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PRUEBA OBLIGATORIA DE MATEMÁTICAS RESOLUCIÓN FORMA C40

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Este facsímil consta de 75 preguntas. 2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 3. Antes de responder las preguntas Nº 69 a la Nº 75 de este facsímil, lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta Nº 68. 4. Tiempo de respuesta: 2 horas 25 minutos. 5. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

1.

¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) por resultado

7 12 11 2 5 II)   9 3 12 I) 1, 3 

III)

5 2 :  5,5 2 5

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III Solución:

13  1 7 12 7 4 7 16  7 9 3     = =  = 9 12 9 12 3 12 12 12 4 11 2 5 11 1 5 11 5 22  5 17 II) =     =    9 3 12 9 3 6 9 18 18 18 7 = I) 1, 3  12

25 25 55 25 11 25  22 3  5,5  III) 52 : 52  5,5 =      4 4 10 4 2 4 4 Alternativa correcta: D.

3 ? 4

2

2.

El resultado de

(2  52 ) 2  ( 52 ) 2 9

, truncado a la centésima es igual a:

A) 0,25 B) 0,26 C) 0,27 D) 0,28 E) 0,30 Solución: Resolviendo primero los paréntesis:

(2  52 ) 2  ( 52 ) 2

=

( 85 ) 2  ( 52 ) 2

9 9 Resolviendo el numerador: 64 25



4 25

=

64 4 25



=

64 25



4 25

9

60 25

9 9 9 Resolviendo el cuociente: 60 25

4 9 15 Convirtiendo a fracción común: 4  0,2666666666... 15 Truncando a la centésima: 0,2666666666 0,26 

Alternativa correcta: B.

3.

El valor numérico de la expresión: 2 

2 2  2 2

es:

A) -2 B) -3/4 C) 0 D) 6/7 E) 22/7 Solución: Primero, se resuelve el denominador del término fraccionario. Dentro de este, primero la potencia: 2·4 2 8 2 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 2 1 7 1 7 7 2  2 2 2 2 2 4 4 2 Finalmente, se resuelve la operación entre fracciones:

2

8 14  8 = = 6/7 7 7

Alternativa correcta: D.

3

2

4.

  1 El valor numérico de la expresión 2,34    es igual a:  3 

A) 0,15 B) 2,2 C) 2,23 D) 7/3 E) 67/3 Solución: Primero se resuelve la transformación del término decimal semiperiódico a fracción común: 234  23 211 = 2,34  90 90 Calculando el cuadrado de -1/3, queda: 1 211 1 211 10 201 = 2,34  =  = 90 90 9 90 9 Simplificando:

201 67 = 90 30 Transformando a decimal: 67 = 2,23 30 Alternativa correcta: C.

5.

En la figura se muestra una recta numérica real, con los números A, B, C y D.

Si AC  CD y 5 AB  AD , ¿cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) AC  2/5 II) B = 4/25 III) C = 2/5

A -1 20

B

C

D 0,75

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III Solución: Calculando AD :

AD  0,75 

1 3 1 15  1 16 4    =  20 4 20 20 20 5

1 4 2   . La afirmación I) es verdadera. 2 5 5 1 4 4 1 4 5  16 11     . La afirmación II) es FALSA. B AB    5 5 25 20 25 100 100

Entonces:

AC 

Como:

AC 

2 5

Alternativa correcta: A.



C

1 2 1  8 7    . La afirmación III) es FALSA. 20 5 20 20

4

6.

Considere los siguientes números: P = 5 6 , Q = 6 3 y R = relaciones es correcta?

147 . ¿Cuál de las siguientes

A) P > Q > R B) P > R > Q C) R > Q > P D) R > P > Q E) Q > P > R Solución: Se expresarán las raíces aplicando la propiedad: a b  a 2b P = 5 6  25  6  150 Q = 6 3  36  3  108 R=

147

Considerando solamente los subradicales, queda de manifiesto que P > R > Q. Alternativa correcta: B.

7.

Si i es la unidad imaginaria, entonces la expresión 2 i 23 es igual a:

A) –1 B) 1 C) i D) 2i E) –2i Solución: Aplicando propiedades, se descompone la potencia:

2 i 23 = 2  i 20  i 2  i  2  1 (1)  i = -2i Alternativa correcta: E.

8.

Si log (4) = 0,6, entonces el valor de log (250) es:

A) 1,4 B) 1,6 C) 2,4 D) 2,6 E) 3,6

Solución: Expresando 250 en función de 4, queda: 1.000 log(250)  log( ) 4 Aplicando propiedades de los logaritmos: 1.000 log( )  log(1.000)  log(4)  3 – 0,6 = 2,4. 4 Alternativa correcta: C.

5

9.

El producto del conjugado del complejo (2, 4) con el complejo (3, -1) es igual a:

A) 2 – 14 i B) 2 + 14 i C) 6 + 4 i D) 10 – 4 i E) 10 + 14 i Solución: El conjugado del complejo (2, 4) es (2, -4). Entonces:

(2  4i) (3  i)  2  3  2i  12i  4i 2 = 6  14i  4  (1) = 2 – 14i Alternativa correcta: A.

10.

La expresión  ( 3  1) ( 3  1) es un número:

I) Real

II) Irracional

III) Imaginario

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Solución: Resolviendo el subradical, que es el producto de una suma por su diferencia:

 ( 3  1) ( 3  1) =  ( 3 ) 2  12 =  3  1 =  2 Este es un número irracional y, además, real. Alternativa correcta: B. 5

11.

Respecto del valor numérico de la expresión 8 3 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Es igual a 32 II) Es un número irracional III) Es un número imaginario puro A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Solución: I) Es igual a 32. Afirmación verdadera. 5

3

85 =

Expresando la potencia como raíz:

83 =

Resolviendo la raíz cúbica de 8, queda:

 8  = 2 3

5

5

 8 3

5

 32

II) Es un número irracional. Afirmación FALSA. El 32 NO es un número irracional. III) Es un número imaginario puro. Afirmación FALSA. El 32 NO es un número imaginario. Es un número complejo con parte imaginaria cero. Alternativa correcta: A.

6

3 10  40

12.

=

2

1

A) B)

2 1 2

10

5

C) D) 5 E) 0

Solución:

4 ·10  2 10

40 se expresa como

La

Entonces:

3 10  40

=

3 10  2 10

2 2 Se reducen raíces semejantes: 3 10  2 10

=

10

2 2 Expresando como una sola raíz:

10

=

2

10  5 2

Alternativa correcta: C.

3 1

1 2

13.

3

A)

1 2

 3

B)

9 2

 3

C) 1 

1 3

=

3

D)

1 3 3

E)

32 3 6

Solución: Racionalizando: 1 2

3 1 3

·

3

=

3

3 ( 21 3  1) 3· 3

Amplificando por 2:

( 21 ·3  3 ) 2 3  2 3 · = 6 3 2 Alternativa correcta: E.



1 ·3  2

3

3

7

Si z 1 y z 2 son complejos tales que z1  5  i y z 2  2  i , entonces el cuociente z 1 : z 2 =

14. A) 5/2 B)

5 2

i

C) 9  i D)

11 2

i

E) 3  i Solución: Para eliminar el complejo del denominador, se amplificará la expresión por el conjugado del denominador:

z1 5  i 2  i 10  5i  2i  i 2     z2 2  i 2  i 2  2i  2i  i 2 =

10  3i  ( 1) 11 3i  2  ( 1) 3

=

11 3

i

Alternativa correcta: D.

15.

Respecto de potencias, raíces y logaritmos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) log2 32  5 II)

 6

III) 16

3

3

2

6 6  64

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

Solución: I) log2 32  5 Por definición de logaritmo: log2 32  5  25  32 , lo que es verdadero.

