujar el recinto comprendido entre f(x), el eje de abscisas y la recta x=0. Calcular el área del recinto. 20.-Dada la función f(x)=(x-a)·cos (x), hallar el valor de a, sabiendo que ∫ 21.- a) (5p) Calcular a para que b) (5p) ∫
(
)
⁄
√
3
( )
.
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Profesor: Fernando Ureña Portero 22.-Sea ( )
{ √
. Hallar a, b y c, sabiendo que f(x) es continua en
su dominio y que la recta tangente por el punto de abscisas x=1/16 es paralela a la recta y=-4x+3 y además se cumple que ∫
( )
.
23.-Sea la función f(x)= x3-4x2+4x. Se pide: a) b) c) d)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. Intervalos de concavidad y convexidad. ¿Tiene algún punto de inflexión? Gráfica del recinto delimitado por la gráfica de f(x) y la bisectriz del primer cuadrante. Área del recinto anterior.
24.- Sea la función ( ) a) b) c)
. Se pide:
(3p) Calcular
los valores a y b, sabiendo que tiene una asíntota oblicua en y=2x+3. (3p) Para los valores encontrados, escribir las rectas tangente y normal en el punto x=0. (4p) Calcular ∫ ( ) para los valores calculados.
25.-a) (5p) ¿Cuál es el número que sumado con 25 veces su inverso da un valor mínimo? b) (5p) ∫
26.- a) (5p) Sea ( )
para x>0 y x≠1. Estudiar y determinar las asíntotas de f(x).
b) (5p) Entre los rectángulos de área 8 m2, hallar las dimensiones del rectángulo para que el producto de sus diagonales sea mínimo. 27.- a)
(5p)
Sea la función f: (-∞, 1) definida por
( )
{
√
.
Determinar a y b para f(x) sea derivable en todo su dominio. (AND) b) (5p) El área del recinto de la función f(x) = a·(x2-2x), siendo a>0, y el eje OX es 12 u2. Hallar a. 28-Resolver la integral: ∫
.
29.-Sea f(x)=(x+1)·e-x. Determinar: a) (5p) Los extremos y si existen los puntos de inflexión y de dichas función y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) (3p) Las asíntotas c) (2p) Representar gráficamente (CL) 4
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Profesor: Fernando Ureña Portero 31.-
Resolver las siguientes integrales indefinidas quasi-inmediatas: √
)∫ )∫ √
(
)
)∫ )∫
√
32.- Resolver las siguientes integrales indefinidas:
)∫ )∫
)∫ (
)
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Profesor: Fernando Ureña Portero CURSO 12-13
1.-Calcular las asíntotas de las funciones: ) ( )
) ( )
2.-Estudiar los valores de a que hacen que la función ( ) continua. 3.-Estudiar la continuidad de la función ( )
|
{
{ (
|
(
)
sea
) .
√ √ √
ax 3 bx 2 5 6.-Sea la función g ( x) . x2 c
a) Determinar a, b y c, sabiendo que x=2 e y=3x+2 son asíntotas. b) ¿Tiene otras asíntotas? Justifica tu respuesta y, en caso determínelas.
ax 7.-Sea f ( x) x 2 32 x4
afirmativo,
si 0 x 8 . Se pide:
si x 8
a) Dominio de la función b) Hallar a para que sea continua en su todo su dominio 8.-Sea
f ( x)
x3
x 12
. Calcular las asíntotas
9.-Calcula los siguientes límites:
)
√
√
√
)
(
)
)
(
10. Se considera la función derivable f: , definida por
)
( )
{
. √
Calcula los valores de a y b. 11.-Sea la función f: , definida por f(x)=ex(x2-x+1).
( ) ( ) Calcula Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos. c. (2p.) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f. a. b.
(3p.) (5p.)
