C A P ´I T U L O

2

Radiaci´ on electromagn´ etica

2.1.

ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS

1. El campo el´ectrico de una onda electromagn´etica plana en el vac´ıo viene   dado, en unidades del sistema internacional (SI), por Ex = 0, Ey = 5 cos 6 × 1013 (t − x/c) y Ez = 0. Indique cu´ al es la direcci´ on de propagaci´on y el plano de polarizaci´on de la onda y calcule su frecuencia, su longitud de onda y su intensidad media. Soluci´ on: La direcci´ on de propagaci´on es: x La frecuencia: ν = 9,5 · 10

12

Plano de polarizaci´on: xy

La longitud de onda:λ = 3,16 · 104 nm w Intensidad media I = 0,033 2 m Hz (Infrarrojo)

2. El campo el´ectrico de una onda electromagn´etica plana viene dado por E = E0x cos(ωt − kz)i + E0y cos(ωt − kz)j. Determine el plano de polarizaci´on de la onda, el campo magn´etico que lleva asociado, el vector de Poynting y la intensidad. Soluci´ on:  Plano de polarizaci´on de la onda: α = atan Campo magn´etico asociado: Bx = −

E0y E0x



E0y E0x cos(ωt − kz) y By = − cos(ωt − kz) c c

Vector de Poynting: S = cε0 E02 cos2 (ωt − kz)k Intensidad: I = hSi =

2 2 cε0 (E0x + Eoy ) cε0 E02 = 2 2

2

Cap´ıtulo 2

Radiaci´ on electromagn´etica

3. El campo el´ectrico de una onda electromagn´etica plana viene dado por E = E0 cos(ωt − kz)i + E0 sen(ωt − kz)j. Estudie la polarizaci´on de la onda y determine el campo magn´etico asociado, el vector de Poynting y la intensidad. Soluci´ on: La polarizaci´on es circular Campo magn´etico asociado:

B = B0x sen(ωt − kz)i + B0y cos(ωt − kz)j E E B0y = c0y = Ec0 y B0x = − c0y = − Ec0

Vector de Poynting: S = cε0 E02 k Intensidad: I = hSi = cε0 E02 4. Demuestre que el valor medio temporal de la funci´on cos2 (ωt − kz) vale 1/2. Soluci´ on:

 1 cos2 (ωt − kz) = , para T  τ 2

5. La intensidad m´ınima de luz que puede percibir el ojo humano es aproximadamente 10−10 W/m2 . ¿Cu´ antos fotones con longitud de onda de 5600 ˚ A entran por segundo en la pupila del ojo a esta intensidad? El ´ area de la pupila es aproximadamente 0.5 cm2 . Soluci´ on: Φ = 14085,9

f otones s

6. Calcule la densidad de fotones que lleva un haz de radiaci´on monocrom´atica de intensidad 6 W/m2 , cuya longitud de onda es: a) 100 m; b) 1 cm; c) 10000 nm; d) 5000 ˚ A ; e) 100 ˚ A ; f) A y g) 0.01 ˚ A . ¿A qu´e regiones del espectro pertenecen estas ondas? 1˚ λ 100 m 1cm = 10−2 m 10−4 nm = 10−5 m Soluci´ on: ˚ = 5 · 10−7 m 5000A ˚ = 10−8 m 100A ˚ 1A = 10−10 m ˚ = 10−12 m 0,01A

Regi´ on espectral Ondas de radio Microondas Infrarroja Visible Ultravioleta Rayos X Rayos gamma

uf f otones m3 1019 1015 1012 5 · 1010 109 107 105

7. Se demuestra que un dipolo el´ectrico que oscila con una frecuencia ω emite ondas electromagn´eticas esf´ericas a su alrededor, cuyo campo el´ectrico viene dado por d0 sen θω 2 sen(ωt − kr) 4π0 c2 r donde d0 es la amplitud del dipolo. Calcule la intensidad promedio de la radiaci´on y la potencia emitida. E=

Soluci´ on: I =

d20 sen2 θω 4 32π 2 ε0 r2 c3

P =

d20 ω 4 12πε0 c3

Secci´on 2.1

Enunciados y soluciones de los Problemas

3

8. La luz del Sol llega a la Tierra con una intensidad media de 1370 W/m2 . Esta intensidad es la denominada constante solar. Calcule la presi´on de radiaci´on sobre un panel de c´elulas solares totalmente absorbente. Si la longitud de onda promedio es de 7000 ˚ A , calcule el flujo fot´ onico que llega al panel. Soluci´ on: P = 4,6 · 10−6

N m2

Φ = 4,8 · 1021

f otones s m2

9. Un haz de rayos X atraviesa un material que contiene electrones libres. Seg´ un la teor´ıa cl´ asica de la radiaci´ on electromagn´etica, el haz dispersado tiene la misma longitud de onda que el haz incidente y su intensidad varia con el ´angulo de dispersi´on. Arthur H. Compton explic´ o este efecto en 1923 asumiendo que la radiaci´on electromagn´etica se comporta de forma corpuscular. Deduzca la expresi´on λ0 − λ = (1 − cos θ)h/(me c), que relaciona la longitud de onda del haz dispersado, λ0 , con la del haz incidente, λ, interpretando el proceso como una colisi´ on (relativista) entre un fot´on y un electr´on libre inicialmente en reposo. Soluci´ on: λ0 − λ = (1 − cos θ)h/(me c) 10. Se observa la dispersi´ on por electrones libres de los siguientes haces de radiaci´on electromagn´etica a 90◦ del haz incidente: a) rayos ultravioleta con λ = 100 ˚ A ; b) rayos x con λ = 1˚ A y c) rayos gamma con λ = 0.01 ˚ A . Calcule en cada caso el porcentaje en el que aumenta la longitud de onda y el porcentaje de energ´ıa que pierde el fot´on incidente. caso a Soluci´ on: b c

