Boletin Nueva

de Maternat

icas

Serie VoU No.2 (1994) y Vol.1I No.1 (1995) (17-33)

REGLA

DE L'HOPITAL

Yu Departamento

PARA

SERIES

TAKEUCHI

de Matematicas,

Universidad Nacional Colombia

RESUMEN. Se establecen propiedades que pueden considerarse como versiones de reglas de L'H6pital para series de nurneros reales en algunos casas y de complejos en otros; en todos ellos se reduce el limite de un cociente de series al limite de un cociente de las sucesiones que generan a las series. Se aplican los resultados al an alisis de la convergencia de la sucesion lineal dcfinida mediante una formula de recurrencia de primer orden muy general.

§l. INTRODUCCION Para el estudiante

promedio

no es diffcil resolver una buena cantidad

de problemas

de calculo que involucran

funciones continuas y derivables.

Por ejemplo,

si se quiere hallar el limite del eociente de dos funciones,

generalmente

basta aplicar la regla de L'Hopital.

En cambia los problemas

sabre sucesiones y series son mas dificiles para ellos ya que no eonoeen metodos .0

seneillos de soluci6n.

Parece que los matematicos

del siglo XIX

de comienzos del siglo XX, eran muy habiles para resolver problemas

sucesiones y series, puesto que ellos eontaban can herramientas adecuadas,

hoy en dia ignoradas

de

de trabajo

0 desaparecidas,

En el conoeido libro de Bromwich [1] publieado en 1907(1), que era posi(1)

Thomas John I'Anson Bromwieh, 1875-1929 17

YU TAKEUCHI

18

blemente

un texto para el estudio del calculo a comienzos de este siglo,

aparecen los temas del calculo de hoy en dia, en forma paralela milares en teorfa de series.

POl'

a sus si-

ejemplo, ademas de la regla de L'H6pital

usual, se halla una version discreta de la misma: Primer

Teorema sobre el limite del Cociente

Si lim an n-+oo

= 0,

lim bn

n-+oo

= 0, y adernas

la sucesion (bn) es estrictamente

decreciente,

entonces

suponiendo

que el limite del segundo cociente exista.

Segundo Teorema sobre el limite del Cociente (Cauchy-Stolz] Si (on) es esLrictamente

creciente y diverge a

'.

11m n-+CX)

suponiendo

an

_.

h = 11m v

n

?'"!.--+oo

+00,

an+ 1 -

an

bn+1

""n.

-

h

entonces

;

queel limite del segundo cociente exista,

En las secciones que siguen se dara otra version de la Regia de L'Hopital, equivalente

a los teoremas

aplicada en problemas

aqui mencionados,

pero mas comoda para ser

de series. Los teoremas 2 y 4 son las formulas para

calcular el valor estimado

de la cola de una serie convergente y de la cabeza

de una serie divergente.

§2. RegIa d~ L'Hopital

para series del tipo ~

Sean (an)n y (bn)n dos sucesiones tales que lim abn = 1. Decimos en tal n-too

caso que "(an)"

es asint6ticamente

que est a relacion es de equivalencia de reales.

00

Adernas si ~ k=l

a ;::;;Lb«.

igual a (bn)n".

n

Es sen cillo comprobar

en el conjunto de todas las sucesiones

00

ak Y ~ k=l

bk son convergentes

y lim ~n n-+oo

=

L

i=

0, entonces

n

Esto significa que en este caso para k suficientemente

grande, ak

REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES

19

es casi igual a Lbi: Se deduce que para n suficientemente 00

00

L

L

ak ~

k=n+1

As! se obtendra

grande,

bk.

k=n+1

la aproximaci6n: para "n" suficienternente

grande.

En forma mas precisa, se obtiene el siguiente teorema: Teorema 1. (Regia de L'Hopitel 00

00

k=l

k=l

L ak Y L b

Sean

k

tipo OjO)

dos series convergentes Y supongamos

que 1a ultima

satisface 1a condicion adicional: (1) si existe e1 limite

. an 11m -- =L

(2)

n~co

bn

entonces: (3)

Demostracum ..

De la convergencia

converge absolutamente. lak/bk o sea lak - L·

okl <

E

de

L bk

Y de (1), se sigue que

Dado (

> 0 existe N tal que

LI < (

para todo k con k

·Ibk:

para todo k C0n k

> N.

