Propiedades de los Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo

La respuesta al impulso de un sistema LTIC (h(t)), representa una descripción completa de las características del sistema. Es decir la caracterización del modelo matemático que domina al sistema.

x(t)

h(t)

Entrada del sistema

Respuesta al Impulso

y(t)

Salida del sistema

Propiedad de memoria de un sistema LTIC. Los sistemas sin memoria son aquellos en los que la salida en cualquier instante depende solo del valor de entrada en ese instante. Los sistemas invariantes en el tiempo y sin memoria obedecen a una relación de entrada salida de la forma: y(t) = k x(t) k
constante. Un ejemplo claro de un sistema sin memoria es el siguiente:

Propiedad de causalidad de un sistema LTIC. La salida de un sistema causal depende solamente de los valores y pasados de la entrada. Con la integral Convolución se relaciona una propiedad equivalente al impulso de un sistema LTIC. Para un sistema LTIC continuo, y(t) no deberá depender de x(λ) para λ > t.

Esto se cumple si: h(t) = 0 para t < 0

y HtL = ‡ x H λL h Ht − λL  λ t

−∞

y HtL = ‡ h H λL x Ht − λL  λ ∞

0

h HtL = u HtL

→ ejemplo de un sistema causal

h HtL = 8 δ Ht + t0L t0 > 0< → no causal h HtL = 8 δ Ht − t0L t0 ≥ 0< → causal

Sistemas LTI invertibles Un sistema es invertible solo si se puede diseñar un sistema inverso que cuando se conecta en cascada con el sistema original produce una salida igual a la entrada del sistema inicial. Para h1(t), que represente la respuesta al impulso del sistema inverso: y(t) = h1(t) * h(t) * x(t) = x(t) h1(t) * h(t) = h(t) * h1(t) = δ(t)

Sistemas LTI estables Un sistema es estable si cada entrada limitada produce una salida limitada. Para establecer las condiciones bajo las cuales los sistemas LTI son estables, considere una entrada x(t) que esta limitada en magnitud.

» x HtL »  B

∞

» y HtL » = À ‡ h H λL x Ht − λL  λ À −∞ ∞

À y HtL À  ‡

À h H λL À À x Ht − λL À  λ

−∞

 B‡

∞

−∞

À h H λL À  λ

El es estable si :

‡

∞

−∞

» h H λL »  λ  ∞

Es decir el sistema es estable si la respuesta al impulso es absolutamente integrable.

Ejercicios Determinar si los sistemas con respuesta al impulso que se presentan son causales o no causales, con o sin memoria, estables o inestables. a. h1(t) = te-2t u(t) + e3t u( - t) + δ(t -1 ) b. h2(t) = -3e2t u(t) c. h3(t) = 5δ(t + 5) d. h4(t) =


 



Causalidad Los literales: a, c, d son no causales, porque h(t) ≠ 0, cuando t < 0. El literal b; es causal, ya que h(t) = 0, para t < 0. Se lo puede apreciar en la siguiente gráfica:

Memoria La respuesta al impulso h(t), no es de la forma kδ(t) para ninguno de los sistemas, todo ellos tienen memoria.

Estabilidad (a) ‡

∞

−∞

» h1 HtL »  t = ‡

∞

0

0

te−2 t  t + ‡ e3 t  t + 1 −∞

∗∗ ∗∗ ∗∗ I =

∞

−2 t t ‡ te

0

t = −a ê 2 dt = −da ê 2

a = −2 t da = −2 dt I= ‡ J ∞

0

I=

−a

2

N ea

a −2

1 ∞ a ‡ a e a 4 0

u= a ‡ v v

du = da = ‡ ea  a = ea

I = uv − ‡ v  u I = a ea − ‡ ea  a I = a ea − ea

ƒ 1 a ƒ 8e Ha − 1L< ƒ ƒ ƒ ƒ 4 ∞

I=

0

I=

1 −2 t 9e H−2 t − 1L= 4

∞ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

0

−t 1 ƒ ƒ I = e−2 t J − N ƒ ƒ ƒ 2 4 ƒ ∞

0

1 1 I = 0J − ∞ − N − 1 J0 − N 4 4 I = Indeterminación.

∞

0

∞

−∞

−∞

I = ‡ t e − 2 t  t + ‡ e 3 t  t + ‡ δ Ht − 1 L  t 0

1 1 I = + + 1 4 3 19 I = 12 Se puede concluir que el sistema del literal (a), es un sistema estable, porque nos da un valor finito.

