PROYECTO FIN DE CARRERA Optimizaci´ on topol´ ogica de dispositivos mezcladores Laura Eguren Michelena Julio de 2012

Departamento proponente: Matem´atica Aplicada Tutor: Pedro M. Gonz´alez Manch´on

Autor:

Laura Eguren Michelena

Vo Bo del tutor:

Pedro M. Gonz´alez Manch´on

´Indice Introducci´ on

I

1. Dispositivos de mezclado basados en trenzas 1.1. ¿Qu´e es la topolog´ıa? . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Trenzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Relaci´on entre nudo y trenza . . . . . . . . . . . . 1.5. Trenza como instrucci´on para mezclar . . . . . . . 1.6. Entrop´ıa topol´ogica como medida de la calidad de 1.7. Dispositivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Trenzas 2.1. Representaci´on geom´etrica de una trenza . . . . 2.2. Representaci´on algebraica de una trenza . . . . 2.3. El grupo de trenzas de Artin de n cuerdas . . . 2.4. Trenzas como automorfismos del disco punteado 2.5. Clasificaci´on de los automorfismos . . . . . . . . 2.6. Trenza y movimiento de las varillas . . . . . . . 2.7. Algunas consideraciones f´ısicas . . . . . . . . . . 3. Entrop´ıa topol´ ogica y calidad de la mezcla 3.1. Pliegues secundarios . . . . . . . . . . . . . . 3.2. C´alculo de la entrop´ıa topol´ogica . . . . . . . 3.3. Representaci´on de Burau del grupo de trenzas 3.4. Particularizaci´on de Finn-Thiffeault . . . . . . 3.5. Obtenci´on de la entrop´ıa topol´ogica . . . . . . 3.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la mezcla . . . . . .

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16 16 17 17 18 19 20 23 26

4. Funciones de coste TEPG y TEPO 27 4.1. Diferencia entre TEPG y TEPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2. Entrop´ıa topol´ogica por generador (TEPG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3. Entrop´ıa topol´ogica por operaci´on (TEPO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5. Mezcladores plateados

30

6. Programaci´ on 33 6.1. Comprobaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7. Conclusi´ on

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A. C´ odigo de la aplicaci´ on desarrollada

49

Referencias

110

Introducci´ on ¿Qu´e significa mezclar? Si pensamos en nuestro yogur de las ma˜ nanas y el az´ ucar moreno removi´endose en su interior, resulta sencillo imaginarlo. Es una idea muy intuitiva; sin embargo, ¿c´omo podr´ıamos definir el concepto de mezclar? En el caso del yogur y el az´ ucar, podr´ıamos describirlo como la acci´on de remover los diferentes granos de az´ ucar, dispers´andolos lo m´aximo posible entre ellos, de forma que todas las partes del yogur se rodeasen de az´ ucar y as´ı estuviesen endulzados. De este modo, si la acci´on se realizara torpemente y la mezcla no llegara a producirse de forma correcta, parte del yogur nos sabr´ıa amargo, es decir, no tendr´ıa az´ ucar. Esta misma idea podr´ıamos trasladarla a un mezclador industrial. Por otro lado, es importante diferenciar entre lo que podr´ıa ser una mezcla de dos o m´as sustancias, de modo homog´eneo, o lo que puede ser tratar de homogeneizar una determinada propiedad, por ejemplo la temperatura, en un determinado fluido. Existen otros muchos matices y precisiones importantes sobre la noci´on de mezclar; algunos los veremos en este proyecto, especialmente los relacionados con su aspecto topol´ogico. En cualquier caso, no pretendemos haber dado una definici´on precisa del concepto de mezclar. Hemos explicado, al menos de modo intuitivo, lo que significa mezclar. Ahora bien, ¿c´omo realizamos una mezcla? Propongamos diferentes formas para mezclar el yogur y el az´ ucar del ejemplo anterior. Una primera apuesta ser´ıa por agitaci´on, es decir, una vez que el yogur y el az´ ucar est´an en un envase cerrado, podemos agitarlo con la mano. Una segunda posibilidad consistir´ıa en aplicar una intensa vibraci´on al envase ya cerrado con yogur y az´ ucar. La diferencia con el m´etodo anterior es que el movimiento ser´ıa significativamente m´as r´apido y el desplazamiento menor. En cualquier caso, estas opciones, usadas por ejemplo al mezclar pinturas y colorantes, no parecen muy efectivas en el caso del yogur y el az´ ucar. Una tercera posibilidad, que es la que realizamos en la pr´actica, consiste en emplear una cuchara con la que arrastrar los granos de az´ ucar e intentar dispersarlos lo m´aximo posible con el yogur. En este proyecto trataremos los mezcladores de varillas, cuyo funcionamiento se asemeja m´as al de la cucharilla. Un mezclador de varillas es b´asicamente una colecci´on de varillas, situadas en posici´on vertical, que se mueven siguiendo una trayectoria esencialmente circular, entrelaz´andose entre si. Este entrelazamiento sugiere una noci´on abstracta de un concepto matem´atico de car´acter topol´ogico; nos referimos a la noci´on de trenza. Tradicionalmente i

