Puntos y rectas en el triángulo En los triángulos hay un conjunto de rectas y puntos importantes. Las rectas son las bisectrices, las mediatrices, las alturas, las medianas y las bisectrices exteriores. Los puntos donde se cortan estas rectas son el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el baricentro y los exincentros, respectivamente. Tal como hemos hecho previamente, dado un triángulo 4ABC, denotaremos por α, β y γ a los ángulos correspondientes a los vértices A, B y C, respectivamente, y por a, b y c a los lados opuestos a dichos vértices, respectivamente.

En primer lugar definimos las bisectrices de un triángulo y el punto donde se cortan, llamado incentro. Definición. [Bisectrices de un triángulo] Las bisectrices de un triángulo 4ABC son las bisectrices de los ángulos α, β y γ , respectivamente denotadas por wa , wb y wc .

Proposición. [Incentro de un triángulo] Las tres bisectrices de un triángulo 4ABC se cortan en un solo punto I, llamado el incentro de 4ABC, el cual es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demostración. Sea I el punto donde se cortan las rectas wa y wb . Es sencillo ver que I es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Como I ∈ wa , el punto está a la misma distancia del lado b y del lado c, ver figura de la derecha (los dos triángulos rectángulos son congruentes por el criterio ALA). Por otro lado, como también I ∈ wb , el punto está a la misma distancia del lado a y del lado c. Entonces está a la misma distancia de los tres lados. Esta distancia es el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Esto implica directamente que la recta wc también pasa por I, de manera que la intersección de las tres rectas es el incentro.

Figura 1: Bisectrices de un triángulo

Figura 2:

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A continuación definimos las mediatrices de un triángulo y el punto donde se cortan, llamado circuncentro. Definición. [Mediatrices de un triángulo] Las mediatrices de un triángulo 4ABC son las mediatrices de los lados a, b y c , respectivamente denotadas por ta , tb y tc . Proposición. [Circuncentro de un triángulo] Las tres mediatrices de un triángulo 4ABC se cortan en un solo punto O, el cual se denomina el circuncentro de 4ABC, siendo el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Figura 3: Mediatrices y circuncentro

Demostración. Sea O el punto de corte de las rectas ta y tb . Por la definición de mediatriz tenemos que |OA| = |OC| y |OC| = |OB|, de donde |OA| = |OB| y por lo tanto O tiene que estar en tc . Además la circunferencia de centro en O y radio r = |OA| pasa por los tres vértices. Observación. A diferencia del incentro, que tiene que estar dentro del triángulo, el circuncentro puede estar fuera del triángulo como en el caso mostrado en la figura anterior. Pero también puede estar dentro, como lo muestra la figura de la derecha.

Figura 4: Circuncentro dentro del triángulo

En tercer lugar definimos las alturas de un triángulo y el punto donde se cortan, conocido como ortocentro. Definición. [Alturas de un triángulo] Una áltura de un triángulo 4ABC es una recta perpendicular a un lado del triángulo que pasa por el vértice opuesto a dicho lado. Las tres alturas de 4ABC se denotarán por ha , hb y hc .

Proposición. [Ortocentro de un triángulo] Las tres alturas de un triángulo 4ABC se cortan en un solo punto H, llamado el ortocentro de 4ABC.

Figura 5: Alturas de un triángulo

Demostración. Requerimos de una construcción auxiliar. Tracemos una paralela a cada lado de 4ABC por el vértice opuesto, como muestra la figura de la derecha. Se forma otro triángulo 4A0 B0 C0 . Observamos que se obtienen seis paralelogramos ♦ACBC0 ♦ABA0 C ♦ACA0 B ♦BCB0 A 0 ♦ABCB ♦BCAC0 Figura 6: Triángulo auxiliar 4A0 B0 C0

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En consecuencia, |BC| = |AB0 | = |C0 A|. Entonces A es el punto medio del lado C0 B0 . Por razonamientos similares se puede ver que B es el punto medio del lado C0 A0 y C es el punto medio del lado A0 B0 . De esta manera obtenemos que las alturas de 4ABC son las mediatrices de 4A0 B0 C0 y, por la proposición anterior, se cortan en un punto común que es el circuncentro de 4A0 B0 C0 . Ese punto es el que buscamos, lo llamamos H y se define como el ortocentro de 4ABC. Precisando lo dicho en la demostración anterior, destacamos el siguiente corolario. Corolario. El ortocentro del triángulo 4ABC es el circuncentro del triángulo 4A0 B0 C0 . Observación. Al igual que en el caso del circuncentro, el ortocentro puede estar fuera del triángulo, como lo muestra la figura de la derecha.

