INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 1 de 49

PROGRAMA I. OBJETIVOS 1. Repasar los conceptos fundamentales de la matemática. 2. Introducir los principios básicos de la programación. II. TEMARIO Lógica Matemática es una asignatura que comprende primero la revisión de las principales bases del cálculo como son los axiomas de orden, intervalos, ecuaciones, funciones. Y en la segunda parte se introducen los principios básicos de programación y diagramas de bloques con el fin de desarrollar el pensamiento lógico y estructurado de los estudiantes. 1. Repaso general Axiomas. Propiedades. Operaciones básicas. Notación y representación de intervalos. Fracciones. 2. Ecuaciones Ecuación. Inecuación. Sistemas de ecuaciones y procedimiento para su resolución. Interpretación gráfica. Principios y propiedades de una ecuación cuadrática. 3. Funciones Conceptos generales de las funciones (dominio, rango, coordenadas). Propiedades de las principales funciones matemáticas (afín, lineal entre otras). 4. Principios Básicos de programación Concepto de entrada y salida. Estructuras y metodología de programación. Diagramas de flujo.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

1

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 2 de 49

La tabla 1 relaciona los temas que se van a trabajar en esta asignatura con su respectiva intensidad horaria y cronograma. TEMA

HRS

1. Repaso general 1. Propiedades fundamentales y axiomas 2. Intervalos 3. Operaciones básicas 4. Repaso de fraccionarios 2. Ecuaciones 1. Ecuaciones de primer orden 2. Sistemas de Ecuaciones 3. Problemas resueltos con sistemas de ecuaciones 4. Inecuaciones 5. Ecuación Cuadrática Taller de preparación al primer examen Examen 1 3. Funciones 1. Conceptos generales 2. Propiedades de las principales funciones 4. Principios básicos de programación 1. Concepto de entrada y salida 2. Estructuras y metodología de programación 3. Diagrama de flujo y elaboración de programas Taller de preparación al examen final Examen final Entrega de notas TOTAL Tabla 1. Temario Lógica Matemática

9 1 1 3 4 15 3 3 3 3 3 3 3 9 4 5 6 1 2 3 3 3 3

SEMAN A 1-2 1 1 1 2 3-7 3 4 5 6 7 8 9 10 - 13 10 11-12 13-14 13 13 14 15 16 17 17

III. METODOLOGÍA Lógica matemática es una asignatura teórica que pretende brindar los conocimientos suficientes para que los estudiantes comprendan la aplicación de las matemáticas en la tecnología, por esta razón no se trata de llegar a un nivel de profundización máximo sino de que entiendan el concepto y utilización de los desarrollos matemáticos.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

2

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 3 de 49

Se realizan clases presenciales, dirigidas por el profesor encargado de la asignatura. El profesor desarrollará talleres individuales y grupales al finalizar la exposición de cada tema. IV. EVALUACIÓN DESCRIPCIÓN % SEMANA FECHA Examen 1 30 9 Examen Final 30 16 Talleres 20 1 – 17 Trabajo en clase 20 1 – 17 Tabla 2. Evaluación “Lógica Matemática” V. TALLERES Por cada tema visto en clase se realizará un taller para entregar la clase siguiente. Así como evaluaciones cortas o trabajos en clase de acuerdo a las sesiones.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

3

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 4 de 49

REPASO GENERAL 1. Números Reales Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0). Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal. Existen dos maneras: decimales terminales decimales que se repiten infinitamente Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

4

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 5 de 49

Los números están ordenados en conjuntos según sus propiedades: N: naturales, números enteros positivos Ejemplo: 1, 2, 3, 4,…. Z: enteros, números positivos y negativos Ejemplo: …, -4, -3, -2, -1,0, 1, 2, 3, 4,… Q: racionales, decimales que se puedan escribir en forma de fracción y periódicos Ejemplo: 1/3, -1/4… Q’: irracionales, decimales que fracción y no periódicos Ejemplo: , 2

no se puedan escribir en forma de

R: reales, es el conjunto de agrupa todos los conjuntos anteriores C: complejos, números compuestos con imaginarios (i) 2. Axiomas y propiedades Conmutativa de adición: La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo. Por ejemplo: 4+2=2+4 Conmutativa de multiplicación: Por ejemplo: 4* 2 = 2*4 Asociativa de adición: La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo. INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