el problema de mezclar ha sido abordado desde distintas perspectivas matem´aticas, esencialmente basadas en el estudio de los sistemas din´amicos y las ecuaciones en derivadas parciales. En cambio, en este proyecto estudiaremos el concepto matem´atico de trenza como forma de modelizar el protocolo con el que se mueve un mezclador de varillas. Un dispositivo tal no entiende de intuiciones ni de ideas abstractas, como las que, de modo inconsciente, nuestro cerebro procesa para mezclar el az´ ucar en el yogur, sino que requiere instrucciones precisas sobre c´omo mover cada una de sus varillas. Estas instrucciones las aporta la descripci´on algebraica de una trenza. En resumen, el concepto matem´atico de trenza ser´a la expresi´on del protocolo que siguen las varillas del mezclador en su movimiento. Esta es una idea que aparece ya en los art´ıculos [6], [12], y otros muchos. As´ı que, en cierto modo, nos es forzoso dejar a veces el plano intuitivo y saltar al matem´atico. Esto ser´a especialmente importante cuando queramos evaluar de modo objetivo la calidad de una mezcla, como veremos a continuaci´on. Pero, ¿qu´e es una trenza? Intuitivamente hablando, una trenza es un objeto constituido por una serie de cuerdas que caen verticalmente y se entrelazan entre si, sin realizar nunca bucles sobre si mismas. En la Figura 1 podemos ver una trenza de cinco cuerdas.

Figura 1: Trenza de cinco cuerdas Pero, ¿de qu´e manera una trenza recoge el protocolo del movimiento de las varillas? Sin entrar por el momento en mucho detalle, la Figura 2 deja entrever c´omo una trenza de cuatro cuerdas es usada para mezclar una l´ınea de material (digamos caramelo l´ıquido, representado por el hilo rosa), en una masa de yogur espeso azul. Cada disco horizontal recoge realmente la fotograf´ıa de la mezcla en un determinado instante, y la posici´on de las cuatro varillas (verde, azul, roja y amarilla). El instante cero, el momento en el ii

que comienza la mezcla, se refleja en el disco inferior. En el disco final, el situado m´as arriba, aparece el resultado final, con la l´ınea de caramelo bastante extendida. En planos intermedios, la mezcla est´a en una fase intermedia.

Figura 2: Una trenza con cuatro cuerdas. A la derecha, el protocolo de mezclado que dicha trenza define, aplicado a una l´ınea de material rosa Ahora bien, ¿c´omo podemos evaluar si una mezcla realizada es buena o no? Es decir, ¿c´omo evaluamos la calidad de una mezcla? M´as arriba dec´ıamos que mezclar dos sustancias significa desordenarlas, de forma que cada part´ıcula quede rodeada lo m´aximo posible de part´ıculas de la otra sustancia. Matem´aticamente, existe una noci´on precisa que puede medir, desde un punto de vista topol´ogico, la calidad de la mezcla. Esta magnitud es la llamada entrop´ıa topol´ ogica. La palabra entrop´ıa se asocia, en general, al desorden. Por ejemplo, en una reacci´on qu´ımica, si el incremento de entrop´ıa es positivo, entonces los productos presentan un mayor desorden molecular que los reactivos. No obstante, debemos precisar que el concepto de entrop´ıa topol´ogica es bastante posterior al de la entrop´ıa en iii

