Relaciones, Funciones y Enumerabilidad Rafael F. Isaacs G.

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Fecha: 17 de abril de 2015 El lector debe tener familiaridad tanto con las relaciones como con las funciones. Estos conceptos son b´asicos en la construcci´on del lenguaje de las matem´aticas actuales. Tanto las relaciones como las funciones son de gran importancia en la inform´atica, pues muchos temas se deben tratar con este lenguaje. Uno de ellos es el de la cardinalidad, o sea el n´ umero de elementos de un conjunto cuando no nos limitamos a conjuntos finitos. espec´ıficamente al hablar de numerabilidad y sobre todo, de conjuntos no enumerables, obtenemos resultados sorprendentes y relevantes en cuanto a lo que puede ser computable.

1.

Relaciones

1.1.

Generalidades

Definici´ on 1. Siendo A y B conjuntos el producto cartesiano A × B est´a definido por: A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B} Definici´ on 2. Siendo A y B conjuntos una relaci´on de A en B es cualquier conjunto R que cumple R ⊆ A × B Notaci´ on. Cuando R es una relaci´on tambi´en se nota xRy en lugar de (x, y) ∈ R Seg´ un nuestra definici´on una relaci´on es simplemente un conjunto de parejas, es conveniente a veces asociar esas parejas a un predicado de dos variables, digamos p(x, y), as´ı la relaci´on ser´a {(x, y) | p(x, y)}. En cierto sentido el producto cartesiano es el universo para las proposiciones de dos variables. Definici´ on 3. Siendo A un conjunto y R una relaci´on de A en A, es decir una relaci´on sobre A, se dice que R es: Reflexiva Si ∀x ∈ A ((x, x) ∈ R) Sim´ etrica Si ∀x, y ∈ A ((x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R) Transitiva Si ∀x, y, z ∈ A (((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R) ⇒ (x, z) ∈ R) Antisim´ etrica Si ∀x, y ∈ A (((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R) ⇒ x = y) *

Profesor titular UIS

1

Antirreflexiva Si ∀x ∈ A ((x, x) ∈ / R) Definici´ on 4. Una relaci´on R sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia sobre A si es reflexiva, sim´etrica y transitiva Notaci´ on. Las relaciones de equivalencia se notan con signos sim´etricos como ∼, ≡, ≃, ≈, ∼ =. Definici´ on 5. Dada una relaci´on de equivalencia ∼ sobre el conjunto A, se define para cada a ∈ A la clase de equivalencia de a seg´ un ∼ que se nota [a]∼ as´ı: [a]∼ = {x ∈ A | a ∼ x} cuando no hay lugar a confusi´on se nota simplemente [a]. El conjunto de todas las diferentes clases de equivalencia as formadas se nota A/ ∼. Ejemplo 1.1. Sea m un entero positivo. La relaci´on de congruencia entre enteros m´odulo m es siempre una relaci´on de equivalencia para cualquier entero m ≥ 1. Dado cualquier entero n la clase de equivalencia seg´ un la relaci´on de congruencia m´odulo m consiste en todos los enteros que tiene el mismo residuo que n al ser divididos por m, o lo que es lo mismo, los enteros de la forma km + n. Se tiene: [n] = {x ∈ Z | n ≡ x (m´od m)} = {km + n | k ∈ Z} se tiene entonces m − 1 clases de equivalencia, todas infinitas. Lema 1. Sea ∼ es una relaci´on de equivalencia sobre el conjunto A y a, b ∈ A, las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) a ∼ b ii) a ∈ [b]∼ iii) b ∈ [a]∼ iv) [a]∼ = [b]∼ v) [a]∼ ∩ [b]∼ 6= ∅ Demostraci´on. De la definici´on de [a]∼ y la sim´etrica de ∼ se sigue la equivalencia de i), ii) y iii). Demostremos que i) implica iv): es suficiente ver que si a ∼ b entonces [a]∼ ⊆ [b]∼ . Sea pues x ∈ [a]∼ entonces a ∼ x y como a ∼ b aplicando transitiva y sim´etrica se tiene que b ∼ x por tanto x ∈ [b]∼ y hemos demostrado [a]∼ ⊆ [b]∼ . Que iv) implica v) se tiene, pues como ya se dijo, cada clase de equivalencia es no vac´ıa. Veamos que v) implica i): si [a]∼ ∩ [b]∼ 6= ∅ existe y ∈ A tal que y ∈ [a]∼ y y ∈ [b]∼ entonces a ∼ y y b ∼ y aplicando reflexiva y transitiva concluimos que a ∼ b. Proposici´ on 1. Dada una relaci´on de equivalencia ∼ sobre el conjunto A no vac´ıo, las clases de equivalencia forman una partici´on de A.

2

Demostraci´on. Es claro que {[a]∼ }a∈A es una familia no vac´ıa de subconjuntos de A. Cada [a]∼ es no vac´ıo ya que a ∈ [a]∼ por ser ∼ reflexiva. Que {[a]∼ }a∈A son disjuntas dos a dos se sigue del lema. S Ahora bien, como para cada a ∈ A se tiene que [a]∼ S ⊆ A por tanto a∈A [a]∼ ⊆ S A. Por otra parte, si a ∈ A entonces a ∈ [a] y por tanto a ∈ [a] y tenemos A ⊆ ∼ ∼ a∈A a∈A [a]∼ S con lo que se concluye que a∈A [a]∼ = A. Definici´ on 6. Una relaci´on R sobre un conjunto A se dice que es de orden parcial sobre A si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva.

1.2.

Representaci´ on de Relaciones

Una relaci´on se puede “pintar” como un subconjunto del producto cartesiano, siempre y cuando dicho producto cartesiano se pueda representar. Por ejemplo la relaci´on R de R en R definida por R = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 4} se representa un disco centrado en el origen y con radio 2 del plano cartesiano. Tambi´en podemos utilizar flechas, especialmente cuando trabajamos relaciones finitas: Representamos los elementos de los conjuntos A y B por puntos y siempre que (x, y) ∈ R trazamos una flecha entre los respectivos puntos. Cuando A = B se pintan los puntos de A solo una vez y se obtiene el digrafo o grafo dirigido de R1 . Cuando se sabe de antemano que la relaci´on es sim´etrica, sobra poner sentido a las flechas y obtenemos el grafo (o la gr´afica) de la relaci´on. 2 1

3

0

4

Figura 1: Grafo de la relaci´on (0, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 4) y (4, 0).

sim´etrica

que

contiene

las

parejas

Desde el punto de vista inform´atico, as´ı como los conjuntos se representan por vectores booleanos, las relaciones conviene representarlas por matrices booleanas. Definici´ on 7. Siendo A y B conjuntos finitos, digamos A = {a1 , . . . an } y B = {b1 , . . . bm }, cualquier relaci´on R de A en B se puede representar por la matriz booleana MR = (mi,j )i:1,...,n; j:1,...,m de n filas y m columnas donde mi,j = 1 ⇔ (ai , bj ) ∈ R. Observando la matriz de una relaci´on entre conjuntos finitos es inmediato saber si la relaci´on es reflexiva, sim´etrica y antisim´etrica. Por una observaci´on m´as de sencilla no es f´acil ver si es transitiva. 1

Los mexicanos hablan de gr´ aficas en lugar de grafos, tal vez m´as castizo.

3

1.3.

