Matemáticas II

Pruebas de selectividad PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 2.006 ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN

Instrucciones:

a)Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opción A

y = x ⋅ e − x en el que la 2

Ejercicio 1.[2,5 puntos] Determina un punto de la curva de ecuación pendiente de la recta tangente sea máxima.:

Resolución: La pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de la gráfica es siempre el valor de la derivada de la función en el punto considerado. Es decir la pendiente P en un punto x será:

P( x ) = y ′ = e − x + x ⋅ e − x ⋅ ( − 2 x ) = (1 − 2 x 2 ) ⋅ e − x 2

2

2

Por tanto tendremos que optimizar la función anterior. Para ello derivamos, igualamos a 0, resolvemos la ecuación resultante y comprobamos con la 2ª derivada en que puntos la pendiente es máxima.

P ′ ( x ) = − 4 x ⋅ e − x + (1 − 2 x 2 ) ⋅ e − x ⋅ ( − 2 x ) = ( − 6 x + 4 x 3 ) ⋅ e − x = 0 2

2

2

Como la función exponencial no puede ser 0 la única opción es que lo sea el binomio, por tanto:

x=0  ± 6 − 6 x + 4 x = 0 ⇒ x ⋅ (4 x − 6) = 0 ⇒  2 6 x = ⇒ x =  4 2 3

2

Comprobamos a continuación con la segunda derivada los posibles puntos críticos:

P ′′ ( x ) = ( − 6 + 12 x 2 ) ⋅ e − x + ( − 6 x + 4 x 3 ) ⋅ e − x ⋅ ( − 2 x ) = ( − 6 + 24 x 2 − 8 x 4 ) ⋅ e − x 2

2

P ′′ ( 0) = − 6 < 0  6 12 −   ± 6 6 36   ⋅e 4 = >0  P ′′  3  =  − 6 + 24 − 8  e   2   4 16   Por tanto la pendiente será máxima cuando x=0 y será mínima en

Andrés Plaza Plaza

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x=

±

6 2

2

Matemáticas II Ejercicio 2. Sea

Pruebas de selectividad

I=

∫

2

0

x3

dx

1+ x2

(a) [1'25 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable (b) [1'25 puntos] Calcula el valor de I

t = 1 + x2

Resolución: (a) Despejando x en el cambio obtendremos que:

x=

t − 1 ⇒ dx =

dt 2 t−1

Por otro lado cuando x=0 t valdrá 1 y cuando x=2 t valdrá 5 Y sustituyendo I quedará expresada como sigue:

I=

∫

5

( t − 1) 3

1

t

∫

5 1

⋅

dt = 2 t−1

∫

5

1

t−1 dt t

(b)

I=

5

1

t

2

−t

− 12

 2 23 1  10 2 4 4 4 dt =  t − 2t 2  = 5− 2 5− + 2= 5 + = 1+ 5 3 3 3 3 3 3 1

Ejercicio 3. Considera

a 1  A=    0 − a

(

)

, siendo a un número real.

(a) [1 punto] Calcula el valor de a para que

 12 − 1 A2 − A =    0 20 

(b) [1 punto] Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y At, siendo At la traspuesta de A. (c) [0'5 puntos] ¿ Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta. Resolución:

1   a2 − a − 1   12 − 1 a 1  a− 1  = A − A = A( A − I ) =   ⋅  =  − a − 1  0  0 − a  0 a 2 + a   0 20  2

 2 4 1 ± 49 =  a − a − 12 = 0 ⇒ a = −3 2  Por tanto  y como se tiene que cumplir las dos conciones 4 − 1 ± 81 2  a + a − 20 = 0 ⇒ a = =  −5 2 al mismo tiempo la única solución posible sería a=4.

Andrés Plaza Plaza

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Pruebas de selectividad

Ejercicio 4. Considera el plano π de ecuación 2 x −

y+ z+ 2= 0

y la recta r de ecuación

x− 5 z− 6 = y= m −2

(a) [1 punto] Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m (b) [0'75 puntos] Para m=-3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano (c) [0'75 puntos] Para m=-3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π .

π.

Resolución:

 x − 5 = −2y  x + 2y = 5 x− 5 z− 6 = y= ⇔  es equivalente a  m −2  my = z − 6  my − z = − 6 Para estudiar la posición relativa de r y π lo haremos discutiendo las posibles soluciones del sistema formado (a)La recta r de ecuación

por las ecuaciones del plano y de la recta.

