Relatividad General curso de maestr´ıa

Olivier Sarbach Instituto de F´ısica y Matem´aticas Universidad Michoacana de San Nicol´as de Hidalgo 27 de enero de 2011

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´Indice general Pr´ ologo

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1. Introducci´ on 1.1. Una breve historia de la gravitaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Teor´ıa de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Las transformaciones de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante . . . . . . 1.3.4. Las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula relativista 1.4. La estructura causal del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ap´endice: Transformaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 10 11 14 16 18 20 21

2. Teor´ıas escalares de la gravedad

23

3. Geometr´ıa diferencial 3.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Campos vectoriales y tensoriales . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Transformaciones de coordenadas . . . . . . . . . 3.2.3. La diferencial de un mapeo . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Campos de covectores . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Conexiones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. La derivada covariante de campos tensoriales . . 3.3.2. El transporte paralelo a lo largo de una curva . . 3.3.3. Geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. M´etricas pseudo-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. La m´etrica como isomorfismo entre Tp M y Tp∗ M 3.4.2. La conexi´ on de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Integraci´ on de funciones sobre una variedad . . . 3.5. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. El flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . 3

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27 27 31 31 34 34 35 39 41 45 49 51 55 57 60 61 65 70 70

´INDICE GENERAL

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3.5.2. El pull-back y el push-forward de un difeomorfismo 3.5.3. La derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. La interpretaci´on geom´etrica de la derivada de Lie 3.6. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. La interpretaci´on geom´etrica de la curvatura . . . 3.6.2. La curvatura asociada a la conexi´on de Levi-Civita 3.7. Ap´endice: Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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73 76 79 83 86 88 92

4. El principio de equivalencia 4.1. La formulaci´ on f´ısica del principio . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. La formulaci´ on matem´atica del principio . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula . . . . . . . . . 4.4. El l´ımite Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Las ecuaciones de Maxwell en un fondo curvo . . . . . . . . . . . 4.5.1. La descripci´on a trav´es de potenciales . . . . . . . . . . . 4.6. El l´ımite geom´etrico en un fondo curvo . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Campos estacionarios y est´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. El principio de Fermat para campos est´aticos . . . . . . . 4.8. El corrimiento al rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Sistemas de referencia no-rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1. La diferencia f´ısica entre espacio-tiempos est´aticos y estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 97 99 102 104 107 109 111 116 117 119

5. Las 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

125 125 129 133 139 147

ecuaciones de Einstein La interpretaci´on f´ısica de la curvatura . Las ecuaciones de Einstein en vac´ıo . . . Las ecuaciones de Einstein con materia . Fluidos relativistas . . . . . . . . . . . . El l´ımite Newtoniano . . . . . . . . . . .

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122

6. La soluci´ on de Schwarzschild 151 6.1. La derivaci´ on de la soluci´on de Schwarzschild . . . . . . . . . . . 151 7. Campos gravitacionales d´ ebiles

153

8. Los universos de Friedmann-Lemaˆıtre

155

Pr´ ologo Estas notas se basan en gran parte en los cursos de relatividad general de los Drs. Markus Heusler y Norbert Straumann de la Universidad de Zurich y en el libro del Dr. Straumann, General Relativity and Relativistic Astrophysics [1]. En particular, se trata de formular las leyes de la f´ısica en su forma independiente de coordenadas locales, es decir, directamente sobre la variedad del espacio-tiempo. Por esta raz´ on, se introducen los conceptos de la geometr´ıa diferencial que son relevantes para la relatividad general. Estas notas tambi´en contienen material que no se encuentra en todos los libros est´ andares de relatividad general, como por ejemplo una teor´ıa de integraci´ on de funciones sobre variedades pseudo-Riemannianas que evita la introducci´ on de formas diferenciales, una formulaci´on Lagrangiana de los fluidos relativistas y (planeado) una derivaci´on geom´etrica de la m´etrica de Schwarzschild. Para referencias adicionales sobre la relatividad general, el lector puede consultar el libro de Wald [2], el libro de Misner, Thorne y Wheeler [3] o el libro m´ as reciente de Carroll [4]. Agradezco a mi esposa, Susana, y a mis estudiantes, sobre todo al Mtro. N´estor Ortiz Madrigal por varias correcciones o sugerencias que ayudaron a mejorar estas notas.

Morelia, 2011, Olivier Sarbach

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6

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on 1.1.

Una breve historia de la gravitaci´ on

1600: Galileo Galilei introduce la idea de sistemas de referencia en movimientos y encuentra que la aceleraci´on de cuerpos en ca´ıda libre es universal. 1666: Isaac Newton formula la ley universal de la gravedad y las ecuaciones de movimiento de la mec´ anica cl´asica. 1854: Georg Friedrich Bernhard Riemann interpreta el espacio como un medio e introduce la noci´ on de distancia a trav´es de una m´etrica. Esto llevar´ a a la formulaci´ on de la geometr´ıa diferencial. 1873: James Clerk Maxwell formula las ecuaciones completas de la electrodin´ amica. Adem´ as, la teor´ıa de Maxwell ofrece un modelo de la luz como un efecto electromagn´etico y predice la velocidad de la luz. 1887: Michelson y Morley muestran a trav´es de experimentos que la existencia del ´eter queda descartada. 1905: Albert Einstein formula la teor´ıa de la relatividad especial y revoluciona los conceptos de espacio y de tiempo. 1915: Albert Einstein formula la teor´ıa de la relatividad general que explica la precesi´ on del perihelio del mercurio. La relatividad general tambi´en predice varios nuevos efectos (corrimiento al rojo, ondas gravitacionales) algunos de ellos que son sorprendentes (agujeros negros, expansi´on del universo). 1919: Eddington y Dyson miden la desviaci´on de la luz durante un eclipse solar y encuentran que concuerda con la predicci´on de la relatividad general. Einstein se vuelve famoso. 7

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

8

La relatividad general juega un papel importante en varias ramas de la f´ısica actual. Por ejemplo, es fundamental para entender el colapso de una estrella y para entender el universo. Tambi´en juega un papel importante en teor´ıas modernas de unificaci´ on de las fuerzas.

1.2.

Teor´ıa de Newton

En la teor´ıa de Newton existen sistemas de referencias (t, x) = (t, x, y, z) preferidos que se llaman los sistemas inerciales. Est´an caracterizados por las siguientes propiedades: (i) Las part´ıculas libres se mueven en trayectorias rectas, d2 x = 0. dt2 (ii) Sean (t1 , x1 ) y (t2 , x2 ) dos eventos, entonces la cantidad |t1 − t2 | es independiente del sistema inercial. aneos, entonces la cantidad Adem´ as, sean (t, x1 ) y (t, x2 ) dos eventos simult´ |x1 − x2 | es independiente del sistema inercial. Las propiedades (i) y (ii) implican que dos sistemas inerciales (t¯, x ¯ ) y (t, x) est´ an conectados por una transformaci´on de coordenadas de la forma t¯ = λ t + a,

(1.1)

x ¯

(1.2)

= R x + v t + b,

donde λ = ±1, a ∈ R, b y v son vectores en R3 y R ∈ O(3) es una transformaci´on ortogonal. Para ver esto, observamos primero que la propiedad (i) implica que la transformaci´ on L : (t, x) 7→ (t¯, x ¯ ) mapea rectas sobre rectas. El Teorema 1 en el ap´endice implica1 que L debe ser una transformaci´on af´ın. Entonces la propiedad (ii) lleva a la forma (1.1,1.2). (1.1,1.2) se llaman transformaciones de Galilei. Forman un grupo de dimensi´ on 10. Las ecuaciones de movimiento de Newton para una part´ıcula en un potencial gravitacional φ son mi x ¨ = ∆φ(t, x) 1 De

=

F (t, x) = −mg ∇φ(t, x),

(1.3)

4πGρ(t, x),

(1.4)

ahora en adelante, vamos a suponer que todas las transformaciones de coordenadas son invertibles.

1.2. TEOR´IA DE NEWTON

9

donde ρ es la densidad gravitacional de masa, mi es la masa inercial de la part´ıcula, mg su masa gravitacional, G = 6,6743 × 10−11 m3 kg −1 s−2 la constante de Newton, ∇ = (∂x , ∂y , ∂z ) el operador nabla y ∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 el operador de Laplace. Ejemplo: Considere un objeto puntual de masa M en el origen. Entonces, ρ(t, x) = M δ(x) y GM φ(t, x) = − . |x| Entonces, GM mg F (t, x) = − x. |x|3 Los experimentos de Galilei surgieren que la aceleraci´on es independiente de la masa de los cuerpos, lo que implica que la masa inercial es igual a la masa gravitacional, mi = mg . Es f´ acil ver que las ecuaciones de movimiento de Newton son invariantes bajo transformaciones de Galilei. Hasta aqui todo est´a consistente. Un problema aparece a la hora de considerar las ecuaciones de Maxwell, 1 ∂ (1.5) B = 0, c ∂t 1 ∂ 1 ∇ · E = ρc , ∇∧B− E = jc, (1.6) c ∂t c donde E y B denotan el campo el´ectrico y magn´etico, c es la velocidad de la luz, ρc la densidad de carga y j c la densidad de corriente el´ectrica. En la ausencia de fuentes (ρc = 0, j c = 0) las ecuaciones de Maxwell implican que las componentes u de E y B satisfacen la ecuaci´ on de onda ∇ · B = 0,

∇∧E+

1 ∂2 u − ∆u = 0. (1.7) c2 ∂t2 En particular, la radiaci´ on electromagn´etica se propaga a la velocidad de la luz. Por otro lado, las ecuaciones de Maxwell (1.5,1.6) no son invariantes bajo transformaciones de Galilei. Por ejemplo, supongamos que E(t, x) y B(t, x) ¯ x) = E(t, x − vt), B(t, ¯ x) = satisfacen las ecuaciones de Maxwell, y sean E(t, B(t, x − vt) los campos transformados. Entonces ¯ x) + 1 ∂ B(t, ¯ x) ∇ ∧ E(t, c ∂t 3

=

∇ ∧ E(t, x − vt) +

=

−

1 ∂B 1 X ∂B (t, x − vt) − (t, x − vt)vj c ∂t c j=1 ∂xj

(1.8)

3

1 X ∂B (t, x − vt)vj , c j=1 ∂xj

(1.9)

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

10

y obtenemos un t´ermino extra. F´ısicamente, la falta de invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transformaciones de Galilei tiene que ver con el siguiente problema: Considere un rayo de luz y un observador que viaja a la velocidad de la luz c = 299, 792, 458 m/s, en la misma direcci´ on que el rayo de luz. El observador ve el rayo de luz (que fue emitido en el sistema de reposo) como una onda estacionaria y no un rayo de luz. Geometricamente, esta falta de invariancia esta relacionada con la falta de invariancia del cono de luz en un evento (t, x) Ce := {(s, y) ∈ R4 : c|s − t| = |y − x|}, bajo transformaciones de Galilei. Si L es una transformaci´on de Galilei que lleva el evento e al evento e0 , entonces L(Ce ) solamente es igual a Ce0 para transformaciones con v = 0.

1.3.

Relatividad especial

Para resolver este problema, Albert Einstein postul´o en 1905: (a) Los sistemas inerciales est´an caracterizados por las siguientes propiedades: (i) Las part´ıculas libres se mueven en trayectorias rectas, d2 x = 0. dt2 (ii)’ La velocidad de la luz es independiente del sistema inercial. (b) Las leyes de la mec´anica y de la electrodin´amica son las mismas en cada sistema inercial Como vemos, la propiedad (ii)’ reemplaza la propiedad (ii) en la teor´ıa Newtoniana. Implica que el cono de luz en un evento e = (t, x), Ce := {(s, y) ∈ R4 : c|s − t| = |y − x|}, es independiente del sistema inercial: Si L es una transformaci´on entre dos sistemas inerciales tal que L(e) = e0 , entonces L(Ce ) = Ce0 . Los postulados de Einstein sugieren el siguiente programa: Primero, tenemos que encontrar el grupo de transformaciones de un sistema inercial a otro, es de¯) cir, tenemos que encontrar las transformaciones de coordenadas (t, x) 7→ (t¯, x que son compatibles con los puntos (i) y (ii)’ arriba. Las transformaciones que resultan se llaman las transformaciones de Poincar´e y reemplazan las transformaciones de Galilei. Luego, tenemos que reformular las ecuaciones de movimiento de Newton (1.3,1.4) y las ecuaciones de Maxwell (1.5,1.6) en una forma que es invariante bajo transformaciones de Poincar´e.

1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL

1.3.1.

11

Las transformaciones de Poincar´ e

Para encontrar las transformaciones que son compatibles con los puntos (i) y (ii)’ es conveniente introducir la notaci´on que sigue x = (xµ ) = (ct, x),

(µ = 0, 1, 2, 3).

Adem´ as introducimos la matriz2 sim´etrica   −1 0 0 0  0 1 0 0   (ηµν ) :=   0 0 1 0 . 0 0 0 1 Con esta notaci´ on, y el convenio de sumaci´on sobre ´ındices repetidos, podemos caracterizar el cono de luz C por 0 = ηµν ∆xµ ∆xν = −c2 (∆t)2 + |∆x|2 , donde ∆xµ := xµ2 − xµ1 . ηµν define una forma bilineal (“producto escalar Lorentziano”), (v, w) := ηµν v µ wµ = −v 0 w0 + v 1 w1 + v 2 w2 + v 3 w3 ,

v, w ∈ R4 ,

que no es positivo. El cono de luz consiste de los vectores ∆x ∈ R4 para los cuales (∆x, ∆x) = 0. De hecho, no es dif´ıcil mostrar que cualquier otra forma bilineal (., .)0 que caracteriza el cono de luz de esta manera est´a relacionada con (., .) a trav´es de una constante multiplicativa, es decir, existe α 6= 0 tal que (v, w)0 = α(v, w) para todos v, w ∈ R4 . Ahora sea L : x 7→ x ¯ una transformaci´on de un sistema inercial a otro. Como antes, la propiedad (i) implica que L mapea rectas sobre rectas y el Teorema 1 en el ap´endice implica que L debe ser una transformaci´on af´ın. Entonces existen A ∈ GL(4, R) y a ∈ R4 tales que x ¯ = Lx = Ax + a. Puesto que L debe dejar el cono de luz invariante (por la propiedad (ii)’), tenemos que (Av, Aw) = α(v, w) (1.10) para todos v, w ∈ R4 , donde α 6= 0 es una constante. Esta constante debe ser positiva porque de otra manera, la transformaci´on lineal A mapear´ıa el interior, (v, v) < 0, del cono de luz (un conjunto desconectado) sobre el exterior, (v, v) > 0, del cono de luz (un conjunto conectado) lo que no es posible dado que A es continua. 2 Como

vamos a ver pronto, η no es realmente una matriz sino un tensor.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

12

En forma matricial, la condici´on (1.10) tambi´en se puede escribir como vT AT ηAw = αvT ηw para todos v, w ∈ R4 . Entonces, A tiene la forma A = ΩΛ,

(1.11)

donde Ω > 0 es una constante positiva y Λ ∈ GL(4, R) satisface ΛT ηΛ = η.

(1.12)

Una transformaci´ on lineal Λ : R4 → R4 que satisface (1.12) se llama transformaci´ on de Lorentz. El conjunto de todas estas transformaciones forma un grupo que se llama el grupo de Lorentz. Elementos particulares de este grupo son: (1) Un boost (empuje) con velocidad v (|v| < c) en la direcci´on x:   γ γβ 0 0  γβ v 1 γ 0 0  , , β= . γ=p Λ=  0 2 0 1 0  c 1−β 0 0 0 1 (2) Rotaciones:  Λ=

1 0

0T R

 R ∈ SO(3).

,

(3) Inversi´ on del sentido del tiempo:  −1  0 Λ=  0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0  . 0  1

(3) Inversi´ on de la paridad: 

1  0 Λ=  0 0

 0 0 0 −1 0 0  . 0 −1 0  0 0 −1

Se puede mostrar que cualquier transformaci´on de Lorentz se puede escribir como una composici´ on de estos elementos particulares. Existe un boost y una rotaci´ on en cada direcci´on, por lo tanto, el grupo de Lorentz es hexadimensional. Ahora regresamos al resultado (1.11), A = ΩΛ. Queremos concluir que el factor de escala, Ω, debe ser uno. Para mostrar esto vamos a suponer que cada

1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL

13

sistema inercial posee una escala fija. Esto implica que Ω debe ser constante para Λ fijo y que A solamente puede depender de Λ, A = A(Λ) = Ω(Λ)Λ,

Ω(Λ) > 0.

Adem´ as, tenemos que A(Λ1 ) ◦ A(Λ2 ) = A(Λ1 ◦ Λ2 ) para todas las transformaciones de Lorentz Λ1 , Λ2 . Entonces, Ω(Λ1 ) · Ω(Λ2 ) = Ω(Λ1 ◦ Λ2 )

(1.13)

para todas las transformaciones de Lorentz Λ1 , Λ2 . Pero esta condici´on y la positividad de Ω implican que Ω(Λ) = 1 para todas las transformaciones de Lorentz, como vamos a mostrar ahora: Primero, eligiendo Λ1 = Λ2 = I (la identidad) en (1.13) obtenemos Ω(I) = 1. Luego, si Λ es una inversi´on de paridad o del sentido del tiempo, tenemos que Λ2 = I y (1.13) implica que Ω(Λ) = 1. Luego, sea Λ una rotaci´ on por el eje e, y sea S una rotaci´on con el ´angulo π por un eje perpendicular a e. Entonces, S 2 = I y Λ−1 = SΛS. Por lo tanto, (1.13) implica que Ω(Λ) = 1. De manera similar, sea Λ un boost en la direcci´on x y S la rotaci´ on con el ´ angulo π por el eje z. Entonces S 2 = I y Λ−1 = SΛS y concluimos que Ω(Λ) = 1, como antes. Finalmente, ya que cualquier transformaci´on de Lorentz se puede representar por la composici´on de transformaciones analizadas hasta el presente, concluimos que Ω(Λ) = 1 para todas las transformaciones de Lorentz. Concluimos que las transformaciones L que llevan de un sistema inercial a otro tienen la forma Lx = Λx + a, x ∈ R4 , (1.14) donde Λ es una transformaci´ on de Lorentz y a ∈ R4 . El conjunto de todas estas transformaciones generan un grupo de dimensi´on 10 llamado grupo de Poincar´ e. Notamos que las rotaciones, las translaciones y la inversi´on de la paridad y del sentido del tiempo tambi´en son elementos del grupo de Galilei. Los boosts reemplazan las transformaciones de Galilei t¯ = t,

x ¯ = x + vt.

Por ejemplo, un boost en la direcci´on x tiene la forma  v  t¯ = γ t + 2 x , c x ¯ = γ(x + vt)

(1.15) (1.16)

(y y¯ = y, z¯ = z), donde γ = [1 − (v/c)2 ]−1/2 . Entonces recuperamos las transformaciones de Galilei en el l´ımite formal c → ∞. Para c finito ocurren efectos cinem´ aticos que no se dan en la teor´ıa Newtoniana: (a) Dilataci´ on del tiempo: Considere un reloj en reposo en el sistema inercial (t, x), y sea ∆t una unidad de tiempo fija medida por este reloj. Un observador que se mueve en un sistema inercial (t¯, x ¯ ) con velocidad v 6= 0 con respecto a (t, x) nota que ∆t¯ = γ∆t > ∆t.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

14

(b) Contracci´ on del espacio: Considere un objeto de tama˜ no L que se encuentra en reposo en el sistema inercial (t, x). Un observador que se mueve en un sistema inercial (t¯, x ¯ ) con velocidad v 6= 0 con respecto a (t, x) mide que el objeto tiene el tama˜ no L/γ < L. (c) Adici´ on de velocidades: Considere la composici´on de dos boosts recci´ on de x con velocidades v1 y v2 ,    γ2 γ2 β2 0 γ 1 γ 1 β1 0 0   γ 1 β1  γ β γ2 0 γ 0 0 2 2 1 , Λ2 =  Λ1 =    0 0 1 0 0 1 0  0 0 0 0 0 0 1 2 −1/2 donde βm = vm /c, γm = (1 − βm ) , m = 1, 2. Entonces,    γ γ1 γ2 (1 + β1 β2 ) γ1 γ2 (β1 + β2 ) 0 0  γ1 γ2 (β1 + β2 ) γ1 γ2 (1 + β1 β2 ) 0 0   γβ = Λ1 Λ2 =   0 0 1 0   0 0 0 0 0 1

en la di 0 0  , 0  1

 γβ 0 0 γ 0 0  , 0 1 0  0 0 1

donde β = (β1 + β2 )/(1 + β1 β2 ), γ = (1 − β 2 )−1/2 . Entonces, Λ1 Λ2 es un boost con velocidad v1 + v2 v = cβ = . (1.17) 1 + v1c2v2 En particular, |v| < c si |v1 | < c y |v2 | < c.

1.3.2.

Tensores de Lorentz

Definimos el espacio de Minkowki M := (R4 , (., .)), donde (., .) es el producto (v, w) := ηµν v µ wµ = −v 0 w0 + v 1 w1 + v 2 w2 + v 3 w3 ,

v, w ∈ R4 .

Las definiciones que siguen podr´ıan parecer un poco artificiales a primera vista. Las transformaciones que se encuentran a continuaci´on se volver´an claras en el contexto m´ as general de tensores sobre variedades (ver el cap´ıtulo 3). Definici´ on 1 Sea x ¯µ = Λµ ν xν + aµ una transformaci´ on de Poincar´e, donde µ Λ ν denotan las componentes de la matriz Λ con respecto a la base can´ onica en R4 . 1. Una funci´ on Φ : M → R se llama un escalar de Lorentz si ¯ x) = Φ(x), Φ(¯

x ∈ M.

2. Un campo vectorial X : M → R4 se llama un vector de Lorentz (o cuadrivector) si ¯ µ (¯ X x) = Λµ ν X ν (x), x ∈ M. Adem´ as, un cuadrivector v ∈ M se llama tipo tiempo si (v, v) < 0, tipo espacio si (v, v) > 0, y nulo si (v, v) = 0.

1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL

15

3. Un covector de Lorentz es un mapeo V : M → R4 tal que V¯µ (¯ x) = Λµ ν Vν (x),

x ∈ M,

donde Λµ ν denota las componentes de (Λ−1 )T . Notamos que Λα µ Λα ν = Λµ α Λν α = δµ ν y que la contracci´ on de un vector con un covector de Lorentz es un escalar de Lorentz: ¯ µ V¯µ = Λµ α X α Λµ β Vβ = δα β X α Vβ = X α Vα . X 4. De manera m´ as general, un tensor de Lorentz del tipo (r, s) es un mapeo T : M → R4(r+s) , x 7→ T µ1 µ2 ...µr ν1 ν2 ...νs (x) tal que x) = Λµ¯1 µ1 ···Λµ¯r µr Λν¯1 ν1 ···Λν¯s νs T µ1 ...µr ν1 ...νs (x), T¯µ¯1 ...¯µr ν¯1 ...¯νs (¯

x ∈ M.

Notamos que si T µ1 µ2 ...µr ν1 ν2 ...νs ≡ 0 en un sistema inercial, T¯µ¯1 ...¯µr ν¯1 ...¯νs tambi´en es cero en cualquier otro sistema inercial. Ejemplos: 1. ηµν es un tensor de Lorentz (constante) del tipo (0, 2) dado que   η¯µ¯ν¯ = Λµ¯ µ Λν¯ ν ηµν = (Λ−1 )T ηΛ−1 µ¯ν¯ = ηµ¯ν¯ . 2. η µν := (η −1 )µν = ηµν es un tensor de Lorentz (constante) del tipo (2, 0) puesto que  µ¯ν¯ Λµ¯ µ Λν¯ ν η µν = ΛηΛT = η µ¯ν¯ . 3. Los tensores ηµν y η µν se pueden usar para “subir” y “bajar” los ´ındices de tensores. Por ejemplo, sea X µ (x) un campo vectorial de Lorentz, entonces Vµ (x) := ηµν X ν (x) es un covector de Lorentz: V¯µ¯

¯ ν¯ = ηµ¯ν¯ Λν¯ ν X ν = [ηΛ]µ¯ν X ν = η¯µ¯ν¯ X =

[(Λ−1 )T η]µ¯ν X ν = Λµ¯ α ηαν X ν = Λµ¯ α Vα .

De manera similar, X µ (x) := η µν Vν (x) es un campo vectorial de Lorentz si Vµ (x) es un covector de Lorentz. Ejercicio 1. (a) Muestre que η µ ν = ην µ = δ µ ν , y que el tensor del tipo (2, 0) que se obtiene al subir los ´ındices de ηµν es consistente con la definici´on de η µν . (b) Muestre que el operador ∂ (1.18) ∂xµ se transforma como un covector de Lorentz bajo tansformaciones de Poincar´e. ∂µ :=

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

16 (c) Defina el siguiente   +1, −1, εαβγδ :=  0,

tensor totalmente antisim´etrico: si αβγδ es una permutaci´on par de 0123, si αβγδ es una permutaci´on impar de 0123, de otra manera.

(1.19)

Muestre3 que εαβγδ se transforma como un tensor del tipo (0, 4) si nos restringimos a las transformaciones de Poincar´e con det(Λ) = 1. (d) Sean S µ1 ...µr ν1 ...νs y T α1 ...αp β1 ...βq tensores de Lorentz del tipo (r, s) y (p, q), respectivamente. Muestre que (S ⊗ T )µ1 ...µr α1 ...αp ν1 ...νs β1 ...βq (x) := S µ1 ...µr ν1 ...νs (x) · T α1 ...αp β1 ...βq (x) define un tensor de Lorentz del tipo (r + p, s + q).

1.3.3.

Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante

Consideramos primero las ecuaciones de Maxwell homog´eneas, ∇ · B = 0,

∇∧E+

1 ∂ B = 0. c ∂t

Estas ecuaciones se pueden resolver introduciendo un potencial escalar Φ y un potencial vectorial A tales que B

= ∇ ∧ A,

(1.20)

E

1 ∂ = −∇Φ − A. c ∂t

(1.21)

Los potenciales (Φ, A) no son u ´nicos; la transformaci´ on de norma Φ 7→ Φ −

1 ∂ χ, c ∂t

A 7→ A + ∇χ,

(1.22)

donde χ es una funci´ on diferenciable arbitraria, dejan E y B invariantes. Como vemos de (1.22) es conveniente definir el cuadrivector A = (Aµ ) ≡ (−Φ, A).

(1.23)

Con el operador (∂µ ) = (c−1 ∂t , ∇) definido en (1.18) la transformaci´on (1.22) se puede escribir como Aµ 7→ Aµ + ∂µ χ. (1.24) 3 Para

este ejercicio es conveniente mostrar la identidad εαβγδ Aα µ Aβ ν Aγ τ Aδ ρ = det(A)εµντ ρ

para una matriz 4 × 4 A = (Aµ ν ) arbitraria.

1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL

17

Por otro lado, las componentes de (1.20,1.21) son B1

=

∂2 A3 − ∂3 A2 ,

y permutaciones c´ıclicas de 123,

(1.25)

Ej

=

∂j A0 − ∂0 Aj ,

j = 1, 2, 3.

(1.26)

Entonces, si definimos Fµν := ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,

(1.27)

obtenemos 

0  E1 (Fµν ) = (−Fνµ ) =   E2 E3

−E1 0 −B3 B2

−E2 B3 0 −B1

 −E3 −B2  . B1  0

(1.28)

Puesto que el tensor εαβγδ definido en (1.19) es totalmente antisim´etrico, tenemos que εαβγδ ∂ β F γδ = 2εαβγδ ∂ β ∂ γ Aδ = 0. Estas son las ecuaciones homog´eneas de Maxwell. Ahora consideramos las ecuaciones inhomog´eneas, ∇ · E = ρc ,

∇∧B−

1 ∂ 1 E = jc. c ∂t c

Definiendo el cuadrivector (j µ ) := (cρc , j c )

(1.29)

no es dif´ıcil ver que se pueden escribir de la forma ∂β F αβ =

1 α j . c

(1.30)

Resumiendo, si consideramos E y B como componentes del tensor antisim´etrico   0 E1 E2 E3  −E1 0 B3 −B2  , (F µν ) =  (1.31)  −E2 −B3 0 B1  −E3 B2 −B1 0 y si introducimos el cuadrivector (j µ ) := (cρc , j c ), las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como εαβγδ ∂ β F γδ = 1 ∂β F αβ = j α . c

0,

(1.32) (1.33)

Pidiendo que F µν se transforme como un tensor de Lorentz del tipo (2, 0) y que j µ se transforme como un vector de Lorentz, (1.32,1.33) se vuelven ecuaciones entre tensores de Lorentz y por lo tanto tienen la misma forma en cualquier sistema inercial.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

18 Observaciones

1. La ecuaci´ on de continuidad ∂t ρc + ∇j c = 0 es una consecuencia inmediata de (1.33): ∂µ j µ = c∂µ ∂ν F µν = 0. 2. Aplicando la regla de transformaci´on F¯ µν = Λµ α Λν β F αβ a un boost con velocidad v = cβ en la direcci´on x, x ¯0

= γ(x0 + βx1 ),

x ¯1

= γ(βx0 + x1 ),

γ = (1 − β 2 )−1/2 ,

yx ¯ 2 = x2 , x ¯3 = x3 , encontramos que ¯ 1 = E1 , E ¯ 1 = B1 , B

¯2 = γ(E2 + βB3 ), E ¯2 = γ(B2 − βE3 ), B

¯3 = γ(E3 − βB2 ),(1.34) E ¯3 = γ(B3 + βE2 ).(1.35) B

Entonces un boost mezcla el campo el´ectrico con el campo magn´etico. Por ejemplo, si q es una carga el´ectrica en reposo con respecto al sistema inercial (t, x) un observador que se mueve a una velocidad constante no cero con respecto al sistema inercial (t, x) detecta un campo magn´etico ¯ 6= 0) a´ (B un si B = 0. Ejercicio 2. (a) Analice de que manera se transforman los campos E y B bajo rotaciones y bajo la inversi´ on de la paridad. (b) ¿C´ omo se transforman E, B, ρc y j c bajo la inversi´on del sentido del tiempo?

1.3.4.

Las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula relativista

Logramos formular las ecuaciones de Maxwell de tal manera que son invariantes bajo transformaciones de Poincar´e. Ahora generalizamos la ecuaci´on de movimiento de Newton, (1.36) mi x ¨ = F (t, x), al caso relativista. Para esto, pensamos primero c´omo definir la velocidad en relatividad. Una posibilidad es dxµ /dt, pero el problema con esta definici´on es que no resulta en un vector de Lorentz puesto que t no es un escalar de Lorentz. Sea xµ (λ) la linea de mundo de una part´ıcula con masa inercial mi , donde λ es un par´ ametro de curva. Suponemos que la part´ıcula se mueve con una velocidad menor que la de la luz. Geometricamente, esto significa que para todo

1.3. RELATIVIDAD ESPECIAL

19

λ el cuadrivector dxµ /dλ es de tipo tiempo. En vez de t introducimos el tiempo propio τ definido por r 1 ds dxµ dxν dτ = ds, := −ηµν . (1.37) c dλ dλ dλ Por definici´ on, τ es un escalar de Lorentz que no depende de la parametrizaci´on λ de la curva. Entonces dxµ uµ := (1.38) dτ es un vector de Lorentz independiente de λ, llamado cuadrivelocidad. Las definiciones (1.37,1.38) son independientes del par´ ametro λ. Si usamos λ = t para parametrizar la trayectoria de la part´ıcula encontramos que r |v|2 dt dτ = 1 − 2 dt = c γ y por lo tanto, (uµ ) = γ(c, v), donde v := dx/dt. En el l´ımite Newtoniano |v|/c  1 vemos que dτ ≈ dt y uj ≈ v j , j = 1, 2, 3. Con estas definiciones es obvio c´omo generalizar (1.36) al caso relativista: Reemplazamos v = dx/dt por la cuadrivelocidad uµ = dxµ /dτ , el momento lineal p = mi v por el cuadrimomento pµ = mi uµ y (1.36) por dpµ = F µ, dτ

(1.39)

donde pedimos que F µ se transforme como un vector de Lorentz bajo transformaciones de Poincar´e. La energ´ıa cin´etica relativista est´a definida por E = cp0 . Puesto que  2 E − |p|2 = −pµ pµ = m2i γ 2 (c2 − |v|2 ) = m2i c2 , c encontramos que q E = c m2i c2 + |p|2 = γmi c2 . La pregunta que queda es c´ omo elegir el cuadrivector F µ de fuerza. Para dar un ejemplo, consideremos una part´ıcula con masa inercial mi y carga q que se mueve bajo la influencia de un campo electromagn´etico F µν . En un sistema inercial tal que v(0) = dx/dt|t=0 = 0 (reposo moment´aneo) la part´ıcula no siente el campo magn´etico al tiempo t = 0, y d2 x mi 2 = qE(0, x(0)). dt t=0 Esta ecuaci´ on es equivalente a dpµ q = F µν uν dτ c

(1.40)

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

20

al tiempo t = 0. No obstante, (1.40), siendo una ecuaci´on para vectores de Lorentz, vale en cualquier sistema inercial y por esta raz´on, F µ = qc−1 F µν uν . Si v 6= 0, obtenemos d γmi c2 dt d γmi v dt

= q v · E,   v = q E+ ∧B . c

(1.41) (1.42)

La primera ecuaci´ on expresa la conservaci´on de la energ´ıa. El lado derecho de la segunda ecuaci´ on es la fuerza de Lorentz. En los cap´ıtulos que siguen veremos c´omo definir la fuerza relativista F µ para una part´ıcula que se mueve bajo la influencia de un potencial gravitacional.

1.4.

La estructura causal del espacio-tiempo

En la teor´ıa Newtoniana, el tiempo es absoluto. Dado un evento e = (t, x), cualquier otro evento ocurre o en el futuro de e, o en el pasado de e o bien al mismo tiempo que el evento e. Existen las superficies distinguidas Σt = {(t, x) : x ∈ R3 },

t∈R

que caracterizan el conjunto de eventos simult´aneos. Los sistemas inerciales est´ an relacionados a trav´es de las transformaciones de Galilei. En la relatividad especial, la simultaneidad es una noci´on relativa. Las estructuras invariantes son los conos de luz Ce := {(s, y) ∈ R4 : −c2 (s − t)2 + |y − x|2 = 0}, en cada evento e = (ct, x). Dado dos eventos e1 = (ct1 , x1 ) y e2 = (ct2 , x2 ), los observadores inerciales solamente pueden ponerse de acuerdo si e1 y e2 est´an relacionados de manera causal: (e1 − e2 , e1 − e2 ) ≤ 0, estrictamente causal: (e1 − e2 , e1 − e2 ) < 0, acausal: (e1 − e2 , e1 − e2 ) > 0. Los sistemas inerciales est´an relacionados a trav´es de las transformaciones de Poincar´e. La estructura causal del espacio-tiempo no es fija en la relatividad general como en la teor´ıa Newtoniana o en la relatividad especial, sino que est´a influenciada por la presencia de materia y de radiaci´on. Como en la relatividad especial, la estructura causal se define a trav´es de un cono de luz gµν X µ X ν = 0, pero en la relatividad general el tensor m´etrico gµν (x) puede variar de un punto del espacio-tiempo a otro. Adem´as, la topolog´ıa del espacio-tiempo no tiene por

´ 1.5. APENDICE: TRANSFORMACIONES AFINES

21

qu´e ser R4 , puede ser m´ as complicada. Como vamos a ver, el tensor m´etrico gµν no solamente describe la estructura causal del espacio-tiempo sino tambi´en el campo gravitacional. Las ecuaciones de Einstein relacionan la (curvatura de) la m´etrica con el tensor de energ´ıa-impulso. Una propiedad importante de la relatividad general es que no existen sistemas de referencia preferidos. Las ecuaciones de campo valen en todos los sistemas de referencia.

1.5.

Ap´ endice: Transformaciones afines

En este ap´endice demostramos el teorema siguiente: Teorema 1 Sean n ≥ 2 y L : Rn → Rn una biyecci´ on de Rn que mapea rectas sobre rectas. Entonces L es una transformaci´ on af´ın, es decir, existen una transformaci´ on lineal A : Rn → Rn invertible y un vector b ∈ Rn tales que L(x) = Ax + b para todo x ∈ Rn . Observaci´ on: El teorema no vale para n = 1 porque en este caso todas las biyecciones de R a R mapean rectas sobre rectas. Demostraci´ on del Teorema 14 . Definimos la aplicaci´ on A : Rn → Rn , x 7→ A(x) := L(x)−L(0) que satisface A(0) = 0. El objetivo consiste en demostrar que A es lineal. Paso 1: Notamos primero que si R y R0 son dos rectas distintas paralelas, entonces L(R) y L(R0 ) tambi´en son rectas distintas paralelas. De otra manera, L(R) y L(R0 ) tendr´ıan un punto en com´ un lo que violar´ıa la inyectividad de L. Paso 2: Sean x, y ∈ Rn dos vectores linealmente independientes, y considere el paralelogramo P con v´ertices 0, x, x + y, y. Dado que A mapea rectas paralelas sobre rectas paralelas, la imagen de P tambi´en es un paralelogramo con v´ertices 0, A(x), A(x + y), A(y). Entonces, encontramos que A(x + y) = A(x) + A(y), para x, y ∈ Rn linealmente independientes. Paso 3: Sea x ∈ Rn \ {0} y considere las rectas R := {k x : k ∈ R},

R0 := A(R) = {k 0 A(x) : k 0 ∈ R}.