Composici´ on de Relaciones

Con las relaciones por ser conjuntos, podemos hacer uniones intersecciones, hablar de una relaci´on contenida en otra, etc.. Hay ciertas operaciones y operadores entre relaciones que no provienen de los conjuntos: el operador inverso y la operaci´on composici´on entre relaciones, que introducimos enseguida. Definici´ on 8. Siendo A y B conjuntos y R una relaci´on entre ellos se define R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R} que es la relaci´on inversa de R y est´a definida de B en A. Definici´ on 9. Siendo A, B y C conjuntos, R una relaci´on de A en B, S una relaci´on de B en C, definimos la relaci´on R ◦ S de A en C as´ı: (x, z) ∈ (R ◦ S) ⇔ ∃y ∈ B ((x, y) ∈ S ∧ (y, z) ∈ R) Las demostraciones de las siguientes tres proposiciones son una consecuencia inmediata de las definiciones y las omitimos. Proposici´ on 2. La composici´on entre relaciones ◦ es asociativa es decir (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ) Proposici´ on 3. (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 Proposici´ on 4. La relaci´on R es transitiva si y solo s´ı R ◦ R ⊆ R Definici´ on 10. Sea M = (mi,j ) matriz booleana de orden n × m y N = (mj,k ) matriz booleana de orden m × p, se define el producto booleano de M y N como la matriz M ⊙ N = (ci,k ) de orden n × p as´ı: m _ ci,k = (mi,j ∧ nj,k ) j=1

Proposici´ on 5. Siendo A, B y C conjuntos finitos, R una relaci´on de A en B, S una relaci´on de B en C, la matriz de la relaci´on S ◦ R de A en C est´a dada por: M(S◦R) = MR ⊙ MS Demostraci´on. Sea A = {a1 , . . . , an }, B = {b1 , . . . , bm } y C = {c1 , . . . , cp } entonces (ai , ck ) ∈ (S ◦ R) ⇔ ∃bj ∈ B ((ai , bj ) ∈ R ∧ (bj , ck ) ∈ S) esto quiere decir que (ai , ck ) ∈ (S ◦ R) ⇔ ∃j : 1, . . . m(mi,j = 1) ∧ (nj,k = 1) que es lo mismo que (ai , ck ) ∈ (S ◦ R) ⇔

4

m _

(mi,j ∧ nj,k ) = 1

j=1

1.4.

Ejercicios

1. Explique por qu´e si S, T, W son conjuntos no podemos asegurar que S × (T × W ) = (S × T ) × W . Determine en qu´e casos s´ı se tiene la igualdad. 2. Sean R = {(a, b), (a, a), (b, a), (c, a)} y S = {a, c)(c, c), (b, b)}. Enumere las parejas de cada una de las siguientes relaciones sobre {a, b, c} y determine si son reflexivas, antirreflexivas, sim´etricas, antisim´etricas o transitivas: e) R ◦ S

a) R

f ) R−1 ∪ S

b) S

g) R ∩ R−1

c) R ∪ S

h) S ◦ R

d) R ∩ S

3. Sean R y S las relaciones definidas sobre el conjunto {−5, −4, . . . , 0, 1, . . . , 4, 5} as´ı: nRm ⇔ a ≤ b.

nSm ⇔ a = −b. Analizar cada relaci´on y exhibir su matriz: a) R ∩ S. b) R ∪ S

c) R ∩ S −1

d) S ◦ R

e) R ∩ S

4. ¿Cu´antas relaciones hay de un conjunto con n elementos en un conjunto con m ele2 mentos? Demuestre que si |A| = n hay exactamente 2n sobre A y que de estas, 2n(n−1) son reflexivas y 2n(n+1)/2 son sim´etricas. 5. Sea A el conjunto de todos los humanos y consideermos las relaciones P y M definidas por: (x, y) ∈ P sisi el padre de x es y.

(x, y) ∈ M sisi la madre de x es y qu´e significado tiene las siguientes relaciones sobre A? d ) (P ∪ M) ◦ (P ∪ M)−1

a) P ◦ P b) (P ∪ M) ◦ (P ∪ M) c) P ◦ P −1

e) (P ◦ P −1) ∪ (M ◦ M −1 )

6. Cu´ales de las siguientes relaciones sobre los naturales son reflexivas, antirreflexivas, sim´etricas, antisim´etricas o transitivas, cu´ales son ´ordenes parciales (definici´on 6: 5

a) nRm ⇔ n + m es par.

b) nRm ⇔ n + m es impar. c) nRm ⇔ n − m es par.

d ) nRm ⇔ n − m es impar.

e) nRm ⇔ n/m es potencia de 2. f ) nRm ⇔ n/m es impar.

g) nRm ⇔ n − m es mltiplo de 5.

h) nRm ⇔ n divide a m

7. Sea Σ = {a, b} en cada caso se define recursivamente la relaci´on Θ sobre Σ∗ . Interprete qu significa cada relaci´on y decida si la relaci´on as´ı definida es reflexiva, antirreflexiva, sim´etrica, antisim´etrica o transitiva: a) i) Base: ∀α ∈ Σ∗ (α, α) ∈ Θ. ii) Paso inductivo: Si α, β ∈ Σ∗ , x ∈ Σ y (α, β) ∈ Θ entonces (α, βx) ∈ Θ. iii) Clausura: Θ se calcula u ´ nicamente aplicando i) y ii). b) i) Base: (λ, λ) ∈ Θ. ii) Paso inductivo: Si α, β ∈ Σ∗ , x ∈ Σ y (α, β) ∈ Θ entonces (α, βx) ∈ Θ. iii) Clausura: Θ se calcula u ´ nicamente aplicando i) y ii). c) i) Base: ∀α ∈ Σ∗ (α, α) ∈ Θ. ii) Paso inductivo: Si α ∈ Σ∗ , x ∈ Σ y (α, β) ∈ Θ entonces (α, βx) ∈ Θ y (α, xβ) ∈ Θ. iii) Clausura: Θ se calcula u ´ nicamente aplicando i) y ii). 8. El conjunto ∅ es una relaci´on entre cualquier par de conjuntos A yB. ¿Qu´e propiedades tiene? 9. Seg´ un la proposici´on 5 la matriz MR ⊙ MS tiene un 1 en el puesto i, j si y s´olo si i est´a conectado con j por medio de R ◦ S, si no est´an conectados habr´a un 0. Si hici´eramos la multiplicacin de MR y MS de la manera usual, podramos obtener n´ umeros mayores que 1. ¿Qu´e significado tienen los n´ umeros mayores que 1 en MR MS ? 10. Sean R y S relaciones sobre el conjunto A. IA la identidad en A. En cada caso conteste falso o verdadero y justifique brevemente. a) Si R es reflexiva entonces R ∩ S lo es. b) Si R es sim´etrica entonces R = R−1 .

c) Si R y S son antisim´etricas entonces R ∪ S lo es.

d ) Si R ∪ S es reflexiva entonces R y S lo son. e) Si R es sim´etrica entonces R ⊂ IA . f ) Siempre R ∪ R−1 es reflexiva.

