Progresiones aritméticas y geométricas Progresiones aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión de números, tales que la diferencia entre dos consecutivos cualesquiera de ellos es constante, por ejemplo, la sucesión de los números impares 1,3,5,... donde la diferencia es 2. Los términos de una progresión aritmética se suelen denotar como a0, a1, a2,... (o con otra letra). En general, si la diferencia entre dos términos cualesquiera de la progresión es d, podemos escribirla también como a0, a0+d, a0+2d,..., pero hay veces que conviene “empezar por el medio”, tomar un término que nos interese, y a partir de ahí escribir los demás. Por ejemplo, si el término a3 es especial por alguna razón, o si simplemente nos conviene expresar los demás términos en función de éste para facilitar los cálculos, podemos escribir la progresión como a3−3d, a3−2d, a3−d, a3, a3+d, a3+2d,... Ejemplo: caracterizar todos los triángulos tales que sus lados están en progresión aritmética, y sus alturas están también en progresión aritmética. Suponemos sin pérdida de generalidad que las longitudes de los lados son a≥b≥c. Como el producto de lado por altura es igual al doble del área, tendremos que aha=bhb=chc, siendo ha≤hb≤hc las alturas desde los vértices opuestos a los lados de longitudes a≥b≥c, respectivamente. Digamos entonces que a=b+d, c=b−d, y que ha=hb−D, hc=hb+D, donde d y D son las diferencias respectivas de las progresiones aritméticas. Tenemos entonces que el doble del área es igual a (b + d )(hb − D ) = bhb = (b − d )(hb + D ) , de donde − bD + dhb − Dd = 0 = bD − dhb − Dd . Resulta entonces que ha de ser Dd = bD − dhb = −(bD − dhb ) = 0 , y concluimos que d=D=0, es decir, el triángulo debe ser necesariamente equilátero. Además, todos los triángulos equiláteros cumplen la condición del enunciado, pues sus lados están en progresión aritmética de diferencia 0, y sus alturas también.

Suma de elementos de una progresión aritmética La técnica para sumar los n primeros elementos de una progresión aritmética es muy útil y bastante ingeniosa, y puede tener aplicaciones en otros ámbitos. Consiste en “repetir” la progresión pero en orden inverso, e ir sumando uno a uno los términos de ambas progresiones:

a0

a0 + (n − 1)d

2a0 + (n − 1)d

a0 + d

a0 + (n − 2)d

2a0 + (n − 1)d

a0 + 2d

a0 + (n − 3)d

2a0 + (n − 1)d

...

a0 + (n − 2)d

a0 + (n − 1)d

...

a0 + d

a0

...

2a0 + (n − 1)d

2a0 + (n − 1)d

Vemos entonces que dos veces la suma buscada es igual a la suma de n términos, iguales cada uno de ellos a la suma del primero y del último. Es decir, la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética es igual a la suma del primero y del último, multiplicada por el número de términos, y partido por 2. Por ejemplo, usando la técnica anterior, la suma de los 100 primeros enteros positivos es

(1 + 100)100 = 5050 . 2

El famoso matemático Gauss descubrió este método por sí mismo ¡cuando estaba en primaria!

Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión de números, tales que el cociente entre dos consecutivos cualesquiera de ellos es constante, por ejemplo, la sucesión de las potencias de 3, es decir, 1,3,9,27,81,... donde el cociente es 3. Los términos de una progresión geométrica se suelen denotar también como a0, a1, a2,... (o con otra letra). En general, si el cociente entre dos términos cualesquiera de la progresión es r (y se suele llamar la razón de la progresión geométrica) podemos escribirla también como a0, a0r, a0r2, a0r3,..., pero al igual que con las progresiones aritméticas, hay veces que conviene “empezar por el medio”, tomar un término que nos interese, y a partir de ahí escribir los demás. Por ejemplo, si nuevamente el término a3 es especial por alguna razón, o si simplemente nos conviene expresar los demás términos en función de éste para facilitar los cálculos, podemos escribir la progresión como a3/r3, a3/r2, a3/r, a3, a3r, a3r2,...