Entonces, la funci´ on A : R → R0 y la funci´on inducida σ = σR : R → R, 0 k 7→ k son biyectivas. Ahora mostramos que σ es un automorfismo, es decir, satisface σ(λ + µ) = σ(λ) + σ(µ), 4 Adaptado

de D. Giulini

σ(λ · µ) = σ(λ) · σ(µ)

de M. Berger, Geometry, Springer-Verlag, Volume 1 y de un comunicado privado

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

22

para todos λ, µ ∈ R. Esto se puede ver de manera similar a la demostraci´on en el paso 2 tomando un punto y ∈ Rn \ R y usando el resultado del paso 1. Paso 4: La funci´ on σ : R → R no depende de la recta R: Sea λ ∈ R \ {0} y sean x, y ∈ Rn linealmente independientes. Considere la recta R que pasa por los puntos 0, x y la recta R1 que pasa por los puntos 0, y. Entonces, la recta que pasa a trav´es de x y de y es paralela a la recta que pasa a trav´es de λx y λy. Dado el resultado del paso 1, la recta que pasa a trav´es de los puntos A(x) y A(y) es paralela a la recta que pasa a trav´es de los puntos A(λx) = σR (λ) A(x) y A(λy) = σR1 (λ) A(y). Entonces, A(λy) = σR (λ) A(y) y σR1 (λ) = σR (λ). Paso 5: De los pasos anteriores concluimos que A : Rn → Rn es una transformaci´on semi-lineal. Esto significa que existe un automorfismo σ : R → R tal que A(λx + µy) = σ(λ) A(x) + σ(µ) A(y)

(1.43)

para todos x, y ∈ Rn , λ, µ ∈ R. Paso 6: Sea σ : R → R un automorfismo de R. Entonces σ debe ser la identidad. Para demostrar esta afirmaci´on notamos primero que q ∈ R \ {0} implica que σ(q) 6= 0. De otra manera, σ(p) = σ(q)σ(p/q) = 0 para todo p ∈ R y σ ser´ıa identicamente cero. Luego, notamos que 0 + 0 = 0 y 1 · 1 = 1 implican que σ(0) = 0 y σ(1) = 1. Sea n = 1 + 1 + ... + 1 ∈ N. Entonces σ(n) = σ(1) + σ(1) + ... + σ(1) = 1 + 1 + ... + 1 = n. Luego, p + (−p) = 0 implica que σ(−p) = −σ(p) para todos p ∈ R. En particular, σ(−n) = −σ(n) = −n para n ∈ N. Ahora, p · 1/p = 1 implica que σ(1/p) = 1/σ(p) para p 6= 0. Entonces si m, n ∈ Z, n 6= 0, tenemos que σ(m/n) = σ(m · 1/n) = σ(m)/σ(n) = m/n. Concluimos que σ : Q → Q es la identidad. Finalmente, sea p = q 2 > 0. Entonces σ(p) = σ(q)2 > 0. Esto muestra que p1 < p2 implica que σ(p1 ) < σ(p2 ). Ahora sea p ∈ R arbitrario, y sean ak y bk sucesiones en Q que convergen a p por debajo y por arriba de p, respectivamente. Puesto que ak = σ(ak ) < σ(p) < σ(bk ) = bk ,

k ∈ N,

obtenemos que σ(p) = p tomando el l´ımite k → ∞ a ambos lados. Esto concluye la demostraci´on del teorema.

Cap´ıtulo 2

Teor´ıas escalares de la gravedad En este cap´ıtulo nos preguntamos si es posible reemplazar las ecuaciones de movimiento de Newton, mi x ¨ ∆φ(t, x)

= F (t, x) = −mg ∇φ(t, x),

(2.1)

=

(2.2)

4πGρ(t, x),

por ecuaciones que son covariantes (es decir, su forma es invariante) bajo transformaciones de Poincar´e. En la secci´on 1.3.4 ya encontramos una generalizaci´on covariante de la primera parte de la ecuaci´on (2.1), mi

d2 xµ = F µ, dτ 2

donde τ es el tiempo propio de la part´ıcula y F µ es un vector de Lorentz. Para obtener una generalizaci´ on covariante de (2.2) reemplazamos ∆ ρ

1 ∂2 + ∆ = η µν ∂µ ∂ν (un escalar de Lorentz), c2 ∂t2 = −η µν Tµν (un escalar de Lorentz),

por − ≡ − por −T µ µ

donde Tµν es el tensor de energ´ıa-impulso de la materia. Entonces, obtenemos Φ = 4πGT µ µ .

(2.3)

Si existe un sistema inercial (t, x) tal que Φ˙ = 0, T00 = ρ y T x x + T y y + T z z = 0, entonces la ecuaci´ on (2.3) se reduce a la ecuaci´on (2.2). ¿C´ omo definir el cuadrivector de fuerzas, F µ ? Para esto notamos primero que las trayectorias de part´ıculas libres se pueden obtener a trav´es del siguiente principio variacional: Sean e1 = (ct1 , x1 ) y e2 = (ct2 , x2 ) dos eventos fijos tales que (e1 − e2 , e1 − e2 ) < 0, y sea xµ : [0, 1] → M una curva causal que 23

CAP´ITULO 2. TEOR´IAS ESCALARES DE LA GRAVEDAD

24

empieza en xµ (0) = e1 y termina en xµ (1) = e2 . Entonces la trayectoria f´ısica est´ a determinada por los puntos estacionarios del funcional Ze2

µ

S[x (λ)] =

Z1 ds =

e1

x˙ µ ≡

p −ηµν x˙ µ x˙ ν dλ,

dxµ . dλ

(2.4)

0

Notamos que para una curva xµ (λ) dada, la cantidad S[xµ (λ)]/c da el tiempo propio de e1 a e2 . Entonces la trayectoria f´ısica es aquella que maximiza1 el tiempo propio entre dos eventos e1 y e2 que son causalmente relacionados. Sea xµ (λ) una curva que maximiza S. Podemos suponer que p para esta curva λ = τ /T es proporcional al tiempo propio de tal manera que −ηµν x˙ µ x˙ ν = T c. Ahora consideramos una variaci´on δxµ (λ) de esta curva. Dado que e1 y e2 son fijos, tenemos que δxµ (0) = δxµ (1) = 0. La variaci´on de S da

0

=

1 δS[x (λ)] = − cT µ

Z1

ηµν x˙ µ δ x˙ ν dλ

0

=

1 1 1 − ηµν x˙ µ δxν |λ=0 + cT cT

Z1

ηµν x ¨µ δxν dλ

0

Z1 =

ηµν x ¨µ δxν dλ,

0

donde hemos usado integraci´on por parte en el segundo paso. Esto vale para todas las variaciones δxµ (λ) con δxµ (0) = δxµ (1) = 0. Entonces, encontramos que d2 xµ = 0, (2.5) dτ 2 la ecuaci´ on para una part´ıcula libre en relatividad especial. Ahora postulamos que una part´ıcula que se mueve bajo la influencia del potencial gravitacional Φ obedece el principio variacional definido por (2.4) donde reemplazamos ηµν por el tensor m´etrico2  gµν =

Φ 1+ 2 c

2 ηµν .

(2.6)

Entonces, buscamos curvas estacionarias del funcional µ

Z1 

S[x (λ)] =

1+

Φ c2



p

−ηµν x˙ µ x˙ ν dλ,

0 1 ¿Porqu´ e 2 Notamos

se trata de un m´ aximo y no de un m´ınimo? que Φ tiene las unidades m2 /s2 .

x˙ µ ≡

dxµ . dλ

(2.7)

25 Con respecto a un par´ ametro λ que es proporcional al tiempo propio τ , donde ahora   dτ 1p 1 Φ p µ ν = −gµν x˙ x˙ = 1+ 2 −ηµν x˙ µ x˙ ν , dλ c c c la variaci´ on de S da la ecuaci´ on de movimiento " # 2 d Φ d µ η µν ∂ν Φ 1+ 2 x =− . dτ c dτ 1 + cΦ2

(2.8)

En el l´ımite Newtoniano donde |v|/c  1 y Φ  c2 esta ecuaci´on se reduce a on de Newton (2.1) con mi = mg . d2 x/dt2 = −∇Φ, la ecuaci´ Para resumir, las ecuaciones (2.8,2.3) ofrecen una generalizaci´on relativista de las ecuaciones de movimiento de Newton (2.1,2.2). Teor´ıas similares fueron contempladas por el f´ısico te´ orico finland´es Gunnar Nordstr¨om en 1912 y 1913. Sin embargo, la teor´ıa que acabamos de describir debe ser descartada por las siguientes razones experimentales: 1. Puesto que las geod´esicas nulas son invariantes bajo transformaciones conformes de la m´etrica, gµν 7→ Ω2 gµν (como vamos a ver en el ejercicio 16, los rayos de luz siguen rectas en la teor´ıa de Nordstr¨om, y la teor´ıa no predice la desviaci´ on de la luz. 2. La precesi´ on del perihelio de mercurio no concuerda con el experimento (otro ejercicio en el futuro). Para un objeto que gira alrededor de una estrella de masa M con momento angular L la teor´ıa de Nordstr¨om predice un ´ angulo de precesi´ on  2 GM 2 1 ∆φ = −π = − ∆φEinstein cL 6 por ´ orbita. Para la ´ orbita de mercurio alrededor del sol, se encuentra que ∆φ100y ≈ 4300 ≈ ∆φEinstein,100y , despu´es de restar los efectos inducidos por los otros planetas. 3. Para campos materiales que satisfacen T µ µ = 0 (como el electromagnetismo, por ejemplo), la u ´nica soluci´on estacionaria y asint´oticamente plana de (2.3) es la soluci´ on trivial, Φ ≡ 0. En este caso, las trayectorias de part´ıculas son rectas. Ejercicio 3. (a) Muestre que la ecuaci´ on (2.3) se puede obtener al variar la acci´on Z 1 S[Φ] = L d4 x, L = − ∂ µ Φ · ∂µ Φ + gΦT, 2 donde g = 4πG y T = T µ µ es la traza del tensor de energ´ıa-impulso de la materia.

CAP´ITULO 2. TEOR´IAS ESCALARES DE LA GRAVEDAD

26

(b) Muestre que el tensor de energ´ıa-impulso del campo gravitacional Φ est´a dado por τ µν = −

∂L 1 ∂ ν Φ + η µν L = ∂ µ Φ · ∂ ν Φ − η µν (∂ α Φ · ∂α Φ − 2gΦT ) . ∂(∂µ Φ) 2

(c) Muestre que para una configuraci´on est´atica, la energ´ıa W = est´ a dada por Z Z T (x)T (y) 3 3 g2 d x d y. W =− 8π |x − y|

R

τ00 d3 x

En particular, la fuerza es atractiva si T es positivo. (d) Considere la posibilidad de describir la gravitaci´on a trav´es de un campo vectorial Aµ , como en la teor´ıa de Maxwell: Z 1 S[A] = L d4 x, L = − F µν Fµν + gAµ Jµ , 4 donde g es una constante de acoplamiento, Fµν := ∂µ Aν − ∂ν Aµ y Jµ describe las corrientes materiales. Muestre que para configuraciones est´aticas con distribuci´ on de masa ρ = J 0 positiva, la fuerza resultante es repulsiva.

Cap´ıtulo 3

Geometr´ıa diferencial El espacio-tiempo es un “medio cuadridimensional” en el sentido que se necesitan cuatro n´ umeros reales para caracterizar un evento. Entonces se ve como R4 localmente. A pesar de esto, la topolog´ıa del espacio-tiempo puede ser m´ as complicada que R4 . Una descripci´ on matem´ atica adecuada del espacio-tiempo est´a dada por la definici´ on de una variedad diferenciable. Esta definici´on que se discute en la secci´ on 3.1 captura la idea de que el espacio-tiempo se ve como R4 localmente. Para describir cantidades f´ısicas como la velocidad de part´ıculas, el campo electromagn´etico, la estructura causal del espacio-tiempo etc. necesitamos introducir campos tensoriales sobre la variedad, lo que se discute en la secci´on 3.2. A continuaci´ on, analizaremos en la secci´on 3.3 como transportar vectores de manera paralela a lo largo de una curva. Esto nos llevar´a a la noci´on de conexiones que tambi´en nos permite definir una derivada covariante para campos tensoriales. Para medir la distancia entre dos puntos de una variedad se introduce una m´etrica. Como vamos a ver en la secci´on 3.4, dado una variedad con una m´etrica existe una conexi´ on preferida llamada la conexi´ on de Levi-Civita o conexi´ on de Riemann. En relatividad general, es esta la conexi´on que se usa para definir el transporte paralelo y la derivada covariante de campos tensoriales. A parte de definir el transporte paralelo de vectores y tensores la conexi´on tambi´en se puede usar para definir la curvatura de una variedad. Esto se explica en la secci´ on 3.6. Las derivadas de Lie toman un papel importante para el estudio de simetr´ıas de variedades y se estudiar´ an en la secci´on 3.5. Puesto que no hay ninguna ventaja en restringuirnos al caso de variedades cuadridimensionales dejaremos la dimensi´on arbitraria.

3.1.

Variedades diferenciables

Definici´ on 2 Sea n ∈ N. Una variedad (C ∞ –) diferenciable de dimensi´ on n es un conjunto M con una familia de mapeos biyectivos φα : Uα ⊂ M → Vα ⊂ 27

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

28

Rn de Uα ⊂ M sobre conjuntos abiertos Vα en Rn tal que S (i) Uα = M , α

(ii) para todos α, β tales que Uαβ := Uα ∩ Uβ 6= ∅, los conjuntos φα (Uαβ ) y φβ (Uαβ ) son abiertos en Rn y los mapeos φαβ := φβ ◦ φ−1 α : φα (Uαβ ) → φβ (Uαβ ) son C ∞ –diferenciables. (iii) La familia {(Uα , φα )} es m´ axima con respecto a las condiciones (i) y (ii), es decir, si {(Vα , ψα )} es otra familia que satisface (i) y (ii), entonces {(Vα , ψα )} ⊂ {(Uα , φα )}. Cada par (Uα , φα ) se llama una carta local o un sistema local de coordenadas. Una familia de cartas locales {(Uα , φα )} que satisface los puntos (i) y (ii) se llama un atlas diferenciable de M . Un atlas diferenciable de M que es m´ aximo en el sentido del punto (iii) se llama una estructura diferenciable sobre M . Observaciones 1. La condici´ on (iii) en la definici´on de la variedad asegura que no se puede obtener una nueva variedad al a˜ nadir o eliminar cartas locales. Dado un atlas diferenciable {(Uα , φα )} es posible completarlo a un atlas diferenciable m´ aximo tomando la uni´on de {(Uα , φα )} con el conjunto de todas las cartas locales (U, φ) que satisfacen la condici´on (ii) con cualquiera de las cartas (Uα , φα ). 2. Obviamente, tenemos que φαα = id,

φβγ ◦ φαβ = φαγ ,

de tal manera que φ−1 en es αβ = φβα : φαβ : φβ (Uαβ ) → φα (Uαβ ) tambi´ C ∞ –diferenciable. 3. Dada una variedad diferenciable M existe una topolog´ıa natural sobre M : Definimos que U ⊂ M es abierto si y s´olo si φα (U ∩ Uα ) es abierto en Rn para todo α. No es dif´ıcil verificar que esto define una topolog´ıa sobre M con la propiedad que todos los conjuntos Uα son abiertos y tal que los mapeos φα : Uα → Vα son continuos. 4. Por razones t´ecnicas vamos a requerir que M satisfaga la condici´on de Hausdorff y que M posee una base contable. La primera condici´on significa que para dos puntos distintos de M existen vecindades abiertas de estos dos puntos que no se intersectan. La segunda condici´on significa que M puede ser cubierta por un n´ umero contable de cartas locales. Estas

3.1. VARIEDADES DIFERENCIABLES

29

condiciones se necesitan para construir una partici´on de la unidad lo que permite de globalizar varios resultados locales (ver la referencia [5]). Vamos a ver una aplicaci´ on de la partici´on de la unidad a la integraci´on de funciones sobre variedades en la secci´on 3.4.3. Ejemplos de variedades diferenciables 1. M = Rn . Un atlas diferenciable se puede formar al tomar la u ´nica carta local (Rn , id). 2. Cualquier subconjunto abierto U de Rn tambi´en es una variedad diferenciable (con el atlas diferenciable m´aximo obtenido al completar la carta local (U, id)). 3. Sea M = S 2 = {x ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = 1} la esfera con radio uno. S 2 es una variedad diferenciable de dimensi´on 2 que no se puede cubrir con una sola carta local. Para construir un atlas introducimos las cartas locales que siguen: Ui+ := {x ∈ S 2 : xi > 0}, φ1± (x) := (x2 , x3 ),

Ui− := {x ∈ S 2 : xi < 0},

φ2± (x) := (x1 , x3 ),

i = 1, 2, 3,

φ3± (x) := (x1 , x2 ),

para x ∈ S 2 . No es dif´ıcil verificar que las funciones de transici´on φi±j± = ∞ φj± ◦ φ−1 i± son C . Por ejemplo, q φ1− ◦ φ−1 (x , x ) = ( 1 − x21 − x23 , x3 ), x21 + x3 < 1, x1 < 0. 1 3 2+ Un atlas m´ as “econ´ omico” de S 2 est´a dado por la proyecci´ on estereogr´ afica: Sean N := (0, 0, 1) y S := (0, 0, −1) el polo norte y el polo sur, y defina   x1 x2 2 U1 := S \ {N }, φ1 (x) := , , x ∈ U1 , 1 − x3 1 − x3   x1 x2 U2 := S 2 \ {S}, φ2 (x) := , , x ∈ U2 . 1 + x3 1 + x3 Como se puede verificar, la funci´on de transici´on φ12 = φ2 ◦ φ−1 : R2 \ 1 2 {(0, 0)} → R \ {(0, 0)} est´ a dada por φ12 (X, Y ) =

X2

1 (X, Y ), +Y2

(X, Y ) 6= (0, 0),

y es indefinidamente diferenciable. 4. Sean m > 0 y + Hm := {(t, x) ∈ R4 : t2 − x21 − x22 − x23 = m2 , t > 0}. + En los ejercicios se verifica que Hm es una variedad diferenciable de dimensi´ on 3. ¿Qu´e pasa para m = 0? ¿Es H0+ una varidad diferenciable?

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

30 5. Considere el conjunto

GL(2, R) := {A : R2 → R2 : A es lineal e invertible}.

(3.1)

Con la multiplicaci´on definida por la composici´on de transformaciones lineales, GL(2, R) es un grupo. Adem´as, podemos identificar un elemento de GL(2, R) con una matriz real de la forma  A=

a c

b d

 ,

det(A) = ad − bc 6= 0.

Con esto, obtenemos una carta global Φ : GL(2, R) → V ⊂ R4 , A 7→ (a, b, c, d), donde V = {(a, b, c, d) ∈ R4 : ad − bc 6= 0}.

(3.2)

Puesto que V ⊂ R4 es abierto, concluimos que GL(2, R) es una variedad diferenciable de dimensi´on 4. Es un ejemplo particular de un grupo de Lie. Observaci´ on: Los ejemplos 3 y 4 son casos particulares de superficies de dimensi´ on n − 1 en Rn . Para tratar estos casos tenemos el siguiente resultado: Teorema 2 Sean n ≥ 2 y F : Rn → R una funci´ on C ∞ -diferenciable. Considere el conjunto S := {x ∈ Rn : F (x) = 0} . Entonces S define una variedad C ∞ -diferenciable de dimensi´ on n − 1 si ∇F (x) 6= 0

para todo x ∈ S.

Demostraci´ on. Con el teorema de la funci´on impl´ıcita. Ejemplo: Para el caso de la esfera podemos definir F : R3 → R, x 7→ x21 + x22 + x23 − 1. Entonces F es C ∞ -diferenciable, {x ∈ Rn : F (x) = 0} = S 2 y ∇F (x) = 2(x1 , x2 , x3 ) 6= 0 para todo x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ S. Definici´ on 3 Sean M y N variedades diferenciables de dimensi´ on m y n, respectivamente. Un mapeo continuo F : M → N se llama diferenciable en un punto p ∈ M si dado una carta local (U, φ) con p ∈ U y una carta local (V, ψ) con f (p) ∈ V , el mapeo ψ ◦ F ◦ φ−1 : φ(F −1 (V ) ∩ U ) ⊂ Rm → Rn

(3.3)

es diferenciable en el punto φ(p). F se llama C ∞ –diferenciable si dado una carta local (U, φ) de M y una carta local (V, ψ) de N tal que F (U ) ∩ V 6= ∅ el mapeo (3.3) es indefinidamente diferenciable.

3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES

31

Observaci´ on: La condici´ on (ii) en la definici´on de una variedad diferenciable implica que la definici´ on de la diferenciabilidad de F : M → N en un punto p ∈ M es independiente de las cartas locales (U, φ) y (V, ψ). Ejemplo: Sea M una variedad diferenciable de dimensi´on n, y sea (U, φ) una carta local. Entonces las n funciones xi : U → R, p 7→ φi (p), i = 1, 2, ...n, son C ∞ –diferenciables. Definici´ on 4 Sea F : M → N una funci´ on C ∞ –diferenciable y biyectiva con −1 la propiedad que F : N → M tambi´en es C ∞ –diferenciable. Entonces F se llama un difeomorfismo. Ejemplo: Sean M = GL(2, R) la variedad definida en(3.1) y N = V el conjunto a b definido en (3.2). Entonces F : GL(2, R) → V , A = 7→ (a, b, c, d) es c d un difeomorfismo.

3.2. 3.2.1.

Campos vectoriales y tensoriales Vectores tangentes

Definici´ on 5 Sea M una variedad diferenciable. Sean p ∈ M y ε > 0. Una funci´ on C ∞ –diferenciable γ : (−ε, ε) → M,

γ(0) = p

se llama una curva (a trav´ es de p). ¿C´ omo se puede definir el vector tangente de γ en el punto p? Para responder esta pregunta supongamos primero que M = Rn . Si γ(t) = (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)), t ∈ (−ε, ε) es una curva, entonces podemos definir el vector tangente a γ en el punto p por el vector X := γ(0) ˙ = (x˙ 1 (0), x˙ 2 (0), ..., x˙ n (0)) ∈ Rn . Ahora sea f : U → R una funci´ on diferenciable definida sobre una vecindad U de p. La derivada direccional de f en el punto p con respecto al vector X est´ a definida por   ∂f d i i ∂ f (γ(t)) = (p)X = X f (p). X[f ] := dt ∂xi ∂xi t=0 Existe una correspondencia uno a uno entre la derivada direccional (visto como un operador diferencial actuando sobre una funci´on diferenciable y evaluado en un punto p) y los vectores X en el punto p. Vamos a usar esta correspondencia para definir vectores sobre variedades diferenciables.

32

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

Definici´ on 6 Sea M una variedad diferenciable y γ una curva que pasa a trav´es de un punto p ∈ M . Sea Dp el conjunto de funciones f : M → R que son C ∞ – diferenciables en una vecindad del punto p. El vector tangente a la curva γ en el punto p est´ a definido como la funci´ on γ(0) ˙ : Dp → R dada por d , f ∈ Dp . (3.4) f (γ(t)) γ(0)[f ˙ ]= dt t=0 Un vector tangente en el punto p es un vector tangente a alguna curva en el punto p. Para lo que sigue, denotamos el conjunto de todos los vectores tangentes en p ∈ M por Tp M . Tp M se llama el espacio tangente en el punto p. Un vector tangente Xp := γ(0) ˙ ∈ Tp M es una derivaci´ on en el punto p, es decir, una funci´ on Dp → R que satisface las siguientes condiciones: (i) Xp [af +bg] = aXp [f ]+bXp [g] para todos a, b ∈ R y f, g ∈ Dp (linealidad), (ii) Xp [f · g] = f (p)Xp [g] + g(p)Xp [f ] para todos f, g ∈ Dp (regla de Leibnitz). Por otro lado, se puede mostrar (ver el ap´endice 3.7) que cualquier derivaci´on en el punto p se puede escribir como un vector tangente Xp en p. Entonces otra definici´ on equivalente de un vector tangente es una funci´on Dp → R que satisface las dos propiedades (i) y (ii) arriba. En particular, Tp M es un espacio vectorial. Para determinar la dimensi´on de Tp M elegimos una carta local (U, φ) de M tal que p ∈ U y consideramos las curvas particulares a trav´es de p definidas por γi (t) := φ−1 (φ(p) + tei ),

|t| < ε,

i = 1, 2, ...n,

donde e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..,0), ... , en = (0, 0, 0, ..., 1). Definimos los vectores tangentes correspondientes d ∂f ◦ φ−1 ∂ −1 f := γ ˙ (0)[f ] = f ◦ φ (φ(p) + te = (φ(p)), (3.5) ) i i i ∂x p dt ∂xi t=0 para todo f ∈ Dp , donde notamos que f ◦ φ−1 : φ(U ) ⊂ Rn → R es una funci´on ◦φ−1 de un subconjunto abierto de Rn a R, y que ∂f∂x (φ(p)) es su i’´esima derivada i parcial en el punto φ(p). ∂ Lema 1 Los n vectores ∂x , ∂ , ... , ∂x∂n p definidos en (3.5) forman una 1 p ∂x2 p base de Tp M . En particular, dim Tp M = dim M = n. Demostraci´ on. Primero vamos a demostrar que los vectores ∂ 1 , ... , ∂n ∂x

p

∂x

p

son linealmente independientes. Para esto, consideramos las funciones C ∞ – diferenciables particulares xj : U → R, q 7→ φj (q), j = 1, 2, ...n. Usando (3.5) encontramos que ∂ j x = δi j , i, j = 1, 2, ...n, (3.6) ∂xi p

3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES

33

lo que implica la independencia lineal buscada. Por otro lado, sea Xp ∈ Tp M un vector tangente en p y γ : (−ε, ε) → M una curva a trav´es de p tal que γ(0) ˙ = Xp . Denotando con (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)) = φ(γ(t)), |t| < ε, la proyecci´on de la curva sobre la carta local (U, φ), y usando (3.5) encontramos que d −1 f ◦ φ ◦ φ ◦ γ(t) Xp [f ] = dt t=0 d −1 1 2 n = f ◦ φ (x (t), x (t), ..., x (t)) dt t=0 ∂ i = x˙ (0) f, ∂xi p para todo f ∈ Dp , lo que demuestra que los vectores Tp M .



∂ ∂x1 p ,

... ,



∂ ∂xn p

generan

Resumiendo, un vector tangente Xp ∈ Tp M se puede expander de la forma i ∂ Xp = Xp (3.7) ∂xi p ∂ con respecto a una carta local (U, φ) tal que p ∈ U , donde los vectores ∂x , i p i = 1, 2, ..., n, est´ an definidos en (3.5). Los n n´ umeros reales Xp1 , Xp2 , ..., Xpn se llaman las componentes del vector Xp con respecto a las coordenadas locales (U, φ). Se pueden obtener usando la propiedad (3.6), Xpi = Xp [xi ],

i = 1, 2, ...n.

(3.8)

Ejemplo: Sea M = S 2 las 2-esfera, y sea N = (0, 0, 1) el polo norte. Considere la curva
γ(t) := cos(t) sen(t), sen2 (t), cos(t) , 0 < t < 2π. Vamos a calcular las componentes del vector tangente γ(s), ˙ 0 < s < 2π, en el punto p = γ(s) con respecto a la carta local (U, φ) definida por la proyecci´on  x1 x2 2 2 1 2 estereogr´ afica φ : U := S \ N → R , x 7→ (y , y ) := 1−x3 , 1−x . De acuerdo 3 a (3.8) tenemos Xp1 Xp2

d 1 d cos(t) sen(t) 1 = Xp [y ] = y (γ(t)) = = − cos(s) − , dt dt 1 − cos(t) 1 − cos(s) t=s t=s d 2 d sen2 (t) = Xp [y 2 ] = y (γ(t)) = = − sen(s), dt dt 1 − cos(t) t=s t=s 1

y entonces  Xp =

1 − cos(s) − 1 − cos(s)



∂ ∂ − sen(s) . ∂y 1 p ∂y 2 p

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

34

3.2.2.

Transformaciones de coordenadas

Sean (U, φ) y (V, ψ) dos cartas locales que contienen el punto p ∈ M . Sea q ∈U ∩V y φ(q)

=

(x1 , x2 , ..., xn ) = x,

ψ(q)

=

(y 1 , y 2 , ..., y n ) = y,

entonces y = ψ ◦ φ−1 (x). Sea γ : (−ε, ε) → M una curva a trav´es de p, y sean x(t) = φ(γ(t)), y(t) = ψ(γ(t)). Sea Xp := γ(0) ˙ ∈ Tp M . Entonces por un lado tenemos que d f ◦ ψ −1 (y(t)) Xp [f ] = dt t=0
d −1 −1 = f ◦ψ ψ ◦ φ (x(t)) dt t=0   ∂ ∂(ψ ◦ φ−1 )i j −1 = f ◦ψ (y(0)) · x˙ (0) ∂y i ∂xj p i ∂y ∂ = · Xpj f. ∂xj p ∂y i p Por otro lado, sabemos de (3.7) que Xp =

Xpi

∂ i ∂ = Yp . ∂xi p ∂y i p

Entonces, encontramos las siguientes reglas de transformaciones: ∂y i i Yp = Xj , (componentes de vectores) ∂xj p p ∂y i ∂ ∂ = , (regla de la cadena). ∂xj p ∂xj p ∂y i p

3.2.3.

(3.9) (3.10)

La diferencial de un mapeo

Definici´ on 7 Sean M y N variedades diferenciables, y sea F : M → N un mapeo C ∞ –diferenciable. Sea g : N → R una funci´ on que es C ∞ –diferenciable en la vecindad de un punto q = F (p), p ∈ M . Definimos el pull-back de g como F ∗ g := g ◦ F : M → R. Dado que F es C ∞ –diferenciable, F ∗ g es C ∞ –diferenciable en una vecindad del punto p y F ∗ : Dq → Dp . Definimos la diferencial de F en el punto p por el mapeo dFp : Tp M → Tq N dado por dFp (Xp )[g] := Xp [F ∗ g] = Xp [g ◦ F ], donde Xp ∈ Tp M , g ∈ Dq .

3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES

35

Observaciones 1. Obviamente, dFp : Tp M → TF (p) N es una transformaci´on lineal. 2. Sea γ una curva en M a trav´es de p, y sea Xp := γ(0) ˙ ∈ Tp M . Entonces µ := F ◦ γ es una curva en N a trav´es del punto q = F (p) y podemos definir Yq := µ(0). ˙ Puesto que para g ∈ Dq , d Yq [g] = g ◦ µ(t) dt t=0 d = g ◦ F ◦ γ(t) dt t=0 d ∗ = (F g)(γ(t)) dt t=0 = Xp [F ∗ g] (3.11) encontramos que Yq [g] = dFp (Xp )[g], y entonces Yq = dFp (Xp ). 3. Otras notaciones comunes para dFp son dFp ≡ F∗p ≡ Tp F. Si F : M → N es un difeomorfismo tambi´en podemos definir dFq−1 : Tq N → Tp M , y dFq−1 ◦ dFp = id. En este caso dFp es un isomorfismo. El siguiente teorema muestra que si dFp : Tp M → Tq N es un isomorfismo, entonces F : M → N es un difeomorfismo en una vecindad del punto p: Teorema 3 Sea F : M → N una funci´ on C ∞ –diferenciable de una variedad diferenciable a otra. Supongamos que en un punto p ∈ M , dFp : Tp M → TF (p) N es un isomorfismo. Entonces, F es un difeomorfismo local en p, es decir, existe una vecindad U de p tal que F |U : U → F (U ) ⊂ N es un difeomorfismo. Demostraci´ on. Con el teorema de la funci´on inversa.

3.2.4.

Campos vectoriales

Definici´ on 8 Un campo vectorial sobre una variedad diferenciable M es una funci´ on X que asocia a cada punto p ∈ M un vector Xp ∈ Tp M . Sean (U, φ) una carta local y p ∈ U . De acuerdo a (3.7,3.8) tenemos que i ∂ Xp = Xp , (3.12) ∂xi p donde Xpi = Xp [xi ]. Las n funciones p 7→ Xpi , i = 1, 2, .., n, definidas sobre U se llaman las componentes de X con respecto a la carta local (U, φ).

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

36

¯ i de X con respecto Seg´ un la ley de transformaci´ on (3.9) las componentens X p ¯ que contiene el punto p son ¯ , φ) a otra carta local (U ∂x ¯i i ¯ Xj . Xp = ∂xj p p Definici´ on 9 Un campo vectorial X se llama C ∞ –diferenciable si para cualquier carta local (U, φ) las funciones U → R, p 7→ Xpi , i = 1, 2, ..., n, son C ∞ –diferenciables. Observaci´ on: La propiedad (ii) de la definici´on de una variedad diferenciable implica que si p 7→ Xpi es C ∞ –diferenciable con respecto a una carta local ¯ pi tambi´en es C ∞ –diferenciable con respecto a (U, φ), entonces la funci´on p 7→ X ¯ ¯ ¯ . Una definici´on de un campo otra carta local (U , φ) sobre la intersecci´on U ∩ U vectorial diferenciable que no requiere el uso de coordenadas locales se puede dar a trav´es del fibrado tangente, T M := {(p, v) : p ∈ M, v ∈ Tp M }. T M posee una estructura diferenciable que se puede construir a partir de la estructura diferenciable de la variedad diferenciable M . Con esto, T M es una variedad diferenciable de dimensi´on 2n (ver [5] para m´as detalles). Entonces, un campo vectorial diferenciable tambi´en se puede obtener a trav´es de un mapeo C ∞ –diferenciable M → T M . Para lo que sigue, solamente consideramos campos vectoriales que son diferenciables y usamos la notaci´on F(M )

:

la clase de funciones M → R que son C ∞ –diferenciables,

X (M )

:

la clase de campos vectorial C ∞ –diferenciables sobre M .

Sean f ∈ F(M ) y X, Y ∈ X (M ). Entonces podemos definir los nuevos campos vectoriales f · X y X + Y a trav´es de (f · X)p (X + Y )p

:= f (p)Xp , := Xp + Yp ,

para p ∈ M . Para f, g ∈ F(M ) y X, Y ∈ X (M ) tenemos que f · (X + Y )

= f · X + f · Y,

(f + g) · X

= f · X + g · X,

f · (g · X)

=

(f · g) · X.

Definici´ on 10 Sean f ∈ F(M ) y X ∈ X (M ), entonces definimos la funci´ on Xf ∈ F(M ) a trav´es de (Xf )p := Xp [f ],

p ∈ M.

Xf se llama la derivada de f con respecto al campo vectorial X.

3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES

37

Entonces tambi´en podemos interpretar un campo vectorial como un mapeo X : F(M ) → F(M ). Se satisfacen las siguientes reglas: (i) X(f + g) = Xf + Xg (linealidad), (ii) X(f · g) = (Xf ) · g + f · (Xg) (regla de Leibnitz), para X ∈ X (M ), f, g ∈ F(M ). Con la interpretaci´ on de un campo vectorial como un operador sobre F(M ) tambi´en podemos considerar la composici´on X ◦ Y : F(M ) → F(M ) de dos campos vectoriales X, Y ∈ X (M ). Sin embargo, X ◦ Y no necesariamente tiene que ser un campo vectorial. Sean f, g ∈ F(M ), entonces las reglas (i) y (ii) implican que (X ◦ Y )(f · g)

=

X [(Y f ) · g + f · (Y g)]

=

(X ◦ Y f ) · g + f · (X ◦ Y )g + (Y f ) · (Xg) + (Xf ) · (Y g),

y la regla de Leibnitz para X ◦ Y solamente se satisface si la suma de los dos u ´ltimos t´erminos es cero. En cambio, el conmutador [X, Y ] := X ◦ Y − Y ◦ X satisface la regla de Leibnitz. Lema 2 Sean X, Y ∈ X (M ) dos campos vectoriales. Entonces el conmutador [X, Y ] : F(M ) → F(M ), definido por [X, Y ]f := X(Y f ) − Y (Xf ),

f ∈ F(M ),

es un campo vectorial. Adem´ as, el conmutador satisface las siguientes reglas: (i) [X + Y, Z] = [X, Z] + [Y, Z] (linealidad) (ii) [X, Y ] = −[Y, X] (antisimetr´ıa) (iii) [f · X, Y ] = f · [X, Y ] − (Y f ) · X (iv) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (identidad de Jacobi) para todos X, Y, Z ∈ X (M ) y f ∈ F(M ). Ejercicio 4. Demostrar el Lema 2. Observaciones 1. Las reglas (i)-(iv) implican que X (M ) forma una ´algebra de Lie (de dimensi´ on infinita) con respecto al conmutador [, ., ] : X (M )2 → X (M ). 2. Sea (U, φ) una carta local con respecto a la cu´al X

=

Y

=

∂ , ∂xi ∂ Yj j . ∂x Xi

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

38

Entonces, si f ∈ F(M ), obtenemos de acuerdo a (3.5), (X ◦ Y )f = X(Y j

∂Y j ∂ ∂ 2 f ◦ φ−1 ∂ , f ) = Xi i f + X iY j j j ∂x ∂x ∂x ∂xi ∂xj

y  (X ◦ Y )f − (Y ◦ X)f =

Xi

∂Y j ∂X j −Yi i ∂x ∂xi



∂ f. ∂xj

Entonces, [X, Y ] = [X, Y ]i

∂ , ∂xi

[X, Y ]i = X j

i ∂Y i j ∂X − Y . ∂xj ∂xj

(3.13)

3. Como vamos a ver en la secci´on 3.5, el conmutador [X, Y ] entre dos campos vectoriales X y Y tambi´en se puede interpretar como el cambio infinitesimal de Y a lo largo del flujo generado por X. Dado un campo vectorial X ∈ X (M ) diferenciable y dado un punto p ∈ M , existe una u ´nica curva γ a trav´es de p tal que su vector tangente coincida con X. Demostramos primero la versi´on local de esta afirmaci´on. Definici´ on 11 Sea X ∈ X (M ), y sea p ∈ M . Una curva γ : (a, b) → M a trav´es de p que satisface γ(t) ˙ = Xγ(t) ,

a < t < b,

(3.14)

se llama una curva integral de X a trav´ es del punto p. Lema 3 Sea M una variedad diferenciable, y sea X ∈ X (M ) un campo vectorial diferenciable sobre M . Sea p ∈ M . Entonces existe una curva integral γ : (−ε, ε) → M de X a trav´es del punto p. Adem´ as, si µ : (a, b) → M es otra curva integral de X a trav´es de p, entonces µ(t) = γ(t) para todo m´ ax{a, −ε} < t < m´ın{b, ε}. Demostraci´ on. Sea (U, φ) una carta local en una vecindad de p con coordenadas locales correspondientes x1 , ..., xn . Si parametrizamos (x1 (t), ..., xn (t)) = ∂ φ(γ(t)), |t| < ε, y expandemos X = X i ∂x on (3.14) para i , entonces la ecuaci´ |t| < ε es equivalente a x˙ i (t) = X i (φ−1 (x(t))),

|t| < ε.

