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REC TAS EN EL ESPACIO
1 RECTAS EN EL ESPACIO
Dado un punto en el espacio puntos
Q( x, y, z )
P( x0 , y0 , z0 )
y un vector
v
se llama recta al conjunto de
del espacio para los cuales se cumple que el vector
al vector v . Es decir existe un numero real t para los cuales denomina vector director ya que le da la dirección a la recta. Consideremos la recta
que pasa por
recta es paralela al vector
P( x1 , y1 , z1 )
PQ t v y por
PQ
es paralelo
, el vector
v
se le
Q( x2 , y2 , z2 ) . Esta
v PQ x2 x1, y2 y1, z2 z1
, por lo tanto,
dado un punto P( x, y, z ) que pertenezca a la recta, se debe cumplir que
PQ t v
Ecuaciones simétricas de una recta Sean
P( x0 , y0 , z0 )
v a, b, c PQ t v
y
Q( x, y, z )
dos
puntos
del
espacio
y
sea
un vector director de una recta, por definición de debe cumplir que
lo que implica que
x x0 , y y0 , z z0 t a, b, c
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x x0 , y y0 , z z0 at, bt, ct Como los dos vectores son iguales, sus componentes correspondientes deben ser iguales es decir,
x x0 at y y0 bt z z0 ct Despejando x, y z, se llega a
x x0 at y y0 bt z z0 ct Expresiones que se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta, ya que x , y z dependen del parámetro t. Ahora, si las componentes del vector director a , b y c son todas diferentes de cero, despejando el parámetro t se llega la ecuación simétrica de la recta
x x0 y y0 z z0 a b c Nota. Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta para obtener una ecuación, las ecuación de una recta no es única.
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EJEMPLO 1
Consideremos la recta que pasa por los puntos encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta.
P(1,3,2)
y
Q(2,1,2)
Como primer paso se debe encontrar el vector director, para ello se tiene que
v PQ x2 x1, y2 y1, z2 z1 v 2 11,1 3,2 (2) v 1,2,0 Dibujando el vector director y los puntos dados se tiene que.
Tomando un punto cualquiera y el vector director se tiene que
v a, b, c 1,2,0 ESP. DANIEL SAENZ C
de donde
a 1; b 2; c 0 Página 3
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Del punto P(1,3,2) se tiene que x0 1; y0 en las ecuaciones paramétricas se llega a:
3; z0 2
x x0 at
x 1 t
y y0 bt
y 3 2t
z z0 ct
con lo que
remplazando
z 2
Dándole valores al parámetro t se pueden encontrar puntos de la recta. Así si t = 2
x 1 2 3 y 3 2( 2) 1 z 2 Se tiene el punto
R(3,1,2)
Ejemplo, sean las ecuaciones paramétricas de la recta L definidas por
x 1 3t y 3 2t z 2 t Determine si el punto
R(7,1,0)
pertenece a dicha recta.
Lo primero que hacemos es determinar el valor del parámetro t, para ello remplazamos el valor de x en la ecuación paramétrica y despejamos t.
7 1 3t 7 1 3t 6 3t
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6 t 3 t2 Reemplazamos ahora el valor del t en y ,z para ver si los resultados coinciden con las coordenadas del punto dado.
y 3 2t 3 2(2) 3 4 1 z 2 t 2 2 0 Vemos que los resultados coinciden con las componentes de R, luego el punto esta en la recta. Ángulo, paralelismo, perpendicularidad e intersección
Dadas dos rectas entonces
L1
y
L2
cuyos ángulos directores son
v,w
respectivamente,
1) Las rectas son paralelas si sus ángulos directores lo son 2) Las rectas son perpendiculares si sus ángulos directores lo son 3) El ángulo que se forma entre las dos rectas es igual al ángulo determinado por los vectores directores.
Rectas paralelas
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Rectas perpendiculares
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Ejemplo, sean las rectas cuyas ecuaciones paramétricas se definen como.
x 1 3t L1 : y 3 2t z 2 t
x 4 2s L2 : y 3 2s z 2 3s
Los vectores directores de las dos rectas son
v 3,2,1
y
w 2,2,3
. Miremos ahora si las rectas son: A) Paralelas.
v kw 3,2,1 k 2,2,3 3,2,1 2k ,2k ,3k 3 2 2 2k de donde k 1
3 2kde donde k
Luego no son paralelos, ya que se encontraron valores diferentes para k. B) Perpendiculares
v w 3(2) (2)( 2) 1(3) 6 4 3 5 0 Luego no son perpendiculares, ya que el producto punto es diferente de cero C) Como no son ni perpendiculares no paralelas, el ángulo en ellas es:
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Cos
vw v w
7
5 32 (2) 2 1 22 22 32
5 14 17
5 0.3241028832 15.4272 71.0880 Cos
Intersección Para calcular la intersección entre dos rectas L1 y L2, igualamos sus ecuaciones paramétricas de las rectas
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Buscamos la solución del sistema que resulta. Si hay solución única: las rectas se intersecan en un solo punto Si hay infinitas soluciones: las rectas coinciden Si
no
hay
solución:
las
rectas
no
se
intersecan
Observe que, para el cálculo de la intersección, usamos un parámetro distinto en cada recta. Esto es así porque si hay un punto de intersección, usualmente puede ser obtenido, en cada recta, con un valor de parámetro distinto. Ejemplo. Sean las rectas cuyas ecuaciones paramétricas están dadas por
x 1 4t L1 : y 3 t z 1
x 13 12s L2 : y 1 6 s z 3s
Determine el punto de intersección de las rectas Como las rectas se intersecan deben tener un punto en común, luego
1 4t 13 12 s 3 t 1 6s 1 3s
De la ultima expresión se tiene que
s
1 3
De la segunda o la primera , se llega a
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3 t 1 6s 1 3 t 1 6 3 3 t 1 2 t 4 Reemplazando en la ecuaciones paramétricas
x 1 4(4) 17 L1 : y 3 (4) 1 z 1
1 x 13 12 3 13 4 17 1 L2 : y 1 6 1 2 1 3 1 z 3 1 3
Luego el punto de intersección es
P(17,1,1)
Dist a nc ia ent r e un punt o y un a r ec t a L a dista ncia de un pu nto , P, a u na r e cta , r , e s l a me no r de la di stanc ia de sd e e l punto a lo s i nfin ito s p unto s d e la r e cta.
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Esta dis tanci a co r r e spo nde a la p e r pe ndicular tr az ada de sde e l punto hasta la r e cta . Par a e nco ntr ar l a dist ancia se de be . Ide ntif icar e l ve c to r dir e cto r de la r e cta Se le ccio nar un p unto de la r e cta y e nco ntr ar e l v e cto r AP C alcular la di sta ncia ap lica ndo la e xpr e sió n .
d ( P, L )
U L AP UL
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