República Bolivariana de Venezuela Ministerio de la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Núcleo Caracas Curso de Inducción Universitaria CIU Cátedra: Razonamiento Matemático

PROPORCIONES Y REGLA DE TRES GUIA CIU NRO: 4

COMISIÓN DE APOYO DE RAZONAMIENTO MATEMATICO INTEGRANTES:

Ing. Beliana Gómez Ing. Elvia Moreno Ing. Mixef Rojas Lic. Teresa Gómez Prof. Neida González

2 Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son VARIABLES cuando pueden tomar diversos valores, y son CONSTANTES cuando tienen un valor fijo determinado. Por ejemplo si un metro de cable cuesta Bs.3000 el costo del carrete de cable dependerá del número de metros que tenga. Si tiene 50 metros su costo será Bs.150.000. El precio de un metro de cable no varía, entonces es una constante, en tanto que el número de metros y el costo total si varían, éstas serían las variables.

I. PROPORCIONES Cuando hablamos de PROPORCIÓN queremos significar que existe algún tipo de correspondencia entre dos procesos. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que involucran una relación constante entre dos o más variables y sus relaciones entre sí.

1. PROPORCIONALIDAD DIRECTA La proporcionalidad directa entre dos variables supone que cuando una de las variables aumenta la otra también lo hace. Este concepto implica la idea de “crecimiento conjunto” donde la contribución de una de las variables (x) afecta siempre de la misma manera a la otra (y). Si esto se cumple podemos escribir que: y = kx

Donde k representa dicha contribución y la llamamos CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD. Es importante destacar que existen otras maneras de expresar relaciones de proporcionalidad directa entre variables como sigue: I. 1 : 2 como A : B

Se lee 1 es a 2 como A es a B, lo cual quiere decir que A es proporcional a B de la misma manera que 1 es proporcional a 2 y significa que: A 1 = B 2

por lo tanto, este valor está indicando la CONSTANTE DE

PROPORCIONALIDAD Por ejemplo la compra de alimentos, por regla general, es un clásico ejemplo de proporcionalidad directa. Si 1 Kg de carne cuesta Bs. 11.200,00 y realizo una compra de 4,25 Kg ¿Cuánto debo cancelar?

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3 Mientras mayor cantidad de carne (c) compre mayor será el monto a cancelar (d) por lo tanto, la correspondencia es directamente proporcional. En consecuencia, podemos escribir: d = k ⋅c

Buscamos el valor de k k=

d c

La información que el problema proporciona nos lleva a escribir: k=

11.200 Bs 1 Kg

k = 11.200

Bs Kg

Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación d = 11.200

Bs ⋅c Kg

d = 11.200

Bs ⋅ 4,25 Kg Kg

d = 47.600 Bs Ahora bien, y puede ser proporcional no sólo a x. Pueden darse casos como la proporcionalidad al cuadrado de x, es decir y = k ⋅ x 2 o a la raíz cuadrada de x, lo cual quedaría expresado como y = k ⋅ x Por ejemplo: La velocidad de aterrizaje de un aeroplano es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa. Si un aeroplano que tiene una masa de 1.600 Kg aterriza a 80 Km/h. ¿Con qué velocidad aterrizaría si pesara 2.500 Kg ? Mientras mayor masa (m) tenga el aeroplano, aterrizará con mayor velocidad (v) por lo que en este caso la correspondencia es directamente proporcional pero a la raíz cuadrada de la masa como lo indica el enunciado del problema. Por lo tanto, podemos plantear: v=k m Buscamos el valor de k

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4 Para calcular 1.600 Se descompone la cantidad sub radical

Km 80 = k 1600 Kg h

1600 2

Km 80 h k= 1600 Kg k=2

800

2

400

2

200

2

Km

100

2

h ⋅ Kg

50

2

25

5

5

5

1.600 = 2 6 ⋅ 5 2 Al calcular la raíz cuadrada resulta

2 6 ⋅ 5 2 = 2 3 ⋅ 5 = 40

1

Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación  Km v = 2  h ⋅ Kg 

  m  

Para una masa de 2.500 Kg sería:

