PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 2002-2.003 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5

PRUEBA A 1. En una piscifactoría, se inició un cultivo con 90 ejemplares, de los cuales 64 llegaron a la edad adulta. De los que llegaron a la edad adulta, el peso medio fue de 3,1 kilos con una desviación típica de medio kilo. a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 90%. El intervalo de confianza para una proporción es  pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ )   pˆ − zα / 2  , pˆ + zα / 2   n n   Datos del problema: 64 n = 90; pˆ = = 0, 71; α = 0,1; zα / 2 = z0,05 = 1, 64 90  0.71(1 − 0.71) 0.71(1 − 0.71)  , 0.71 + 1.64  0.71 − 1.64  = ( 0.6315 , 0.7884 ) 90 90   b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 95%. El intervalo de confianza para una media muestral es:  σ σ  , x + zα / 2  x − zα / 2  n n  Datos del problema: n = 64; x = 3,1; σ = 0,1; α = 0, 05; α / 2 = 0, 025; z0,025 = 1,96  σ σ   0,5 0,5  , x + zα / 2 , 3,1 + 1,96  x − zα / 2  =  3,1 − 1,96  = (3,1 ± 0.1225) = (2.975,3.225) n n  64 64   2. Un fabricante de bombillas garantiza que el tiempo de duración de las bombillas sigue una normal de media 500 horas y desviación típica de 40 horas. a) Calcular la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure más de 450 horas. X = ” Duración de una bombilla”; X ≈ N (500, 40 )

La probabilidad de que una bombilla dure más de 450 horas es:  X − 500 450 − 500  P ( X > 450 ) = P  >  = P ( Z > −1.25 ) = 1 − P ( Z > 1.25 ) = 1 − 0.1056 = 0.8944 40  40  b) Calcular la probabilidad de que si se eligen 25 bombillas al azar la duración media sea mayor que 510 horas. La media, X , de la duración de 25 bombillas sigue una normal de media 500 y desviación típica 40 = 8 , es decir, X ≈ N (500, 8) 25  X − 500 514 − 500  P ( X > 514 ) = P  >  = P ( Z > 1.75 ) = 0.0401 8 8   c) Para verificar lo que nos dice el fabricante en cuanto a la media de la duración, se hizo una prueba con 49 bombillas obteniéndose una media muestral de 492 horas. ¿Podemos aceptar que la media de duración es de 500 horas, con un nivel de confianza del 90%? Se nos plantea un contraste de hipótesis:

H 0 : µ = µ0  H 0 : µ = 500  →  H1 : µ ≠ µ0  H1 : µ ≠ 500   σ σ  Para este contraste, la región de aceptación es R.A.=  µ0 − zα / 2 , µ0 + zα / 2  n n  Si x ∈ R. A. aceptamos la hipótesis nula y en caso contrario la rechazamos. Datos del problema: x = 492; n = 49; µ 0 = 500; σ = 40; α = 0,1; α / 2 = 0, 05; z0,05 = 1.64  40 40  R. A. =  500 − 1.64 , 500 + 1.64  = ( 492.62, 509.37 ) 49 49   Como 492 ∈ ( 492.62, 509.37 ) aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que µ = 500 La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico x − µ0 de prueba, z = y ver si cae en la región de aceptación que para este test bilateral es: σ n R.A.= ( − zα / 2 , zα / 2 ) = ( −1.64 , 1.64 ) ;

z=

492 − 500 = −1.4 ; 40

49 como −1.4 ∈ ( −1.64, 1.64 ) , aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que µ = 500 . 3. Una empresa tiene dos fábricas, los gastos, en cientos de euros, de cada fabrica en función del número de trabajadores se obtienen según las funciones: f ( x) = 2 x 2 + 12 x − 14; x ≥ 2

g ( x ) = x 2 + 18 x + 2; x ≥ 2 a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son h( x) = 48 x . ¿Con que número de trabajadores maximiza el beneficio la primera fábrica? Beneficios = Ingresos - Gastos b( x ) = h( x) − f ( x) = 48x − (2 x 2 + 12 x − 14) = −2 x 2 + 36 x + 14 b '( x ) = −4 x + 36 b '( x ) = 0 ⇔ x = 9 b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, ¿con que número de trabajadores se consigue? x = −2  f ( x) = g ( x) ⇔ 2 x 2 + 12 x − 14 = x 2 + 18 x + 2 ⇔ x 2 − 6 x − 16 = 0 ⇔  x = 8 

4. Se quiere pintar la parte frontal de una pista de patinar, que tiene la forma: x2 La curva interior está descrita por la parábola f ( x ) = 9 a)

¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar en esta parte frontal? b) Si se pinta también la parte trasera que es igual a la frontal, y cada metro cuadrado lleva 0,25 litros de pintura, que cuesta a 5 euros el litro ¿cuanto cuesta la pintura?