II)

 6

3

6 6

Aplicando propiedades: III) 16

3

2

 6

3

 6 3  216 =

36  6  6 6 , lo que es verdadero.

 64

Aplicando propiedades de potencias y raíces: 16 Alternativa correcta: E.

3

2

 ( 16 )3  4 3  64 , lo que es verdadero.

8

Al expresar el polinomio x 2  5x 

16.

17 en la forma ( x  a) 2  b 2 , los valores de a y b son, 2

respectivamente: A) 1 y -5 B)

5 2

y5

C)

7 2

y

D)

5 2

E)

5 2

3 2 3 2

y

y

9 4

Solución:

17 17 25  = ( x  52 ) 2  2 2 4 Resolviendo la suma de términos libres: x 2  5x 

17 25 34  25 9 3   ( x  52 ) 2  = ( x  52 ) 2   ( x  52 ) 2    4 2 4 4 2 Luego, a = -5/2 y b = 3/2 = ( x  52 ) 2 

Alternativa correcta: D.

2x ·2y  ( x  y)2  x( x  y) 

17.





A) 2xy B) 7x  y 2 C) x 2  xy  y 2 D) y (7x  y) E) y (7x  y)

Solución: Resolviendo los paréntesis menores:

2x ·2y  ( x  y )2  x( x  y)  2x ·2y  ( x 2  2xy  y 2 )  ( x 2  xy)      Resolviendo los paréntesis interiores: = 2x ·2y  x 2  2xy  y 2  x 2  xy    Se resuelve el producto exterior y se abre el paréntesis: = 4xy  x 2  2xy  y 2  x 2  xy  Reduciendo términos semejantes: 4xy  x 2  2xy  y 2  x 2  xy  7xy  y 2 Factorizando:

7xy  y 2 = y(7x  y)

Alternativa correcta: E.

2

9

Si q  0 , entonces la expresión

18.

A)

2 pq

B)

2 pq

C)

1 2p  q

D) E)

(p  q) 2  (p 2  q 2 ) q3  p 2 q

=

2 p  q2 2 p  q2 2

Solución: En el numerador se resuelve el cuadrado de binomio y en el denominador se factoriza por q:

(p  q) 2  (p 2  q 2 ) q3  p 2 q

=

(p 2  2pq  q2 )  (p 2  q2 ) q(q2  p 2 )

=

Resolviendo el paréntesis y reduciendo términos semejantes:

p 2  2pq  q2  p 2  q2 q(q  p ) 2

2



2q2  2pq q(q2  p 2 )

Factorizando en el numerador por 2q y en el denominador se expresa (q2  p 2 ) como producto de una suma por su diferencia: =

2q 2  2pq q(q  p ) 2

2

=

2q(q  p) q ( q  p) ( q  p)

Simplificando: 2q(q  p) 2 = q (p  q) (q  p) (p  q) Alternativa correcta: A.

Se tiene que repartir $ ( x2  9x  10 ) en partes iguales entre ( x  10) personas. A cada cual le corresponde:

19.

A) $ x B) $(x – 1) C) $(x + 1) D) $(x + 2) E) $(x + 3) Solución:

x 2  9x  10 x  10 En el numerador se realiza una factorización. El trinomio debe expresarse como el producto de dos binomios en el cual los términos constantes suman (9) y su producto es (-10). Estos números son el 10 y el (-1). Por lo tanto: A cada persona le corresponde:

x 2  9x  10 ( x  10) ( x  1) = x  10 x  10 Simplificando, queda: ( x  1) Alternativa correcta: B.

10

20.

Cierto operario gasta diariamente dos tercios de lo que gana al día en su alimentación y un quinto en movilización. Al cabo de 15 días de trabajo ha logrado ahorrar $18.000. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto de este operario? A) Por cada día de trabajo gana $9.000 B) Por cada día de trabajo ahorra $1.200 C) En 15 días ha ganado $270.000 D) En un día gasta $1.800 en movilización E) En un día gasta $6.000 en alimentación Solución: Sea x = $ que gana al día Ahorra al día de trabajo $18.000/15= $1.200. Alternativa B es verdadera. Gasta al día de trabajo 2/3 x + 1/5 x = 13/15 x Ahorra al día de trabajo 2/15 x = 1.200 1.200  15 Despejando x = = $9.000. Alternativa A es verdadera. 2 En 15 días de trabajo gana = 15  9.000  $135.000. Alternativa C es FALSA. En movilización gasta al día de trabajo =

1  9.000  $1.800. Alternativa D es verdadera. 5

En alimentación gasta al día de trabajo =

2  9.000  $6.000. Alternativa E es verdadera. 3

Alternativa correcta: C.

21.

Un señor compra n choclos y $100 de albahaca, pagando, en total, $M . En pesos, el valor de cada choclo es igual a la expresión: A) M  100

M  100 n 100  M C) n n D) M  100 B)

E)

M n  100

Solución: El valor de los n choclos es: El valor de cada choclo es igual a:

Alternativa correcta: B.

M  100

M  100 n

(Se resta el valor de la albahaca).

11

22.

De las siguientes, ¿cuál es la ecuación que tiene como raíces 1 y

A) x2 

3 2

x

B) x2 

3 2

x  1 0

1 2

1 ? 2

0

C) 2x2  3x  1  0 D) 2x2  3x  1  0 E) 2x2  3x  1  0 Solución: En una ecuación de segundo grado de la forma x 2  bx  c  0 , sus raíces x1 y x 2 cumplen que:

x1 + x 2 = -b; y x1  x 2 = c

1 3 3 = . Entonces: b = 2 2 2 1 1 1 = . De donde: c = 1 2 2 2 3 1 x2  x   0 La ecuación sería: 2 2 Entonces:

1+

Multiplicando por 2:

2x 2  3x  1  0

Alternativa correcta: E.

23.

Las raíces de la ecuación ( x  2) 2  9  0 , son:

A) 5i B) 2  3i C) 3  2 D) 5 y 1 E) 5 y -1 Solución: Despejando el cuadrado de binomio:

( x  2) 2  9

/

x  2  3i

/+2

x  2  3i Alternativa correcta: B.

12

24.

Si x + y = 5; y además, x – y = 11; entonces, x + 2y =

A) -2 B) 1 C) 2 D) 5 E) 27 Solución: De la primera ecuación:

x+y=5



x 5y

De la segunda ecuación:

x – y = 11



x  y  11

Igualando ambas:

5  y  y  11 5  11  2y 6  2y y  3 x8 x + 2y = 8 + 2 · (-3) = 8 – 6 = 2.

Entonces, x: Finalmente: Alternativa correcta: C.

25.

El siguiente gráfico representa:



-2

5



I) Al intervalo real  2; 5 II) La solución de la inecuación 3  1  2x  11 III) {x/x > -2  x > 5} A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Solución: I) Al intervalo  2; 5 . Verdadero. El signo izquierdo señala un intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha, lo que es consistente con la gráfica. II) La solución de la inecuación 3  1  2x  11. Verdadero. Resolviendo:

3  1  2x  11 3  1  2x  11 1 4  2x  10

De donde:

x  2

III) {x/x > -2  x > 5}. FALSO. Es falso que x > 5. Alternativa correcta: B.

y

x5

13

26.

Un pequeño agricultor tiene un total de 40 animales para vender, entre corderos y chivos, queriendo obtener M$600 por el lote. Los corderos piensa venderlos en tantos $miles, como chivos tiene a la venta, y los chivos a tantos $miles como corderos tiene para vender. Si tiene más chivos que corderos, ¿en cuántos miles piensa vender cada chivo? A) M$ 10 B) M$ 15 C) M$ 20 D) M$ 25 E) M$ 30 Solución: N° de corderos = c N° de chivos = 40 – c Precio por el lote:

c (40  c )  (40  c ).c  600

40c  c  40c  c 2  600 2

80c  2c 2  600

/:2

40c  c  300 2

Ordenando:

c 2  40c  300  0 40  40 2  4  300 2 40  20 c 2 c  20  10

c

Número de corderos: 10. Número de chivos: 30. Por lo tanto, los chivos son vendidos a M$10 cada uno. Alternativa correcta: A.