Para calcular 2.500 Se descompone la cantidad sub radical

 Km v = 2  h Kg 

  2.500 Kg  

2500 2

 Km v = 2  h Kg 

  ⋅ 50 Kg  

Km v = 100 h

1250 2 625

5

125

5

25

5

5

5

2.500 = 2 2 ⋅ 5 4 Al calcular la raíz cuadrada resulta

2 2 ⋅ 5 4 = 2 ⋅ 5 2 = 50

1

2. PROPORCIONALIDAD INVERSA La proporcionalidad inversa que al crecer una de las variables la otra decrece. En este caso la relación entre las variables x e y viene dada por la expresión: y=k

1 x

Por ejemplo: 8 jóvenes piensan salir de campamento con víveres para 24 días; llegado el momento, 2 de ellos deciden no ir. ¿Para cuántos días alcanzarán los víveres?

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5 Si 8 jóvenes podían vivir 24 días al disminuir la cantidad de jóvenes (j) los alimentos durarán más días (d); la correspondencia es inversamente proporcional por lo tanto, podemos escribir: d =k

1 j

Buscamos el valor de k k =d⋅ j

k = 24 días ⋅ 8

jóvenes

k = 192 días ⋅ jóvenes

Una vez encontrado el valor de esta constante sustituimos en la primera ecuación d = 192 días ⋅ jóvenes ⋅

1 j

d = 192 días ⋅ jóvenes ⋅

1 6 jóvenes

d = 32 días

3. REGLA DE TRES Una de las aplicaciones más importantes de las proporciones se encuentra en la resolución de problemas de regla de tres simple y compuesta. La regla de tres es una operación aritmética que consiste en calcular el cuarto término de una proporción conocidos los otros tres. En este tipo de problemas, la parte conocida del planteamiento de las proporciones se conoce con el nombre de SUPUESTO, mientras que los datos de la parte que contiene la incógnita recibe el nombre de PREGUNTA. La regla de tres puede ser: a. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA cuando solamente intervienen

en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad directa. Ejemplo: Si 4 pelotas cuestan Bs. 34.600, ¿Cuánto costarán 16 pelotas? Aquí el SUPUESTO es: SI 4 PELOTAS CUESTAN Bs. 34.600 y la PREGUNTA puede escribirse como:

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6 ¿16 PELOTAS CUANTO COSTARAN? El planteamiento de la Regla de Tres sería: 4 pelotas → Bs. 34.600 16 pelotas → Bs. x

Bs. 34.600 Bs. x = 4 pelotas 16 pelotas

Bs. x =

(Bs.

34.600) ⋅ (16 pelotas ) 4 pelotas

Bs . x = Bs . 138 .400 b. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA cuando solamente intervienen

en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad inversa Ejemplo: Cuatro obreros hacen una obra en 12 días ¿En cuántos días la harían 7 obreros? Aquí el SUPUESTO es: SI 4 OBREROS REALIZAN LA OBRA EN 12 DÍAS y la PREGUNTA puede escribirse como: ¿7 OBREROS EN CUANTOS DIAS LA REALIZARAN? El planteamiento de la Regla de Tres sería: 4 obreros → 12 días 7 obreros → x días

A mayor cantidad de obreros menos días para terminar la obra, es decir la correspondencia es inversamente proporcional. x días 4 obreros = 12 días 7 obreros

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7

x días =

(12

días ) ⋅ (4 obreros ) 7 obreros

x = 6,9 días ≈ 7 días c. REGLA DE TRES COMPUESTA cuando intervienen tres o más

variables. El método de resolución consiste en descomponer la Regla de Tres Compuesta en Reglas de Tres Simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Al formar cada Regla de Tres Simple se considera que las demás magnitudes no varían. Ejemplo: Si tres hombres trabajan 8 horas diarias terminan 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros? Aquí el SUPUESTO es: 3 HOMBRES → 8 HORAS DIARIAS → 80 METROS → 10 DÍAS y la PREGUNTA puede escribirse como: 5 HOMBRES → 6 HORAS DIARIAS → 60 METROS → x DÍAS? En este caso tenemos 3 proporciones: a) Hombres vs días para completar la obra 3 HOMBRES REALIZAN LA OBRA EN 10 DÍAS