1m

3m

1.5m

a) La superficie a pintar es el área bajo la parábola entre los puntos –3 y 3 junto con los dos rectángulos laterales de 1,5 x 1 3

1 2 1 x3  S = 2(1,5 × 1) + ∫ x dx = 3 +  = 3 + (1 + 1) = 5 −3 9 9 3  −3 b) Precio = 2 × 5 × 0.25 × 5 = 12.5 3

5. Se tienen que empaquetar 1500 unidades de un artículo en cajas de 5, 10 y 25 unidades, de manera que haya el triple de cajas de 5 unidades que de 10 unidades y que en total haya 90 cajas. ¿cuántas cajas tiene que haber de cada tipo? 5 A + 10 B + 25C = 1500  A + B + C = 90 A + B + C = 90      A = 3B  → A − 3B = 0  → − 4 B − C = −90   5 A + 10 B + 25C = 1500  5 B + 20C = 1050  A + B + C = 90   A + B + C = 90 A + B + C = 90 A = 10       → − 20 B − 5C = −450  → − 20 B − 15C = −1350  → B = 30   20 B + 80C = 4200  75C = 3750  C = 50 

PRUEBA B 1.-Una de las pruebas de acceso a la universidad para personas mayores de 25 años consiste en un test con 100 preguntas, cada una de las cuales dos posibles respuestas, siendo sólo una de ellas correcta. Para superar esta prueba debe obtenerse, al menos, 60 respuestas correctas. Si una persona contesta al azar, es decir, elige de forma aleatoria una de los dos respuestas posibles de cada una de las 100 preguntas: a) ¿Cuál será el numero esperado de respuestas correctas? Sea la variable, X=”nº de respuestas correctas en las 100 preguntas”, como la probabilidad de responder correctamente una pregunta si se contesta al azar es p=0.5, se tiene que: X ≈ B(100, 0.5) Para una variable binomial, B(n,p), su valor medio esperado es n·p, en este caso 100·0.5 = 50. b) ¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba? Nos piden calcular, P ( X ≥ 60 ) , hacerlo directamente supondría los 41 casos del 60 hasta 100, o bien por el complementario supondría los 60 casos del 0 hasta 59. En ambos casos el cálculo a realizar es muy grande. Vamos a comprobar si se dan las condiciones para aproximar una binomial por una normal X ' ≈ N n· p, n· p·(1 − p)

(

)

n· p > 5 100·0.5 = 50 > 5    en este caso  por tanto se puede utilizar la aproximación. n(1 − p ) > 5 100(1 − 0.5) = 50 > 5

X se distribuye aproximadamente igual que X ' ≈ N (50,5 ) .

 X '− 50 59.5 − 50  P ( X ≥ 60 ) ≅ P ( X ' ≥ 59.5 ) = P  >  = P ( z > 1.9 ) = 0.0287 5  5  Si no se hace corrección por continuidad  X '− 50 60 − 50  P ( X ≥ 60 ) ≅ P ( X ' ≥ 60 ) = P  >  = P ( z > 2 ) = 0.0228 5   5 2.-En una gran ciudad española la altura de sus habitantes tiene una desviación típica de 8 cm. Se pide: a) Si la altura media de dichos habitantes fuera 175 cm., ¿cuál sería la probabilidad de que la altura media de una muestra de 100 individuos tomada al azar fuera superior a 176 cm? La media, X , de la altura de 100 individuos sigue una normal de media 175 y desviación típica 8 = 0.8 , es decir, X ≈ N (175, 0.8 ) 100  X − 175 176 − 175  P ( X > 176 ) = P  >  = P ( Z > 1.25 ) = 0.1056 0.8   0.8 b) Si se considera una muestra aleatoria de 100 individuos de esta ciudad se obtiene una altura media de 178 cm. Determina un intervalo de confianza del 95% para la altura media de los habitantes de esta ciudad. El intervalo de confianza para una media muestral es:  σ σ  , x + zα / 2  x − zα / 2  n n  Datos del problema:

n = 100; x = 178; σ = 8; α = 0, 05; α / 2 = 0,025; z0,025 = 1,96  σ σ   8 8  , x + zα / 2 , 178 + 1,96  x − zα / 2  = 178 − 1,96  = (178 ± 1.56 ) = (176.43,179.56 ) n n  100 100   3.Según la ley electoral de cierto país, para obtener representación parlamentaria un partido político ha de conseguir, en las elecciones correspondientes, al menos el 5% de los votos. Próximas a celebrarse tales elecciones, una encuesta realizada sobre 1000 ciudadanos elegidos al azar revela que 36 de ellos votarán al partido A. a) ¿Puede aceptarse, con un nivel de significación del 5% que A tendrá representación parlamentaria?