5

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 6 de 49

Por ejemplo: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) Asociativa de multiplicación: Por ejemplo: 4*(2*9) = (4* 2)*9 Distributiva de multiplicación sobre adición: Por ejemplo: 4*(2 + 9) = 4* 2 + 4* 9 Existencia de un neutro aditivo, el elemento 0

a 0 a Existencia de un neutro multiplicativo, el elemento 1

a 1 a Propiedad distributiva

a (b c) a b a c Propiedad asociativa a b c (a b) c a (b c)

Propiedad conmutativa

a b b a

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

6

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 7 de 49

Inverso multiplicativo

1 b 1 a Inverso aditivo

a a 0 Teorema 1

a *b 0

a 0 b 0

Teorema 2

( a)b

ab

( a)( b) ab 3. Operaciones básicas Para agrupar términos o expresiones algebraicas se utilizan los paréntesis ( ), los corchetes [ ], o las llaves { }; generalmente las expresiones contenidas entre paréntesis se consideran como una sola cantidad. No existe una regla para dar importancia a un tipo de paréntesis con respecto a los otros, sin embargo, es usual utilizar los paréntesis () como los paréntesis para expresiones interiores, después los corchetes [] y finalmente las llaves {}. Ejemplo: 3x 4zx x

y

w

¿Cuándo suprimir signos? En ocasiones se requiere de quitar los símbolos de agrupación para lo que se tienen algunas normas: Cuando una expresión algebraica esta agrupada mediante un paréntesis y este esta precedido de un signo positivo se puede quitar el paréntesis sin modificas los términos de la expresión.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

7

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 8 de 49

Por el contrario si el paréntesis esta precedido de un signo menos, se puede quitar el paréntesis cambiando el signo a cada uno de los términos. Cuando una expresión cuenta con más de un paréntesis que agrupa expresiones, se comienza por los paréntesis interiores hasta llegar a los exteriores. Expresión algebraica con agrupaciones (7x - (5y + 1)) + t

Expresión algebraica sin agrupaciones (7x – 5y -1)+ t = 7x – 5y + t -1

8 -((4xy)- (3xz + y))

8 - (4xy -3xz - y)) = 8 - 4xy + 3xz +y {[(2x+1) - (xy-1)]+2xz}=

{[(2x+1)- (xy-1)]+2xz}

{(2x+1) - (xy-1)+2xz}= {2x+1 – xy +1+2xz}= 2x+1 – xy + 1+ 2xz

a. Orden de Operaciones Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas: Primero resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. Evaluar las expresiones exponenciales. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. b. Reglas de los signos En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

8

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 9 de 49

Ejemplo: 5 + 8 = 13 5 + -8 = -3 En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor. Ejemplo: 5 - 8 = -3 5 - (-8) = 13 En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo. Ejemplo: 5 x 8 = 40 5 x -8 = -40 4. Notación y representación de intervalos Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos: 1. Intervalo abierto (a, b) = {x/a x b}. 2. Intervalo cerrado [a, b] = {x/a x b} En una gráfica, los puntos finales de un intervalo abierto se representan con un punto abierto ( ) y los de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

9

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 10 de 49

Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez. Si tenemos (a, b], la gráfica sería:

Si tenemos [a, b), la gráfica sería:

Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intervalo (a, ). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intervalo (- , a). 5. Fracciones Una fracción es una expresión en la forma:

a b b

0

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

10

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 11 de 49

a. Suma En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador. a c ad cb b d bd

b 0

d

0

b. Resta

a b

c d

b 0

ad cb bd d

0

Por ejemplo:

c. Multiplicación Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores y se simplifica el resultado a c ac ( )( ) b d bd

b 0

d

0

Por ejemplo: 2 1 2 1 4 2 8 4

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

11

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 12 de 49

d. División Para dividir se multiplica por el inverso y se simplifica el resultado. a a c ad ( ) /( ) b c bc b d d b 0 d 0 c 0 Por ejemplo: 2 1 2 2 4 / * 1 4 2 4 1 4

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

12

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 13 de 49

EJERCICIOS DESARROLLAR A B C D E

36 6* 4 6 2(3 2) 4 2*5 5(6 4) 8(7 2) 3x y 2 y 4 z 5 x 6 z 7 x 3 y 5 z 4 y 3x 4 z (2* 2 5) 2(3*3 1)(1 2*6)

