Propiedades Ópticas de Metales Ricardo E. Marotti Mayo 2008

* e-mail: [email protected]

Instituto de Física Facultad de Ingeniería Universidad de la República Montevideo, URUGUAY

Propiedades Ópticas de Metales „ Semiconductores y Metales.

– Definición y Estructura Electrónica. „ Propiedades de Conducción Eléctrica. – Modelo de Drude. „ Propiedades Ópticas. – Modelo de Drude-Lorentz. – Metal Ideal (sin pérdidas). – Metal “Ideal” con pérdidas. – Metales Reales – Oscilación de Plasma. – SPR: Películas y Nanopartículas.

Propiedades Ópticas de Metales „ Semiconductores y Metales.

– Definición y Estructura Electrónica. „ Propiedades de Conducción Eléctrica. – Modelo de Drude. „ Propiedades Ópticas. – Modelo de Drude-Lorentz. – Metal Ideal (sin pérdidas). – Metal “Ideal” con pérdidas. – Metales Reales – Oscilación de Plasma. – SPR: Películas y Nanopartículas.

Conducción Eléctrica ¾ ¾ “Superconductor”: “Superconductor”:

Ley de Ohm: →

→

J = σE

ρρ ≈≈ 00 (T 10 10 GΩ GΩ cm cm Semiconductor ¾ Semiconductor (T=300K): ¾ Semiconductor (T=300K): = Muy ρρ ≈≈ 11 mΩ Controlable mΩ cm cm -- 11 MΩ MΩ cm cm →

→

Conducción Eléctrica ¾ ¾ “Superconductor”: “Superconductor”:

Ley de Ohm: →

→

J = σE

ρρ ≈≈ 00 (T 10 basada 10 GΩ GΩ cm cm basadaen endiferencia diferencia Semiconductor física: ocupación física: ocupaciónde de ¾ Semiconductor (T=300K): ¾ Semiconductor (T=300K): = Muy niveles nivelesen enestructura estructura ρρ ≈≈ 11 mΩ Controlable mΩ cm cm -- 11 MΩ MΩ cm cm electrónca. →

→

electrónca.

Materiales Cristalinos Diamante

Wurtzite Zincblende (hexagonal) (cúbica)

e+ e 4e e e-

Transición Átomo-”Bulk”

Espaciamiento Interatómico

Densidad Volumétrica de Átomos

Bandas “Chatas” ••Gap Gapde deEnergía: Energía: EEG ==EEC --EEV G C V

••Semiconductores: Semiconductores: EEG ~~kkBTT G B -23 kkB ==1.38e 1.38e-23J/K= J/K= B -5 ==8.617e 8.617e-5eV/K eV/K T: T:Temperatura Temperatura(K) (K) ••kkBTT0 ≅≅26 meV B 0 26 meV ••GaN, GaN,ZnO: ZnO: EEG >>33eV. eV. G

Metal

Aislante o Semiconductor

Estructura Electrónica

(Caso Semiconductor: Silicio) Densidad E Densidad de de Estados Estados Influye Influyedirectamente directamente Propiedades PropiedadesÓpticas Ópticas

“Gap” “Gap”de deEnergía: Energía: Región RegiónProhibida Prohibida

Estructura Estructura Electrónica Electrónica de de Bandas Bandas Relaciones Relacionesde deDispersión Dispersión → → viajando en el material. de deondas ondaselectrónicas electrónicas p = h k viajando en el material.

Estructura Electrónica (Caso Metal: Cobre)

Banda Bandallena llenaoNo o vacía vacíano noes eshay aleatorio. aleatorio.gap de Como Comoregla regla energía general depende general dependesisi número númerode de (electrones electrones es electrones es cerca impar imparoopar. par. del nivel de Consecuencia Fermi se Consecuencia directa spin directadel delmueven spin electrónico. electrónico. libremente)

Tabla Periódica de los Elementos Metales

Aleaciones Semicond.

Estructura Electrónica: GaAs vs ZnSe

E

GaAs

→

→

p = hk

ZnSe

II III IV V VI

Estructura Electrónica: GaAs vs ZnSe

GaAs

“Gap” “Gap”de deEnergía: Energía: Región RegiónProhibida Prohibida ZnSe

Semiconductor Directo • Masa Efectiva:

E(k) me

Conduction Band

Heavy Holes

Eg

k mhh

∆

mlh

Light Holes

mSO

Split-off Band

1 1 ∂2E = 2 2 me h ∂k En un Cristal Ideal y Perfecto solo cambia la masa electrónica y el movimiento sigue siendo “libre”.

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– Definición y Estructura Electrónica. „ Propiedades de Conducción Eléctrica. – Modelo de Drude. „ Propiedades Ópticas. – Modelo de Drude-Lorentz. – Metal Ideal (sin pérdidas). – Metal “Ideal” con pérdidas. – Metales Reales – Oscilación de Plasma. – SPR: Películas y Nanopartículas.