Por los teoremas de existencia local para ecuaciones diferenciales ordinarias (ver la referencia [6], por ejemplo) existe una u ´nica soluci´on (x1 , x2 , ..., xn ) : (−ε, ε) → Rn con (x1 , x2 , ..., xn )(0) = φ(p) si ε > 0 es suficientemente peque˜ no.

3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES

3.2.5.

39

Campos de covectores

Nos acordamos del ´ algebra lineal: Sea V un espacio vectorial real de dimensi´ on finita n. El espacio dual V ∗ est´a definido como el espacio vectorial que consiste de todos los funcionales lineales η : V → R. Dada una base B = {e1 , e2 , ..., en } de V , se definen los funcionales lineales particulares η i (v) := v i ,

v = v i ei ,

para i = 1, 2, ..., n. Los elementos η 1 , η 2 , ... ,η n forman una base de V ∗ llamada la base dual de B. Entonces V ∗ tambi´en es un espacio vectorial real de dimensi´on n. Si ω ∈ V ∗ , entonces tenemos la expansi´on ω = ωi η i ,

ωi = ω(ei ).

El doble dual, V ∗∗ , de V se puede identificar de manera natural con V mediante el mapeo siguiente: I : V → V ∗∗ ,

(Iv)(η) := η(v),

η ∈ V ∗,

v ∈ V.

(3.15)

No es dif´ıcil demostrar que I es lineal e invertible. Si V posee una forma bilineal < ., . >: V × V → R no degenerada existe un isomorfismo natural entre V y V ∗ dado por J : V → V ∗,

Jv :=< v, . >,

v ∈ V.

En este caso, los espacios V y V ∗ tambi´en se pueden identificar. Definici´ on 12 Sea M una variedad diferenciable, y sea p ∈ M . El espacio dual del espacio tangente Tp M en p se llama el espacio cotangente en p y se denota por Tp∗ M . Definici´ on 13 Sea f : U ⊂ M → R una funci´ on diferenciable definida en un subconjunto U abierto de M . Sea p ∈ U . Definimos la diferencial de f en el punto p como (df )p (Xp ) := Xp [f ], Xp ∈ Tp M. Entonces, (df )p ∈ Tp∗ M . Observaci´ on: En la secci´ on 3.2.3 definimos la diferencial de una funci´on f : M → N diferenciable de una variedad diferenciable M a otra N . En el caso particular que N = R, esta definici´on implica que para una curva γ en M que pasa a trav´es del punto p con vector tangente Xp = γ(0), ˙ d Yq [g] = (df )p (Xp )[g] = g ◦ f (γ(t)) = g 0 (q)Xp [f ], dt t=0 donde q = f (p), y g : R → R es una funci´on que es diferenciable en q. Si ∂ identificamos Tq N con R a trav´es de Tq R 3 Y = y ∂y ↔ y ∈ R, obtenemos

40

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

y = Xp [f ], y entonces (df )p (Xp ) = Xp [f ]. En este sentido, la definici´on de dfp , f : U ⊂ M → R, que acabamos de dar coincide con la definici´on dada en la secci´ on 3.2.3. Sea (U, φ) una carta local en una vecindad de p ∈ M , y sea f : U → R diferenciable en p. Entonces, ! ∂f ∂ = . (df )p ∂xi p ∂xi p En particular, si f = xj : U → R es la funci´on dada por xj (q) := φ(q)j , j = 1, 2, ..., n, obtenemos ! ∂ = δj i . (3.16) (dxj )p ∂xi p Concluimos que {dx1p , dx2p , ..., dxnp } es la base de Tp∗ M que es dual a la base ∂ ∂ ∂ { ∂x , , ..., } de Tp M . En particular, si ω ∈ Tp∗ M , tenemos la ex1 2 n ∂x ∂x p p p pansi´ on ! ∂ j ω = ωj dxp , ωj = ω . (3.17) ∂xj p

Los n n´ umeros ω1 , ω2 , ..., ωn se llaman las componentes de ω con respecto a las coordenadas locales (U, φ). Sea (V, ψ) otra carta local en una vecindad de p, y considere las funciones y j : V → R, y j (q) := ψ(q)j , j = 1, 2, ..., n. Entonces, ! ∂y j ∂ j (dy )p = , ∂xi p ∂xi p y obtenemos las leyes de transformaciones (dy j )p

=

∂ ∂y i p

=

∂y j (dxi )p , ∂xi p ∂xj ∂ . ∂y i p ∂xj p

(3.18) (3.19)

La ecuaci´ on (3.19) tambi´en se obtuvo en (3.10). Las ecuaciones (3.17) y (3.18) implican que las componentes ηj y ωi de ω con respecto a las coordenadas locales (V, ψ) y (U, φ), respectivamente, est´an relacionadas por ∂xi ηj = ωi (componentes de covectores). (3.20) ∂y j p Definici´ on 14 Un campo de covector sobre una variedad diferenciable M es una funci´ on ω que asocia a cada punto p ∈ M un covector ωp ∈ Tp∗ M . Con respecto a una carta local (U, φ) podemos expander ωp = ωj (p)dxjp ,

p ∈ U,

3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES

41

donde las n funciones p 7→ ωj (p), j = 1, 2, ..., n, definidas sobre U se llaman las componentes de ω con respecto a la carta local (U, φ). Seg´ un (3.17) se pueden obtener a trav´es de ! ∂ , j = 1, 2, ..., n, p ∈ U. ωj (p) = ωp ∂xj p Definici´ on 15 Un campo de covector ω se llama C ∞ – diferenciable si para cualquier carta local (U, φ) las n funciones U → R, p 7→ ωi (p), i = 1, 2, ..., n, son C ∞ –diferenciables. Denotamos por X ∗ (M ) la clase de campos de covectores C ∞ –diferenciables sobre M . Ejemplo: Si f ∈ F(M ) es una funci´on C ∞ –diferenciable sobre M , entonces su diferencial df ∈ X ∗ (M ). Observaci´ on: Como en el caso de los campos vectoriales diferenciables, una definici´ on de un campo de covector diferenciable que no requiere el uso de coordenadas locales se puede dar a trav´es del fibrado cotangente, T ∗ M := {(p, ω) : p ∈ M, ω ∈ Tp∗ M }.

3.2.6.

Campos tensoriales

Nos acordamos del ´ algebra lineal: Sea V un espacio vectorial real de dimensi´ on finita n con espacio dual correspondiente V ∗ . Un tensor del tipo (r, s) es una funci´ on multilineal (V ∗ )r × V s → R. En particular, un tensor del tipo (0, 1) es un elemento de V ∗ (un funcional lineal) y un tensor del tipo (1, 0) es un elemento de V ∗∗ ' V (un vector). Sean ω y η dos funcionales lineales (es decir, dos tensores del tipo (0, 1)). Entonces podemos definir un tensor ω ⊗ η del tipo (0, 2) a trav´es del producto tensorial, (ω ⊗ η)(v, w) := ω(v)η(w), v, w ∈ V. De hecho, cualquier tensor t del tipo (0, 2) se puede escribir como una combinaci´ on lineal de productos tensoriales entre dos funcionales lineales: Sea B = {e1 , e2 , ..., en } una base de V con base dual correspondiente B ∗ = {η 1 , η 2 , ..., η n } de V ∗ . Entonces, para dos vectores v = v i ei , w = wj ej en V la multilinealidad de t implica que t(v, w)

= v i wj t(ei , ej ) = t(ei , ej )η i (v)η j (w) = t(ei , ej )(η i ⊗ η j )(v, w),

y entonces t = tij η i ⊗ η j , donde tij = t(ei , ej ) son las componentes de t con respecto a la base B.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

42

De manera similar, si a y ω son tensores del tipo (1, 0) y (0, 1), respectivamente, definimos el producto tensorial a ⊗ ω como el tensor del tipo (1, 1) dado por ν ∈ V ∗ , w ∈ V. (a ⊗ ω)(ν, w) := a(ν)ω(w), Si s es cualquier tensor del tipo (1, 1) y ν = νi η i ∈ V ∗ , w = wj ej ∈ V , entonces s(ν, w)

= νi wj s(η i , ej ) = s(η i , ej )ν(ei )η j (w) = s(η i , ej )(Iei )(ν)η j (w),

donde I : V → V ∗∗ es el isomorfismo definido en (3.15). Entonces, tenemos que s = si j Iei ⊗ η j , donde si j := s(η i , ei ) son las componentes de s con respecto a la base B y la base dual correspondiente B ∗ . Para lo que sigue, identificamos V con V ∗∗ y escribimos simplemente s = si j ei ⊗ η j en vez de s = si j Iei ⊗ η j . De la misma manera podemos escribir un tensor del tipo (r, s) arbitrario como una combinaci´ on lineal de productos tensoriales de la forma ei1 ⊗ ei2 ⊗ ... ⊗ eir ⊗ η j1 ⊗ η j2 ⊗ ... ⊗ η js . Definici´ on 16 Sea M una variedad diferenciable y sea p ∈ M . Sea (Tp M )r s el conjunto de los tensores del tipo (r, s) definidos sobre V = Tp M . Un campo tensorial del tipo (r, s) sobre M (o r veces contravariante y s veces covariante) es una funci´ on t que asigna a cada punto p ∈ M un tensor tp ∈ (Tp M )r s . Ejemplos: 1. r = s = 0: p 7→ tp es una funci´on sobre M . 2. r = 1, s = 0: p 7→ tp es un campo vectorial sobre M . 3. r = 0, s = 1: p 7→ tp es un campo de covectores sobre M . 4. r = 0, s = 2: Como vamos a ver, la m´etrica g es un tensor del tipo (0, 2). Entonces g asigna a cada punto p ∈ M de la variedad un elemento gp : Tp M × Tp M → R que toma dos vectores Xp , Yp ∈ Tp M y les asigna un n´ umero real gp (Xp , Yp ) ∈ R. Adem´as, la m´etrica es sim´etrica en Xp y Yp : gp (Xp , Yp ) = gp (Yp , Xp ) para todos Xp , Yp ∈ Tp M . 5. r = 0, s = 2: Otro ejemplo de un campo tensorial del tipo (0, 2) es el tensor electromagn´etico F . A diferencia del tensor m´etrico, F es antisim´etrico en Xp y Yp : Fp (Xp , Yp ) = −Fp (Yp , Xp ) para todos Xp , Yp ∈ Tp M y todo p ∈ M. 6. r = 1, s = 3: Como vamos a ver, el tensor de curvatura es un campo tensorial del tipo (1, 3).

3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES

43

Sean t y u campos tensoriales del tipo (r, s), y sea f ∈ F(M ). Entonces, u + v y f · u definidos por t + u : p 7→ tp + up , f ·t

: p 7→ f (p)tp ,

tambi´en son campos tensoriales del tipo (r, s). Sea (U, φ) una carta local, en∂ , ..., ∂x∂n p } de Tp M tonces podemos expander t con respecto a las bases { ∂x 1 p y {(dx1 )p , ..., (dxn )p } de Tp∗ M , !
∂ ∂ i1 ...ir ⊗ ... ⊗ ⊗ (dxj1 )p ⊗ · · · ⊗ (dxjs )p . tp = t j1 ...js (p) i i 1 r ∂x p ∂x p Las funciones U → R, p 7→ ti1 ...ir j1 ...js (p) se llaman las componentes de t con respecto a la carta local (U, φ). Usando (3.16) y la isometr´ıa I : V → V ∗∗ definida en (3.15) obtenemos que   ∂ ∂ i1 ...ir i1 ir t , ..., js . (3.21) j1 ...js = t dx , ..., dx , ∂xj1 ∂x Sean (U, φ) y (V, ψ) dos cartas locales en una vecindad de un punto p ∈ M , y sean ti1 ...ir j1 ...js y t¯i1 ...ir j1 ...js las componentes de t con respecto a (U, φ) y (V, ψ) respectivamente. Las leyes de transformaciones (3.18) y (3.19) implican que ∂y i1 ∂y ir ∂xl1 ∂xls k1 ...kr t¯i1 ...ir j1 ...js (p) = · · · · · · t l1 ...ls (p), ∂xk1 ∂xkr ∂y j1 ∂y js

(3.22)

donde x = φ(q) y y = ψ(q), para q ∈ U ∩ V . Definici´ on 17 Un campo tensorial t se llama C ∞ –diferenciable si para todas las cartas locales (U, φ), las componentes p 7→ ti1 ...ir j1 ...js (p) son funciones C ∞ –diferenciables sobre U . Denotamos por T r s (M ) la clase de campos tensoriales del tipo (r, s) que son C ∞ –diferenciables. En particular, T 0 0 (M ) = F(M ), T 1 0 (M ) = X (M ), T 0 1 (M ) = X ∗ (M ). 0

Definici´ on 18 Sean T ∈ T r s (M ) y S ∈ T r s0 dos campos tensoriales sobre M . 0 1 Sean ω , ..., ω r , η 1 , ..., η r ∈ X ∗ (M ) y X1 , ..., Xs , Y1 , ...Ys0 ∈ X (M ). El producto tensorial de T y S esta definido por 0

(T ⊗ S)(ω 1 , ..., ω r , η 1 , ..., η r , X1 , ..., Xs , Y1 , ...Ys0 ) 0

:= T (ω 1 , ..., ω r , X1 , ..., Xs ) · S(η 1 , ..., η r , Y1 , ...Ys0 ). Obviamente, T ⊗ S ∈ T r+r

0

s+s0 (M ).

Definici´ on 19 Sea t ∈ T r s (M ), y sean X1 , X2 , ..., Xs ∈ X (M ) campos vectoriales y ω 1 , ω 2 , ..., ω r ∈ X ∗ (M ) campos de covectores sobre M . Definimos la

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

44

contracci´ on total del campos tensorial t ⊗ ω 1 ⊗ ...
⊗ ω r ⊗ X1 ⊗ ... ⊗ Xs como la funci´ on F := C t ⊗ ω 1 ⊗ ... ⊗ ω r ⊗ X1 ⊗ ... ⊗ Xs : M → R definida por
F (p) := tp ω 1 (p), ..., ω r (p), X1 (p), ..., Xs (p) , p ∈ M. Tambi´en denotamos esta funci´ on simplemente por t(ω 1 , ..., ω r , X1 , ..., Xs ). En coordenadas locales, ω b = ωibb dxib , Xa = Xaja ∂x∂ja , tenemos que t(ω 1 , ..., ω r , X1 , ..., Xs ) = ti1 ...ir j1 ...js ω 1 i1 ...ω r ir X1j1 ...Xsjs . En particular, el mapeo F = t(ω 1 , ..., ω r , X1 , ..., Xs ) : M → R es C ∞ -diferenciable. Con estas observaciones podemos interpretar t ∈ T r s (M ) como un mapeo (X ∗ (M ))r × (X (M ))s → F(M ) que es F(M )-lineal, es decir, satisface t(ω 1 , ..., ω p + f η, ..., ω r , X1 , ..., Xs ) = t(ω 1 , ..., ω p , ..., ω r , X1 , ..., Xs ) + f t(ω 1 , ..., η, ..., ω r , X1 , ..., Xs ), t(ω 1 , ..., ω r , X1 , ..., Xq + gY, ..., Xs ) = t(ω 1 , ..., ω r , X1 , ..., Xq , ..., Xs ) + gt(ω 1 , ..., ω r , X1 , ..., Y, ..., Xs ), para todas las funciones f, g ∈ F(M ) y todo ω 1 , ..., ω r , η ∈ X ∗ (M ) y X1 , ..., Xs , Y ∈ X (M ). Finalmente, generalizamos la definici´on del pull-back para tensores covariantes. Definici´ on 20 Sean M y N dos variedades diferenciables, y sea ψ : M → N diferenciable. Sea t ∈ T 0 s (N ) un campo tensorial sobre N que es s veces covariante. El pull-back de t est´ a definido como el siguiente campo tensorial ψ ∗ t ∈ T 0 s (M ) sobre M : (ψ ∗ t)p (X1p , ..., Xsp ) := tψ(p) (dψp (X1p ), ..., dψp (Xsp )) , donde p ∈ M , X1 , ..., Xs ∈ X (M ). Ejemplos: 1. s = 0: Sea f ∈ F(N ). En este caso, (ψ ∗ f )(p) = f (ψ(p)), p ∈ M se reduce a la definici´ on que dimos en la secci´on 3.2.3. 2. s = 1: Sea f ∈ F(N ). Entonces, df ∈ X ∗ (N ) y para X ∈ X (M ) tenemos que (ψ ∗ df )(X)

= df (dψ(X)) = dψ(X)[f ] = X[f ◦ ψ] = X[ψ ∗ f ] =

[d(ψ ∗ f )](X),

(3.23)

3.3. CONEXIONES AFINES

45

donde hemos usado la definici´on 13 en el segundo y u ´ltimo paso y la definici´ on 7 en el tercer paso. Dado que (3.23) vale para todo X ∈ X (M ) obtenemos que ψ ∗ (df ) = d(ψ ∗ f ) (3.24) para todo f ∈ F(M ). Ejemplo: Sea N = R3 el espacio Euclideano con la m´etrica h = dx2 +dy 2 +dz 2 . Considere la subvariedad M = S 2 := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}. La m´etrica inducida g sobre S 2 est´a definida por el pull-back g := ι∗ h, donde ι : S 2 → R3 , (x, y, z) 7→ (x, y, z) denota la inclusi´on. Con respecto a las coordenadas polares (ϑ, ϕ) ∈ (0, π) × (0, 2π) de S 2 tenemos que ι∗ x = x ◦ ι

=

sen ϑ cos ϕ,

∗

=

sen ϑ sen ϕ,

∗

=

cos ϑ,

ι y =y◦ι ι z =z◦ι y entonces ι∗ dx ∗

= d(ι∗ x) = cos ϑ cos ϕ dϑ − sen ϑ sen ϕ dϕ,

ι dy

= d(ι∗ y) = cos ϑ sen ϕ dϑ + sen ϑ cos ϕ dϕ,

ι∗ dz

= d(ι∗ z) = − sen ϑ dϑ.

Con esto, obtenemos g = (ι∗ dx)2 + (ι∗ dy)2 + (ι∗ dz)2 = dϑ2 + sen2 ϑ dϕ2 .

3.3.

(3.25)

Conexiones afines

Dada una curva γ que conecta dos puntos p y q de una variedad diferenciable M , nos preguntamos c´ omo transportar vectores de manera paralela a lo largo de la curva γ. Entonces necesitamos un mapeo (el transporte paralelo) que nos permita obtener un vector tangente Xq en el punto q a partir de un vector tangente Xp en el punto p, de tal manera que se puedan comparar los vectores tangentes en p con los vectores tangentes en q. Como vamos a ver, el transporte paralelo puede depender de la elecci´ on de la curva γ. Esta dependencia est´a directamente relacionada con la curvatura de M . A parte de la curvatura, el transporte paralelo tambi´en nos permite definir una derivada para campos tensoriales (la derivada covariante) y curvas preferidas sobre M (las geod´esicas) que tienen la propiedad que su vector tangente es transportado de manera paralela. Empezamos con la versi´ on “infinitesimal” del transporte paralelo:

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

46

Definici´ on 21 Una conexi´ on af´ın es un mapeo ∇ : X (M ) × X (M ) → X (M ), (X, Y ) 7→ ∇X Y que satisface las siguientes propiedades (i) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z, (ii) ∇f ·X+g·Y Z = f · ∇X Z + g · ∇Y Z, (iii) ∇X (f · Y ) = f · ∇X Y + (Xf ) · Y , para todos f, g ∈ F(M ) y todos X, Y, Z ∈ X (M ). Sea (U, φ) una carta local con coordenadas locales x1 , x2 , ..., xn correspondientes, y sean X, Y ∈ X (M ). Entonces en U podemos expander ∂ ∂ , Y =Yj j . i ∂x ∂x Sea ∇ una conexi´ on af´ın, entonces usando sus propiedades (i)–(iii) encontramos que   i j ∂ ∇X Y = X ∇ ∂ i Y ∂x ∂xj ∂ ∂Y j ∂ = X iY j ∇ ∂ i j + X i i ∂x ∂x ∂x ∂xj   k ∂Y ∂ = Xi + Γk ij Y j , (3.26) i ∂x ∂xk X = Xi

donde hemos definidos los s´ımbolos de Christoffel Γk ij : U → R a trav´es de ∇

∂ ∂xi

∂ ∂ = Γk ij k . ∂xj ∂x

(3.27)

∂ 3 k ∞ Puesto que ∇ ∂ i ∂x -diferenciables. j ∈ X (U ), las n funciones Γ ij : U → R son C ∂x Observaciones

1. La ecuaci´ on (3.26) muestra que el vector ∇X Y en un punto p ∈ M dado de la variedad solamente depende del vector Xp en p y del campo vectorial Y en una vecindad de p. En otras palabras, (∇X Y )p = 0 si Xp = 0 o Y es cero en una vecindad de p. 2. Los s´ımbolos de Christoffel no se pueden interpretar como las componentes ¯ dos cartas locales ¯ , φ) de un campo tensorial del tipo (1, 2). Sean (U, φ) y (U ¯ ¯ con U ∩ U 6= ∅, entonces en U ∩ U tenemos que ¯ c ab ∂ Γ ∂x ¯c

= ∇ = = =

∂ ∂x ¯a

∂ ∂x ¯b 

 ∂xj ∂ ∂xi ∂ ∂x ¯b ∂xj ∂x ¯a ∂xi  j i j ∂x ∂x ∂ ∂ ∂x ∂ ∇ ∂i j + · a b a b ∂x ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ∂x ¯ ∂x ¯ ∂xj

∇“

”

∂xi ∂xj k ∂ ∂ 2 xk ∂ Γ + . ij ∂x ¯a ∂ x ¯b ∂xk ∂x ¯a ∂ x ¯b ∂xk

3.3. CONEXIONES AFINES

47

donde hemos usado la regla de la cadena, (3.10) en el segundo paso y las propiedades (i)–(iii) de la conexi´on en el tercer paso. Usando una vez m´as la regla de la cadena, ∂x ¯c ∂ ∂ = , ∂xk ∂xk ∂ x ¯c obtenemos que ¯c ∂xi ∂xj k ∂ 2 xk ∂ x ¯c ¯ c ab = ∂ x Γ Γ ij + . (3.28) k a b a b ∂x ∂ x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯ ∂x ¯ ∂xk El primer t´ermino a la derecha se transforma como las componentes de un campo tensorial del tipo (1, 2), pero la presencia del segundo t´ermino implica que Γk ij no se transforma como las componentes de un campo tensorial. En particular, vemos que Γk ij (p) = 0 en un punto p ∈ M no ¯ c ab (p) = 0. implica que Γ Definici´ on 22 Sea ∇ una conexi´ on af´ın sobre M , y sea Y ∈ X (M ) un campo vectorial diferenciable. Definimos la derivada covariante de Y como el campo tensorial ∇Y ∈ T 1 1 (M ) dado por ∇Y (ω, X) := ω(∇X Y ),

ω ∈ X ∗ (M ),

X ∈ X (M ).

(3.29)

Notamos que esta definici´ on tiene sentido, pues si f ∈ F(M ), entonces ∇Y (f ω, X) = f ω(∇X Y ) = f ∇Y (ω, X) y ∇Y (ω, f · X) = ω(∇(f ·X) Y ) = ω(f ∇X Y ) = f ω(∇X Y ) = f ∇Y (ω, X). Con respecto a unas coordenadas locales x1 , x2 , ..., xn podemos expander Y =Yj

∂ , ∂xj

y elegir ∂ , ω = dxk . ∂xi Entonces las componentes (∇Y )k i del campo tensorial ∇Y con respecto a las coordenadas locales x1 , x2 , ..., xn son  ∂Y k  + Γk ij Y j , (∇Y )k i = dxk ∇ ∂ i Y = ∂x ∂xi X=

donde hemos usado la ecuaci´ on (3.26). En vez de (∇Y )k i vamos a usar la notak ci´ on m´ as com´ un ∇i Y . Entonces, ∇i Y k =

∂Y k + Γk ij Y j . ∂xi

(3.30)

Ejercicio 5. Verifique que ∇i Y k satisface la ley de transformaci´on (3.22) usando (3.28) y (3.30).

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

48 Ejemplos:

1. Sea M = Rn , y sean x1 , x2 , ..., xn coordenadas Cartesianas. Podemos iden∂ n tificar campos vectoriales X = X i ∂x con mapeos C ∞ -diferenciables i en R n n 1 2 n X : R → R , x 7→ (X (x), X (x), ..., X (x)). Definimos (∇X Y )i := X k

∂ Y i, ∂xk

i = 1, 2, ..., n

(3.31)

para X, Y ∈ X (Rn ). Entonces ∇ define una conexi´on af´ın sobre Rn . Los s´ımbolos de Christoffel con respecto a las coordenadas Cartesianas son cero. 2. Sea M una subvariedad de dimensi´on n − 1 en Rn , n ≥ 2. Definimos (∇X Y )i (x) := Πi j (x)X k (x)

∂ Y j (x), ∂xk

x ∈ Rn ,

(3.32)

donde Πj k (x) es el proyector ortogonal que asigna a cada vector tangente Zx = (Z 1 (x), Z 2 (x), ..., Z n (x)) ∈ Rn su proyecci´on ortogonal sobre Tx M . Verificamos facilmente que ∇ satisface las propiedades (i)–(iii) y define una conexi´ on af´ın sobre M . ∇ se llama la conexi´ on af´ın inducida de Rn . Para ver un caso m´as concreto, consideramos M = S 2 ⊂ R3 y calculemos los s´ımbolos de Christoffel asociados a ∇ en coordenadas polares (ϑ, ϕ). Para esto, conviene introducir los tres campos vectoriales er eϑ eϕ

:=

(sen ϑ cos ϕ, sen ϑ sen ϕ, cos ϑ), ∂ e = (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sen ϕ, − sen ϑ), := ∂ϑ r 1 ∂ e = (− sen ϕ, cos ϕ, 0), := sen ϑ ∂ϕ r

sobre S 2 que forman una base orthonormal de R3 en cada punto de S 2 . Entonces la proyecci´on ortogonal de un vector Z = Z r er + Z ϑ eϑ + Z ϕ eϕ ∈ R3 es simplemente Π(Z) = Z ϑ eϑ + Z ϕ eϕ . Usando la regla de la cadena y la relaci´ on x = er para un punto x ∈ S 2 sobre la esfera, encontramos que ∂ = eϑ · ∇, ∂ϑ

∂ = sen ϑ eϕ · ∇, ∂ϕ

de tal manera que podemos identificar

∂ ∂ϑ

↔ eϑ y

∂ ∂ϕ

↔ sen ϑ eϕ . Con

3.3. CONEXIONES AFINES

49

estas observaciones tenemos   ∂ ∂ ∇∂ ↔ Π eϑ = Π(−er ) = 0, ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ  
∂ ∂ ∇∂ ↔ Π sen ϑ eϕ = Π cos ϑ eϕ = cot ϑ sen ϑ eϕ , ∂ϑ ∂ϕ ∂ϑ  
∂ ∂ ∇∂ ↔ Π eϑ = Π cos ϑ eϕ = cot ϑ sen ϑ eϕ , ∂ϕ ∂ϑ ∂ϕ  
∂ ∂ ↔ Π sen ϑ eϕ = Π − sen2 ϑ er − cos ϑ sen ϑ eϑ ∇∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = − cos ϑ sen ϑ eϑ . Entonces los s´ımbolos de Christoffel que son diferentes de cero son Γϕ ϑϕ = Γϕ ϕϑ = cot ϑ,

3.3.1.

Γϑ ϕϕ = − cos ϑ sen ϑ.

La derivada covariante de campos tensoriales

Deseamos extender la definici´ on de la derivada covariante a campos tensoriales. Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial sobre una variedad diferenciable ∞ N (M, ∇) con conexi´ on af´ın ∇. Sea T (M ) := T r s (M ) el ´algebra de campos r,s=0

tensoriales sobre M . Pedimos que la derivada covariante, ∇X , con respecto de X sea un mapeo ∇X : T (M ) → T (M ) tal que (i) ∇X T ∈ T r s (M ), T ∈ T r s (M ). (ii) ∇X (S + T ) = ∇X S + ∇X T para todos S, T ∈ T r s (M ). (iii) ∇X (S ⊗ T ) = ∇X S ⊗ T + S ⊗ ∇X T para todo S ∈ T r s (M ) y T ∈ T p q (M ). (iv) ∇X conmuta con las contracciones totales C (ver la definici´on 19). (v) Para un campo tensorial Y ∈ X (M ) del tipo (1, 0), ∇X Y coincide con la acci´ on de la conexi´ on af´ın ∇ sobre (X, Y ). (vi) Para un campo tensorial f ∈ F(M ) del tipo (0, 0), ∇X f = X[f ] es la derivada direccional de f con respecto a X.1 Como vamos a ver ahora, las propiedades (i)-(vi) determinan de manera u ´nica la extensi´ on de la derivada covariante para campos tensoriales. Tomamos primero un campo de covectores ω ∈ X ∗ (M ), y sea Y ∈ X (M ). Entonces la propiedad (iii) implica que ∇X (ω ⊗ Y ) = ∇X ω ⊗ Y + ω ⊗ ∇X Y. 1 Notamos que esta propiedad es una consecuencia de las propiedades (iii) y (v). Para ver esto, tomamos S = f ∈ F (M ) y T = Y ∈ X (M ) y obtenemos por un lado ∇X (f Y ) = (∇X f )Y + f ∇X Y usando (iii) y por otro lado ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf )Y usando las propiedades de la conexi´ on af´ın. Entonces, ∇X f = Xf .

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

50

Tomando la contracci´ on total C a ambos lados, y usando las propiedades (iv) y (vi) encontramos que X [ω(Y )]

= ∇X C(ω × Y ) = C(∇X ω ⊗ Y + ω ⊗ ∇X Y ) =

(∇X ω)(Y ) + ω(∇X Y ).

Entonces, (∇X ω)(Y ) = X [ω(Y )] − ω(∇X Y ),

Y ∈ X (M ).

(3.33)

Notamos que para Y, Z ∈ X (M ) y f ∈ F(M ) vale (∇X ω)(Y + f Z)

= X [ω(Y ) + f ω(Z)] − ω (∇X Y + f ∇X Z + (Xf )Z) = X [ω(Y )] + f X [ω(Z)] + (Xf )ω(Z) − ω(∇X Y ) − f ω(∇X Z) − (Xf )ω(Z) =

(∇X ω)(Y ) + f (∇X ω)(Z),

de tal manera que (3.33) define un campo de covectores ∇X ω. Con respecto a ∂ ∂ k coordenadas locales x1 , ..., xn , sean X = ∂x i , Y = ∂xj y ω = ωk dx . Entonces,   ∂  ∇i ωj := ∇ ∂i ω ∂x ∂xj   ∂ωj ∂ k = − ωk dx ∇ ∂ i j ∂x ∂x ∂xi ∂ωj − Γk ij ωk , = ∂xi donde hemos usado la definici´on de los s´ımbolos de Christoffel (3.27). Resumiendo, las expresiones para las componentes de las derivadas covariantes de ∂ j un campo vectorial Y = Y i ∂x son i y de un campo de covectores ω = ωj dx

En particular, para Y =

∇i Y j

=

∇i ωj

=

∂Y j + Γk ij Y k , ∂xi ∂ωj − Γk ij ωk . ∂xi

(3.34) (3.35)

∂ ∂xi

y ω = dxj obtenemos que   ∂ ∂ ∇ ∂i = Γk ij k , ∂x ∂xj ∂x
∇ ∂ i dxj = −Γj ik dxk .

(3.36) (3.37)

∂x

Ahora sea t ∈ T r s (M ) un campo tensorial del tipo (r, s) arbitrario, y sean ω , ..., ω r ∈ X ∗ (M ) y X1 , ..., Xs ∈ X (M ). Entonces, 1

∇X (t ⊗ ω 1 ... ⊗ Ys )

= ∇X t ⊗ ω 1 ... ⊗ Ys + t ⊗ ∇X ω 1 ⊗ ω 2 ... ⊗ Ys + ... + t ⊗ ω 1 ... ⊗ Ys−1 ⊗ ∇X Ys .

3.3. CONEXIONES AFINES

51

Tomando la contracci´ on total C a ambos lados obtenemos (∇X t)(ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys )   = X t(ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys )

(3.38)

− t(∇X ω 1 , ω 2 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys ) − ... − t(ω 1 , ..., ω r−1 , ∇X ω r , Y1 , ..., Ys ) − t(ω 1 , ..., ω r , ∇X Y1 , Y2 , ..., Ys ) − ... − t(ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys−1 , ∇X Ys ). Como antes, se puede verificar que (3.38) define un campo tensorial ∇X t ∈ T r s (M ) del tipo (r, s). Con respecto a coordenadas locales x1 , ..., xn , sean X = ∂ , ω p = dxip y Yq = ∂x∂jq . Entonces usando (3.38), (3.36) y (3.37) encontramos ∂xk que    ∂ ∂ ∇k ti1 ...ir j1 ...js := ∇ ∂k t dxi1 , ..., dxir , j1 , ..., js ∂x ∂x ∂x i1 ...ir ∂t j1 ...js = ∂xk + Γi1 kl tli2 ...ir j1 ...js + ... + Γir kl ti1 ...ir−1 l j1 ...js −

Γl kj1 ti1 ...ir lj2 ...js − ... − Γl kjs ti1 ...ir j1 ...js−1 l . (3.39)

Finalmente, no es dif´ıcil comprobar que (3.38), tomada como definici´on para la derivada covariante de campos tensoriales, satisface todas las propiedades (i)-(vi). A continuaci´ on, se discute una definici´on m´as geom´etrica de la derivada covariante.

3.3.2.