F 4 * 5 2( 18 5 8) G 9(11 2 3) (5 6 * 2) H 4 (10 2 (8 9)) I 21 ( 16 * 1 7 9 * 2 8) * 2 J 4(18 9 16 9) 2( 14)

INTERVALOS a 5 1 b 4 c 12

3 d 8 e [10;15] 4 f 2 g 5 h 50 26 i 27 3 j ( ; ) 4

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

13

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 14 de 49

FRACCIONARIOS

A

2 3

4 7 5

B

2 4 3

4 3 7

4 3

5 1 1 3 5 1 5 D 4 2 5 E 6 2* 4

C

2 3 3 4

15 9 / 8 2 11 9 5 G * 7 7 3 3 1 25 H * 2 5 7 2 3 3 I / 8 15 10 8 3 1 J * 5 8 6 F

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

14

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 15 de 49

ECUACIONES 1. Ecuaciones Lineales de Primer Orden Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones, las cuales contienen números o variables. El resultado de una ecuación se conoce como solución o raíz. Si se quiere comprobar que el valor de la solución esta correcto, simplemente se sustituye la variable por el número (valor) de la solución. Ejemplo: X+8=3 X=3-8 X = -5 Comprobación: X+8=3 (-5) + 8 = 3 3=3 Una ecuación que está en la forma , donde a y b son constantes y , es una ecuación lineal de la variable x. La solución de una ecuación como esta es

.

Para resolver una ecuación, usualmente se trata de cambiar o transformar ésta en una ecuación equivalente. Esta transformación se puede hacer de la siguiente forma: sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada. restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación dada. multiplicando o dividiendo a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad no igual a cero.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

15

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 16 de 49

Por ejemplo: Sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:

Restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:

Multiplicando a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad no igual a cero:

2. Inecuación Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad. Los signos de desigualdad son

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

16

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 17 de 49

Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8. Sumando la misma cantidad a ambos lados: 3>x-8 3+8>x-8+8 11 > x Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide o multiplica por un número negativo, el signo de desigualdad cambia. Ejemplo:

Ejemplo: Resolver la inecuación 4x + 6 > 2x -7 Réstese 2x de cada miembro: 4x -2x + 6 > 2x -2x -7 Réstese 6 de cada miembro: 2x +6 -6 > -7 -6 Finalmente: x > (-13 ÷ 2)

Por tanto, todo valor de x mayor que -7.5 verifica la inecuación.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

17

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 18 de 49

Ejemplo: Resolver la inecuación Multiplíquese por 15 cada miembro Réstese 15x de cada miembro: Réstese 30 de cada miembro: Divídase entre -10 cada miembro Finalmente:

(6 + x)÷ 3 < (5x - 7)÷ 5 30 + 5x < 15x -21 30 + 5x -15x < 15x -21 -15x 30 -10x -30 < -21 -30 (-10x)÷-10 > (-51)÷-10 x > 5.1

Por tanto, todo valor de x superior a 5.1 satisface la inecuación propuesta 3. Inecuaciones simultáneas Inecuaciones simultáneas son aquellas que se satisfacen para los valores de la variable. Ejemplo: ¿Para qué valores de x se verifica simultáneamente las inecuaciones 10x - 15 < 0 y 5x > 3? Resolviendo las inecuaciones vemos que la primera se satisface para x < 3 ÷ 2, y la segunda, para x >(3 ÷ 5); por consiguiente, los valores de x comprendidos entre 3 ÷ 5 y 3 ÷ 2, es decir, mayores que (3 ÷ 5) y menores que 3 ÷ 2, verifican simultáneamente ambas inecuaciones. Este resultado se escribe así: (3 ÷ 5) < x < (3 ÷ 2) Esquemáticamente podría representarse como lo indica la figura:

Los valores de x comprendidos en la parte sombreada, satisfacen simultáneamente el sistema de inecuaciones.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

18

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 19 de 49

4. Sistemas de ecuaciones y procedimiento para su resolución Un sistema de ecuaciones conserva el mismo principio que una ecuación sin embargo se tienen dos o más incógnitas cuyos valores se deben encontrar. En estos sistemas se deben tener el mismo número de ecuaciones que de ecuaciones para poder resolverlos. Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Eliminación de una incógnita: Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos. Los 1º. 2º. 3º.

métodos de eliminación son: Por adición o sustracción. Por igualación. Por sustitución.

a. Eliminación por adición o sustracción: Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta: a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita. b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo. c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene. d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

19

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 20 de 49

Ejemplo: Resolver el sistema: x - 3y = 9 2x + y = -10

(1), (2).