27.

Si f(x) y g(x) son funciones reales tales que: f(x) = x 2  (k  1)x  k , y g(x) = k – x, entonces,

gf (k ) es igual a:

A) 0 B) k C) -2k D) -k E) k − 1 Solución: Composición de funciones. En este caso primero se calcula f(k):

f (k )  k 2  (k  1)k  k = 2k Ahora se calcula g(2k) = k – 2k = -k Alternativa correcta: D.

14

28.

Bajo ciertas condiciones, una pieza de acero que está calentada a 1.000ºC, baja su temperatura linealmente a razón de 4ºC por minuto. ¿Cuál de las siguientes funciones relaciona la temperatura T de la pieza, en ºC, y el tiempo t, en minutos, de acuerdo a la situación descrita? A) T = 1.000 – 4 t B) T = 4 – 1.000 t C) T = 4 t – 1.000 D) T = 4 t + 1.000 E) T = 1.000·4  t Solución: En una función lineal de la forma: y = a + bx, se tiene que: y  Variable dependiente. Son los valores del recorrido de la función.

x  Variable independiente. Son los valores del dominio de la función. a  Intercepto. Valor donde la recta corta al eje y. Corresponde a la condición inicial.

b  Pendiente. Variaciones de x por cada unidad de variación de y. En este caso: y  Temperatura, en ºC. x  Tiempo, en minutos. a  1.000 ºC. Es la temperatura inicial de la pieza de acero. En este caso, cuando t = 0.

b  4 ºC. Cuatro, ya que por cada 1 minuto, la temperatura varía en 4ºC. El signo menos indica decrecimiento, ya que la pieza disminuye su temperatura a medida que pasa el tiempo. Entonces, la función es: T = 1.000 – 4 t, siendo T la temperatura, en ºC y t el tiempo, en minutos. Alternativa correcta: A.

29.

El gráfico de la figura representa una función real f(x). De acuerdo a este, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? y

I) f(-1) – f(1) = f(0) II) 3 f(-2) – f(0) = 2 f(2) III) f(-2) – f(1) = f(2) – 1 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III Solución: I) f(-1) – f(1) = f(0). Falsa. Según el gráfico: f(-1) = 1; f(1) = 1 y f(0) = 2. Entonces: 1 – 1 = 2, es falso. II) 3 f(-2) – f(0) = 2 f(2). Verdadera. Según el gráfico: f(-2) = 2; f(0) = 2 y f(2) = 2. Entonces: 3 · 2 – 2 = 2 · 2, es verdadero. III) f(-2) – f(1) = f(2) – 1. Verdadera. Según el gráfico: f(-2) = 2; f(1) = 1 y f(2) = 2. Entonces: 2 – 1 = 2 – 1, es verdadero. Alternativa correcta: D.

y=f(x)

2 1

x -2

-1

1

2

15

30.

Por su importancia en la recuperación de suelos erosionados, se realiza un estudio de una especie de lombriz de tierra. Entre los resultados relacionados con sus características físicas, se llegó a establecer que la longitud de esta lombriz es función de su tiempo de vida, de acuerdo a la siguiente función: L = 0,4 · X1,5 ; siendo L la longitud, en mm y X los días de vida de la lombriz. Si esto es así, ¿cuál será la longitud de una lombriz a los 16 días de vida? A) 6,4 mm. B) 9,6 mm. C) 10,5 mm. D) 16 mm. E) 25,6 mm. Solución: En la igualdad: L = 0,4 · X1,5 , se debe calcular el valor de L cuando X = 16. Es decir, calcular L(16). Reemplazando: L = 0,4 ·161,5 La potencia 161,5 se expresará como potencia de exponente fraccionario y luego, como raíz: 3

L = 0,4 ·16 2

 

L = 0,4 · 16

3

L = 0,4 ·4

3

L = 0,4 ·64 L = 25,6 mm. Alternativa correcta: E.

16

31.

En los primeros 500 metros de altura, a partir del nivel del mar, la temperatura y la presión de la atmósfera varían de acuerdo a las siguientes funciones: h 4 P  760  h ; siendo: ; T  15  45 150 T = Temperatura de la atmósfera, en grados Celsius (ºC). P = Presión atmosférica, en mm de mercurio. h = Altura desde el nivel del mar, en metros. Según estos modelos, ¿qué temperatura hay en la atmósfera cuando la presión atmosférica es 744 mm de mercurio? A) 10,0 ºC B) 11,4 ºC C) 12,3 ºC D) 12,5 ºC E) 13,8 ºC Solución: Para calcular la temperatura se usa la primera función, pero se debe calcular previamente la altura h. Primero se calcula la altura, a partir de una presión conocida P = 744, usando la segunda función:

P  760 

4 45

h

4 h 744  760  45

Es una ecuación de primer grado. Resolviendo: 4 h 45

 760  744

4 h 45

 16

16·45 = 180 metros. 4 Ahora se calcula la temperatura T con la primera función, ya que se conoce la altura h = 180 m. h T  15  150 h

180 150 T  15  1,2

T  15 

T  13,8 ºC. Alternativa correcta: E.

17

32.

La talla (longitud) T de cierto pez varía con la edad de acuerdo a la función: T  6,25  1,2E  0,01 E2 ; donde T es la talla, en cm, y E es la edad, en meses.

Según el modelo propuesto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La gráfica del modelo corresponde a una parábola. II) A los 15 meses este pez mide 22 cm. III) Este pez nace de 7,46 cm de longitud. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Solución: I) La gráfica del modelo corresponde a una parábola. Afirmación verdadera. La función dada es cuadrática, cuya gráfica típica es una parábola. II) A los 15 meses este pez mide 22 cm. Afirmación FALSA. Calculando T(15) T  6,25  1,2  15  0,01  152 = 26,5 cm. III) Este pez nace de 7,46 cm de longitud. Afirmación FALSA. Para E = 0, el valor de T es 6,25 cm. Alternativa correcta: A.

33.

Se ha medido la persistencia de cierto insecticida en las manzanas después de la fumigación de los árboles, en función del tiempo, logrando establecer la siguiente función: P = 100  0,5 t , donde: P = % de insecticida en la fruta después de t días de aplicación. t = tiempo transcurrido desde la aplicación del insecticida, en días. Según el modelo, ¿en cuánto tiempo quedará en las manzanas el 12,5% del insecticida aplicado? A) 2 días B) 3 días C) 4 días D) 2,5 días E) 3,5 días Solución: Para t = 0, el valor de P = 100%. Ahora hay que calcular t para P = 12,5%. 12,5 = 100  0,5 t 12,5/100 = 0,5 t

1 1  ( )t 8 2 1 1  ( )t 3 2 2

1 1 ( )3  ( ) t 2 2 De donde t = 3 días. Alternativa correcta: B.

18

34.

En la figura, L1 // L 2 . L 3 y L 4 son transversales que se intersectan en P.

Con las medidas dadas, la medida de x es igual a:

L4 20

12

L3

P

A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 5 E) 6

x

5

L2 L1

Solución: En estas condiciones es posible aplicar el teorema de Thales, planteando la proporcionalidad:

12 20  x 5



x

60 3 20

Alternativa correcta: A.

35.

En la figura, PQR es triángulo rectángulo en P.

R

Si RP  8 cm y PQ = 6 cm, entonces, RS es igual a: A) 15/2 cm. B) 13/2 cm. C) 9/2 cm. D) 7/2 cm. E) 8/3 cm.

