MINISTERIO DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN GERENCIA DE SEGUIMIENTO A LA CALIDAD DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

JUSTIFICACIÓN DE LAS OPCIONES DE RESPUESTA DE LA PRIMERA PRUEBA DE AVANCE DE MATEMÁTICA

2° AÑO DE BACHILLERATO PRAEM 2015

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 1 Enunciado: Selecciona el término general (o término n-ésimo) que corresponde a la sucesión: 17, 15, 13,…

Opciones de respuesta: A. 17-2n B. 15-2n C. 15+2n D. 19-2n

Respuesta Correcta: D Determina tanto el valor de la diferencia conoce y aplica correctamente

como el producto de d(n-1) correctamente. Y si .

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Al utilizar la fórmula y calcular el producto (n-1)d olvida multiplicar “d" por -1. B. Calculó correctamente el valor de la diferencia, d; sin embargo, en el producto de (n-1)d aplica incorrectamente la ley de los signos, -2(-1) = -2. C. Invierte la manera de calcular el valor de “d”; es decir, 17 – 15, 15 –13.

Indicador de logro: 1.5 Calcula, con seguridad, el n-ésimo término de una sucesión aritmética.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

2

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 2 Enunciado: Una sucesión aritmética tiene el siguiente término general:

, ¿cuál de las opciones

corresponde al segundo y tercer término de dicha sucesión?

Opciones de respuesta: A. 56 y 52 B. 60 y 56 C. 68 y 72 D. 72 y 76

Respuesta Correcta: A Utiliza correctamente el término general e Identifica que primero debe sustituir para

n =2 y luego

para n=3, y aplica correctamente la regla para operar enteros con igual o diferente signo. Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. B. Confunde el cálculo del primer y segundo término con lo solicitado, aunque los cálculos no tienen errores. C. Además de confundir el primer y segundo término con lo solicitado, suma los enteros con diferente signo cuando en realidad se restan. D. Reconoce que debe calcular el segundo y tercer término de la sucesión, sin embargo, aplica incorrectamente la regla para operar enteros.

Indicador de logro: 1.6 Utiliza con seguridad el término general al calcular cualquier término de una sucesión aritmética.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

3

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 3 Enunciado: Se interpolan tres medios aritméticos entre 8 y -12, ¿cuál de los siguientes términos representa uno de esos medios aritméticos? Opciones de respuesta: A. -10 B. -7 C. -5 D. -4 Respuesta Correcta: B Determinó correctamente la diferencia para interpolar medios aritméticos,

, luego

genera los tres medios aritméticos: 3, -2, -7; -7 es uno de ellos.

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Desconoce cómo obtener los medios aritméticos entre dos números dados, por eso realiza la suma errónea de los datos proporcionados. C. Resuelve parcialmente el ejercicio porque solo determinó la diferencia. D. Suma correctamente los dos números enteros proporcionados, pero desconoce cómo obtener un medio aritmético de una sucesión aritmética

Indicador de logro: 1.7 Identifica y calcula, con interés, todos los medios aritméticos entre dos términos de una sucesión aritmética.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

4

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 4 Enunciado: Si el primer término de una sucesión aritmética es 1; la diferencia es 2, y la suma de los “n” primeros términos es 900, ¿cuántos términos se han sumado de esa sucesión? Opciones de respuesta: A. 450 B. 90 C. 30 D. 9 Repuesta Correcta: C Sustituyó correctamente los datos proporcionados tanto en la fórmula para determinar cualquier término de la sucesión como en la fórmula para sumar los primeros términos de una sucesión aritmética. Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Desconoce cómo aplicar con precisión la fórmula para determinar la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética, por eso divide entre 2 dicha suma o aplica el cálculo del término general de suma sucesión aritmética, pero con errores.

B. Considera que para obtener 900 se ha sumado 10 veces noventa, lo que evidencia desconocer cómo utilizar el término general de una sucesión en combinación con la fórmula de cálculo de la suma de los primeros términos de una sucesión

D. Desconoce cómo aplicar las sucesiones a este tipo de situaciones, razón por la cual considera que se ha sumado 9 veces el número 100.

Indicador de logro explorado: 1.8 Aplica correctamente y con precisión la fórmula para obtener la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

5

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 5 Enunciado: Doris

debe

sumar

correctamente

los

primeros

1007

números

impares,

es

decir,

1 + 3 + 5 + 7 +… + 2013, ¿cuánto es el total de dicha suma? Opciones de respuesta: A. 2, 028, 098 B. 1, 014, 049 C. 3036 D. 2029

Repuesta Correcta: B Resuelve correctamente el ejercicio sobre sucesiones aritmética, por eso sustituye correctamente el primer y último término de la sucesión, así como la cantidad de términos sumados, realiza todos los cálculos utilizando:

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Comprende que son ejercicios de sucesiones aritméticas, aunque los cálculos que realizó están correctos, olvidó dividir entre dos la cantidad de términos sumados de la sucesión. C. Suma todos los datos observados en el enunciado, posiblemente porque desconoce como sumar los términos de una sucesión aritmética. D. Suma los datos que observa en la sucesión, sin aplicar nada referido a la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética.

