RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.

donde OP y OPo son vectores de posición cuyas componentes coinciden con las coordenadas de los puntos P y Po respectivamente, pudiéndose escribir

LA RECTA EN R3.

1.1. Ecuaciones de la recta. En el espacio R3 se determina una recta L si se conoce un punto Po(xo,yo,zo) de ella y su dirección, representada por un vector,  v (v1 , v 2 , v3 ) , no nulo. z L

 v Po

P

0

y

Po P

P Po

De esta manera las coordenadas de los puntos P de la recta se pueden determinar mediante la relación  P Po t v , t R (1) Def. 1: Un conjunto L, de puntos de R3 constituye una recta si  tomado un punto fijo Po del conjunto, existe un vector v , no nulo, tal que  L { P R 3 / P Po t v , t R }  El vector v se llama vector director de la recta L y la ecuación (1) se llama ecuación vectorial de la recta L. La ecuación vectorial expresada en términos de componentes es ( x, y, z ) ( xo , y o , z o ) t (v1 , v 2 , v3 )

de donde se determinan las ecuaciones paramétricas de la recta L: x y z

x Figura 1. La Recta en R3. Como se observa en la Figura 1, para que cualquier otro punto P  este sobre la recta, el vector Po P debe ser paralelo al vector v , es decir   Po P // v t R / Po P t v Además Po P OP OPo

xo yo zo

t v1 t v2 , t t v3

R

(2)

Despejando el parámetro t e igualando se obtienen las ecuaciones cartesianas o forma simétrica de la recta L:

x xo v1

y

yo v2

z

zo v3

, si v1v2 v3

0

(3)

Ejercicios 1: 1) Escribir las ecuaciones de los ejes coordenados. 2) Dados los puntos A y B, determinar las ecuaciones de la recta que los contiene a) A(1,3,2), B(-4,3,1) b) A(1,9,3), B(-4,3,-2).

2.

EL PLANO EN R3.

2.1. Ecuaciones del plano En R3 un plano se puede determinar con un punto Po(xo,yo,zo) de él  y dos direcciones dadas por vectores u (u1 , u 2 , u 3 ) y  v (v1 , v 2 , v3 ) , no paralelos. z

3) Determinar si el punto pertenece a la recta: P = (4,-2,3) + s(-3,3,1). a) (-5,7,9); b) (-1,7,3/2); P = (-1,1,3) + t(0,4,1). 4) ¿Cuál de las siguientes rectas coincide con la recta de ecuación P = (1,2,3) + t(-4,2,0)? P = (5,0,3) + s(-4,2,0) a) P = (1,0,4) + s(-4,2,0) b) P = (-3,4,3) + s(2,-1,0) c) P = (2,1,3) + s(2,-1,0) d)

Po

 v

  su t v

P

 u

5) Escribir la ecuación vectorial de la recta, en R2, definida por la ecuación cartesiana 2x + y = -3.

y

0

x

Figura 2. El Plano en R3

Para que un punto P(x,y,z) de R3 este sobre el plano el vector Po P   debe ser una combinación lineal de los vectores u y v , es decir   s, t R / Po P s u t v   P Po s u t v , s, t R Por lo tanto (4) Def. 2: Un conjunto , de puntos de R3, determina un plano si  tomado un punto fijo del conjunto, Po, existen vectores u  y v , no paralelos tales que   { P R 3 / P Po s u t v , s, t R } ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 2 / 11

  Los vectores u y v se llaman vectores directores del plano y la ecuación (4) se llama ecuación vectorial del plano; expresándola en componentes se tiene ( x, y, z ) ( xo , y o , z o )

s(u1 , u 2 , u 3 ) t (v1 , v 2 , v3 )

xo yo zo

s u1 t v1 s u 2 t v2 , t s u 3 t v3

(5)

R

por lo tanto de la expresión

Cz ( Axo

    ( su t v ) (u v )   s u  (u v ) t v  (u v )

( x xo , y

Ax

D

By o By

Cz

( Axo

yo , z

z o )  ( A, B, C )

Czo )