Ahora consideramos las medianas de un triángulo y el punto donde se cortan, llamado baricentro o centro de gravedad.

Figura 7: Ortocentro fuera del triángulo

Definición. [Medianas de un triángulo] Una mediana de un triángulo 4ABC es una recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Las tres medianas de 4ABC se denotarán por ma , mb y mc . Para un triángulo 4ABC, denotaremos por Ma , Mb y Mc a los puntos medios de a, b y c, respectivamente.

Figura 8: Medianas de un triángulo

Proposición. [Baricentro o centro de gravedad de un triángulo] Las tres medianas de un triángulo 4ABC se cortan en un único punto G, llamado el baricentro o centro de gravedad de 4ABC. Además se cumple que la distancia de G al punto medio de un lado es 1/3 de la distancia de ese punto medio al vértice opuesto, es decir, |GMa | =

1 |AMa | , 3

|GMb | =

1 |BMb | 3

y

|GMc | =

1 |CMc | 3

Demostración. Comenzamos trazando el segmento Mb Mc . Como Mb y Mc son los puntos medios de los lados del triángulo, por el teorema de Thales, el segmento Mb Mc es paralelo al lado BC y, en consecuencia, los triángulos 4GMb Mc y 4GBC son semejantes. En la figura de la derecha se destacan los correspondientes ángulos iguales. Ahora, como |Mb Mc | = 21 |BC|, la razón de la semejanza es 1/2. Luego |GMb | = 21 |GB| y |GMc | = 12 |GC|.

Figura 9:

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Si consideramos la tercera mediana ma , ella debe cortar a la mediana mb en un punto G0 , tal que |G0 Mc | = 12 |G0 C|. Entonces esto implica que G0 = G. Finalmente, como |CMc | = |GC| + |GMc | y como 2 |GMc | = |GC|, se concluye que |CMc | = 3 |GMc |, es decir |GMc | = 31 |CMc |. De manera análoga podemos comprobar las otras dos igualdades. El siguiente corolario es inmediato del resultado anterior. Corolario. La distancia de G a un vértice del triángulo es 2/3 de la distancia de ese vértice al punto medio del lado opuesto.

Finalmente consideramos las bisectrices exteriores y puntos con una propiedad interesante, los ex-incentros. Definición. [Bisectrices exteriores de un triángulo] Vamos a llamar bisectrices exteriores de un triángulo 4ABC a las bisectrices de los ángulos suplementarios de α, β y γ. Las bisectrices exteriores respectivas se denotan 0 , w0 y w0 . por wa c b La siguiente proposición es intuitivamente clara. Proposición. El ángulo que forma una bisectriz con la bisectriz exterior correspondiente mide π/2.

0 Figura 10: Bisectriz exterior wa

Demostración. Lo hacemos para la bisectriz y la exterior al ángulo α, los otros casos son idénticos. La bisectriz wa divide a α en dos 0 divide al ángulos iguales de medida α/2. La bisectriz exterior wa 0 ángulo suplementario α = π − α en dos ángulos iguales de medida 0 es (π − α) /2. Se concluye que el ángulo entre wa y wa π α π−α + = 2 2 2

Proposición. [Ex-incentros de un triángulo] La bisectriz interna a un ángulo de un triángulo 4ABC y las dos bisectrices exteriores correspondientes a los otros dos ángulos del triángulo se cortan en un punto llamado un ex-incentro de 4ABC 0 . EntonDemostración. En efecto, sea Ib el punto de corte de wb y wa ← → ← → ces Ib está a la misma distancia de la recta AB que de la recta BC, porque Ib ∈ wb . De igual manera, Ib está a la misma distancia de la ← → ← → 0 . recta AB que de la recta AC, porque Ib ∈ wa ← → En consecuencia, está a igual distancia de la recta AC que de la ← → recta BC, lo cual implica que Ib ∈ wc0 y se concluye que el punto es común a las tres rectas mencionadas.

Figura 11: Ex-incentro Ib

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Observación. Los ex-incentros del triángulo son los centros de las circunferencias ex-inscritas del triángulo, como se aprecia en la siguiente figura

Figura 12: Circunferencias ex-inscritas