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Rectas, planos e hiperplanos Recta P punto de la recta L, d vector no nulo de Rn (vector director de la recta)

P X paralelo a d (P X = td).

X punto de la recta L

P X = OX − OP = x − p x − p = td ecuación vectorial de la recta =

x 

x1   x2  ..  . xn



+ t

p 

a1    a2   =  ..  .  an



d 

d1    d2   + t  ..  .  dn

    

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ecuaciones paramétricas de la recta L x1 = a1 + td1 x2 = a2 + td2 ... xn = an + tdn .

ecuaciones simétricas de la recta x1 − a1 x2 − a2 xn − an = = ··· = , di 6= 0, i = 1, 2, · · · n d1 d2 dn Si di = 0 para algún i, a cambio de

xi − ai se incluye la ecuación xi = ai di

Rectas paralelas L1 , L2 ,

vector director d1 vector director d2

L1 y L2 son paralelas (L1 k L2) si y solo si d1 y d2 son paralelos (d1 = λd2)

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Rectas iguales L1 , L2 ,

vector director d1 vector director d2

L1 y L2 son iguales si y solo si d1 y d2 son paralelos (d1 = λd2) existe P ∈ L1 ∩ L2

Rectas ortogonales L1 , L2 ,

vector director d1 vector director d2

L1 y L2 son ortogonales (L1 ⊥ L2) si y solo si d1 y d2 son ortogonales (d1 · d2 = 0)

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Ejemplos: x1 = −2 + 3t L1 : x2 = −5t x3 = 1

d1 =

L2 es la recta que pasa por los puntos 

   0 6 P =  −2  y Q =  −12  1 1

L3 :

x−2 y+1 = , 5 −3

z=7

Son las rectas L1 y L2 paralelas?

Son las rectas L1 y L2 iguales?

d2 =

d3 =

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Son las rectas L1 y L3 ortogonales?

Encuentre una ecuación de una recta L4 que pase por el origen y sea ortogonal a L1

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Plano P punto del plano c y d vectores no nulos , no paralelos (vectores directores)

P X combinación lineal de c y d (P X = tc + sd para t, s ∈ R)

X punto del plano P

Así, P X = OX − OP = x − p x − p = tc + sd . ecuación vectorial del plano =

x     

x1 x2 ... xn



+ t

p 



+ s

c 



d 



d1 c1 a1         d2   c2   a2    =  ..  + t  ..  + s  ..   .   .   .   dn cn an

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ecuaciones paramétricas del plano x1 = a1 + tc1 + sd1 x2 = a2 + tc2 + sd2 ... xn = an + tc2 + sdn .

P1 ,

vectores directores c1, d1

P2 ,

vectores directores c2, d2

L,

vector director d

Planos paralelos P1 y P2 son paralelos (P1 k P2) si y solo si c1 y d1 son combinación lineal de c2 y d2 (c1 = λ1c2 + λ2d2

y

d 1 = µ 1 c 2 + µ 2 d2 )

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Planos iguales P1 y P2 son iguales si y solo si P1 y P2 son paralelos y existe P ∈ P1 ∩ P2 Recta y plano paralelos L y P1 son paralelos (L k P1) si y solo si d es combinación lineal de c1 y d1 (d = λ1c1 + λ2d1, ) Recta contenida en un plano L está contenida en P1 (L ⊂ P1) si y solo si L y P1 son paralelos y existe P ∈ L ∩ P1

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Recta y plano ortogonales L y P1 son ortogonales (L ⊥ P1) si y solo si d es ortogonal a d1 y a d2 (d · c1 = 0 y d · d1 = 0)

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Ejemplos: x1 = −2 − 3t L : x2 = t x3 = 1 + 11t

d=

P1 es el plano que pasa por los puntos 











1 2 −2 P =  1  , Q =  4  y R =  15  1 −4 16

c1 =

d1 =



       x1 2 −1 0 P2 :  x 2  =  0  + t  2  + s  5  x3 −3 3 −2

c2 =

Son los planos P1 y P2 paralelos?

d2 =

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Está la recta L contenida en el plano P2?

Es la recta L ortogonal al plano P1?