H 0 : p ≥ p0  H 0 : p ≥ 0, 05 →  H1 : p < p0  H1 : p < 0, 05   p0 (1 − p0 )   Para este contraste la región de rechazo es R.R.=  0 , p0 − zα   n   ˆ Si p ∈ R.R. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema: 36 n = 1000; pˆ = = 0, 036; p0 = 0, 05; α = 0, 05; z0,05 = 1, 64 1000  0, 05 (1 − 0, 05 )   = ( 0 , 0.03869 ) R.R. =  0 , 0.05 − 1.64   1000   Como 0, 036 ∈ ( 0 , 0.03869 ) rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que p ≥ 0, 05 . La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico p − p0 y ver si cae en la región de rechazo para este estadístico en este de prueba, z = p0 (1 − p0 ) n contraste, que a un nivel de significación α =0.05, es, R.R.= ( −∞ , − zα ) = ( −∞ , − 1.64 ) . z=

0, 036 − 0, 05

= −2.031 ; 0, 05(1 − 0,05) 1000 Como −2.031 ∈ ( −∞ , − 1.64 ) , rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que p ≥ 0, 05 . b) ¿y con un nivel de significación del 1%? 0, 036 − 0, 05 El estadístico sigue siendo z = = −2.031 0, 05(1 − 0,05) 1000 La región de rechazo para este estadístico en este contraste, con α =0.01, es, R.R.= ( −∞ , − zα ) = ( −∞ , − 2.33) . Como −2.031 ∉ ( −∞ , − 2.33) , aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que p ≥ 0, 05 .

4.- Un almacén de frutas para atender a sus clientes, debe tener almacenados un mínimo de 10 toneladas de naranjas y 20 toneladas de manzanas. El numero de toneladas de manzanas no debe ser inferior a la mitad del numero de toneladas de naranjas. Si la capacidad total del almacén es de 80 toneladas, el gastos de almacenaje de una tonelada de naranjas es de 30 euros y el de una tonelada de manzanas es de 9 euros, a) ¿Cuántas toneladas habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? b) ¿Y máximo?

Min f ( x, y) = 30 x + 9 y s.a.: x + y ≤ 90 x − 2y ≤ 0 y ≥ 20

x + y ≤ 90

x − 2y ≥ 0

y ≥ 20

La función objetivo es f ( x, y ) = 30 x + 9 y Los puntos extremos de la región factible son (0, 20 ) → f (0, 20 ) = 9* 20 = 180

(0, 90 ) → f (0, 90 ) = 9*90 = 810 ( 40, 20 ) → f ( 40, 20 ) = 30 * 40 + 9 * 20 = 1380 (60,30 ) → f (60, 30 ) = 30*60 + 9*30 = 2070

Por tanto el máximo se alcanza en el punto ( x, y ) = ( 60,30 ) con un gasto de 2070€.

El mínimo se alcanza en el punto ( x, y ) = ( 0, 20 ) con un gasto de 180€.

5.-El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es

1 2 x + 5 x + 25 y el precio 4

x  de venta de una de ellas está en función de la producción total es  50 -  euros por cada unidad. 4  a) Haya el precio de venta si se producen 12 unidades. b) Haya los ingresos de producir 12 unidades. c) Haya los beneficios de producir 12 unidades. d) Haya el número de unidades que deben venderse diariamente para el beneficio sea máximo. 12   a)  50 -  = 47 4  b) 47*12=564 c) x 1  1  b( x ) =  50 -  x −  x 2 + 5 x + 25  = − x 2 + 45 x − 25 4 2  4  1 b(12) = − 122 + 45 *12 x − 25 = 443 2 d) 1 b( x ) = − x 2 + 45 x − 25 2 b '( x ) = − x + 45 b '( x ) = 0 ⇔ x = 45 b(45) = 987.5