Profr. Efraín Soto Apolinar.

Forma normal Todavía nos falta una última forma de la ecuación de la recta que nos ayudará a estudiar el último tema de esta unidad. Ecuación de la recta en su forma normal La ecuación de la recta en su forma normal es: Definición 1

Ax+By+C A B C √ = √ x+ √ y+ √ =0 A2 + B2 A2 + B2 A2 + B2 A2 + B2 donde A, B, C ∈ R y los coeficientes A, B no pueden ser cero simultáneamente. Para obtener esta ecuación basta dividir ambos lados de la ecuación de la recta en su forma general √ 2 entre A + B2 . Encuentra la ecuación en forma normal de la recta: 12 x − 5y + 1 = 0.

Ejemplo 1

• En este ejemplo necesitamos convertir la ecuación de la recta en forma general a la forma normal. √ A2 + B2 y dividir ambos lados de la • Para eso basta calcular el valor del denominador: ecuación (en su forma general) por ese valor. q p √ √ A2 + B2 = (12)2 + (−5)2 = 144 + 25 = 169 = 13 • Entonces, la ecuación simétrica la obtenemos dividiendo entre 13: 12 5 1 x− y+ =0 13 13 13 En este primer ejemplo obtuvimos un valor entero para

√

A2 + B2 , pero eso no siempre ocurrirá.

La mayoría de las veces encontraremos raíces de números que no se podrán simplificar. En esos casos es mejor dejar indicada la raíz y no escribir decimales. Es más fácil de entender la ecuación mientras menos decimales contenga y es más fácil de escribir la ecuación cada vez. El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos. Encuentra la ecuación (forma normal) de la recta que tiene pendiente m = −4 y que pasa por el punto P(1, 3).

• Empezamos calculando la ecuación en forma punto-pendiente, así obtenemos su forma general y finalmente calculamos la ecuación en la forma normal. • Fase A: Ecuación en forma punto-pendiente: y − y1 y−3

= = y−3 = 4x+y+1 =

m ( x − x1 ) −4 ( x − 1)

−4 x + 4 0

www.aprendematematicas.org.mx

1/5

Ejemplo 2

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Fase B: Convertimos a la forma normal. √ • Calculamos el valor de A2 + B2 : p p √ √ A2 + B2 = 42 + 12 = 16 + 1 = 17 • Dividimos ambos lados de la ecuación en forma general entre ecuación en la forma normal:

√

17 y así obtenemos la

4 1 1 √ x+ √ y+ √ = 0 17 17 17 • Esta es la ecuación que deseabamos calcular.

Ejemplo 3

Calcula la ecuación (forma normal) de la recta que pasa por los puntos P(5, 1) y Q(1, 5). • Primero debemos calcular la pendiente de la recta, después vamos a utilizar la forma puntopendiente y finalmente debemos convertir a la forma normal. • Fase A: Encontramos la pendiente de la recta: m=

y2 − y1 5−1 4 = = = −1 x2 − x1 1−5 −4

• Fase B: Sustituimos en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente: y − y1

= y−1 = y−1 = x+y−6 =

m ( x − x1 )

(−1) ( x − 5) −x + 5 0

• Fase C: Convertimos a la forma normal. • Primero calculamos el valor del denominador: p p √ A2 + B2 = 12 + 12 = 2 • Finalmente dividimos la ecuación de la recta en su forma general entre a la forma normal: 1 1 6 √ x+ √ y− √ = 0 2 2 2

√

2 para convertirla

• Y terminamos.

Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la recta que es paralela a la recta 3 x − y + 12 = 0 y que pasa por el punto P(−1, 1).

• Dado que las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.

www.aprendematematicas.org.mx

2/5

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Para conocer la pendiente de la recta cuya ecuación conocemos, despejamos y: y = 3 x + 12 • Entonces, m1 = 3 y b = 12. • Ahora vamos a sustituir m = 3 y P(−1, 1) en la ecuación de la recta en su forma puntopendiente: y − y1 y−1 y−1

−3 x + y − 2 3x−y+2

= = = = =

m ( x − x1 ) 3 ( x − (−1)) 3x+1 0 0

• Ahora vamos a convertirla a la forma normal. • Calculamos el valor del denominador: q p √ A2 + B2 = (3)2 + (−1)2 = 10 • Ahora dividimos la ecuación en la forma general entre

√

10 para obtener la forma normal:

3 1 2 √ x− √ y+ √ = 0 10 10 10 • Esta es la ecuación de la recta en su forma normal.

Calcula la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta x + 2 y − 2 = 0 y que pasa por el punto P(2, −1).

• Sabemos que las rectas son perpendiculares, por eso podemos usar la condición de perpendicularidad para encontrar la pendiente de la recta cuya ecuación queremos encontrar. • Primero calculamos la pendiente de la recta que conocemos, para eso despejamos y: x+2y−2

= 0 x − 2 = −2 y

1 − x+1 = y 2 • Entonces, m1 = −1/2 y b = 1. • Ahora encontramos la pendiente de la recta perpendicular a ésta con la condición de perpendicularidad: 1 1  =2 m2 = − = − 1 m1 − 2

www.aprendematematicas.org.mx

3/5

Ejemplo 5

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Ahora sustituimos los datos conocidos en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: y − y1

= = y−2 = −2 x + y − 4 = 2x−y+4 = y−2

m ( x − x1 ) 2 ( x − (−1)) 2x+2 0 0

• Y finalmente, la vamos a convertir a la forma normal. • Calculamos el valor del denominador: q p √ A2 + B2 = 22 + (−1)2 = 5 • Ahora dividimos ambos lados de la ecuación en forma general entre

√

5 y terminamos:

2 1 4 √ x− √ y+ √ = 0 5 5 5 Esta forma de la recta nos ayuda a calcular la distancia de un punto P( x1 , y1 ) hasta una recta cuando concemos su ecuación: A x + B y + C = 0, que es lo que estudiaremos en el siguiente y último tema de esta unidad.

Créditos Albert Einstein

Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 31 de julio de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. www.aprendematematicas.org.mx

4/5

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

www.aprendematematicas.org.mx

5/5