Indicador de Logro: 1.9 Resuelve, ejercicios y problemas sobre sucesiones aritméticas, con interés y perseverancia.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

6

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 6 Enunciado: Un paciente del Hospital Rosales recibe en su receta médica la dosis de su medicamento así: 100 mg (miligramos) el primer día, y 5 mg menos cada uno de los siguientes. Si el tratamiento dura doce días, ¿cuántos miligramos (mg) tiene que tomar durante todo el tratamiento? Opciones de respuesta: A. 45 B. 155 C. 870 D. 1140 Respuesta correcta: C Las responden correctamente aquellos estudiantes que asocian correctamente cada uno de los datos con las respectivas variables de las sucesiones aritméticas, así

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Resuelve parcialmente correcta la situación, pero interpreta incorrectamente la pregunta, por ello se quedan en el cálculo de los mg que recibirá en el doceavo día. Cuando se le está pidiendo el consumo durante todo el tratamiento. B. Este grupo de estudiantes es posible que reconozcan la presencia del primer término de la progresión, pero interpretan incorrectamente el valor de la diferencia al tomar la positiva, y la pregunta de la situación, ya que se pide el consumo en todo el tratamiento, no el del doceavo día. D. Quienes eligen esta opción desconocen el tipo de situación que se les presenta, por ello lo resuelven haciendo uso de su “lógica”, y piensan que por ser 12 días, y si recibiera 100 mg cada día, consumirá un total de 1200 mg del medicamento, pero como se menciona de 5 mg menos, creen que cada día recibirá 95 mg, pero la situación es clara al decir “5 mg menos cada uno de los siguientes”. 1200 – 60 ó 95 x 12 = 1140 Indicador de logro: 1.9 Resuelve, ejercicios y problemas sobre sucesiones aritméticas, con interés y perseverancia. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

7

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 7 Enunciado: ¿Cuál de las siguientes opciones es una sucesión geométrica? Opciones de respuesta: A.

, 1, , 2, , …

B. -8, -4, 0, 4, 8, … C. 1, 2, 4, 8, 16, … D. 21, 23, 25, 27, … Respuesta correcta: C Comprende que al realizar las restas consecutivas no obtiene una diferencia constante, pero, sí al realizar los cocientes, es decir, r = 2, por lo cual concluye que esta sucesión es la geométrica.

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Es posible que tenga una idea equivocada en relaciona que las sucesiones que involucra fracciones corresponde a sucesiones aritméticas B. Posiblemente tiene dificultades para encontrar la diferencia cuando algunos datos son negativas, por eso al ver dicha variación, concluye erróneamente que se trata de una sucesión aritmética. D. Confunde el cálculo de la diferencia con el de la razón de una sucesión geométrica

Indicador de logro: 1.12 Establece, con claridad y seguridad, la diferencia entre una sucesión aritmética y una geométrica.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

8

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 8 Enunciado: El término general

, permite calcular una de las siguientes sucesiones.

Selecciona la correcta. Opciones de respuesta: A. -6,-6, 36, 216, … B. -6, -6, 18,-54 … C. 2, -6, 18, … D. 0,-6,-12, … Respuesta correcta: C Utiliza correctamente el término general y dominio de las propiedades de potenciación, y evalúan correctamente la expresión

Para n=1

Para n=2

Para n=3

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Al evaluar en el término general comete un error de transformar en ; evidencia tener problema al tratar una potencia con el exponente cero, así para n=1, B. En el cálculo de los términos de la sucesión tienen problemas únicamente con el exponente cero en . para n=1, ; para n=2, ; para n=3, = ; para n=4, ; etc. D) Son los estudiantes que cometen el error de multiplicar la base por el exponente. para n=1, = ; para n=2, = ; para n=3, 2 = ; etc

Indicador de logro: 1.14 Utiliza, con seguridad, el término general para calcular cualquier término de una sucesión geométrica. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

9

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 9 Enunciado: Si se interpolan 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión geométrica, ¿cuál opción presenta uno de los cuatro términos interpolados?

Opciones de respuesta: A. 364 B. 243 C. 242 D. 108 Respuesta correcta: D Comprende que para intercalar debe determinar primero la razón, la cuál es 3( 972 = 4

, Además, basado en que son seis términos en total

los de la sucesión geométrica (porque son 4 términos los que hay que intercalar entre 4 y 972). Utiliza la fórmula general ( entre ellos 108 (

) y el valor de

, para determinar los cuatro términos intercalados, que es uno de los presentados.