El transporte paralelo a lo largo de una curva

Definici´ on 23 Sea γ : I ⊂ R → M una curva en M , y sea X un campo vectorial definido en una vecindad de γ(I). X se llama autoparalelo a lo largo de γ si DX (t) := (∇γ˙ X)γ(t) = 0, t ∈ I. dt DX/dt se llama la derivada covariante de X a lo largo de γ. Notamos que ∇γ˙ X est´ a bien definido dado que su valor en γ(t) solamente depende del vector γ(t) ˙ y del campo vectorial X en una vecindad de γ(t). Si (U, φ) es una carta local con coordenadas locales correspondientes x1 , ..., xn , entonces tenemos ∂ γ˙ = x˙ i i , xi (t) = φ(γ(t))i . ∂x Entonces (3.26) implica que   k ∂ DX i ∂X k i j = x˙ + Γ ij x˙ X i dt ∂x ∂xk ∂ ∂ k k i j k ˙ = (X + Γ ij x˙ X ) k , Xγ(t) = X (t) . (3.40) ∂x ∂xk γ(t)

52

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

De esta ecuaci´ on vemos que de facto, ∇γ˙ X solamente depende de Xp para los puntos p ∈ γ(I) de M que se encuentran sobre la curva γ. Resumiendo, el campo vectorial Xp es autoparalelo a lo largo de γ si y s´olo si sus componentes X k (t) = dxk (X)γ(t) satisfacen la ecuaci´on diferencial lineal ordinaria X˙ k (t) = M k j (t)X j (t),

(3.41)

donde M k j (t) := −Γk ij (γ(t))x˙ i (t). De los teoremas para ecuaciones diferenciales lineales ordinarias obtenemos: Lema 4 Sean a > 0 y γ : (−a, a) ⊂ R → M una curva en M que pasa a trav´es del punto p = γ(0). Sea Yp ∈ Tp M un vector en p. Entonces existe un u ´nico campo vectorial X autoparalelo sobre γ tal que Xp = Yp . Demostraci´ on. Supongamos primero que la curva γ(−a, a) ⊂ U est´ e contenida en una carta local (U, φ). Entonces definimos Xγ(t) = X k (t) ∂x∂ k γ(t) , |t| < a, donde X k (t) es la soluci´on u ´nica de (3.41) con dato inicial X k (0) = dxk (Y )p . Por construcci´ on, X es autoparalelo a lo largo de γ y Xp = Yp . Si la curva γ no est´a contenida en una sola carta local, la podemos cubrir por un n´ umero finito de cartas locales (Uα , φα ) dado que γ(−a, a) es compacto. Entonces podemos dividir γ en un n´ umero finito de segmentos γα , donde la imagen de γα est´ a enteramente contenida en Uα . Aplicando el resultado del primer paso a cada segmento γα , obtenemos un campo X que es autoparalelo a lo largo de γ. Finalmente, sea Z otro campo autoparalelo a lo largo de γ tal que Zp = Xp . Vamos a demostrar que Zγ(t) = Xγ(t) para todo t ∈ [0, a). Para esto, sea t∗ := sup{t ∈ [0, a) : Zγ(t) = Xγ (t)}, y supongamos que t∗ < a. Sea (U, φ) una carta local en una vecindad de γ(t∗ ). Entonces X k (t) = dxk (X)γ(t) y Z k (t) = dxk (Z)γ(t) satisfacen la ecuaci´on (3.41) en U , y X k (t) = Z k (t) para t < t∗ tal que γ(t) ∈ U . Por unicidad de las soluciones de (3.41) encontramos que X k (t) = Z k (t) para todo t ∈ [0, a) tal que γ(t) ∈ U , lo que contradice la definici´ on de t∗ . Entonces, t∗ = a y Zγ(t) = Xγ(t) para todo t ∈ [0, a). De la misma manera probamos que Zγ(t) = Xγ(t) para todo t ∈ (−a, 0]. Del resultado del Lema 4 obtenemos para cada curva γ : (−a, a) → M un mapeo τt,s : Tγ(s) M → Tγ(t) M, s, t ∈ (−a, a), que transforma un vector X ∈ Tγ(s) M en un vector Y = τt,s X ∈ Tγ(t) M a trav´es del transporte paralelo a lo largo de γ. Este mapeo, llamado el transporte paralelo, satisface las siguientes propiedades: (i) τt,s : Tγ(s) M → Tγ(t) M es lineal, (ii) τt,t = id, (iii) τt,s ◦ τs,r = τt,r ,

3.3. CONEXIONES AFINES

53

(iv) Con respecto a coordenadas locales en una vecindad de γ(t) vale d = −Γk ij (γ(s))x˙ i (s). (τt,s )k j dt t=s (v) Sea X un campo vectorial a lo largo de γ, entonces2 d DX . (t) = (∇γ˙ X)γ(t) = τt,s Xγ(s) dt ds s=t

(3.42)

(3.43)

para todos r, s, t ∈ (−a, a). Las propiedades (i)-(iii) son consecuencias directas del resultado del Lema 4 y de la linealidad de (3.41). En particular notamos que (ii) y (iii) implican que −1 τt,s es invertible y que τt,s = τs,t . La propiedad (iv) es una consecuencia directa de (3.41). Para demostrar (v) fijamos t ∈ (−a, a) e introducimos coordenadas locales x1 , ..., xn en una vecindad de γ(t). Usando   d d d τt,s = −τt,s τs,t τt,s τs,t =− ds ds ds s=t s=t s=t y la propiedad (iv), obtenemos con la regla de Leibnitz
k d d = − + X˙ k (t) τt,s Xγ(s) (τs,t )k j X j (t) ds ds s=t s=t =

DX k Γk ij (γ(t))x˙ i (t)X j (t) + X˙ k (t) = (t). dt

El transporte paralelo se puede generalizar a campos tensoriales de manera natural: Definici´ on 24 Sea γ : (−a, a) → M un curva, y sean s, t ∈ (−a, a). Sea ω ∈ ∗ Tγ(s) M un covector en el punto γ(s). Entonces definimos el transporte paralelo ∗ τt,s ω ∈ Tγ(t) M de ω en el punto γ(t) a trav´es de la ecuaci´ on (τt,s ω) (τt,s Y ) = ω(Y )

(3.44)

para todo Y ∈ Tγ(s) M , es decir por −1 (τt,s ω) (Z) = ω(τt,s Z)

(3.45)

para todo Z ∈ Tγ(t) M . De manera m´ as general, si T ∈ (Tγ(s) M )q r es un tensor del tipo (q, r) en el punto γ(s), entonces definimos τt,s T ∈ (Tγ(t) M )q r a trav´es de −1 1 −1 q −1 −1 (τt,s T ) (ω 1 , ..., ω q , X1 , ..., Xr ) := T (τt,s ω , ..., τt,s ω , τt,s X1 , ..., τt,s Xr ) (3.46) ∗ para todo ω 1 , ..., ω q ∈ Tγ(t) M y X1 , ..., Xr ∈ Tγ(t) M . 2 Notamos

Rn ,

el l´ımite

que τt,s Xγ(s) ∈ Tγ(t) M para todo s ∈ (−a, a). Dado que Tγ(t) M es isomorfo a ˛ ˆ ˜ ˛ 1 d τ X := l´ım h τt,t+h Xγ(t+h) − Xγ(t) ∈ Tγ(t) M tiene sentido. ds t,s γ(s) ˛ s=t

h→0

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

54

Observaci´ on: Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial sobre M , y sea I : X (M ) → T (M )1 0 el isomorfismo definido en (3.15). Entonces, (τt,s IX) (ω)

−1 = IX(τt,s ω)

=

−1 (τt,s ω)(X)

= ω(τt,s X) =

(Iτt,s X) (ω),

de tal manera que τt,s conmuta con I. Entonces podemos identificar elementos de X (M ) con elementos de T (M )1 0 como siempre. La ecuaci´ on (3.43) sugiere la definici´on siguiente para la derivada covariante de un campo tensorial: Definici´ on 25 Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial sobre M , y sea T ∈ T (M )q r un campo tensorial del tipo (q, r) 6= (0, 0). Sea p ∈ M y considere una curva integral γ : (−ε, ε) → M de X a trav´es del punto p. Definimos la derivada covariante de T en la direcci´ on de X por d (∇X T )p := . (3.47) τ0,s Tγ(s) ds s=0 Lema 5 La definici´ on 25 es equivalente a la definici´ on previa (3.38). Demostraci´ on. Solamente damos una demostraci´on para el caso de un campo tensorial T = ω del tipo (0, 1). Sean x1 , ..., xn coordenadas local en una vecindad del punto p. Tenemos que  (τ0,s ωγ(s) )i = (τ0,s ωγ(s) )

∂ ∂xi



 = ωγ(s)

∂ τs,0 i ∂x



j

= (τs,0 ) i ωγ(s)



∂ ∂xj

 ,

entonces (τ0,s ωγ(s) )i (p) = (τs,0 )j i ωj (γ(s)). Tomando la diferencial con respecto a s a ambos lados y usando (3.42) obtenemos que ∂ωj (∇X ω)i (p) = −Γj ki (p)X k (p)ωj (p) + δ j i X k (p) ∂xk p ! ∂ωi j k = X (p) − Γ ki (p)ωj (p) , ∂xk p lo que coincide con (3.35).

3.3. CONEXIONES AFINES

55

Ejercicio 6. Consideramos la esfera S 2 ⊂ R3 con la conexi´on af´ın inducida ∇. (a) Calcule el transporte paralelo τ−π/2,π/2 : Tp S 2 → Tq S 2 entre los puntos p := (0, −1, 0) y q := (0, 1, 0) a lo largo de la curva equatorial γ : (−π, π) → S 2 dada por γ(t) := (cos t, sen t, 0), −π < t < π. (b) Calcule el transporte paralelo Xq := τ−π/2,π/2 Xp del vector Xp := (1, 0, 0) a lo largo de la curva γ del inciso (a). (c) Calcule el transporte paralelo Xq := τ−π/2,π/2 Xp del vector Xp := (1, 0, 0) a lo largo de la curva µ : (−π, π) → S 2 definida por µ(t) = (0, sen t, cos t),

3.3.3.

−π < t < π.

Geod´ esicas

A continuaci´ on analizamos curvas especiales en M , llamadas geod´esicas. Definici´ on 26 Sea (M, ∇) una variedad diferenciable con conexi´ on af´ın ∇. Sea γ : (−a, a) → M una curva en M con campo de velocidad correspondiente X = γ. ˙ γ se llama geod´ esica si existe una funci´ on f : (−a, a) → R tal que (∇X X)γ(t) = f (t)Xγ(t) ,

|t| < a.

(3.48)

Entonces una geod´esica tiene la propiedad que la derivada covariante de su campo de velocidad a lo largo de si misma es paralela al campo de velocidad. Con respecto a una carta local (U, φ) la ecuaci´on (3.40) implica que x ¨k (t) + Γk ij (γ(t))x˙ i (t)x˙ j (t) = f (t)x˙ k (t), donde xk (t) = φ(γ(t))k . Observaciones 1. Sea s otro par´ ametro de γ. Entonces, X=

d ds d γ= γ = sY, ˙ dt dt ds

Y :=

d γ, ds

y ∇X X = ∇X (sY ˙ ) = s¨Y + s˙ 2 ∇Y Y. Entonces la ecuaci´ on (3.48) se convierte en ∇Y Y = f˜Y,

f˜ = s˙ −2 (f s˙ − s¨).

(3.49)

56

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL Concluimos que la ecuaci´on (3.48) es invariante bajo reparametrizaciones de la curva. La funci´on f˜ es cero si eligimos s(t) tal que   t Z |t| < a, s(t) ˙ = A exp  f (τ )dτ  , 0

con una constante A 6= 0. Notamos que s˙ 6= 0, asi que la transformaci´on t 7→ s es invertible. La ecuaci´on s¨(t) = f (t)s(t) ˙ determina s(t) de manera u ´nica con la excepci´on de las transformaciones s˜(t) = As(t) + B, donde A y B son dos constantes y A 6= 0. Por esta raz´on, un param´etro s tal que (∇Y Y )γ(s) = 0

(3.50)

se llama un par´ ametro af´ın. 2. Por los teoremas sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, la ecuaci´on (3.50) implica que para cada p ∈ M y vector v ∈ Tp M existe una geod´esica maximal y u ´nica γ : (a, b) → M (a < 0 < b) tal que ∇γ˙ γ˙ = 0 y tal que γ(0) = p y γ(0) ˙ = v. 3. Si γ(t) es una geod´esica con par´ametro af´ın t tal que γ(0) = p y γ(0) ˙ = v, entonces µ(t) := γ(At), A 6= 0, es una geod´esica con par´ametro af´ın tal que µ(0) = p y µ(0) ˙ = Av. 4. Sea p ∈ M . Entonces las observaciones anteriores implican que existe una vecindad V ⊂ Tp M del origen 0 ∈ Tp M del espacio tangente en p tal que todas las geod´esicas γv (t) con par´ametro af´ın t y con γv (0) = p y γ˙ v (0) = v ∈ V existen para t ∈ [0, 1]. Ahora vamos a introducir el mapeo exponencial que nos permite identificar una vecindad de p con una vecindad del origen en el espacio tangente Tp M : Definici´ on 27 Sea p ∈ M , y sea V ⊂ Tp M como en la u ´ltima observaci´ on. Sea γv (t) la geod´esica con par´ ametro af´ın tal que γv (0) = p y γ˙ v (0) = v ∈ V . El mapeo exponencial en el punto p est´ a definido por expp : V ⊂ Tp M → M, v 7→ expp (v) := γv (1).

(3.51)

Dado que γtv (s) = γv (ts) para s, t ∈ [0, 1] encontramos que expp (tv) = γv (t),

t ∈ [0, 1].

(3.52)

Adem´ as, la diferencial d expp : Tp M → Tp M de expp satisface, por definici´on, d d expp (v) = expp (tv) dt t=0 d = γv (t) = v, dt t=0

´ 3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS

57

para v ∈ V . Por la linealidad de d expp , obtenemos que d expp : Tp M → Tp M es la identidad. El Teorema 3 implica que expp : V ⊂ Tp M → M es un difeomorfismo local. En otras palabras, existe una vecindad W ⊂ Tp M del origen 0 ∈ Tp M tal que expp : W → U := expp (W ) es un difeomorfismo. De esta manera, podemos identificar puntos en U con vectores en W . Como aplicaci´ on importante, vamos a introducir coordenadas locales x1 , x2 , ..., xn particulares sobre U : Sea {e1 , e2 , ..., en } una base del espacio vectorial Tp M . Sea q ∈ U un punto en U y vq = expp−1 (q) ∈ Tp M el vector correspondiente en W . Entonces, definimos las coordenadas x1 (q), x2 (q), ... ,xn (q) a trav´es de la expansi´ on vq = xi (q)ei . Las coordenadas x1 , x2 , ..., xn que construimos de esta manera se llaman coordenadas Gaussianas o coordenadas normales con respecto al punto p. Puesto que γv (t) = expp (tv) para v = v i ei ∈ W , t ∈ [0, 1], γv (t) posee las coordenadas xi (t) = tv i . Entonces en estas coordenadas, las geod´esicas que pasan a trav´es del punto p son rectas, x ¨i (t) = 0. Introduciendo esta informaci´on en la ecuaci´ on geod´esica (3.50) encontramos que Γk ij (p)v i v j = 0 para todo v ∈ W , lo que implica Γk ij (p) + Γk ji (p) = 0.

(3.53)

En particular, si la conexi´ on es tal que Γk ij es sim´etrico en los indices ij (lo que ocurre para las conexiones de Levi-Civita como vamos a ver en la secci´on que sigue) obtenemos que Γk ij (p) = 0. Ejercicio 7. Consideramos una vez m´as la esfera S 2 ⊂ R3 con la conexi´on af´ın inducida ∇. (a) Demuestre que la curva equatorial γ : (−π, π] → S 2 dada por γ(t) := (cos t, sen t, 0),

−π < t ≤ π

es una geod´esica. (b) Demuestre que las geod´esicas sobre S 2 son los c´ırculos con circunferencia 2π.

3.4.

M´ etricas pseudo-Riemannianas y conexiones de Levi-Civita

En la secci´ on previa introducimos una conexi´on af´ın que nos permite definir la noci´ on del transporte paralelo de campos tensoriales a lo largo de una curva y de definir derivadas de campos tensoriales. En esta secci´on introducimos otra

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

58

estructura sobre la variedad, la m´etrica. En el caso que la m´etrica es definida positiva, nos permite definir la longitud de una curva. En el caso de relatividad general, le m´etrica no es definida positiva, y nos da una distinci´on entre los vectores de tipo tiempo, de tipo espacio y de tipo nulo. Dado una m´etrica, existe una conexi´ on af´ın u ´nica que satisface dos condiciones naturales (compatibilidad con la m´etrica y cero torsi´on). Esta conexi´on af´ın se llama la conexi´on de LeviCivita. La mtrica tambi´en nos da una manera de definir la integral de funciones sobre la variedad. Definici´ on 28 Una m´ etrica pseudo-Riemanniana sobre una variedad diferenciable M es un campo tensorial g ∈ T 0 2 (M ) del tipo (0, 2) que satisface las siguientes propiedades: (i) g(X, Y ) = g(Y, X) para todos X, Y ∈ X (M ) (simetr´ıa) (ii) Para todo p ∈ M , gp es no degenerada. Esto quiere decir que gp (Xp , Yp ) = 0 para todo Yp ∈ Tp M implica que Xp = 0. Si gp es definido positivo en cada punto p ∈ M , g tambi´en se llama una m´ etrica Riemanniana. El par (M, g) se llama variedad (pseudo-) Riemanniana. Sean p ∈ M y g una m´etrica pseudo-Riemanniana sobre M . Denotando por F ⊂ Tp M un subespacio de Tp M definimos :=

m´ax{dim F : gp |F es definido positivo},

s :=

m´ax{dim F : gp |F es definido negativo},

r

La diferencia r − s se llama la signatura de la m´ etrica g. Sean x1 , ..., xn coordenadas locales en una vecindad de p, entonces podemos expander   ∂ ∂ , . g = gij dxi ⊗ dxj , gij = gji = g ∂xi ∂xj Con respecto a otras coordenadas locales x ¯1 , ..., x ¯n en un vecindad de p, las componentes g¯kl de g est´an relacionadas con gij a trav´es de g¯kl =

∂xi ∂xj gij . ∂x ¯k ∂ x ¯l

Si definimos la matriz de Jacobi J(p) por J i k (p) :=

∂xi ∂x ¯ k p

podemos reescribir la relaci´on entre g¯kl y gij en forma matricial: g¯(p) = J(p)T g(p)J(p).

´ 3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS

59

Ahora, sea p ∈ M fijo. Dado que g(p) es sim´etrico, existe una transformaci´on ortogonal A ∈ O(n) tal que AT g(p)A = diag(λ1 , λ2 , ..., λn ) es diagonal. Ninguno de los eigenvalores λ1 , ..., λn es cero dado que gp es no degenerada. Adem´as, podemos elegir A tal que λ1 , λ2 , ...λs < 0 < λs+1 , ...λn . Si definimos la transformaci´ on ! 1 1 1 1 , , ..., √ ,p , ..., √ B := diag √ −λ1 −λs λn λs+1 obtenemos B T AT g(p)AB = diag(−1, ..., −1, 1, ..,1). Entonces, definiendo las coordenadas x ¯1 , ..., x ¯n a trav´es de x ¯ i = J i j xj ,

J = AB,

logramos que las componentes de la m´etrica en el punto p3 se reduzcan a   −1, 1 ≤ k = l ≤ s, 1, s + 1 ≤ k = l ≤ n, g¯kl (p) = ηkl =  0, k 6= l. Entonces la signatura de la m´etrica es (n − s) − s = n − 2s. Dado que los autovalores λ1 (p), ..., λn (p) dependen da manera continua4 de gij (p) y no pueden ser ceros, y dado que g es un campo tensorial diferenciable, la signatura es independiente de p. Ejemplos: 1. Sea (M, g) con M = Rn y g(X, Y ) := δij X i Y j ,

X = (X 1 , ..., X n ), Y = (Y 1 , ..., Y n ) ∈ Rn ,

el espacio Euclideano de dimensi´on n. Entonces g es una m´etrica Riemanniana. Las transformaciones de coordenadas que dejan gij = δij invariantes consisten de las transformaciones afines de la forma x ¯i = Ri j xj + ai , donde R ∈ O(n) y a ∈ Rn . 2. Sea (M, g) con M = Rn y g(X, Y ) := ηij X i Y j ,

X = (X 1 , ..., X n ), Y = (Y 1 , ..., Y n ) ∈ Rn ,

donde (ηij ) = diag(−1, 1, 1, ..., 1), el espacio de Minkowski de dimensi´on n. Entonces g es una m´etrica pseudo-Riemanniana con signatura n − 2. Las transformaciones de coordenadas que dejan gij = ηij invariantes consisten de las transformaciones de Poincar´e x ¯i = Λi j xj + ai , donde Λ ∈ O(1, n − 1) es una transformaci´on de Lorentz y a ∈ Rn . 3 ¿Porqu´ e en general no es posible lograr que g¯kl (p) tenga esta forma no solamente en el punto p pero en toda una vecindad de p? 4 Ver [7], p´ arrafo II.5 para una formulaci´ on precisa de esta afirmaci´ on.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

60

3. En relatividad general, el espacio-tiempo est´a descrito por (M, g), donde M es una variedad diferenciable de dimensi´on 4 y g es una m´etrica pseudoRiemanniana con signatura 2. Entonces podemos introducir coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 en la vecindad de cada punto p tal que en este punto gp = −dx0p ⊗ dx0p + dx1p ⊗ dx1p + dx2p ⊗ dx2p + dx3p ⊗ dx3p .

3.4.1.

La m´ etrica como isomorfismo entre Tp M y Tp∗ M

La segunda condici´on (ii) de la definici´on 28 nos permite identificar en cada punto p ∈ M el espacio tangente Tp M con su espacio dual Tp∗ M a trav´es del mapeo lineal Tp M → Tp∗ M : X 7→ X := gp (X, .). Dado que gp es no degenerada, e esta transformaci´ on es invertible. Entonces existe para cada ω ∈ Tp∗ M un u ´nico vector X ∈ Tp M tal que X = ω. Con respecto a coordenadas locales x1 , ..., xn e podemos expander ∂ , ∂xi

X = X j dxj , e e y las componentes de X con respecto a estas coordenadas son e     ∂ ∂ Xj = X = g X, = gij X i . ∂xj e ∂xj e g = gij dxi ⊗ dxj ,

X = Xi

Entonces las componentes de X se obtienen a partir de las componentes de X e al “bajar” sus indices con las componentes de la m´etrica gij y las componentes de X se obtienen a partir de las componentes de X al “subir” los indices con e las componentes de la inversa de la matriz gij , denotados por g ij . Esto se puede generalizar para campos tensoriales. Por ejemplo, sea T ∈ T 0 2 (M ), entonces podemos definir un campo tensorial T˜ ∈ T 2 0 (M ) a trav´es de T˜(X , Y ) := T (X, Y ), X, Y ∈ X (M ). e e Con respecto a coordenadas locales x1 , ..., xn y eligiendo X=

∂ , ∂xi

Y =

∂ ∂xj

obtenemos X = gki dxk , Y = glj dxl y entonces e e gki glj T˜kl = Tij , o T˜kl = g ki g lj Tij . En particular, si T = g es el tensor m´etrico, encontramos que g˜kl = g kl , dado que definimos g ij como las componentes de la matriz inversa de gij . Entonces vemos porque denotamos la inversa de esta manera: Las componentes de la matriz inversa de gij son las componentes del tensor g˜ ∈ T 2 0 .

´ 3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS

3.4.2.

61

La conexi´ on de Levi-Civita

Dado un variedad (pseudo-) Riemanniana (M, g), nos preguntamos si existe una conexi´ on af´ın ∇ natural asociada a g. Para contestar esta pregunta, consideramos primero una conexi´on ∇ sobre M . Sea γ : (−ε, ε) → M una curva en M , y sean Xγ(t) y Yγ(t) dos campos vectoriales autoparalelos definidos sobre γ. Suponemos que el producto escalar entre X y Y est´ a constante a lo largo de γ:
|t| < ε. gγ(t) Xγ(t) , Yγ(t) = const, Por otro lado, usando el transporte paralelo τt,s a lo largo de γ tenemos que

= gγ(t) τt,0 Xγ(0) , τt,0 Yγ(0) gγ(t) Xγ(t) , Yγ(t)
= (τ0,t g)γ(0) Xγ(0) , Yγ(0) . Usando la definici´ on 25 encontramos que

d 0= (τ0,t g)γ(0) Xγ(0) , Yγ(0) = (∇γ˙ g)γ(0) Xγ(0) , Yγ(0) . dt t=0 Entonces el transporte paralelo a lo largo de cualquier curva preserva el producto escalar entre dos vectores si y s´ olo si ∇g = 0. Definici´ on 29 Sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana. Una conexi´ on af´ın ∇ sobre M se llama una conexi´ on m´ etrica si ∇g = 0.

(3.54)

A continuaci´ on, analizamos el hessiano covariante de una funci´on f ∈ M, ∇df . Sean X, Y ∈ X (M ) dos campos vectoriales, entonces obtenemos de la ecuaci´ on (3.33) (∇df )(X, Y ) := (∇X df )(Y ) = X[df (Y )] − df (∇X Y ) = X(Y [f ]) − df (∇X Y ). Entonces la parte antisim´etrica de ∇df es (∇df )(X, Y ) − (∇df )(Y, X)

=

[X, Y ]f − df (∇X Y − ∇Y X)

=

−df (∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]). (3.55)

Esto motiva la siguiente definici´on: Definici´ on 30 Sea M una variedad diferenciable con conexi´ on af´ın ∇. La torsi´ on de ∇ se define como el mapeo T : X (M ) × X (M ) → X (M ) dado por T (X, Y ) := ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ],

X, Y ∈ X (M ).

(3.56)

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

62

Notamos que T (Y, X) = −T (X, Y ) es antisim´etrico en X, Y ∈ X (M ) y que para X, Y, Z ∈ X (M ) y f ∈ F(M ) valen T (X, Y + f Z)

= ∇X (Y + f Z) − ∇Y +f Z X − [X, Y + f Z] = ∇X Y + f ∇X Z + X(f )Z − ∇Y X − f ∇Z X − [X, Y ] − f [X, Z] − X(f )Z = T (X, Y ) + f T (X, Z).

Entonces T define un campo tensorial T¯ ∈ T 1 2 (M ) a trav´es de T¯(ω, X, Y ) := ω(T (X, Y )),

ω ∈ X ∗ (M ), X, Y ∈ X (M ).

(3.57)

Con respecto a coordenadas locales x1 , ..., xn , tenemos que    ∂ ∂ T¯k ij = dxk T , ∂xi ∂xj    ∂ ∂ ∂ ∂ = dxk ∇ ∂ i j − ∇ ∂ j − , ∂x ∂x ∂x ∂xi ∂xi ∂xj   ∂ ∂ = dxk Γl ij l − Γl ji l − 0 ∂x ∂x =

Γk ij − Γk ji ,

donde hemos usado la definici´on de los s´ımbolos de Christoffel (3.27) en el tercer paso. Entonces, T¯k ij = Γk ij − Γk ji . (3.58) Definici´ on 31 Sea M una variedad diferenciable con conexi´ on af´ın ∇. Se dice que ∇ es sim´ etrica o libre de torsi´ on si T = 0.

(3.59)

Con respecto a coordenadas locales esto quiere decir que los s´ımbolos de Christoffel Γk ij asociados a ∇ son sim´etricos en ij. De acuerdo a la ecuaci´on (3.55), ∇ es sim´etrica si y s´olo si para cada funci´on f ∈ M el hessiano covariante ∇df es sim´etrico. Ahora viene el resultado importante: Teorema 4 Sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana. Entonces existe una u ´nica conexi´ on af´ın ∇ tal que (i) ∇g = 0 (∇ es m´etrica) (ii) T = 0 (∇ es sim´etrica). Esta conexi´ on u ´nica se llama conexi´ on Riemanniana o conexi´ on de LeviCivita.

´ 3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS

63

Demostraci´ on. Sean ∇ una conexi´on af´ın y X, Y, Z ∈ X (M ) tres campos vectoriales. Entonces la ecuaci´ on (3.38) implica que (∇Z g)(X, Y ) = Z[g(X, Y )] − g(∇Z X, Y ) − g(X, ∇Z Y ), y la condici´ on (i) es equivalente a Z[g(X, Y )] = g(∇Z X, Y ) + g(X, ∇Z Y )

(3.60)

para todos X, Y, Z ∈ X (M ). La ecuaci´on (3.60) se llama identidad de Ricci. Para demostrar el teorema suponemos primero que existe una conexi´on af´ın que satisface las propiedades (i) y (ii). Usando la identidad de Ricci (3.60) y la simetr´ıa de ∇ encontramos que Z[g(X, Y )] − X[g(Y, Z)] − Y [g(Z, X)] = g(∇Z X − ∇X Z, Y ) + g(∇Z Y − ∇Y Z, X) + g(∇X Y − ∇Y X, Z) − 2g(∇X Y, Z) = g([Z, X], Y ) + g([Z, Y ], X) + g([X, Y ], Z) − 2g(∇X Y, Z) Entonces, 2g(∇X Y, Z)

=

−Z[g(X, Y )] + X[g(Y, Z)] + Y [g(X, Z)]

+

g([X, Y ], Z) + g([Z, X], Y ) + g([Z, Y ], X).

(3.61)

La parte derecha de esta ecuaci´ on no depende de ∇. Entonces, dado que g es no-degenerada, la unicidad de ∇ queda demostrada. Para demostrar la existencia de ∇, fijamos X, Y ∈ X (M ) y definimos para cada Z ∈ X (M ) la funci´ on ω(Z) por la parte derecha de la ecuaci´on (3.61). Podemos verificar que ω es lineal en Z y que para una funci´on f ∈ F(M ) tenemos que ω(f Z) = f ω(Z). Entonces ω ∈ X ∗ (M ) define un campo de covectores. Dado que la m´etrica es no-degenerada existe un u ´nico campo vectorial W ∈ X (M ) tal que 2W = ω, es decir, tal que f 2g(W, Z) = ω(Z) para todo Z ∈ X (M ) (ver la secci´ on 3.4.1). Ahora definimos ∇ por ∇X Y := W . No es dif´ıcil verificar que el mapeo ∇ : X (M )×X (M ) → X (M ), (X, Y ) 7→ ∇X Y definido de esta manera satisface todas las propiedades de una conexi´on af´ın. Adem´ as, obtenemos de (3.61) 2g(∇X Y − ∇Y X, Z) = 2g([X, Y ], Z) para todo Z ∈ X (M ) lo que muestra ∇ es libre de torsi´on. Finalmente, ∇ satisface la identidad de Ricci (3.60) puesto que (3.61) implica que 2g(∇X Y, Z) + 2g(∇X Z, Y ) = 2X[g(Y, Z)], y entonces ∇ es m´etrica. Esto concluye la demostraci´on del teorema.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

64 Observaciones

1. Sean x1 , ..., xn coordenadas locales de M . Si introducimos los campos vectoriales ∂ ∂ ∂ , Y = , Z= , X= ∂xi ∂xj ∂xk en la ecuaci´ on (3.61), obtenemos que   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ l l gjk + gik . 2glk Γ ij = 2g Γ ij l , k = − k gij + i ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xj Entonces, encontramos Γ

k

ij

1 = g kl 2



 ∂ ∂ ∂ gjl + gil − gij . ∂xi ∂xj ∂xl

(3.62)

Esta f´ ormula nos permite calcular los s´ımbolos de Christoffel asociada a la conexi´ on de Levi-Civita a partir de las componentes de la m´etrica y de sus primeras derivadas. 2. Sea ∇ la conexi´ on de Levi-Civita. Como mostramos en la secci´on previa, dado un punto p ∈ M , siempre podemos encontrar coordenadas locales x1 , ..., xn en una vecindad de p tal que Γk ij (p) = 0. Esta condici´on se mantiene si hacemos un cambio de coordenadas x ¯i = Ai j xj , donde A es una matriz n × n constante. Adem´as, como vimos, podemos elegir A tal que g¯ij (p) = ηij , (ηij ) = diag(−1, .., −1, 1, ..,1). Resumiendo, sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana con conexi´ on de Levi-Civita ∇. Entonces dado un punto p ∈ M , podemos encontrar coordenadas locales en una vecindad de p tales que en el punto p se satisfacen gij (p) = ηij y Γk ij (p) = 0. Como vamos a ver en el cap´ıtulo que sigue, un sistema de coordenadas locales con estas propiedades se llama un sistema inercial local y constituye un ingrediente clave para la relatividad general. 3. En el cap´ıtulo que sigue, tambi´en mostraremos que las geod´esicas con respecto a la conexi´on de Levi-Civita corresponden a las curvas estacionarias del funcional de longitud de arco,

L[γ] =

Z(2)q

|gγ(t) (γ(t), ˙ γ(t))|dt, ˙

(1)

donde los puntos extremos de la curva, (1) y (2), son fijos. Ejercicio 8. Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana con conexi´on af´ın de Levi-Civita correspondiente ∇. Definimos la divergencia de un campo vectorial X ∈ X (M ) como la contracci´on div X := C(∇X) ∈ F(M ).

(3.63)

´ 3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS

65

Demuestre que en coordenadas locales, 1 div X = ∇i X i = p ∂i | det(gij )|

3.4.3.

q

 | det(gij )|X i .

(3.64)

Integraci´ on de funciones sobre una variedad

Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana de dimensi´on n. Sea f ∈ F(M ) una funci´ on C ∞ -diferenciable sobre M , y sea K ⊂ M un subconjunto compacto de M . Entonces podemos definir la integral de f sobre K de la manera siguiente: Primero, vamos a suponer que K ⊂ U est´a enteramente contenida en una carta local (U, φ). Sean gij : U → R las n × n componentes de la m´etrica g con respecto a esta carta. Entonces definimos Z Z q f := f (φ−1 (x)) | det(gij (φ−1 (x))|dn x. (3.65) K

φ(K)

¯ otra carta local tal que K ⊂ U ¯ , φ) ¯ . Sean g¯kl : U ¯ → R las componentes Sea (U de g con respecto a esta carta. Entonces, la ley de transformaci´on (3.22) para las componentes de campos tensoriales implica que ∂x ¯k k l k gij (p) = J i (p)J j (p)¯ gkl (p), J i (p) = , x ¯ = ψ(φ−1 (x)), ∂xi p para todo p ∈ K y por lo tanto, q p | det(gij (p))| = | det(¯ gkl (p))| | det J(p)|. Ahora la f´ ormula de transformaci´ on de variables para integrales sobre Rn nos da Z q f (φ−1 (x)) | det(gij (φ−1 (x))|dn x φ(K)

Z =

p f (φ−1 (x)) | det(¯ gkl (φ−1 (x))| | det J(φ−1 (x))|dn x

φ(K)

Z =

f (ψ −1 (¯ x))

q

| det(gij (ψ −1 (¯ x))|dn x ¯,

ψ(K)

lo que demuestra que la definici´ on (3.65) es independiente de la elecci´ on de la carta local. Ahora, si K no est´ a enteramente contenida en una carta local, usamos una partici´ on de la unidad.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

66

Definici´ on 32 Sea M una variedad diferenciable. Una partici´ on de la unidad es una familia (Uα , φα , hα ), donde los (Uα , φα ) forman un atlas diferenciable de M y donde hα ∈ F(M ) son funciones C ∞ -diferenciables sobre M de tal manera que (i) La familia Uα es localmente finita, es decir cada punto p ∈ M posee una vecindad abierta U ⊂ M tal que la intersecci´ on U ∩ Uα es no vac´ıa solamente para una n´ umero finitos de α’s. (ii) hα ≥ 0 y supp hα ⊂ Uα para todo α. P (iii) hα (p) = 1 para todo p ∈ M . α

Observaciones 1. Notamos que gracias a la condici´on (i), para cada p ∈ M , hα (p) 6= 0 solamente para un n´ umero finito de α’s de tal manera que no hay problemas de convergenc´ıa en la condici´on (iii). 2. Se puede demostrar que una variedad diferenciable M posee una partici´on de la unidad si y s´olo si cada componente conexa de M es Hausdorff y posee una base contable (ver [5] y referencias a dentro). Volviendo a la definici´on de la integral de f sobre M , tomamos una partici´ on de la unidad (Uα , φα , hα ) de M . Entonces las funciones hα f son C ∞ diferenciables y son cero fuera del conjunto compacto Kα := supp hα ∩ K ⊂ Uα . Entonces definimos Z q XZ X Z n | det(gij (φ−1 f := hα f = (hα f )(φ−1 (x)) α (x))|d x. (3.66) α α

K

α

Kα

φα (Kα )

Notamos que la condici´on (i) y la compacticidad de K implican que solamente un n´ umero finito de las funciones hα f son diferentes de cero, de tal manera que la suma en (3.66) es finita. Finalmente, demostramos que la definici´on (3.66) is independiente de la elecci´ on de la partici´ on de la unidad: Sea (Vβ , ψβ , kβ ) otra partici´on de la unidad de M . Entonces (Wαβ , ζαβ , mαβ ), donde Wαβ := Uα ∩ Vβ , ζαβ := φα |Vβ , mαβ := hα kβ tambi´en es una partici´on de la unidad de M de tal manera que X

mαβ (p) = hα (p),

para todo p ∈ M . Entonces, Z X X hα f = supp hα ∩K

mαβ (p) = kβ (p),

α

β

α

X

Z

α,β supp m

mαβ f = αβ ∩K

X β

Z

supp kβ ∩K

kβ f,

´ 3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS

67

lo que demuestra que la definici´ on (3.66) is independiente de la elecci´on de la partici´ on de la unidad. A veces es posible calcular la integral de funciones sobre subconjuntos compactos que no est´ an enteramente contenidos en una carta local sin usar ninguna partici´ on de la unidad. 2 Ejemplo: Sea M = SR = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = R2 } la esfera con radio R > 0 con la m´etrica inducida h = R2 (dϑ2 +sen2 ϑ dϕ2 ). Sean 0 < δ < π/2 y Kδ := {R(cos ϕ sen ϑ, sen ϕ sen ϑ, cos ϑ) : δ ≤ ϑ ≤ ϑ − δ, δ ≤ ϕ ≤ 2π − δ}. 2 Entonces para una funci´ on f ∈ F(SR ) diferenciable tenemos π−δ Z 2π−δ Z

Z

f (R(cos ϕ sen ϑ, sen ϕ sen ϑ, cos ϑ)) R2 sen ϑdϕdϑ.

f= Kδ

δ

δ

Puesto que f es diferenciable, podemos tomar el l´ımite δ → 0 y obtenemos la integral de f sobre S 2 . En particular, para f = 1, obtenemos

2 Vol(SR )

Zπ Z2π

Z :=

1= 0

2 SR

R2 sen ϑdϕdϑ = 4πR2 .

0

A continuaci´ on demostramos el teorema de Gauss en su versi´on covariante. Empezamos con el caso m´ as simple de un cubo K := [−1, 1]n en (Rn , g), donde g es una m´etrica pseudo-Riemanniana sobre Rn . Sean Si± := {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ K : xi = ±1}, i = 1, 2, ..., n, los lados del cubo con covectores normales νi± correspondientes proporcional a ±dxi . En lo que sigue, suponemos que las m´etricas inducidas hi± sobre Si± son no-degeneradas. Entonces podemos normalizar νi± de tal manera que los vectores normales correspondientes, ν˜i± , satisfacen |g(˜ νi± , ν˜i± )| = 1,

i = 1, 2, ..., n.

Con estas suposiciones tenemos: Lema 6 Sea (Rn , g) una variedad pseudo-Riemanniana, y sean K, Si± y νi± definidos como arriba, donde suponemos que las m´etricas inducidas sobre Si± son no-degeneradas. Entonces vale para todo X ∈ X (Rn ), Z

Z div X =

K

ν(X) := ∂K

n X Z X

νi± (X),

i=1 ± S i±

donde div X := C(∇X) es la divergencia de X con respecto a la m´etrica de Levi-Civita.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

68

Demostraci´ on. Trabajando con la carta trivial (Rn , id) tenemos que q  Z Z k div X = ∂k | det(gij )|X dn x K

K

=

  Z q Z q n X   | det(gij )|X k dn−1 x − | det(gij )|X k dn−1 x  k=1

Sk−

Sk+

donde usamos la expresi´on (3.64) para la divergencia y la definici´on 3.65 en el primer paso y el teorema fundamental del c´alculo en el segundo paso. Ahora ve´ amos primero la integral sobre el lado S1+ . Podemos expander la m´etrica de la siguiente forma, g = adx1 ⊗ dx1 + hAB (dxA + β A dx1 ) ⊗ (dxB + β B dx1 )

A, B = 2, 3, ..., n,

donde a 6= 0 sobre S1+ y donde hAB dxA ⊗ dxB es la m´etrica inducida sobre S1+ . Con esta notaci´ on, es f´acil verificar que p | det(gij )| = |a|| det(hAB )|, ν1+ = |a|dx1 , de tal manera que Z q Z 1 n−1 | det(gij )|X d x= ν1+ (X). S1+

S1+

Luego, para el lado S1− se tienen las mismas expresiones excepto que ν1− = p − |a|dx1 , y entonces Z Z q | det(gij )|X 1 dn−1 x = ν1− (X). − S1−

S1−

Conclusiones similares aplican a los lados S2± , ... , Sn± . Ahora podemos generalizar el teorema de Gauss a subconjuntos compactos K ⊂ M que se pueden obtener de una uni´on finita de cubos deformados. Teorema 5 Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana de dimensi´ on n con conexi´ on af´ın de Levi Civita correspondiente ∇. Sea K ⊂ M un subconjunto compacto de la siguiente forma: Existen cartas locales (U1 , φ1 ), ... ,(Um , φm ) y subconjuntos compactos K1 ⊂ U1 , ... , Km ⊂ Um tales que (i) K =

m S

Kl ,

l=1

(ii) K˙ i ∩ K˙ j = ∅ para i 6= j, donde K˙ j := Kj \ ∂Kj , (iii) φl (Kl ) = [−1, 1]n para todo l = 1, 2, ..., m.