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Profesor: Fernando Ureña Portero
12. Se pide: a) Dada la función f(x)=cos2 (3x). Hallar las rectas tangente y normal a la misma en el punto de abscisas π/12. b) Hallar los extremos relativos y puntos de inflexión, si existen, de la función g(x)=2x3-3x212x-5. 13. Se pide: a)
(5p.) Calcular
b)
(5p.) Hallar
las asíntotas de la función ( )
.
k para que √
14. Dada la función ( )
. Se pide:
a) (2p.)Dominio de la función f y puntos de corte con los ejes. b) (3p.)Estudiar las asíntotas de la función c) (3p.)Intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos si los tiene. d) (2p.)Gráfica de la función. 15.-Se pide: a) (5p.)Dada la función: ( ) b)
(5p.)Calcular
(
)
√
.Calcular su Dominio y ( )
a y b para que la función
( ).
pase por el punto (2,2) y tenga una
asíntota oblicua de pendiente 1. 16.-Resolver las siguientes integrales indefinidas quasi-inmediatas:
)∫
√
)∫
√
(
)
)∫
)∫ √
(1
17.-
Resolver las siguientes integrales indefinidas:
)∫
(
)
)∫
)∫
18.-Sea la función f(x)=|x2-1|. Se pide: a) (3 p.) Estudiar la derivabilidad. b) (2 p.) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) (5 p.) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x=-1 y x=1.
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Profesor: Fernando Ureña Portero √
19.-Dada la función ( ) , se pide: a) (2 p.) Dominio de f y puntos de corte con los ejes. b) (3 p.) Estudio de las asíntotas. c) (3 p.) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. d) (2 p.) Gráfica de f(x). 20.-Se pide: a) (5 p.)De entre todos los números reales x, y que suman 15, encuentra aquellos para los el producto x2·y sea máximo. b)
(5 p.) ∫
(
)
. Efectúa el cambio sen x =t. (
)
( ) 21.-Sean las funciones: ( ) ( ). Se pide: √ a) (5 p.) Hallar el dominio de f(x) y el ( ). b) (5 p.) Calcular, en el intervalo (0,2π), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los extremos relativos de g(x) 22.-Sea la función ( )
{
. Determinar a y b, sabiendo que f(x) es
continua en todo y tiene un extremo relativo en x=0. 23.- Dada la función ( ) . Se pide: a) Dominio de f(x) y puntos de corte con los ejes. b) Hallar las asíntotas. c) Determinar los intervalos de crecimiento y los extremos relativos. d) Representar gráficamente. 24.-Se pide: a) ∫ b) Representar y calcular el área del recinto limitado por f(x)=3x-x2 y su recta normal en el punto (3,0). 25.-Sean f(x)=ex+1 y g(x)=e-x+5. Se pide: a) Determinar los puntos de corte de las funciones f y g. b) Representar ambas funciones en los mismos ejes. c) Área limitada entre f(x) y g(x) y las rectas x=1 y x=3. 26.-Dada la función ( ) . Se pide: a) Calcular a para que la pendiente de la recta tangente por x=0 valga 2. b) Para a=1, estudiar sus extremos y el crecimiento y decrecimiento de f(x). c) Para a=1, hallar sus asíntotas.
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 27.-Calcular: a) ∫
. b) ∫
28.-De todas las primitivas de la función ( ) (
29.-Calcule a para que 30.-Dada la función ( )
, encontrar la que pasa por el punto (0,1). ( )
)
{
.
, se pide:
a) (3 p.) Determinar el valor de a que f sea continua en x=0. b) (3 p.) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad de f en x=0. c) (4 p.) Hallar, si las tiene, las asíntotas de la gráfica y=f(x). 31.-Dado la función P(x)= x3+ax2+bx+c, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen las condiciones siguientes: a) La función P(x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas x=-1/3, x=-1. b) La recta tangente a la gráfica de p(x) en el punto de abscisas x=0 sea y=x+3. 32.-Se considera la función ( )
{
, se pide:
a) (5 p.) Calcular a y b para que f sea continua y derivable en todo . b) (5 p.) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, calcular el área de la región acotada limitada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas x=1 y x=3.
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero CURSO 11-12
1.- Calcula los siguientes límites: √
)
2.-Se pide: a) Sea la función
√
( )
(
)
)
⁄
. Calcular el valor de k para que la pendiente de la recta
tangente en el punto de abscisa x=0 valga 3.Para el valor calculado de k, calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Dada la función ( )
, determinar sus extremos relativos y puntos de inflexión.
3.-Sea f: (0,+) la función definida por f(x)=ln(x2+3x). a)
Determina, si existen, los puntos de la gráfica f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x-2y+1=0. b) (3 p.) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3. c) (3 p.) Calcula el dominio de la función y los puntos de corte con los ejes (4 p.)