0

D

0

By o

0

(6) Cz o )

es la ecuación cartesiana de un plano de vector normal  n ( A, B, C ) , que contiene el punto Po ( xo , y o , z o ) . Se puede demostrar que toda ecuación de primer grado en las variables x, y, z representa la ecuación de un plano. Ejercicios 2: 1) Escribir las ecuaciones de los planos coordenados. 2) Escribir las ecuaciones de un plano que contenga tres puntos no alineados dados: P1 (1, 1, 2) , P2 (3, 2, 0) y P3 ( 1,1, 4) .

  su t v

se tiene

  Po P  (u v )

Ax By

donde

2.2. La Ecuación Cartesiana del plano en R3     Dados dos vectores no paralelos, u y v en R3 se sabe que u v es   otro vector ortogonal a u y a v , es decir       u  (u v ) v  (u v ) 0

Po P

0

La ecuación

Las ecuaciones paramétricas del plano son: x y z

 Po P  n

0

  El vector u v es ortogonal a todo vector determinado por dos   puntos contenidos en un plano de vectores directores u y v , por lo  tanto se le llama vector normal al plano y se denota con n    n u v La ecuación vectorial del plano se puede escribir entonces en la forma   Po P  n 0 ( P Po )  n

3) Escribir las ecuaciones del plano que contiene el punto y la recta: a) P1 (1, 4,1) ; L : P (4, 2, 0) s (3, 0, 1) b) P1 (1, 6, 2) ; eje x. 4) Dado el plano de ecuación vectorial P (1, 2, 3) s (2,1,1) t ( 1, 0, 2), s, t R , determinar si el punto pertenece al plano: a) (3, 3, 4) b) (2, 1, 1) c) (-2, 1, 4) 5) Escribir las ecuaciones del plano que contiene las rectas: L1 : P (3,1, 2) s(1, 1, 2) y L2 : Q (3,1, 2) t (3, 2, 1) .

Expresándola en términos de componentes se tiene    n u v ( A, B, C ) Po P ( x xo , y y o , z z o ) , ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 3 / 11

3.

ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS

3.2. Ángulo entre dos planos

3.1. Ángulo entre dos rectas Def. 3: Un ángulo entre dos rectas es el ángulo entre sus vectores directores.  Sean L1 : P P1 s u , s R  y L2 : P P2 t v , t R dos rectas en R3.

Def. 4: Un ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus vectores normales.   Sean 1 : ( P P1 )  n1 0 y 2 : ( P P2 )  n2 0 dos planos en R3. 2

P1

 n1

 n2

L2

1

 v  u

P2

Figura 4. Ángulo entre dos planos

L1 Un ángulo entre los dos planos está dado por   ( 1, 2 ) (n1 , n2 )

Figura 3. Ángulo entre dos rectas Un ángulo

es decir

entre las dos rectas es tal que   ( L1 , L2 ) (u , v )

cos

  u v   u v

Otro ángulo entre las rectas es . Como cos( el ángulo agudo entre las rectas está dado por   u v cos   u v Si Si

0 ó , entonces cos / 2 , entonces cos

es decir (7) )

cos ,

(8)

1 ó –1 y las rectas son paralelas. 0 y las rectas son ortogonales.

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

cos

  n1  n2   n1 n2

(9)

Otro ángulo entre los planos es . Al igual que en el caso de las rectas, el ángulo agudo entre los dos planos está dado por   n1  n2 (10) cos   n1 n2 Si 0 ó , entonces cos Si / 2 , entonces cos perpendiculares.

1 ó –1 y los planos son paralelos. 0 y los planos son ortogonales o

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 4 / 11

3.3. Ángulo entre una recta y un plano

Ejercicios 3:

Def. 5: El ángulo entre una recta y un plano es el ángulo entre la recta y su proyección ortogonal sobre el plano.   Dados la recta L : P P1 s v , y el plano : ( P P2 )  n 0 .

1) Escribir las ecuaciones de la recta que a) Pasa por el punto P1 (1, 4,1) y es paralela a la recta L : P (4, 2, 0) s (3, 0, 1) . b) Pasa por el punto (1, 1,1) , es ortogonal a la recta 3 x 2 y z y paralela al plano x y z 0 .

 n

L

 v L

2) Determinar la medida del ángulo en el vértice B del triángulo ABC, si las coordenadas de los vértices son A(3, 1, 2 ) , B (0, 2, 2 2 ) y C (1,1, 2 ) .