6

g) Si R y S son transitivas entonces R ∪ S lo es. 11. Muestre dos relaciones sim´etricas sobre el conjunto {a, b, c} de tal forma que su compuesta no sea sim´etrica. 12. Muestre dos relaciones transitivas sobre el conjunto {a, b, c} de tal forma que su compuesta no sea transitiva. 13. Sean R = {(2, 1), (2, 3)} y S = {(2, 3), (4, 2)(2, 1), (4, 1)} relaciones sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4} enumere los elementos de las siguientes relaciones: (a) R ∪ S −1 (b) R ◦ S −1 14. Sea R = {(2, 1), (2, 3), (4, 2)(2, 1), (4, 1)}. a) Enumere los elementos de la menor relaci´on S sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4} que es transitiva y tal que R ⊆ S (S es la clausura transitiva de R). b) Enumere los elementos de la menor relaci´on T sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4} que es de equivalencia y tal que R ⊆ T . (T es la clausura de equivalencia de R). c) Cu´ales son las clases de equivalencia que forma T ? 15. A continuaci´on se define la relaci´on ∼ sobre el conjunto Z. Demuestre que en cada caso la relaci´on es de equivalencia y determine cu´antas clases de equivalencia se forman. a) b) c) d)

n ∼ m ⇔ n − m es par. n ∼ m ⇔ n − m es divisible por 5. n ∼ m ⇔ nm > 0 o n = m = 0. n ∼ m ⇔ n/m o m/n son potencia de 2 o n = m = 0

16. A continuaci´on se define la relaci´on ∼ sobre C• el conjunto de los complejos sin el 0. Demuestre que en cada caso la relaci´on es de equivalencia y determine c´omo son sus clases de equivalencia. a) b) c) d) e)

z1 z1 z1 z1 z1

∼ z2 ∼ z2 ∼ z2 ∼ z2 ∼ z2

⇔ ∃α ∈ R(αz1 = z2 ) ⇔ ∃α ∈ R, α > 0(αz1 = z2 ) ⇔ (|z1 | = |z2 |) ⇔ (Re(z1 ) = Re(z2 )) ⇔ (Im(z1 ) = Im(z2 ))

17. Probar que si una relaci´on R es reflexiva y transitiva entonces R ∩ R−1 es de equivalencia. 18. Probar que si las relaciones R y S son reflexivas y sim´etricas entonces las siguientes condiciones son equivalentes: i) R ◦ S es sim´etrica. ii) R ◦ S = S ◦ R. 7

2.

Funciones

Las funciones son un tipo especial de relaciones. Informalmente a cada elemento del dominio se le asocia un u ´ nico elemento del conjunto de llegada. Generalmente esta relaci´on se especifica por medio de una f´ormula o algoritmo. El concepto de funci´on es un concepto clave en la matem´atica y en la inform´atica. Podemos decir que todo programa de computador es una funci´on en cuanto dada una entrada espec´ıfica, produce una salida. Definici´ on 11. Sea R una relaci´on de A en B, se dice que R es una funci´on de A en B si se cumple i) ∀x ∈ A∃y ∈ B((x, y) ∈ R) ii) ∀x ∈ A∀y1 , y2 ∈ B(((x, y1 ) ∈ R ∧ (x, y2 ) ∈ R) ⇒ y1 = y2 ) La primera propiedad exige que cada elemento del dominio tenga uno relacionado en el recorrido, la segunda exige que este sea u ´ nico. Realmente el concepto de funci´on incluye tres cosas: el dominio, el recorrido y el conjunto de parejas. Notaci´ on. Se acostumbra notar con las letras f, g, h las funciones. Cuando f es una funci´on de A en B se nota f : A −→ B y si (x, y) ∈ f se escribe f (x) = y. As´ı, f (x) se denomina la imagen de x. Tal como las relaciones, las funciones pueden tener o no una f´ormula, expresi´on o algoritmo que determine la imagen de cada elemento del dominio. Sin embargo las funciones que tienen dicha “f´ormula, expresi´on o algoritmo”, como comprobaremos m´as adelante, son una parte muy peque˜ na de todas las funciones. Por tanto no conviene confundir el concepto de funci´on con una “f´ormula, expresi´on o algoritmo”. Realmente para hablar de funciones hay que tener en cuenta tres cosas: el conjunto de parejas, el conjunto de salida o dominio de la funci´on, y el conjunto de llegada o recorrido de la funci´on. El conjunto de parejas por s´ı mismo no forma una funci´on. Un mismo conjunto de parejas forma diferentes fuciones cuando se var´ıa su dominio y su recorrido

2.1.

Ejemplos de funciones

Ejemplo 2.1. Como ya se dijo el conjunto de parejas y menos a´ un la f´ormula constituyen 2 2 una funci´on. Por ejemplo si hablamos de la f´ormula: x + y = 1 podr´ıamos referirnos al conjunto de parejas: R = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} que visto como subconjunto de R × R no es una funci´on. R es una funci´on de [−1, 1] en R y otra funci´on de [0, 1] en [−1, 1]. Ejemplo 2.2. La colecci´on indicada de conjuntos {Ai }i∈I se puede entender como una funci´on f : I −→ P(X) donde Ai ⊆ X para todo i ∈ I. Ejemplo 2.3. La funci´on caracter´ıstica de un conjunto A donde A ⊆ X es una funci´on χA : X −→ Z2 donde χA (x) = 0 ⇔ x ∈ / A.

8

Ejemplo 2.4. La pareja (a, b) se puede ver como una funci´on f : {1, 2} −→ X donde f (1) = a, f (2) = b y a, b ∈ X. El producto cartesiano A × B se puede ver como el conjunto de funciones {f : {1, 2} −→ A ∪ B |f (1) ∈ A, f (2) ∈ B }. De aqu´ı se generaliza el concepto de producto cartesiano para cualquier colecci´on indicada de conjuntos {Ai }i∈I , as´ı: Y [ Ai = {f : I −→ Ai | f (i) ∈ Ai }. i∈I

i∈I

Un caso especial es cuando Ai = A para todo i ∈ I se nota entonces AI = {f : I −→ A | f es funci´on}.

Q

i∈I

A = AI y se tiene:

Ejemplo 2.5. Una palabra de n letras sobre el alfabeto Σ se puede ver como una funci´on w : {1, 2, . . . n} −→ Σ. Ejemplo 2.6. La funci´on parte entera f : R −→ R donde f (x) es el mayor entero menor o igual que x. Se nota ⌊x⌋ Ejemplo 2.7. La funci´on exponencial f : R −→ R+ en base b definida por f (x) = bx . Ejemplo 2.8. La funci´on de Collatz f : N+ −→ N+ est´a definida as:   1 si n = 1 f (n) = f (n) = n2 Si n es par   f (n) = 3n + 1 Si n es impar mayor que 1

Ejemplo 2.9.

Las operaciones son un tipo especial de funciones. Por ejemplo la suma entre naturales se puede ver como una funci´on S : N × N −→ N en donde S(x, y) se nota x + y.

2.2.

Composici´ on de funciones

La composici´on de funciones se hace como la de las relaciones, toca sin embargo, asegurarnos que realmente se produce una nueva funci´on. Proposici´ on 6. Sean R ⊆ A × B y S ⊆ B × C, si R y S son funciones (de A en B y de B en C,respectivamente) entonces S ◦ R es funci´on de A en C. Notaci´ on. Si f : A −→ B y g : B −→ C son funciones su compuesta se nota g ◦ f : A −→ C es decir g ◦ f (x) = g(f (x)) Ejemplo 2.10. Si RES( ; m) : Z −→ Z es la funci´on residuo al dividir entre m > 0 entonces RES es idempotente pues al componerla consigo misma da ella misma. Ejemplo 2.11. La conjetura de Collatz, que no se ha refutado ni comprobado, asegura que al aplicar sucesivamente la funci´on a determinado n´ umero se debe llegar a 1, esto sin embargo no quiere decir, que la funci´on de Collatz compuesta un determinado n´ umero de veces sea la constante 1. 9