´ 3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS

69

(iv) La m´etrica inducida sobre ∂Kl es no-degenerada para todo l = 1, 2, ..., m. Sea ν el campo de covectores normal unitario exterior sobre ∂K, es decir ν satisface ν(X) = 0 para cada X ∈ T (∂K), |g(˜ ν , ν˜)| = 1 y νp (Xp ) > 0 si Xp es un vector tangente en p ∈ ∂K que apunta fuera de K. Entonces Z Z Z div X = ν(X) = g(X, ν˜) K

∂K

∂K

para cada campo vectorial X ∈ X (M ). Demostraci´ on. Usando la definici´on 3.65 y el resultado del Lema 6 tenemos que Z div X

=

m Z X

div X

l=1 K

K

l

=

Z m X l=1

=

div X(φ−1 l (x))

q

n | det(gij (φ−1 l (x)))|d x

[−1,1]n

m X n X X l=1 i=1 ±

Z

φ∗l νi± (X).

φ−1 l (Si± )

Las integrales sobre los lados conjuntos se cancelan, y quedan las integrales sobre los lados exteriores que forman ∂K. Ejemplos: 1. Sea (M, g) = (R3 , h) con h = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz la m´etrica Euclideana. Sea K = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ R} la bola con radio 2 R > 0 con frontera ∂K = SR . Entonces podemos escribir K como la uni´on 2 de siete cubos deformados, y el covector normal unitario exterior sobre SR −1 es ν = dR = R (xdx + ydy + zdz). Para el campo vectorial particular X(x, y, z) = x∂x + y∂y + z∂z tenemos div X = 3 y ν(X) = R. Entonces el teorema de Gauss implica la relaci´on Z Z 1 4π 3 1 R = RVol(S 2 ) = R . Vol(K) := 1 = 3 3 3 K

S2

2. Consideramos una variedad pseudo-Riemanniana (M, g) con las siguientes propiedades: (a) M = R × Σ, donde Σ es una variedad diferenciable de dimensi´on n. (b) Las hojas Σt := {t} × Σ con las m´etricas inducidas correspondientes ht forman variedades Riemannianas para cada t ∈ R.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

70

(c) La m´etrica inducida sobre las l´ıneas R×{p} es negativa definida para todo p ∈ Σ. El campo de covectores normal unitario N sobre las hojas Σt es proporcional a dt. Entonces existe una funci´on α : M → R tal que N = αdt. De acuerdo al propiedad (c), esta funci´on no tiene ceros. Elegimos la orientaci´ on tal que N (∂t ) > 0, entonces α es estrictamente positivo. Si S ⊂ Σ es un subconjunto compacto de Σ que satisface las propiedades (i)–(iii) del Teorema 5, entonces para t1 < t2 el subconjunto compacto K := [t1 , t2 ] × S ⊂ M de M satisface todas las condiciones (i)–(iv) del teorema, y ∂K = S1 ∪ S2 ∪ T , donde S1 := {t1 } × S, S2 := {t2 } × S y T := [t1 , t2 ] × ∂S. Entonces el teorema de Gauss implica que Z Z Z Z div X = − N (X) + N (X) + ν(X), (3.67) K

S1

S2

T

donde ν es el campo de covectores normal unitario exterior a K sobre T . En particular, si div X = 0 y X tiene soporte compacto sobre cada rebanada St := {t} × S, t1 ≤ t ≤ t2 , de K, entonces la ecuaci´on (3.4.3) implica que Z Z N (X) = S2

es decir, la cantidad

3.5.

R St

N (X) =

N (X), S1

R St

αdt(X) es independiente de t.

Derivada de Lie

En esta secci´ on vamos a introducir la derivada de Lie de una campo tensorial T con respecto a un campo vectorial X. Intuitivamente, esta derivada nos da el ”cambio infinitesimal de T a lo largo de X”. La derivada de Lie es importante para describir las simetr´ıas de una variedad, y algunos de los conceptos que se van a ver en este cap´ıtulo tambi´en son u ´tiles para el estudio de los grupos de Lie. En esta secci´ on denotamos por M una variedad diferenciable. Empezamos con la definici´ on del flujo asociado a un campo vectorial.

3.5.1.

El flujo de un campo vectorial

Para definir el flujo necesitamos primero el siguiente resultado que se puede demostrar con los teoremas cl´asicos para las ecuaciones diferenciales ordinarias (ver, por ejemplo, la referencia [6]): Teorema 6 Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial sobre M . Entonces existe para cada p ∈ M una u ´nica curva integral maximal γp de X a trav´es de p. Es decir, dado p ∈ M existe una u ´nica curva γp : (a, b) → M con a < 0 < b tal que

3.5. DERIVADA DE LIE

71

(i) γp (0) = p, (ii) γ˙ p (t) = Xγp (t) para todo a < t < b, (iii) Si µ : (c, d) → M es otra curva integral de X a trav´es del punto p, entonces a ≤ c, d ≤ b y µ(t) = γp (t) para todo c < t < d. Demostraci´ on. Sea p ∈ M , y sea Cp (X) el conjunto de todas las curvas integrales a X a trav´es del punto p. El resultado del Lema 3 implica que el conjunto Cp (X) no es vac´ıo. Sean γ1 : (a1 , b1 ) → M y γ2 : (a2 , b2 ) → M dos elementos de Cp (X). Entonces vamos a demostrar que γ1 (t) = γ2 (t) para todo t1 := m´ ax{a1 , a2 } < t < t2 := m´ın{b1 , b2 }. Para ver esto, sea t∗ := sup{t ∈ R : 0 < t < t2 , γ1 (t) = γ2 (t)}. Si t∗ < t2 obtenemos una contradicci´on con el resultado de unicidad local del Lema 3 aplicado al punto γ(t∗ ), y entonces t∗ = t2 , lo que implica que γ1 (t) = γ2 (t) para todo 0 ≤ t < t2 . De la misma forma, se muestra que γ1 (t) = γ2 (t) para todo t1 < t ≤ 0. Ahora definimos la curva integral maximal γp : (A, B) → M de la siguiente manera: A := ´ınf{a ∈ R : γ : (a, b) → M es un elemento de Cp (X)}, B

:=

sup{b ∈ R : γ : (a, b) → M es un elemento de Cp (X)}.

Sea t ∈ (A, B), entonces existe una curva integral γ : (a, b) → M de X a trav´es de p tal que t ∈ (a, b), y definimos γp (t) = γ(t). Esta definici´on es independiente de la curva γ de acuerdo al resultado de unicidad que acabamos de demostrar. La curva γp : (A, B) → M definida de esta manera es una curva integral a X a trav´es de p que es maximal. Definici´ on 33 Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial. Denotamos para cada punto p ∈ M de la variedad por γp : Ip → M la u ´nica curva integral maximal de X a trav´es de p. Sean D Dt

:= {(t, p) : p ∈ M, t ∈ Ip } ⊂ R × M, := {p ∈ M : t ∈ Ip } ⊂ M.

Entonces el mapeo ϕ : D → M , (t, p) 7→ ϕ(t, p) := γp (t) se llama el flujo de X. Para cada t ∈ R fijo tambi´en definimos el mapeo ϕt : Dt → M, p 7→ ϕt (p) := ϕ(t, p) = γp (t), que deja ”fluir un punto p por el tiempo t a lo largo de la curva γp ”. Ejemplos: ∂ 1. Sean M = R y X ∈ X (R) el campo vectorial X = x2 ∂x . La curva integral x(t) de X a trav´es del punto p = x0 ∈ R satisface el problema de Cauchy  x(t) ˙ = x(t)2 , x(0) = x0

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

72 con la soluci´ on formal

x(t) =

x0 . 1 − tx0

Observamos que x(t) diverge cuando t → 1/x0 . Por lo tanto, los intervalos maximal de existencia Ip son dados por  R, p = x0 = 0,      1 −∞, x0 , p = x0 > 0, Ip =     1  , ∞ , p = x0 < 0, x0

y el flujo es ϕt : Dt → M, x0 7→ ϕt (x0 ) = donde Dt =

x0 , 1 − tx0

 

R = M,
t = 0, −∞, 1t
, t > 0,  1 t , ∞ , t < 0,

∂ ∂ 2. Sean M = R2 y X ∈ X (R2 ) el campo vectorial X = y ∂x − x ∂y . La curva 2 integral (x(t), y(t)) de X a trav´es del punto (x0 , y0 ) ∈ R obedece  x(t) ˙ = y(t), y(t) ˙ = −x(t) x(0) = x0 , y(0) = y0 ,

con las soluci´ on    x(t) cos(t) t = ϕ (x0 , y0 ) = y(t) − sen(t)

sen(t) cos(t)



x0 y0

 .

En este caso, el intervalo maximal de existencia es Ip = R para cada punto p = (x0 , y0 ) de M , y D = R × M . Definici´ on 34 Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial. Entonces X se llama completo si D = R × M . Observaci´ on: En el primer ejemplo de arriba, X no es completo porque las curvas integrales no siempre pueden ser extendidades a todo el intervalo R del tiempo. En el segundo ejemplo, X es completo. El flujo de un campo vectorial satisface las siguientes propiedades: Lema 7 Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial con flujo asociado ϕ : D → M . Entonces valen las siguientes afirmaciones: (i) ϕ0 = idM . (ii) Sean t, s ∈ R. Entonces valen para todo p ∈ Ds+t , ϕt (p) ∈ Ds , ϕs (p) ∈ Dt y ϕs+t (p) = ϕs ◦ ϕt (p) = ϕt ◦ ϕs (p).

3.5. DERIVADA DE LIE

73

(iii) D ⊂ R × M es un conjunto abierto. (iv) ϕ : D ⊂ R × M → M es C ∞ -diferenciable. (v) Para cada t ∈ R, el mapeo ϕt : Dt → M es un difeomorfismo de Dt en D−t con inversa ϕ−t . (vi) Si U ⊂ Dt es abierto, entonces ϕt : U → M es un difeomorfismo de U en ϕt (U ). (vii) Si M es compacto, entonces D = R × M y X es completo. Demostraci´ on. Consultar un libro, por ejemplo [8].

3.5.2.

El pull-back y el push-forward de un difeomorfismo

Sean M y N variedades diferenciables, y sea φ : M → N un mapeo C ∞ diferenciable. Preguntamos si φ induce un mapeo natural de T r s (M ) a T r s (N ). Nos acordamos de que para campos tensoriales del tipo (0, s) hab´ıamos definido (ver la definici´ on 20) el pull-back φ∗ : T 0 s (N ) → T 0 s (M ) a trav´es de (φ∗ T )p (Y1 , Y2 , ..., Ys ) := Tφ(p) (dφp (Y1 ), dφp (Y2 ), ..., dφp (Ys )) para todo T ∈ T 0 s (N ), Y1 , Y2 , ..., Ys ∈ Tp M y p ∈ M , donde dφp : Tp M → Tφ(p) N denota la diferencial de φ en el punto p, ver la definici´on 7. A continuaci´ on preguntamos si φ induce un mapeo similar para campos tensoriales contravariantes. Para un campo vectorial X ∈ X (M ), por ejemplo, podr´ıamos tener la tentaci´ on de definir el “push-forwar” de X con respecto a φ a trav´es de dφ(X). Sin embargo, es claro que esta definici´on tiene problemas si existen puntos p, q ∈ M , p 6= q tal que φ(p) = φ(q) pero dφp (Xp ) 6= dφq (Xq ). Para evitar estos problemas vamos a pedir que φ : M → N es invertible en lo que sigue. Para definir el pull-back y el push-forward de campos tensoriales arbitrarios en este caso, empezamos con las siguientes consideraciones del ´algebra lineal: Sean E y F dos espacios vectoriales reales de dimensi´on finita, y sea A : E → F un isomorfismo lineal (es decir, un mapeo lineal e invertible) con inversa A−1 : F → E. Sean E ∗ y F ∗ los espacioes duales correspondientes a E y F . Definimos el adjunto de A como el mapeo A∗ : F ∗ → E ∗ , w∗ 7→ A∗ w∗ definido por (A∗ w∗ )(v) := w∗ (Av), v ∈ E. (3.68) A∗ define un isomorfismo de F ∗ en E ∗ con inversa (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . Sean E r s , F r s los espacios de tensores del tipo (r, s) sobre E y F , respectivamente. Entonces el ismomorfismo A : E → F induce un isomorfismo Ar s : E r s → F r s , T 7→ Ar s T definido por (Ar s T )(Y1∗ , ..., Yr∗ , Y1 , ..., Ys ) := T (A∗ Y1∗ , ..., A∗ Yr∗ , A−1 Y1 , ..., A−1 Ys ), donde T ∈ E r s , Y1∗ , ..., Yr∗ ∈ F ∗ , Y1 , ..., Ys ∈ F . En particular, notamos los siguientes casos particulares:

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

74

1. A0 0 = idR , porque un tensor del tipo (0, 0) sobre E o F es un n´ umero real. 2. A0 1 = (A−1 )∗ , porque para T ∈ E 0 1 = E ∗ y Y ∈ F tenemos que  −1 0 −1 (A 1 T )(Y ) = T (A Y ) = (A )∗ T (Y ) de acuerdo a la definici´on 3.68. 3. A1 0 = A, porque para T ∈ E 1 0 = E ∗∗ ' E y Y ∗ ∈ F ∗ tenemos que (A1 0 T )(Y ∗ ) = T (A∗ Y ∗ ) = (A∗ Y ∗ )(T ) = Y ∗ (AT ) = AT (Y ∗ ), donde usamos de nuevo la definici´on 3.68. Ahora aplicamos la definici´on de Ar s al caso E = Tp M , F = Tφ(p) N y A = dφp : E → F , donde φ : M → N es un difeomorfismo. Definici´ on 35 Sean M y N variedades diferenciables, y sea φ : M → N un difeomorfismo. Entonces definimos el push-forward con respecto a φ como el mapeo φ∗ : T r s (M ) → T r s (N ), T 7→ φ∗ T definido por p = φ−1 (q),

(φ∗ T )q := (dφp )r s Tp ,

para T ∈ T r s (M ) y q ∈ N . De manera similar, definimos el pull-back con respecto a φ como el mapeo φ∗ : T r s (N ) → T r s (M ), S 7→ φ∗ S definido por −1

(φ∗ S)p := [(dφp )r s ]

Sφ(p) ,

para S ∈ T r s (N ) y p ∈ M . Observaciones 1. De acuerdo a la definici´on, valen φ∗ ◦φ∗ = id|T r s (M ) y φ∗ ◦φ∗ = id|T r s (N ) . 2. Si X ∈ X (M ) es un campo vectorial sobre M , entonces (φ∗ X)q = dφp (Xp ),

p = φ−1 (q),

para todo q ∈ N . 3. Si r = 0, entonces la definici´on 35 es equivalente a la definici´on original 20 del pull-back para campos tensoriales covariantes. 4. Para un campo tensorial T ∈ T 1 1 (M ) del tipo (1, 1) sobre M , tenemos, explicitamente,
(φ∗ T )q (ωq , Yq ) = Tp (dφp )∗ ωq , (dφp )−1 (Yq ) , p = φ−1 (q) (3.69) para todo q ∈ N , ωq ∈ Tq∗ N y Yq ∈ Tq N . A continuaci´ on, vamos a encontrar las expresiones en coordenadas locales para el pull-forward de un campo tensorial. Sean p ∈ M y q = φ(p) ∈ N , sean

3.5. DERIVADA DE LIE

75

x1 , x2 , ..., xn coordenadas locales en una vecindad U de p, y sean y 1 , y 2 , ..., y n coordenadas locales en la vecindad φ(U ) de q. Entonces podemos expander ! ∂ ∂ i = A j (p) , p ∈ U, q = φ(p), dφp ∂xj p ∂y i q donde los coeficientes Ai j (p) son dados por " i

A j (p)

=

= = =

!# ∂ dφp ∂xj p " !# ∂ (y i ) dφp ∂xj p ∂ i [y ◦ φ] ∂xj p ∂y i , ∂xj p dyqi

donde hemos usado las definiciones 13 y 7 en el segundo y tercer paso, respectivamente. De acuerdo a la definici´on 20 del pull-back, tambi´en tenemos que " !# !   ∂y i ∂ ∂ ∗ i i = (dφp ) (dyq ) , = dyq dφp ∂xj p ∂xj p ∂xi p y entonces podemos expander (dφp )∗ (dyqi ) (dφp )

−1

! ∂ ∂y j q

= =

∂y i dxj , ∂xj p p −1 i

(A(p)

)

j

∂ ∂xi ∂ = . ∂xi p ∂y j p ∂xi p

Bas´ andonos en la ecuaci´ on (3.69), encontramos la siguiente relaci´on (φ∗ T )

i1 ...ir

j1 ...js (q)

dyqi1 , ..., dyqir ,

! ∂ ∂ , ..., ∂y j1 q ∂y js q

=

(φ∗ T )q

=

∂y i1 ∂y ir ∂xl1 ∂xls k1 ...kr · · · · · · T l1 ...ls (p),(3.70) ∂xk1 ∂xkr ∂y j1 ∂y js

q ∈ φ(U ), p = φ−1 (q), entre las componentes de un campo tensorial T ∈ T r s (M ) del tipo (r, s) sobre M y las componentes de su push-forward φ∗ T . Esta ecuaci´ on se ve formalmente equivalente a la ley de transformaci´on (3.22) para las componentes de un campo tensorial. La diferencia entre las dos ecuaciones reside en su interpretaci´ on: Aqu´ı, la ecuaci´on (3.70) describe la relaci´on entre las componentes de dos campos tensoriales distintos (T sobre M y φ∗ T sobre N ,

76

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

respectivamente) con respecto a coordenadas locales x1 , ..., xn y y 1 , ..., y n en la vecindad de dos puntos distintos (p ∈ M y q = φ(p) ∈ N , respectivamente). A diferencia de esto, la ecuaci´on (3.22) describe la relaci´on entre las componentes del mismo campo tensorial T con respecto a coordenadas locales en la vecindad del mismo punto p. Para el caso M = N esta diferencia refleja la diferencia entre transformaciones activas y pasivas.

3.5.3.

La derivada de Lie

Ahora tenemos todos los ingredientes para definir la derivada de Lie de un campo tensorial: Definici´ on 36 Sea M una variedad diferenciable, y sea X ∈ X (M ) un campo vectorial C ∞ -diferenciable con flujo asociado ϕt . Entonces definimos para cada T ∈ T r s (M ) su derivada de Lie con respecto a X a trav´es de o 1 n t ∗  d  t ∗  (ϕ ) T p − Tp , (ϕ ) T p = l´ım p ∈ M. (3.71) (£X T )p := t→0 t dt t=0 Observaci´ on: Como vimos en la secci´on 3.5.1 el flujo ϕt no siempre est´a definido para todos los puntos p ∈ M . Sin embargo, el Lema 7 implica que para cada t ∈ R el mapeo ϕt : Dt → D−t es un difeomorfismo, y que para p ∈ M dado, p ∈ Dt para |t| suficientemente peque˜ no. Entonces dado p ∈ M , [(ϕt )∗ T ]p define un tensor del tipo (r, s) sobre Tp M para cada |t| suficientemente peque˜ no y la ecuaci´ on (3.71) tiene sentido. La derivada de Lie satisface las siguientes propiedades b´asicas: Lema 8 Sea M una variedad diferenciable, y sea X ∈ X (M ). Entonces, (i) £X T ∈ T r s (M ) para cada T ∈ T r s (M ). (ii) £X (T1 + T2 ) = £X T1 + £X T2 para todo T1 , T2 ∈ T r s (M ). (iii) £X (T ⊗ S) = (£X T ) ⊗ S + T ⊗ (£X S) para todo T ∈ T r s (M ) y S ∈ T p q (M ). (iv) £X conmuta con las contracci´ ones totales. (v) £X f = X[f ] = df (X) para todo f ∈ F(M ). (vi) £X Y = [X, Y ] para todo Y ∈ X (M ). Demostraci´ on. Con respecto a la afirmaci´on (i), notamos que [(ϕt )∗ T ]p es ∞ C -diferenciable en t y en p de acuerdo al Lema 7(iv) y la definici´on 35 del pullback. Por esta raz´ on, £X T define un campo tensorial del tipo (r, s) que es C ∞ diferenciable. Las afirmaciones (ii) y (iii) son consecuencias directas de las identidades (ϕt )∗ (T1 + T2 ) = (ϕt )∗ T1 + (ϕt )∗ T1 y (ϕt )∗ (T ⊗ S) = [(ϕt )∗ T ] ⊗ [(ϕt )∗ S]. Para demostrar la afirmaci´on (iv) notamos que (ϕt )∗ C(T ) = C ((ϕt )∗ T ) para un campo tensorial T ∈ T r r (M ) del tipo (r, s) con r = s.

3.5. DERIVADA DE LIE

77

Para demostrar la afirmaci´ on (v) tomamos f ∈ F(M ) y p ∈ M . Entonces de acuerdo a la definici´ on 36 de la derivada de Lie, d d  t ∗  t = = Xp [f ], £X fp = (ϕ ) f p f ◦ ϕ (p) dt dt t=0 t=0 de acuerdo a las definiciones del pull-back para funciones, y usando el hecho de que Xp es el vector tangente a la curva Ip → M , t 7→ ϕt (p) en el punto p. Finalmente, para demostrar (vi), tomamos f ∈ F(M ) y definimos la funci´on C ∞ -diferenciable h : D → M a trav´es de h(t, q) := f (ϕt (q)) − f (q),

(t, q) ∈ D.

Dado que h(0, q) = 0 para todo q ∈ M tenemos que Z1 h(t, q) =

d h(st, q)ds = t ds

Z1

∂h (st, q)ds ≡ tg(t, q) ∂t

0

0

donde g : D → M es C ∞ -diferenciable. Entonces encontramos que f ◦ ϕt (q) = f (q) + tg(t, q)

(3.72)

para todo (t, q) ∈ D, lo que implica que Xq [f ] =

d f ◦ ϕt (q) = g(0, q) dt t=0

para todo q ∈ M . Por otro lado, la ecuaci´on (3.72) tambi´en implica que (dϕt Y )ϕt (q) [f ] = Yq [f ◦ ϕt ] = Yq [f ] + tYq [g(t, ·)]. para todo (t, q) ∈ D, y entonces (£X Y )p [f ]

=

1 t ∗ [(ϕ ) Y ]p − Yp [f ] t→0 t 1  −t l´ım [dϕ (Y )]p [f ] − Yp [f ] t→0 t 1 l´ım Yϕt (p) [f ] − Yp [f ] − l´ım Yϕt (p) [g(−t, ·)] t→0 t t→0 Xp [Y f ] − Yp [g(0, ·)]

=

[X, Y ]p [f ].

= = =

l´ım

Notamos que las propiedades (i)–(vi) que satisface el operador £X son las mismas que las propiedades (i)–(vi) que satisface la derivada covariante ∇X , ver la secci´ on 3.3.1. Entonces usando el mismo procedimiento que en esta secci´on,

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

78

encontramos la siguiente expresi´on expl´ıcita para la derivada de Lie de un campo tensorial T ∈ T r s (M ) con respecto a X ∈ X (M ):

=

(£X T )(ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys )   X T (ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys )

−

T (£X ω 1 , ω 2 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys ) − ... − T (ω 1 , ..., ω r−1 , £X ω r , Y1 , ..., Ys )

−

T (ω 1 , ..., ω r , [X, Y1 ], Y2 , ..., Ys ) − ... − T (ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys−1 , [X, Ys ]).

(3.73)

para ω 1 , ..., ω r ∈ X ∗ (M ) y Y1 , ..., Ys ∈ X (M ). En particular para ω ∈ X ∗ (M ), tenemos (£X ω)(Y ) = X[ω(Y )] − ω([X, Y ]), Y ∈ X (M ). (3.74) En coordenadas locales x1 , ..., xn , sean X = X k ∂x∂ k , ω = dxi , Y =  £X

∂ ∂xj

 =

£X dxi

=

∂ ∂xj

tenemos

  ∂ ∂X k ∂ , X, j = − j ∂x ∂x ∂xk    ∂X k ∂ ∂X i j ∂ X k k (δ i j ) + dxi dxj = dx , j k ∂x ∂x ∂x ∂xj

y entonces encontramos de la ecuaci´on (3.73) que   ∂ ∂ i1 ...ir i1 ir (£X T ) = (£X T ) dx , ..., dx , j1 , ..., js j1 ...js ∂x ∂x ∂ = X k k T i1 ...ir j1 ...js ∂x ∂X i1 ki2 ...ir ∂X ir i1 ...ir−1 k − T T − ... − j ...j j1 ...js 1 s ∂xk ∂xk ∂X k i1 ...ir ∂X k i1 ...ir + T T . + ... + kj ...j j1 ...js−1 k (3.75) 2 s j ∂x 1 ∂xjs Observaci´ on: Comparando la ecuaci´on (3.73) con la expresi´on (3.38) correspondiente para la derivada covariante,

=

(∇X T )(ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys )   X T (ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys )

−

T (∇X ω 1 , ω 2 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys ) − ... − T (ω 1 , ..., ω r−1 , ∇X ω r , Y1 , ..., Ys )

−

T (ω 1 , ..., ω r , ∇X Y1 , Y2 , ..., Ys ) − ... − T (ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys−1 , ∇X Ys ).

podemos notar lo siguiente: (£X T )(ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys ) =

(∇X T )(ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys )

−

T ((£X − ∇X )ω 1 , ω 2 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys )

−

... − T (ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys−1 , (£X − ∇X )Ys ).

3.5. DERIVADA DE LIE

79

Ahora, si la conexi´ on af´ın ∇ es libre de torsi´on, entonces (£X − ∇X )Y = [X, Y ] − ∇X Y = −∇Y X y [(£X − ∇X )ω](Y ) = −ω ([X, Y ] − ∇X Y ) = ω(∇Y X) para todo Y ∈ X (M ) y ω ∈ X ∗ (M ), y concluimos que (£X T )(ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys ) 1

(3.76)

r

=

(∇X T )(ω , ..., ω , Y1 , ..., Ys )

−

T (ω 1 (∇X), ω 2 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys ) − ... − T (ω 1 , ..., ω r (∇X), Y1 , ..., Ys )

+

T (ω 1 , ..., ω r , ∇Y1 X, Y2 , ..., Ys )... + T (ω 1 , ..., ω r , Y1 , ..., Ys−1 , ∇Ys X),

donde para ω ∈ X ∗ (M ), ω(∇X) se refiere al campo de covectores definido por [ω(∇X)](Y ) := ω(∇Y X), Y ∈ X (M ). En coordenadas locales, (£X T )i1 ...ir j1 ...js

= X k ∇k T i1 ...ir j1 ...js i1

ki2 ...ir

k

i1 ...ir

− (∇k X )T +

(∇j1 X )T

j1 ...js

kj2 ...js

(3.77) ir

− ... − (∇k X )T k

+ ... + (∇js X )T

i1 ...ir−1 k i1 ...ir

j1 ...js

j1 ...js−1 k

,

es decir, podemos reemplazar todas las derivadas parciales por derivadas covariantes en la expresi´ on (3.75) si la conexi´on af´ın ∇ es libre de torsi´on. Ejemplo: Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana con conexi´on de LeviCivita ∇. Entonces la f´ ormula (3.76) y ∇g = 0 implican que (£X g)(Y, Z) = g(∇Y X, Z) + g(Y, ∇Z X) para todo X, Y, Z ∈ X (M ). Usando la identidad de Ricci (3.60) podemos reescribir g(∇Y X, Z) = Y [g(X, Z)] − g(X, ∇Y Z) = Y [X (Z)] − X (∇Y Z) = (∇Y X )(Z), e e e y entonces (£X g)(Y, Z) = (∇X )(Y, Z) + (∇X )(Z, Y ) (3.78) e e para todo X, Y, Z ∈ X (M ), donde X := g(X, ·). En coordenadas locales, e (£X g)ij = ∇i Xj + ∇j Xi . (3.79)

3.5.4.

La interpretaci´ on geom´ etrica de la derivada de Lie

Empezamos con el resultado siguiente: Lema 9 Sea M una variedad diferenciable, y sean X, Y ∈ X (M ) y λ ∈ R. Entonces valen (i) £λX+Y = λ£X + £Y .

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

80 (ii) [£X , £Y ] = £[X,Y ] .

Demostraci´ on. De acuerdo a la f´ormula 3.73 es suficiente verificar que las afirmaciones sean ciertas para funciones y campos vectoriales, dado que los operadores £λX+Y − λ£X − £Y y [£X , £Y ] − £[X,Y ] satisfacen las propiedades (i)– (iv) del Lema 8. Obviamente, se satisface la afirmaci´on (i) dado que £λX+Y f = (λX + Y )[f ] = λ£X f + £Y f y £λX+Y Z = [λX + Y, Z] = λ£X Z + £Y Z para todo f ∈ F(M ) y Z ∈ X (M ). Para verificar (ii) tomamos primero una funci´on f ∈ F(M ) y calculamos [£X , £Y ]f = £X (Y f ) − £Y (Xf ) = [X, Y ]f = £[X,Y ] f. Luego, tomamos un campo vectorial Z ∈ X (M ) y encontramos que [£X , £Y ]Z

= £X [Y, Z] − £Y [X, Z] =

[X, [Y, Z]] − [Y, [X, Z]]

=

−[Z, [X, Y ]]

=

£[X,Y ] Z,

donde hemos usado la identidad de Jacobi (ver el Lema 2) en el tercer paso. Ahora llegamos a la interpretaci´on geom´etrica de la derivada de Lie: Teorema 7 Sea M una variedad diferenciable y sean X, Y ∈ X (M ). Sean ϕt y ψ s los flujos asociados a X y Y , respectivamente. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) [X, Y ] = 0. (ii) £X ◦ £Y = £Y ◦ £X . (iii) ϕt ◦ ψ s = ψ s ◦ ϕt (donde definido) En particular, los campos vectoriales X y Y conmutan si y s´ olo si los flujos asociados ϕt y ψ s conmutan. Demostraci´ on. La equivalencia de (i) y (ii) es una consecuencia directa del Lema 9(ii). Ahora vamos a demostrar la implicaci´on (iii) ⇒ (i). Sea p ∈ M y supongamos que ϕt ◦ ψ s (p) = ψ s ◦ ϕt (p) para todo |t| y |s| suficientemente peque˜ nos. Derivando con respecto a t y evaluando en t = 0 obtenemos Xψs (p) = dψps (Xp ), de acuerdo a la definici´on de X y de la diferencial de ψ s . Entonces, Xp = (dψps )−1 Xψs (p) = [(ψ s )∗ X]p

3.5. DERIVADA DE LIE

81

para todo |s| suficientemente peque˜ nos. Esto implica que £Y X = [Y, X] = 0 de acuerdo a la definici´ on 36 de la derivada de Lie. Finalmente, demostramos la implicaci´on (i) ⇒ (iii). Supongamos que [X, Y ] = 0. Entonces, vale para todo p ∈ M y t ∈ Ip d  s+t ∗  d  t ∗  (ϕ ) Y p = (ϕ ) Y p dt ds s=0   d = (ϕt )∗ ◦ (ϕs )∗ Y ds p s=0  t ∗  = (ϕ ) (£X Y ) p =

0,

(3.80)

donde usamos la identidad (ϕs+t )∗ = (ϕs ◦ ϕt )∗ = (ϕt )∗ ◦ (ϕs )∗ en el segundo paso. Ahora sean (t, p) ∈ D fijos. Definimos γ s (p) := ϕ−t ◦ ψ s ◦ ϕt (p) para |s| suficientemente peque˜ no, de tal manera que ϕt ◦ γ s (p) = ψ s ◦ ϕt (p). Derivando con respecto a s obtenemos   d s t dϕγ s (p) γ (p) = Yψs (ϕt (p)) = Yϕt (γ s (p)) , ds de tal manera que   d s γ (p) = (dϕtγ s (p) )−1 Yϕt (γ s (p)) = (ϕt )∗ Y γ s (p) = Yγ s (p) , ds de acuerdo a la ecuaci´ on (3.80). Dado que γ 0 (p) = p, s 7→ γ s (p) es una curva integral al campo vectorial Y a trav´es del punto p. Por unicidad de las curvas integrales, γ s (p) = ψ s (p), lo que demuestra la afirmaci´on. Definici´ on 37 Sean M una variedad diferenciable, X ∈ X (M ) un campo vectorial con flujo asociado ϕt y T ∈ T r s (M ) un campo tensorial. Entonces T se llama invariante bajo el flujo ϕt si  t ∗  (ϕ ) T p = Tp para todo (t, p) ∈ D. Observaciones 1. Usando la definici´ on de la derivada de Lie y un argumento similar a la ecuaci´ on (3.80) obtenemos que T es invariante bajo ϕt si y s´olo si £X T = 0. 2. Sea M una variedad diferenciable de dimensi´on n, y sean X ∈ X (M ) y Σ ⊂ M una subvariedad de dimensi´on n − 1 transversal a X, es decir,

82

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL Xp ∈ / Tp Σ para todo p ∈ Σ (en particular, esto implica que X 6= 0 en una vecindad de Σ). Sea (V, ψ) una carta local de Σ con coordenadas locales asociadas x2 , x3 , ..., xn tal que V ⊂ Σ es acotado. Sea ε > 0 suficientemente peque˜ no tal que (t, p) ∈ D para todo |t| < ε y p ∈ V . Consideramos el mapeo F : (−ε, ε) × ψ(V ) → M, (x1 , x2 , ..., xn ) 7→ ϕx1 ◦ ψ −1 (x2 , ..., xn ), donde ϕt denota el flujo de X. Las propiedades del flujo y la transversalidad de X implican que F : (−ε, ε) × ψ(V ) → U := F ((−ε, ε) × ψ(V )) es un difeomorfismo si ε > 0 es suficientemente peque˜ no. Entonces la inversa Φ := F −1 : U → (−ε, ε) × ψ(V ), q 7→ (x1 , x2 , ..., xn ) = F −1 (q) de este mapeo define una carta local (U, Φ) de M tal que Φ(Σ∩U ) = {(0, x2 , ..., xn ) ∈ Φ(U )}. Adem´ as, sean p ∈ U y Φ(p) = (x1 , x2 , ..., xn ). Para |t| suficiente1 mente peque˜ no, Φ−1 (Φ(p) + te1 ) = ϕx +t ◦ ψ −1 (x2 , ..., xn ) = ϕt (p) es la ∂ de tal manera que curva a trav´es de p con vector tangente ∂x 1 p ∂ d t = Xp [f ] = f ◦ ϕ (p) [f ] dt ∂x1 p t=0 para todo f ∈ F(M ). Concluimos que en las coordenadas locales (x1 , x2 , ..., xn ) X=

∂ , ∂x1

es decir, las componentes de X son simplemente (X i ) = (1, 0, ..., 0). En particular, la ecuaci´on (3.75) implica que en estas coordenadas (£X T )i1 ...ir j1 ...js =

∂ i1 ...ir T j1 ...js ∂x1

para un campo tensorial T ∈ T r s (M ). 3. De manera m´ as general podemos preguntar si dado dos campos vectoriales X, Y ∈ X (M ) existen coordenadas locales (x1 , x2 , ..., xn ) sobre un ∂ ∂ subconjunto abierto U ⊂ M tales que X = ∂x 1 y Y = ∂x2 . Obviamente, tales coordenadas solamente pueden existir si Xp y Yp son linealmente independientes y si [X, Y ]p = 0 en cada punto p ∈ U . Resulta que estas condiciones son necesarias y suficientes: Teorema 8 Sea M una variedad diferenciable, y sea {X1 , X2 , ..., Xm } un conjunto de campos vectoriales C ∞ -diferenciables que satisface (i) Los vectores X1p , X2p , ..., Xmp son linealmente independientes para cada p ∈ M . (ii) [Xi , Xj ] = 0 para todo 1 ≤ i < j ≤ m.

3.6. CURVATURA

83

Entonces, dado p ∈ M existe una carta local (U, Φ) tal que p ∈ U y tal que Xi =

∂ , ∂xi

i = 1, 2, ..., m.

Demostraci´ on. Generalizando los argumentos de la observaci´on previa y usando el resultado del Teorema 7 que implica que los flujos asociados a Xi y Xj conmutan.

3.6.

Curvatura

Definici´ on 38 Sea (M, ∇) una variedad diferenciable con conexi´ on af´ın ∇. La curvatura asociada a ∇ est´ a definida por el mapeo R : X (M ) × X (M ) × X (M ) → X (M ) dado por R(X, Y )Z := ∇X (∇Y Z) − ∇Y (∇X Z) − ∇[X,Y ] Z, X, Y, Z ∈ X (M ). Notamos que R(Y, X)Z = −R(X, Y )Z es antisim´etrico en X y Y , y que R(X, Y )Z es lineal en X, Y y Z. Adem´as, si f ∈ F(M ), entonces R(f X, Y )Z

=

f ∇X ∇Y Z − ∇Y (f ∇X Z) − ∇f [X,Y ]−Y (f )X Z

=

f ∇X ∇Y Z − f ∇Y ∇X Z − Y (f )∇X Z − f ∇[X,Y ] Z + Y (f )∇X Z

=

f R(X, Y )Z,

y R(X, Y )(f Z)

= ∇X [f ∇Y Z + Y (f )Z] − ∇Y [f ∇X Z + X(f )Z] − f ∇[X,Y ] Z − ([X, Y ]f )Z = f ∇X ∇Y Z + X(f )∇Y Z + Y (f )∇X Z + [XY (f )]Z − f ∇Y ∇X Z − Y (f )∇X Z − X(f )∇Y Z − [Y X(f )]Z − f ∇[X,Y ] Z − ([X, Y ]f )Z = f R(X, Y )Z.

¯ ∈ T 1 3 (M ) a trav´es de Entonces R define un campo tensorial R ¯ R(ω, Z, X, Y ) := ω(R(X, Y )Z),

ω ∈ X ∗ (M ),

X, Y, Z ∈ X (M ).

∂ ∂ Y = ∂x Sean x1 , x2 , ..., xn coordenadas locales, y ω = dxl , X = j y Z = ∂xk . Entonces,   ∂ ¯ l kij = dxl ∇ ∂ ∇ ∂ ∂ − ∇ ∂ ∇ ∂ ∂ − ∇ ∂ ∂ R [ ∂xi , ∂xj ] ∂xk ∂xi ∂xi ∂xk ∂xj ∂xk ∂xj      ∂ ∂ = dxl ∇ ∂ i Γr jk r − ∇ ∂ j Γr ik r ∂x ∂x ∂x ∂x  r  ∂Γ jk ∂ ∂ ∂Γr ik ∂ ∂ r s r s = dxl · + Γ Γ − · − Γ Γ , jk ir ik jr ∂xi ∂xr ∂xs ∂xj ∂xr ∂xs ∂ ∂xi ,

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

84 de tal manera que

l l ¯ l kij = ∂Γ jk + Γr jk Γl ir − ∂Γ ik − Γr ik Γl jr . R ∂xi ∂xj

(3.81)

Definici´ on 39 Sea {X1 , X2 , ..., Xn } una base local de T M y {θ1 , θ2 , ..., θn } la base local dual correspondiente de T ∗ M . El tensor de Ricci est´ a definido a trav´es de la siguiente contracci´ on del tensor de curvatura: ¯ i , Z, Xi , Y ) = θi (R(Xi , Y )Z), Ric(Z, Y ) := R(θ

Y, Z ∈ X (M ).