L bk

> N, Asi, para n

> N se

tiene: 00

00

/,,!!...m

oo

L

k=n+l

ak -

L·

L k=n+1

00

00

bkl:s: }~~

L k=n+1

lak ~ L ·bk\ <

('}!...ffi

oo

L k=n+1

Ibki.

YU TAKEUCHI

20

00

Dividiendo la desigualdad

anterior por

L

I

I

bk se obtiene:

k=71+1

(4)

De la con dicion (1), 1a desigualdad

(3).

(4) garantiza

1a existencia

del limite

0

Observaci6n ..

Si bk

automdticamente

> 0 para todo k, entonces 1a condicion (1) se cumple

y en este caso e1 teorema

1 es "equiva1ente"

a1 Primer

Teorema sobre el limite del cociente", citado en la introduccion. Si en el teorema 1 se su prime la condicion (1), el result ado no es valido, como se ve en el ejemplo que sigue Ejernplo

1. Sean

(an)"

y (bn)n dadas mediante y

entonces se tiene evidentemente

que:

. an 1im L n-OO

Un

=

1.

Sin embargo para n par, tenemos: 00

00

L

bk = 0

k=71+l por lo tanto n

-* 00.

e1 cociente

y

L

ak

i

0,

'\;=71+1 L~n+l

a;,./ L~n+1

Ok no converge cuando

0

Notese que la sucesion (b,,) no satisface la condicion (1), como puede verificarlo ellector.

REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES

Ejemplo 2. Si Xn

::::; C

. n y Bn

(siendo C una constante),

::::; B

Bk

00

~

Xk·

21

XT 1), entonces por el teorema 1, 00

Uk ~

y pOI el criterio de la integral 1

r»

I

= ~_

1

kp'

k=n+1

se tiene: 1

+ C + O( ~)

~dx x'P

J:

P -

1

2:

L·

k=n+l

> ' .z. = k=~ k'P

1

00

2:

(5)

.::::..

(C es una canstante)

n'P

. (1-

Inn·

.

_1_) + C + Or p-l

\

l_)' "I

'

luego 00

1

1

2:k

'P

=

p-1

+C

k=l

y por 10 tanto 1

00

1

1

"""' =-·-+0(-). LJ kp p - 1 nP-1

(6)

k=n+l

De (5) y (6): 00

I:

(7)

1 ak::::;

1

p _ 1.

nP-1

k=n+l

Como un caso particular,

(8)

Si

o

cuando .u

au ::::;2

n

p

= 2,

entonces

tenemos:

1 nP

entances

YU TAKEUCHI

22 00

Ejemplo 4. Sea

(X-X+

n~oo

k

una serie convergente de terrninos positivos; si

k=l

n 1)

I' urn

LX

n

=

1, entonces

(9) En efecto, par el teorema 1 se tiene que

Ejemplo 5. Sea (Xn) una sucesi6n de tulmeros complejos no nulos que satisface , Xn+! I1m -Xn

( 10)

n~(X)

= 1',

11'1 < 1,

..

entonces:

(11)

En efecto,

I

00

L

00

(Xk-J

-

Xk! = IXnl

k=n+l

=

L

(!Xk-l!-

lXki),

(Serie telescopica)

k=n+l

Adernas:

iXk-l!

- IXkl > 0

para "k" suficientemente

grande y

aplicando el teorema 1 se tiene que

r nl~

IXk-l - Xkl (IXk-1i -IXkl)

11-

1'1

1 -11'1

REG LA DE L'HC>PITAL

PARA SERIES

23

Teorema 2. (Valor estimado de la cola de una serie convergente) Sea (Xn)

una sucesion

(10); si (bn)

~

de usunetos

cornplejos

que satisface

la condici6n

b, entonces:

lim L~=n+l bk· Xk = ~ n~oo Xn 1- r

(12) o sea,

Demostracioti.

De (11) tenernoc que L~n+l !Xk-1 sup I n IL~n+l(Xk-l-Xk)

-

Xkl

I

< +00,

00

por 10 tanto la serie I:(Xk-1

-

Xk) satisface la condicion (1) del teorema

k=l

1. Aplicando el teorema 1 se obtiene:

N6tese que

l'

puede ser O.

