Proyecto Ecuaciones Diferenciales Ing. Rodrigo Alejandro Guti´errez Arenas Semestre 2010-II

Instrucciones El proyecto consiste de dos problemas con varios incisos. Se debe de entregar un reporte detallado de las respuestas de cada pregunta. El formato del reporte es el siguiente: resumen o introducci´on (breve, no m´ as de una cuartilla), desarrollo matem´atico (hip´otesis, modelos matem´aticos, consideraciones, etc.), resultados, conclusiones y bibliograf´ıa (el formato de la bibliograf´ıa debe ser revisado, se penalizar´ a aquel trabajo que entregue bibliograf´ıa inexistente o mal presentada). Todas las gr´aficas, tablas y figuras deber´ an de llevar numeraci´on as´ı como una leyenda que indique su contenido, en cuanto a las gr´ aficas se debe de nombrar todos los ejes y curvas. Todas las f´ormulas y modelos matem´ aticos deber´ an de ir numerados. El reporte se entrega en equipos de 4 personas o menos. Para la evaluaci´ on final del proyecto se tomar´a en cuenta la calificaci´on del reporte y la calificaci´on de un interrogatorio al azar de un miembro del equipo. Dicho interrogatorio se realizar´a la clase siguiente a la entrega del reporte. En caso de no encontrarse la persona que se elija para el interrogatorio se nombrar´ a otro miembro del equipo (la persona que no se encuentre presente tendr´a cero en el proyecto). Existen tres revisiones previas a la entrega final del reporte escrito, dichas revisiones son obligatorias. Advertencia: Todos los proyectos copiados ser´ an penalizados severamente.

Fechas de entrega 12 de febrero de 2010: Presentaci´ on del proyecto por parte del profesor y formaci´on de equipos. 10 de marzo de 2010: Primera entrega del reporte del proyecto (Avances del Primer Problema y del Segundo Problema). 9 de abril de 2010: Segunda entrega del reporte del proyecto (Primer Problema y avances del Segundo Problema). 12 de mayo de 2010: Tercera entrega del reporte del proyecto (Primer y Segundo Problemas). 26 de mayo de 2010: Entrega final del reporte del proyecto (Todo el proyecto). 28 de mayo de 2010: Interrogatorio final y fin del curso (Todo el proyecto).

Notas El proyecto cuenta el 50 % de la calificaci´on final. Todas las entregas son obligatorias. Al no presentar una entrega, pierden el derecho de presentar las siguientes y por consecuencia el interrogatorio. Se presentan ejemplos del formato requerido en la p´agina del curso: http://dcb.fi-c.unam.mx/users/rodrigoga

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Problema 1 Ecuaciones diferenciales en coordenadas polares El objetivo de esta parte del proyecto es transformar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) en coordenadas rectangulares a EDO equivalentes en coordenadas polares. La EDO de primer orden en t´erminos de las variables en coordenadas rectangulares x y y se escribe como: dy = f (x, y) . (1) dx La ecuaci´ on anterior (1) puede ser transformada a coordenadas polares r y θ mediante las relaciones mostradas en la figura 1. Las coordenadas polares son u ´tiles en el caso de encontrarse con curvas soluci´ on de tipo el´ıpticas o espirales. Suponga que y = g (x) es una soluci´on de 1; en coordenadas polares dicha relaci´on se convierte en: r sin θ = g (r cos θ) , (2) la expresi´ on anterior, define, impl´ıcitamente, que r es una funci´on de θ. Derivando la expresi´on 2 con respecto a θ y utilizando la regla de cadena se tiene dg dx dr sin θ + r cos θ = dθ dx dθ dr sin θ + r cos θ dθ dr sin θ + r cos θ dθ dr sin θ + r cos θ dθ

= = =

 dr cos θ − r sin θ dθ   dr f (x, y) cos θ − r sin θ dθ   dr f (r cos θ, r sin θ) cos θ − r sin θ . dθ dg dx