f´ısica, y se debe a Adler, Konheim y McAndrew [2], tres matem´aticos que por entonces (1965) trabajaban en IBM. La entrop´ıa topol´ogica es una medida de un desorden de tipo topol´ogico, relacionado con el desorden espacial; por consiguiente, parece una medida adecuada y objetiva (aunque no necesariamente definitiva) de la calidad de una mezcla, de modo que ser´a esta la medida que utilizaremos para evaluar dicha calidad. Cuanto mayor sea la entrop´ıa topol´ogica que genere un movimiento concreto de varillas, mejor ser´a la calidad de la mezcla. As´ı pues, deseamos aplicar a las varillas de un dispositivo mezclador el protocolo de movimiento m´as adecuado, de manera que la mezcla obtenida sea la mejor posible. Esto conlleva la elecci´on de una trenza adecuada, que aportase adem´as una alta entrop´ıa topol´ogica. Otros factores de tipo pr´actico a tener en cuenta son el factor tiempo, as´ı como llevar a cabo la mezcla satisfactoriamente con el menor n´ umero posible de movimientos de las varillas, lo que repercutir´ıa en una mejor conservaci´on del dispositivo. Por tanto, una vez tengamos dos trenzas distintas, tendremos dos aspectos desde los cuales compararlas. Uno de ellos ser´a la entrop´ıa topol´ogica asociada a cada una, que nos revelar´a la calidad de la mezcla; el otro aspecto ser´a el coste, es decir, la raz´on entre la entrop´ıa topol´ogica y los giros que configuran el protocolo de movimiento. Siguiendo el art´ıculo [6], revisaremos dos opciones para expresar dicho coste, basadas en dos diferentes funciones de coste. La primera funci´on de coste, TEPG (abreviatura en ingl´es de “Topological Entropy per Generator”), entrop´ıa topol´ogica por generador, devuelve la raz´on de la entrop´ıa topol´ogica asociada a la trenza por n´ umero de generadores que conforman la misma. En cambio, la segunda funci´on de coste, TEPO (abreviatura en ingl´es de “Topological Entropy per Operation”), entrop´ıa topol´ogica por operaci´on, devuelve el cociente entre la entrop´ıa topol´ogica de la trenza por operaci´on, entendiendo por operaci´on cada secuencia de generadores de la trenza que, al no involucrar a las mismas varillas, pueden realizarse simult´aneamente. El objetivo de este proyecto ha sido doble. Por un lado, se ha pretendido estudiar a fondo el art´ıculo [6], y explicarlo con cierta profundidad y la mayor claridad posible, tratando de interpretar en clave pr´actica algunos aspectos matem´aticos profundos y nada triviales. En este sentido, introduciremos la noci´on formal de trenza, y tres formas de presentarlas: algebraica (v´ıa sus generadores), geom´etrica (la m´as visual, como conjunto de “pelos”que caen verticalmente y se trenzan entre si), y como automorfismos. Esta iv

