PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Prof. Yuitza T. Humarán Martínez Adaptado por Prof. Caroline Rodriguez

Naturales N={1, 2, 3, 4, …}

{0}

{-1, -2, -3, …}

Enteros, Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Opuestos de fracciones de naturales

Fracciones de naturales

Racionales, Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0} Irracionales

Reales, R

Otro diagrama, R REALES Racionales

−

0.25 3 5

Irracionales

π

Enteros

3

-2 -7 Naturales 7

0. 3

2 9

0

1

2

4

2

e

Propiedades de los reales • Clausura • Conmutativa • Asociativa • Distributiva • Identidad • Inversos

Clausura • Propiedad de clausura de la suma

Sean a y b números reales, entonces a + b es un número real. Si sumas dos números reales, el total es también un número real. Ejemplos: -10 + 49 = 39 -5 + -100 = -105

½ + ¾ = 5⁄4

2 − 5 2 = −4 2

Clausura • Propiedad de clausura de la multiplicación

Sean a y b números reales, entonces ab es un número real. Si multiplicas dos números reales, el producto es también un número real. Ejemplos: (-10)( 49) = -490 (½) ( ¾) = 3⁄8 (-5)(-100) = 500

2 5 2 =5

2

2

= 5 ∙ 4 = 20

Conjunto cerrado • Decimos que el conjunto de los reales está cerrado para

las operaciones de suma y multiplicación.

Propiedad conmutativa de la suma Ejemplo: (2 + 5) = 7. (5 + 2) = 7. Como ambos enunciados son equivalentes a 7 escribimos 2 + 5 = 5 +2. Propiedad conmutativa de la suma: • Sean a y b números reales entonces a + b = b + a. (si cambias el orden de dos sumandos, el total no cambia.)

Propiedad conmutativa de la multiplicación Ejemplo: (2)(5) =10. (5)(2) = 10. Como ambos enunciados son equivalentes a 10, escribimos (2)(5) = (5)(2). Propiedad conmutativa de la multiplicación Sean a y b números reales entonces ab = ba. (si cambias el orden de dos multiplicandos, el producto no cambia.)

Nota: • ¿Son la resta y la división conmutativas? • Ejemplo

Determine: a. 5 – 4 = 1 b. 4 – 5 = –1 Como los valores son diferentes, las expresiones no son equivalentes, por lo tanto la resta NO es conmutativa.

Nota: • Ejemplo

Determine: a. 12 ÷ 4 = 3 b. 4 ÷ 12 =

1 4 ó 3 12

Como los valores son diferentes, las expresiones NO son equivalentes, por lo tanto la división no es conmutativa.

Asociativa Ejemplo: Par a determinar el total de 2 + 3 + 4 sin utilizar la propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas: • Sumando primero el 3 y el 4 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 • Sumando primero el 2 y el 3 (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

Como ambos enunciados son equivalentes a 9 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

Propiedad asociativa de la suma • Sean a, b y c números reales entonces

a + (b + c) = (a + b) + c.

• Como a + (b + c) es equivalente a (a + b) + c puedes

intercambiar las expresiones.

Asociativa Ejemplo: Par a determinar el producto de 2(3)(4) sin utilizar la propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas: • Multiplicando primero el 3 y el 4 2 [(3)(4)] = 2(12) = 24 • Multiplicando primero el 2 y el 3 [(2)(3)]4 = 6(4) = 24

Como ambos enunciados son equivalentes a 24 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos 2 [(3)(4)] = [(2)(3)]4

Propiedad asociativa de la multiplicación • Sean a, b y c números reales entonces

a(bc) = (ab)c.

• Como a(bc) es equivalente a (ab)c, puedes intercambiar

las expresiones.

Distributiva • Ejemplo:

Determine el valor de las expresiones: a. 5 ( 2 + 3) Recuerde que los paréntesis agrupan e indican lo que se quiere hacer primero. 5 ( 2 + 3) = 5 (5) = 25 b. 5 (2) + 5 (3) 5 (2) + 5 (3) = 10 + 15 = 25 Como ambos enunciados son equivalentes a 25 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos, 5(2+ 3)= 5(2)+5(3)

Propiedad distributiva

En general, para a, b y c números reales, a(b + c)= a(b)+ a(c) ( b + c) a = (b)a + (c)a = a(b) + a(c)

Identidad aditiva • Sea a un número real entonces

a + 0 = 0 + a = a.

• Decimos que cero es la identidad aditiva o la identidad de

suma porque cuando se suma no “ocurre nada”. • Es decir, el número real al cual se le suma cero, no cambia, no se altera.

Identidad multiplicativa • Sea a un número real entonces

a(1) = (1)a = a

• Decimos que uno es la identidad multiplicativa o la

identidad de multiplicación porque cuando se multiplica no “ocurre nada”. • Es decir, el número real que se multiplica por uno, no cambia, no se altera.

Inversos aditivos • Sea a un número real entonces

a + (-a) = -a + a = 0

• Dos números son opuestos o inversos aditivos si al

sumarse el total es cero.

Inversos multiplicativos • Sea a un número real y a ≠ 0 entonces

1 1 a⋅ = ⋅a = 1 a a • Dos números son inversos multiplicativos o recíprocos si

al multiplicarlos el producto es uno. • Ejemplo: El recíproco de 2 es ½ por que

2

1 2

=

2 1 1 2

=

1 1

= 1.

Ejemplos • Indique la propiedad de los reales que justifica el

enunciado. (a) 0 + (-5) = -5 (b) -2 ( x + y) = -2x + -2y (c) (a + b) c = c (a + b) (d) 5x + 5y = (x + y)5

Recta numérica • Los números reales se representan geométricamente

mediante una recta llamada, recta numérica o recta de los números reales. • Se asocia a cada punto en la recta, un número real. • Al número asociado a cada punto de la recta se le llama coordenada del punto. 0.45

−π

− 2

−

14 − 3

1 2

1 2

9 4

2

−0.65

π

Orden • Los números representados en la recta numérica

aumentan de izquierda a derecha. • Si el número real a está a la izquierda del número real b sobre la recta numérica, a b entonces decimos que a es menor que b y escribimos a < b. • Esta relación también puede describirse diciendo que b es mayor que a o escribiendo b > a.

Ejemplos • La raíz de dos es menor que π. • El opuesto de la raíz de dos es mayor que -π.

−π

− 2

2

π

Orden • La relación a ≤ b significa que a es menor

o igual a b. • La relación b ≥ a significa que b es mayor o igual que a. • Los símbolos , ≤, ≥ se llaman símbolos de desigualdad.

Distancia • Si a y b son dos números reales tales que a ≤ b,

entonces la distancia entre a y b es b – a. • Ejemplo: Determine la distancia entre: (a) 20 y 5 (b) -4 y 6 (c) -10 y -6

Valor absoluto • El valor absoluto de un real es la distancia

entre el número y cero en la recta numérica. • El valor absoluto de un número a se

escribe | a |.

Ejemplo 

Determine el valor de los siguientes números reales. a. | 3 | = 3 b. | −8 | = 8 c. | 0 | = 0 d. | −103 | = 103 e. | 5 | = 5

Valor absoluto • En general, sea a un número real. • Si a es no negativo, entonces | a | = a.

Es decir, el valor absoluto de un número no negativo es igual a él mismo. • Si a es negativo, entonces | a | = − a. Esto es, el valor absoluto de un número negativo es igual a su opuesto.

Ejemplo 

Determine el valor de las siguientes expresiones numéricas. a. | π | = π b. |− c.

2 1 2

| = =

1 2

2