(3)

La ecuaci´ on 3 es una EDO de primer orden con variables r y θ que es equivalente a 1. De primera vista la ecuaci´ on 3 puede ser m´ as complicada que la ecuaci´on 1, sin embargo para ciertas funciones puede ser m´ as sencilla, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Aplicando la expresi´ on 3 a la EDO y−x dy = dx y+x se tiene

dr r sin θ − r cos θ sin θ + r cos θ = dθ r sin θ + r cos θ

(4) 

dr cos θ − r sin θ dθ

 (5)

y simplificando resulta: dr = −r, dθ resolviendo la ecuaci´ on anterior, mediante separaci´ on de variables: dr r ln r

(6)

= −dθ = −θ + c = ce−θ

r

(7)

donde c es una constante no negativa. Regresando la expresi´ on anterior a coordenadas cartesianas: x2 + y 2 cuya gr´ afica se observa en la figura 2.


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y

= ce− arctan( x )

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Figura 1: Coordenadas polares y rect´angulares.

Para el caso de un sistema de EDO se sigue un procedimiento similar. Suponemos que (x (t) , y (t)) resuelven el sistema aut´ onomo x0

=

f (x, y)

0

=

g (x, y) .

y

(8)

Entonces el punto (x (t) , y (t)) en la ´ orbita de la ecuaci´on anterior puede ser representado en coordenadas polares (r (t) , θ (t)), donde x (t) = r (t) cos θ (t) y y (t) = r (t) sin θ (t). Derivando las relaciones anteriores con respecto a t, utilizando la regla de la cadena y resolviendo para r0 y θ0 se tiene el sistema equivalente r0 θ0

=

cos θf (r cos θ, r sin θ) + cos θg (r cos θ, r sin θ) 1 = [− sin θf (r cos θ, r sin θ) + cos θg (r cos θ, r sin θ)] . r

(9)

Trayectorias ortogonales Los sistemas coordenados en dos dimensiones m´as utilizados son los sistemas coordenados ortogonales. Los sistemas m´ as conocidos son el sistema de coordenadas Cartesiano (rectangular) y el sistema de coordenadas polares. Ambos tienen la propiedad de que al establecer una variable igual a una constante, produce una familia de curvas (en ocasiones, rectas) que resultan perpendicular a la familia obtenida al definir la otra variable igual a una constante. En el sistema de coordenadas rectangular las rectas perpendiculares son ejemplos de trayectorias ortogonales (e.g. : y = 3 y x = 2). Esta situaci´ on tambi´en puede ocurrir para rectas no horizontales ni verticales o para familias de curvas. Las trayectorias ortogonales se explican a partir de las siguientes definiciones: Definici´ on 2 Se dice que una familia de curvas est´ a parametrizada por λ si la familia est´ a dada por una relaci´ on f (x, y, λ) = 0, donde λ es un par´ ametro que puede tomar distintos valores. Definici´ on 3 Supongamos una familia de curvas dada por f (x, y, λ) = 0. Las trayectorias ortogonales a f son una familia de curvas, g (x, y, γ), que intersectan a f en ´ angulos rectos en todos sus puntos. Al hacer uso de la definici´ on 2, es necesario recordar que si dos curvas se intersectan en ´angulos rectos, es decir, son ortogonales, sus tangentes en el punto de intersecci´on son perpendiculares.

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Figura 2: Curvas soluci´on del ejemplo 1.