u ´ltima presentaci´on de las trenzas permite visualizar mejor el protocolo de mezclado mediante varillas, y trataremos de explicarlo cuidadosamente. Hemos realizado tambi´en algunos c´alculos muy sencillos de la entrop´ıa topol´ogica de alguna de estas trenzas que, recu´erdese, determina una medida de la calidad de la mezcla correspondiente. La entrop´ıa topol´ogica representa b´asicamente la tasa de crecimiento de una hipot´etica l´ınea de material mezclada alrededor de las varillas. Para ello explicamos c´omo una trenza se representa mediante una matriz (la representaci´on de Burau) y, en el caso de las trenzas de tres cuerdas, calculamos la entrop´ıa tomando el logaritmo neperiano del radio espectral de dicha matriz. Por u ´ltimo, y todav´ıa dentro de este primer objetivo, estudiamos las dos funciones de coste ya mencionadas, la entrop´ıa topol´ogica por generador (TEPG) y la entrop´ıa topol´ogica por operaci´on (TEPO). En el estudio de estas dos funciones se observa que, para un n´ umero alto de varillas, la TEPG converge al logaritmo neperiano de la proporci´on ´aurea, mientras que la TEPO converge al logaritmo neperiano de la proporci´on plateada. Un segundo objetivo logrado ha sido la programaci´on de una aplicaci´on que permite simular un mezclador con tres varillas. Para ello hemos debido entender previamente que una trenza es en s´ı un automorfismo de un disco punteado dado por la composici´on de giros de torsi´on. Dicho programa se ha desarrollado en lenguaje C++, siguiendo las pautas de la programaci´on orientada a objetos. Uno de los objetivos en la elaboraci´on del mismo ha sido lograr un c´odigo f´acilmente ampliable y reutilizable. Una herramienta fundamental utilizada en su desarrollo ha sido la librer´ıa glut. Esta librer´ıa consiste en una API (abreviatura en ingl´es de “Application Programming Interface”), una interfaz de programaci´on de aplicaciones, para escribir programas opengl. M´as concretamente, se trata de un conjunto de herramientas para el desarrollo de un sistema independiente de ventanas. La glut tambi´en nos permite la interacci´on v´ıa teclado y rat´on, que en nuestra aplicaci´on utilizamos brevemente. El mezclador simulado consiste en un contenedor con forma de ocho, tres varillas de diferentes colores y dos fluidos tambi´en de colores diferentes. El contenedor est´a formado por dos contenedores cil´ındricos del mismo tama˜ no y solapados, generando una forma final similar a un ocho en posici´on horizontal. En su interior encontramos un fluido de v

color naranja. El usuario escoge un segundo fluido de color rojo, la l´ınea de material que desea mezclar: podr´a escoger entre darle la forma de un punto o de un segmento de recta, as´ı como posicionar dicha l´ınea de material en el lugar del contenedor que desee. Con objeto de facilitar la expresi´on del posicionamiento del fluido se ha empleado un sistema de coordenadas polares. Se ha implementado de esta forma ya que entendemos que para el usuario siempre ser´a m´as sencillo intuir las coordenadas polares del punto donde centra su atenci´on que las coordenadas cartesianas. M´as importante a´ un, el usuario introduce el protocolo de movimiento de las varillas, expresado mediante los generadores de la trenza correspondiente: en definitiva, una sucesi´on de 1, −1, 2 y −2. Una vez que el usuario haya escogido la trenza que quiere aplicar, y la l´ınea de material que desea mezclar, la aplicaci´on mover´a las varillas en funci´on de estas instrucciones; el ritmo al que se desplazan estas varillas es tambi´en una elecci´on que puede llevar a cabo el usuario. Al disponer de esta aplicaci´on, hemos podido comprobar experimentalmente c´omo trenzas de tres cuerdas con alta entrop´ıa topol´ogica, calculada ´esta matem´aticamente, lograban una mezcla (de una l´ınea de material dada) claramente mejor que otras trenzas con menor entrop´ıa topol´ogica. En un plano m´as puramente matem´atico, el uso de esta aplicaci´on nos ha permitido visualizar ´agilmente el efecto de un automorfismo del disco punteado, un automorfismo que es isot´opico a la identidad si prescindimos de los puntos que se corresponden con las varillas. Desde un punto de vista pedag´ogico, es una buena herramienta para dicha visualizaci´on.

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Optimizaci´ on topol´ ogica de dispositivos mezcladores

1.

Dispositivos de mezclado basados en trenzas

En esta secci´on trataremos de explicar algunos conceptos matem´aticos de bastante complejidad. Sin embargo, no pretendemos que el lector adquiera un conocimiento profundo de los mismos sino que finalice la secci´on con una noci´on intuitiva de ellos. Para m´as informaci´on sobre la Teor´ıa de Nudos pueden verse los libros [1], [4], [9] y [8].

1.1.