Definici´ on 12. Sea f : A −→ B una funci´on entonces: f es inyectiva, o uno a uno (o 1-1) si ∀x, y ∈ A(f (x) = f (y) ⇒ x = y) f es sobreyectiva, o simplemente sobre si ∀y ∈ B∃x ∈ A(f (x) = y) f es biyectiva si es uno a uno y sobre. Si f es biyecci´on y A = B se dice que f es una permutaci´ on de A. Ejemplo 2.12. Si A ⊆ B se puede definir inA,B : A −→ B, la funci´ on inclusi´ on, definida por inA,B (a) = a para todo a ∈ A. Esta funci´on inA,B siempre es inyectiva y si A = B se tiene inA,B = IA la funci´on id´entica que es la u ´ nica relaci´on que es a la vez de equivalencia y funci´on. Se define adem´as para cada f : B −→ C la restricci´ on de f a A como la funci´on f ⇃A = f ◦ inA,B . Proposici´ on 7. Sean f : A −→ B, g : B −→ C funciones entonces: i) Si f y g son inyectivas, g ◦ f : A −→ C es inyectiva. ii) Si f y g son sobreyectivas, g ◦ f : A −→ C es sobreyectiva. iii) g ◦ f : A −→ C sobreyectiva implica que g es sobreyectiva iv) g ◦ f : A −→ C uno a uno implica que f es uno a uno. Demostraci´on. Solamente probaremos iii) y iv) dejando i) y ii) como ejercicio. iii) Si g ◦ f : A −→ C es sobreyectiva para todo z ∈ C existe x ∈ A tal que g(f (x)) = z por tanto para todo z ∈ C haciendo y = f (x) existe y ∈ B tal que g(y) = z quedando probado que g es sobreyectiva. iv) Demostraremos la contrarec´ıproca. Si f no es 1-1 entonces existen x1 , x2 ∈ A con x1 6= x2 tal que f (x1 ) = f (x2 ) y aplicando g tenemos g(f (x1 )) = g(f (x2 )) entonces g ◦ f no es inyectiva. Las funciones como las relaciones tienen inversa pero no siempre dicha inversa es una funci´on. Proposici´ on 8. Sea f : A −→ B funci´on. Condici´on necesaria y suficiente para que f −1 sea funci´ on es que f sea biyecci´on. Demostraci´on. Traduzcamos la definici´on de funci´on para f −1 (de B en A): i) ∀x ∈ B∃y ∈ A((x, y) ∈ f −1 ) esto significa que f es sobre. ii) ∀x ∈ B∀y1 , y2 ∈ A(((x, y1 ) ∈ f −1 ∧ (x, y2 ) ∈ f −1 ) ⇒ y1 = y2 ) esto significa que f es 1-1. Ejemplo 2.13. La funci´on exponencial f : R −→ R+ en base b > 0 definida por f (x) = bx tiene como inversa la funci´on g : R+ −→ R definida por g(x) = logb (x). N´otese que si consideramos f : R −→ R definida de manera igual, su inversa no es funci´on. 10

Cuando una funci´on tiene inversa (es decir cuando es biyectiva) al componerlas se producen las dos id´enticas y las u ´ nicas relaciones que cumplen esto son las biyecciones: Proposici´ on 9. Sea f : A −→ B biyecci´on. Entonces f −1 ◦ f = IdA

∧

f ◦ f −1 = IdB

∧

R ◦ R−1 = IdB

Por otra parte, si R ⊆ A × B cumple que R−1 ◦ R = IdA entonces R es una biyecci´on de A en B Demostraci´on. N´otese las siguientes “traducciones”: a. R−1 ◦ R ⊆ IdA ⇐⇒ ∀x ∈ A∃y ∈ B(xRy) b. R−1 ◦ R ⊇ IdA ⇐⇒ ∀x1 , x2 ∈ A∀y ∈ B(x1 Ry ∧ x2 Ry ⇒ x1 = x2 ) c. R ◦ R−1 ⊆ IdB ⇐⇒ ∀y ∈ B∃x ∈ A(xRy) d. R ◦ R−1 ⊇ IdB ⇐⇒ ∀x ∈ A∀y1 , y2 ∈ B(xRy1 ∧ xRy2 ⇒ y1 = y2 ) Las afirmaciones de la derecha significan que R y R−1 son biyecciones. En ciertos casos las funciones apenas alcanzan a tener “cuasi-inversas”: Proposici´ on 10. Sea A 6= ∅ y f : A −→ B funci´on. 1. Existe g : B −→ A tal que f ◦ g = IdB si y s´olo si f es sobreyectiva. Se dice que g es una inversa a derecha de f . 2. Existe g : B −→ A tal que g ◦ f = IdA si y s´olo si f es inyectiva. Se dice que g es una inversa a izquierda de f . Demostraci´on. • Veamos que si f tiene inversa a derecha entonces es sobreyectiva. Sea y ∈ B entonces y = f (g(y)) por ser g la inversa a derecha de f entonces haciendo x = g(y) se tiene f (x) = y por tanto f es sobre. • Ahora supongamos que f es sobre y construyamos g que es inversa a derecha de f . Para cada y ∈ B por ser f sobre existe alg´ un x ∈ A tal que f (x) = y entonces “escogemos” 2 uno de estos x como imagen de g. Tenemos que g(y) = x ⇒ f (x) = y y por tanto para todo y ∈ B se tiene f (g(y)) = f (x) = y es decir f ◦ g = IdB . • Veamos que si f tiene inversa a izquierda entonces es inyectiva. Si x1 , x2 ∈ A y f (x1 ) = f (x2 ) entonces aplicamos g y tenemos g(f (x1 )) = g(f (x2)) pero g es inversa a izquierda entonces x1 = g(f (x1)) = g(f (x2)) = x2 por lo tanto f es 1-1. 2

Realmente estamos usando el axioma de elecci´on, este item de nuestra proposici´on es una forma de expresar tal axioma, sutil e importante que ha generado mucha literatura matem´atica. Por ahora anotemos que se puede hacer matem´aticas sin utilizarlo.

11

• Para construir g que sea inversa a izquierda de f sabiendo que f es 1-1, dado y ∈ B si existe x tal que f (x) = y entonces hacemos g(y) = x, queda bien determinada x por ser f inyectiva. Si no existe tal x, es decir si ∀x(f (x) 6= y) escogemos cualquier a0 , ∈ A y definimos g(y) = a0 . Aqu´ı hemos usado que A 6= ∅. Se tiene g(f (x)) = x por la construcci´on. Ejemplo 2.14. Hagamos f = {(1, a), (2, a)}, g = {(a, 1)} entonces tomando A = {1, 2} y B = {a} tenemos g : B −→ A y f : A −→ B y se cumple que f ◦ g = IdB por tanto f es inversa a izquierda de g mientras g es inversa a derecha de f : √ Ejemplo 2.15. Si f (x) = x y g(x) = x2 entonces g es inversa a izquierda de f pero no es inversa a derecha! Claro, esto depende del dominio y el recorrido especificados para cada funci´on.

2.3.