Ejemplo 4 El sistema de coordenadas polares. Se considera primero la familia de rectas que cruzan el origen parametrizadas por su pendiente, λ, y = λx. (10) Aqu´ı λ es un par´ ametro que da la pendiente de una recta particular. Se sabe que esta familia de rectas y la familia de c´ırculos, centrada en (0, 0), forman el sistema de coordenadas polares y que estas dos familias son ortogonales. Dicha afirmaci´ on se puede comprobar de la siguiente forma, en primer termino se resuelve 10 para λ, resultando y λ= (11) x para x 6= 0. Derivando 11 con respecto a x, se tiene (regla de la cadena)   1 dy 0= 2 x −y x dx o y (12) y0 = . x La expresi´ on 12 es la ecuaci´ on diferencial para la familia de curvas 10, adem´ as cabe mencionar que es independiente del par´ ametro λ y que para cada punto (x, y), la pendiente de la recta tangente de cualquier miembro de la familia de curvas es y/x. Ahora, dos rectas son ortogonales si el producto de sus pendientes, m1 y m2 es igual a −1, i.e. : m1 m2 = −1. De este modo, se sabe que si la pendiente de la recta tangente a una curva es m1 , entonces la pendiente de la recta tangente a la curva ortogonal a ella ser´ a m2 = −1/m1 . Como consecuencia la pendiente de las rectas tangentes a las curvas ortogonales de 10 ser´ a x y0 = − (13) y para y 6= 0. La expresi´ on 13 es la ecuaci´ on diferencial para la familia de curvas ortogonal a 10. La ecuaci´ on 13 es una ecuaci´ on diferencial de primer orden con variable independiente x y variable dependiente y. Separando las variables e integrando Z Z ydy = − xdx y2 x2 = − + γ, (14) 2 2 donde γ es una constante arbitraria. Finalmente se puede concluir que la ecuaci´ on 14 es la familia de curvas ortogonal a la familia de rectas denotada por 10. Esto se ilustra en la figura 3.

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Figura 3: Trayectorias ortogonales y = λx y x2 + y 2 = 2γ.

Fluidos (Actividades) Las l´ıneas de flujo para un fluido no comprimible e irrotacional en la regi´on delimitada por dos rectas perpendiculares, suponga el eje x positivo y el eje y positivo, est´an dadas por la familia de hip´erbolas xy = b. (15) La situaci´ on anterior representa el flujo dentro de una esquina recta. Las trayectorias ortogonales a las l´ıneas de flujo son las l´ıneas de potencial de velocidad constante. 1. Demuestre que las l´ıneas de velocidad constante tambi´en son hip´erbolas. El flujo dentro de una cu˜ na bidimensional de ´angulo α : 0◦ ≤ α ≤ 90◦ , tiene l´ıneas de flujo en coordenadas polares, dadas por   π θπ α r sin = λ, (16) d donde d es una constante de escala y λ es un par´ametro. 2. Obtenga el potencial de velocidades asociado para esta situaci´on. Grafique. 3. Ahora haga que α =

π 2

y compare con los resultados del ejercicio 1.

Problema 2 Un oscilador no lineal Un circuito RLC en serie, es aquel que contiene una fuente de voltaje que produce E (t) Volts, una resistencia de R Ohms, un inductor de L Henrys y un capacitor de C Farads. Dicho circuito se muestra en la figura 4. Para prop´ osito de este problema, se asume que la fuente de voltaje es una bater´ıa, i.e., E (t) es constante. Cabe mencionar que el circuito tiene un interruptor (qu´e no se muestra en la figura 4) que determina cuando las mediciones comienzan. Cuando el interruptor es cerrado, la corriente I (t), medida en Amperes, comienza a fluir. Dicha corriente, tambi´en es la tasa de cambio de la carga el´ectrica, Q (t), medida en Coulombs, en el capacitor. De acuerdo a la ley de Kirchhoff de voltaje, la corriente del circuito est´ a modelada por la ecuaci´on L

1 dI + RI + Q = E. dt c

(17)

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Figura 4: Circuito RLC.