4.-Dada la función a)
( )
. Se pide:
Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x=1. Para ese valor de a obtener los otros puntos en que f tiene extremos relativos. b) (4 p.) Obtener las asíntotas de la gráfica de f(x) para a=1. c) (2 p.) Esbozar la gráfica de la función para a=1. (4 p.)
5.-Dada la función f: definida por f(x)=ax3+bx2+cx, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta normal en ese punto tiene por ecuación 3y-x+1=0. 6.-a)
(5 p.)
b)
(5 p.)
Se sabe que
7.-Sea la función a)
( )
es finito. Calcula el valor de m y hallar el límite.
.
p.) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. b) (3 p.) Esbozar su gráfica. (7
8.-Determina la primitiva de la función f(x)=x·(1-Ln(x)) cuya gráfica pasa por el punto (1,1)
9.-Determina la función f(x) sabiendo que f’(x)= Ln [(x+3)(x+1)] y que f(0)=Ln27. 10.-Calcular las siguientes integrales: )∫
)∫
)∫
)∫
)∫
( √
) √
)∫
√ 10
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 11.-Dada la función ( )
Se pide:
{
a) Estudiar la continuidad. Representar la función f(x). b) Hallar la recta normal que pase por el punto de abscisas x=0. c) Calcular el área del recinto determinado por la recta x=-1, f(x), la recta tangente por el punto de abscisas x=0. 12.-Calcular el área de la región limitada por la función f(x)=x 3-x+1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la gráfica que pasa por el punto de abscisas x=1. (Esbozar la gráfica previamente). ( )
13.-Hallar los parámetros reales a y b para que la función
( )
{
sea
continua en . 14.-Sea la función f(x)=x2·e-2x. Se pide: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos, si existen. Esbozar su gráfica. b) ∫ ( ) 15.- a) Hallar valores de m para que la función
( )
{
sea derivable en
toda la recta real. (Explicitar las condiciones que ha de cumplir una función para ser derivable). b) Dada la función g(x)=ax2+bx+c, determinar los valores a, b y c para que se cumplan las siguientes condiciones: la gráfica de g(x) pasa por el punto (0, 4); la recta y=-4x+7 sea tangente a la gráfica de g(x) en el punto de abscisa x=1. 16.-Resolver:
a)∫
17.-Sea ( )
( )
b)
(
) ( )
. Determinar:
a) Dominio de la función b) Asíntotas. c) Extremos relativos y punto de inflexión. Esbozar su gráfica. d) ∫ ( ) 18.- Representar la región determinada en cada caso por las funciones y calcular el área de dicho recinto: f(x)=x2-4 y g(x)=3x 19.-Sea la función
( )
. Se pide:
a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x=1. b) Para el valor obtenido en el apartado anterior, obtener los otros puntos en que f tiene extremos relativos. c) Obtener las asíntotas de la gráfica de f(x) para a=1. d) Gráfica de f(x) para a=1.
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MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.
ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 20.-Sean f, g:
, las funciones definidas por ( )
( )
.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-2. b) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y=x+5. c) Calcular el área de dicho recinto. 21.-Calcular:
∫(
22.-Sea la función
)( ( )
)
(
b)
( )
)
. Determinar el valor de a para el que la función tiene un
mínimo en x=1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que la función tiene extremos relativos. Obtener las asíntotas para a=1 y esbozar si gráfica. 23.-Dada la función ( )
. Se pide:
a) Hallar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. Hallar su punto de inflexión. b) Estudiar las asíntotas y representa gráficamente la función. c) Calcular el área limitada por la función f(x), el eje OX y las rectas y=x+2 y x=1.
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero Curso 2010-11
(
1.-Calcula
)
√
) )
)
(
)
2.- Dada la función
)
|
( )
)
√
) |
. Calcula su límite para los valores -∞, 0, 2.
3.-Calcular el valor de a, sabiendo que 4.-Sea la función
(
(
( )
√
√
. Se pide:
a) Hallar b, sabiendo que la función es discontinua en x=2. b) Estudiar las discontinuidades. 5.-Dada la función:
|
( )
|
. Se pide:
a) El dominio de f(x) b) Define la función a trozos teniendo en cuenta su dominio. c) Averigua el valor que debe darse a f(2) para que f(x) sea continua en el intervalo [0,2].