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Teoría de Drude de los Metales • Teoría clásica (1900) para Conductividad Eléctrica:

me → F = − e E− v τ →

Fuerza media sobre electrón de carga -e

→

Fuerza Disipativa:

me: masa electrónica v: velocidad media τ: Tiempo Característico

Fuerza impuesta por un campo eléctrico E

Teoría de Drude de los Metales • Teoría clásica (1900) para Conductividad Eléctrica:

me → F = − e E− v τ →

→

Fuerza Disipativa:

Material

→

− eE

Centros de Colisión Movimiento Electrónico

Teoría de Drude de los Metales • Teoría clásica (1900) para Conductividad Eléctrica:

me → F = − e E− v=0 τ →

→

Estacionario →

J

⇒ →

eτ → v=− E me

→

→

J = −ne v

1densidad ne τ de corriente J: = σE ⇒ σ = = Ley de Ohm Ley de Ohm ρ volumétrica me n: densidad de electrones →

2

Resistividad Eléctrica me 1 ρ= 2 = ne τ σ Resultado general más allá de la Teoría de Drude. Teoría Semiclásica de Transporte de Boltzmann: • Funciones de Distribución • Sistema de Fuera de equilibrio • τ: Tiempo de Relajación: Describe las fuerzas que devuelven el sistema al equilibro (ej: colisiones) 1 1 1 En metales (más importantes): = + τ 1, τ 2 – Varios procesos: 1) “Defectos” cristalinos.

τ

τ1 τ 2

2)

“Fonones”: agitación térmica.

Defectos

Para Drude: centros de colisión = núcleos atómicos

Defectos

En realidad: centros de colisión = Defectos.

Defectos

• Vacancias

• Impurezas

• Intersticiales

Defectos • P. Ebert, “Imaging defects and dopants” Materials Today, June 2003, pag. 36.

• Imagen STM • InP (110) con: •VP: vacancia P. •ZnIn: Impureza Zn. •VP-ZnIn : Complejos.

Ejemplo de Colisión: Dispersión por Impureza 1

τ

⇒ wk → k ′ : Tasa de Dispersión

+Ze

p'

(# Colisiones/tiempo)

-e me

p

¾ Impureza Cargada. ¾ Impureza Neutra.

 p = me v = hk wk → k′  p' = me v' = hk' ¾Dispersión Elástica. ¾Dispersión Inelástica.

Regla de Mathiesen

ρ≈ρ

+ ρfonones (T )

me ρ= 2 defectos ne τ

1 1 11 11 ≈ = + τ1 τ2fonones τ τdefectos • sección eficaz de dispersión • velocidad (constante en metales) • # centros de colisión = # defectos

• Temperatura T

Regla de Mathiesen

ρ ≈ ρdefectos + ρfonones (T ) • H. Ibach, H. Lüth, “Solid-State Physics”

Efectos magnéticos pueden generar un mínimo en ρ(T) Efecto Kondo.

Regla de Mathiesen

ρ ≈ ρdefectos + ρfonones (T ) • Coeficiente de Resistividad:

ρ(300K) r= ρ(0K)

Mide Pureza y Calidad del Cristal: r ~ 106: Calidad Ultra Alta r ~ 1,1: Aleaciones

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Propiedades Ópticas de Metales • Teoría de Drude – Lorentz:

mee m→e → → 2 → F = −e E− + i ω v =r m=e −aω me r τ τ →

→

→

→

E = E0 exp(− iωt ) →

→

r = r0 exp(− iωt )

• → E: →onda→electromagnética.

v =eléctrico r = −iω r campo oscilatorio, r:con posición del electrón. • frecuencia ω=2π/T. → → → → Movimiento oscilatorio, 2 a =la vmisma = −ifrecuencia ω v = −ωω=2π/T. r con

Propiedades Ópticas de Metales • Teoría de Drude – Lorentz: → me → 2 F = −e E+ i ω r = −ω me r τ →

→

→

eE

me r= ω ω+ i

→

(

-e

+e

)τ

→

r

→

→

P = −en r

P: Polarización Eléctrica

Propiedades Ópticas de Metales • Teoría de Drude – Lorentz: →

2

E en P=− me ω ω + i →

(

→

(

-e

+e

eE

me r= ω ω+ i

→

)τ

)τ

→

r

→

→

P = −en r

P: Polarización Eléctrica

Propiedades Ópticas de Metales • Teoría de Drude – Lorentz: 2

→

E en P=− me ω ω + i →

→

→

D = εE 2 η = ε ε0

(

→

)τ

→

→

D =ε 0 E + P D: 2

ω

2 Desplazamiento p

(

)

1− η =dieléctrico. ω ω+ iτ ε: Permitividad del medio (Metal) ε0: Permitividad del vacío 2 en η: índice de refracción 2 ω = p (Material no magnético) ε 0 me

⇒

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Propiedades Ópticas de Metales 1 Conductor Ideal : = 0 τ 2

ε = η2 → Permitividad Relativa ε0 η=

ε → Índice de Refracción ε0

0

ε/ε0

ω  ε = 1−  p  ε0  ω

1

-1 -2 0

1 ω/ωp

2

ω p → Frecuencia de Plasma ω=

2π → Frecuencia Óptica T

¾ ε > 0: Caso normal. ¾ ε < 0: No hay propagación.

Propiedades Ópticas de Metales

v → en el medio, c → en el vacío, 2π k= → Número de Onda λ

1 0

ε/ε0

c ω v= = η k Velocidad de la luz :

-1 -2 0

1 ω/ωp

  x  exp[i (kx − ωt )] = exp iω η − t    c 

2

Propiedades Ópticas de Metales 1

Caso Normal: ε>0 ⇒η ∈ # real ε/ε0

0 -1 -2 0

1 ω/ωp

  x  exp[i (kx − ωt )] = exp iω η − t    c 

2

Propiedades Ópticas de Metales 1

ε