Solución: Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene: 2x - 6y = 18 (3). Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x": -7y = 28, se obtiene: y = -4. Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x": x - 3y = 9 x - 3(-4) = 9 x + 12 = 9 x = -3; por tanto: x = -3; y = -4. b. Eliminación por igualación: a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar. b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada. c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

20

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 21 de 49

Ejemplo: Resolver el sistema: x + 2y = 22 4x - y = 7

(1) (2)

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene: x = 22 - 2y (3) x = (7 + y) / 4 (4) Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x": 22 - 2y = (7 + y) / 4 Dar forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase: 88 - 8y = 7 + y -9y = -81 y=9 Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y": x = 22 - 2y (3) x = 22 - 2(9) x=4 por tanto: x = 4; y = 9. c. Eliminación por sustitución a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones. b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación. c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante. Ejemplo: Resolver el sistema: 3x + y = 22 4x - 3y = -1

(1) (2)

Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1): INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

21

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

3x = 22 - y x = (22 - y) / 3

Página 22 de 49

(3)

Sustitúyase (3) en (2): 4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1 4 (22 - y) - 9y = -3 88 - 4y - 9y = -3 -13y = -91 y = 7. Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y". x = (22 - y) / 3 (3). x = (22 - 7) / 3 x=5 por tanto: x = 5; y = 7. Observaciones: 1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes. 2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente. 3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares. Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo. d. Problemas resueltos con sistemas de ecuaciones Para esta sección el procedimiento es traducir un problema a lenguaje matemático, mas específicamente a sistemas de ecuaciones.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

22

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 23 de 49

5. Principios y propiedades de una ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática es una ecuación de tipo a > 0, y en donde a, b y c son constantes.

, donde

Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar ( ) y se nos hace difícil encontrar sus raíces mediante factorización, podemos utilizar el método de la fórmula cuadrática, el cual usamos para parear los coeficientes de con a, el coeficiente de x con b y la constante con c.

La fórmula cuadrática es:

.

1. Primero verificar que la ecuación esté en su forma estándar y determinar los valores de las variables a, b y c. 2. Luego utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores por las variables. Por ejemplo:

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

23

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

Página 24 de 49

24

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 25 de 49

EJERCICIOS ECUACIONES INTERVALOS – INECUACIONES

ECUACIONES 3 x 5 ( x 2) 8

3 4x

2x 1

4x 1 x 5 2 x 3 (1 4 x) 6 x 3

5x 7 9 1 5 x 21 3x 2

3x 4 3x 3 3x 3

x 4

x 6 3 x 93

2x 3 4 5x

3x

2 4

2

x 120

3x

4 9

x

12 2 x 3 x 3x 5 x 3

4 3 5

3 4x 3 2

4 14 5 x 4x 1 2 5x 3

90

x 1 4 7 3

2

SISTEMAS DE ECUACIONES

y

9x

y

21 3x

2x

y

7

1 x y 3 2 11 y 4 x y x

3x 5

6

y 3

4 14 5 x 1 x y 3 2 2x y 7 INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

25

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 26 de 49

PROBLEMAS Pedro compra 4 corbatas y 3 camisas por 1080 pesos. Sabiendo que el precio de una corbata es 3/5 el precio de una camisa, ¿Cuál es el precio de una camisa y el de una corbata. María va al mercado y compra 15 frutas por 1560. Si las manzanas cuestan 120 pesos y los bananos 96 pesos, ¿Cuántas manzanas y cuantos bananos compro María? En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase? En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

26

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 27 de 49

FUNCIONES 1. Conceptos generales de las funciones a. Plano de coordenadas Para construir una plano de coordenadas, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

b. Coordenadas Llamamos la coordenada de un punto cada punto en la recta numérica asociado con un número real. Un par ordenado es un par de números a y b con elementos escritos en una forma determinada. Los números en un par ordenado son llamados coordenadas. En el par (7, 5) la primera coordenada es 7 y la segunda es 5.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

27

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 28 de 49

Ya hemos visto en la primera sección cómo se construye un plano de coordenadas. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes.