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Desconocen cómo intercalar, por eso confunden la situación con la suma de términos de una progresión geométrica, aunque obtienen correctamente la razón de la sucesión, calculan incorrectamente la suma. porque olvidan multiplicar el resultado por el primer término de la sucesión. B. Desconoce como intercalar términos entre dos términos dados o lo sabe de manera incompleta, por ello determinan en primer lugar el valor de la razón (r), y luego realizan el cociente entre el último y primer término, olvidando que es válido si los términos son consecutivos ( C. Tienen dificultad para abordar una sucesión geométrica cuando se debe intercalar términos, pero comprenden que el número buscado debe estar entre 4 y 972, entonces realizan la resta de la mayor y menor cantidad (972 – 4), la cual es 968, este número lo dividen entre , que son los términos que debe intercalar, obteniendo 242. Indicador de logro: 1.15 Identifica y calcula los medios geométricos entre dos términos de una sucesión geométrica. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

10

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 10 Enunciado: ¿Cuál es la suma de los diez primeros términos de la sucesión geométrica: 768, 384, 192,...? Opciones de respuesta: A. B. C. D. Respuesta correcta: C Comprende que para utilizar la fórmula apropiada debe determinar la razón (r), el valor de le permite el cálculo de la suma de los términos solicitados utilizando la fórmula

y n, lo cual ,

sustituye los respectivos valores

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Desconoce cómo aplicar la suma de los términos de una sucesión geométrica , por eso suma de los datos que observa. B. Utiliza la fórmula apropiada pero al utilizar forma inversa (1- r). Y se reduce a calcular

Olvida multiplicar por =

y realiza r – 1 de

= 0.001953125 = 1953.125

x D. Al aplicar la fórmula olvida dividir por r-1 = - 0.5, y realiza el cálculo (

= 768

=

Indicador de logro: 1.16 Aplica, con precisión, la fórmula para la obtención de la suma de los términos de una sucesión geométrica. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

11

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 11 Enunciado: Una empresa tiene dos depósitos de agua, A y B. Todos los días los empleados sacan cierta cantidad de agua de cada uno. Del depósito A se extrajo 5 litros el primer día; 10, el segundo; 20, el tercero y así sucesivamente. Del depósito B se extrajo 2 litros el primer día; 4, el segundo; 8, el tercero y así sucesivamente. El último día se extrajeron del depósito A 96 litros más que del depósito B. ¿Cuántos litros de agua se extrajeron en total, de cada depósito? Opciones de respuesta: A. 110 y 14 B. 129 y 32 C. 160 y 64 D. 315 y 126 Respuesta correcta: D Aplica las sucesiones aritméticas y comprende que para realizar la suma de los litros de agua extraídos de cada depósito debe conocer el último término de cada una de las sucesiones, lo que implica construir el término general para cada una considerando la condición: “El último día se extrajo del depósito A 96 litros más que del depósito B”. Depósito A: tienen

96 + X, r =2,

Al sustituir en

se llega a tener que

tiene que

, y al despejar en

. Se

.

Depósito B: tienen

X, r =2,

Al sustituir en Y al simplificar

. Debe determinarse “X” y “n”.

. Debe determinarse “X” y “n”.

se llega a tener que

, luego

.

Iguala ambas expresiones El anterior dato lo sustituye en

se obtiene que x = 64. , se tiene que n=6.

Al determinar el último término de cada sucesión, se puede encontrar cuántos días se estuvo sacando agua de los depósitos (n=6). Finalmente realiza la suma para cada sucesión. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

12

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO La suma

PRAEM 2015

de los términos del depósito A es 315, y los de B son 126.

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Desconoce que es una situación referida a las sucesiones geométricas por eso al contar los litros presentados del segundo depósito nota que la diferencia es 96. B. Aplica las sucesiones geométricas, pero al realizar la igualdad entre

y

olvida

multiplicar 2 por cada término así :

llegando a

con lo que concluye erróneamente que el último término de la otra

sucesión es 129. C. Comprende parcialmente el problema, porque encuentra el último término de cada sucesión, pero no es lo requerido por la situación.

Indicador de logro: 1.17 Resuelve correctamente y con interés, ejercicios y problemas aplicando la sucesiones geométrica.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

13

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 12 Enunciado: ¿Cuál es el valor de “x” para que los términos x-1, x+1, 2(x+1) estén en progresión geométrica? Opciones de respuesta: A. B. C. 2 D. 3 Repuesta Correcta: D Aplica las sucesiones geométricas por eso realiza

=2 y

la iguala a 2 que es la razón.

Determinando de esta manera que x=3.

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Lo abordan algebraicamente, olvidando que debe determinar el valor de “x” y no parte del cociente entre el segundo y primer término. Olvidan que están resolviendo un ejercicio en el campo de las sucesiones geométricas. B. Aplica las sucesiones geométricas pero relaciona incorrectamente algunos datos, por eso sustituye el valor de 1 en la serie de expresiones presentadas, encuentra la serie 0, 2, 4 y como

entonces el resto de términos que desconoce cumplirán con que su razón es 2.

Pasa por alto que el cociente entre el segundo y primer término no existe. C. La seleccionan quienes realizan el cociente entre el tercer término y el segundo,

=2

concluyendo que es el valor de la razón. Cuando es el valor de x.

