MT-22

Clase

Propiedades y clasificación de triángulos

Síntesis de la clase Ángulos

Polígonos convexos

Clasificación de ángulos

Relaciones angulares

0º < Agudo < 90°

Congruentes (ángulos iguales)

Recto = 90°

Complementarios  +  = 90°

90º < Obtuso < 180°

Suplementarios  +  = 180°

Extendido = 180°

Adyacentes

180º < Cóncavo < 360°

Completo = 360°

Opuestos por el vértice Ángulos entre paralelas

Regulares

Irregulares

Generalidades Número diagonales desde un vértice d=n–3 Número total de diagonales n(n  3) D 2 Suma de ángulos interiores Si = 180° (n – 2) Suma de ángulos exteriores 360°

Aprendizajes esperados • Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. • Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades.

• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos. • Aplicar las propiedades de un triángulo equilátero.

Pregunta oficial PSU En la figura 4, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.

A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2005.

1. Elementos primarios

2. Elementos secundarios 3. Área y perímetro

4. Clasificación

1. Elementos primarios 1.1 Definición El triángulo es un polígono de tres lados que tiene los siguientes elementos primarios: C

Lados a

b

: segmentos que delimitan el triángulo. AB = c

BC = a

AC = b

Vértices: intersección de dos lados. A

c

B

Teorema: “La suma de dos lados debe ser siempre mayor que la medida del tercer lado”. a+b>c

b+c>a

a+c>b

Ejemplo: ¿Puede existir un triángulo de lados: 3, 4 y 7 cm? Verificando el teorema se tiene: 3 + 4 = 7

3+7>4

4+7>3

Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.

1. Elementos primarios 1.1 Definición Ángulos interiores: se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura.

C

,  y g son los ángulos interiores del triángulo ABC.

A

B

Ángulos exteriores : son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores. ´, ´ y g´ son los ángulos exteriores del triángulo ABC.

Teoremas: “La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º”.

 +  + g  180°

“En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa”. “La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º”.

´ + ´ + g´  360°

“Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él”. ’ =  + g

’ =  + g

g’ =  + 

2. Elementos secundarios 2.1 Altura (h) Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. C

En la figura, CD es la altura (hC) desde el vértice C.

hC A

El ortocentro (H) es el punto de intersección de las alturas (hA , hB, hC). C

H A

B

D

B

2. Elementos secundarios 2.2 Transversal de gravedad (t)

Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

En la figura, CD es la transversal de gravedad (tC) desde el vértice C y D es el punto medio del lado AB.

El baricentro o centro de gravedad (G) es el punto de intersección de las transversales de gravedad.

tC

2. Elementos secundarios Propiedad del centro de gravedad o baricentro (G) El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1. D, E y F: Puntos medios

AE = tA BF = tB CD = tC G: Centro de gravedad

Ejemplo: En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.

2. Elementos secundarios 2.3 Simetral (S) Recta perpendicular a un segmento, trazada en su punto medio. En la figura, está representada la simetral del lado AB, que pasa por su punto medio D. C S El punto de intersección de las simetrales se llama circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. D, F y G: Puntos medios. E: Circuncentro

A

B

2. Elementos secundarios 2.4 Bisectriz (b) Rayo que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. C

bC El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. E: Incentro

A

D

B

2. Elementos secundarios 2.5 Mediana (M) Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. D, E y F: Puntos medios DF, DE y EF: Medianas

Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales entre sí. El área de cada uno es la cuarta parte del área total del triángulo original.

3. Área y perímetro Para obtener el área y perímetro en un triángulo cualquiera se utilizan las siguientes fórmulas: C

C

b

b

a

hA

hC

A

c

a

hB B

Área = base ∙ altura 2

A

c

B

Perímetro = a + b + c

Ejemplo: Determinar el área y perímetro del triángulo de la figura. A

21

D

10

8 B

C 17

Área = base ∙ altura

Perímetro = 10 + 17 + 21

2 Área = 21 ∙ 8 2

Perímetro = 48u

Área = 84u²

4. Clasificación Según ángulos

Según lados

Acutángulo

Escaleno

Todos sus ángulos interiores son agudos.