 S

 P

Q

Solución: Los triángulos QRP y SQP son semejantes por tener sus ángulos correspondientes congruentes. Por lo tanto, se plantea la proporción: R 6 x   8 6 De donde x = 9/2 S 9 7 Entonces: RS = 8   8 2 2 x

 Alternativa correcta: D.

P

6

Q

19

36.

En la figura, PQR y RST son triángulos rectángulos en Q y S, respectivamente.

Con los valores dados, PR es igual a:

S 3

A) 4,5 B) 7,5 C) 8 D) 9 E) 10

4

x

P

R

T

6 Q

Solución: Se puede deducir que los triángulos RQP y RST son semejantes, ya que tienen sus tres ángulos homólogos congruentes (criterio AAA). Por lo tanto, sus lados homólogos son proporcionales. Planteando la proporcionalidad referida: 3 4  QR 6 Despejando:

6 ·3 = 4,5 4 Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo RQP: QR 

x 2  62  4,52

x  56,25 x  7,5

Alternativa correcta: B.

37.

En la figura, ABC es triángulo equilátero. Además, AD = DE = EB. Entonces: (  : congruente) I)  DEC   ABC II)  ADC   BEC III)  DBC   EAC

C

Es (son) correcta(s): A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

A

B D

E

Solución: I)  DEC   ABC: FALSO, no son congruentes. Todos sus lados son distintos, al igual que sus ángulos. II)  ADC   BEC: Verdadero. Ambos triángulos tienen lados correspondientes y ángulos congruentes. III)  DBC   EAC: Verdadero. Ambos triángulos tienen lados correspondientes y ángulos congruentes. Alternativa correcta: D.

20

38.

En la figura, O es centro de la circunferencia. ABC triángulo isósceles de base AB. C Si  ACB = 40º, entonces,  OAC = A) 20º B) 25º C) 30º D) 35º E) 40º

O A

Solución: Trasladando la información dada al diagrama, queda:

B

C 40 º

O A

B

Se deduce que:   BAC =  ABC = 70º, por ser ABC triángulo isósceles, de base AB.  Ángulo del centro  AOB = 80º. Por ser ángulo del centro que subtiende el mismo arco de 40º del ángulo inscrito ACB = 40º.   OAB =  OBA = 50º, por ser AOB triángulo isósceles, de base AB. Entonces:  OAC =  BAC –  OAB = 70º - 50º = 20º. Alternativa correcta: A.

39.

En la figura, ABC es triángulo rectángulo en C.

C

Si AC = 15 y BC = 20, entonces, la altura h = A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 16

h A

B

Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras, se calcula la hipotenusa AB .

AB  152  202 AB  25 Para calcular la altura, es conveniente plantear la proporcionalidad de lados homólogos en los triángulos semejantes que se originan al trazar la altura h, aprovechando que se conoce la medida de los tres lados del triángulo ABC: C h 20  15 25 20 15 Despejando: h 15·20 = 12 h A B 25 25 Alternativa correcta: D

21

40.

En la figura, O es centro de la circunferencia, PR y PT son secantes que intersectan a la circunferencia en los puntos Q, R, S y T. Si PQ  4, PS  5 y ST  15, entonces, QR = A) 10 B) 12 C) 21 D) 22,5 E) 24

R Q P

O S

T

Solución: Trasladando los datos a la figura, se tiene:

R 4

Aplicando el teorema de las secantes: 4 · (4  x)  5 ·(5  15)

P

x O

5

16  4 x  100 4 x  84 x

Q

S

15

T

84  21 4

Alternativa correcta: C.

41.

En la figura, O centro de la circunferencia, PR es recta que intersecta a la circunferencia en Q y R. PT es recta tangente en T. R Si PT  2 y QR  3 , entonces, PQ  A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4

O Q P T

Solución:

R

De acuerdo al enunciado, PR es una secante y PT una tangente. Aplicando el teorema de la secante y tangente: 2 PT  PQ·PR

3

O Q

22  x( x  3) 4  x  3x

x

P

2

T

2

x 2  3x  4  0 Las raíces de la ecuación son: -4 y 1. Solo sirve la raíz positiva, porque se trata de longitudes. Alternativa correcta: A.

22

42.

¿Cuál es el punto de intersección de la recta y = x con la recta y = 1 – x?

A) (0, 1) B) (1, 1) C) (-1, 1) D) ( 21 , -1) E) ( 21 , 21 ) Solución: El punto de intersección entre dos rectas, si existe, está representado por la solución del sistema de ecuaciones de ambas rectas. Así: xy0

x y 1 Sumando: 2x = 1

x

1 2

Por la primera ecuación, y = x. Por lo tanto:

y

1 2

El punto de intersección es: ( 21 , 21 ) Alternativa correcta: E.

43.

En el plano de la figura, si los puntos A, B, C y D son los vértices del trapecio ABCD, entonces, el perímetro del trapecio es igual a: y

A) 24 B) 36 C) 40 D) 48 E) 52

D

A -8

8

C

B -2

2

8

Solución: De acuerdo al diagrama, ABCD es Trapecio isósceles se base AB. 4

D Calculando AD  6 2  8 2 = 10 Entonces, el perímetro de ABCD = 16 + 10 + 4 + 10 = 40.

x A

8

8

6 E

F 6 16

Alternativa correcta: C.

C x B

x

23

En la figura, ABCD trapecio isósceles de base AB, con AC  BD . Si OD = 5 cm y BD = 17 cm. Entonces, el área de ABCD es igual a:

44.

A) 144,5 cm 2

D

B) 156 cm 2

C

C) 256 cm 2 D) 578 cm

O

2

A

E) 17 2 cm 2

B

Solución: Agregando los datos dados a la figura, se tiene lo siguiente: D

C 5 O 12

A

B

Por ser AB // DC , se tiene además que OC  OD  5 cm y OA  OB  12 cm. D

C 5

12

5 O 12

A

B

Se forman 4 triángulos rectángulos con vértices común en O, de los cuales 2 son congruentes.

12·5 = 30 cm 2 2 12·5 Área BOC  = 30 cm 2 2 5 ·5 Área COD  = 12,5 cm 2 2 12·12 Área AOB  = 72 cm 2 2 Área AOD 

Área total del trapecio = 144,5 cm 2 Alternativa correcta: A.

45.

En la figura, PQR es triángulo rectángulo en P, con catetos paralelos a los ejes x e y, respectivamente. Un giro del triángulo PQR de 360º respecto de y = 1, genera un volumen equivalente a: y

A) Un cilindro de altura 4 y radio 6 B) Un cono de altura 6 y radio 4 C) Un cono de altura 6 y radio 7 D) Un cono de altura 4 y radio 6 E) Un cono de altura 4 y radio 12

R

7

1

P

Q

x

Solución: 2 6 Al tomar y = 1 como eje de giro del triángulo, se genera un volumen equivalente a un cono de radio basal 6 y altura 4, tal como lo muestra la figura anexa. y 7

R 6

Alternativa correcta: D.

1

4

Q

6

x

24

46.

En el sistema coordenado de la figura, P y Q son círculos congruentes de centros (-4, 3) y (4, -3), respectivamente. Es posible obtener el círculo Q a partir de P, mediante la transformación isométrica: y

I) Rotación de P en 180º respecto del origen. II) Una simetría central con centro en el origen. III) Traslación de P de vector (8, 6).

P

3

Es (son) correcta(s): x 4

-4

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo II y III E) I, II y III

-3 Q

Solución: I) Rotación de P en 180º respecto del origen: Correcto. Al rotar en 180º, el punto P queda en el punto de coordenadas (4, -3).