Imagen Directa e Imagen Inversa

Las funciones operan en principio sobre elementos pero tambi´en es muy u ´ til verlas operando sobre subconjuntos tanto del dominio como del recorrido. Definici´ on 13. Sea f : A −→ B cualquier funci´on y X ⊆ A, Y ⊆ B se define: i) f (X) = {f (x) | x ∈ X} se llama imagen directa de X. ii) f −1 (Y ) = {x ∈ A | f (x) ∈ Y } se llama imagen inversa de Y . Estas definiciones se pueden expresar as´ı: u ∈ f (X) ⇔ ∃x(x ∈ X ∧ f (x) = u) u ∈ f −1 (Y ) ⇔ f (u) ∈ Y )

Es conveniente aclarar que en estas definiciones f −1 no debe interpretarse como la funci´on inversa de f que probablemente no exista (como funci´on). Ejemplo 2.16. Sea f la funcion de R en R definida por f (t) = sen(t). Entonces: f ([0, ∞)) = [−1, 1] f −1 ([−1, 1)) = R − {(4k + 1)π/2}k∈Z f −1 ({0}) = {kπ}k∈Z f ({(2k + 1)π/2}k∈Z) = {1, −1} Proposici´ on 11. Sea f : A −→ B una funci´on, entonces: 1. Para todo X ⊆ A siempre X ⊆ f −1 (f (X)). 2. Para todo X ⊆ A se tiene X = f −1 (f (X)) si y s´olo si f es inyectiva. 3. Para todo Y ⊆ B siempre f (f −1 (Y )) ⊆ Y . 4. Para todo Y ⊆ A se tiene f (f −1(Y )) = Y si y s´olo si f es sobreyectiva. 12

Proposici´ on 12. Sea f : A −→ B una funci´on, si para todo i ∈ I tenemos Yi ⊆ B y Xi ⊆ A entonces: T T 1. f −1 ( i∈I Yi ) = i∈I f −1 (Yi ). S S 2. f −1 ( i∈I Yi ) = i∈I f −1 (Yi ). T T 3. f ( i∈I Xi ) ⊆ i∈I f (Xi ) S S 4. f ( i∈I Xi ) = i∈I f (Xi ) T T 5. f es inyectiva si y s´olo f ( i∈I Xi ) = i∈I f (Xi ).

2.4.

Contando funciones entre conjuntos finitos

Proposici´ on 13. El n´ umero de funciones entre un conjunto con n elementos y otro con m elementos est´a dado por mn Demostraci´on. Hay tantas de estas funciones como palabras de n letras sobre un alfabeto con m letras. Proposici´ on 14. El n´ umero de funciones inyectivas entre un conjunto con n elementos y otro con m elementos, donde 0 < n ≤ m, est´a dado por mn = m(m − 1) . . . (m − n + 1) Demostraci´on. Notemos [n] = {1 . . . n} para cada n ∈ N+ . Para n ≥ m calcularemos el n´ umero de funciones inyectivas de [n] en [m]. Hacemos inducci´on sobre n: Si n = 1 es claro que hay m funciones todas inyectivas (m ≥ n). Supongamos (hip´otesis de inducci´on) m > n y que hay mn = m(m − 1) . . . (m − n + 1) funciones de inyectivas de [n] en [m]. entonces para cada funci´on f : [n] −→ [m] podemos construir f ′ : [n + 1] −→ [m] haciendo f ′ (i) = f (i) si i ∈ [n] y escogiendo f ′ (n + 1) en el conjunto [m] − f ([n]); as´ı f ′ ser´a inyectiva y podramos escoger m − n funciones. Por otra parte, todas las funciones inyectivas se pueden construir as´ı y de manera u ´ nica. Por tanto hay mn+1 = m(m − 1) . . . (m − n + 1)(m − n) funciones f : {1, . . . , n, n + 1} −→ {1, . . . , m} inyectivas. Proposici´ on 15. El n´ umero de permutaciones de un conjunto con n elementos es n! Demostraci´on. Este es un corolario de la proposici´on anterior. Para la demostraci´on de la siguiente proposici´on se usa el principio de inclusi´on-exclusi´on y el cardinal del conjunto de funciones entre dos conjuntos (proposici´on 13). Antes veamos un ejemplo. 13

Ejemplo 2.17. Calcularemos el cardinal del conjunto de funciones sobreyectivas de {1, 2, 3, 4} en {1, 2, 3}. De las 34 funciones que hay de {1, 2, 3, 4} en {1, 2, 3}, debemos quitar las que no son sobreyectivas. Entonces sea Ai = {f : {1, 2, 3, 4} −→{1,2,3} | i ∈ / f ({1, 2, 3, 4})} es 4 decir, aquellas cuya imagen est´a contenida en {1, 2, 3} − {i} (hay 2 ) y as´ı las funciones no sobreyectivas son exactamente las del conjunto A1 ∪ A2 ∪ A3 y por el principio de inclusin exclusi´on (descontando las tres constantes) hay   3 4 2 −3 2 funciones no sobreyectivas, es decir tenemos   3 4 4 2 + 3 = 81 − 3 × 16 + 3 = 36 3 − 2 funciones sobreyectivas. Es bueno contarlas de otras maneras. Todas las funciones sobreyectivas tiene necesariamente dos elementos y u ´ nicamente dos, que tiene igual imagen. Si esta
4 imagen es 1 hay 2 2 = 12 funciones sobreyectivas que van dos elementos a 1. Como lo mismo
sucede con 2 y con 3 tendremos 3 × 2 42 = 36 funciones sobreyectivas

Proposici´ on 16. El n´ umero de funciones sobreyectivas entre un conjunto con n elementos y otro con m elementos est´a dado por   m X i m (m − i)n (−1) i i=0

Demostraci´on. Notemos n = {1, 2, . . . , n}. Sabemos que el cardinal de M el conjunto de las funciones entre n y m es mn . Por cada j ∈ m sea Mj = {f ∈ M | j ∈ / f (n)} S es evidente que N = j∈n Mj es el conjunto de todas las funciones de M que NO son sobreyectivas. Por el principio de inclusi´on exclusi´on se tiene X \ |N| = (−1)|J|−1 |AJ | , donde AJ = Mj . j∈J

∅6=J⊆n

Pero AJ = {f ∈ M |
f (n) ⊆ m − J} entonces |AJ | = (m − |J|)n . Si hacemos la suma sobre i = |J| como hay mi conjuntos J ⊆ n con esta condici´on entonces |N| =

n X

(−1)

i−1

i=1

  m (m − i)n i

como nos interesa son las funciones sobreyectivas tenemos n

|M − N| = m −

n X i=1

(−1)

i−1

    n X m n i m (m − i)n (m − i) = (−1) i i i=0 14

2.5.

Sucesiones definidas recursivamente

Una sucesi´on es una funci´on cuyo dominio son los n´ umeros naturales. Hemos visto muchas sucesiones definidas recursivamente. En ellas se da los valores de el(los) primer(os) t´ermino(s) y luego una regla para calcular el n-simo en t´erminos de uno o varios anteriores. Tambi´en se definen recursivamente funciones cuyo dominio son el conjunto de palabras (ver ejercicio 6). Trataremos ahora de sistematizar un m´etodo para hallar f´ormulas expl´ıcitas para algunas sucesiones definidas recursivamente. Tal vez el caso m´as conocido y motivante es la sucesi´on de Fibonacci que como se sabe es define recursivamente por Fn+1√= Fn + Fn−1 con F0 = 0 √ 1− 5 1+ 5 y F1 = 1. Se puede demostrar por inducci´on que siendo α = 2 y β = 2 , el n-simo t´ermino de la sucesi´on de Fibonacci es: 1 Fn = √ (αn − β n ) 5 Es en principio sorprendente esta f´ormula porque adem´as de involucrar n´ umeros relacionados por la proporci´on ´aurea, patr´on de la belleza griega, a partir de n´ umeros irracionales producimos n´ umeros enteros. Nos interesa ver como se producen f´ormulas expl´ıcitas a partir de las definiciones recursivas. El caso m´as sencillo lo dejamos como ejercicio. Estudiaremos las definiciones recursivas homog´eneas de segundo orden, en donde el t´ermino general depende de los dos anteriores multiplicados por constantes y est´an definidas as´ı:  si n = 0;  u, Tn = v, si n = 1;  Tn = aTn−1 + bTn−2 , si n > 1.

donde u, v son los datos iniciales y a, b son constantes. A dicha sucesi´on, mejor “ley de recurrencia” se le asocia el polinomio x2 − ax − b llamado caracter´ıstico. Sus ra´ıces nos dan dir´an mucho de la soluci´on expl´ıcita.