Indicador de Logro: 1.17 Resuelve correctamente y con interés, ejercicios y problemas aplicando la sucesiones geométrica.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

14

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 13 Enunciado: En un restaurante se ofrece: tres variedades de carnes, cuatro de ensaladas, cinco postres y seis bebidas. Si un plato completo consiste de una porción de carne, una ensalada, un postre y una bebida, ¿de cuántas formas distintas puede pedirse un plato completo? Opciones de respuesta: A. 3 B. 18 C. 90 D. 360 Repuesta Correcta: D Aplica correctamente el principio de la multiplicación: 3x4x5x6. Es posible que los estudiantes que escogen esta opción comprenden de lo que consta cada plato completo, por ello al elegir el tipo de carne, tienen cuatro posibilidades de ensalada, y que por el principio de la multiplicación son 3x4 =12 formas distintas en las que se puede pedir estos, pero por cada éstas 12 posibilidades tiene cinco opciones de postre, y por el mismo principio, tiene 12x5 = 60 posibilidades de escoger solo incluyendo tres de las cuatro opciones. Pero se quiere un plato completo, entonces tiene todavía seis opciones de bebidas, con lo cual un visitante a este local tendrá 60x6 = 360 formas distintas para pedir un plato completo. Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Desconoce cómo abordar estas situaciones, posiblemente considera que sólo hay tres formas distintas de un plato de comida porque hay sólo tres tipos de carne. B. Se equivoca al considerar que los eventos son independientes, y suma las opciones del menú: 3+4+5+6 =18. C. Desconoce cómo utilizar el principio de multiplicación, ya que las cantidades las Multiplica 3x4x5x6, y este producto lo divide entre 4, porque lee que cada plato consta de cuatro cosas.

Indicador de Logro: 2.2 Resuelve problemas, utilizando el principio de la multiplicación con seguridad. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

15

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 14 Enunciado Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de frijoles, brócoli y otras legumbres. La mayor parte de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a variaciones en el tamaño de las verduras, una bolsa puede tener un peso ligeramente diferente. Una verificación de 4,000 bolsas que se llenaron el mes pasado reveló lo siguiente: Peso

Número de bolsas 100

Probabilidad

Satisfactorio

3600

0.900

Mayor

300

0.075

4,000

1.000

Menor

0.025

¿Cuál es la probabilidad de que una determinada bolsa tenga un peso menor o mayor?

Opciones de respuesta: A. 400 B. 2.5 % C. 0.050 D. 0.1 Respuesta Correcta: D Interpretan correctamente el planteamiento, además tienen claro que es una situación con dos eventos mutuamente excluyentes y hacen uso del principio de la suma, por lo que proceden así: P(A U B) = P(A) + P(B) =0.025 + 0.075.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

16

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Desconocen u olvidan que la probabilidad de un evento oscila entre 0 y 1, e interpretan incorrectamente la

situación ya que no se ha solicitado determinen la cantidad de paquetes que

cumplen con que tenga un peso menor o mayor. B. Este grupo de estudiantes se dejan llevar por lo de “un peso menor o mayor” y por ello eligen 0,025 y multiplican por 100, muy lejos de mostrar cómo calcular la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes utilizando el principio de la suma.

C. Este grupo identifica los dos datos de los que habla la situación, pero consideran que la probabilidad de que eso suceden se encuentra entre los dos datos mostrados en la tabla, por eso realizan (0.075+ 0.025)/2. En realidad desconocen cómo abordar este tipo de situaciones.

Indicador de Logro: 2.4 Calcular la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes utilizando el principio de la suma, con interés y confianza.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

17

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 15 Enunciado En un saco se tienen dos pelotas rojas, cinco verdes, tres negras y cuatro amarrillas. Si se extrae una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea amarrilla o verde? Opciones de respuesta: A. B. C. D.

Respuesta Correcta: D

Este grupo de estudiantes comprende que debe realizar el planteamiento de cada evento (A: aparece una pelota amarilla, B: aparece una pelota verde) y obtiene la probabilidad para cada una (P(A): P(B) :

y

); luego, por ser los eventos mutuamente excluyentes P(A U B) = P(A) + P(B), con lo cual

P(A U B) =

+

=

lo cual es la probabilidad que la pelota extraída sea amarrilla o verde.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

18

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

Confunde la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes con el cálculo de la probabilidad clásica y calculan

A. La eligen aquellos estudiantes que presentan problemas para plantear la probabilidad de solo un evento. Por eso realizan el cociente entre las pelotas amarrillas y las verdes.

B. La eligen aquellos estudiantes que presentan problemas para plantear la probabilidad de solo un evento. Por eso realizan el cociente entre las pelotas amarrillas y las verdes.

C. La eligen aquellos estudiantes que todavía no trascienden el problema clásico del lanzamiento de una moneda, ya que considera a los colores amarillos y verdes como los únicos resultados posibles, y como solo un color saldrá, reproduce la idea de la moneda

Indicador de Logro: 2.4 Calcular la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes utilizando el principio de la suma, con interés y confianza.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

19

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 16 Enunciado Si las empresas de transporte terrestre A, B, C, D y E ofrecen su servicio diario entre San Salvador y San Miguel y las empresas de aviación P, Q y R tienen vuelos diarios entre los mismos departamentos, ¿de cuántas maneras diferentes se puede viajar de San Salvador a San Miguel?