Todos sus lados y ángulos son distintos. Ejemplo:

Rectángulo Tiene recto.

un

Isósceles ángulo

Tiene solo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base. (Base)

Obtusángulo

Equilátero

Tiene un obtuso.

Tiene todos sus lados y ángulos congruentes.

ángulo

4. Clasificación 4.1 Propiedades en el triángulo equilátero Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales coinciden sobre la misma recta. Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden. AB  BC  CA

Área (A) y altura (h) de un triángulo equilátero

a2 3 A 4

ha 3 2

con a: lado del triángulo

30º 30º a

a

h 60º a 2

60º a 2

a 3 2

Ejemplo Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3 cm. A partir de la altura determinaremos el lado. Sea x la medida del lado, entonces: h x 3 2 3 3x 3 2 3 x 2

6=x Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será: 3  A  36  3  A  9 3 cm2 4 4

2

A6

4. Clasificación 4.1 Propiedades en el triángulo equilátero Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita

h=r+

3r r  h= 2 2

Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita

h = 3r

4. Clasificación 4.2 Propiedades en el triángulo isósceles Las alturas y transversales que se trazan desde los vértices congruentes, miden lo mismo. hA = h B

tA = t B

La altura, transversal, bisectriz y simetral que llegan a la base, coinciden sobre la misma recta.

Ejemplo: En la figura, el triángulo ABC es isósceles en B y D es punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x. Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC. Si D es punto medio, entonces BD es transversal.  BD es altura, bisectriz y simetral. 90°

= 50°

 DBA = 40° y ADB = 90° 40°

 x = 50°

4. Clasificación 4.3 Propiedades en el triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo isósceles

C

En el triángulo rectángulo isósceles de lado a de la figura, se cumple que:

A

B

Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa). C  CBA = 45°  AC = 4 y 4

4 2

 BC = 4 2

45°

A

B

4. Clasificación 4.3 Propiedades en el triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo y transversal de gravedad Si M es punto medio de AB, entonces AM  MB  CM

tC : transversal

Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el  DCB. Si CD es transversal de gravedad,  D es punto medio

40° 40°

 AD  DB  CD  El triángulo CDB es isósceles de base BC   CBA   DCB Por lo tanto,  DCB = 40°

Pregunta oficial PSU En la figura 4, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.

A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

ALTERNATIVA CORRECTA

E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2005.

Tabla de corrección Nº

Clave

Unidad temática

Habilidad

1

E

Triángulos

Aplicación

2

B

Triángulos

Aplicación

3

B

Triángulos

Aplicación

4

D

Triángulos

Análisis

5

E

Triángulos

Análisis

6

C

Triángulos

Análisis

7

D

Triángulos

Análisis

8

C

Triángulos

Aplicación

9

A

Triángulos

Aplicación

10

D

Triángulos

Aplicación

11

C

Triángulos

Aplicación

12

B

Triángulos

Análisis

Tabla de corrección Nº

Clave

Unidad temática

Habilidad

13

D

Triángulos

Análisis

14

E

Triángulos

Análisis

15

D

Triángulos

Análisis

16

B

Triángulos

Aplicación

17

A

Triángulos

Aplicación

18

D

Triángulos

Aplicación

19

D

Triángulos

Análisis

20

B

Triángulos

Análisis

21

C

Triángulos

Análisis

22

A

Triángulos

Análisis

23

A

Triángulos

Análisis

24

C

Triángulos

Evaluación

25

C

Triángulos

Evaluación

Síntesis de la clase

Triángulos Elementos

primarios

vértices

Generalidades

secundarios

área

Clasificación según sus lados

según sus ángulos

altura perímetro

escaleno

acutángulo

isósceles

rectángulo

equilátero

obtusángulo

simetral lados bisectriz ángulos interiores ángulos exteriores

transversal mediana

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En la próxima sesión, resolveremos el Taller II

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Matemática