(3.82)

Como se demuestra en un ejercicio, Ric es independiente de la base {X1 , ..., Xn } y define un campo tensorial del tipo (0, 2). Con respecto a coordenadas locales ∂ i i x1 , x2 , ..., xn podemos elegir Xi = ∂x i y θ = dx , y obtenemos que   ∂ ∂ ¯ i kij Rickj = Ric , =R ∂xk ∂xj ∂Γi ik ∂Γi jk r i + Γ Γ − − Γr ik Γi jr . (3.83) = jk ir ∂xi ∂xj Muchas veces, se usa la notaci´on Rkj para denotar las componentes Rickj del tensor de Ricci, y tambi´en la notaci´on Rl kij (sin la barra) para denotar las ¯ componentes del campo tensorial R. Para formular el pr´oximo resultado necesitamos lo siguiente: Sea A : X (M )s → X (M ) un mapeo que es F(M )-lineal en todos sus argumentos, es decir, que satisface A(X1 + f Y, X2 , ..., Xs ) = A(X1 , X2 , ..., Xs ) + f A(Y, X2 , ..., Xs ) para todos X1 , ..., Xs , Y ∈ X (M ) y todo f ∈ F(M ) y lo mismo para cada argumento de A. Entonces podemos definir un campo tensorial asociado A¯ del tipo (1, s) a trav´es de ¯ X1 , ..., Xs ) := ω(A(X1 , ..., Xs )), A(ω,

ω ∈ X ∗ (M ),

X1 , ..., Xs ∈ X (M ).

Por ejemplo, el tensor de torsi´on define un campo tensorial del tipo (1, 2) y el tensor de curvatura uno del tipo (1, 3). Definimos la derivada covariante ∇Y A de A con respecto de un campo vectorial Y ∈ X (M ) a trav´es de la condici´on ¯ ω [(∇Y A)(X1 , ..., Xs )] = (∇Y A)(ω, X1 , ..., Xs ) para todo ω ∈ X ∗ (M ) y todos X1 , ..., Xs ∈ X (M ). Usando (3.38) encontramos que   ¯ X1 , ..., Xs ) − A(∇ ¯ Y ω, X1 , ..., Xs ) ω [(∇Y A)(X1 , ..., Xs )] = Y A(ω, ¯ ¯ X1 , ..., ∇Y Xs ) − A(ω, ∇Y X1 , ..., Xs ) − ... − A(ω, =

Y [ω(A(X1 , ..., Xs ))] − (∇Y ω)(A(X1 , ..., Xs ))

−

ω(A(∇Y X1 , ..., Xs )) − ... − ω(A(X1 , ..., ∇Y Xs )).

3.6. CURVATURA

85

Por otro lado, (3.38) tambi´en implica que (∇Y ω)(Z) = Y [ω(Z)] − ω(∇Y Z) para todo Z ∈ X (M ). Entonces, (∇Y A)(X1 , ..., Xs )

= ∇Y (A(X1 , ..., Xs )) − A(∇Y X1 , ..., Xs ) − ... − A(X1 , ..., ∇Y Xs ) (3.84)

para todos X1 , ..., Xs , Y ∈ X (M ). Teorema 9 (identidades de Bianchi) Sea (M, ∇) una variedad diferenciable con conexi´ on af´ın ∇, y sean T y R la torsi´ on y curvatura asociados a ∇, respectivamente. Entonces, X X R(X, Y )Z = [(∇X T )(Y, Z) + T (T (X, Y ), Z)] , (3.85) (XY Z)

X

(XY Z)

(∇X R)(Y, Z)

=

(XY Z)

X

−

R (T (X, Y ), Z)

(3.86)

(XY Z)

para todos X, Y, Z ∈ X (M ), donde

P

denota la suma c´ıclica sobre X, Y y

(XY Z)

Z. Observaci´ on: Si la conexi´ on ∇ es sim´etrica (T = 0), las expresiones a la derecha de (3.85) y (3.86) son ceros. En particular, esto ocurre para la conexi´on de LeviCivita. Demostraci´ on del Teorema 9. Para demostrar la primera ideantidad (3.85) tomamos X, Y, Z ∈ X (M ). Entonces, X X  R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z (XY Z)

(XY Z)

=

X  ∇X ∇Y Z − ∇X ∇Z Y − ∇[Y,Z] X (XY Z)

=

X  ∇X (T (Y, Z) + [Y, Z]) − ∇[Y,Z] X (XY Z)

=

X

{∇X (T (Y, Z)) + T (X, [Y, Z]) + [X, [Y, Z]]}

(XY Z)

=

X

{(∇X T )(Y, Z) + T (∇X Y, Z) + T (Y, ∇X Z) + T (X, [Y, Z])}

(XY Z)

=

X

{(∇X T )(Y, Z) + T (∇X Y − ∇Y X − [X, Y ], Z)}

(XY Z)

=

X (XY Z)

{(∇X T )(Y, Z) + T (T (X, Y ), Z)} ,

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

86

donde hemos usado la definici´on de la torsi´on en el tercer, cuarto y u ´ltimo paso, la identidad de Jacobi (ver el Lema 2) en el quinto paso y el resultado (3.84) en el quinto paso. Ejercicio 9. Demuestra la segunda identidad de Bianchi (3.86).

3.6.1.

La interpretaci´ on geom´ etrica de la curvatura

A continuaci´ on, vamos a dar una interpretaci´on geom´etrica de la curvatura basada en el transporte paralelo. Sean X, Y ∈ X (M ) dos campos vectoriales diferenciables que conmutan, [X, Y ] = 0. Como vimos en el Teorema 7, esto implica que los flujos correspondientes, ϕt y ψ s , conmutan. Sea p ∈ M fijo, sean γs (t) := ϕt (ψ s (p)) las curvas integrales a X a trav´es del punto ψ s (p), y µt (s) := ψ s (ϕt (p)) las curvas integrales a Y a trav´es del punto ϕt (p). Consideramos el transporte paralelo de un vector tangente Zp ∈ Tp M a lo largo de un paralelogramo pqrs generado por dichas curvas integrales, donde q := γ0 (ε), r := µε (δ) = γδ (ε) y s := µ0 (δ). Entonces tenemos el siguiente resultado: Lema 10 Sea (M, ∇) una variedad diferenciable con conexi´ on af´ın. Sean X, Y ∈ X (M ) tales que [X, Y ] = 0. Con la notaci´ on de arriba, denotamos por (µ )

Zp0 := Gp (ε, δ)Zp ,

(γ )

(µ )

(γ )

Gp (ε, δ) := τ0,δ0 ◦ τ0,εδ ◦ τδ,0ε ◦ τε,00 .

(3.87)

el transporte paralelo del vector tangente Zp ∈ Tp M a lo largo del paralelogramo pqrs. Entonces vale para todo ε, δ ∈ R tal que h := m´ax{|ε|, |δ|} es suficientemente peque˜ no, Gp (ε, δ) = I − εδ R(X, Y )|p + O(h3 ). (3.88) Demostraci´ on. Primero, notamos que la ecuaci´on (3.87) es equivalente a (γ )

(µ )

(µ )

(γ )

τε,0δ ◦ τδ,00 Zp0 = τδ,0ε ◦ τε,00 Zp

(3.89)

Para calcular ambos lados de esta ecuaci´on, suponemos que h := m´ax{|ε|, |δ|} es suficientemente peque˜ no, de tal manera que existan los flujos y que podamos suponer que el paralelogramo pqrs se encuentre dentro de una carta local (U, φ). Si X es paralelo a Y , Gp (ε, δ) = I es trivial y R(X, Y ) = 0. Entonces podemos suponer que X no es paralelo a Y . En este caso, el Teorema 8 garantiza que podemos encontrar coordenadas locales x1 , x2 , ..., xn sobre U tales que X=

∂ , ∂x1

Y =

∂ . ∂x2

De acuerdo a la f´ ormula (3.41) para el transporte paralelo, las componentes del (γ ) campo vectorial V (t) := τt,00 Zp satisfacen V˙ k (t) k

V (0)

= M k j (t)V j (t), = Zpk ,

0 < t < ε,

3.6. CURVATURA

87

donde M k j (t) := −Γk 1j (γ0 (t)). Entonces, V k (ε) = Zpk + εM k j (0)Zpj +

i ε2 h ˙ k M j (0) + M k i (0)M i j (0) Zpj + O(ε3 ). (3.90) 2 (µ )

De la misma manera, las componentes del campo vectorial V (ε, δ) := τδ,0ε V (ε) = (µ ) (γ ) τδ,0ε τε,00 Zp

satisfacen

V k (ε, δ) = V k (ε) + δN k j (0)V j (ε) +

i δ2 h ˙ k N j (0) + N k i (0)N i j (0) V j (ε) + O(δ 3 ), 2

donde N k j (s) := −Γk 2j (µε (s)). Introduciendo (3.90) en esta ecuaci´on y usando el teorema de Taylor para encontrar ∂ k k k k N j (0) = −Γ 2j (µ0 (ε)) = −Γ 2j (p) − ε Γ 2j + O(ε2 ) ∂x1 p obtenemos que V k (ε, δ)

= Zpk − εΓk 1j (p)Zpj − δΓk 2j (p)Zpj   ε2 ∂ k k m Γ 1j − Γ 1m Γ 1j Zpj − 2 ∂x1 p   2 δ ∂ k Γ 2j − Γk 2m Γm 2j Zpj − 2 ∂x2 p   ∂ k − εδ Γ 2j − Γk 2m Γm 1j Zpj + O(h3 ). ∂x1 p

Al intercambiar ε con δ, 1 con 2 y Z con Z 0 , obtenemos la expresi´on corres(γ ) (µ ) pondiente para las componentes del vector τε,0δ ◦ τδ,00 Zp0 . Introduciendo los resultados en la ecuaci´ on (3.89) obtenemos (Zp0 )k

=

Zpk − εδ



 ∂ k k m Γ − Γ Γ − (1 ↔ 2) Zpj + O(h3 ). 2j 2m 1j ∂x1 p

¯ k j12 (p)Zpj + O(h3 ), = Zpk − εδ R donde hemos usado la expresi´ on (3.81) para las componentes del tensor de curvatura. Tambi´en podemos interpretar el resultado del lema de la siguiente forma: Definici´ on 40 Sea p ∈ M , y sea Cp el conjunto de todos los lazos cerrados en p, Cp := {γ : [0, 1] → M : γ es una curva tal que γ(0) = γ(1) = p}.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

88

(γ)

Entonces para cada curva γ ∈ Cp el transporte paralelo τ1,0 : Tp M → Tp M define una transformaci´ on lineal e invertible sobre el espacio tangente Tp M en p. El conjunto (γ) H(p) := {τ1,0 ∈ GL(n, R) : γ ∈ Cp } forma un subgrupo de GL(n, R) que se llama el grupo de holonom´ıa de (M, ∇) en el punto p. Ejercicio 10. Sean p, q ∈ M , y sea γ una curva que conecta p con q: γ(0) = p, γ(1) = q. Demuestre que (γ)

(γ)

H(q) = τ1,0 H(p)τ0,1 . Entonces los dos grupos H(p) y H(q) son isomorfos si p y q son en la misma componente conexa de M . Para un paralelogramo pqrs generado por dos campos vectoriales X y Y que conmutan demostramos en el Lema 10 que el elemento correspondiente Gp (ε, δ) de H(p) satisface ∂ 2 Gp (ε, δ) = − R(X, Y )|p . ∂ε∂δ ε=δ=0

De manera m´ as general, se puede demostrar el siguiente Teorema 10 (caso particular del teorema de Ambrose-Singer) Sea (M, ∇) una variedad diferenciable con conexi´ on af´ın. Sea p ∈ M . Entonces el ´ algebra de Lie del grupo H(p) de holonom´ıa en el punto p es { R(X, Y )|p : X, Y ∈ Tp M }. Demostraci´ on. Ver, por ejemplo [9]. Una consequencia directa de este teorema es5 Corolario 1 Sea (M, ∇) una variedad diferenciable con conexi´ on af´ın ∇. Entonces el transporte paralelo es independiente de la curva si y s´ olo si el tensor de curvatura es cero.

3.6.2.

La curvatura asociada a la conexi´ on de Levi-Civita

Si ∇ es la conexi´ on de Levi-Civita correspondiente a una m´etrica pseudoRiemanniana, el tensor de curvatura posee simetr´ıas adicionales: Teorema 11 Sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana, y sea ∇ la conexi´ on de Levi-Civita correspondiente. Definimos el siguiente campo tensorial de tipo (0, 4): R(W, Z, X, Y ) := g(W, R(X, Y )Z), 5 Una

X, Y, Z, W ∈ X ∗ (M ).

demostraci´ on directa del corolario tambi´ en se puede encontrar en [1].

(3.91)

3.6. CURVATURA

89

Entonces R satisface las siguientes simetr´ıas: R(W, Z, X, Y )

= −R(W, Z, Y, X)

(3.92)

R(W, Z, X, Y )

= −R(Z, W, X, Y ),

(3.93)

R(W, Z, X, Y )

= R(X, Y, W, Z),

(3.94)

para todo X, Y, Z, W ∈ X (M ). Demostraci´ on. La primera idenditad (3.92) es una consecuencia directa de la definici´ on de R. Para demostrar (3.93) partimos de la identidad de Ricci (3.60), Y [g(Z, Z)] = 2g(Z, ∇Y Z). Usando la identidad de Ricci otra vez encontramos que XY [g(Z, Z)] = 2g(Z, ∇X ∇Y Z) + 2g(∇X Z, ∇Y Z). Usando este resultado y una vez m´as la identidad de Ricci obtenemos 2g(Z, ∇[X,Y ] Z) = [X, Y ][g(Z, Z)] = 2g(Z, ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z) y entonces R(Z, Z, X, Y ) = g(Z, R(X, Y )Z) = 0 para todos X, Y, Z ∈ X (M ). Reemplazando Z por Z = U + W , U, W ∈ X (M ), esta ecuaci´ on implica que R(U, W, X, Y ) + R(W, U, X, Y ) = 0. Para demostrar (3.94) usamos la primera identidad de Bianchi (3.85), notando que T = 0, y obtenemos g(W, R(X, Y )Z) = −g(W, R(Y, X)Z) = g(W, R(X, Z)Y ) + g(W, R(Z, Y )X) (3.95) para todos X, Y, Z, W ∈ X (M ). Usando (3.93) y otra vez la primera identidad de Bianchi tambi´en encontramos que g(W, R(X, Y )Z) = −g(Z, R(X, Y )W ) = g(Z, R(Y, W )X) + g(Z, R(W, X)Y ). (3.96) Sumando (3.95) y (3.96) obtenemos que 2R(W, Z, X, Y )

=

g(W, R(X, Z)Y ) + g(Z, R(Y, W )X)

+

g(W, R(Z, Y )X) + g(Z, R(W, X)Y ).

Puesto que R(X, Y ) = −R(Y, X) y dado (3.93) se ve que el lado derecho es invariante bajo el intercambio de los pares (X, Y ) ↔ (Z, W ). Esto concluye la demostraci´ on de (3.94).

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

90

Con respecto a coordenadas locales x1 , x2 , ..., xn las simetr´ıas del tensor de curvatura correspondiente a la conexi´on de Levi-Civita se pueden resumir de la siguiente manera: X Rijkl = 0 (primera identidad de Bianchi (3.85)), (jkl)

X

∇m Rijkl = 0

(segunda identidad de Bianchi (3.86) ),

(klm)

Rijkl = −Rijlk

(de (3.92)),

Rijkl = −Rjikl

(de (3.93)),

Rijkl = Rklij

(de (3.94)), ¯m

donde Rijkl = Rijkl = gim R

jkl .

Observaciones 1. La simetr´ıa (3.94) implica que el tensor de Ricci es sim´etrico: De su definici´ on (3.82) encontramos que Rkj = Ri kij = δ i l Rl kij = g il Rlkij = g il Rijlk = Rjk . Como esta ecuaci´on vale para cualquier sistema local de coordenadas, tenemos que Ric(X, Y ) = Ric(Y, X) para todos X, Y ∈ X (M ). 2. Sea p ∈ M un punto fijo de la variedad, y sean x1 , ..., xn coordenadas normales con respecto a p (tales que Γk ij (p) = 0). De la expresi´on (3.62) para los s´ımbolos de Christoffel,   1 kl ∂ ∂ ∂ k Γ ij = g gjl + gil − gij , 2 ∂xi ∂xj ∂xl encontramos que en el punto p,   ∂2 ∂2 ∂2 ∂Γk ij 1 kl gjl + gil − gij = g . ∂xs p 2 ∂xi ∂xs ∂xj ∂xs ∂xl ∂xs p Entonces de la expresi´on (3.81) obtenemos que  1 kl ∂2 ∂2 ∂2 k R jsi (p) = g g + g − gij jl il 2 ∂xi ∂xs ∂xj ∂xs ∂xl ∂xs  ∂2 ∂2 ∂2 − s i gjl − g + gsj . sl ∂x ∂x ∂xj ∂xi ∂xl ∂xi p o   ∂2 1 ∂2 ∂2 ∂2 Rljsi (p) = gil − gij − gsl + gsj . 2 ∂xj ∂xs ∂xl ∂xs ∂xj ∂xi ∂xl ∂xi p (3.97) Esta expresi´ on nos permite verificar las simetr´ıas algebraicas (3.85), (3.93) y (3.94) de manera directa.

3.6. CURVATURA

91

3. Se puede mostrar que las simetr´ıas algebraicas (3.85), (3.93) y (3.94) del tensor de curvatura correspondiente a la conexi´on de Levi-Civita sobre una variedad diferenciable (M, g) de dimensi´on n implican que Rklij solamente posee n2 (n2 − 1) 12 componentes independientes. En particular, para n = 2, Rklij est´a enteramente determinado por el escalar de Ricci, R := g lj Rlj = g lj Ri lij , Rklij =

1 (gki gjl − gli gjk ) R 2

(ver el ejercicio abajo). Para n = 3 el tensor de curvatura posee 6 grados de libertades que est´ an contenidos en el tensor de Ricci, y Rklij = gki Rjl − gli Rjk + glj Rik − gkj Ril −

1 (gki gjl − gli gjk ) R. 2

Para n = 4 el n´ umero independientes de componenentes de Rklij es 20. 10 de ellas est´ an contenidas en el tensor de Ricci. 4. La segunda identidad de Bianchi y las simetr´ıas algebraicas del tensor de curvatura implican la siguiente identidad para el tensor de Ricci: 1 div Ric − ∇R = 0. 2

(3.98)

Para demostrar esta identidad contraemos la segunda identidad de Bianchi, ∇m Ri jkl + ∇k Ri jlm + ∇l Ri jmk = 0 sobre i = k para obtener ∇m Rjl + ∇i Ri jlm − ∇l Rjm = 0. Contrayendo ambos lados con g mj y usando el hecho de que ∇l g jm = 0 encontramos que ∇j Rjl + ∇i Ri l − ∇l R = 0, lo que demuestra (3.98). Para lo que sigue, definimos el tensor de Einstein G ∈ T 0 2 (M ) a trav´es de G := Ric −

R g. 2

Con esta definici´ on, las identidades de Bianchi (3.98) contraidas son simplemente div G = 0. (3.99) Como vamos a ver en el cap´ıtulo 5 esta identidad juega un papel fundamental para el acople de la gravitaci´on a la materia.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

92

Ejercicio 11. Sea M una variedad diferenciable bidimensional con m´etrica pseudo-Riemanniana g. (a) Demuestre que siempre existen coordenadas locales x, y sobre M de tal manera que la m´etrica tiene la forma g = εA(x, y)2 dx2 + B(x, y)2 dy 2 , donde A y B son funciones C ∞ estrictamente positivas, y ε = ±1, dependiendo de la signatura de g. (b) Calcule los s´ımbolos de Christoffel correspondientes a la m´etrica g. (c) Muestre que el tensor de curvatura tiene la forma Rm lij = κ (δ m i gjl − δ m j gil ) . La funci´ on κ se llama la curvatura de Gauss. (d) Muestre que "    #  Bx Ay 1 ε + . κ=− AB A x B y 2 (e) Calcule κ para el caso de la esfera SR con radio R > 0.

(f) Calcule κ para la m´etrica6 

2M g˜ = − 1 − r

3.7.





2M dt + 1 − r 2

−1

dr2 ,

t ∈ R,

r > 2M.

Ap´ endice: Derivaciones

En este ap´endice analizamos una definici´on alternativa para un vector tangent y mostramos que es equivalente a la definici´on dada en la secci´on 3.2.1. Definici´ on 41 Sea M una variedad diferenciable de dimensi´ on n, y sea p ∈ M . Denotamos con Dp la clase de todas las funciones f : M → R que son C ∞ – diferenciables en una vecindad de p. Una derivaci´ on en el punto p es un mapeo Dp → R que satisface (i) Xp [af + bg] = aXp [f ] + bXp [g] para todos a, b ∈ R y f, g ∈ Dp (linealidad), (ii) Xp [f · g] = f (p)Xp [g] + g(p)Xp [f ] para todos f, g ∈ Dp (regla de Leibnitz). 6 Como vamos a ver en el cap´ ıtulo 6, la m´ etrica g˜ describe la geometr´ıa radial del exterior de una estrella esfericamente sim´ etrica.

´ 3.7. APENDICE: DERIVACIONES

93

Si aplicamos la regla de Leibnitz a las funciones constantes f = g = 1 igual a uno obtenemos Xp [1] = Xp [1] + Xp [1]. Con la linealidad, esto implica que Xp [f ] = 0 para una funci´ on f constante. Dado dos derivaciones Xp y Yp en el punto p, y dado un n´ umero real a ∈ R podemos definir nuevas derivaciones Xp + Yp y aXp a trav´es de (Xp + Yp )[f ] (aXp )[f ]

:= Xp [f ] + Yp [f ], := aXp [f ],

para f ∈ Dp . Con esto, el conjunto de las derivaciones en p forma un espacio vectorial real. Ahora mostramos que cada derivaci´on Xp en p es un vector tangente en p en el sentido de la secci´ on 3.2.1. Para ver esto, probamos que si Xp es una derivaci´ on en p se puede escribir como ∂ , Xp = Xpi ∂xi p con respecto a una carta local (U, φ) tal que p ∈ U . Entonces consideramos la derivaci´ on ∂ Yp := Xp − Xpi , Xpi := Xp [xi ], i = 1, 2, ..., n, ∂xi p y vamos a demostrar que Yp = 0 es la derivaci´on trivial. Notamos primero que por contrucci´ on, Yp [xi ] = 0 para todo i = 1, 2, ..., n. Luego, usamos Lema 11 Sean ε > 0 y V = Bε (y) la bola abierta con radio  en Rn centrada en el punto y ∈ Rn , y sea f : V → R una funci´ on que es C ∞ –diferenciable. Entonces existen funciones h1 , h2 , ..., hn : V → R que son C ∞ –diferenciables tales que f (x) = f (y) + hi (x)(xi − y i ),

x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ V.

Demostraci´ on. Sea x ∈ V , entonces Z1 f (x) − f (y)

d f (y 1 + t(x1 − y 1 ), ..., y n + t(xn − y n ))dt dt

= 0

=

i

i

i

i

Z1

(x − y )

∂ f (y 1 + t(x1 − y 1 ), ..., y n + t(xn − y n ))dt ∂xi

0

≡ (x − y )hi (x), donde hemos definido las funciones C ∞ –diferenciables hi (x) :=

R1 0

∂ 1 ∂xi f (y

+

t(x1 − y 1 ), ..., y n + t(xn − y n ))dt, i = 1, 2, ..., n. Esto concluye la demostraci´on del lema.

CAP´ITULO 3. GEOMETR´IA DIFERENCIAL

94

Ahora sean f ∈ Dp , y := φ(p) ∈ Rn y F := f ◦ φ−1 : φ(U ) ⊂ Rn → R. De acuerdo al lema que acabamos de demostrar existe ε > 0 y funciones C ∞ – diferenciables h1 , ..., hn : Bε (y) → R tales que F (x) = F (y) + hi (x)(xi − y i ) para todo x ∈ Bε (y). Entonces f (q) = f (p) + hi (φ(q))(φ(q)i − φ(p)i ) para todo q ∈ U , y usando la linealidad y la regla de Leibnitz encontramos que Yp [f ] = Yp [F ◦ φ] = Yp [f (p)] + hi (φ(p))Yp [xi ] = 0, lo que queriamos demostrar.

Cap´ıtulo 4

El principio de equivalencia En el cap´ıtulo 2 describimos una teor´ıa escalar relativista de la gravitaci´on (una teor´ıa con esp´ın 0), y tambi´en consideramos la posibilidad de una teor´ıa vectorial (una teor´ıa con esp´ın 1) en el ejercicio 4. Como vimos, estas teor´ıas deben ser descartadas por razones experimentales o te´oricas. En este cap´ıtulo empezamos con la discusi´ on de la teor´ıa de relatividad general de Einstein. Como vamos a ver en el cap´ıtulo 7 esta teor´ıa se reduce a una teor´ıa relativista con esp´ın 2 en el l´ımite de campos d´ebiles. En los cap´ıtulos 6 y 7 analizaremos varios experimentos que confirman la relatividad general, por lo menos en el r´egimen de campos gravitacionales d´ebiles. Uno de los ingredientes m´ as importantes de la relatividad general es el principio de equivalencia. Este principio lleva de manera natural a la formulaci´on cinem´ atica de la teor´ıa y determina c´omo la materia se acopla a un campo gravitacional externo.

4.1.

La formulaci´ on f´ısica del principio de equivalencia

La relatividad general se basa en los dos postulados siguientes: la universalidad de la gravitaci´on el principio de equivalencia Universalidad de la gravitaci´ on (Galilei) El movimiento de un cuerpo de prueba en un campo gravitacional es independiente de su masa o composici´ on (despreciando las interacciones del esp´ın y del momento cuadrupolar de la part´ıcula con el campo gravitacional). Como vimos en la secci´ on 1.2, en la teor´ıa de Newton la universalidad de la gravitaci´ on es una consecuencia de la igualdad de la masa inercial con la masa 95

96

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

gravitacional. Esta igualdad se ha verificado de manera experimental hasta una precisi´ on relativa de 10−12 . El principio de equivalencia (Einstein) En un campo gravitacional arbitrario, ning´ un experimento local puede distinguir un sistema en ca´ıda libre no-rotante (un sistema inercial local) de un sistema en movimiento uniforme en la ausencia de un campo gravitacional. En otras palabras, siempre es posible hacer desaparecer el campo gravitacional al nivel local mediante una transformaci´on de coordenadas. Ejemplos de sistemas inerciales locales son un ascensor en ca´ıda libre no-rotante o una nave espacial en una ´ orbita terrestre. En ambos casos existe un campo gravitacional (el campo gravitacional terrestre), pero ni las personas que se encuentran dentro del ascensor ni los astronautas pueden medirlo con experimentos locales (en la secci´ on siguiente definimos de manera mas precisa lo que significa “local”). Por otro lado, un sistema en reposo sobre la superficie de la tierra no es un sistema inercial local; observadores en este sistema miden un campo gravitacional no trivial. Al pasar al sistema del ascensor es posible deshacerse del campo gravitacional al nivel local. Sin embargo, no es posible deshacerce del campo gravitacional al nivel global, porque la ´orbita de la nave espacial constituye una trayectoria cerrada. Ejemplo: Considere una part´ıcula Newtoniana en un campo gravitacional homog´eneo con aceleraci´on g: mi x ¨ = mg g. La universalidad implica que mi = mg , entonces la ecuaci´on de movimiento se reduce a x ¨ = g. Con respecto al sistema de referencia acelerado y = x − 21 gt2 tenemos que y¨ = 0. Entonces, en la teor´ıa Newtoniana, el principio de equivalencia es una consecuencia de la universalidad de la gravitaci´on. En general, esto no tiene que ocurrir como lo muestra el ejercicio que sigue. Ejercicio 12. Considere una part´ıcula de carga q y masa inercial m en un campo el´ectrico homog´eneo E = E(1, 0, 0) con dato inicial xµ (τ = 0) = 0,

(uµ (τ = 0)) = γ0 (c, 0, v0 , 0),

donde γ0 = (1 − v02 /c2 )−1/2 . (a) Use las ecuaciones relativistas de movimiento m

duµ q = F µν uν dτ c

para calcular el tiempo td necesario para que la part´ıcula se mueva de x = 0 a x = d.

´ MATEMATICA ´ 4.2. LA FORMULACION DEL PRINCIPIO

97

(b) Considere un mundo (ficticio) donde q/m es una constante universal para todas las part´ıculas. Use el resultado del inciso (a) para mostrar que en este mundo vale la universalidad pero no el principio de equivalencia.

4.2.

La formulaci´ on matem´ atica del principio de equivalencia

El modelo matem´ atico para el espacio-tiempo (el conjunto de todos los eventos) es una variedad cuadridimensional pseudo-Riemanniana (M, g), donde la m´etrica g posee la misma signatura que la m´etrica de Minkowksi η. En este caso, (M, g) se llama una variedad Lorentziana. La m´etrica describe: La estructura causal del espacio-tiempo: Los rayos de luz emitidos en un evento p ∈ M se propagan en el cono de luz futuro del punto p.1 El potencial gravitacional. Definici´ on 42 Un sistema inercial local (SIL) con respecto a un punto p ∈ M es un sistema de coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 definidas en una vecindad del punto p tal que (i) gµν (p) = ηµν . (ii)

∂gµν ∂xσ (p)

= 0.

En el cap´ıtulo previo mostramos que en cada punto p ∈ M existe un SIL. La existencia de SIL’s es la versi´ on matem´atica del principio de equivalencia, que dice que es posible deshacerse del campo gravitacional al nivel local. Entonces “local” se refiere al hecho de que en un evento p ∈ M dado, siempre es posible encontrar un sistema de referencia tal que las componentes de la m´etrica y sus primeras derivadas son ceros en este evento. En otras palabras, las componentes de la m´etrica en un SIL tienen la forma gµν (xσ ) = ηµν + O(xσ )2 , donde suponemos que el punto p est´a representado por xµ = 0. Los t´erminos cuadr´ aticos son relacionados con la curvatura del espacio-tiempo y no pueden ser eliminados. Ejercicio 13. Sean xσ coordenadas normales con respecto al punto p ∈ M . Demuestre que la m´etrica posee la expansi´on 1 gµν (xσ ) = ηµν − Rµσντ (p)xσ xτ + O(xσ )3 3 1 Asumimos que existe en cada punto p una distinci´ on entre el cono de luz futuro y el cono de luz pasado que depende de manera continua de p.

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

98

cerca del punto p, donde Rµσντ son las componentes del tensor de curvatura con respecto a las coordenadas xσ . Para encontrar las leyes de la f´ısica sobre (M, g) vamos a pedir lo siguiente: (i) Covarianza general. Nos acordamos de que en la relatividad especial existen sistemas de referencia preferidos (los sistemas inerciales) que son conectados a trav´es de las transformaciones de Poincar´e. Se requiere que las leyes de la f´ısica sean invariantes con respecto a estas transformaciones (covarianza de Lorentz). En la relatividad general no existen sistemas de referencia preferidos (excepto en casos particulares con simetr´ıas). Entonces, pedimos que las leyes de la f´ısica sean invariantes con respecto a cualquier transformaci´on de coordenadas. (ii) Principio de equivalencia. Las leyes de la f´ısica se reducen a las leyes correspondientes en relatividad especial en el origen de un sistema inercial local. (iii) Aparte de la m´etrica y de sus derivadas, las leyes de la f´ısica deben involucrar solamente cantidades que tambi´en estan presentes en la teor´ıa especial de relatividad. La propiedad (i) sugiere que las leyes de la f´ısica se deben describir por ecuaciones entre campos tensoriales2 sobre la variedad M . Entonces, una ecuaci´on de primer orden tendr´ıa la forma ∇T = J, donde ∇ es la derivada covariante asociada a la conexi´on de Levi-Civita, y T, J ∈ T (M ) son campos tensoriales. Con respecto a coordenadas locales (ver la ecuaci´ on (3.39)), ∂ ... T ... + Γ. .. T ... ... + ... − Γ. .. T ... ... = J ... ... , ∂xµ donde Γ. .. son los s´ımbolos de Christoffel asociados a ∇. En un sistema inercial local con respecto a un punto p ∈ M esta ecuaci´on evaluada en el punto p se reduce a (dado que Γ. .. (p) = 0) ∂ ... ... ∇µ T ... |p = T ... = J ... ... (p). ∂xµ p Entonces obtenemos la siguiente receta para acoplar la materia al campo gravitacional: Si en relatividad especial una ley f´ısica se describe a trav´es de una ecuaci´ on de primer orden de la forma ∂T = J, 2 Para

sistemas que involucran fermiones tambi´ en se necesitan campos espinoriales. Por falta de tiempo no consideramos espinores en estas notas.

4.3. LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA UNA PART´ICULA

99

donde T y J son tensores de Lorentz, entonces en relatividad general la misma ley se describe a trav´es de la ecuaci´ on ∇T = J, donde T y J son campos tensoriales sobre (M, g). Dado que los s´ımbolos de Christoffel dependen de la m´etrica y de sus primeras derivadas, obtenemos un acople de la materia al campo gravitacional. Ejemplo: Como vimos en la secci´on 1.3.3 las ecuaciones de Maxwell inhomog´eneas en su forma relativista son ∂ν F µν =

1 µ j , c

donde F µν describe el tensor electromagn´etico y j µ el cuadrivector de flujo el´ectrico. Entonces en relatividad general, las ecuaciones de Maxwell inhomog´eneas son 1 ∇ν F µν = j µ , c donde F µν son las componentes de un campo tensorial del tipo (2, 0) y donde j µ son las componentes de un campo vectorial sobre (M, g).

4.3.

Las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula de prueba en un campo gravitacional

Nos acordamos de que en la relatividad especial, la trayectoria de una part´ıcula libre se puede determinar a partir de los puntos cr´ıticos del funcional Ze2 S[x(λ)] =

p

−ηµν x˙ µ x˙ ν dλ,

x˙ µ ≡

dxµ , dλ

(4.1)

e1

donde x es una curva causal que conecta dos eventos e1 y e2 fijos. La generalizaci´ on obvia para la relatividad general es el funcional S[γ] =

Ze2 p

−g(γ, ˙ γ) ˙ dλ,

(4.2)

e1

donde γ es una curva causal que conecta dos eventos fijos e1 , e2 ∈ M del espacio-tiempo. Notamos que el funcional (4.2) es independiente de la elecci´on del par´ ametro λ. F´ısicamente3 , S/c representa el tiempo propio que necesita un observador para moverse de e1 a e2 a lo largo de la curva γ. Para calcular la 3 Para que S tenga las unidades de una acci´ on, podr´ıamos multiplicar (4.2) por mc2 donde m es la masa de la part´ıcula. Sin embargo, esta multiplicaci´ on no afecta las trayectorias cl´ asicas, y por lo tanto no es necesaria para nuestras consideraciones cl´ asicas.

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

100

variaci´ on de S consideramos una familia γµ = γ( . , µ) de curvas causales que conectan e1 y e2 . Podemos elegir el par´ametro λ de tal manera que la curva cr´ıtica γ0 satisfaga −g(γ, ˙ γ) ˙ = −c2 , es decir, λ es el tiempo propio para la curva cr´ıtica. Con esto obtenemos primero Ze2 1 d δg(γ, ˙ γ) ˙ dλ. = δS[γ] = − 0= S[γ] dµ 2c µ=0 e1

Para calcular δg(γ, ˙ γ) ˙ notamos primero que la variaci´on δ es igual al vector tangente a la curva µ 7→ γ(λ, µ) en el punto γ(λ, 0), y por lo tanto δ conmuta con γ. ˙ Usando la identidad de Ricci (3.60) encontramos que δg(γ, ˙ γ) ˙ = 2g(γ, ˙ ∇δ γ), ˙ donde ∇ es la conexi´ on de Levi-Civita asociada a g. Puesto que ∇ es libre de torsi´ on y que δ y γ˙ conmutan, ∇δ γ˙ = ∇γ˙ δ, y usando otra vez la identidad de Ricci obtenemos4 δg(γ, ˙ γ) ˙ = 2g(γ, ˙ ∇γ˙ δ) = 2γ˙ [g(γ, ˙ δ)] − 2g(∇γ˙ γ, ˙ δ) = 2

d g(γ, ˙ δ) − 2g(∇γ˙ γ, ˙ δ). dλ

Puesto que δ = 0 en los dos eventos fijos e1 y e2 , obtenemos 1 0 = δS[γ] = c

Ze2 g(∇γ˙ γ, ˙ δ)dλ. e1

4 Otra posibilidad para calcular δg(γ, ˙ γ) ˙ es usar una carta local, de tal manera que g(γ, ˙ γ) ˙ = gµν x˙ µ x˙ ν , y entonces

δg(γ, ˙ γ) ˙

= = = +

∂gµν α µ ν δx x˙ x˙ + 2gµν x˙ µ δ x˙ ν ∂xα » – ∂gµν α µ ν d ∂gµν α µ µ δx x ˙ x ˙ − 2 x ˙ x ˙ + g x ¨ δxν + 2 [gµν x˙ µ δxν ] µν ∂xα ∂xα dλ » – ff  1 ∂gµν ∂gαν ∂gµα µ α + − x ˙ x ˙ δxν −2 gµν x ¨µ + 2 ∂xα ∂xµ ∂xν d 2 [gµν x˙ µ δxν ] . dλ

Acord´ andonos de la expresi´ on (3.62) para los s´ımbolos de Christoffel, » – ∂gβν ∂gαβ 1 ∂gαν Γµ αβ = g µν + − , 2 ∂xβ ∂xα ∂xν y de la expresi´ on (3.26) para la derivada covariante, (∇γ˙ γ) ˙ µ=x ¨µ + Γµ αβ x˙ α x˙ β , obtenemos el mismo resultado δg(γ, ˙ γ) ˙ = −2g(∇γ˙ γ, ˙ δ) + 2

d g(γ, ˙ δ). dλ

4.3. LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA UNA PART´ICULA 101 Dado que esta ecuaci´ on se debe cumplir para todas las variaciones δ (tales que δe1 = δe2 = 0), concluimos que la curva cr´ıtica debe satisfacer ∇γ˙ γ˙ = 0.