6.-Sea la función
(
( )
. Determina a y b para que sea continua para
{
todo valor de . 7.-Sea la función
)
√
( )
. Se pide:
a) Dominio de f(x). b) ( ) c) Asíntotas y ramas parabólicas 8.-Calcula en las funciones siguientes las asíntotas: a) Verticales en f(x)= log (x2-4) b) Horizontales en c) Oblicuas en
( )
( )
9.- Sea f la función definida como
( )
a) Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2, 3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente −4. b) Para el caso a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. 10.- Calcula: 11.- Considera la función f : [0, 4] definida por:
( )
{
a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c. b) Para a = −3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 12.- Sea f: (0,+) la función definida por f(x) = ln(x2 + 3x), donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y + 1 = 0. b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3. 13.- Sea la función f: dada por
( )
{
(
)
. Calcula las constantes a,
b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3. 14.- Sea f: la función definida como ( ) ( )√ . Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=−5 y en el punto de abscisa x = 2. 15.-Sea f la función definida como
( )
.
(a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) Esboza la gráfica de f. 16.- Dada la función f: definida como f(x)=a sen (x)+ bx2 +cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto (0, 4) y que la segunda derivada de f es f’’(x) = 3 sen(x) − 10. 17.- Considera la función f: definida por ( )
{
. Estudia su continuidad y
derivabilidad. Determina la función derivada de f. 18.-Sea la función f(x)=ax3+bx2+cx+d. Hallar a, b, c, d, sabiendo que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su gráfica, además tiene un mínimo en x=1 y que la recta tangente por el punto de abscisa 2 es perpendicular a la recta y+x=3. 19.-Sea la función f(x)=x+e-x. Se pide: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, indicar cuáles son los extremos relativos. b) Intervalos de concavidad y convexidad. c) Asíntotas. d) Esboza la gráfica. 20.-Sea la función ( )
(
{
(
)
.
)
a) Calcular el valor de a sabiendo que f(x) es continua. b) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales. 21.-Calcular “a” para que se verifique la siguiente igualdad: 22.-Se considera la función
( )
{
(
)
, de dicha función se sabe que es
continua, que tiene un máximo en el punto de abscisas 1 y que la recta tangente por x=2 es paralela a la recta de ecuación y-2x=0. Calcular a, b y c. 23.-Sea la función ( ) √ . Se pide: a) Dominio de f(x) b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. c) Intervalos de concavidad y convexidad. ¿Existe algún punto de inflexión? En caso afirmativo calcularlo. d) Esbozar su gráfica 14
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 24.-
25.-Dada la función
( )
{
Se pide:
a) Estudiar la continuidad. b) Representar la función f(x). c) Hallar la recta tangente que pase por x=0. d) Calcular el área del recinto determinado por la recta x=-1, f(x), la recta tangente anterior. 26.- Sea la función
( )
Se pide:
a) Dominio de la función, puntos de corte con los ejes. b) Asíntotas. Puntos de corte con las mismas si existen. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Representación gráfica e) Área del recinto delimitado por la función f(x), el eje OX y la recta x=1 27.-Calcula:
)(
)
∫
)(
√
28.- Sea la función ( )
)
{√
∫√ . Se pide:
b.1.Determinar a para que f(x) sea continua en . b.2.Puntos de corte con los ejes. 29.-Dada la función ( )
. Se pide:
a) Hallar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. Hallar su punto de inflexión. b) Estudiar las asíntotas y representa gráficamente la función. c) Calcular el área limitada por la función f(x), el eje OX y las rectas y=x+2 y x=1. 30.- a) Calcular el valor de a>0, sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y=x2+ax y la recta y+x=0 vale 36 u2. b)∫ 31.-Sea ( )
, donde x≠a. Se pide:
a) Calcular a y b para que la gráfica de f(x) pase por el punto (2,3) y tenga una asíntota oblicua de pendiente -4. b) Para el caso de a=2 y b=3, obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal por el punto de abscisa 1. c) Para el caso de a=1 y b=1, calcular el área del recinto limitado por f(x), la recta y=x+1, x=-1 y x=0. 32.-Se pide: a) Hallar el valor de a para que se verifique que
(
)
b) ∫ 33.- Se pide: a) Dada la función ( )
{
√
. Determinar k para que f(x) sea continua en
b) ∫ 15
.
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 34.-Dada la función ( )
. Se pide:
a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Hallar el punto de inflexión de f(x) c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica d) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica f(x), el eje de abscisas y las rectas y=x+2, x=1. 35.-De todas las primitivas de f(x)=x·(1-lnx), calcula la que pasa por el punto (1,3).