2x + y − z = −2   x + 2y = 5 ⇒ A =  my − z = − 6 

 2 1 − 1   1 2 0   ⇒ A = −4 − m + 1 = 0 ⇒ m = −3    0 m − 1

Luego si m -3 el Rango(A)=Rango(AB)=nº de incógnitas y según el Teorema de Rouche-Fröbenius el sistema tendrá una única solución. Es decir la recta cortaría al plano en un punto que coincide con la solución del sistema . Si

m=-3

el

Rango(A)=2

ya

que

2 1 = 3 pero Rango(AB)=3 1 2

ya

que

2 −1 −2 1 0 5 = 2 + 10 − 6 = 6 y aplicando nuevamente el teorema podemos afirmar que el 0 −1 −6 sistema sería incompatible, por tanto la recta sería paralela al plano. (b) Para m=-3 la recta r y es paralela al plano π . El plano ’que es perpendicular a

 y contiene a r, contendrá al punto P de la recta y tendrá como vectores r direccionales al vector direccional de la recta ( v ) y al r vector perpendicular al plano  ( w ). Por tanto la ecuación de dicho plano será:

x−5 y z− 6 − 2 1 − 3 = 2 x − 10 − 8 y − 4 z + 24 = 0 2 1 −1 π' ≡ 2 x − 8 y − 4 z + 14 = 0 ⇔ x − 4 y − 2 z + 7 = 0 Andrés Plaza Plaza

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Pruebas de selectividad

b) Para m=-3 la recta r y es paralela al plano π . El plano ’’que es paralelo a  y contiene a r, contendrá al punto P de la recta y tendrá como vector r perpendicular el mismo que el plano  ( w ). Por tanto la ecuación de dicho plano será de la forma

π ′′ ≡ 2 x + y − z + d = 0 y como P ∈ π ⇒ 2⋅ 5+ 0 − 6 + d = 0 ⇒ d = −4 Luego

Andrés Plaza Plaza

π ′′ ≡ 2 x + y − z − 4 = 0

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Pruebas de selectividad PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD 2.006 ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN

Instrucciones:

a)Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opción B

x4 + 3 Ejercicio 1. Sea f la función definida por f ( x ) = , para x0 x (a) [0'75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y con las asíntotas de la gráfica de f. (b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f. (c) [0'75 puntos] Esboza la gráfica de f.

Resolución: (a) f(0) no existe por tanto la función no tiene punto de corte con eje de ordenada (Y). Por otro

− 3 ∉ R , por tanto la gráfica tampoco cortará al eje de abscisa (X).  x4 + 3 3 = − = −∞  xlim → 0− 0 x La recta y=0 será un asíntota vertical ya que:  4 3  lim x + = 3 = ∞  x→ 0+ x 0+ lado

x4 + 3 = 0 ⇒ x =

4

 x4 + 3 lim =∞  x→ ∞ x Por otro lado  por tanto tampoco tiene asíntotas 4 4 + + x 3 x 3  lim = −∞  x → −∞ x = lim x→ ∞ − x horizontales. De tener asíntotas oblicuas tendrían que ser de la forma: y=mx+n, donde

x4 + 3 x4 + 3 x m = lim = lim = ∞ x→ ∞ x→ ∞ x x2

x4 + 3 x4 + 3 x o m = lim = lim =∞ x → −∞ x → −∞ x x2

Por consiguiente la función no tiene asíntotas de ningún tipo y por tanto su gráfica no tiene cortes con sus asíntotas . Andrés Plaza Plaza

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Pruebas de selectividad

(b) Para hallar los extremos relativos de f hallaremos su derivada, resolveremos la ecuación que resulte al igualarla a 0 y comprobaremos con la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos relativos.

4 x 3 ⋅ x − ( x 4 + 3) 3x 4 − 3 f ′ ( x) = = = 0 ⇒ x = ±1 x2 x2 12 x 3 ⋅ x 2 − (3x 4 − 3) ⋅ 2 x 6 x 4 + 6 f ′′ ( x ) = = ,entonces sustituyendo: x4 x3

 f ′′ (1) = 12 > 0 ⇒ (1, f (1) ) = (1,4) es un min imo relativo   f ′′ ( − 1) = − 12 < 0 ⇒ ( − 1, f ( − 1) ) = (− 1,− 4) es un max imo relativo Las abscisas de los extremos relativos, junto con los puntos donde la función no existe, determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento y para estudiar el comportamiento bastará con estudiarlos para un valor interior a cada uno. Intervalos

(-,-1)

Punto f’(x)

Crecimiento/ Decrecimiento

(-1,0)

(0,1)

(1,)

-2

-1/2

1/2

2

45/4>0

3 −3 3 − 45 16 = − 12 =