(4.3)

Esta es la ecuaci´ on para una geod´esica con par´ametro af´ın λ. Concluimos que las ecuaciones de movimiento para una part´ıcula de prueba en ca´ıda libre en un campo gravitacional est´ an descritas por las geod´esicas causales del espaciotiempo M . Observaciones 1. Con respecto a coordenadas locales, (4.3) tiene la forma x ¨µ + Γµ αβ x˙ α x˙ β = 0,

(4.4)

donde Γµ αβ son los s´ımbolos de Christoffel correspondientes a la conexi´on de Levi-Civita, ver la ecuaci´ on (3.62). 2. Notamos que (4.3) satisface el principio de equivalencia; en un SIL con respecto a un punto p, Γµ αβ (p) = 0 y la ecuaci´on (4.4) se reduce a x ¨µ |p = 0, la ecuaci´ on para una part´ıcula libre en relatividad especial. 3. Tambi´en notamos que (4.3) satisface el principio de la universalidad de la gravitaci´ on. 2

4. La ecuaci´ on (4.4) generaliza la primera ley de Newton ddt2x = 0 para part´ıculas de prueba en un campo gravitacional. Sin embargo, hay que subrayar que la interpretaci´ on de −Γµ αβ x˙ α x˙ β como fuerza gravitacional por unidad de masa no tiene ning´ un sentido f´ısico puesto que este t´ermino se puede hacer cero en un SIL. Solamente la cuadrivelocidad u = γ˙ y la aceleraci´ on a = ∇γ˙ γ˙ poseen un sentido geom´etrico y f´ısico. 5. La ecuaci´ on (4.3) implica que d g(γ, ˙ γ) ˙ = γ˙ [g(γ, ˙ γ)] ˙ = 2g(γ, ˙ ∇γ˙ γ) ˙ = 0, dλ donde hemos usado la identidad de Ricci (3.60) en el tercer paso. Entonces, la norma de γ, ˙ g(γ, ˙ γ), ˙ es constante a lo largo de las trayectorias. En particular, una part´ıcula de prueba en ca´ıda libre con cuadrivelocidad inicial que es de tipo tiempo no puede adquirir una velocidad igual a o mayor que la velocidad de la luz. 6. Como vamos a justificar pronto, los rayos de luz est´an descritos por geod´esicas nulas, ∇γ˙ γ˙ = 0, g(γ, ˙ γ) ˙ = 0.

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

102

En este caso, la acci´on S definida en (4.2) ya no tiene sentido puesto que no es diferenciable para curvas nulas. Sin embargo, en este caso la ecuaci´on de la geod´esica se puede obtener al variar la acci´on modificada Ze2 g(γ, ˙ γ) ˙ dλ.

S0 [γ] =

(4.5)

e1

4.4.

El l´ımite Newtoniano

En la secci´ on previa vimos que las trayectorias de part´ıculas de prueba en ca´ıda libre son geod´esicas del espacio-tiempo (M, g). En esta secci´on vamos a demostrar que las geod´esicas satisfacen las ecuaciones de movimiento de Newton en el l´ımite de campos d´ebiles y cuasi-estacionarios y de velocidades peque˜ nas comparadas a la velocidad de la luz. M´as precisamente, suponemos que existen coordenadas locales en una regi´on U ⊂ M del espacio-tiempo tales que (i) La m´etrica es casi plana, es decir, |hµν |  1,

gµν = ηµν + hµν ,

donde (ηµν ) = diag(−1, 1, 1, 1) es la m´etrica de Minkowski. (ii)

1 c |∂t hµν |

 |∂i hµν |, i = 1, 2, 3.

(iii) La velocidad v := satisface |v|  c.

dx dt

de la part´ıcula con respecto a estas coordenadas

Sea xµ (τ ) la parametrizaci´on de una geod´esica con respecto a estas coordenadas, donde τ es el tiempo propio a lo largo de la trayectoria. Entonces x ¨µ + Γµ αβ x˙ α x˙ β = 0,

x˙ µ :=

dxµ . dτ

(4.6)

Despreciando t´erminos que son por lo menos cuadr´aticos en hµν y v/c, encontramos que 1 1 dxµ 1 dxν −1 = 2 gµν x˙ µ x˙ ν = gµν c c dt c dt



dt dτ

2

 = −(1 − h00 )

dt dτ

2

de tal manera que dt 1 = 1 + h00 , dτ 2

(x˙ j ) = v,

j = 1, 2, 3.

Por otro lado, los s´ımbolos de Christoffel en nuestra aproximaci´on son   1 ∂hαν ∂hβν ∂hαβ Γµ αβ = η µν + − . 2 ∂xβ ∂xα ∂xν

,

4.4. EL L´IMITE NEWTONIANO

103

Entonces las componentes espaciales de (4.6) dan d2 xk + Γk 00 c2 = 0, dt2

k = 1, 2, 3.

Usando la hip´ otesis (ii) encontramos que 1 1 ∂h00 Γk 00 = − η kj = − ∂ k h00 . 2 ∂xi 2 Concluimos que d2 x c2 = ∇h00 . dt2 2 Esto concuerda con la ley de Newton (1.3) si igualamos la masa inercial con la masa gravitacional, y si 2φ (4.7) h00 = − 2 , c donde φ es el potencial gravitacional Newtoniano. En otras palabras, recuperamos las ecuaciones de movimiento de Newton bajo las suposiciones (i),(ii) y (iii) si   2φ (4.8) g00 = − 1 + 2 , c 1 k ∂ φ, k = 1, 2, 3. (4.9) Γk 00 = c2 Estas ecuaciones motivan los nombres “potencial gravitacional” y “fuerza gravitacional” para gµν y Γµ αβ , respectivamente, aunque insistimos en que fuera del r´egimen de validez de la aproximaci´on Newtoniana los s´ımbolos de Christoffel no tienen ning´ un significado f´ısico. Ejercicio 14. Verifique la consistencia de la componente temporal de la ecuaci´ on (4.6). La suposici´ on (i) y la ecuaci´ on (4.7) implican que la aproximaci´on Newtoniana es v´ alida si |φ|  1. (4.10) c2 Como ejemplo, podemos considerar el valor de φ/c2 en la superficie de un objeto esfericamente sim´etrico de masa M y radio R, por lo cual φ = − GM R : |φ|/c2 10−9 10−6 10−4 10−1 1 10−39

en la superficie de la tierra del sol de una enana blanca de una estrella de neutrones en el horizonte de eventos de un agujero negro de un prot´ on

104

4.5.

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Las ecuaciones de Maxwell en un fondo curvo

Como vimos en la secci´on 1.3.3, la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell en relatividad especial es ∂σ Fµν + ∂µ Fνσ + ∂ν Fσµ = 0, 1 ∂ν F µν = j µ , c donde



0  E1 (Fµν ) = (−Fνµ ) =   E2 E3

−E1 0 −B3 B2

−E2 B3 0 −B1

(4.11) (4.12)

 −E3 −B2   B1  0

es el tensor electromagn´etico, F µν = η µσ η ντ Fστ , y donde (j µ ) = (cρc , j) es el cuadrivector de densidad de corriente el´ectrica. Puesto que F µν = −F νµ es antisim´etrico, las ecuaciones inhomog´eneas (4.12) implican la ecuaci´on de continuidad, ∂µ j µ = 0. (4.13) La ecuaci´ on de continuidad a su vez implica la conservaci´ on de la carga total, Z Z 1 Q(t) := j 0 (t, x) d3 x = ρc (t, x) d3 x. (4.14) c R3

R3

Asumiendo que Fµν dacae suficientemente r´apido para |x| → ∞, la ecuaci´on (4.13) y el teorema de Gauss implican que d Q(t) = 0. dt Ejercicio 15. Demuestre que la carga total, como est´a definida en (4.14), es independiente de la elecci´on del sistema inercial. Para obtener la generalizaci´on de las ecuaciones de Maxwell en un fondo curvo (M, g) dado, aplicamos el m´etodo descrito en la secci´on (4.2). Entonces elevamos Fµν a las componentes de un campo tensorial del tipo (0, 2) sobre M , j µ a las componentes de un campo vectorial sobre M , y reemplazamos las derivadas parciales por derivadas covariantes en (4.11,4.12). El resultado es ∇σ Fµν + ∇µ Fνσ + ∇ν Fσµ = 0, 1 ∇ν F µν = j µ , c

(4.15) (4.16)

donde F µν = g µσ g ντ Fστ . La forma libre de coordenadas de estas ecuaciones es X ∇X F (Y, Z) = 0, (4.17) (XY Z)

1 div F = − j , ce

(4.18)

4.5. LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN UN FONDO CURVO donde

P

105

denota la suma c´ıclica sobre X, Y y Z, donde div F se refiere a

(XY Z)

la contracci´ on de ∇F sobre las primeras dos entradas, y donde j := g(j, ·) es el e campo de covectores correspondiente a j. Ahora el campo electromagn´etico est´a acoplado al campo gravitacional puesto que la m´etrica aparece en la relaci´on entre Fµν y F µν y en los s´ımbolos de Christoffel asociados a ∇. Sin embargo, un an´alisis m´as detallado revela que la ecuaci´ on (4.15) no depende de g, puesto que X X ∇σ Fµν = (∂σ Fµν − Γτ σµ Fτ ν − Γτ σν Fµτ ) (σµν)

(σµν)

=

X

(∂σ Fµν − Γτ σµ Fτ ν − Γτ µσ Fντ )

(σµν)

=

X

∂σ Fµν ,

(4.19)

(σµν)

donde hemos usado la simetr´ıa de los s´ımbolos de Christoffel, Γτ µσ = Γτ σµ y la antisimetr´ıa de Fτ ν = −Fντ en el u ´ltimo paso. Entonces la ecuaci´on (4.15) se reduce a la ecuaci´ on (4.11) en cualquier sistema de coordenadas. ¿Qu´e pasa con las ecuaciones inhomog´eneas (4.16)? ¿Dependen de la m´etrica? ¿Y cu´ al es la generalizaci´ on correcta de la ecuaci´on de continuidad (4.13)? Para contestar a estas preguntas vamos a usar el siguiente Lema 12 Sean n ∈ N y ε > 0. Sea A : (−ε, ε) → GL(n, R) un mapeo diferenciable del intervalo abierto (ε, ε) en las transformaciones lineales e invertibles sobre Rn . Entonces   d −1 d log | det(A(t))| = tr A(t) A(t) dt dt para todo |t| < ε. Demostraci´ on. Sea s ∈ (−ε, ε). Defina B(t) := A(s)−1 A(t), |t| < ε. Puesto que B(s) = 11 tenemos que X d d det(B(t)) = σ(π)B1π(1) (t)B2π(2) (t) · · · Bnπ(n) (t) dt dt t=s π∈S(n) t=s n X X d = σ(π)B1π(1) (s) · · · Bjπ(j) (t) · · · Bnπ(n) (s) dt t=s j=1 π∈S(n) n X d d Bjj (t) tr(B(t)) = = . dt dt t=s t=s j=1 Entonces,   d d d log | det(A(t))| = det(B(t)) = tr A(t)−1 A(t) . dt dt dt t=s t=s t=s

106

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Ahora veamos las ecuaciones de Maxwell inhomog´eneas (4.16). Tenemos ∇ν F µν = ∂ν F µν + Γµ νσ F σν + Γν νσ F µσ . El segundo t´ermino a la derecha de la ecuaci´on es cero puesto que Γµ νσ = Γµ σν es sim´etrico en νσ mientras que F νσ = −F σν es antisim´etrico. Para el tercer t´ermino notamos que   1 νµ ∂gνµ ∂gσµ ∂gνσ ν Γ νσ = + − g 2 ∂xσ ∂xν ∂xµ 1 νµ ∂gνµ = g 2 ∂xσ 1 ∂ = log |g| 2 ∂xσ 1 ∂ p = p |g|, (4.20) ∂x |g| σ donde hemos definido |g| := | det(gµν )| y usado el resultado del Lema 12. Entonces obtenemos p  1 ∇ν F µν = p ∂ν |g|F µν , |g| y podemos reescribir las ecuaciones inhomog´eneas (4.16) en la forma ∂ν

p

 1p |g|F µν = |g| j µ . c

(4.21)

Aplicando el operador ∂µ a ambos lados de la ecuaci´on y usando la antisimetr´ıa de F µν , obtenemos la ecuaci´on de continuidad p  0 = ∂µ |g| j µ . (4.22) Usando otra vez el resultado del Lema 12 podemos reescribir esto de forma covariante, ∇µ j µ = 0, (4.23) o div j = 0,

(4.24)

y obtenemos la generalizaci´on de (4.13) que esperamos del principio de equivalencia. Para fuentes localizadas sobre una regi´on del espacio-tiempo de la forma [t1 , t2 ] × S, la ecuaci´ on (4.24) implica la conservaci´on de la carga total Z 1 Q := αj t , c S

4.5. LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN UN FONDO CURVO

107

ver el segundo ejemplo al final de la secci´on 3.4.3. Ejercicio 16. Muestre que las ecuaciones de Maxwell (4.15,4.16) son invariantes bajo transformaciones conformes gµν 7→ e2φ gµν , j µ 7→ e−4φ j µ , Fµν 7→ Fµν . ¿Qu´e implicaciones tiene este resultado para la propagaci´on de la luz en un espacio conformemente plano, como en las teor´ıas escalares de la gravitaci´on?

4.5.1.

La descripci´ on a trav´ es de potenciales

Las ecuaciones de Maxwell homog´eneas (4.15) implican la existencia local5 de un potencial Aµ tal que Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .

(4.25)

Notamos que la simetr´ıa de Γα µν = Γα νµ en µν implica que esta ecuaci´on tambi´en se puede escribir como Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ , lo que muestra que (4.25) es independiente de las coordenadas locales si es que Aµ son las componentes de un campo de covectores sobre M . En cambio, F µν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ 6= ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ en general. Introduciendo (4.25) en las ecuaciones de Maxwell inhomog´eneas (4.16) obtenemos 1 (4.26) −∇ν ∇ν Aµ + ∇ν ∇µ Aν = j µ . c El primer t´ermino a la izquierda de la ecuaci´on tiene la forma de un operador de onda que act´ ua sobre Aµ = g µν Aν . Para eliminar el segundo t´ermino, conmutamos los operadores covariantes ∇ν y ∇µ y imponemos la norma de Lorentz covariante ∇ν Aν = 0. (4.27) Para conmutar los operadores covariantes, partimos de la definici´on 38 del tensor de curvatura, R(∂µ , ∂ν )A = (∇µ ∇ν − ∇ν ∇µ )A,

A = Aα ∂α ,

o, ¯ α βµν = (∇µ ∇ν − ∇ν ∇µ )Aα . R Contrayendo sobre α = ν obtenemos −Ricβµ Aβ = ∇µ ∇ν Aν − ∇ν ∇µ Aν = −∇ν ∇µ Aν , 5 Ver

el lema de Poincar´ e, por ejemplo en la referencia [10].

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

108

donde usamos la definici´on 39 del tensor de Ricci y la norma de Lorentz covariante (4.27). Ahora, la ecuaci´on (4.26) implica 1 µ j , ∇ν Aν = 0. (4.28) c Esto describe un sistema acoplado de ecuaciones de onda, sujeto a una constricci´ on. −∇ν ∇ν Aµ + Ricµ ν Aν =

Ejercicio 17. (a) Demuestre que siempre es posible satisfacer la norma de Lorentz, por lo menos localmente. Es decir, dado un campo de covectores A ∈ X ∗ (M) y un evento p ∈ M , existe una funci´on χ ∈ F(U ) definida sobre una vecindad U de p tal que A¯ := A + dχ satisface ∇ν A¯ν = 0 sobre U . (b) Verifique que el sistema de ecuaciones de onda para A implica la siguiente ecuaci´ on para la divergencia de A, C := ∇ν Aν , 1 ∇µ j µ . c Esta ecuaci´ on muestra que la norma de Lorentz covariante es consistente con el sistema de ecuaciones de onda para A siempre y cuando se cumpla la ecuaci´ on de continuidad (4.23). −∇µ ∇µ C =

Observaci´ on: En relatividad especial, la ecuaci´on (4.26) se reduce a 1 µ j , c donde usamos el hecho de que las derivadas parciales conmutan. Si aplicamos la receta descrita en la secci´on (4.2) para acoplar el campo gravitacional al campo electromagn´etico y reemplazamos las derivadas parciales por derivadas covariantes a esta ecuaci´on, obtenemos en vez de la ecuaci´on (4.26) la ecuaci´on −∂ν ∂ ν Aµ + ∂ µ ∂ν Aν =

1 µ j . (4.29) c La diferencia entre las ecuaciones (4.29) y (4.26) consiste justamente en el conmutador (∇µ ∇ν − ∇ν ∇µ )Aν = −Rµ ν Aν . −∇ν ∇ν Aµ + ∇µ ∇ν Aν =

Este ejemplo muestra que la transici´on de la relatividad especial a la relatividad general involucra ambig¨ uedades inevitables cuando las ecuaciones de campo contienen derivadas del orden dos o mayor. Estas ambig¨ uedades son similares a las que aparecen en la transici´on de la mec´anica cl´asica a la mec´anica cu´antica, y tienen que ver con la no-conmutatividad de las derivadas covariantes. En nuestro ejemplo, podemos descartar la ecuaci´on (4.29) observando que no es invariante bajo las transformaciones de norma A 7→ A + dχ. Con respecto a dicha transformaci´ on, − ∇ ν ∇ ν Aµ + ∇ µ ∇ ν Aν

7→

−∇ν ∇ν Aµ + ∇µ ∇ν Aν − ∇ν ∇ν ∇µ χ + ∇µ ∇ν ∇ν χ

=

−∇ν ∇ν Aµ + ∇µ ∇ν Aν − Rµ ν ∇ν χ,

´ 4.6. EL L´IMITE GEOMETRICO EN UN FONDO CURVO

109

mientras que la ecuaci´ on (4.26) es, por supuesto, invariante bajo las transformaciones de norma.

4.6.

El l´ımite geom´ etrico en un fondo curvo

En esta secci´ on vamos a analizar el l´ımite geom´etrico de las ecuaciones de Maxwell, y demostrar que en este l´ımite los rayos de luz se pueden describir por geod´esicas nulas. Para esto, nos acordamos primero de la electrodin´amica en relatividad especial. En la ausencia de una campo gravitacional y de las fuentes electromagn´eticas, las ecuaciones de Maxwell son equivalentes a ∂ν ∂ ν Aµ = 0,

∂ν Aν = 0.

(4.30)

Soluciones particulares son las ondas planas Aµ (x) = aµ eik·x ,

(4.31)

donde (aµ ) ∈ R4 es el vector de amplitud y (k µ ) = (c−1 ω, k) ∈ R4 el vector de onda, y donde k · x = kµ xµ = −ωt + k · x. Las ecuaciones (4.30) implican que k es un vector nulo y que a es ortogonal a k, de tal manera que |ω| = |k|, c

ω a0 + k · a = 0. c

Ejercicio 18. Muestre que es posible aplicar una transformaci´on de norma que preserva la norma de Lorentz de tal manera que a0 = 0. El campo electromagn´etico correspondiente a (4.31) es Fµν (x) = i(kµ aν − kν aµ )eik·x . Si a0 = 0 el campo el´ectrico Ej = Fj0 y el campo magn´etico Bj = εjkl F kl /2 son dados por E(x)

=

B(x)

=

ω ik·x ae , c i(k ∧ a)eik·x , i

donde a · k = 0 y |ω| = |k|c. La parte real de estas ecuaciones describen un rayo de luz monocrom´ atico con polarizaci´on lineal. Est´a parametrizado por su frecuencia ω, su vector de onda k y su vector de amplitud a. En la presencia de un campo gravitacional vimos que se deben reemplazar las ecuaciones (4.30) por −∇ν ∇ν Aµ + Ricµ ν Aν =

1 µ j , c

∇ν Aν = 0,

(4.32)

y en general no se esperan soluciones de la forma (4.31), puesto que los coeficientes en las ecuaciones (4.32) ya no son constantes. Sin embargo, los rayos

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

110

de luz se pueden describir en el l´ımite geom´etrico si el campo gravitacional var´ıa poco sobre distancias comparables a la longitud de onda. Para definir el l´ımite geom´etrico, consideramos una onda electromagn´etica monocrom´atica con polarizaci´ on lineal, y consideramos las siguientes cantidades: λ: la longitud de onda t´ıpica, L: una longitud t´ıpica sobre la cual la amplitud, la polarizaci´on y la longitud de onda var´ıan de manera significativa, R: El radio de curvatura de la geometr´ıa. Por ejemplo, este radio se puede definir como R := |una componente t´ıpica del tensor de curvatura en un SIL|

−1/2

.

Entonces el l´ımite geom´etrico consiste de las suposiciones λ  L,

λ  R.

(4.33)

y del siguiente ansatz para la soluci´on de (4.32): ˜

A=a ˜ eiψ , donde a ˜ ∈ X ∗ (M ) es una amplitud que var´ıa poco sobre distancias del orden L o R y donde ψ˜ ∈ F(M ) es una fase oscilatoria. Definiendo ε :=

λ  1, m´ın{L, R}

podemos expander a ˜ = a + εb + O(ε2 ), ˜ donde a, b ∈ X ∗ (M ). Dado que ψ(x) = k · x y k ' λ−1 en relatividad especial, ˜ conviene definir ψ := εψ, de tal manera que nuestro ansatz tenga la forma   −1 A = a + εb + O(ε2 ) eiε ψ . (4.34) Para lo que sigue, suponemos que el campo vectorial a ˜ correspondiente a a = g(˜ a, ·) es de tipo espacio y definimos ˜ k := ∇ψ ∗ 1/2

|a| := g(˜ a, a ˜ )

>0

(vector de onda), (amplitud escalar),

f := a ˜/|a|

(vector de polarizaci´on),

θ := div k

(expansi´on).

Con esto, encontramos las siguientes expansiones en coordenadas locales,   −1 i ∇ ν Aµ = kν aµ + (ikν bµ + ∇ν aµ ) + O(ε) eiε ψ , ε   −1 1 1 ∇ν ∇ν Aµ = − 2 k ν kν aµ + (−k ν kν bµ + 2i∇k aµ + iθaµ ) + O(ε0 ) eiε ψ . ε ε

´ 4.7. CAMPOS ESTACIONARIOS Y ESTATICOS

111

Al orden dominante cuando ε → 0 obtenemos las condiciones g(k, k) = 0,

g(k, a ˜) = 0.

Entonces el vector de onda es un vector nulo, y el vector de amplitud es ortogonal a k, exactamente como en relatividad especial con la diferencia que ahora los t´erminos nulo y ortogonal se refieren a la m´etrica g del espacio curvo. Mientras k 6= 0 los conjuntos {ψ = const.} de fase constante (las frente de ondas) definen superficies nulas. Adem´ as, dado que k = ∇ψ, tenemos e ∇ν (k µ kµ ) = 2k µ ∇ν ∇µ ψ = 2k µ ∇µ ∇ν ψ = 2k µ ∇µ kν = 2∇k kν , donde usamos el hecho de que la torsi´on de ∇ es cero en el segundo paso. Puesto que k µ kµ = g(k, k) = 0, aprendemos que las curvas integrales a k (los rayos de luz) son geod´esicas nulas. Dado que k es nulo, es a la vez ortogonal y tangente a las superficies {ψ = const.} y cada una de las geod´esicas generadas por k est´ a dentro de una de estas superficies. Al siguiente orden en ε obtenemos 2∇k a ˜ + θ˜ a = 0,

ig(k, ˜b) + div a ˜ = 0.

En t´erminos de la amplitud escalar y del vector de polarizaci´on la primera ecuaci´ on es equivalente a θ ∇k |a| = − |a|, 2

∇k f = 0.

(4.35)

En particular, el vector de polarizaci´on es autoparalelo a lo largo de las geod´esicas generadas por k. Entonces es suficiente conocer los valores de la amplitud escalar |a| y del vector de polarizaci´on f en un punto p de la geod´esica nula, los valores en los otros puntos se obtienen al resolver las ecuaciones (4.35). Si fp es ortogonal a kp y es unitario, el transporte paralelo de f garantiza que las condiciones g(k, f ) = 0 y g(f, f ∗ ) = 1 se satisfacen sobre todos los puntos de la geod´esica dado que la conexi´ on es m´etrica. La primera ecuaci´ on en (4.35 tambi´en se puede escribir como la ley de conservaci´ on div J = 0, J := |a|2 k. (4.36) Al nivel de la mec´ anica cu´ antica, J describe la corriente de fotones en los rayos de luz generados por k. La cantidad conservada correspondiente se refiere al n´ umero de fotones. Por supuesto, la ley de conservaci´on (4.36) solamente es v´ alida en el l´ımite geom´etrico sobre un fondo curvo fijo; en general los fotones pueden interactuar con el campo gravitacional.

4.7.

Campos estacionarios y est´ aticos

En esta secci´ on queremos definir lo que son los espacio-tiempos estacionarios y est´ aticos. Intuitivamente, un espacio-tiempo estacionario es una variedad

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

112

Lorentziana (M, g) donde la m´etrica g “no depende del tiempo”. Dado que en relatividad general no existe un tiempo absoluto, tenemos que definir con m´as precisi´ on lo que queremos decir por “no depende del tiempo”. Una posibilidad es pedir que existan coordenadas locales x0 = ct, x1 , x2 , x3 tales que ∂t gµν = 0,

(4.37)

es decir, las componentes de la m´etrica no dependen del tiempo en estas coordenadas particulares. Sin embargo, esta definici´on no satisface el principio de covarianza general y est´a restringida a una carta local. Para dar una definici´on geom´etrica de un espacio-tiempo estacionario, partimos de la siguiente observaci´on. Si definimos el campo vectorial k := ∂t en una carta local donde vale la ecuaci´on (4.37), entonces en estas coordenadas particulares, tenemos (£k g)µν = k σ ∂σ gµν + (∂µ k σ )gσν + (∂ν k σ )gµσ = 0, donde usamos la f´ ormula general (3.75) para las componentes de la derivada de Lie y el hecho de que (k σ ) = (1, 0, 0, 0) es constante. Entonces en esta carta local, la ecuaci´ on (4.37) es equivalente a £k g = 0.

(4.38)

Pero a diferencia de la ecuaci´on (4.37), la ecuaci´on (4.38) es independiente de las coordenadas locales. Definici´ on 43 Un campo vectorial k ∈ X (M ) que satisface la ecuaci´ on (4.38) se llama un campo vectorial de Killing. Ahora podemos dar una definici´on geom´etrica de un espacio-tiempo estacionario. Definici´ on 44 Un espacio-tiempo (M, g) se llama estacionario si existe un campo vectorial de Killing k que es de tipo tiempo, es decir existe k ∈ X (M ) tal que £k g = 0, g(k, k) < 0. Observaciones 1. Sea k un campo vectorial de Killing y sea ϕt el flujo correspondiente a k. Entonces la ecuaci´on (4.38) es equivalente a (ϕt )∗ g = g, ver la observaci´ on debajo de la definici´on 37. En este sentido, la m´etrica es invariante bajo el flujo de k. 2. Dado un campo vectorial de Killing k y un evento p ∈ M , siempre es posible encontrar coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 en una vecindad de p tales que k = ∂0 como demostramos al final de la secci´on 3.5.4. En estas coordenadas, tenemos 0 = £k gµν = ∂0 gµν , y recuperamos la ecuaci´on (4.37).

´ 4.7. CAMPOS ESTACIONARIOS Y ESTATICOS

113

3. Es posible que una variedad Lorentziana (M, g) posee un campo vectorial de Killing k que es de tipo tiempo en una regi´on, pero nulo o tipo espacio en otra regi´ on del espacio-tiempo. De hecho, vamos a ver que esto ocurre en la soluci´ on de Schwarzschild. En este caso, decimos que la m´etrica es estacionaria en la regi´ on donde k es tipo tiempo. 4. De acuerdo a la f´ ormula (3.78), un campo vectorial de Killing k satisface (∇k )(X, Y ) + (∇k )(Y, X) = 0 (4.39) e e para todo X, Y ∈ X (M ), donde k := g(k, ·) es el campo de covector e correspondiente a k. La ecuaci´on (4.39) se llama ecuaci´ on de Killing. Es equivalente a pedir que ∇k sea antisim´etrico. Su forma en coordenadas e locales es ∇µ kν + ∇ν kµ = 0.

(4.40)

De acuerdo al teorema de Noether, a cada simetr´ıa del sistema le corresponde una cantidad conservada. A continuaci´on mencionamos dos resultados importantes donde la presencia de un vector de Killing en el espacio-tiempo da lugar a cantidades conservadas: Lema 13 Sea (M, g) un espacio-tiempo con campo vectorial de Killing k, y sea d γ. γ una geod´esica en (M, g) con par´ ametro af´ın λ y campo de velocidad u = dλ Entonces vale u[g(u, k)] = 0, (4.41) es decir, el producto escalar g(u, k) se conserva a lo largo de γ. Demostraci´ on. Usando la ecuaci´on de Killing (4.39) y la ecuaci´on geod´esica ∇u u = 0 encontramos que6 u[g(u, k)] = u[k (u)] = (∇u k )(u) + k (∇u u) = (∇k )(u, u) = 0. e e e e

Lema 14 Sea (M, g) un espacio-tiempo con campo vectorial de Killing k, y sea T ∈ T 2 0 (M ) un tensor de energ´ıa-impulso, es decir, un campo tensorial del tipo (2, 0) sim´etrico que satisface div T = 0. Entonces la corriente j := −T (k , ·) es e conservada, es decir, div j = 0. (4.42) Demostraci´ on. Sea p ∈ M y sean x0 , x1 , x2 , x3 coordenadas locales en una vecindad de p. Entonces div j = ∇ν j ν = −∇ν (T µν kµ ) = −(∇ν T µν )kµ − T µν ∇ν kµ = 0, 6 En coordenadas locales, u[g(u, k)] = uβ ∇ (uα k ) = (uβ ∇ uα )k + uβ uα ∇ k α α β β β α = 0, puesto que uβ ∇β uα = ∇u uα = 0 y que ∇β kα es antisim´ etrico en αβ.

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

114

dado que ∇ν T µν = 0, y que T µν es sim´etrico en µν mientras que ∇ν kµ es antisim´etrico en µν de acuerdo a la ecuaci´on de Killing (4.40). Los espacio-tiempos est´aticos son casos particulares de los espacio-tiempos estacionarios. En estos casos, el espacio-tiempo se puede dividir (por lo menos localmente) de manera natural en un“tiempo” y un“espacio”. Definici´ on 45 Un espacio-tiempo (M, g) se llama est´ atico si existe un campo vectorial de Killing k ∈ X (M ) que es de tipo tiempo y que satisface la condici´ on X k ⊗ ∇k (X, Y, Z) = 0, (4.43) e e (XY Z) P para todos X, Y, Z ∈ X (M ), donde denota la suma c´ıclica sobre (X, Y, Z). (XY Z)

En coordenadas locales, la condici´ on (4.43) es X kσ ∇µ kν = 0.

(4.44)

(σµν)

De acuerdo a un teorema general de Frobenius (ver, por ejemplo, [9]) la condici´ on (4.43) implica la existencia local de subvariedades tridimensional espaciales que son ortogonales a k. En vez de usar el teorema de Frobenius, vamos a demostrar directamente: Lema 15 Un espacio-tiempo (M, g) es est´ atico con respecto al campo vectorial de Killing k si y s´ olo si existen en la vecindad de cada evento p ∈ M coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 tales que k = ∂0 y tales que g = −N (x)dx0 ⊗ dx0 + gij (x)dxi ⊗ dxj ,

x = (xi ) = (x1 , x2 , x3 ),

(4.45)

donde N (x) > 0 y gij (x) es definido positivo. Entonces las componentes de la m´etrica tienen la siguiente forma:   0 −N (x) , (gµν (x)) =  x = (xi ) = (x1 , x2 , x3 ). (4.46) 0 gij (x) Demostraci´ on. Supongamos primero que en una carta local (U, Φ), k = ∂0 y que la m´etrica tiene la forma (4.45). Entonces k es un campo vectorial de Killing sobre U y g(k, k) = −N < 0 sobre U . Adem´as, k = −N dx0 , de tal manera que e X 1 X 1 X kσ (∇µ kν − ∇ν kµ ) = kσ (∂µ kν − ∂ν kµ ) = 0. k σ ∇µ k ν = 2 2 (σµν)

(σµν)

(σµν)

Por otro lado, si k ∈ X (M ) es un campo vectorial de Killing de tipo tiempo que satisface la condici´on (4.43). Entonces dada una carta local (U, Φ) tenemos 0

= kσ ∇µ kν + kµ ∇ν kσ + kν ∇σ kµ 1 1 = −kσ ∇ν kµ + kµ ∇ν kσ − kµ ∇σ kν + kν ∇σ kµ , 2 2

´ 4.7. CAMPOS ESTACIONARIOS Y ESTATICOS

115

donde usamos la ecuaci´ on de Killing (4.40) en el segundo paso. Contrayendo con k µ encontramos que 0

= =

1 [kσ ∇ν N − N (∇ν kσ − ∇σ kν ) − kν ∇σ N ] , 2      N2 kν kσ ∇σ − ∇ν , 2 N N

(4.47)

donde definimos N := −g(k, k) = −k µ kµ > 0. Entonces el campo de covectores uν := kν /N satisface la ecuaci´ on 0 = ∇σ uν − ∇ν uσ = ∂σ uν − ∂ν uσ . Esto implica la existencia local7 de una funci´on f ∈ F(U ) tal que uσ = ∂σ f . Con esta funci´ on podemos escribir k de la forma kσ = N ∂σ f,

N = −g(k, k) = −k µ kµ > 0.

(4.48)

Notamos que −k σ ∂σ f = −N −1 k σ kσ = 1. Ahora definimos las superficies Σx0 := {p ∈ U : −f (p) = x0 },

x0 ∈ R.

(4.49)

De acuerdo a la ecuaci´ on (4.48) estas superficies son regulares y ortogonales a k. Por lo tanto, son superficies espaciales. Ahora podemos construir coordenadas Lagrangianas (x0 , x1 , x2 , x3 ) adaptadas a las superficies Σx0 como describimos al final de la secci´ on 3.5.4, de tal manera que k = ∂0 . Con respecto a estas coordenadas tenemos k = g00 dx0 + g0i dxi , i = 1, 2, 3. e Por otro lado, la ecuaci´ on (4.48) implica que k = N df = −N dx0 , de tal manera e k = ∂ es un vector de Killing, que g00 = −N y g0i = 0. Finalmente, dado que 0 las componentes de la m´etrica no dependen de x0 . Entonces la m´etrica tiene la forma (4.45) en U . Observaciones 1. Las superficies Σx0 de tiempo constante definidas en (4.49) con la m´etrica inducida son mutualmente isom´etricas puesto que (ϕt )∗ g = g, donde ϕt denota el flujo de k. 2. Para un espacio-tiempo estacionario podemos definir un observador en reposo como un observador que se mueve a lo largo de una curva integral del campo vectorial de Killing de tipo tiempo k. Vamos a ver en la secci´ on 4.9 que en general, un observador en reposo puede adquirir una rotaci´ on si el espacio-tiempo es estacionario pero no est´atico. 3. Si el espacio-tiempo es est´ atico, entonces existe una distinci´on natural entre el espacio y el tiempo, dado por el sistema de coordenadas del Lema 15. 7 Ver

el lema de Poincar´ e, por ejemplo en la referencia [10].

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

116

4.7.1.

El principio de Fermat para campos est´ aticos

Como aplicaci´ on vamos a derivar el principio de Fermat para los rayos de luz en un espacio-tiempo est´atico. Como vimos en las secciones 4.3 y 4.6 los rayos de luz en el l´ımite geom´etrico se pueden describir a trav´es del funcional Ze2 g(γ, ˙ γ)dλ, ˙

S0 [γ] = e1

con la constricci´ on g(γ, ˙ γ) ˙ = 0. De acuerdo a los c´alculos que hicimos en la secci´ on 4.3 la variaci´ on de S0 da Ze2 δS0 [γ] =

δg(γ, ˙ γ)dλ ˙ =2

e g(γ, ˙ δ)|e21

Ze2 −2

g(∇γ˙ γ, ˙ δ)dλ e1

e1

Si la variaci´ on es cero en e1 y e2 , obtenemos δS0 [γ] = 0 de acuerdo a la ecuaci´on de la geod´esica ∇γ˙ γ˙ = 0, pero aqu´ı vamos a considerar variaciones m´as generales que no fijan los eventos e1 y e2 . En este caso, la variaci´on de S0 alrededor de un rayo de luz γ da e (4.50) δS0 [γ] = 2 g(γ, ˙ δ)|e21 . En lo que sigue, vamos a usar el resultado del Lema 15 para introducir coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 adaptadas a la estaticidad en una vecindad U de M , tales que U = I × Σ y g = −N (x)dx0 ⊗ dx0 + gij (x)dxi ⊗ dxj ,

(x0 , x) ∈ I × Σ,

donde N (x) y gij (x) son definidos positivos. Vamos a suponer que e1 , e2 y la geod´esica nula que conecta e1 y e2 se encuentra dentro de la regi´on U . Consideramos variaciones del funcional S0 que consisten de curvas que satisfacen δxi e1 ,e2 = 0. De acuerdo al resultado del Lema 13 el producto escalar g(γ, ˙ k), k = ∂0 , es constante a lo largo del rayo de luz. Podemos normalizar el par´ametro af´ın λ de tal manera que g(γ, ˙ k) = 1. Con esto, la ecuaci´on (4.50) implica que e2 e2 δS0 [γ] = 2 g(γ, ˙ δx k) e1 = 2 δx0 e1 = 2δ 0

Ze2

x˙ 0 dλ.

e1

En particular, si consideramos curvas nulas que satisfacen δxi e ,e = 0, enton1 2 ces S0 = 0 a lo largo de la variaci´on y 0 = g(γ, ˙ γ) ˙ = −N (x)(x˙ 0 )2 + gij (x)x˙ i x˙ j de tal manera que x˙ 0 =

q

hij (x)x˙ i x˙ j ,

hij (x) :=

1 gij (x), N (x)

(4.51)

4.8. EL CORRIMIENTO AL ROJO

117

Entonces obtenemos el principio variacional Zp2 0=δ p1

1 dt = δ c

Zp2 q

hij (x)x˙ i x˙ j dλ,

(4.52)

p1

con la m´etrica efectiva hij (x) := N (x)−1 gij (x), donde p1 y p2 denotan la proyecci´ on de e1 y e2 sobre Σ. Esta ecuaci´ on describe el principio de Fermat: La trayectoria seguida por la luz al propagarse de un punto p1 a otro p2 del espacio es tal que el tiempo empleado en recorrerla es m´ınimo. p La comparaci´on con el principio de Fermat en la ´ optica revela que el factor 1/ N (x) juega el papel de un ´ındice de refracci´on en la geometr´ıa Riemanniana (Σ, gij dxi ⊗ dxj ). La ecuaci´on (4.52) tambi´en implica que los rayos de luz en una m´etrica est´atica son geod´esicas en el espacio Riemanniano (Σ, hij dxi ⊗ dxj ).