3) Determinar el ángulo entre

( y 4) z 7 , 3 4 b) los planos 3 x 2 y z 0 y x y z 15 0 , c) la recta que pasa por los puntos (1, 0, 0) , (0,1, 0) y el plano 2x 3y z 4 0 . a) las rectas P

Figura 5. Ángulo entre recta y plano Sean, el ángulo agudo entre la recta L y su proyección, L , sobre el plano y el ángulo agudo entre la recta L y una recta normal al plano (ver figura). Se tiene que

cos sen 2 2   un Como cos   , entonces se determina que el ángulo agudo u n entre la recta y el plano está dado por   un ( L, ) sen (11)   u n

(0, 3, 8) t (0, 3, 9) y x 1

4) Escribir las ecuaciones de los planos que contienen el punto (2,1,1) , son perpendiculares al plano xz y forman un ángulo igual a arccos( 2 / 3) con el plano 2 x y 2 z 3 0 .

Otro ángulo entre la recta y el plano es . Si 0 ó , entonces sen 0 y la recta es paralela al plano. Si / 2 , entonces sen 1 y la recta es ortogonal ó perpendicular al plano. ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 5 / 11

4.

INTERSECCIONES ENTRE RECTAS Y/O PLANOS

4.1. Intersección entre dos rectas   Sean L1 : P P1 s u y L2 : P P2 t v dos rectas no paralelas, es   decir los vectores u y v no son paralelos. Entonces las rectas L1 y L2 pueden i) tener un punto común, en ese caso se dice que se cortan o intersecan en un punto, o ii) no tener puntos comunes, en ese caso se dice que se cruzan.

L P2 v 2

 v

P1

P2

 u

L2

L1

a) Rectas que se cortan

P1

 u

L1

b) Rectas que se cruzan

x y z

x1 s u1 y1 s u 2 z1 s u 3

x 2 t v1 y 2 t v2 z 2 t v3

se resuelve el sistema de tres ecuaciones para las incógnitas s y t.

s u1 t v1 s u 2 t v2 s u 3 t v3

x2 y2 z2

x1 y1 , z1

con el valor de s ó t determinado se calculan las coordenadas x, y, z del punto de intersección, sustituyendo en las ecuaciones paramétricas. Si dos rectas, no paralelas, L1 y L2 se intersecan en un punto, entonces son coplanares y la ecuación del plano que las contiene está dado por     ( P P1 )  (u v ) 0 ó ( P P2 )  (u v ) 0 Si dos rectas L1 y L2 se cortan formando un ángulo igual a (ortogonales), entonces se dice que son perpendiculares.

2

Figura 6. Rectas no paralelas Para determinar si dos usa la interpretación vectores   i) Si P1 P2  (u v )   ii) Si P1 P2  (u v )

rectas no paralelas se cortan o se cruzan se geométrica del producto mixto de tres

0 , entonces las rectas se cortan. 0 , entonces las rectas se cruzan.

Para calcular las coordenadas del punto de intersección entre dos rectas L1 y L2 se escriben las ecuaciones paramétricas de las rectas, usando nombres diferentes para los parámetros:

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 6 / 11

4.2. Intersección entre una recta y un plano  : Ax By Cz D Sean L : P P1 t v , una recta y plano, no paralelos, entonces su intersección es un punto.

0 , un

4.3. Intersección entre dos planos.   Sean 1 : ( P P1 )  n1 0 y 2 : ( P P2 )  n2 0 , dos planos no paralelos. Entonces su intersección es una recta.