¿Qu´ e es la topolog´ıa?

La topolog´ıa es la rama de las matem´aticas que estudia aquellas propiedades que se mantienen inalteradas al deformar un cuerpo geom´etrico sin llegar a romperlo. Dos objetos son topol´ogicamente equivalentes cuando tienen el mismo n´ umero de huecos, trozos, intersecciones, etc. Siempre y cuando no rompamos ni separemos aquello que estaba unido podemos doblar, estirar, encoger, retorcer, etc. Por ejemplo, un tri´angulo es topol´ogicamente igual a una circunferencia, ya que podemos convertir uno en otro a trav´es de una transformaci´on continua, sin romper ni pegar. Sin embargo, una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habr´ıa que partirla por alg´ un punto (o pegar el segmento por sus extremos). Otro ejemplo de dos objetos topol´ogicamente equivalentes es el donut y la taza. Si nos fijamos en la Figura 3 podemos ver gr´aficamente como mediante sucesivas transformaciones continuas convertimos el donut en la taza.

Figura 3: El donut y la taza son topol´ogicamente equivalentes

Una parte importante de la topolog´ıa se ha dedicado a investigar la teor´ıa de nudos, desde finales del siglo XIX. Este estudio, iniciado de modo sistem´atico a comienzos del siglo XX, ha tratado de clasificar los nudos. Desde un punto de vista matem´atico, dicha teor´ıa, que en un principio puede parecer un problema simple, tiene implicaciones y estrechas relaciones con la f´ısica te´orica, los sistemas din´amicos, la topolog´ıa algebraica, la combinatoria, los grupos cu´anticos, y un largo etc´etera, que incluye algunas aplicaciones en bioqu´ımica, criptograf´ıa, rob´otica, mec´anica de fluidos y otro largo etc´etera.

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1.2.

Proyecto Fin de Carrera

Nudos

Pero, ¿qu´e es un nudo? La primera imagen que nos viene a la cabeza es bastante adecuada. Si imaginamos un cord´on de los zapatos, tambi´en podemos imaginar m´ ultiples formas de “anudarlo”. Si tras anudarlo pegamos los extremos entre si, dicho anudamiento no podr´a deshacerse y podremos considerarlo un nudo. Matem´aticamente, un nudo es cualquier subconjunto del espacio homeomorfo a una circunferencia. La Figura 4, izquierda, presenta un ejemplo de nudo.

Figura 4: Un nudo espacial y un diagrama plano del mismo

1.3.

Trenzas

En nuestro proyecto desarrollaremos una aplicaci´on de un concepto que est´a estrechamente ligado al concepto de nudo. Se trata del concepto de trenza. En la Figura 5 puede verse una trenza con cuatro cuerdas, una representaci´on mediante un diagrama en dos dimensiones y, por u ´ltimo, lo que se llama la clausura de la trenza. Cualquier nudo, y de hecho, cualquier enlace (colecci´on finita de nudos disjuntos) es el resultado de clausurar una trenza, como puede apreciarse en la Figura 6. La clausura de esta trenza crea un enlace de dos componentes, coloreados ambos en diferentes tonos.

1.4.

Relaci´ on entre nudo y trenza

Antes de pasar a las aplicaciones propiamente dichas, parece necesario concretar la ´ıntima relaci´on existente entre nudos y trenzas: por un lado, cualquier nudo o enlace es la

Optimizaci´ on topol´ ogica de dispositivos mezcladores

Figura 5: Una trenza con cuatro cuerdas y su diagrama

Figura 6: Clausura de la trenza de la Figura 5. El enlace generado tiene dos componentes