Encuentre la ecuación de un plano P3 que contenga a la recta L y al origen

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Hiperplano P un punto n un vector no nulo (vector normal ),

P X ortogonal a n (P X · n = 0)

X punto del hiperplano H

P X = OX − OP = x − p ecuación vectorial del hiperplano −

(x     

x1 x2 ... xn



·

p) 



= 0

n 



a1 l1       a 2   l2    −  ..  ·  ..  = 0  .   .   an ln

ecuación general del hiperplano l1(x1 − a1) + l2(x2 − a2) + · · · + ln(xn − an) = 0 ó equivalentemente, l1x1 +l2x2 +· · ·+ln xn = d con d = l1a1 +l2a2 +· · ·+ln an = n·p.

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H1,

vector normal n1

H2,

vector normal n2

Hiperplanos paralelos H1 y H2 son paralelos (H1 k H2) si y solo si n1 y n2 son paralelos (n1 = λn2)

Hiperplanos ortogonales H1 y H2 son ortogonales (H1 ⊥ H2) si y solo si n1 y n2 son ortogonales (n1 · n2 = 0)

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Ejemplos: 

x1   x H1 :  2   x3 x4





 



−1 2        0   2  =0  ·  −   −3   3  −2 1 n1 =

H2 : 2x − 4y − 6z + 4w = 5

n2 =

H3 : 2x + 2y + w = 0

n3 =

Son los hiperplanos H1 y H2 paralelos?

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Son los hiperplanos H1 y H3 ortogonales?

Encuentre la ecuación de un hiperplano H4 que contenga al origen y sea ortogonal al hiperplano H2

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Producto vectorial en R3    v1 u1 u =  u2  y v =  v2  de R3, v3 u3 

 u2 v 3 − u3 v 2 u × v =  −(u1v3 − u3v1)  . u1 v 2 − u2 v 1 

Ejemplo:



       −1 2 0 · 0 − 3 · (−5) 15  0  ×  −5  =  −((−1) · 0 − 3 · 2)  =  6  3 0 (−1) · (−5) − 0 · 2 5



       2 −1 (−5) · 3 − 0 · 0 −15  −5  ×  0  =  −(2 · 3 − 0 · (−1))  =  −6  0 3 2 · 0 − (−5) · (−1) −5

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Propiedades del producto vectorial u, v y w vectores de R3, λ escalar, entonces: 1. u × v = −v × u. Ley anticonmutativa 2. u × (v + w) = u × v + u × w. Ley distributiva para la suma por derecha 3. (u + v) × w = u × w + v × w. Ley distributiva para la suma por izquierda 4. λ(u × v) = (λu) × v = u × (λv). 5. u × 0 = 0 × u = 0. 6. u × u = 0. 7. u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w. 8. (u × v) · u = (u × v) · v = 0. 9. u · (v × w) = w · (u × v). Ejemplo: Dados 

     2 15 5 u =  −5  , v =  −7  , w =  8  0 2/3 −21

Calcule [(2u × v) − (3v × u)] · (u + v)

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Magnitud del Producto Vectorial u y v vectores de R3, θ ángulo entre u y v, entonces 1. ku × vk2 = kuk2kvk2 − (u · v)2. [Identidad de Lagrange] 2. ku × vk = kukkvk sen θ.

Demostración 2. ku × vk2 = = = =

kuk2kvk2 − (u · v)2. kuk2kvk2 − kuk2kvk2 cos2 θ kuk2kvk2(1 − cos2 θ) kuk2kvk2 sen2 θ

Por tanto, ku × vk = kukkvk sen θ. u y v vectores no nulos de R3 son paralelos u × v = 0.

u y v vectores no paralelos de R3 El área del paralelogramo de lados u y v es ku × vk. (ku × vk = kukkvk sen θ.)

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u, v y w vectores no paralelos de R3 el volumen del paralelepípedo de lados u, v y w es |u · (v × w)|

Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares u · (v × w) = 0.

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Ecuación Normal del Plano en R3 P en R3 que contiene a P con vectores directores c y d H en R3 que contiene a P y es ortogonal a n = c × d P=H Rectas y Planos en R3

Recta L,

vector director d ∈ R3

Plano P,

vector normal n ∈ R3.

LkP

L⊥P

si y solo si

si y solo si

d ⊥ n (d · n = 0)

d k n (d = λn)

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Ejemplos:      2 x1 2 L :  x2  =  −1  + t  −7  , t ∈ R x3 3 −2 



 5 P plano que contiene a M =  −2  con vectores directores 3     0 2 c1 =  −2  y d1 =  0  1 −3 Es L paralela a P?

Es L ortogonal a P?

Encuentre la ecuación de un plano ortogonal a P que pase por el origen.