16
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero Curso 2009-2010 1.-Calcula los siguientes límites: √
)
)
√
(
)
)
(
√
)
( ) 2.-Se sabe que una función f(x) tiene una discontinuidad evitable en x=x0 si existe , aunque f(x) no exista o f(x0) ≠ L. Teniendo en cuenta lo anterior, calcular el valor del parámetro a, sabiendo que la función
tiene en x=- una discontinuidad evitable.
( )
3.-Halla a y b para que esta función sea continua y represéntala:
( )
{
4.-.-En el Laboratorio de Biología de la UJA han determinado que el tamaño T de los ejemplares de una cierta bacteria (medido en micras) varía con el tiempo, siguiendo la ley (función):
√
( )
{
√
El parámetro a es una variable biológica cuya interpretación trae de cabeza a los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el crecimiento se mantenga continuo en t=8. a) Decide la cuestión b) Investiga cuál llegará a ser el tamaño de una bacteria si se la cultiva indefinidamente.
{√
( )
5.-Hallar a y b en la función
sabiendo que es continua. Estudia la √
derivabilidad de f(x). 6.-Hallar a y b en la función
( )
{
sabiendo que es continua. Estudia la
derivabilidad de f(x). 7.-Sea f: la función definida por
( )
{
a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad b) Determinar sus asíntotas y sus extremos relativos c) Esboza la gráfica 8.-a) Calcular:
( ⁄ )
b) Sea f:[1,+∞], definida por
( )
√
. Determina la asíntota de f(x).
9.-Sea f: la función definida por ( ) . Se pide: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos o locales b) Intervalos de Concavidad y convexidad c) Asíntotas de la gráfica 10.-Hallar a, b y c para los cuales la función recta y=-1 y un mínimo en (0,1). 11.-Dibujar la gráfica de la función
( )
( ) | |
tiene como asíntota horizontal la
indicando su dominio, intervalos de crecimiento y
decrecimiento y asíntotas. 17
MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.
ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 12.-Se considera la función real f(x)=x3+ax2+bx+c, donde a, b y c son parámetros reales. a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x) en los puntos de abscisas x=2 y x=4 son paralelas al eje OX. b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valora de c para el que se cumple que el punto de inflexión de la gráfica está en el eje OX.
(
13.-Calcular:
) .
14.-Se sabe que la función f: definida por
( )
{
(
) (
es derivable.
)
Determina m. 15.-Sea ( )
. Se pide:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar la gráfica. b) El área de la región limitada por f, el eje OX y las rectas x=-2 y x=2. 16.-Calcular una función de tercer grado f(x)=ax3+bx2+cx+d, sabiendo que: a) tiene un máximo relativo en x=1 b) tiene un punto de inflexión en el punto (0,1) c) ∫
( )
17.- Considera la parábola de ecuación y=x2+2x-3. a) Hallar sus rectas tangentes por x=-1 y x=1. b) Calcular el mínimo de la función, razonadamente; escribe las coordenadas del vértice. c) Representar la parábola y las rectas tangentes obtenidas y encuentra las intersecciones de la parábola con los ejes. d) Calcula el área comprendida entre la parábola y las rectas tangentes. 18.-Considera la función ( )
{
, donde a y b son números reales.
a) ¿Qué condición tiene que cumplir a y b para que la función f(x) sea continua en todo . b) Halle los valores de a y b para los cuales f(x) sea continua pero no derivable. c) Para a=1 y b=1, calcula ∫
( )
19.-a) Determinar el valor de m para que la recta tangente a la función f(x)=x3+mx en el punto x=0 sea perpendicular a la recta y+x=3. b) Representar en los mismos ejes coordenados la función f(x) obtenida en el ap. a) y la función g(x)=x2+3x. c) Hallar el área del recinto acotado por ambas funciones f(x) y g(x). 20.-Sea
( )
con
(
) . Se pide:
a) Calcular los intervalos de Crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y asíntotas. Esbozar la gráfica. b) Calcular
∫ ( )
.
21.-Sea f(x)=2x·|4-x|. a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Dibujar su gráfica. c) Calcular el área del recinto acotado por la función f(x), las rectas x=0 y x=5 y el eje OX. 22.-Calcular: 18
MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.
ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero a)
∫
b)
19
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero CURSO 2008-2009
3x 2 x 1.-Sea la función f:, definida por f ( x) 3x 2
ax 2
. Determinar “a” para que la gráfica de f
tenga una asíntota horizontal en la recta y=2.
2.-Sea la función
g ( x)
ax 3 bx 2 5 . x2 c
a) Determinar a, b y c, sabiendo que x=2 e y=3x+2 son asíntotas. b) ¿Tiene otras asíntotas? Justifica tu respuesta y, en caso afirmativo, determínelas.
3.-Dada la función
x2 2 . Determine el dominio de la función h(x) y los puntos de h( x) Ln 2x 1
corte con los ejes. 4.-Sea la función
f ( x) x · x 4
, redefínala y represéntela gráficamente.
5.-Esboce la gráfica de la función cuyas principales características son: a) Tiene asíntotas verticales en x=3 b) Si x∞, se cumple que f(x)0 c) f(-4)=f(4)=25/16 d) Es creciente: (-∞,-3) (-3,0) e) Es decreciente: (0,3) (3, +∞) f) Se sabe que f(0)=0, siendo un extremo relativo. 6.-Sea f(x)=e-x/2 la función. Hallar la recta tangente a dicha función por el punto cuya imagen es 1.
7.-Sea
ax f ( x) x 2 32 x4
si 0 x 8 si x 8
. Se pide:
a) Dominio de la función b) Hallar a para que sea continua en su todo su dominio c) Hallar su derivada. ¿Es derivable en todos sus puntos? 8.-Calcular a y b para que la función
f ( x)
bx xa
tenga una asíntota vertical en x=2 y una
asíntota horizontal en y=3. Una vez calculados (a y b), hallar si existen extremos relativos.
9.-Sea
f ( x)
x3
x 12
. Se pide:
a) Calcular las asíntotas b) Determinar los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento c) Máximos y mínimos relativos d) Puntos de inflexión y la recta normal por ellos. e) Dibuja y/o esboza la función. 10.-Sea f: la función definida por f(x)=(3x-2x2)·ex. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcula los extremos relativos de f (abscisas que toman y valores que alcanzan).
20
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 11.-Dada la función f definida para x0
f ( x)
ex 1 . Determina las asíntotas de su gráfica. ex 1
12.-Sean f: y g: las funciones f(x)=x2+ax+b y g(x)=c·e-(x+1). Se sabe que f y g se cortan en el punto (-1,2) y tienen en ese punto la misma recta tangente. a) Calcula a, b y c. b) Halla la ecuación de dicha recta tangente.
13.-Sea f:[0,4] definida por
2 ax 3x f ( x) 2 x bx 4
si x 2 si x 2
a) Determinar a y b, sabiendo que f derivable en . b) Determinar las rectas tangente y normal en el punto abscisas 3. 14.-Sea f:[0,2], la función definida por f(x)=ex·(senx + cosx). a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Calcula los puntos de inflexión de la gráfica f. 15.-Sea la función definida para x0 por f(x)=x · ex. Determinar las asíntotas de la gráfica de f. ¿Tiene extremos relativos?, en caso afirmativo calcularlos. 16.-Calcula:
1
x 2
2
dx x ·x 1
17.-Sean f: y g: definidas por: f(x)=x2 -1; g(x)=2x+2. a) Esboza la gráfica de f y g. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas. 18.- Sean f: y g: definidas por: f(x)=x2; g(x)=a (con a>0). Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es . Calcular el valor de la constante a. 19.-Sean f: (0,/2) y g: (0,+) definidas por:
f ( x)
sen x cos 3 x
y g(x)=x3·Ln x.
a) Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x=/3. b) Calcula
1
1
g ( x) dx .
20.- Dadas las funciones f y g: [0,+∞), definidas por:
f ( x) x y g ( x) 3 x . Calcula el área
del recinto limitado por las gráficas de f y g, (esboza previamente las gráficas). 21.-Sea f: la función definida por: f(x)=ax3+bx2+cx+d. Se sabe que f tiene un máximo local en x=1, que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su gráfica y que
1
0
f ( x)dx
9 . Calcula a, b, 4
c y d. 22.-Sea g:(0,+∞) la función dada por g(x)= lnx (ln denota logaritmo neperiano). a) Justifica que la recta de ecuación
y
1 x e
es la recta tangente a la gráfica de g en el
punto de abscisa x=e. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior. 23.-Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y de 108 litros de capacidad. Elegir las dimensiones, con objeto de que sea mínima la superficie empleada.