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Proyecto Fin de Carrera

clausura de una trenza (teorema de Alexander); por otro lado, de modo an´alogo a lo que ocurre con los movimientos de Reidemeister (dos diagramas representan al mismo enlace si y s´olo si difieren en una secuencia finita de movimientos de Reidemeister), existen unos movimientos an´alogos para trenzas, descubiertos por Markov: se verifica que las clausuras de dos trenzas son el mismo nudo, si y s´olo si ambas trenzas difieren en una secuencia de estos movimientos (teorema de Markov). Uno de estos movimientos es la conjugaci´ on en el grupo de las trenzas. Este concepto ha tenido en los u ´ltimos a˜ nos gran relevancia en el campo de la criptograf´ıa (v´ease [10] y las referencias all´ı citadas). Otras aplicaciones de las trenzas y la teor´ıa de nudos en general tienen que ver con la bioqu´ımica, y m´as particularmente con la qu´ımica del ADN (v´ease [7] o el proyecto fin de carrera [11]). En cambio, en este trabajo nos centraremos en una aplicaci´on concreta de la teor´ıa de trenzas en el campo de la ingenier´ıa. Esta aplicaci´on es realmente reciente, est´a poco desarrollada y sobre ella a´ un existe una literatura bastante limitada y toda ella en ingl´es. Dicha aplicaci´on est´a relacionada con la mec´ anica de fluidos. En este campo, un problema interesante que surge en muchos procesos industriales es el proceso de mezclar fluidos. En general, al mezclar distintos fluidos, lo que se pretende es distribuirlos de modo homog´eneo. Pero tambi´en pude ser deseable homogeneizar una determinada propiedad de un u ´nico fluido, como pudiera ser por ejemplo la temperatura. Este problema ha sido abordado desde distintas perspectivas matem´aticas, esencialmente basadas en el estudio de los sistemas din´amicos y las ecuaciones en derivadas parciales.

1.5.

Trenza como instrucci´ on para mezclar

En este proyecto, como soluci´on al problema de la mezcla de fluidos, se estudia el uso de la teor´ıa de trenzas. Se trata de conseguir que los fluidos, durante el proceso de mezclado, sigan el desarrollo de una trenza a lo largo del recipiente en el que se est´a mezclando. La Figura 7 permite hacerse una idea de c´omo una trenza puede ser u ´til al mezclar los fluidos.

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t=2

t=1

t=0

Figura 7: El hilo de l´ıquido rosa se mezcla con el resto de l´ıquido azul, siguiendo la trenza

1.6.

Entrop´ıa topol´ ogica como medida de la calidad de la mezcla

La eficiencia del proceso puede ser medida mediante el concepto de entrop´ıa topol´ ogica. Las trenzas pueden clasificarse en tres grandes grupos: trenzas reducibles, trenzas peri´odicas y trenzas pseudo-Anosov. De estas tres familias de trenzas, s´olo las trenzas Pseudo-Anosov proporcionan valores satisfactorios para la entrop´ıa topol´ogica (v´ease [12]).

1.7.

Dispositivos

Una trenza define pues el protocolo para un mezclador de varillas. Ahora bien, dada una trenza arbitraria, ¿es posible construir en la pr´actica un dispositivo que pueda mover sus varillas siguiendo el protocolo que marca dicha trenza? En la pr´actica ya se han construido algunos mecanismos capaces de describir el protocolo dado por algunas trenzas concretas, lo cual supone una de las vertientes en la investigaci´on de este campo. En este proyecto hablaremos de varios dispositivos concretos, construidos con piezas de Technic LegoTM ., que aparecen en el art´ıculo [12]. Tal y como dec´ıamos en la introducci´on, una posible definici´on de la acci´on de mezclar es lograr el mayor desorden espacial entre varias sustancias, de modo que las part´ıculas de una sustancia queden suficientemente rodeadas de part´ıculas de la sustancia contraria. Tambi´en, en el caso de que se trate de la mezcla de una u ´nica sustancia, podremos definir el acto de mezclar como el acto de desordenar espacialmente determinada propiedad que quisi´esemos homogeneizar.

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Proyecto Fin de Carrera

En este proyecto estudiamos las mezclas que se realizan con un dispositivo de varillas, que se mueven siguiendo un protocolo de mezclado dictado por una trenza. En la introducci´on explic´abamos someramente que una trenza es un conjunto de cuerdas que caen verticalmente, cruz´andose unas con otras, sin volverse hacia atr´as, y mostr´abamos la representaci´on de una trenza de cinco cuerdas. A lo largo del proyecto emplearemos tres representaciones diferentes de una trenza: la representaci´on geom´etrica (la m´as intuitiva), la representaci´on algebraica (v´ıas sus generadores) y la trenza como automorfismo.