P

y

3 4

180º

x

Q II) Una simetría central con centro en el origen: Correcto. En este caso, todos los puntos de una figura tienen un simétrico respecto de un punto, en este caso, el origen.

y

P

3 4

x

-4 -3 Q

III) Traslación de P de vector (8, 6): Incorrecta. Al trasladar el punto P(-4, 3) en un vector igual a (8, 6), el punto resultante queda en las coordenadas (4, 9), que no es el punto centro de la figura Q. Alternativa correcta: B.

25

47.

¿Cuál de los siguientes puntos NO pertenece a la recta r: (x, y) = (1, 2) + t(3, 4)?

A) (-5, -6) B) (-2, -2) C) (3, 5) D) (4, 6) E) (7, 10) Solución: Un punto (x, y) pertenece a una recta si satisface la ecuación de dicha recta. A) (-5, -6) 5  1  3t  t  2 (-5, -6) = (1, 2) + t(3, 4) {   6  2  4t  t  2 Coincide el valor de t. Por lo tanto, el punto (-5, -6) pertenece a la recta dada. B) (-2, -2) (-2, -2) = (1, 2) + t(3, 4)



{

2  1  3t

 t  1

 2  2  4t

 t  1

Coincide el valor de t. Por lo tanto, el punto (-2, -2) pertenece a la recta dada. C) (3, 5) (3, 5) = (1, 2) + t(3, 4)

3  1  3t { 5  2  4t



 t  2/3  t  3/4

No coincide el valor de t. Por lo tanto, el punto (3, 5) NO pertenece a la recta dada. Alternativa correcta: C. (Se puede verificar que D y E son puntos que pertenecen a la recta).

48.

Se tienen en el espacio los puntos P(4, 4, 2) y Q(3, 2, 6). I) La distancia entre P y Q es igual a II) La distancia de P al origen es 6 III) La distancia de Q al origen es 7

21

Es (son) correcta(s): A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Solución: I) La distancia entre P y Q es igual a

21 . Afirmación verdadera.

Calculando: d(P, Q)  (3  4) 2  (2  4) 2  (6  2) 2 = II) La distancia de P al origen es

1  4  16  21

17 . Afirmación verdadera.

Calculando: d(P, O)  (4) 2  (4) 2  (2) 2 =

36  6

III) La distancia de Q al origen es 7. Afirmación verdadera. Calculando: d(Q, O)  (3) 2  (2) 2  (6) 2 = Alternativa correcta: E.

49  7

26

En la figura, P’Q’R’S’ es el homotético del polígono ABCD, con origen en el punto O y razón de homotecia r. Si QR = 10, Q’R’ = 4 y RS = 8, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

49.

R

I) r = 5/2 II) PQ//P’Q’ III) R’S’ = 16/5

Q P’

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

S

P

S’

O Q’ R’

Solución: I) r = 5/2. Afirmación FALSA. Según la figura, el polígono se invierte respecto del origen O. Esto significa que r < 0. II) PQ//P’Q’. Afirmación verdadera. En una homotecia, los lados homólogos de las figuras son paralelas. III) R’S’ = 16/5. Afirmación verdadera. En una homotecia, los lados homólogos de las figuras son proporcionales. Entonces:

QR RS  Q' R' R' S'

10 8  4 R' S'



R' S' 

8  4 16  10 5

Alternativa correcta: D. Se tiene la recta L, de ecuación vectorial: (x, y) = (2, –1) + t(1, 5) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto de L?

50.

A) La recta y = 5x – 11 es coincidente con L B) El punto (4, 9) se genera cuando t = 2 C) Cuando t = 0, se genera el punto (1, 5) D) Su gráfica cruza al eje x en x = 11/5 E) El punto (2, –1) pertenece a L Solución: A) La recta y = 5x – 11 es coincidente con L. Afirmación verdadera. En una ecuación vectorial con vector de dirección (v 1 , v 2 ) el cuociente v 2 / v 1 es equivalente a la pendiente de la recta cuando esta se expresa en su forma principal. En este caso m = 5/1 = 5. Teniendo m = 5 y el punto (2, -1) se llega a la ecuación de la recta y = 5x – 11, coincidente con L. B) El punto (4, 9) se genera cuando t = 2. Afirmación verdadera. Si (x, y) = (2, –1) + t(1, 5), entonces x = 2 + t, y = -1 + 5t Reemplazando t = 2: x = 2 + t = 2 + 2 = 4. y = 1  5  2 = 9 Se genera el punto: (4, 9) C) Cuando t = 0, se genera el punto (1, 5). Afirmación FALSA. Reemplazando t = 0: x=2+0=2 y = 1  5  0 = –1 Se genera el punto: (2, –1) Alternativa correcta: C. (Se puede verificar que D y E son verdaderas).

27

51.

En la circunferencia de centro O de la figura, P, Q, R S y T son puntos en la circunferencia. Si ángulo x = 25°, el valor del ángulo y es: Q P

A) 25° B) 30° C) 50° D) 55° E) 60°

R

60° x

O

T y

S

Solución: Como  QOP = 2  QTP Entonces, y = ½  ROP

  QOP = 50° y  ROP = 110°.   y = 55°

Alternativa correcta: D.

52.

En la figura, el polígono ABCD es base de homotecias de origen O. D’’

C’’ D’ C’ D C

A’’

B’’

A’

B’

A

B

O

Si OB = 3, BB’ = 2 y OB’’ = 10, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) La homotecia A’B’C’D’ se logra con razón 5 B) En las dos homotecias, r > 1 C) Perímetro de A’B’C’D’ = 2 perímetro de ABCD D) 5 AB  3 A' B' E) B’’C’’//BC Solución: Agregando los datos numéricos, se tienen los valores de r para cada homotecia. D’’ C’’ D’ C’ D C A’’

B’’

A’

B’

A

B

3

O

5 10

A) La homotecia A’B’C’D’ se logra con razón 5. Afirmación verdadera. Ver figura. B) En las dos homotecias, r > 1. Afirmación verdadera. Ver figura. C) Perímetro de A’B’C’D’ = 2 perímetro de ABCD. Afirmación FALSA. En una homotecia, los lados homotéticos de las figuras, son proporcionales. Esto hace que los perímetros también lo sean. Por esto la afirmación es falsa, ya que la razón de proporcional es igual a r, que en este caso r = 5/3. (D y E son verdaderas) Alternativa correcta: C.

28

53.

En el plano de la figura, v 1 y v 2 son vectores. Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? y

A) Módulo de v1  13

3

B) v 1 + v 2 = (2, 4) v1

C) v 1 – 2 v 2 = (–10, 1)

1

D) v 1  v 2  6 E) Longitud de v 2  17

v2

x -2

4

Solución; A) Módulo de v1  13 . Afirmación verdadera. Como v 1 = (–2, 3), entonces v 1  (2) 2  (3)2  13 B) v 1 + v 2 = (2, 4). Afirmación verdadera.

v 1 + v 2 = (–2, 3) + (4, 1) = (2, 4) C) v 1 – 2 v 2 = (–10, 1). Afirmación verdadera.

v 1 – 2 v 2 = (-2, 3) – 2 (4, 1) = (–2, 3) – (8, 2) = (–10, 1). D) v 1  v 2  6 . Afirmación FALSA.

v 1  v 2  (2, 4)  2 2  4 2  20 Alternativa correcta: D.

54.

La ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 13) e intersecta al eje x en x =

A) y = 8 + 5x B) y = 8 – 5x C) y = 5x – 8 D) y = 8x – 5 E) y = 5 – 8x Solución: Se trata de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 13) y ( 85 , 0). Calculando la pendiente: 0  13 13 m 8  13  5  ( 1) 5 5 Para calcular el intercepto n: Reemplazando en la ecuación y = mx + n el punto (-1, 13): 13  5  (1)  n De donde: n8 Entonces: y = 8 – 5x Alternativa correcta: B

8 5

es:

29

55.