0

Ejemplo 6. El teorema 1 es tarnbien valido si la condicion (1) para (6

71)

es reernplazada

(13)

por la siguiente: . lim n~oo

bn-l-'-

1

bn

:0::

r

con

0 < Ir I

<

En efecto, del teorema 2 se tiene que L~n+l

ibkl

11'1 ~ 1=H

ibnl )'oot

........ k=n.,l

ibnl

I

I 'kl

y que

~1_1' 1(;0) 1- r

1.

YU TAKEUCHI

24

por 10 tanto

la sucesi6n (bn) satisface la condicion (1).

en consecuencia, Ejemplo 7. 00

(i) (ii)

(iii) (iv )

(ipi <

(v)

§3 Regia de L'H6pital

para series del t ipo

Teorema 3. (Regia de L'Hopitel Seeu

I:~l

ak,

I:~1 bk series

del tipo

divetgeates;

(1)

si existe el limite (2)

lim ak bk

k->oo

entonces iembien (3)

1)

=L

00/00.

o

00 00

Jensen)

supongamos

edetnes que

REGLA DE L'HOPITAL PARA SERIES

Observaci6n.

Si bk

automaticamente

25

> 0 para todo k ; entonces la condicion (1) se cumple

y en este caso el teorema

3 es equivalente

al "Segundo

Teorema sobre el Limite del Cociente" citado en la introduccion. Demostraci6n.

LI <

I~: -

> 0 existe N tal que

Dado

f

e,

sea,

0

lak - L . bkl <

f

2:~1 bk, y la

De la divergencia de la serie

·Ibkl

(para todo k

> N).

condicion (1), se tiene:

n

}~~I~ bkl =

+00,

k=l

entonces existe No (depende del N ya escogido) tal que N

n

12::(ak -

bk)I/!2::

L·

k=l

bkl

<

£

k=l

Para n > No se tiene: n

II)ak k=l

N

n

-

L· ~

bkl ::;

n

I~(ak -

k=l

f

lak -

L· bkl

k=N+l

N

<

L

bk)1 +

L·

k=l

·1~

n

bk

k=l

I+ ~

n f·

I b k I < 2f ~ I b k I·

k=N+l

k=l

n

Dividiendo la desigualdad

anterior por

IL bkl

se obtiene:

k=l

(4)

La condicion (1) y la desigualdad

para todo

(4) garantizan

ti

> No)

el limite en (3).

0

YU TAKEUCHI

26

Ejemplo 8. (Primer teorema de Cauchy) ' . 51 lim an

(5)

n-+oo

En efecto, aplicando

=S

entonces

. al lim

n-+co

+ az + ... + an = S. n

el teorema 3 se obtiene:

Ejemplo 9. 5i lim (an+l - an) n-+oo

=

S entonces

aplicando el teorema 3 se obtiene (considereando

lim an

n-oo

ao

n

=

S. En efecto,

= 0):

n

Corolar io. Segundo

zeorerna de Ceucliy

Sea (an) una sucesiot: de termitios positivos; si lim an+l = r, entonces: n-+oo an lim ~= r. n-+oo Demostracion.

Tomando

tiene inmediatamente Ejemplo 10. Sea Xn+d

"log an" en lugar de "an" en el ejemplo 9 se ob-

el segundo teorema de Cauchy.

L:~=l X k

una serie divergente de terminos positivos; si

Xn ----.1 cuando n ----.00, entonces:

(6) En efecto, par el teorema 3 se obtiene:

(Considere:

Xo

= 0.)

REGLA

DE L'HOPITAL

PARA

SERIES

27

Ejemplo 11. Sea (X n) una sucesion de mimeros complejos que satisface: , Xn+l 11m -Xn

(7)

=

n .....oo

T

con

ITI>

1

entonces:

I:~=lIXk-Xk-ll 1I:~=l(Xk - Xk-1)1

lim

(8)

n-HXl

11

Fr=l'

Xo = 0 tenemos:

En efecto, considerando n

n

/L(Xk

-

= IX

Xk-1)!

n -

Xol = IXnl = L(!Xk!-

IXk-1!),

k=l

k=l

Ademas,

IT -

/Xkl-IXk-1!

> 0 para "k" suficientemente grande, Aplicando el

teorema 3 se obtiene:

I::~=l IXk

-

Xk-1!

-

Xk-d!

