PRUEBA GEOMETRÍA CDI 2015 Portal Fuenterrebollo

1. Una cruz compuesta por cinco cuadrados iguales está inscrita en un cuadrado. Si el área de la cruz es de 25 cm2. ¿Cuál es, en cm2, el área del cuadrado?

Solución:

La cruz se descompone en 5 cuadrados iguales, cada uno de

25  5 cm2 5

El cuadrado se compone de 8 de esos cuadrados, luego su área es 8 x 5  40 cm2

2. Si el hexágono grande de la figura mide 180 cm2 de área, ¿cuál es el área del hexágono central es, en cm2:

Solución: El hexágono grande está formado por 7 hexágonos pequeños y 6 rombos, donde 3 rombos equivalen a una hexágono pequeño. En definitiva, por 9 hexágonos pequeños.

El área del hexágono central será:

180  20 cm2 8

3. Dos hormigas caminan alrededor del reloj de la torre de la Puerta del Sol, en sentidos contrarios y a velocidades diferentes, cada una mantiene su ritmo constantemente. La primera vez que se encontraron fue en la marca de las 3; y la segunda vez en la marca de las 10. Cuando se volvieron a ver dijeron: "Paramos cuando nos hayamos cruzado 100 veces en total". ¿En qué marca se pararon? Solución: La hormiga que camina en sentido de las agujas del reloj avanza siete horas y la otra retrocediendo cinco horas. Después de 99 encuentros, después del primero, han pasado 99 x 7  693 horas avanzando. Dividiendo por 12 horas, dan un resto de 9 horas avanzando. Como el primer encuentro fue a las 3, el encuentro 100 será a las 12

4. Como se ve en la figura hemos rodeado un hexágono regular por triángulos equiláteros, y luego aprovechando sus centros hemos dibujado una flor de seis pétalos. Si el área de un triángulo es de 3 cm2, ¿cuál es, en cm2, el área de la flor?

Solución:

La flor de seis pétalos esta formada por 14 triángulos equiláteros: 

La parte interior de la flor es un hexágono formado por 6 triángulos.



Los pétalos de la flor constan de 24 cuadriláteros. Cada tres cuadriláteros forman un triángulo.

Los pétalos de la flor quedan formados por

24  8 triángulos. 3

El área de la flor será: 14 x 3  42 cm2

5. ¿Qué fracción de la superficie del cuadrado está sombreada?

Solución:

La región sombreada es

7 del total. 16

6. Dividimos un hexágono regular en tres hexágonos regulares iguales y tres rombos iguales, como se muestra en la figura. Si el área del hexágono regular grande es 360 cm2, ¿cuál es el área de cada rombo, en cm2? Solución:

El hexágono regular pequeño se puede descomponer en tres rombos (como los rombos de las esquinas)

El hexágono regular grande se puede formar con doce de los mencionados rombos. En 360 consecuencia, el área de cada rombo es:  30 cm2 12

7. Cada vértice de la estrella de la figura es el punto medio de cada uno de los lados del cuadrado grande. ¿Qué fracción del área del cuadrado cubre la estrella?

Solución:

La estrella se descompone en cuatro triángulos rectángulos, iguales dos a dos. 

Los triángulos A tienen de base l / 2 y de altura l / 4



Los triángulos B tienen de base l / 4 y de altura l / 2



El área de los cuatro triángulos es la misma. En consecuencia, la suma de los cuatro l l l2 l2 x l2 l2 2 4 8 8 triángulos rectángulos es 4 x 4x 4x 4x  2 2 2 16 4

La fracción del área del cuadrado que cubre la estrella es

1 4

8. El área del triángulo equilátero ABC de la figura es 3 . Si doblamos la figura por el segmento BC, el

vértice A coincide con el centro del cuadrado MNPQ. ¿Cuál es el área del cuadrado MNPQ? Solución:

Altura del triángulo equilátero: 2

h

Áreatriángulo 

 3  3 2 1 xlx  xl  l  2 4  2 

3

l l    2

l2 l   4

2



l2 

2

4x

3 3

3 3l2  l 4 2

4

El Área del cuadrado es l2  4

9. Encima de un triángulo equilátero de lado 3 cm, colocamos un círculo de 1 cm de radio, haciendo coincidir los centros de ambas figuras. ¿Cuánto mide el perímetro o borde la figura resultante?

Solución:

Se ve una parte de la circunferencia que equivale a 180º, es 2 1 decir, un perímetro  2 Al ser triángulos equiláteros, cada lado mide 1 cm.

La parte que se ve en cada lado del triángulo grande es de 2 cm.

El borde de la figura resultante es de 6 + π cm

10. El punto O es el centro de un círculo de radio 1, OA y OC son radios y OABC es un cuadrado. ¿Cuál es el área, en unidades cuadradas, de la región sombreada?

Solución:

Área región sombreada: A 

1  Áreacuadrado  Áreacirculo  4

Área región sombreada: A 

1 2  2   . 12   1    4 4

11. Cada uno de los lados de este octógono regular mide 2 cm. ¿Cuál es la diferencia entre el área de la región sombreada y el área de la región sin sombrear?