Se tienen los siguientes valores de una variable X: 1

1

5

9

¿Cuál de los siguientes estadísticos de X es FALSO? A) La mediana es 3 B) La media aritmética es 4 C) El rango es 8 D) La varianza es 11 E) La desviación estándar es 8 Solución: A) La mediana es 3. Verdadero. Ordenando los valores de X, de menor a mayor: 1, 1, 5, 9. Como quedan dos números centrales, la mediana corresponde a la media entre ellos. Me = (1+5)/2 = 3. B) La media aritmética es 4. Verdadero.

1 1 5  9 = 4. 4 C) El rango es 8. Verdadero. Rg(x) = 9 – 1 = 8. Calculando: x 

D) La varianza es 11. Verdadero. 2

n

Aplicando la definición de varianza:  2 



( x i  x)

i1

n

(1  4)  (1  4)  (5  4)  (9  4) 2 4 9  9  1  25 44 2   = 11. 4 4 2 

2

2

2

E) La desviación estándar es 8. FALSO. Aplicando la raíz cuadrada de la varianza:

  11  8 Alternativa correcta: E.

30

56.

El siguiente gráfico corresponde a la distribución de una muestra de trabajadores y trabajadoras, según sector de actividad económica que desarrollan. Actividad económica de trabajadores según sector Mujeres

SECTOR

 Construcción  Servicios  

Comercio Salud

Hombres    

= = 1 persona A partir del gráfico se puede afirmar que: A) El 15% de los encuestados trabajan en el sector salud B) En el sector construcción, el 12,5% de los encuestados es mujer C) De los hombres encuestados, el 9 % trabaja en el sector comercio D) En la muestra, en el sector comercio, hombres y mujeres están en la razón 2 : 3 E) En el sector servicios se concentra más del 50% de los encuestados Solución: A) El 15% de los encuestados trabajan en el sector salud. FALSO. Total de encuestados: 69 Trabajan en sector salud: 15, lo que, evidentemente no representan el 15% de los encuestados. B) En el sector construcción, el 12,5% de los encuestados es mujer En el sector construcción hay un total de 16 personas, de las cuales 2 son mujeres. 2 ·100  12,5% Esto es: 16 Alternativa correcta: B.

31

57.

En la tabla siguiente, X es el número de televisores por hogar en una muestra de 40 hogares de la Región del Biobío. X

casos

0 1 2 3 4

2 20 10 6 2

Total

40

Sobre la base de los datos de la tabla, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son verdadera(s)? I) El número mediano de televisores por hogar en la muestra es 2. II) En la muestra, el 45% de los hogares tiene más de 1 televisor. III) El 95% de los hogares de la muestra tiene televisor. Es (son) correcta(s): A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III Solución: I: El número mediano de televisores por hogar en la muestra es 1. Afirmación verdadera. En una distribución de datos ordenados de menos a mayor, la mediana es el valor central. En este caso, como n = 40, la mediana queda entre el lugar 20º y el 21º. Al ordenar de menor a mayor los 40 datos de la tabla, en el lugar 20º-21º queda ubicado x=1 (televisor). Por lo tanto, la mediana es 1. Una columna de frecuencias acumuladas ayuda a comprender el razonamiento: X casos F Acum 0 2 2 1 20 22 2 10 32 3 6 38 4 2 40 Total 40 II: En la muestra, el 45% de los hogares tiene más de 1 televisor. Verdadero. Tienen más de 1 televisor: 10 + 6 + 2 = 18 hogares, de un total de 40. Esto es:

18 ·100  45% 40

III: El 95% de los hogares de la muestra, tiene televisor. Verdadero. Tiene televisor un total de 38 hogares, de la muestra de 40. Esto es:

Alternativa correcta: E.

38 ·100  95% 40

32

58.

Se mide la velocidad de transferencia de archivos en una muestra de servidores, encontrando los datos de la tabla adjunta: Vel (Kbps)

fi

[50 – 100[

4

[100 – 200[

8

[200 – 400[

6

[400 – 800]

2

Sobre la base de estos datos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) La mayoría de los servidores transfiere a menos de 200 Kbps B) La mitad de los servidores transfiere a 175 Kbps o más C) La velocidad media de transferencia de los servidores es de 225 Kbps D) El 20% de los servidores transfiere a menos de 100 Kbps E) El 80% de los servidores transfiere a menos de 400 Kbps Solución: A) La mayoría de los servidores transfiere a menos de 200 Kbps. Verdadero. Transfieren a menos de 200 Kbps, 8 + 4 = 12 servidores de un total de 20. B) La mitad de los servidores transfiere a 175 Kbps o más. Verdadero. Se debe calcular la mediana. Para esto se completa la tabla con las frecuencias acumuladas: Vel (Kbps)

fi

F acum

[50 – 100[

4

4

[100 – 200[

8

12

[200 – 400[

6

18

[400 – 800]

2

20

Total

20

-

Calculando la mediana para casos de datos agrupados en intervalos: 100(10  4) Me  100  = 175 Kbps. El 50% de los servidores transfiere a 175 Kbps o más. 8 C) La velocidad media de transferencia de los servidores es de 225 Kbps. Verdadero. Se calcula la media aritmética. Para esto se completa la tabla, con las marcas de clase Xm: Vel (Kbps)

Xm

fi

[50 – 100[

75

4

[100 – 200[

150

8

[200 – 400[

300

6

[400 – 800]

600

2

Total

-

20

75  4  150  8  300  6  600  2 = 225 Kbps. 20 La velocidad media de transferencia de los servidores es de 225 Kbps. x

D) El 20% de los servidores transfiere a menos de 100 Kbps. Verdadero. Transfieren a menos de 100 Kbps, 4 servidores de un total de 20, lo que representa un 20%. E) El 80% de los servidores transfiere a menos de 400 Kbps. FALSO. Transfieren a menos de 400 Kbps, 18 servidores de un total de 20, lo que representa un 90%. Alternativa correcta: E.

33

59.

El siguiente gráfico de porcentajes acumulados muestra el consumo semanal de grasas saturadas en una muestra de mujeres. % Ac

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

gr 0

10

20

30

40

50

Consumo de grasas saturadas (gr/semana)

De acuerdo al gráfico, es verdadero que en la muestra estudiada: A) El 90% consume más de 40 gramos de grasas saturadas a la semana B) El consumo mediano es 25 gramos de grasas saturadas a la semana C) El 90% consume, 10 o más gramos de grasas saturadas a la semana D) El 30% consume 50 gramos de grasas saturadas a la semana E) El 20% consume entre 20 y 50 gramos de grasas saturadas a la semana Solución: A) El 90% consume más de 40 gramos de grasas saturadas a la semana. FALSO. Entre 40 y 50 gramos de consumo, solo queda un 10%. B) El consumo mediano es 25 gramos de grasas saturadas a la semana. FALSO. La mediana queda en el 50% del porcentaje acumulado. En este caso corresponde a un consumo de 30 gramos. C) El 90% consume, 10 o más gramos de grasas saturadas a la semana. Verdadero. Entre 10 y más gramos de consumo queda un 90%. Alternativa correcta: C. (Obviamente que las alternativas D y E son verdaderas).

En la denominada “Ciudad de los Vientos” se realizan 256 mediciones de la velocidad del viento en distintos lugares. Si esta velocidad se distribuye normalmente con desviación estándar 24 km/h, ¿cuál es el error estándar para la distribución de medias muestrales de esta variable en el estudio realizado?

60.

A) 1,5 km/h. B) 4 km/h. C) 8 km/h. D) 10,7 km/h. E) 24 km/h. Solución: Por definición, el error estándar de las medias muestrales es:  x  x n Reemplazando: 24 24 x   = 1,5 km/h. 256 16 Alternativa correcta: A.