21
MATEMÁTICAS 2º BACH CC. Y TECNOL.
ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero
24.-Determina los valores de los parámetros a, b para que la función: f(x)=(ax2 +bx)·e-x, tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x=3 y además pase por el punto (1,-1/e). Halla la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x= 0. 25.-Calcula la integral definida
0
e x sen ( x)dx
26.-Calcula el área determinada por la gráfica de la función f(x)=x3-9x y el eje de abscisas. 27.-a) Halla los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función:
f ( x)
3x 2 x 3 x2 1
b) Determinar una función F(x) tal que su derivada sea f(x) y además F(0)=4. 28.-Dadas las funciones f(x)=x2-ax-4 y g(x)=
x2 b . Se pide: 2
a) Calcula a y b de manera que las gráficas f(x) y g(x) sean tangentes en el punto de abscisas x=3, es decir, que tengan la misma recta tangente en ese punto. b) Halla la ecuación de la recta tangente encontrada en el apartado anterior. c) Para el valor de a obtenido en el primer apartado, calcula el valor del área de la región limitada por el eje de abscisas OX y la función f(x).
29.-Sea f: la función definida por:
1 f ( x) x 1 x 2 3x 1
a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos. c) Esboza la gráfica de f.
22
si x 0 si x 0
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Profesor: Fernando Ureña Portero INTEGRALES INDEFINIDAS 1.-Resuelve las siguientes casi-inmediatas:
)∫
) ∫(
√ )∫
)∫
)
)∫
) )
) √
)∫
√
(
) ∫ √(
) ∫(
√ )∫
√
)∫
)∫
)∫
2.-Resuelve utilizando el método más adecuado:
)∫
)∫
)∫
Calcula:
a)
(x x
1 x4
2
)∫
)∫
(
) (
dx
b)
1 Ln x 2 dx x
)∫
)∫
(
)∫
–
c)
)
)∫
1 tg 2 x tg x
√
)∫
√
)∫
)∫ √
d ) sen cos x ·senx dx
dx
g)
)∫ √ )
)∫
)
f ) cos 2 x dx
)∫ –
(
dx a x) ( x 1)
e) ( x 2 2 x 3)·Ln x dx
)∫
) ∫√
dx e 3e x 2x
√ (
)
)∫
)∫ √
)∫
23
( (
) )
h)
dx x 8 x 20 2
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Profesor: Fernando Ureña Portero OTROS CURSOS 1.- Sea f : (0,+∞) la función definida por
f ( x)
3x 1 x
(a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f. 2.- Sea f : R R la función definida por f(x) = x ·|x − 2|. (a) Estudia la derivabilidad de f en x = 2. (b) Esboza la gráfica de f. (c) Calcula el área del recinto limitado por la grafica de f y el eje de abscisas. 3.-Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3. a) Esboza las gráficas de f y de g calculando sus puntos de corte. b) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de f y g. 4.- Sea f: (0,+∞) R la función definida por f(x) = x2 · Ln (x) (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa
x e.
5.- Considera las funciones f: R R y g : R R definidas por f(x) = ex-1 y g(x) = e1-x . a) Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g. 6.- Sea f: R R la función definida por f(x) = x(x − 3)2. a) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Haz un esbozo de la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. 7.-Sea f: R R la función definida por f(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = 2x + 3. 8.-Dada la función f : R R definida por f(x) = Ln (1 + x2), a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa. c) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas 9.-Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por f′(x) = x2 +x−6 y que el valor que alcanza f en su punto de máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo). 10.- Sea f : (−1,+∞) R la función definida por f(x) = Ln (x + 1) (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x = 1. 11.-Sea
I
2 dx 2 ex
a) Expresa haciendo el cambio de variable t = ex. b) Calcula . 24
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero
12.- Sea f: R → R la función definida por f(x) = (x − 3)· eX. a) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) [Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
13.- Sea f : R → R la función definida por
1 ax si x 0 f ( x) x si x 0 e
a) Determina el valor de a sabiendo que f es derivable. b) Haz un esbozo de la gráfica de f. c) Calcula
1
1
f ( x)dx.