Opciones de respuesta: A. 15 B. 16 C. 8 D. 2 Repuesta Correcta: C Son aquellos estudiantes que comprenden que este tipo de situaciones se resuelven por el principio de la adición, por que las operaciones (viajar por vía terrestre o aérea) no pueden realizarse simultáneamente, sino que o viaja por una de las cinco opciones de vía terrestre o viaja en una de las tres opciones aéreas, es decir, se tienen 5 + 3 formas diferentes para viajar de San Salvador a San miguel. Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Son aquellos estudiantes que confunden el principio de la multiplicación con el principio de la suma, sin darse cuenta que las dos operaciones son mutuamente excluyentes (SOLO UNA DE ELLAS PUEDE OCURRIR). Por otro lado no hay que olvidar que se está pidiendo las maneras diferentes de viajar de San Salvador a San Miguel. B. Son aquellos estudiantes que consideran ida y vuelta en transporte terrestre (10) e ida y vuelta de trasporte aéreo (6). Aunque aplican el principio de la adición, no interpretan correctamente la situación. D. Son aquellos estudiantes que desconocen condición de uno de los principios más básicos, como lo es el de la edición, por lo cual consideran que sólo existen dos formas de viajar o lo hace por autobús (vía terrestre) o lo realiza por aire (avión). Indicador de Logro: 2.5 Resuelve problemas, utilizando el principio de la suma con seguridad.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 17 Enunciado ¿De cuántas formas distintas se pueden seleccionar dos libros de diferentes asignaturas si se tienen cinco libros distintos de ciencias, tres libros distintos de matemática y dos libros distintos de psicología? Opciones de respuesta: A. 12 B. 31 C. 60 D. 90 Repuesta Correcta: B Comprende correctamente lo que se le plantea por ello aplica primero el principio de multiplicación respetando las condiciones de la situación; sabe que puede elegir 2 libros, uno de ciencias y uno de matemáticas, de 5 x 3 = 15 formas. De manera análoga, puede elegir 2 libros, uno de ciencias y uno de psicología, de 5 x 2 = 10 formas y puede elegir dos libros, uno de matemática y uno de psicología, de 3 x 2 = 6 formas. Como estos conjuntos de selecciones son ajenos por pares, puede utilizarse el principio de la suma para concluir que existen 15 + 10 + 6 = 31 formas de elegir dos libros de diversas asignaturas entre los libros de ciencias, libros de matemática y los libros de psicología. Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Quienes elijen esta opción desconocen la aplicación combinada del principio de la multiplicación y la suma, sólo logra identificar que involucra el principio de la multiplicación. C. Encuentra el producto de los datos que se le presentan, aplicando incorrectamente el principio de la multiplicación 2x5x3x2 = 60. D. Tiene cierta noción de comprensión del problema, se da cuenta que son dos libros que se escogerán, pero cometen el error de sumar todos los libros (10) y aplican el principio de la multiplicación, 10x9 = 90. Indicador de Logro: 2.6 Resuelve, con interés y confianza, problemas del entorno que involucren la aplicación combinada de los principios de multiplicación y suma. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 18 Enunciado: ¿Cuál es el resultado de simplificar

?

Opciones de respuesta: A. 0 B. C. D. Respuesta correcta: C Conoce y aplica correctamente las propiedades del factorial de cualquier número, por esa razón aplica que 0

y que por tanto operan así:

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Desconoce que el factorial de cero es 1, además que la división entre cero no existe, es decir, obtiene porque operan

y concluye que al simplificar el resultado es

.

B. Desconoce que el factorial de “m” tiene el desarrollo , por eso realiza cancela

.

D. Desconoce

es diferente a decir el numero “m”, aunque es posible que tenga claro

es decir

, el vacio

mostrado lo lleva a una respuesta incorrecta.

Indicador de logro: 2.8 Simplifica, con precisión, expresiones que contienen notación factorial.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

22

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 19 Enunciado: ¿Cuántos arreglos de cinco elementos pueden formarse con las siguientes figuras geométricas, si ninguna de ellas puede repetirse?

Opciones de respuesta: A. 21 B. 42 C. 120 D. 2520 Respuesta correcta: D Sabe que debe utilizar Pkn 

n! , porque ordena los elementos tomado grupos de 5 de los 7 que (n  k )!

posee el conjunto, por eso sustituye y opera así

7

P

5



7! 7! 2! x3x4 x5 x6 x7    2520 . (7  5)! 2! 2!

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. A. Desconoce la diferencia entre una permutación y una combinación por eso considera que se trata de un ejercicio que se resuelve por combinaciones . B. Aplica incorrectamente la fórmula para calcular el ordenamiento de los elementos de un conjunto si se toma parte de ellos

Pkn 

n! , porque realiza ( n  k )!