34

61.

Con el objetivo de estimar un intervalo de confianza del calibre (diámetro) medio de los tomates de exportación producidos en un predio agrícola, se realiza un estudio muestral estrictamente ajustado al método estadístico. El estudio llegó a la conclusión que el calibre medio fluctúa entre 80 y 100 mm. Si el calibre se distribuye normalmente y la estimación se realizó con un 95% de confianza con una muestra aleatoria de tomates, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones se puede(n) inferir de la información dada? I) El calibre medio muestral de tomates en esta plantación fue de 90 mm. II) Hay un 2,5% de probabilidades de que el calibre medio poblacional de los tomates sea mayor a 100 mm. III) Hay un 5% de probabilidades de que el calibre medio poblacional de los tomates sea menor a 80 mm. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Solución: El siguiente diagrama ayudará a la solución de este problema. Aquí se representa la distribución normal de las medias muestrales, y se especifica el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

2,5%

2,5%

95% Confianza 80

mm 90

100

I) El calibre medio muestral de tomates en esta plantación fue de 90 mm. Afirmación verdadera. El punto medio del intervalo es 90 mm, que corresponde a la media muestral. II) Hay un 2,5% de probabilidades de que el calibre medio poblacional de los tomates sea mayor a 100 mm. La gráfica de la situación muestra que la afirmación es verdadera. III) Hay un 5% de probabilidades de que el calibre medio poblacional de los tomates sea menor a 80 mm. Afirmación FALSA. La gráfica de la situación muestra que la afirmación es FALSA. Alternativa correcta: B.

62.

Un laboratorio contrata a 10 personas para probar un nuevo medicamento inyectable contra la gripe, el que solamente será administrado a 3 de ellos, aplicando un placebo a los otros 7. ¿Cuántos grupos distintos son posibles de obtener para inyectarles el medicamento real? A) 3 B) 21 C) 30 D) 84 E) 120 Solución: Se trata de un muestreo sin reemplazamiento, de una muestra de tamaño 3 a partir de una población de n n! tamaño 10. Se resuelve por la combinatoria ( )  , también expresada como n Cr . r r! (n  r )! Resolviendo: 10 10! 10! 10  9  8  7! 10  9  8 720  ( )  = = = 120 3! 6 3 3! (10  3)! 3!  7! 3!  7! Alternativa correcta: E.

35

Si A y B son sucesos tales que P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 y P(A  B) = 0,2, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

63.

A) P( A  B)  0,1 B) P(B  A )  0,4 C) P( A  B)  0,9 D) P( A  B c )  0,1 E) P(B c )  0,4 Solución: Trazando un diagrama de Venn y especificando las cifras de probabilidad dadas: A B B 0,1 0,2 0,4



0,3

Se puede constatar en el diagrama que: A) P( A  B)  0,1. Verdadero, porque P( A  B)  P( A)  P( A  B)  0,3 - 0,2 = 0,1. B) PB  A )  0,4. Verdadero, porque P(B  A)  P(B)  P( A  B)  0,6 - 0,2 = 0,4. C) P( A  B)  0,9. FALSO, porque P( A  B)  P( A)  P(B)  P( A  B) = 0,3 + 0,6 - 0,2 = 0,7. D) P( A  B c )  0,1. Verdadero, porque P( A  B c )  P( A  B) , igual que la alternativa A. E) P(B c )  0,4. Verdadero, porque P(B c )  1  P(B) = 1 - 0,6 = 0,4. Alternativa correcta: C.

3 1 Se tiene la función de probabilidad f ( x )  ( ) x  ( )1x ; con x = 0, 1. 4 4 ¿Cuál es la probabilidad de que x = 1?

64.

A) 0 B) 1/4 C) 1/3 D) 1/2 E) 3/4 Solución: En una función de probabilidad discreta, la probabilidad de que x  xa es igual al valor de la función en el punto x a . Reemplazando: 3 1 f ( x )  ( )x  ( )1 x . 4 4 3 1 3 f ( x  1)  ( )1  ( )11 = 4 4 4 Alternativa correcta: E.

36

65.

Según los entendidos, en un partido de fútbol, de cada diez goles, uno se hace desde media distancia, tres de pelota detenida, dos de jugadas que parten del centro del campo y cuatro de avances que parten por los costados, todas estas causas, independientes entre sí. Si se seleccionan al azar dos goles del mundial de Brasil 2014, ¿cuál es la probabilidad de que ambos hayan sido producto de una jugada que partió del centro del campo? A) 1/25 B) 2/25 C) 3/50 D) 1/6 E) 1/5 Solución: Sea C = El gol parte de jugada que se inició desde el centro del campo. Según datos: P(C) = 2/10 Se pide: P(C y C). Aplicando la propiedad multiplicativa de sucesos independientes: 2 2 1 P(C y C) = P(C) · P(C) = = · 10 10 25 Alternativa correcta: A.

66.

En una caja hay una gran cantidad de bolitas, de las cuales el 20% son negras. De esta caja se extraen 10 bolitas al azar, y se define la variable X = número de bolitas negras que resultan en una muestra de tamaño 10. En estas condiciones, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) X es una variable aleatoria discreta B) Un modelo apropiado de probabilidades en este caso es el binomial

1 C) La probabilidad de que las 10 bolitas resulten negras es ( )10 5 D) La probabilidad de que ninguna de las 10 bolitas resulte negra es 0 . E) El valor esperado de la función de probabilidad de X es 2. Solución: A) X es una variable aleatoria discreta. Afirmación verdadera. X cumple con las condiciones para ser tratada como variable aleatoria discreta. B) Un modelo apropiado de probabilidades en este caso es el binomial. Afirmación verdadera. Se dan las condiciones para aplicar el modelo binomial con parámetros n = 10 y p = 0,2.

 10 ( )  0,2x  0,810  x , si x  0, 1, 2...,10 f ( x)   x   0 en cualquier otro caso 1 C) La probabilidad de que las 10 bolitas resulten negras es ( )10 . Afirmación verdadera. 5 1 Aplicando la regla del producto, se llega a que esta probabilidad es igual a (0,2)10  ( )10 5 10 1 Aplicando el modelo binomial: f ( x  10)  ( )  0,210  0,81010  0,210  ( )10 10 5 D) La probabilidad de que ninguna de las 10 bolitas resulte negra es 0 . Afirmación FALSA. Aplicando la probabilidad del suceso contrario, se llega a que esta probabilidad es igual a (0,8)10  0.

10 Aplicando el modelo binomial: f ( x  0)  ( )  0,2 0  0,810  0,810  0. 0 E) El valor esperado de la función de probabilidad es 2. Afirmación verdadera. El valor esperado de un experimento binomial es E(X) = n  p  10  0,2  2 Alternativa correcta: D.

37

67.

En cierta comuna, en un día cualquiera, llueve con probabilidad 0,2, y corre viento con probabilidad 0,3, siendo ambos fenómenos independientes de lo que haya ocurrido el día anterior y, además, independientes entre sí. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)? I) La probabilidad de un día cualquiera llueva, pero sin viento, es 0,14. II) La probabilidad de que corra viento dos días seguidos es 0,09. III) La probabilidad de que un día cualquiera llueva, dado que corre viento es 0,6. A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III Solución: P(lluvia) = 0,2 P(no lluvia) = 0,8  P(viento) = 0,3 P(no viento) = 0,7  I) La probabilidad de un día cualquiera llueva, pero sin viento, es 0,14. Afirmación verdadera. Aplicando propiedad multiplicativa de los sucesos independientes: P(lluvia y no viento) = 0,2  0,7 = 0,14 II) La probabilidad de que corra viento dos días seguidos es 0,09. Afirmación verdadera. Como en un día cualquiera P(viento) = 0,3, en virtud de la propiedad multiplicativa: P(viento y viento) = 0,3  0,3 = 0,09. III) La probabilidad de que un día cualquiera llueva, dado que corre viento es 0,6. Afirmación FALSA. Esto es, la probabilidad de lluvia, condicionado a la ocurrencia de viento. Por el enunciado de la pregunta, se sabe que ambos fenómenos son independientes entre sí, por lo que la probabilidad de que llueva dado que corre viento es, simplemente, la probabilidad de lluvia. Es decir, 0,2. Alternativa correcta: C.