(b)

I = ‡

∞

−∞ ∞

» h2 HtL »  t

I = ‡ 3 e2 t  t −∞ ∞

I = ‡ 3 e2 t  t 0

∞

I =

3 2t e À 2 0

3 I = He∞ − e0L 2 3 I = H∞ − 1L 2 I = ∞

Como se puede apreciar en el resultado, la respuesta tiende al infinito, por lo tanto se trata de un sistema inestable.

(c)

I = ‡

∞

−∞ ∞

» h3 HtL »  t

I = ‡ 5 δ Ht + 5L  t −∞

I = 5 El sistema es estable.

(d) Ejercicio, determinar si el sistema es estable o no.

Sistemas descritos por Ecuaciones Diferenciales

La respuesta de muchos sistemas físicos se pueden expresar como función de ecuaciones diferenciales, ejemplo de ello son las redes eléctricas y los sistemas con condensadores y bobinas ideales.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Consideremos un sistema en tiempo continuo, descrito por la siguiente ecuación diferencial entrada/salida.

dN y HtL dt N

N- 1

+ „ ai i=0

di y HtL dt i

M

= ‚ bi i=0

di x HtL dt i

ai, i = 1, 2, 3, N - 1 j = 1, . . . , M Son constantes reales y N > M

ij N N - 1 y iM y jjD + ‚ ai Di zzz y HtL = jjj‚ bi Dizzz x HtL i=0 k { k i=0 {

Donde D es el operador de diferenciación que transforma la señal y(t) en su derivada y’(t). Para la resolución de la ecuación es necesario tener las condiciones iníciales.

Componentes básicos de los sistemas

Un sistema es compuesto por:   

Integradores. Multiplicadores por escala. Sumadores.

A su vez, estos componentes en electrónica se conforman de resistencias, condensadores y amplificadores operacionales. El integrador Elemento básico en teoría de sistemas y sus aplicaciones. y HtL = y Ht0L + ‡ x H λL  λ, t

t0

t ≥ t0

∫

x(t)

La ecuación diferencial de entrada salida para el integrador es:

dy HtL dt

= x HtL

‡ y HtL ' ‚ t = ‡ x HtL ‚ t

y HtL = ‡ x HtL ‚ t Si y Ht0L = 0, se dice que el integrador esta en reposo. Sumadores y restadores

Multiplicador escalar

Ejemplo: Encontrar la ecuación diferencia que describe el sistema.

v2 HtL = y' HtL = y1 HtL + 4 y HtL + 4 x HtL v2 HtL =

dy HtL

dt v2 HtL dt = dy HtL

y HtL = ‡ v2 HtL ‚ t

y' 1 HtL = v1 HtL y'' HtL = v ' 2 HtL y'' HtL = y' HtL + 4 y' HtL + 4 x' HtL y'' HtL = v1 HtL + 4 y' HtL + 4 x ' HtL y'' HtL = - y HtL + 2 x HtL + 4 ' y HtL + 4 x' HtL y'' HtL = 4 y' HtL - y HtL + 4 x ' HtL + 2 x HtL y'' HtL - 4 y' HtL + y HtL = 4 x ' HtL + 2 x HtL

Diagramas de Simulación para Sistemas

x(t)

b0

b1

bn-1

bn y(t)

+

+

∫

-a0

+

∫

-a1

+

∫

-an-1

Primera forma canónica

bn

x(t)

+

N D v(t)

+

+

bn‐1

bn‐2

∫

+

+

b1

b0

∫

∫

‐an‐1

‐an‐2

‐a0

+

+

+

Segunda forma canonica

v(t)

‐a0

y(t)

Ejemplo1. Obtener el diagrama de simulación para el sistema LTI descrito por la siguiente ecuación diferencial con coeficientes constantes.

y''(t) + 3y'(t) + 4y(t) = 2x''(t) ‐ 3x'(t) + x(t) Primera forma canónica D2@y HtLD = D2@2 x HtLD + D1@−3 x HtL − 3 y HtLD + D0@x HtL − 4 y HtLD Dividimos toda la ecuación para D D2@y HtLD D2@2 x HtLD + D1@−3 x HtL − 3 y HtLD + D0@x HtL − 4 y HtLD = D D y HtL = 2 x HtL + D−1@−3 x HtL − 3 y HtLD + D−2@x HtL − 4 y HtLD

Segunda forma canónica Cambiamos los diferenciales por la variable v, luego separamos la ecuación en dos partes. Tal como se muestra a continuación.

y''(t) + 3y'(t) + 4y(t) = 2x''(t) - 3x'(t) + x(t) y(t) = 2v''(t) - 3v'(t) + v(t) v''(t) + 3v'(t) + 4v(t) = x(t) v''(t) = x(t) - 3v'(t) - 4v(t)