Las coordenadas en el primer cuadrante serán (+, +), las del segundo cuadrante serán (-, +), las del tercer cuadrante serán (-, -) y las del cuarto cuadrante serán (+, -). El primer número de una coordenada representa el lugar horizontal del punto y el segundo número representa el lugar vertical del punto.

c. Gráfica de una función

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

28

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 29 de 49

Para hacer la gráfica de una función como f(x) = x + 2, lo hacemos igual que si hiciéramos la gráfica de una ecuación y = x + 2. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en la recta numérica y se conectan. Por ejemplo:

Una gráfica determina un conjunto de pares ordenados con números reales correspondientes a las coordenadas de los puntos en la gráfica. Este conjunto de pares ordenados, determinados por la gráfica, puede o no puede definir una función. Una función consiste en dos conjuntos: dominio y rango. Además de una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x. Gráficamente, una línea vertical no puede interceptar la gráfica de una función en más de un punto.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

29

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 30 de 49

Ejemplo:

La figura 1 define una función, mientras que la figura 2 no define una función. d. Elementos de una función Una función es una manera de relacionar dos magnitudes de forma particular. La primera de esas magnitudes se denomina variable independiente y la segunda variable dependiente. Además, toda función (de una variable) admite una expresión del tipo

Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente). Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, x. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f). Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

30

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 31 de 49

El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f). 2. Propiedades de las principales funciones matemáticas a. Ecuación de la recta La función y = ax+b representa una recta de pendiente a y de ordenada en el origen b. El gráfico de la función f(x) = ax+b es una recta.

b. Función constante Es aquella donde cada valor del rango, no importa el valor de x, siempre será el mismo (único valor) ya que a = 0 entonces f(x) = b es la función constante: su gráfico es una recta paralela al eje x.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

31

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 32 de 49

3. Ecuación de una recta que pasa por un punto P Si el punto P tiene coordenadas (x0; y0) y la recta y = ax + b tiene que pasar por P, entonces las coordenadas (x0; y0) deben satisfacer la ecuación, es decir y0 = ax0 + b. Eliminando b de las ecuaciones, esto es, restando miembro a miembro y = ax + b y0 = ax0 + b Obtenemos y _ y0 = a(x _ x0), que es la ecuación general de la recta que pasa por P. Finalmente obtenemos que a = (y - y0) / (x - x0) que es la pendiente de la recta. 4. Recta que pasa por dos puntos Si tenemos dos puntos distintos, P1 de coordenadas (x1; y1) y P2 de coordenadas (x2; y2), entonces existe una única recta que pasa por ambos. Para encontrar la ecuación de esta recta, escribimos la ecuación de una recta genérica que pase por P1: y_y1 = a(x_x1), y ponemos la condición de que esta recta pase por P2: y2 _ y1 = a(x2 _ x1) . Entonces podemos calcular a = (y2 - y1) / (x2 - x1) Obtenemos entonces finalmente la ecuación reemplazando y _ y1 = (y2 _ y1 / x2 _ x1)*(x _ x1) 5. Rectas Paralelas Dos rectas no verticales, son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Las ecuaciones serán y = ax + b y y = ax + b0. 6. Rectas Perpendiculares Veamos que dos rectas (no verticales) con pendientes a y a0, son perpendiculares si y sólo si las pendientes satisfacen la relación a*a0=-1.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

32

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 33 de 49

7. Graficar una recta Para graficar una recta se debe tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada al origen. Grafiquemos la recta:

y=3x+1

La ordenada al origen es (0, 1), el primero que ubicamos en el gráfico. A partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, subimos tres (por que el valor es positivo, sentido positivo del eje y; de ser negativo bajaríamos) y corremos uno hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x). Por esos dos puntos trazamos la recta.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