Solución: Los triángulos rectángulos isósceles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8) son iguales. Los rectángulos A, B, C y D son iguales. En consecuencia, la región sombreada y no sombreada son iguales y tienen el mismo área.

La diferencia entre las dos áreas es 0

12. P y Q son los puntos medios de los lados del cuadrado de perímetro 4 cm.

Calcular entre qué cantidades está comprendida el área del rectángulo sombreado de la figura

Solución: Para calcular el área del rectángulo sombreado basta hallar la diferencia entre el área del cuadrado y el área de los cuatro rectángulos (iguales dos a dos). El triángulo grande y pequeño son semejantes por tener sus ángulos iguales. 2

La hipotenusa del triángulo grande QBC; BQ 

5 1 1   cm 2 2

Para hallar AP se establece una relación de equivalencia:

con lo que, AP 

1 5

BQ BC



BP AP

En consecuencia, AB 

2

1  1        2    5 

1 1   4 5

1 1  cm (mitad de AP ) 20 2 5

El área del triángulo pequeño BPA:

1 1 1 1 . .  cm2 2 2 5 5 20

El área del triángulo grande BCQ :

1 1 1 . 1 .  cm2 2 2 4

 1 6  1 6 4 2 El área del rectángulo: 1  2    12   1   cm2 10 10 5  20 4   20  2 6, 4  5 16





1 2  2 1 AP

cm . 2

Siendo

5

3 2 7   8 5 16

13. El diámetro del semicírculo grande y el radio del cuadrante miden ambos 2 cm. ¿Cuál es, en cm, el radio del semicírculo pequeño?

Solución: El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el segmento que une sus centros, formando el triángulo rectángulo CBA, siendo los tres vértices (C, A, B) los centros de las tres circunferencias.

CA  x  1

AB  1

BC  2  x

Aplicando el teorema de Pitágoras: (1  x)2  12  (2  x)2



1  x 2  2 x  1  4  x2  4 x



x

2 3

14. En la figura se muestra un cuadrado de lado 1 y cuatro semicírculos iguales mutuamente tangentes. ¿Cuál es el área de la parte rayada?

Solución:

El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el segmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo. Todos los vértices son centros de circunferencias.

El diámetro formado al unir los centros de dos circunferencias: 2

d

2

1 1      2 2

1 1   4 4

1 1  2 2

El radio de una semicircunferencia: r 

1 2 2

El área de la zona rayada se obtendrá restando al área del círculo el área de dos círculos, es decir: 2

 1  1   12. .  1 1  2.  .  8 4  2 2  15. Muchas catedrales góticas tienen ventanas como la de la figura: varios círculos iguales, tangentes dos a dos y un círculo grande tangente exterior a todos. En la figura hay cuatro círculos pequeños. ¿Cuál es el cociente entre la suma de las áreas de los cuatro pequeños y el área del grande?

Solución: Para calcular el radio del círculo grande, partimos del supuesto que el radio de cada círculo pequeño es 1. El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el segmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo. La hipotenusa del triángulo rectángulo formado mide 2 y cada cateto mide 1  x , por el teorema de Pitágoras se tiene: 22  (1  x)2  (1  x)2



4  2(1  x)2

El radio de la circunferencia grande:



2  (1  x)2

2 12 



x

2 1

2 1

2

Área del círculo grande: 1  

2    1  2  2 2    3  2 2       

Área de 4 círculos pequeños:

4 . 12 .   4 2

El cociente solicitado: 4 3  2 2  4 3  2 2      4 3  2 2        98 3  2 2   3  2 2 3  2 2  3  2 2        4

4

16. Si el hexágono de la figura tiene 2 dm de lado, ¿cuál es, en dm2, el área de la estrella central?

Solución: Los ángulos de un hexágono suman 720º, por tanto, los seis sectores circulares blancos forman dos circunferencias de radio 1 dm. En consecuencia, el área de la estrella central es el área del hexágono regular de 2 dm de lado menos el área de dos círculos de radio 1 dm.

Área hexágono (6 triángulos equiláteros): 6 .

2

3 2

 6 3 dm2

Área dos círculos: 2 12    2  dm2 Área estrella: 6 3  2  dm2

17. Calcular el área de la zona sombreada sabiendo que ABCD es un cuadrado de lado 1 y los triángulos ACE y ACF son equiláteros.

Solución:

Diagonal del cuadrado: AC 

Semidiagonal: AH 

Como los triángulos ACE y ACF son equiláteros, el lado es

2

2 2

12  12 

2

La altura HF 

2

   2   2      2  2

2

2  4

6 3  4 2

El área de cada uno de los triángulos: Área 

base x altura 1  2 2

2

3 2



3 2

El área de la zona sombreada es el área de los dos triángulos menos el área del cuadrado: Áreasombreada  2 x

3 2

 12 

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3 1