68.

Se tiene el siguienteP(x) gráfico de distribución de probabilidades de una variable aleatoria: 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

x

El Valor Esperado y la Varianza de la distribución son, respectivamente: A) 0,25 y 0,625 B) 1,6 y 0,84 C) 1,6 y 1,96 D) 1,6 y 0,92 E) 1,2 y 2,4 Solución: Cálculo del valor esperado: E(X) = 0  0,1 1 0,4  2  0,3  3  0,2 = 1,6 Cálculo de la varianza:

2  (0  1,6)2  0,1  (1  1,6)2  0,4  (2  1,6)2  0,3  (3  1,6)2  0,2 =  2  0,256  0,144  0,048  0,392  0,84 Alternativa correcta: B.

38

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº69 A LA Nº75 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69.

Es posible calcular el valor numérico de la expresión log 400 , si: (1) log 2 = 0,3 (2) log 5 = 0,7

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional Solución: (1) log 2 = 0,3 Como log 400  log20  log(2  10) Aplicando propiedades de los logaritmos, log(2  10)  log2  log10 , ambos términos conocidos. Por lo tanto, (1) por sí sola, sí soluciona lo planteado. (2) log 5 = 0,7

100 Como log 400  log20  log( ) 5 100 Aplicando propiedades de los logaritmos, log( )  log100  log5 , ambos términos conocidos. 5 Por lo tanto, (2) por sí sola, sí soluciona lo planteado. Entonces, cada una por sí sola soluciona lo planteado. Alternativa correcta: D.

39

En la figura se tiene la gráfica de una función de la forma y  p ·qx , con p y q constantes reales. Se puede calcular el valor numérico de p y de q, si:

70.

(1) R = (0, 100) (2) S = (2, 64) A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

y R y=f(x)

S x

(0,0)

Solución: (1) R = (0, 100) Con esta información, por sí sola, se puede plantear que 100  p ·q0 . Con esto solo se puede llegar al valor de p, pero no al valor de q. Luego, (1) por sí sola, NO es suficiente para resolver el problema. (2) S = (2, 64) Con esta información, por sí sola, se puede plantear que 64  p ·q2 . Con esto, no se puede llegar al valor de p, ni al valor de q. Luego, (2) por sí sola, NO resuelve el problema. Ambas juntas, (1) y (2) Con (1) se tiene que p = 100. Con (1) y (2) se puede plantear que: 64  100·q2 , de donde es fácil calcular q. Alternativa correcta: C.

71.

En el sistema coordenado de la figura, L 1 y L 2 son rectas. Es posible calcular el área sombreada entre L 1 y L 2 , si: (1) L 1 : y = 2x – 6; L 2 : x = 8

y

(2) L 2 : x = 8; c = 10 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

L2

L1

c x a

b

Solución: (1) L 1 : y = 2x – 6; L 2 : x = 8 El área sombreada es un triángulo. Por lo tanto, es posible calcular su área si se calcula su base ab y su altura c. Con la ecuación de L 1 , se puede calcular el punto a, puesto que y = 0. Con L 1 y L 2 se pueden calcular las coordenadas b y c. Por lo tanto, con la información (1), por sí sola, es posible calcular el área del triángulo. (2) L 2 : x = 8; c = 10 Con esta información, por sí sola, se puede calcular b y c, pero no a, ya que se desconoce L1. Luego, el área del triángulo señalado, no puede ser calculada. Alternativa correcta: A.

40

72.

En la figura, ABC es triángulo de altura CD= 10 cm. Es posible calcular el área de ABC, si: (1) AB = 12 cm. (2)

CD AD

C

= 1,25

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

A

B D

Solución: (1) AB = 12 Esta información corresponde a la base del triángulo ABC. Como su altura está dada = 10 cm, es posible calcular su área, sin necesidad de otra información. Luego, (1) por sí sola, sí resuelve lo planteado.

(2)

CD AD

= 1,25

Este dato es el cuociente entre la altura CD  10 cm y el cateto AD , de dimensión desconocida. El dato dado permite calcular AD , pero no la base AB . Por lo tanto, (2), por sí sola, no permite calcular el área de ABC. Alternativa correcta: A.

73.

En la figura, O es el centro de la circunferencia. El arco AB es congruente con el arco CD y

OP  CD . Es posible calcular AB , si: (1) OP = 5

P

D

(2) OB = 12

C

O

A

B

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Solución: (1) OP = 5 Con esta información, por sí sola, no se puede calcular AB . P

D

(2) OB = 12 Con esta información, por sí sola, no se puede calcular AB .

C

5 O

12

A

B

Ambas juntas, (1) y (2) Trazando la línea auxiliar OC , es posible distinguir la formación de un triángulo rectángulo de hipotenusa

OC = 12 y catetos OP = 5 y PC a calcular por el teorema de Pitágoras. Nótese que OC = OB porque son radios. Además, DC  2 PC y, finalmente, que AB  DC , porque subtienden arcos congruentes. Por lo tanto, con ambas informaciones juntas, sí es posible resolver el problema planteado. Alternativa correcta: C.

41

74.

¿Cuál es la varianza en la edad de 4 hermanos? (1) Sus edades suman 46 años. (2) La edad media de los 2 menores es 9 años y la de los 2 mayores es 14 años.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Solución: La varianza de una serie de datos numéricos es una medida de las distancias de esos datos respecto de su media aritmética. Por lo tanto, para su cálculo se requiere contar con información que permita determinar la media y la distancia de cada dato respecto de esta. (1) Sus edades suman 46 años. Con esta información solo se puede calcular la media aritmética, pero no la distancia de cada dato respecto de ella. Por lo tanto, (1) por sí sola, es insuficiente para resolver lo solicitado. (2) La edad media de los 2 menores es 9 años y la de los 2 mayores es 14 años. Con esta información solo se puede calcular la media aritmética entre los datos, pero no la distancia de cada uno respecto de ella. Por lo tanto, (2) por sí sola, es insuficiente para resolver lo solicitado. Ambas juntas, (1) y (2) Información insuficiente. Solo se tiene la media aritmética de los datos, pero ninguna información que permita calcular las distancias ya referidas. Luego, para resolver lo solicitado se requiere información adicional. Alternativa correcta: E.

75.

¿Cuál es la varianza de la distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta X? (1) El valor esperado de la distribución de X es igual a 2,4. (2) X se distribuye de la forma X ~ B(8; 0,3).

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Solución: (1) El valor esperado de la distribución de X es igual a 2,4. El valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta es, respectivamente: E(x) = xi  P( xi ) ;  2 ( x)  ( x i  E( x)) 2  P( x i ) La información dada indica que xi  P( xi ) = 2,4; lo que no permite calcular nada más. Por lo tanto, (1) por sí sola, NO resuelve el problema planteado. (2) X se distribuye de la forma X ~ B(8; 0,3). En el modelo binomial, la varianza es igual a  2 ( x)  n  p  (1  p) . La información dada indica que la variable X se distribuye binomialmente, con parámetros n = 8 y p = 0,3. Por lo tanto, (2) por sí sola, sí resuelve el problema planteado. Alternativa correcta: B.

42