Proposici´ on 1. Cualquier sucesi´on de la forma sn = xαn + yβ n donde α, β son soluciones a la ecuaci´on x2 = ax + b, cumple la ley recursiva sn+1 = asn + bsn−1 . Demostraci´on. Supongamos que α, β son soluciones a la ecuaci´on x2 = ax + b y sea sn = xαn + yβ n entonces asn + bsn−1 = = = = =

axαn + ayβ n + bxαn−1 + byβ n−1 αn−1x(aα + b) + β n−1 y(aβ + b) αn−1xα2 + β n−1 yβ 2 xαn+1 + yβ n+1 sn+1

Ejemplo 2.18. La ley recursiva sn+1 = 5sn − 6sn−1 con ecuaci´on caracter´ıstica (x−3)(x−2) la cumplen todas las siguientes sucesiones: 3n , 3n+5 , 2n , 3n + 2n , 3n − 5 × 2n , etc. 15

Proposici´ on 2. Sea sn la sucesi´on definida recursivamente as´ı: s0 = u; s1 = v. sn+1 = asn + bsn−1 . si α 6= β son soluciones a la ecuaci´on x2 = ax + b, entonces existen x, y ∈ R tales que para todo n ∈ N se cumple sn = xαn + yβ n. Demostraci´on. Por la proposici´on 1 se sabe la forma general, como sabemos los valores cuando n = 0, 1 entonces Conseguimos x, y ∈ R tales que se cumpla: u = x+y v = αx + βy como α 6= β el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. La demostraci´on de la anterior proposici´on nos determina un m´etodo para dar una f´ormula expl´ıcita de la sucesi´on siempre que el polinomio caracter´ıstico asociado tenga dos ra´ıces diferentes. Cuando α = β en el ejercicio 21 se piede demostrar que para este caso se tiene: Proposici´ on 3. Sea sn la sucesi´on definida recursivamente as´ı: s0 = u; s1 = v. sn+1 = asn + bsn−1 . si la ecuaci´on caracter´ıstica x2 = ax + b tiene sus dos ra´ıces iguales es decir x2 − ax − b = (x − α)2 , entonces existen x, y ∈ R tal que para todo n ∈ N se cumple sn = xαn + ynαn .

2.6.

Ejercicios

1. Demostrar que la relaci´on R sobre el conjunto A es una biyecci´on si y s´olo si R ◦ R−1 = R−1 ◦ R = IA 2. Si A tiene n elementos cu´antas funciones hay de A en {1}? 3. Entre cu´ales conjuntos ∅ es una funci´on? 4. A cada persona de una poblaci´on se le asocia su lugar de residencia. Qu´e significa que esta relaci´on sea funci´on? Que sea inyectiva? Que sea sobre? 5. Sean R ⊆ A × B una relaci´on y f : B −→ C una funci´on demostrar que R ◦ f cumple (x, y) ∈ R ⇒ (x, f (y)) ∈ (f ◦ R) 6. Sea Σ = {a, b} en cada caso se define recursivamente la funci´on f con dominioΣ∗ . Decidir si la funci´on queda bien definida, y en caso afirmativo si es inyectiva y/o sobreyectiva: 16

a) i) Base: f (λ) = λ. ii) Paso inductivo: Si v ∈ Σ∗ entonces f (va) = f (v)aa y f (vb) = f (v). iii) Clausura: f se calcula nicamente aplicando i) y ii). b) i) Base: f (λ) = λ. ii) Paso inductivo: Si v ∈ Σ∗ entonces f (va) = f (v)b y f (vb) = f (v)a. iii) Clausura: f se calcula u ´ nicamente aplicando i) y ii). c) i) Base: f (λ) = 0. ii) Paso inductivo: Si v ∈ Σ∗ entonces f (va) = f (v) + 1 y f (vb) = f (v) + 1. iii) Clausura: f se calcula u ´ nicamente aplicando i) y ii). d ) i) Base: f (λ) = λ. ii) Paso inductivo: Si v ∈ Σ∗ entonces f (va) = af (v) y f (vb) = bf (v). iii) Clausura: f se calcula u ´ nicamente aplicando i) y ii). 7. Sean R ⊆ A × A una relaci´on y f : A −→ B una biyecci´on entonces f −1 ◦ R ◦ f cumple (x, y) ∈ R ⇔ (f (x), f (y)) ∈ (f −1 ◦ R ◦ f ) 8. Si {Ai }i∈I , es una colecci´ Q on de conjuntos para cada j ∈ I se define πj la j-´ Qesima proyecci´ on as´ı: πj : i∈I Ai −→ Aj donde πj (f ) = f (j) para cada f ∈ i∈I Ai . Demostrar que para ´ nica Q cualesquier coleeci´on de funciones ρj : C −→ Aj existe un u funci´on F : C −→ i∈I Ai de tal forma que para todo j ∈ I se tiene πj ◦ F = ρj . 9. Analice la funci´on f : N −→ N × N definida recursivamente as´ı:   (0, 0) si n = 0 f (n) = (i + 1, j − 1) si f (n − 1) = (i, j) con j > 0   (0, i) si f (n − 1) = (i, 0).

10. Demuestre que para cualquier funci´on si tiene dos inversas a derecha diferentes entonces no tiene inversa a izquierda. Enuncie y demuestre el resultado dual. 11. Mostrar funciones f y g tales que f ◦ g no es biyectiva, aunque f es sobreyectiva y g es uno a uno. 12. Sea f : A −→ B una funci´on. f es inyectiva si y s´olo para todas g1 , g2 : B −→ C se cumple f ◦ g1 = f ◦ g2 ⇒ g1 = g2 . f es sobreyectiva si y s´olo para cualesquier g1 , g2 : C −→ A se cumple g1 ◦f = g2 ◦f ⇒ g1 = g2 .

13. Probar la proposici´on 11. 14. De cu´antas maneras se pueden sentar 10 personas en una sala de 15 asientos?. 15. De cu´antas maneras se pueden se pueden intercambiar los dgitos del sistema decimal si los pares se deben intercambiar con pares y los impares con impares?. 17

16. 6 personas ocupan 4 habitaciones sabiendo que ninguna puede quedar vac´ıa. ¿De cu´antas maneras se pueden distribuir?. 17. Pruebe por inducci´on que si Tn est´a definido recursivamente as´ı:  6, si n=0; Tn = 4Tn−1 + 2n , si n 6= 0. entonces Tn = 7 · 4n − 2n .

18. En cada caso se da una definici´on recursiva para f (n) encuentre una f´ormula expl´ıcita. ( 3 si n = 0 a) f (n) = f (n − 1) + 2 con n > 0 ( 4 si n = 0 b) f (n) = 3f (n − 1) con n > 0 ( 3 si n = 0 c) f (n) = = 2f (n − 1) + 5 con n > 0 19. Demuestre que si las sucesiones sn y tn cumplen la misma ley recursiva homog´enea, entonces xsn + ytn tambi´en la cumple. 20. Demuestre que si an = an−1 + an−2 y a0 = u, a1 = v entonces para n ≥ 1 se tiene an = uFn−1 + vFn donde Fn es la sucesi´on de Fibonacci. 21. Considere la sucesi´on definida recursivamente as´ı   u si n = 0 an = v si n = 1   2ran−1 − r 2 an−2 con n > 1

(n´otese que aqu´ı la ecuaci´on caracter´ıstica tiene sus dos ra´ıces iguales). Demu´estrese que existen x, y ∈ R tales que para todo n ∈ N se tiene an = xr n + ynr n .

22. Encontrar f´ormulas expl´ıcitas para el n´ umero de palabras de longitud n sobre el alfabeto {a, b, c} que: a) No contienen dos letras seguidas iguales. b) No contienen la subpalabra aa. c) No contienen la subpalabras aa ni bb.