L

Pi

 n2

2

 n1

1

L

Figura 7. Intersección Recta-Plano Figura 8. Intersección de dos planos Para determinar las coordenadas del punto de intersección, entre la recta L y el plano , se escriben las ecuaciones paramétricas de la recta x y z

x1 t v1 y1 t v 2 z1 t v3

A1 x B1 y C1 z A2 x B2 y C 2 z

y se sustituyen en la ecuación cartesiana del plano A( x1

t v1 ) B( y1

t v2 ) C ( z1

t v3 )

D,

resolviendo, la ecuación obtenida para el parámetro t

t

Para hallar la ecuación de la recta L , de intersección de dos planos 2 , se halla la solución general del sistema lineal de 1 y ecuaciones cartesianas de los planos

D1 . D2

 También se puede determinar un vector director, v , para la recta de intersección, con el producto vectorial de los vectores normales de los planos    v n1 n2

D Ax1 By1 Cz1 , Av1 Bv 2 Cv3

con el valor de t encontrado se regresa a las ecuaciones paramétricas de la recta, calculando las coordenadas x, y, z del punto de intersección.

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 7 / 11

4.4. Intersección de tres planos 3

Sean tres planos de ecuaciones cartesianas : A1 x B1 y C1 z B2 y C 2 z 1 : A2 x : A x B C3 z 1 3 3y 1

2

D1 D2 D3

Si el sistema lineal constituido por las tres ecuaciones tiene solución única, es decir es compatible determinado, entonces los planos se intersecan en un punto, para lo cual debe verificarse que    n1  (n2 n3 )

A1 B1 C1 A2 B2 C 2 A3 B3 C 3

1

c) Intersección vacía (Sistema incompatible)

0

Figura 9. Intersección de tres planos

   Si n1  (n2 n3 ) 0 , entonces la intersección de los tres planos es vacía o es una recta, de acuerdo a si el sistema es incompatible o compatible indeterminado respectivamente.

Ejercicios 4: 1) Determinar si las rectas se cortan o se cruzan Q ( 1, 4,1) t (1, 2, 3) a) P (2,1, 3) s (1,1, 2) ; Q (2, 0, 0) t (1, 2, 2) b) P (2,1, 0) s ( 1,1, 2) ; 2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (1, 4, 0) y es perpendicular a la recta P (2, 3, 3) t (1,1, 2) .

3

1

3) Determinar la intersección de los planos de ecuaciones 2x 3y z 2 y x z 3.

Pi 1

2

2

L a) Un punto

(Sistema compatible determinado)

3

b) Una Recta

(Sistema compatible indeterminado)

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

4) Determinar los valores de a y b para los cuales la intersección de los planos y 3z 1 0 1 : 2x 2y z b 0 y 2 :x ay 6 z 10 0 , es 3 :x i) un punto ii) una recta iii) vacía.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 8 / 11

5.

DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

5.1. Distancia entre un punto y una recta La distancia entre un punto Po ( xo , y o , z o ) y una recta  L : P P1 s v , denotada d ( Po , L) , se mide sobre una perpendicular a la recta.

5.2. Distancia de un punto a un plano Al igual que en la distancia Punto-Recta, la distancia entre un  punto Po ( xo , y o , z o ) y un plano : ( P Po )  n 0 , denotada d ( Po , ) , se mide sobre una perpendicular al plano. Po

Po d ( Po , L)

L

d ( Po , )

 n

 v

P1 P1

Figura 11. Distancia Punto-Plano

Figura 10. Distancia Punto-Recta

Usando proyección ortogonal de un vector sobre otro se tiene que

 Si es el ángulo entre el vector P1 Po y el vector director, v , de la recta, se tiene d ( Po , L) Sabemos que

 P1 Po v

d ( Po , L)

P1 Po sen .

 P1 Po v sen  P1 Po v  v

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

Pr oy n P1 Po

d ( Po , )

d ( Po ) por lo tanto

Compn P1 Po

 P1 Po  n  n

(13)

Si la ecuación del plano está dada en forma cartesiana  : Ax By Cz D 0 , entonces n ( A, B, C ) y la expresión (13) se reduce a (12)

d ( Po )

Axo

By o A2

B2

Czo C2

D

(14)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 9 / 11

5.3. Distancia entre dos rectas

5.4. Distancia entre una recta y un plano

  Sean L1 : P P1 s u y L2 : P P2 t v dos rectas no paralelas, es   decir los vectores u y v no son paralelos. La distancia entre las dos rectas, denotada d ( L1 , L2 ) , se mide sobre la perpendicular común a las dos rectas cuya dirección esta dada por el vector   u v. P2 v L2