C. Confunde el orden de los elementos de un conjunto tomando parte de ellos con tomarlos todos, por eso realiza Indicador de logro: 2.11 Soluciona, con autonomía y confianza, ejercicios que involucren el ordenamiento de un conjunto de objetos diferentes, tomados todos o parte de ellos. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

PRAEM 2015

Número de ítem: 20 Enunciado:

¿Cuál es el número de arreglos distintos que pueden formarse con las letras de:

“V, A, M, O,

S, A, L, A, E, S, C, U, E, L, A”, si todas las letras son tomadas a la vez?

Opciones de respuesta: A. 362, 880 B. 6,810, 804,000 C. 1,307,674,368,000 D. 1,816, 214,400

Respuesta Correcta: B Reconoce que tiene un ejercicio que requiere resolverse por permutaciones. Nota que a pesar que se le presentan 15 letras hay cuatro letras “A”; aparecen 2 letras “S” y lo mismo sucede con la letra “L” y “E”. Con lo cual

=

6,810, 804,000.

Fórmula: Para calcular el número de permutaciones de este tipo bastará dividir el factorial del número total de símbolos, contando sus repeticiones, entre el número de veces que se repite cada uno.

Pn 

n! x! y! z!...

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Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Se equivoca al calcular 9!, sin considerar la condicionante de las permutaciones cuando las letras se repiten, por eso calcula el factorial de la cantidad total de letras observadas, pero eliminando las que se van repitiendo. C. Calcula 15! porque no diferencia entre obtener el número de permutaciones de un conjunto cuyos elementos se repiten de otro que no. D. Desconoce cómo resolver este tipo de variante de las permutaciones, por eso cuenta solo una vez las letras que se repiten, y combina el total de letras con las 9 que resultaron de su conteo sin repetición, por eso calcula

. Con esto estaría indicando que tiene una idea equivocada de lo que significa

determinar el número de permutaciones posibles tomando parte de los elementos cuando hay repetición de los elementos del conjunto. Indicador de Logro: 2.13 Resuelve problemas aplicando permutaciones con seguridad

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Número de ítem: 21 Enunciado: En una carrera de ciclismo participan 3 salvadoreños, 2 guatemaltecos, 1 nicaragüense, 3 panameños, 2 hondureños y 1 beliceño. ¿De cuántas formas distintas pueden llegar los primeros tres ciclistas a la meta? Opciones de respuesta: A. 12 B. 36 C. 108 D. 1320 Respuesta Correcta: D Comprenden que es una aplicación de permutaciones tomando parte de los elementos, por eso cuenta el número de participantes (12) y como solo existen tres clasificaciones o tres plazas para este grupo de personas calcula

=

otros pudieron aplicar 12x11x10.

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. No comprenden la situación, por eso solo suman el número de participantes.

B. Emplea equivocadamente como aplicar en situaciones de la vida cotidiana las permutaciones por eso considera que por existir en una carrea solo el primer, segundo y tercer lugar en la carrera bastará con operar 3x12 =36.

C. Son aquellos que, equivocadamente, aplican de forma incorrecta el principio de la multiplicación pues efectúan: 3x2x1x3x2x1 = 36 y este resultado lo multiplican por el número de clasificaciones: 36x3

Indicador de Logro: 2.13 Resuelve problemas aplicando permutaciones con seguridad.

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Número de ítem: 22 Enunciado: El valor de la expresión

5

C3

es:

Opciones de respuesta: A. 10 B. 60 C. 20 D.

5 6

Repuesta Correcta: A

Reconoce el cálculo de

las combinaciones por eso reconoce la expresión y efectúa

5! 5  4  3! 5  4    10. 3!(5  3)! 3!2! 2 1 Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. B. Desconoce la diferenciación entre una expresión referida a combinaciones y una a permutaciones por eso desarrolla la expresión dada como una permutación, C. Reconoce la expresión y efectúa

D. Plantea la expresión

5! 5! 5  4  3  2!    60 (5  3)! 2! 2!

5! 5  4  3!   20, equivocándose al no dividir por 2!. 3! 3!

5! 5! 5   . 3!2! 6! 6

Los errores observados son los siguientes: plantea correctamente la expresión, pero el denominador lo efectúa incorrectamente, porque 3!x2! lo plantea como 6!; es decir efectúa el producto de 3 por 2 y les coloca el signo de factorial. Luego comete otro error, el signo de factorial lo interpreta como un factor y no como un operador, luego lo simplifica y le queda finalmente

5 . 6

Indicador de Logro: 2.14 Interpreta, utiliza y explica con seguridad la combinación. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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Número de ítem: 23 Enunciado: Juan, Luis, Antonio

y Pedro son

amigos que se encontraron en una fiesta y se saludaron

calurosamente. ¿Cuántos apretones de mano se dieron entre todos?