3.

Cardinalidad

Los n´ umeros surgen ante la necesidad de contar los elementos que tiene un conjunto A. As´ı los n´ umeros naturales nos sirven para contar los elementos de conjuntos finitos. Se llega a entender un conjunto finito como aquel que tiene un n´ umero natural de elementos. Faltar´ıa 18

hablar de otro n´ umero ∞ para contar los elementos de conjuntos infinitos. Pero ¡NO!. En primer lugar el ∞ con el que el lector debe estar familiarizado por sus cursos de c´alculo, es un infinito potencial por cuanto se refiere a una cantidad o variable que puede crecer tanto como se quiera. George Cantor descubri´o a finales del siglo XIX que se necesitan muchos n´ umeros de “otros” para contar los elementos de los conjuntos no finitos. As´ı nacieron los n´ umeros transfinitos que no son los reales ni los complejos sino que conforman seg´ un Hilbert,“el para´ıso que dej´o Cantor para nosotros”. Intentaremos en esta secci´on dar una breve introducci´on a este para´ıso (del cual “nadie nos podr´a expulsar”). Bienvenidos! Figura 2: George Cantor (1845-1918)

Definici´ on 14. Dos conjuntos A y B son equipotentes si existe una biyecci´on f : A −→ B. Se nota A ∼ B y la relaci´on ∼ se llama equipotencia y es una relaci´on sobre la clase de todos los conjuntos (que no es un conjunto). Que dos conjuntos sean equipotentes significa intuitivamente que tienen igual cantidad de elementos. Proposici´ on 17. La relaci´on de equipotencia es una relaci´on de equivalencia. Demostraci´on. Por ser la funci´on id´entica biyecci´on la equipotencia es una relaci´on reflexiva. Por ser la inversa de una biyecci´on biyecci´on la equipotencia es una relaci´on sim´etrica. Por ser la composici´on de una biyecciones biyecci´on la equipotencia es una relaci´on transitiva. Definici´ on 15. Un cardinal es cualquier clase de equivalencia seg´ un la relaci´on de equipotencia. Si A es un conjunto, el cardinal de A, que se nota |A|, ser entonces |A| = {X | A ∼ X} Ejemplo 3.1. El familiar n´ umero dos 2 es como cardinal, la clase de todos los conjuntos que son equipotentes con, por ejemplo, {0, 1}. Definici´ on 16. Un conjunto A es infinito si existe B ⊆ A tal que A 6= B y A ∼ B, caso contrario se dice que A es finito. Ejemplo 3.2. El conjunto N de los naturales es infinito ya que si 2N = {2n}n∈N es el conjunto de los pares, se tiene que N ∼ 2N, en efecto f : N −→ 2N definida por f (n) = 2n es una biyecci´on. Ejemplo 3.3. El conjunto {1, 2} es finito. Esto se puede demostrar exhaustivamente: Tome todos los subconjuntos propios de {1, 2} que no son sino 3, y demuestre que ninguna de las funciones inyectivas de los subconjuntos en ´el (en total 5), es biyecci´on. Este m´etodo puede resultar muy engorroso para demostrar que los conjuntos que conocemos son finitos. La siguiente proposici´on 18 da una herramienta para demostrar que un conjunto es finito. Proposici´ on 18. Si a un conjunto finito se le une un conjunto con un solo elemento la uni´on es un conjunto finito. 19

Demostraci´on. Supongamos que A∪{x} es infinito y x ∈ / A, sea B ⊆ A∪{x} con B 6= A∪{x} y f : B −→ A ∪ {x} una biyecci´on. Entonces B − f −1 (x) es equipotente con A, si B − f −1 (x) no es un subconjunto de A, es porque x ∈ B entonces B − {x} es subconjunto propio de A equipotente con B − f −1 (x) y por tanto con A. Entonces A no puede ser finito. Ejemplo 3.4. ∅ es finito, pues no tiene subconjuntos propios. Por la proposici´on 18, {0} = ∅ ∪ {0} es finito. As´ı mismo {0, 1} y en general {0, 1, . . . n − 1} es finito. De esta manera se ve que los cardinales finitos coinciden con lo n´ umeros naturales. Definici´ on 17. Un conjunto A es enumerable o numerable si A es ∅ o existe f : N −→ A que es sobreyectiva. Ejemplo 3.5. N × N es enumerable. En efecto por ejemplo la funci´on f : N −→ N × N definida recursivamente as   (0, 0) si n = 0 f (n) = (i + 1, j − 1) si f (n − 1) = (i, j) con j > 0   (0, i + 1) si f (n − 1) = (i, 0).

Cu´al es la imagen de 5? Se recomienda calcular suficientes valores de f para convencerse que realmente es sobreyectiva (en realidad biyecci´on). La demostraci´on formal sera algo m´as engorroso.

Que N×N sea numerable es sorprendente y permite demostrar que muchos otros conjuntos son numerables como Q, Proposici´ on 19. Si A es un un conjunto numerable y existe de A en B una funci´on sobreyectiva entonces B es numerable. Demostraci´on. Si A es vac´ıo entonces B tambi´en debe ser vac´ıo. Si A no es vac´ıo, el resultado se tiene porque la composici´on de funciones sobreyectivas es sobreyectiva. Proposici´ on 20. Uni´on numerable de conjuntos numerables es numerable. Demostraci´on. Sea {Ai }i∈N una colecci´on de conjuntos numerables no vac´ıos. Entonces S para cada i ∈ N existe fi : N −→ Ai que es sobreyectiva. Sea ahora F : N × N −→ i∈N Ai definida por F (n, m) = fn (m). Es f´acil ver queSF as´ı definida es sobreyectiva, como N × N es numerable por la proposici´on 19 tenemos que i∈N Ai es enumerable. El caso en que algunos Ai son vac´ıos es tambi´en muy sencillo. Proposici´ on 21. Q es numerable.

ultiplos de n1 , es decir Z n1 = { nz | z ∈ Z}. Entonces Q = Demostraci´on. Sea Z n1 los m´ S 1 on numerable de conjuntos numerables. n∈N+ Z n es decir Q es la uni´

Ejemplo 3.6. P(N) no es enumerable: Este importante resultado debido a Cantor se generaliza en el Teorema de Cantor (ejercicio 16) que nos permite construir cardinales cada vez m´as grandes. Si existiera una funci´on f : N −→ P(N) sobreyectiva, vale hacernos la pregunta i ∈ f (i)? Construimos el conjunto A = {n ∈ N | n ∈ / f (n)} que es como “el barbero que afeita a todos aquellos que no se afeitan a s´ı mismos”. Como f es sobreyectiva existir un j ∈ N tal que f (j) = A y nos preguntamos “qui´en afeita al barbero?”, es decir j ∈ f (j)? Las dos posibles respuestas nos llevan a un absurdo, por lo tanto no podemos aceptar que exista tal f sobreyectiva. 20

Definici´ on 18. Se dice que |A| ≤ |B| si existe una funci´on f : A −→ B que es inyectiva. Ejemplo 3.7. Para cualquier conjunto X se tiene |X| ≤ |P(X)|. En efecto, si a cada elemento x ∈ X se le asocia el conjunto {x} ∈ P(X) se tiene una funci´on inyectiva. Proposici´ on 22. La relaci´on ≤ entre cardinales est´a bien definida, es reflexiva y transitiva. Demostraci´on. Esto se debe a que la funci´on identidad es inyectiva y la composici´on de funciones inyectivas es inyectiva Proposici´ on 23. Un conjunto es enumerable sisi su cardinal es menor o igual que el de los naturales.