14.- Sea f la función definida, para x 2 y x −2, por
f ( x)
x2 3 . x2 4
a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. 15.-Calcula (a)
3x 4 x 2 1 dx
(b)
4
0
x cos(2 x)dx.
16.- Determina la función f : R R sabiendo que f ’’(x) = x2 −1 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1. 17.- Calcula > 0 para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f: R R y g: R R definidas por f(x) = x2 y g(x) = −x2 + 22 sea 72 (unidades de área). 18.- Sea f : R R la función definida por f(x) = x2. (a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su área. 19.- Sea f : R R la función definida por f(x) = x2·e-x. (a) Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). (b)Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
si 2 x 1 20.- Sea f: (−2, 0) R la función definida mediante f ( x) x 2 x si 1 x 0 2 a) Determina y sabiendo que f es derivable. b) Calcula
1
2
f ( x)dx .
21.-Sea f la función definida por
x e 1 si x 0 f ( x) x2 si x 0 xe
a) Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta x = -1. 25
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero 1 1 Lim x 1 Lnx x 1
22.-Calcula
siendo Ln la función logaritmo neperiano.
a
23. Sea f: R R la función definida por f ( x) x
x 2 1
si x 1 si x 1
a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x+2=0 y x-2=0. 24.-Sea f : R R la función definida por f(x) = x2 - | x |. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). 25.- Calcula
(a) (b)
5 x 2 x 160 x 2 25 dx
2 x 3·tg x
2
3x dx, siendo tg la función tan gente.
26.-Halla la función f : R R sabiendo que f’’(x) = 12x -6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuación 4x - y - 7 = 0. 27.- Determina un punto de la curva de ecuación
y x·e x
2
en el que la pendiente de la recta
tangente sea máxima.
28.-Sea
I
2
x3
dx. 1 x2 a) Expresa I aplicando el cambio de variable t = 1 + x2 . b) Calcula el valor de I . x4 3 , para x 0 . 29.- Sea f la función definida por f ( x) x 0
a) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f. c) Esboza la gráfica de f. 30.-El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y
x2 e y ax , con a > 0, vale 3. a
Calcula el valor de a. 31.- a) Sea f: R R la función dada por f(x) = ax2+b: Halla los valores de a y b sabiendo que
6
0
f ( x)dx 6 y
que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de
abscisa 3 vale -12. b) Sea f: R R la función dada por f(x) = x2 + p x + q: Calcula los valores de p y q sabiendo que la función f tiene un extremo en x = -6 y su valor en él es -2.
32.- Sea f: R R la función definida por
f ( x)
x2 x 1 x2 x 1 26
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ANÁLISIS: Ejercicios de Exámenes
Profesor: Fernando Ureña Portero a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f. c) Esboza la gráfica de f. 33.- Calcula
x
2
1 e x dx f ( x) sen x
34.-Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función a dicha gráfica en los puntos de abscisas x = 0 y x = .
x Ln x
y las rectas tangentes
2
35.-Sea f: (1,+∞) R la función dada por
f ( x)
x 12
. Estudia la existencia de asíntota
horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, hállala. 36.-Sea
f:
[0;
4]
R
una
función
tal
que
su
función
derivada
viene
dada
por
2 si 0 x 3 x f ( x) 3 2 x 8 si 3 x 4
f ( x)
a) Determina la expresión de f sabiendo que
16 . 3
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
37.- Se sabe que la función f: [0; 5] R definida por
2 ax bx f ( x) 4 x 1
si 0 x 2 si 2 x 5
es
derivable en el intervalo (0; 5). a) Calcula las constantes a y b. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. 38.- Sean las funciones f y g: [0;+∞) R, dadas por número real positivo fijo. Calcula el valor de
,
f ( x) x 2 y g ( x) x ,
donde
, es un
sabiendo que área del recinto limitado por las
gráficas de ambas funciones es . 39.-Sea f: R R la función definida por f (x) = x3 + a x2 + b x + 1. Se pide: a) Determina a; b Є R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 2) y tiene un punto de inflexión de abscisa x = 0. b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de inflexión. 40.- Sea f : (0; 2) R la función definida por
Ln x f ( x) Ln x 2
si 0 x 1 si1 x 2
a) Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1. b) Calcula
1'5
1
f ( x)dx .
41.-Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo. 42. a) Haz un esbozo del recinto limitado por las curvas b) Calcula el área de dicho recinto. 27
y
15 e y x2 1 2 1 x