Opciones de respuesta: A. 6 B. 3 C. 9 D. 12 Repuesta Correcta: A Comprende que la situación que corresponde a las combinaciones; la cual puede que la resuelva al menos de dos maneras: Por un lado, que interprete que Juan saluda a sus tres amigos. Luis saluda a Antonio y Pedro, porque antes se saludó con Juan y por último Antonio saluda a Pedro, obteniéndose de esta manera 6 saludos. Otra forma de interpretar: hay 4 personas y en un saludo intervienen dos de ellas, es decir

 4 4! 4  3  2! 4  3       6. 2  2  2!(4  2)! 2!2  1 Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. B. Desconoce que la situación se refiera a combinaciones por eso interpreta que Juan saluda a sus tres amigos y ahí se terminaron los saludos. C. Cuenta los saludos repetidos entre pares de amigos. D. La confunde con una permutación, considerando que el orden es importante, por eso obtuvo que eran seis saludos y luego multiplica por dos ó bien en la expresión

resultando

 4    2

no dividió por (4-2)!,

 4  4! 4  3  2!      4 x3  12 . 2 2 ! 2 !  

Indicador de Logro: 2.15 Resuelve problemas aplicando las combinaciones con seguridad.

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Número de ítem: 24 Enunciado: Un sorbetero tiene en su carretón 4 distintos sabores de helado (fresa, vainilla, coco y tamarindo). Prepara cada sorbete con tres bolas de helado, de los sabores que deseen. ¿De cuántas formas distintas el sorbetero puede ofrecer su producto?

Opciones de respuesta: A. 20 B. 4 C. 12 D. 8 Respuesta correcta: A Comprende que se trata de combinaciones con repetición por eso considera que puede colocar tres cucharadas de un solo sabor, pudiéndose dar cuatro sorbetes distintos de un solo sabor (fff, vvv, ccc,ttt), puede poner tres cucharadas de distinto sabor, generándose cuatro variedades distintas (fvc, fvt, fct, vct), o bien poner dos cucharadas de un sabor y otra cucharada de otro sabor, generándose otras doce variedades de presentación del sorbete (fcc, fvv, ftt, vff, vcc, vtt, cff, cvv,ctt, tff, tvv,tcc) Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada. B. Desconoce que trata una situación de ordenamiento con repetición por ello solo toma en cuenta que puede hacer un sorbete poniendo tres cucharadas de un solo sabor (fff, vvv, ccc,ttt) o bien tres cucharadas de distinto sabor (fvc, fvt, fct, vct). C. Comprende incorrectamente la situación que se le plantea por eso solo toma en cuenta que puede hacer sorbetes de dos sabores distintos una cucharada de un sabor y dos cucharadas de otro sabor (fcc, fvv, ftt, vff, vcc, vtt, cff, cvv,ctt, tff, tvv,tcc) D. Comprende parcialmente que se trata de ordenamiento con repetición por eso toma en cuenta los sorbetes de un solo sabor (4) y los sorbetes de tres sabores (4) y supone que el vendedor puede ofrecer ocho variedades distintas de su producto. Indicador de logro: 2.18 Resuelve con seguridad problemas de aplicación sobre el número de ordenamientos de objetos, entre los cuales hay repeticiones o no las hay.

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Número de ítem: 25 Enunciado: ¿Cuál es el valor de “x” en la ecuación

?

Opciones de respuesta: A. 5 B. 6 C. 7 D. Respuesta correcta: D Reconoce que este tipo de situación requiere la aplicación de la propiedad “Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b “, por eso transforma correctamente luego

llegando a obtener

en

,

.

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Erróneamente considera que

es equivalente a 8. Por eso, aunque tiene claridad de la propiedad

(Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b), plantea incorrectamente que con lo cual llega a x=5. B. Aplica incorrectamente la propiedad “Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b “, por eso

lo transforma en

, e iguala los exponentes x-3 = 3, obteniendo x=6.

C. Desconoce cómo aplicar las propiedades de las funciones exponenciales, por eso iguala x-3 = 8 – 4 y obtiene x= 7.

Indicador de logro: 3.2 Identifica y aplica, con interés y seguridad, las propiedades de la función exponencial.

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Número de ítem: 26 Enunciado: ¿Cuál es la representación gráfica de

A.

B.

?

C.

D.

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Respuesta correcta: C Identifica correctamente que

lo cual es una función decreciente

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A. Se equivoca al considerar que la ordenada igual a 3 en la gráfica, este corresponde con la base de , cuando en realidad la gráfica corresponde a

B. Se equivoca al considerar que

es igual a

D. Se equivoca al considerar que

es igual a

.

.

Indicador de logro: 3.3 Selecciona, con seguridad, la escala apropiada para representar la gráfica de una función exponencial.

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Número de ítem: 27 Enunciado: El valor de log2 64 es

Opciones de respuesta: A. 6 B. 8 C. 32 D. 128 Respuesta correcta: A Interpreta que el logaritmo base “a” de un número “b” es un valor “x” tal que si “a” se eleva al exponente “x”, se obtiene el número “b”. Para la situación planteada, el exponente al que se debe elevar la base 2, para obtener 64 es 6. log2 64=x 64=2 6

x

2 =2

x

entonces x=6.