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2.

Trenzas

2.1.

Representaci´ on geom´ etrica de una trenza

Una trenza geom´etrica de n cuerdas es una colecci´on de n arcos disjuntos, con origen en los puntos (0, i, 1), i = 1, . . . , n y terminaci´on en los puntos (0, j, 0), j = 1, . . . , n, descendiendo sin retorno (descenso mon´otono). Gr´aficamente, cada plano horizontal z = α corta a cada arco en exactamente un punto. Podemos dibujar mediante un diagrama plano dicha trenza. En la Figura 8 presentamos las dos u ´nicas trenzas posibles con dos cuerdas y un u ´nico cruce.

σ1

σ1−1

Figura 8: Representaci´on geom´etrica y algebraica de dos trenzas con dos cuerdas

A trav´es de la representaci´on geom´etrica podemos apreciar c´omo las cuerdas intercambian su posici´on, cu´al pasa por delante y cu´al por detr´as. Numeramos adem´as las cuerdas, empezando por la de la izquierda. Despu´es de observar este tipo de gr´afica es f´acil entender porque una figura puramente matem´atica tiene un nombre tan cotidiano como “trenza”, y es que, el resultado se asemeja mucho a las trenzas del pelo que se realizan en los peinados. Si dos cuerdas de una trenza intercambian la forma en que se cruzan (la que queda delante, pasa atr´as), se conformar´a en general una trenza diferente. De hecho, esta es la u ´nica diferencia entre las dos trenzas de la Figura 8; en el primer caso la primera cuerda cruza por delante de la segunda mientras que en la segunda trenza ocurre al contrario.

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2.2.

Representaci´ on algebraica de una trenza

La representaci´on geom´etrica nos muestra de forma visual c´omo se cruzan las cuerdas de una trenza. Por otro lado, la representaci´on algebraica nos da una codificaci´on muy abreviada de la trenza. Dicha representaci´on algebraica emplear´a la letra griega sigma con un sub´ındice y, en ocasiones, super´ındices. En la Figura 9 se ve la interpretaci´on geom´etrica de estos generadores, en el caso de una trenza con cuatro cuerdas.

σ1

σ2

σ3

σ1−1

σ2−1

σ3−1

Figura 9: Generadores σ1, σ2 y σ3 para trenzas de cuatro cuerdas. Debajo sus inversos El generador σi representa el cruce de las cuerdas i e i + 1, haciendo pasar la i-´esima por encima de la i + 1. Si, por el contrario, la cuerda i pasa por debajo de la i + 1, el generador que lo representar´ıa ser´ıa σi−1 . Adem´as, cuando un generador σi se repita k veces seguidas (v´ease la Figura 10), podr´a expresarse como la potencia σik , es decir, σik = σi . k. . σi .

¿Cu´al es la relaci´on global entre la trenza geom´etrica y su representaci´on algebraica? Una vez entendido qu´e trenza geom´etrica representa a los generadores σi y sus inversos, cualquier trenza geom´etrica puede expresarse como una concatenaci´on de estos generadores y sus inversos, en lo que se llama una palabra. Por ejemplo, la trenza de la Figura 11 est´a representada por la palabra σ1σ2σ1−1 .

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Optimizaci´ on topol´ ogica de dispositivos mezcladores

i i+1

ii+1

i i+1

Figura 10: El generador σi y su inverso σi−1. A la derecha, la potencia σi3

Figura 11: Representaci´on geom´etrica de la trenza σ1 σ2σ1−1

2.3.