Si se deriva la ecuaci´ on 17, se tienen una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden y de coeficientes constantes para la corriente el´ectrica: L

dI 1 d2 I +R + I = 0. 2 dt dt C

(18)

La ecuaci´ on 18 es una ecuaci´ on diferencial homog´enea que representa a un oscilador arm´onico amortiguado. Considerando que Q (t) V = V (t) = (19) C representa la ca´ıda de voltaje del capacitor, la ecuaci´on 17 se puede representar como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:  dI   R    E  I − L − L1 dt L . (20) = + 1 dV V 0 0 C dt Ahora se considera un circuito diferente, utilizado en los receptores de radio en la de d´ecada de 1920 y analizado por Balthazar van der Pol. Este circuito es una malla RLC, pero con reemplazando el resistor pasivo, R, por un elemento activo. Dicho elemento activo, es un semiconductor, en espec´ıfico un diodo de t´ unel o un diodo Gunn. El circuito en cuesti´on se muestra en la figura 5. A diferencia de una resistencia pasiva, que disipa energ´ıa, un semiconductor opera como si estuviese inyectando energ´ıa al circuito a bajas corrientes, pero absorbiendo energ´ıa a altas corrientes. El intercambio entra la absorci´ on e inyecci´ on de energ´ıa resulta en una oscilaci´on peri´odica de voltajes y corrientes. Si suponemos que una fuente de voltaje se conecta al circuito como se muestra en la figura 5, y el circuito es energizado, entonces al tiempo t = 0, la fuente externa est´a apagada, es decir, E (t) = 0. La ca´ıda de voltaje en el semiconductor, en lugar de ser una funci´on lineal de I (t), es la funci´on no lineal
I I2 − a , (21) donde a es un par´ ametro positivo. Note que la funci´on es negativa para valores peque˜ nos (pero positivos) de I y positivo para valores grandes. Adem´as, dado que la corriente puede fluir en ambas direcciones del circuito, todos los cambios de signo de la expresi´on c´ ubica 20. Por conveniencia, se asumir´ a que las unidades son tales que L y C son igual a 1. En particular, esto significa que la ca´ıda de voltaje del capacitor es V = Q y la corriente es I = dv/dt. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores la ecuaci´on 17 presenta la siguiente forma:
dI + I I 2 − a + V = 0. dt

(22)

La expresi´ on 22 es un ecuaci´ on diferencial no lineal y es conocida como la ecuaci´on de van der Pol.

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Figura 5: Circuito RLC modificado con una resistencia activa (semiconductor).

1. Escriba la ecuaci´ on 22 y la relaci´on entre I y V , como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineal para variables dependientes V e I, y variable independiente t. Este sistema es conocido como el sistema de van der Pol. Nota: Ver sistema 20. 2. Encuentre el u ´nico punto de equilibrio del sistema. Ahora, dicho punto, ¿es estable o inestable? 3. Dependiendo del valor de a, ¿cu´ales son los posibles comportamientos del espacio fase cerca de la soluci´ on de equilibrio? 4. Considere a = 0,5. Grafique suficientes ´orbitas para obtener un espacio fase completo. 5. Describa el comportamiento a largo plazo del sistema para a = 0,5. Nota: Se debe observar algo que no es posible en un sistema lineal. Este fen´omeno es conocido como ciclo l´ımite (limit cycle). 6. Grafique las curvas soluci´ on, I (t) y V (t), con respecto al tiempo. 7. Repita los pasos 4, 5 y 6 para a = 1,0, 1,5, 2,0, 2,5. Describa que cambia en la soluci´on conforme a incrementa. 8. ¿Qu´e se puede concluir acerca del punto de equilibrio del sistema de van der Pol? 9. ¿Qu´e se puede concluir acerca de las soluciones con valores iniciales grandes tanto para la corriente como para el voltaje? 10. ¿Qu´e sucede con las soluciones que se encuentran en equilibrio? 11. ¿C´ omo cambia el ciclo l´ımite conforme cambia el par´ametro a? 12. Para valores grandes de a, el ciclo l´ımite tiene una forma distintiva. Describa las consecuencias de dicha forma en t´erminos de la corriente y el voltaje del circuito.