3.1.

Conjuntos efectivamente enumerables

Definici´ on 19. Un conjunto A es efectivamente enumerable si existe una funci´on f : N −→ A sobreyectiva que se puede calcular por un algoritmo. La mayor˜ nia de los conjuntos infinitos numerables que conocemos son efectivamente enumerables por cuanto para describirlos de alguna forma utilizamos un algoritmo. Pero esto solo indica lo poco que conocemos. Una idea de conjuntos enumerables pero no efectivamente enumerables se tiene trabajando el ejercicio 14 de esta secci´on. Otra noci´on m´as fuerte es la de conjunto decidible que se da para un universo numerable por ejemplo las palabras sobre un alfabeto finito. Se pide que dada una palabra se pueda decidir algor´ıtmicamente si esta pertenece o no al conjunto. Definici´ on 20. Un lenguaje L sobre Σ es decidible si existe un algoritmo que dada una palabra w ∈ Σ∗ decide si w ∈ L o w ∈ / L. Proposici´ on 24. Todo lenguaje decidible es efectivamente enumerable. Demostraci´on. Como el conjunto de las palabras sobre Σ es efectivamente enumerable, hay un algoritmo para numerarlas. Sea S el lenguaje decidible, modificamos el algoritmo para numerar todas las palabras preguntado si cada palabra producida pertenece o no a S, si la respuesta es positiva ´esta entra de la numeraci´on de S, si no, pues no entra. As´ı obtenemos una numeraci´on de S

3.2.

Ejercicios

1. Exhibir funciones biyectivas entre los conjuntos A y B dados (lo cual nos demuestra que en cada caso estos conjuntos son equipotentes): a) A = N y B = {n ∈ N | n ≥ 5}. b) A = Z y B = N.

c) A = {n2 | n ∈ N} y B = N.

d ) A = {2n + 1 | n ∈ N} y B = N.

e) A = {x ∈ R | 0 < x < 1} y B = {x ∈ R | 5 < x < 7}.

f ) A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1} y B = {x ∈ R | 5 ≤ x < 7}. 21

g) A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1} y B = {x ∈ R | 5 < x ≤ 7}.

h) A = {X | X ⊆ {a, b, c}} y B = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1}.

i ) A = {f : {0, 1} −→ {a, b, c} | f es funci´on} y B = {a, b, c} × {a, b, c}.

j ) A = {f : {0, 1} −→ X | f es funci´on} y B = X × X donde X es cualquier conjunto. k ) A = {X | X ⊆ U} y B = {f : U −→ {0, 1} | f es funci´on} donde U = {a, b, c}.

l ) A = {X | X ⊆ U} y B = {f : U −→ {0, 1} | f es funci´on} donde U es cualquier conjunto.

m) (!) A = {x ∈ R | 0 < x < 1} y B = {x ∈ R | 0 < x < 1} × {x ∈ R | 0 < x < 1}. n) (!) A = {x ∈ R | 0 < x < 1} y B = {x ∈ R | 0 < x ≤ 1}.

2. Demostrar que si A es finito y B ⊆ A entonces B es finito. 3. Demostrar que si A es enumerable y B ⊆ A entonces B es enumerable. 4. Un conjunto contiene un subconjunto equipotente con N si y s´olo si es infinito. 5. Si los conjuntos A y B son enumerables lo son A ∪ B,A ∩ B y A × B. Demostrar. 6. Demostrar que el conjunto de palabras sobre un alfabeto finito es enumerable infinito. 7. Elaborar en cada caso un algoritmo para numerar: a) Las palabras sobre Σ = {a, b} de longitud n. b) Las palabras sobre Σ = {a, b}.

c) Las palabras sobre Σ = {a, b} que no contienen la subpalabra aa. 8. Cada funci´on f de {0, 1, . . . n − 1} en {0, 1, . . . m − 1} se puede representar por un arreglo 1-dimensional, digamos A(i), de n componentes de 0 hasta n − 1 en donde A(i) = f (i). Elaborar algoritmos para: a) Decidir si una funci´on dada es inyectiva. b) Decidir si una funci´on dada es sobreyectiva. 9. Cada funci´on f de {0, 1, . . . n − 1} en {0, 1, . . . m − 1} se puede representar por un arreglo 1-dimensional, digamos A(i), de n componentes de 0 hasta n − 1 en donde A(i) = f (i). Elaborar algoritmos (o f´ormulas recursivas) para enumerar: a) Las funciones de {0, 1, . . . n − 1} en {0, 1, . . . m − 1} constantes. b) Todas las funciones de {0, 1, . . . n − 1} en {0, 1, . . . m − 1}.

c) Las funciones inyectivas de {0, 1, . . . n − 1} en {0, 1, . . . m − 1}.

d ) Las funciones sobreyectivas de {0, 1, . . . n − 1} en {0, 1, . . . m − 1}. e) Las funciones biyectivas de {0, 1, . . . n − 1} en {0, 1, . . . m − 1}.

10. Elaborar algoritmos (o f´ormulas recursivas) para enumerar: 22

a) b) c) d) e) f)

N × {a, b}. N × {a, b, c}. Z. N × N. Z × N. Z × Z.

g) Q. h) Palabras sobre un alfabeto finito Σ. i ) Los subconjuntos de {0, 1, . . . n − 1}. j ) Los subconjuntos finitos de N. k ) Los polinomios con coeficientes en Z.

11. Sea A un conjunto finito y B efectivamente enumerable, exhiba algoritmos (si existen) para enumerar: a) A ∪ B

c) A ∩ B

b) B − A

d) A × B

12. Sea A y B conjuntos efectivamente enumerables, exhiba algoritmos (si existen) para enumerar: a) A ∪ B

c) A ∩ B

b) B − A

d) A × B

13. Decidir de cada afirmaci´on si es falsa o verdadera y argumentar brevemente su respuesta. a) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

g) Todo conjunto decidible es efectivamente enumerable.

b) Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito.

h) Todo conjunto efectivamente enumerable es enumerable. i ) Todo conjunto enumerable es efectivamente enumerable.

c) Todo subconjunto de un conjunto enumerable es enumerable.

j ) Todo conjunto enumerable es efectivamente enumerable.

d ) Todo subconjunto de un conjunto efectivamente enumerable es efectivamente enumerable.

k ) Cualquier uni´on de conjuntos enumerables es enumerable.

e) Todo subconjunto de un conjunto decidible es decidible.

l ) Intersecci´on de dos conjuntos decidibles es decidible.

f ) Todo conjunto efectivamente enumerable es decidible.

m) El conjunto de las tautologas es decidible.

14. Sean a0 a1 a2 . . . las cifras de la expansi´on decimal de alg´ un n´ umero irracional. Aceptamos que la sucesi´on de los ai es generada algor´ıtmicamente. Dar argumentos para decidir si los siguientes conjuntos son finitos, enumerables, efectivamente enumerables y decidibles. a) {n ∈ N | ∃k, l ∈ N ((ak . . . ak+l )10 = n)} 23

b) {n ∈ N | ∀N∃k > N, l ∈ N ((ak . . . ak+l )10 = n)} 15. Demostrar que los siguientes conjuntos no son enumerables: a) {x ∈ R | 0 < x < 1}

b) {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}.

c) Todas las funciones de N en {0, 1}.

d ) Todas las funciones de N en {0, 1, . . . m − 1}. e) Los subconjuntos de N.

f ) Los reales entre 0 y 1 que en base 3 se escriben s´olo con 0’s y 2’s (Conjunto ternario de Cantor). 16. Teorema de Cantor Para cualquier cardinal α se tiene: α < 2α

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