El grupo de trenzas de Artin de n cuerdas

Podemos observar que, desde un punto de vista geom´etrico, se tienen las igualdades que aparecen en la Figura 12. Es decir, a nivel algebraico, tenemos los siguientes dos tipos de relaciones: 1. σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 , para todo i = 1, . . . , n − 2. 2. σi σj = σj σi siempre que |i − j| ≥ 2. Como ya hemos dicho, cualquier secuencia de generadores (palabra) determina una trenza. Pero, precauci´on, dos palabras distintas, pueden representar la misma trenza. Por

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Proyecto Fin de Carrera

σ2

σ1 σ2

σ1

σ1

σ2

σ1

σ1

σ3

σ3

Figura 12: Igualdades de trenzas ejemplo, las palabras σ1−1 σ2σ1 σ2 y σ2 σ1 representan la misma trenza. En efecto, ya que por la primera relaci´on tenemos σ2 σ1 σ2 = σ1 σ2 σ1 , se verifica que σ1−1 σ2σ1 σ2 = σ1−1σ1 σ2σ1 = σ2 σ1. Si deseamos multiplicar dos trenzas definidas por dos palabras, la trenza resultante viene dada por la palabra que se obtiene al concatenar las dos palabras originales.

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Optimizaci´ on topol´ ogica de dispositivos mezcladores

El conjunto de trenzas con n cuerdas constituye el grupo Bn de Artin [3]. Recordar que un grupo es un conjunto de elementos con una ley de composici´on interna o multiplicaci´on, satisfaciendo las propiedades asociativa, existencia de elemento unidad y elemento inverso. Ahora bien, ¿cu´al es la multiplicaci´on en el conjunto de las trenzas? La operaci´on en este grupo consiste en la concatenaci´on f´ısica de las dos trenzas geom´etricas, cuando situamos la primera encima de la segunda. Para operar con las trenzas podemos igualmente emplear tambi´en su expresi´on algebraica, que las describe como un producto de generadores. Es decir, una palabra en donde las letras a usar son los s´ımbolos σi , σi−1 . En total, si hablamos de trenzas con n cuerdas, tenemos 2(n − 1) s´ımbolos. En resumen, Bn =

2.4.



σ1, . . . , σn−1



σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 para i = 1, . . . , n − 2 σiσj = σj σi si | i − j |> 1



Trenzas como automorfismos del disco punteado

Como dec´ıamos en el apartado anterior, la raz´on por la que empleamos las trenzas como forma de describir el movimiento de las varillas es que la representaci´on de este movimiento en tres dimensiones, es decir, de la trayectoria de las varillas, da como resultado el dibujo de una trenza f´ısica. Siendo las dos primeras dimensiones la posici´on de la varilla y la tercera el tiempo. Hasta ahora hemos explicado dos representaciones de la trenza. A trav´es de la representaci´on geom´etrica hemos entendido la trenza como un objeto geom´etrico espacial, mientras que, a trav´es de la representaci´on algebraica, logr´abamos una codificaci´on de la misma. Pues bien, una tercera representaci´on consistir´ıa en entender la trenza como el mapeado obtenido tras la aplicaci´on del movimiento correspondiente. Cada uno de estos mapeados ser´a un automorfismo del disco punteado. Por ejemplo, en la Figura 13 pueden apreciarse las tres representaciones de la trenza σ2. Vamos a ser m´as precisos. Para ello consideremos que las varillas est´an unidas por segmentos imaginarios que denotaremos por αi . Es decir, las varillas P1 y P2 est´an unidas por α1 , las varillas P2 y P3 por α2 y as´ı sucesivamente. Entonces, el generador σi equivaldr´ıa al automorfismo del disco punteado dado por la torsi´on del segmento αi . A esta torsi´on la denotamos por ταi . En la Figura 14 comprobamos como la trenza σ1 puede entenderse como el automorfismo τα1 del disco de radio 1 menos dos puntos P1 y P2 , correspondientes a las dos varillas.

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Proyecto Fin de Carrera

P1

P2

P3

P1

σ2

P2

P3

Figura 13: Las tres representaciones de la trenza σ2

τα1 −→

α1

Figura 14: Torsi´on del segmento imaginario α1

En concreto, τα1 es el automorfismo τα1 : D − {P1 , P2 } −→ D − {P1 , P2 } definido por la f´ormula τα1 (ρ, α) =



(ρ, α + π) (ρ, α + 2(1 − ρ)π)

si si

0 < α ≤ 21 1