5 HOMBRES REALIZAN LA OBRA EN x DIAS A mayor cantidad de hombres menos días para terminar la obra, es decir la correspondencia es inversamente proporcional. 5 10 = 3 x

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8 b) Horas diarias trabajadas vs días para completar la obra CON 8 HORAS DIARIAS SE COMPLETA LA OBRA EN x DÍAS

CON 6 HORAS DIARIAS SE COMPLETA LA OBRA EN y DIAS A mayor cantidad de horas diarias la obra se completa más rápido, es decir, en menor cantidad de días por lo que la relación es inversamente proporcional. 6 x = 8 y c) Días empleados para terminar la obra vs cantidad de metros completados 80 METROS SE REALIZAN EN y DÍAS

60 METROS SE REALIZAN EN z DÍAS

80 y = 60 z

Si multiplicamos término a término las proporciones resulta: 5 ⋅ 6 ⋅ 80 10 ⋅ x ⋅ y = 3 ⋅ 8 ⋅ 60 x ⋅ y ⋅ z z=

10 ⋅ 3 5

z es 6 días

II. PORCENTAJES El porcentaje de un número o tanto por ciento significa “cierta parte de 100”. Las formas más usuales de expresar un porcentaje son la forma fraccionaria y la forma decimal. El 4% de 80 se puede escribir en forma de fracción como

4 de 80 es decir 100

las cuatro centésimas partes de 80. Ochenta se divide en cien partes iguales y se toman cuatro. En esta temática se pueden observar ejercicios que contemplan: a) ENCONTRAR EL TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO:

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9 Hallar el 15% de 32 El 100% es 32; por tanto el 15% de 32 será x 100% → 32 15% → x

x=

32 ⋅ 15 = 4,8 100

b) ENCONTRAR EL NÚMERO CUANDO SE CONOCE UN TANTO POR CIENTO DEL MISMO

¿De qué número es 46 el 23%? El 23% del número que se busca es 46 y el 100%, es decir, el número buscado será x 23% → 46 100% → x

x=

100% ⋅ 46 = 200 23%

c) ENCONTRAR QUÉ PORCENTAJE ES UN NÚMERO DE OTRO

¿Qué tanto por ciento es 840 de 2.940? 2.940 → 100% 840 → x%

x=

840 ⋅ 100% = 28,6% 2940

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10 d) AUMENTOS

Y

DISMINUCIONES

PORCENTUALES:

Las

situaciones que indican el aumento del valor de un objeto o el descuento de otro pueden expresarse como porcentajes. Ejemplo de aumento porcentual: Si un metro de tela cuesta Bs.15.000 ¿En cuánto debe venderse para ganar el 15% del costo? Primero buscamos el porcentaje que se desea aumentar 100% → Bs.15.000 15% → Bs.x

x=

15% ⋅ Bs.15.000. = Bs.2.250 100%

El aumento es de Bs. 2.250 por lo tanto el precio en que la tela debe venderse corresponde a la suma del precio costo más el aumento porcentual o ganancia, es decir: Bs.15.000 + Bs.2.250 = Bs.17.250

Ejemplo de disminución porcentual: Arturo debe Bs.900.000. Si le rebajan el 5% de su deuda ¿Cuánto pagará? 100% → Bs.900.000 5% → Bs.x

x=

5% ⋅ Bs.900.000 = Bs.45.000 100%

El descuento que le realizaron a la deuda de Arturo es de Bs.45.000. Para conocer cuánto debe pagar efectuamos una resta: Bs.900.000 − Bs.45.000 = Bs.855.000

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11

III. INTERES Por medio de la Regla de Tres se puede encontrar la ganancia o interés que produce una determinada suma de dinero o capital, prestado o ahorrado a un tanto por ciento determinado durante un tiempo también determinado. Si por ejemplo un empleado tome un préstamo de Bs.480.000 al 5% anual. Si tarda 3 años en cancelarlo. ¿Cuánto debe pagar de interés? Para resolver el problema se realiza el cálculo del interés anual y luego se multiplica por el número de años que tardó en pagarlo En un año: 100% → Bs.480.000 5% → Bs.x

x=

5% ⋅ Bs.480.000 = Bs.24.000 100%

Como tardó cuatro años: 24.000

Bs. ⋅ 4 años = Bs.96.000 año

El total a pagar será: Bs.480.000 + Bs.96.000 = Bs.576.000

IV. EJERCICIOS 1. En una evaluación de 40 preguntas con un puntaje total de 100 (cada pregunta tiene el mismo valor), un alumno obtiene 75 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente? 2. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números sabiendo que la suma de ellos es 49. 3. En un almacén habían 40 paquetes de queso. Si 14 ratones dejaron 5 paquetes sin roer. ¿Cuántos paquetes hubieran quedado si sólo hubiesen dos ratones? 4. Si dos obreros construyen una casa en 12 días. ¿Cuánto tardarán seis obreros?