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

B. Desconoce como determinar el logaritmo de un número, lo asocia con determinar raíz cuadrada de 64, por eso selecciona 8. C. Interpreta incorrectamente que determinar el logaritmo equivale a simplificar los datos observados, por eso obtiene 32. D. Desconoce cómo abordar la expresión log2 64, por eso interpreta que si multiplica 64 por 2, obtendrá 128 como solución.

Indicador de logro: 3.9 Determina el logaritmo de un número dada la base. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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Número de ítem: 28 Enunciado:

La expresión

log x  3 log z 3

es equivalente a

Opciones de respuesta: A.

 x log    9z 

B.

3 x  log  3   z 

C.

x  log   3z  3 

D.

log 3 x  z 3 

Respuesta correcta: B Reconoce que

es equivalente a

, además que

es equivalente a

, además que

la diferencia de logaritmos es equivalente al logaritmo de un cociente, por lo tanto:

log x  3 log x  3

1 log x  log z 3 3 1

 log x 3  log z 3  log 3 x  log z 3 3 x   log 3   z 

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

A.

Aplica

incorrectamente

la

propiedad

de

la

potencia

de

un

logaritmo

log x  x  3 log z  log x  9 log z  log   3  9z  ,

C. Considera que log (logaritmo) es un factor y aplica factor común

log ,

obtiene la expresión

presentada.

D. Reconoce que

es equivalente a log 3 x , además que 3 log z es equivalente a

, pero

desconoce que la diferencia de logaritmos es equivalente al logaritmo de un cociente, por eso la diferencia de logaritmos la considera como la diferencia de los argumentos. Indicador de logro: 3.17 Resuelve ejercicios aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas.

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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Número de ítem: 29 Enunciado: ¿Cuál es el valor de “x” en la ecuación: log 5 (2 x  3)  log 5 (11)  log 5 (5) ? Opciones de respuesta: A. 26 B. 6.5 C.

log 5 11  log 5 5  3 2

D.

log 5 16  3 2

Respuesta correcta: A Reconoce que está en presencia de una ecuación logarítmica, aplica en el miembro derecho, la propiedad de la suma de logaritmos, quedando la ecuación de la forma

log 5 (2 x  3)  log 5 (11 5) , luego como tiene una igualdad de logaritmos con la misma base, iguala los argumentos 2 x  3  55 , la cual al resolver le queda x= 26

Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

B. Aplica incorrectamente la propiedad de la suma de los logaritmos, por lo tanto en el miembro derecho reduce

log 5 (11)  log 5 (5)  log16 , luego iguala log 5 (2 x  3)  log 5 (16) , obteniendo

2 x  3  16 , por último queda x=6.5

C. No comprende que está ante una ecuación logarítmica y procede como si fuera una ecuación algebraica. D. Aplica incorrectamente la propiedad de la suma de logaritmo y luego procede como si fuera una ecuación algebraica.

Indicador de logro: 3.17 Resuelve ejercicios aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas. Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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Número de ítem: 30 Enunciado:

q  qo 2

1600 t

La ecuación

representa la cantidad que hay en miligramos de radio (elemento

radioactivo) después de “ t ” años y

qo la

cantidad que inicialmente había de dicho elemento

radioactivo, ¿qué expresión resulta al despejar “ t ”?

Opciones de respuesta:

q ln    qo  A.  1600 ln 2 B.

C. D.

q 2 1600 qo

q  2q o  1600 q  2qo  1600

Respuesta correcta: A

Comprende que se trata de una situación que utiliza la función logarítmica por eso aplica el logaritmo natural en ambos miembros,

q 1600 t  2  , qo

q ln     1600t ln 2 , despeja t, y  qo 

obtiene

pasa a dividir al miembro izquierdo a los demás factores,

q ln    qo   t  1600 ln 2

Justificación de las Opciones de Respuesta de la Primera Prueba de Avance de Matemática

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Justificación de las opciones. Posibles causas por la que los estudiantes seleccionaron una opción equivocada.

B. Tiene dificultad para identificar la aplicación de las propiedades de los logaritmos, por eso Inicia pasando a dividir

qo al miembro izquierdo resultando

variable a despejar es un exponente y la expresión pasa a dividir al miembro izquierdo, y obtiene que

21600 q

2

q  ( 2) 1600 t , qo

1600

qo

no interpreta que la

la entiende como un factor de “ t ” , lo

t.

C. El alumno desconoce que si un factor de un término va pasar a otro miembro debe hacerlo dividiendo o multiplicando, dependiendo como era su situación original, pero en este caso lo pasa a restar como si fueran términos que se suman o restan en el otro miembro de la ecuación, luego el 1600 si lo ve como factor de “t”, por lo tanto lo pasa a dividir, llega a obtener

q  2qo t  1600

D. En este caso desconoce que los factores que acompañan a la variable “t”, los interpreta como términos

que

se

suman

q  2qo  1600 t ,

o

restan

y

que

traslada

al

miembro

contrario,

y

llega

a

luego pasa a sumar el factor -1600, y obtiene la expresión

q  2qo  1600  t Indicador de logro: 3.18 Resuelve con seguridad y confianza, problemas de aplicación de la función logarítmica, en cooperación con otros.

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