  Sean L : P P1 t v y : ( P P2 )  n 0 , una recta y un plano   paralelos entre si, es decir v  n 0 , entonces hay una distancia entre ellos, d (L, ) , que es igual a la distancia de cualquiera de los puntos de la recta al plano.

  u v

d ( L1 , L2 )

P1

 u

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

d (L, )

Figura 13. Distancia Recta-Plano De la Figura 13 se observa que (15)

  Si P1 P2  (u v ) 0 , entonces las rectas se cortan (son coplanares) y la distancia entre ellas es cero.   Si las rectas son paralelas, entonces u v 0 , en ese caso la distancia entre las rectas es igual a la distancia de un punto de una de las rectas a la otra, es decir  u L1

L2

L

L1

Usando componente de un vector sobre otro se tiene   P1 P2  (u v ) d ( L1 , L2 ) Compu v P1 P2   u v

d ( L1 , L2 )  v P2

 n

P2

Figura 12. Distancia entre dos rectas no paralelas

P1

P1

 v

d ( L1 , L2 )

d ( P1 , L2 )

d ( L, )

d ( P1 , )

d ( L, )

Compn P2 P1

 P2 P1  n2  n2

 P2 P1  n  n

(16)

Si la ecuación del plano está dada en forma cartesiana  : Ax By Cz D 0 , entonces n ( A, B, C ) y la expresión (16) se reduce a

d ( L, )

Ax1

By 1 A2

B2

Cz1 C2

D

(17)

d ( P2 , L2 ) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 10 / 11

5.5. Distancia entre dos planos paralelos

Ejercicios 5:

  Sean 1 : ( P P1 )  n1 0 y P2 )  n2 0 , dos planos 2 : (P paralelos, la distancia ente los dos planos, d ( 1 , 2 ) , es igual a la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano.  n1 1

P1 d( 1,

2

)  n2

2

Figura 14. Distancia entre dos planos paralelos De la Figura 14 se observa que

d( 1,

2

)

d ( P1 ,

2

)

d ( P2 ,

1

)

2) Dados el punto Po (1, 2, 3) y la recta L : P (0,1,1) s (2,1, 2) . a) Determinar la distancia del punto a la recta. b) Determinar el punto de L más próximo a Po. 3) Determinar la distancia del punto al plano: P (2,1, 0) s (3, 2,1) t (1,1, 0) a) (3, 6,1) ; b) ( 2, 8, 4) ; {P ( 4, 3,1)}  (2,1,1) 0 3x y 2 z 4 c) ( 2, 8, 4) ;

P2

 P1 P2  n2  n2

1) Determinar la distancia del punto a la recta: P ( 1,1, 3) s (2, 2,1) a) ( 2, 0, 5) ; x 2 z 7, y 1 b) ( 1, 3, 1) ;

 P1 P2  n1  n1

4) Determinar la distancia entre las rectas: P (2,1, 3) s (1,1, 2) y Q ( 1, 4,1) t (1, 2, 3) . 5) Hallar el lugar geométrico de los puntos que distan del plano 3 x 2 y 6 z 12 el doble que del plano x 2 y 2 z 4 0 .

Si las ecuaciones de los planos se escriben en la forma cartesiana 6) Determinar la distancia entre a) los planos 4 x 8 y z 9 0 y 8 x 16 y 2 z 3 0 . x 1 y 1 3 z b) la recta y el plano 3 5 3 2 x 3 y 3 z 16 0 .

: Ax By Cz D1 0 , By Cz D2 0 2 : Ax

1

entonces se tiene que

d( 1, y como Ax1

2

)

d ( P1 ,

By1 Cz1 d( 1,

2

Ax1

)

By1 A2

Cz1 B2

D2

C2

7) Determinar la ecuación del plano que está a una distancia de 2 unidades del origen y contiene a la recta determinada por los planos 3x y 4 z 8 , 4 x y 2 z 2 .

D1 , queda

2

)

D2 A2

D1 B2

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

C2

(17) RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 11 / 11