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12 5. Un grupo de excursionistas van a acampar con provisiones para 30 días, pero en el viaje se les une un grupo de 4 personas que no llevan alimento. ¿Cuántos días podrían acampar ahora? 6. Si dos obreros hacen 4 muebles en 2 días. ¿Cuántos obreros son necesarios para hacer dos muebles en un día? 7. Si 10 hombres se beben 10 cervezas en 1 hora. ¿Cuántas cervezas se beben 25 hombres en 2 horas? 8. Si 4 ascensores consumen 40 Kw. de corriente para transportar 600 Kg cada uno a 8 m de altura. ¿Cuántos Kw. de corriente se necesitarán para que 6 ascensores puedan elevar 200 Kg. de peso cada uno a 5 m de altura? 9. Un frutero compró 300 naranjas a razón de 4 por bolívar y 200 a razón de 5 por bolívar. Si las vendió todas a razón de 5 por 2 bolívares. ¿Cuánto ganó? 10. Los organizadores de un concierto necesitan carpinteros para construir las tarimas. Ellos saben que 15 carpinteros pueden construir dos tarimas en 10 días. Faltando dos semanas para el concierto, los organizadores lograron contratar sólo 5 carpinteros para construir la tarima. ¿Cuándo terminarán de construir la tarima? 11. Se emplean 10 hombres durante5 días trabajando 4 horas diarias, para cavar una zanja de 10 metros de largo, 6 metros de ancho y 4 metros de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres para cavar otra zanja de 15 metros de largo, 3 metros de ancho y 8 metros de profundidad en un terreno de triple dificultad? 12. Un vendedor gana un sueldo fijo de Bs. 8.200 mensuales. Además gana el 2% de todo lo que vende. Un mes ganó en total Bs. 10.600. ¿Cuánto vendió en ese mes? 13. Una mueblería da el 12% de rebaja en una silla que normalmente cuesta Bs. 8.250. ¿Cuánto hay que pagar por la silla? 14. Karen compró lápices que costaban originalmente Bs. 1000 cada uno, con un descuento del 10%. Luego los vendió en su colegio 10% más caros de lo que ella los compró. ¿A cuánto vendió los lápices Karen? 15. Un tubo de pasta de dientes cuesta en el abasto Bs. 890. En el supermercado, el mismo tubo cuesta Bs. 990. ¿Cuánto por ciento más caro es el del supermercado? 16. Se incendia un carro asegurado en el 86% de su valor y se cobran Bs. 4.300.000 por el seguro. ¿Cuál era el valor del auto? 17. Alfredo compró un carro que originalmente valía 1 millón de bolívares, con un descuento del 5%. Al cabo de un mes, Alfredo decide venderle su carro a Pedro, pero con un 5% de descuento sobre el precio al que él lo compró. ¿En cuánto compró Pedro el carro? 18. ¿A qué porcentaje equivale efectuar dos descuentos consecutivos de 35% y 40% respectivamente? 19. Elena le dio a Jesús cierta cantidad de dinero para comprar medicinas. Se sabe que Jesús gastó el 50% del dinero en jarabes, el 45% del monto de jarabes lo empleó para

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13 aspirinas y el 20% del monto de aspirinas lo empleó para curitas. Si le sobraron Bs. 460. ¿Cuánto dinero le dio Elena a Jesús? 20. Un comerciante compra un televisor en Bs. 625.000 con un 25% de descuento. Arrepentido de la compra, y pensando en recuperar la inversión, decide vender dicho televisor en el mismo precio que lo compró más un 25%. ¿Cuál fue el precio de esta última venta?

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