33

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 34 de 49

EJERCICIOS FUNCIONES 1. Determinar cuáles de los puntos (3; 1), (2; 3), (6; 3), (-3;-3), (3;-1), (-2; 1) están situados en la recta 2x -3y -3 = 0 y cuáles no lo están. 2. Los puntos A; B; C; D; E están situados en la recta 3x _ 2y _6 = 0 sus abscisas son 4, 0, 2, -2, -6 respectivamente. Determinar las ordenadas de esos puntos. 3. Determinar gráficamente los puntos de intersección de la recta 2x -3y -12 = 0 con los ejes coordenados y dibujar la recta en el plano. 4. Hallar gráficamente los puntos de intersección de las rectas 3x -4y = 29 2x +5y = -19 5. Dada la recta 2x + 3y + 4 = 0, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,1) y es: (a) paralela a la recta dada. (b) perpendicular a la reta dada 6. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices del triángulo en los puntos A (5;-4), B(-1; 3), C(-3; 2). 7. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen, b, de la recta 3x + 2y = 7.

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

34

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 35 de 49

8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(-1; 5) y es paralela a la recta que pasa por A(-2; 1) y B(-3; 2). 9. Halle la ecuación de la recta que pasa por A(-2; 2) y que es perpendicular a la recta 2x + y = 4. 10. Determinar la ecuación de la recta que posee pendiente m = 2 y pasa por el punto (5; –1) 11. Escribir las ecuaciones de las rectas determinadas por cada uno de los siguientes pares de puntos (0 ; 7) y (– 2 ; 1) 12. Escribir las ecuaciones de las rectas que contienen a cada uno de los lados del triángulo cuyos vértices son: ( 2 ; 1); (0 ; 2) y (– 3 ; – 4) 13. Escribir la ecuación de la recta paralela y perpendicular a y = – ½ x + 1 que pase por el punto P = (4 ; 0)

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

35

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 36 de 49

PRINCIPIOS BÁSICOS DE PROGRAMACIÓN 1. Conceptos básicos y metodología para resolver problemas a. Definiciones PROGRAMA: Secuencia de pasos a lógicos para resolver un problema. ESTRUCTURA: ENTRADA: Tomar datos de un dispositivo externo (Teclado, Mouse) y dejarlos en memoria. PROCESO: A los datos dejados en memoria se les manda a la ALU (Unidad Aritmético Lógica) y los devuelve a la memoria. SALIDA: Se envían a un dispositivo externo y se presenta como información después de ser procesados. (Monitor, Impresora) LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN: Conjunto de caracteres que nos permiten crear instrucciones siguiendo una sintaxis. LENGUAJE ALGORÍTMICO: Orientado a procedimientos y diseñado para ayudar al programador en el diseño y desarrollo de algoritmos. Metodología  Entender el problema.  Hacer un análisis: ¿Qué tenemos? ¿Qué necesitamos?

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

36

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 37 de 49

¿Qué buscamos?  Diseñar el algoritmo de solución.  Codificar. b. Tipos de datos ENTEROS: (Int) Números enteros positivos o negativos. REALES: (Flota) Números con decimales. CARACTERES: (Char) Símbolos, Nº, caracteres solos. (@, #, $, %) CADENA DE CARACTERES: (String) Agrupación de caracteres. BOLEANOS: (Bolean) .T. (True), .F. (false) VARIABLES: Es un conjunto de símbolos o solo uno que reserva espacio en la memoria y su valor puede cambiar durante la ejecución del programa. Solo números y letras. Números solos NO. Letras solas SI. CONSTANTES: No cambia su valor durante la ejecución del programa. Solo números y letras. Números solos NO. Letras solas SI. SINTAXIS PARA DECLARAR VARIABLES: INICIAR VARIABLE: VARIAS VARIABLES: DECLARAR CONSTANTES: ASIGNACIÓN: Aquí le asignamos un valor a la variable a (5), de lo cual se deduce que INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEON XIII

37

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII

INSTITUTO SALESIANO DE FORMACIÓN TÉCNICA LEÓN XIII D01 – Lógica Matemática.doc

Página 38 de 49

el valor de dicha variable es 5. COMPARACIÓN: Aquí lo que queremos decir es que la variable a es igual al valor 5. c. Operadores Es un símbolo o palabra que nos ayuda a realizar una operación. Los operadores pueden ser: ARITMÉTICOS: SUMA

+

RESTA

-

MULTIPLICACIÓN

*

DIVISIÓN

/

EXPONENTE

^

RESIDUO

MOD

RELACIONALES: MAYOR QUE

>

MENOR QUE

<

MAYOR O IGUAL QUE

>=

MENOR O IGUAL QUE