I

i

I I:~=l

(Xk

Ir - 11 - iri -I'

Teorema 4. (Valor estimativo Sea (Xn)

de la cabeza de una serie divergente)

una sucesi6n de rnimeros complejos que satisfacen la condici6n

7; si lim bn n .....oo

= b entonces:

(9)

Demosiracion.

De acuerdo con el ejemplo 11, de Ia igualdad (8) se obtiene

YU TAKEUCHI

28 oo

L (X

Asl'la

serie

siendo

2:: bkX

k -

X

satisface

k-1)

la condici6n

k Y 2::(Xk - Xk-d

divergentes,

puede aplicarse el teorema 3

= 0):

Xo

Observacion.

La f6rmula (9) es valida cuando r

. lim -X X n+ 1 =

S1

00

(

esto es, l'urn -XX nO) =

n

Ejernplo

3 y

k=n

(considerando

n-+(Xl

(1) del teorema

n-+oo

= 00,

a sea:

entonces

n+l

12. n

(i) Lk(k+l).2k~n(n+l).2n+l k=l n (;

2k k(k

Lku

+ 1)(k + 2) 1

n

(iii)

2n+1

k

.. 2 ~ n(n

.na .pn+1

. pi< ~ __

+ 1)(n + 2) (lpl> 1).

o

p- 1

k=1

Ejemplo 13.

t

(10)

1 ·3·5··· (2k - 1) ~ 2n+1

k=1

!Jr1i:' u:

k!

V"

En efecto, aplicando

el teorema 4

2:::=1

- 1) ~ 2 1· 3· 5· ~/2n

1· 3·5· ~/2k

- 1)

Por la f6rmula de Stir-

ling: 1·3·5···(2n-1) n! par 10 tanto se obtiene la aproximaci6n

(2n)! 2n . (n!)2 (10).

2n ~ 0

y7rn

REGLA

DE L'HOPITAL

PARA

29

SERIES

Ej'emplo 14. E1 teorema 3 es tambien valido si la condicion (1) para (bn) es reemplazada

por la siguiente: . bn+l 11m -bn

(11)

=r

n~oo

1<

con

Irl < +00.

Su prueba es similar ala del ejemplo 6 de 130 §2.

§4. Formula

lineal de recurrencia

Consideramos

de 1e r orden

la formula lineal de recurrencia .Xn+l = an ,Xn - bn

(1)

0

de primer orden

(n = 1,2,3, ... )

donde (an)",

(bn)n son sucesiones dadas. Se sabe (ver [2]) que 10,solucion general de 10,formula. (1) estit dada

pOl'

(2) Teorema

(an) ........a,

(bn) ........b (cuando n ........ (0); en tal caso

(i) Si lal < 1, etitouces (ii) Si

(1) supoiigese que

5. En la Ioinule. de recurrencia

lal >

toda solucion (Xn) converge al limite _b __ . a - 1

1, entonces

L 00

a) (Xn)

........00

b) (Xn)

--t

(3)

f: P =

b

k k=lala2···ak

_b_ cuando XI = p. a -

Notese que al setie p Demostraci6n.

cuando Xl

=

1

bk

00

Lk=l

a] az ...

ak

converge absolutamente.

Si A" = ----

1

(n=1,~,3,

... )

YU TAKEUCHI

30

al solucion general (2) de la formula (1) puede escribirse

entonces

como

sigue: 1

(4)

n

= A'

Xn+l

- I:Ak

[Xl

n

0)

Si

lal <

=

(n

·bk]

1,2,3, ... )

k=l

1, entonces:

= --

An+I/An

1

1

~ -

an+l

I~I-~ . Ial - lal > 1 ,

con

a

por 10 tanto An ~ 00, Aplicando

1

n

el teorema 3 se obtiene que A

~n

lim X-Ii n+l - -

L" k=l

m

n--too

(li) Si lai

.

n-t(X)

lim -A = O.

a sea,

b

k'

An.

n-+oo

b . (~)

b

-1-1

a-I

k

a

> 1, entonces:

= --

An+l/An

1

1

~

an+l

I~I= ,I,ul < 1 ,

can

a

j

U

I

par 10 tanto (cuando n ~ 00)

An ~ 0 Como la serie

I:~=l Ak . bk converge absolutamente

del cociente),

entonces cuando n ~ 00, n

rv

[1q

-

00

,""",A

L...J

(par el criteria

.rv

1-1 r