Suma y producto de elementos de una progresión geométrica El cálculo del producto de n elementos consecutivos de una progresión geométrica se transforma fácilmente en el cálculo de la suma de n elementos consecutivos de una progresión aritmética, agrupando los exponentes de la razón r:

a0 ⋅ a1 ⋅ ... ⋅ an −1 = a0 ⋅ a0 r ⋅ ... ⋅ a0 r n −1 = a0 r1+ 2 + 3+...+ n −1 = a0 r n

n

n ( n −1) 2

. La suma de elementos de una progresión geométrica se simplifica mucho con el uso de otra técnica, también bastante ingeniosa y que puede ser muy útil en otros ámbitos. Consiste en multiplicar todos los términos de la sucesión por r, y luego restar términos iguales dos a dos:

a0 r

a0 r 2

...

a0 r n −1

− a0

− a0 r

− a0 r 2

...

− a0 r n −1

− a0

0

0

...

0

a0 r n a0 r n

Vemos entonces que r veces la suma que nos interesa, menos la suma que nos interesa, es igual a a0rn−a0:

a0 + a1 + ... + an −1 = a0 + a0 r + ... + a0 r n −1 =

a0 r n − 1 . r −1

División de ciertos polinomios a partir de sumas de progresiones geométricas Sea una progresión geométrica con a0=1 y razón x. Claramente, los términos son 1, x, x2, x3,..., y la suma de los n primeros términos es

1 + x + x 2 + ... + x n −1 =

xn − 1 . x −1

Nos encontramos entonces con un conocido resultado, el polinomio x−1 divide al polinomio xn−1; esto podríamos haberlo deducido del hecho de que x=1, que es la única raíz del polinomio del denominador, es también raíz del polinomio del numerador. Ahora bien, también sabemos que x+1 divide a xn−1 si y sólo si n es par, y que x+1 divide a xn+1 si y sólo si n es impar (nuevamente, nos basta con sustituir x=−1 en estos dos polinomios para ver que se anulan). ¿Cuál es el cociente? Bien podemos dividir, bien podemos tomar una progresión geométrica con razón −x, y considerar la suma de sus n primeros términos:

1 − x + x 2 − x 3 + ... + (− 1)

n −1

x n −1 =

(− 1)n x n − 1 = 1 − (− 1)n x n − x −1

x +1

Ahora bien, si n es par, entonces el numerador es −(xn−1), y se tiene

.

xn −1 = −1 + x − x 2 + ... + x n −1 = x n −1 − x n − 2 + ... + x 3 − x 2 + x − 1 , x +1

mientras que si n es impar, el numerador es xn+1, y se tiene

xn + 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + ... + x n −1 = x n −1 − x n − 2 + ... + x 2 − x + 1 . x +1 Supongamos ahora que nos piden dividir (como polinomios, no como números, y siempre y cuando sea posible) an+bn entre am+bm (asumimos obviamente que n>m). ¿Cómo procederíamos? Podemos tomar una progresión geométrica con primer término an−1 y razón b/a, con lo que tendríamos que la suma de sus n primeros términos sería

a

n −1

− ba

n−2

+b a 2

n −3

− ... + (− 1)

n−2

b

n−2

a + (− 1) b n −1

n −1

=

(− 1)n b

n

− a n −1

a b − −1 a

a n − (− 1) b n . = a+b n

Vemos entonces que, si n es impar, la división es claramente posible, siendo

a n + bn = a n −1 − ba n − 2 + b 2 a n − 3 − ... − b n − 2 a + b n −1 . a+b Vemos también que si n es par, la división no es posible; es más, podemos calcular también el resto:

a n + b n a n − b n 2b n 2b n . = a n −1 − ba n − 2 + b 2 a n − 3 − ... + b n − 2 a − b n −1 + = + a+b a+b a+b a+b

Tenemos entonces que el resto sería 2bn, y el cociente an−1−ban−2+...+bn−2a−bn−1. Podemos proceder de la misma forma, pero con una progresión con razón bm/am y término inicial an−m. Suponemos además que, al hacer la división de n entre m, obtenemos cociente u y resto v, de forma que 0≤v