Haz incidente ˚ (Ultravioleta) λ = 100 A ˚ λ = 1 A (Rayos X) ˚ (Rayos gamma) λ = 0,01 A

∆λ( %) 0.02426 2.426 242.6

∆Efot´on ( %) -0.024 -2.37 -70.8

11. Demuestre que la intensidad de la radiaci´on de un cuerpo negro est´a relacionada con la densidad de energ´ıa mediante la expresi´on E(ν, T ) = (c/4)u(ν, T ). Soluci´ on: E(ν, T ) = (c/4)u(ν, T ) 12. Demuestre que la ley de radiaci´on de Planck del cuerpo negro coincide con las leyes de Wien y de Rayleigh-Jeans en los l´ımites de altas y bajas frecuencias, respectivamente. Ley Ley de Planck

Condici´on

Soluci´ on: Ley de Rayleigh-Jeans Ley de Wien

hν  kB T hν  kB T

Expresi´on uP (ν, T ) =

8πhν 3 c3

1 hν −1

e kB T 2

uRJ (ν, T ) = 8πhν c3 kB T −βν uW (ν, T ) = Aν 3 e T , con A =

8πh c3

yβ=

13. Deduzca la ley de Stefan-Boltzmann a partir de la f´ormula de Planck para la densidad espectral de un cuerpo negro. Soluci´ on: I(T ) = σT 4 14. Exprese la densidad de energ´ıa espectral de la radiaci´on del cuerpo negro en funci´on de la longitud de onda. Soluci´ on: u(λ)

8πhc h

hc

i

λ5 e λkB T − 1

h kB

4

Cap´ıtulo 2

Radiaci´ on electromagn´etica

15. Deduzca la ley de desplazamiento de Wien a partir de la f´ormula de Planck para la densidad espectral de un cuerpo negro expresada en funci´on de la longitud de onda.

Soluci´ on: λmax T = 2,899 · 10−3 mK

16. Calcule la longitud de onda m´ axima a la que emiten los siguientes sistemas, considerados como cuerpos negros, e indique a qu´e zona del espectro electromagn´etico pertenece dicha radiaci´ on: a) una explosi´ on termonuclear (107 K); b) la estrella polar (8300 K); (c) el Sol (5700 K); (d) un cuerpo a temperatura ambiente (25◦ ) y (d) el espacio interestelar (2.7 K) desde donde se emite la radiaci´ on de fondo del Universo.

Sistema Explosi´ on termonluclear Estrella Polar Soluci´ on: Sol Temperatura ambiente Espacio interestelar

T(K) 107 8300 5700 298 2,7

λmax 2,89 · 10−10 m = 0,285 nm 3,5 · 10−7 m = 350 nm 5 · 10−7 m = 500 nm 9,7 · 10−6 m = 9700 nm 1 · 10−3 m = 1 mm

R. Espectral Rayos X Ultravioleta Visible Infrarrojo Microondas

17. El Sol emite energ´ıa radiante con una potencia de 3.9×1026 W. Calcule la intensidad de la radiaci´ on sobre la superficie solar, la temperatura a la que se encuentra la superficie, suponiendo que el Sol se comporta como un cuerpo negro, y la intensidad de la radiaci´on que llega a la Tierra, es decir la constante solar. El radio del Sol vale 7×108 m y la distancia a la Tierra es de 1.5×1011 m.

Soluci´ on: Isolar = 6,3 · 107

w m2

Tsolar = 5774K

IT ierra = 1372

N m2

18. Suponga que la Tierra emite radiaci´ on como un cuerpo negro y que esta radiaci´on se encuentra en equilibrio con la que recibe del Sol, de la que refleja un 30 %. Calcule la temperatura media de la Tierra.

Soluci´ on: T = 255K = −18◦ C

Secci´on 2.1

Enunciados y soluciones de los Problemas

5

19. Una peque˜ na nave espacial se encuentra a 9.3×109 m del Sol. En un momento dado despliega una vela solar completamente reflectora de 100 m2 de superficie, sobre la que inciden perpendicularmente los rayos del Sol. Calcule el tiempo que tarda la nave en cruzar la ´orbita de la Tierra, impulsada u ´nicamente por el viento solar. Compruebe que la aceleraci´on gravitacional con la que el Sol atrae a la nave no es despreciable. La nave pesa 200 Kg, la masa de Sol es 2×1030 Kg, su radio vale 7×108 m, la intensidad de la radiaci´on en la superficie solar es de 6.3×107 W/m2 , la distancia media a la ´orbita de la Tierra vale 1.5×1011 m y la constante de la gravedad es 6.67×10−11 Nm2 Kg−2 . Soluci´ on: Intensidad en el punto en que se encuentra la nave: I = 3 · 105 Presi´ on de la radiaci´on sobre la vela: P = 2 · 10−3

w m2

N m2

Fuerza sobre la vela: F = 0,2N Aceleraci´on debida al viento solar: a = 1 · 10−3

m s2

Distancia recorrida hasta la ´orbita de la Tierra: d = 1,4 · 1011 m Tiempo empleado en recorre esa distancia: t = 193 d´ıas m Aceleraci´on con que el Sol atrae a la nave: a = 1,33 2 s ˚ se observa en 20. La l´ınea de emisi´ on del hidr´ogeno que tiene una longitud de onda de 1216 A el espectro de cierta galaxia a 1315 ˚ A. Calcule la velocidad a la que se mueve la galaxia de nosotros usando tanto la expresi´on exacta que proporciona la variaci´on de la frecuencia por efecto Doppler, como la expresi´on aproximada para el caso en el que v/c