4.8.

El corrimiento al rojo

Consideramos las trayectorias de dos observadores γ1 y γ2 en el espaciotiempo. Uno de los observadores, γ1 , el transmisor, emite una onda electromagn´etica en un evento e1 que ser´ a recibida por γ2 , el receptor, en el evento e2 . Preguntamos cu´ al es la relaci´ on entre la frecuencia emitida por el transmisor y la frecuencia recibida por γ2 . Para calcular esta relaci´ on, vamos a suponer la validez del l´ımite geom´etrico de tal manera que podemos describir la onda electromagn´etica a trav´es del potencial −1 A=a ˜ eiε ψ , donde a ˜ ∈ X ∗ (M ) es el covector de amplitud y ψ ∈ F(M ) es la fase. Como ˜ de ψ es un vector nulo hab´ıamos visto en la secci´ on 4.6, el gradiente k = ∇ψ que satisface ∇k k = 0, es decir, las curvas integrales a k son geod´esicas nulas. Adem´ as, k es tangente a las superficies ψ = const. de fase constante. Sean ψj (τj ) = ψ(γj (τj )), j = 1, 2, las fases sobre las curvas γ1 y γ2 en funci´on de los tiempos propios τj respectivos. Definimos la frecuencia emitida y recibida a trav´es de 1 d νj := ψj (τj ), j = 1, 2. 2πε dτj Usando la definici´ on 13 de la diferencial y de k encontramos que 2πενj = dψ(uj )|γj (τj ) = k (uj ) γ (τ ) = g(k, uj )|γj (τj ) , j = 1, 2, j j e donde uj := γ˙ j se refiere a la cuadrivelocidad de γj . Entonces encontramos la siguiente f´ ormula general para la raz´on entre ν1 y ν2 : g(k, u1 )|e1 ν1 = . ν2 g(k, u2 )|e2

(4.53)

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

118

Como vamos a ilustrar en los ejemplos que siguen, esta f´ormula representa los efectos combinados del efecto Doppler (un efecto puramente cinem´atico) y el corrimiento al rojo gravitacional. Ejemplos: 1. Sea (M, g) = (R4 , η) el espacio-tiempo de Minkowski. Entonces las geod´esicas nulas son rectas y en este caso k es un vector constante. Supongamos que el receptor se encuentra en reposo, u2 = ∂t , y que el transmisor se mueve a una velocidad v constante con respecto al transmisor, u1 = γ(∂t + v · ∇), donde β := v/c, γ := (1 − |β|2 )−1/2 . Con la parameˆ = 1, la f´ormula (4.53) implica que trizaci´ on k = ωc (∂0 + kˆ · ∇), donde |k|   ν1 = γ 1 − β · kˆ . (4.54) ν2 Esta es la f´ ormula para el efecto Doppler en relatividad especial. En particular, si β y kˆ apuntan en la misma direcci´on (es decir, el transmisor se mueve hacia el receptor), entonces s ν1 1−β 1−β = , =p 2 ν2 1+β 1−β donde β := |β| = |v|/c. Si β  1, ν1 /ν2 ≈ 1 − |v|/c se reduce a la f´ormula no-relativista del efecto Doppler. 2. Sea (M, g) un espacio estacionario con campo vectorial de Killing tipo tiempo T . Supongamos que tanto el transmisor como el receptor son observadores en reposo, de tal manera que su cuadrivelocidad es u = cN −1/2 T con N := −g(T, T ) > 0. Entonces g(k, u) = cN −1/2 g(k, T ). Pero dado que ∇k k = 0, el resultado del Lema 13 implica que el producto escalar g(k, T ) es constante a lo largo de los rayos de luz. Entonces la f´ormula (4.53) implica s ν1 N (e2 ) . (4.55) = ν2 N (e1 ) Esta f´ ormula muestra que dos observadores en reposo perciben frecuencias distintas si el factor N = −g(k, k) es diferente en e1 y e2 . Si el campo gravitacional es d´ebil en el sentido que existen coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 tales que k = ∂0 y |gµν − ηµν |  1, entonces estamos en el regimen de validez del l´ımite Newtoniano, y la ecuaci´on (4.8) implica que N = −g00 = 1 + 2φ/c2 con el potencial gravitacional Newtoniano φ. En este caso podemos reescribir la ecuaci´on (4.55) como 1 ν1 ≈ 1 + 2 [φ(e2 ) − φ(e1 )] , ν2 c o en t´erminos del factor z de corrimiento al rojo, z :=

ν2 − ν1 1 ≈ 2 [φ(e1 ) − φ(e2 )] . ν1 c

(4.56)

4.9. SISTEMAS DE REFERENCIA NO-ROTANTES

119

Para el campo gravitacional terrestre, φ(x) = gx, de tal manera que un foton que se mueve en la direcci´on x de x1 a x2 = x1 + H percibe un cambio relativo de frecuencias dado por z = −gH/c2 . Si H > 0, entonces ν2 < ν1 y el foton pierde energ´ıa en este proceso, es decir, su frecuencia se recorre hacia el rojo.

Ejercicio 19. Considere un proceso donde una part´ıcula de masa m inicialmente en reposo cae en el campo gravitacional Newtoniano φ(x) = gx de x = H a x = 0. En x = 0 convertimos toda la energ´ıa de la part´ıcula en un foton que se mueve en la direcci´ on −x hasta llegar a x = H. En x = H convertimos toda la energ´ıa del foton en un part´ıcula en reposo y seguimos el proceso de esta manera. Demuestre que para conservar la energ´ıa en este proceso, el foton debe percibir un corrimiento hacia el rojo dado por z = −gH/c2 . Ejercicio 20. Considere dos observadores que se mueven a lo largo de las ∂ en la m´etrica8 curvas integrales al campo vectorial ∂t
g = −c2 dt2 + a(t)2 dx2 + dy 2 + dz 2 , donde a : (0, ∞) → (0, ∞) es una funci´on C ∞ -diferenciable. Demuestre que el factor de corrimiento al rojo entre los dos observadores tiene la forma z=

a(t1 ) − 1. a(t2 )

(4.57)

Calcule la relaci´ on entre t1 y t2 .

4.9.

Sistemas de referencia no-rotantes

En esta secci´ on consideramos la trayectoria tipo tiempo γ(τ ) de un observador, parametrizado por su tiempo propio τ , de tal manera que u = γ˙ es la cuadrivelocidad, es decir, u es el vector tangente tal que g(u, u) = −c2 . Definimos la aceleraci´ on a := ∇u u. Usando la identidad de Ricci (3.60) encontramos g(a, u) = g(∇u u, u) =

1 1 u[g(u, u)] = u[−c2 ] = 0, 2 2

y concluimos que la aceleraci´ on es ortogonal a u. Preguntamos si se puede definir en cada punto p ∈ γ una base ortonormal e0 , e1 , e2 , e3 preferida de Tp M . Es muy natural elegir e0 = u/c, de tal manera que e0 sea alineada con el vector tangente a γ. Sin embargo, queda la pregunta de c´ omo elegir los tres vectores espaciales e1 , e2 , e3 . Si γ fuera una geod´esica, a = ∇u u = 0, podr´ıamos elegir tres vectores tangentes e1 , e2 , e3 mutualemente 8 Como

vamos a ver en el cap´ıtulo 8 esta m´ etrica describe nuestro universo a grandes escalas.

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

120

ortonormales y ortogonal a up en un punto p ∈ γ dado y transportalos de manera paralela a todos los otros puntos de la curva. Dado que la conexi´on ∇ de Levi-Civita preserva los productos escalares, esto definir´ıa una base ortonormal e0 , e1 , e2 , e3 en cada punto de la curva. Para generalizar esta construcci´on a trayectorias que no necesariamente se encuentran en ca´ıda libre, nos basamos en la siguiente definici´on. Definici´ on 46 Sea (M, g) un espacio-tiempo, y sea u ∈ X (M ) un campo vectorial tal que g(u, u) = −c2 . Entonces definimos para cada X ∈ X (M ) la derivada de Fermi de X con respecto a u por IFu X := ∇u X + c−2 g(u, X)a − c−2 g(a, X)u,

(4.58)

donde a := ∇u u. La derivada de Fermi satisface las siguientes propiedades: (i) IFu u = 0. (ii) IFu = ∇u si a = 0. (iii) Si X es ortogonal a u, entonces IFu X es la componente de ∇u X ortogonal a u. (iv) u[g(X, Y )] = g(IFu X, Y ) + g(X, IFu Y ) para todo X, Y ∈ X (M ). (v) IFu (f X + Y ) = f IFu X + u[f ]X + IFu Y para todo X, Y ∈ X (M ) y todo f ∈ F(M ). De la misma forma que el transporte paralelo podemos definir el transporte de Fermi de un vector X a lo largo de la curva γ a trav´es de IFu X = 0.

(4.59)

Si γ es una geod´esica, el transporte de Fermi coincide con el transporte paralelo. En general, la propiedad (iv) del transporte de Fermi implica que si IFu X = IFu Y = 0, entonces el producto escalar g(X, Y ) es constante a lo largo de γ. El transporte de Fermi permite definir un sistema de referencia no-rotante: Definici´ on 47 Sea γ(τ ) una curva tipo tiempo en un espacio-tiempo (M, g), parametrizada por su tiempo propio τ . Un sistema de referencia no-rotante a lo largo de γ es una base ortonormal e0 , e1 , e2 , e3 en cada punto p ∈ γ tal que e0 = u/c y IFu ei = 0, i = 1, 2, 3, donde u = γ. ˙ Observaciones: 1. Un sistema de referencia no-rotante a lo largo de una curva tipo tiempo γ es u ´nico salvo una rotaci´on global de e1 , e2 , e3 .

4.9. SISTEMAS DE REFERENCIA NO-ROTANTES

121

2. Un trompo (o una part´ıcula con esp´ın) se puede describir por un campo vectorial S a lo largo de γ que satisface IFu S = 0,

g(S, u) = 0.

(4.60)

En el origen de un sistema inercial local tal que u = ∂t estas ecuaciones d S = 0 de tal manera que se satisface el principio de equise reducen a dt valencia. Con respecto a un sistema de referencia no-rotante, S = S i ei donde u[S i ] = 0, es decir, las componentes de S con respecto al sistema de referencia no-rotante son constantes. A continuaci´ on, consideramos toda una familia de observadores, descrita por las curvas integrales a un campo u de cuadrivelocidades, es decir u ∈ X (M ) es tal que g(u, u) = −c2 . Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial que es transversal a u e invariante bajo el flujo de u, es decir, £u X = 0. Entonces definimos el campo de desviaci´ on Y ∈ X (M ) correspondiente a X por su proyecci´on ortogonal a u, es decir, Y := X + c−2 g(u, X)u. (4.61) El campo Y mide la distancia infinitesimal entre dos trayectorias vecinas. Usando las f´ ormulas £u u = [u, u] = 0 y u[g(u, X)]

= g(∇u u, X) + g(u, ∇u X) g(a, X) + g(u, ∇X u + £u X) 1 = g(a, X) + X[g(u, u)] 2 = g(a, X) =

=

g(a, Y )

donde usamos la simetr´ıa de ∇ en el segundo paso para obtener £u X = [u, X] = ∇u X − ∇X u, encontramos que el campo de desviaci´on Y satisface la ecuaci´on diferencial £u Y = c−2 g(a, Y )u. (4.62) Ahora vamos a reescribir esta ecuaci´on en t´erminos de un sistema de referencia no-rotante e0 , e1 , e2 , e3 con respecto a uno de los observadores que se mueve sobre una curva integral a u. Dado que Y es ortogonal a u podemos expander Y = Y i ei , i = 1, 2, 3. Por otro lado, usando la definici´on (4.58) de la derivada de Fermi y la simetr´ıa de ∇ encontramos que u[Y i ]ei = IFu Y = ∇u Y − c−2 g(a, Y )u = ∇u Y − [u, Y ] = ∇Y u = Y j ∇ej u. Puesto que g(u, ∇ej u) = 21 ej [g(u, u)] = 0 podemos expander ∇ej u = B i j e i ,

(4.63)

y obtenemos la siguiente ecuaci´ on para las componentes de Y , u[Y i ] = (Σi j + Ωi j )Y j ,

(4.64)

122

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

donde descompusimos Bij = g(ei , ∇ej u) = Σij + Ωij en su parte sim´etrica, Σij := B(ij) y su parte antisim´etrica, Ωij := B[ij] . Notamos que para dos campos de desviaci´ on Y y Z tenemos u[g(Y, Z)] = u[δij Y i Z j ] = (Σi j + Ωi j )Y j Zi + Yj (Σj i + Ωj i )Z i = 2Σij Y i Z j ; por esta raz´ on Σ se llama el tensor de deformaci´ on, mientras que Ω se llama el tensor de rotaci´ on porque genera rotaciones infinitesimales con respecto al transporte de Fermi.

4.9.1.

La diferencia f´ısica entre espacio-tiempos est´ aticos y estacionarios

Ahora consideramos el caso particular de observadores en reposo en un espacio-tiempo (M, g) con campo vectorial de Killing de tipo tiempo k. En este caso, u = cN −1/2 k donde N = −g(k, k), y Bij = g(ei , ∇ej u) = −g(∇ej ei , u) = −cN −1/2 k (∇ej ei ) = cN −1/2 (∇ej k )(ei ). e e De acuerdo a la ecuaci´on de Killing (4.39) la parte derecha es antisim´etrica, de tal manera que Σij

=

0,

−cN −1/2 (∇k )(ei , ej ). e Entonces para observadores estacionarios en un espacio-tiempo estacionario, el tensor de deformaci´ on es cero, lo que implica que el producto escalar entre dos vectores de desviaci´ on es constante a lo largo de sus trayectorias. Sin embargo, los vectores de desviaci´on pueden girar en el sistema de referencia no-rotante si el espacio-tiempo es estacionario pero no est´atico: Ωij

=

Lema 16 Sea (M, g) un espacio-tiempo estacionario con campo vectorial de Killing de tipo tiempo k. Entonces Ωij = 0 para todos los observadores en reposo si y s´ olo si (M, g) es est´ atico con respecto a k. Demostraci´ on. De acuerdo a la ecuaci´on (4.43) el espacio-tiempo es est´atico con respecto a k si y s´olo si el tensor totalmente antisim´etrico X ω(X, Y, Z) := k ⊗ ∇k (X, Y, Z), X, Y, Z ∈ X (M ), e e (XY Z) es cero. Sus componentes con respecto a la base no-rotante e0 , e1 , e2 , e3 son X ωkij = k (ek )(∇k )(ei , ej ) = 0, e e (kij) ω0ij

=

N k (e0 )(∇k )(ei , ej ) = Ωij , c e e

4.9. SISTEMAS DE REFERENCIA NO-ROTANTES

123

donde usamos el hecho de que k (e0 ) = g(k, e0 ) = N 1/2 g(e0 , e0 ) = −N 1/2 y e k (ej ) = 0, j = 1, 2, 3. e El resultado del Lema 16 nos lleva a la siguiente conclusi´on: Sea (M, g) un espacio-tiempo estacionario. En un sistema de referencia no-rotante, los vectores de desviaci´ on correspondientes a los observadores en reposo son constantes si y s´ olo si el espacio-tiempo es est´ atico. En otras palabras, si el espacio-tiempo es estacionario pero no est´ atico existen vectores de desviaci´on que adquieren una rotaci´ on con respecto al sistema no-rotante. Esta rotaci´on proviene del espaciotiempo mismo. Ejercicio 21. Sea (M, g) un espacio-tiempo que es estacionario con respecto al campo vectorial de Killing k. Demuestre que (M, g) es est´atico si y s´olo si todos los trompos que se mueven a lo largo de un observador en reposo son invariantes bajo el flujo de k, es decir, si y s´ olo si dichos trompos satisfacen £k S = 0. Instrucciones: (a) Sea X ∈ X (M ) un campo vectorial que es ortogonal a k. Demuestre que £k X tambi´en es ortogonal a k. (b) Derive la f´ ormula 1 £k ej = − N 1/2 Ωi j ei c para un sistema no-rotante e0 , e1 , e2 , e3 a lo largo de un observador en reposo. (c) Usando el resultado del inciso (b), demuestre que un trompo S que se mueve a lo largo de un observador en reposo satisface 1 £k S = − N 1/2 Ωi j S j ei , c

S = S j ej .

(4.65)

124

CAP´ITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Cap´ıtulo 5

Las ecuaciones de Einstein En el cap´ıtulo anterior analizamos la parte cinem´atica de la teor´ıa general de la relatividad, es decir, examinamos los efectos de un espacio-tiempo dado (M, g) sobre los sistemas f´ısicos. En particular, vimos de que manera el campo gravitacional afecta la trayectoria de part´ıculas libres y el campo electromagn´etico, incluyendo la propagaci´ on de la luz. En el l´ımite Newtoniano, la ecuaci´on de las geod´esicas que describe la trayectoria de part´ıculas en ca´ıda libre se reduce a la ecuaci´ on de movimiento Newtoniana para una part´ıcula en un potencial gravitacional Newtoniano. En este cap´ıtulo abordamos la pregunta de c´omo determinar la variedad M y la m´etrica g. Como vamos a ver, las famosas ecuaciones de campo de Einstein relacionan el campo gravitacional g con los campos materiales. En el l´ımite Newtoniano, las ecuaciones de Einstein se reducen a la ecuaci´on de Poisson para el potencial gravitacional Newtoniano.

5.1.

La interpretaci´ on f´ısica de la curvatura

Antes de discutir las ecuaciones de Einstein, queremos preguntarnos c´omo medir el campo gravitacional en un espacio-tiempo (M, g) dado. Esta pregunta no es totalmente trivial, porque como vimos en el cap´ıtulo anterior, dado un evento p ∈ M , siempre se pueden encontrar coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 en una vecindad de p (un sistema inercial local) de tal manera que gµν (p) ∂σ gµν (p)

= ηµν ,

(5.1)

=

(5.2)

0.

Entonces en tal sistema de coordenadas se necesitan medir por lo menos las desviaciones cuadr´ aticas del evento p para detectar si existe o no un campo gravitacional, es decir, si la m´etrica es realmente distinta a la m´etrica de Minkowksi ηµν . Como vamos a ver pronto, estas desviaciones cuadr´aticas est´an relacionadas con la desviaci´ on geod´esica. Pero antes de analizar la desviaci´on geod´esica, queremos reforzar el resultado (5.1,5.2) y demostrar que existe un sistema de 125

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

126

coordenadas locales en una vecindad de una trayectoria en ca´ıda libre de tal manera que las ecuaciones (5.1,5.2) valgan para todos los puntos de la trayectoria. Esto es la justificaci´on matem´atica para la existencia del “ascensor de Einstein”. De manera un poco m´as general, consideramos la trayectoria γ(τ ) de un observador tipo tiempo, parametrizada por su tiempo propio τ . Sea e0 , e1 , e2 , e3 un sistema de referencia no-rotante a lo largo de γ, ver la definici´on 47. En particular, e0 = u/c y IFu ej = 0, j = 1, 2, 3, donde u := γ/c ˙ es la cuadrivelocidad del observador. Entonces construimos un sistema de coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 adaptado al sistema de referencia no-rotante de la siguiente manera: Sea τ fijo, y sea n ∈ Tγ(τ ) M un vector unitario ortogonal a u, g(n, n) = 1, g(u, n) = 0. Podemos expander n = nj ej con respecto al sistema de referencia no-rotante. Sea α(s; n, τ ) := expγ(τ ) (sn) la geod´esica a trav´es de γ(τ ) con direcci´on inicial n, parametrizada por su longitud de arco s. En una vecindad U de γ cada punto se encuentra sobre exactamente una de estas geod´esicas. Es decir, para cada q ∈ U existe exactamente un triple (τ, s, n) tal que q = α(s; n, τ ). Entonces asociamos a q las coordenadas x0 (q) j

x (q)

:= cτ,

(5.3)

j

:= sn ,

j = 1, 2, 3.

(5.4)

Por construcci´ on, estas coordenadas satisfacen ∂ , α = 0, 1, 2, 3, (eα )p = ∂xα p para todo evento p ∈ γ sobre la curva γ. Como consecuencia, tenemos gαβ (p) = gp (eα , eβ ) = ηαβ , para todo p ∈ γ. Adem´as, usando 0 = IFu eα = ∇u eα +c−1 g(e0 , eα )a−c−1 g(a, eα )e0 y ∂ (∇u eα )µ |p = eα µ |p + uσ Γµ σν eα ν |p = cΓµ 0α (p) ∂τ para p ∈ γ encontramos tambi´en Γ0 00 (p) = 0, Γ0 0j (p) =

Γk 00 (p) =

1 aj |p , c2

1 k a p, c2

Γk 0j (p) = 0,

para todo p ∈ γ. Finalmente, porque para cada τ y n fijos, α(s; n, τ ) es una geod´esica con par´ ametro af´ın s, parametrizada por las coordenadas (xµ (s)) = j (cτ, sn ) tenemos  2 µ  d x dxα dxβ µ 0= + Γ αβ , = Γµ ij (p)ni nj , ds2 ds ds p

´ F´ISICA DE LA CURVATURA 5.1. LA INTERPRETACION

127

y entonces Γµ ij (p) = 0 para todo p ∈ γ. Usando la f´ormula ∂σ gαβ (p)

= ∇σ gαβ (p) + Γµ σα (p)gµβ (p) + Γµ σβ (p)gαµ (p) = ηαµ Γµ σβ (p) + ηβµ Γµ σα (p),

encontramos que todas las derivadas parciales de primer orden de gαβ son cero sobre γ con la excepci´ on de ∂k g00 (p) = −2c−2 ak (p). Concluimos que en las coordenadas locales (5.3,5.4) la cuadrivelocidad es u=

∂ ∂ = c 0, ∂τ ∂x

y la m´etrica tiene la siguiente forma simple   2 k g = − 1 + 2 ak (τ )x dx0 ⊗ dx0 + δij dxi ⊗ dxj + O(|x|2 )αβ dxα ⊗ dxβ , (5.5) c x = (x1 , x2 , x3 ), en la vecindad U de la curva γ. Para todos los puntos p ∈ U sobre la curva γ, las componentes de la m´etrica son iguales a las componentes de la m´etrica de Minkowksi. A primer orden en la desviaci´on x de la curva, la u ´nica perturbaci´ on que el observador puede medir es la aceleraci´on de s´ı mismo. Si γ es una geod´esica, entonces a = 0 y se satisfacen las ecuaciones (5.1,5.2) para todos los puntos p ∈ γ de la curva. Para que un observador pueda medir el campo gravitacional, tiene que medir las desviaciones cuadr´ aticas entre dos trayectorias vecinas. Como en la secci´ on 4.9 consideramos una familia de observadores descrita por su campo de cuadrivelocidades u ∈ X (M ), normalizado de tal manera que g(u, u) = −c2 . Sea Y ∈ X (M ) un campo de desviaci´on. De acuerdo a la ecuaci´on (4.62) Y satisface £u Y = c−2 g(a, Y )u, (5.6) donde a = ∇u u es el campo de aceleraci´on. En t´erminos de la derivada de Fermi, ver la ecuaci´ on (4.58), esta ecuaci´ on y la simetr´ıa de ∇ implican que IFu Y = ∇u Y − c−2 g(a, Y )u = ∇u Y − [u, Y ] = ∇Y u. Aplicando el operador IFu a ambos lados de esta ecuaci´on y usando la definici´ on 38 de la curvatura, obtenemos IFu IFu Y

=

∇u ∇Y u + c−2 g(u, ∇Y u)a − c−2 g(a, ∇Y u)u

=

∇u ∇Y u − ∇Y (∇u u − a) − ∇[u,Y ]−c−2 g(a,Y )u u − c−2 g(a, ∇Y u)u

=

R(u, Y )u + ∇Y a + c−2 g(∇Y a, u)u + c−2 g(a, Y )a,

donde hemos usado la ecuaci´ on (5.6) y g(u, ∇Y u) = Y [g(u, u)]/2 = 0 en el segundo paso y la ecuaci´ on 0 = Y [g(a, u)] = g(∇Y a, u) + g(a, ∇Y u) en el tercer paso. Denotando por Z⊥ := Z + c−2 g(u, Z)u la parte del vector Z ortogonal a u concluimos que un vector de desviaci´on Y satisface la ecuaci´on IFu2 Y = R(u, Y )u + (∇Y a)⊥ + c−2 g(a, Y )a.

(5.7)

128

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

En particular para geod´esicas, a = 0 y la ecuaci´on (5.7) se reduce a la ecuaci´ on de desviaci´ on geod´ esica ∇2u Y = R(u, Y )u.

(5.8)

Con respecto a un sistema de referencia no-rotante e0 = u/c, e1 , e2 , e3 podemos expander Y = Y i ei , y dado que ∇u ei = IFu ei = 0, i = 1, 2, 3, tenemos ∇u Y = u[Y i ]ei , ∇2u Y = u2 [Y i ]ei , de tal manera que la ecuaci´on (5.8) tambi´en se puede escribir como d2 i Y = c2 Ri 00j Y j . (5.9) dτ 2 Esto constituye un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden para las tres componentes (Y 1 , Y 2 , Y 3 ) del vector de desviaci´on Y . El vector Y mide la distancia infinitesimal entre dos trayectorias vecinas en ca´ıda libre. La aceleraci´on de esta distancia est´a directamente relacionada con el tensor de curvatura. En particular, si el tensor de curvatura es cero, entonces el vector de desviaci´ on Y depende linealmente de τ como es el caso para la distancia que separa dos rectas en el plano Euclideano. Para lo que sigue resulta ser instructivo comparar la ecuaci´on (5.9) con la desviaci´ on entre trayectorias x(t) en la teor´ıa Newtoniana que se mueven bajo la influencia de un potencial gravitacional φ: x ¨i = −(∂ i φ)(x). Tomando la variaci´ on a ambos lados de esta ecuaci´on obtenemos Y¨ i = −(∂ i ∂j φ)(x)Y j ,

(5.10)

donde Y i = δxi denota la variaci´on entre las trayectorias. Comparando esta ecuaci´ on con la ecuaci´on (5.9) de desviaci´on geod´esica, descubrimos la correspondencia Ri 0j0 ↔ c−2 ∂ i ∂j φ (5.11) entre el caso relativista y el caso Newtoniano. En particular, la traza de (5.11) da R00 ↔ c−2 ∆φ. (5.12) Al nivel f´ısico la parte derecha de la ecuaci´on (5.8) representa la fuerza de marea por unidad de masa inducida por el campo gravitacional. A diferencia de la “fuerza gravitacional por unidad de masa” que no tiene ning´ un sentido f´ısico en general, la fuerza de marea tiene un sentido covariante independiente del observador, puesto que corresponde a contracciones de vectores con el tensor de curvatura. En particular, mientras que la “fuerza gravitacional” puede ser transformada a cero a lo largo de una trayector´ıa en ca´ıda libre dada, las fuerzas de mareas no pueden ser transformadas a cero. Concluimos que el campo gravitacional g del espacio-tiempo (M, g) se puede medir a trav´es de la fuerza de marea entre dos part´ıculas de prueba en ca´ıda libre. De esta manera, se mide la m´etrica g a trav´es de su curvatura.

5.2. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN EN VAC´IO

129

Observaci´ on: Como vimos en la secci´on 4.3, las trayectorias de part´ıculas en ca´ıda libre se obtienen de la primera variaci´on del funcional

S[γ] =

Ze2 p

−g(γ, ˙ γ) ˙ dλ,

(5.13)

e1

para curvas γ de tipo tiempo que conectan el evento e1 al evento e2 . (Recordamos que S[γ]/c mide el tiempo propio de e1 a e2 a lo largo de la curva γ.) La ecuaci´ on de desviaci´ on geod´esica (5.8) se puede obtener de la segunda variaci´on del funcional S[γ], ver por ejemplo [11]. La segunda variaci´on de S[γ] juega un papel importante en los teoremas de singularidad. Ejercicio 22. Sea (U, Φ) una carta local del espacio-tiempo donde vale el l´ımite Newtoniano. Usando la expresi´ on (4.8), demuestre que en U vale la siguiente expresi´ on para el tensor de curvatura: Ri 0j0 = ∂ i ∂j

5.2.



φ c2

 .

Las ecuaciones de Einstein en vac´ıo

Postulamos un principio variacional para el campo m´etrico g que es de la siguiente forma: Z S[g] := f [g], (5.14) K

donde K ⊂ M es un subconjunto compacto del espacio-tiempo M , y donde f [g] ∈ F(M ) es una funci´ on C ∞ -diferenciable sobre M que depende de g. Tenemos el siguiente resultado para la variaci´on de S: Lema 17 La variaci´ on del funcional S[g] definido en (5.14) es  Z  1 −1 δS[g] = δf [g] + f Tr(g δg) , 2

(5.15)

K

donde Tr(g −1 δg) := C[g −1 ⊗ δg] = g µν δgµν . Demostraci´ on. Podemos suponer que K ⊂ U est´a enteramente contenido en una carta local (U, φ); de otra manera usamos una partici´on de la unidad.

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

130

Entonces en las coordenadas locales correspondientes, Z q δS[g] = δ f | det(gµν )|d4 x K

q Z  1 = δf + f g µν δgµν | det(gµν )|d4 x 2 K  Z  1 −1 = δf + f Tr(g δg) , 2 K

donde usamos el resultado del Lema 12 en el segundo paso. Ahora nos preguntamos como elegir la funci´on f . Queremos que f dependa algebraicamente de gµν y de sus derivadas parciales. No puede depender nada m´ as de gµν y de sus derivadas parciales de primer orden, porque si no f ser´ıa constante. Efectivamente, en el origen de un sistema inercial local tal funci´on solamente depender´ıa de ηµν . Entonces para obtener una acci´on no-trivial necesitamos que f dependa de gµν y de sus primeras derivadas parciales de primer y de segundo orden. La funci´on m´as simple que cumple con estos requisitos es el escalar de Ricci, R = Tr(g −1 Ric). Esto nos lleva a la acci´ on de EinsteinHilbert, Z c3 SEH [g] := R[g], (5.16) 16πGN K 3

donde el factor c /(16πGN ) con c la velocidad de la luz y GN la constante de Newton se introduce para que SEH tenga las dimensiones de una acci´on. Vamos a calcular la variaci´ on de SEH con la suposici´on que δg y sus derivadas covariantes de primer orden, ∇δg, son cero en la frontera ∂K. Para esto necesitamos calcular la variaci´ on del escalar de Ricci, R[g]. Introduciendo coordenadas locales x0 , x1 , x2 , x3 observamos primero δR[g] = δ(g µν Rµν ) = g µν δRµν + δ(g µν )Rµν .

(5.17)

Para calcular el segundo t´ermino notamos que la variaci´on de g µν gνβ = δ µ β da δ(g µν )gνβ + g µν δgνβ = 0, de tal manera que δ(g µν ) = −g µα g νβ δgαβ .

(5.18)

Para calcular el primer t´ermino en (5.17) calculamos las variaciones de las formulas (3.62) y (3.83) y obtenemos δΓα µν =

1 αβ g (∇µ δgνβ + ∇ν δgµβ − ∇β δgµν ) 2

(5.19)

5.2. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN EN VAC´IO

131

y δRµν = ∇α δΓα µν − ∇ν δΓα αµ .

(5.20)

Usando todo esto en la ecuaci´ on (5.17) obtenemos δR[g] = −Rµν δgµν + div W,

(5.21)

donde W ∈ X (M ) es el campo vectorial con componentes W µ := (g µν ∇α − g αν ∇µ )δgαν . Introduciendo este resultado en la f´ormula del Lema 17, aplicando el teorema de Gauss en su forma covariante y usando el hecho de que W |∂K = 0, obtenemos Z c3 Tr(Gδg), (5.22) δSEH [g] = − 16πGN K

donde G ∈ T

2

0 (M )

es el tensor de Einstein definido por 1 Gµν := Rµν − g µν R. 2

(5.23)

Entonces concluimos que los puntos estacionarios de la acci´on de EinsteinHilbert corresponden a las ecuaciones de campo de Einstein en el vac´ıo, Gµν = 0.

(5.24)

Observaciones 1. Si no se asume que ∇δg = 0 en la frontera ∂K, la variaci´on de SEH [g] da t´erminos adicionales en la frontera que deben ser cancelados modificando la acci´ on de Einstein-Hilbert (ver el ap´endice E.1 en la referencia [2]). 2. Las ecuaciones Gµν = 0 son equivalentes a Rµν = 0, puesto que la traza del tensor de Einstein, G := g µν Gµν = −R es cero si y s´olo si R = 0. 3. Las ecuaciones (5.24) constituyen un sistema nolineal acoplado de diez ecuaciones con derivadas parciales para las componentes del tensor m´etrico gµν . Entonces no es sorprendente que se conozcan solamente pocas soluciones exactas con relevancia f´ısica. La soluci´ on m´ as simple es la m´etrica de Minkowski, gµν = ηµν para la cu´ al todas las componentes del tensor de curvatura son cero. De hecho, cualquier transformaci´ on de coordenadas, gµν =

∂xα ∂xβ ηαβ ∂y µ ∂y ν

tambi´en satisface las ecuaciones de Einstein, dado que Gµν son las componentes de un campo tensorial, pero esta nueva soluci´on solamente representa la m´etrica de Minkowski en una carta de coordenadas y 0 , y 1 , y 2 , y 3 curvilineas. Una soluci´ on no-trivial de las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo se derivar´ a en el pr´ oximo cap´ıtulo.

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

132

4. La acci´ on (5.16) es invariante bajo difeomorfismos ϕ : M → M que dejan K invariante, SEH [ϕ∗ g] = SEH [g]. En particular, si X ∈ X (M ) es un campo vectorial C ∞ -diferenciable que es identicamente cero fuera de K, y si ϕλ es el flujo correspondiente, entonces la familia de m´etricas g(λ) := (ϕλ )∗ g satisface SEH [g(λ)] = SEH [g]. para todo |λ| suficientemente peque˜ no. Tomando la variaci´on a ambos lados de esta ecuaci´on y usando (5.22) obtenemos 0=

Z c3 d SEH [g(λ)] =− Tr(Gδg), dλ 16πGN λ=0 K

donde δg =

d λ ∗ = £X g, (ϕ ) g dλ λ=0

donde tomamos en cuenta la definici´on (3.71) de la derivada de Lie. Por otro lado, usando la ecuaci´on de Killing (3.79), tenemos Tr(Gδg) = 2Gµν ∇µ Xν = 2∇µ (Gµν Xν ) − 2(∇µ Gµν )Xν , y entonces usando el teorema de Gauss en su forma covariante y el hecho de que X|∂K = 0 llegamos a Z 0=

g(div G, X) K

para todo X ∈ X (M ) identicamente cero fuera de K, lo que implica que div G = 0.

(5.25)

Estas son las identidades de Bianchi contraidas (3.99). Entonces dichas identidades son una consecuencia directa de la invarianza de la acci´on de Einstein-Hilbert bajo difeomorfismos. Ejercicio 23. ¯ libres de (a) Sea (M, g) una variedad Lorentziana con dos conexiones, ∇ y ∇ torsi´ on pero no necesariamente compatibles con la m´etrica g. Demuestre ¯ X Y , X, Y ∈ X (M ) define un campo tensorial del que C(X, Y ) := ∇X Y − ∇ tipo (1, 2) sobre M . Calcule sus componentes en t´erminos de los s´ımbolos ¯ de Christoffel asociados a ∇ y ∇.

5.3. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN CON MATERIA

133

¯ est´an relacio(b) Demuestre que los tensores de curvatura asociados a ∇ y ∇ nados entre ellos a trav´es de ¯ α βµν + 2∇ ¯ [µ C α ν]β + 2C α σ[µ C σ ν]β , Rα βµν = R donde los par´entesis B[µν] := (Bµν − Bνµ )/2 denotan la antisimetrizaci´on en µν. (c) Considere la acci´ on de Einstein-Hilbert c3 S[g, ∇] = 16πG

Z

Tr(g −1 Ric[∇]),

K

donde la m´etrica g y la conexi´on ∇ se toman como campos independientes, y donde Ric[∇] es el tensor de Ricci asociado a la conexi´on ∇. Suponiendo que g y ∇ son ceros en la frontera ∂K, obtenga las ecuaciones que describen los puntos estacionarios de S y demuestre que son equivalentes a las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo (5.24).

5.3.

Las ecuaciones de Einstein con materia

Ahora consideramos, aparte de la m´etrica g, un campo de materia Φ. Este campo puede ser o un campo escalar, en tal caso Φ es una funci´on sobre la variedad, o bien un campo electromagn´etico, en tal caso Φ = A es un campo de covectores. En general Φ puede ser cualquier campo tensorial sobre el espaciotiempo (M, g), posiblemente con grados de libertad internos.1 Supongamos que en relatividad especial, la din´amica de Φ est´a descrita por un Lagrangiano que depende de manera algebr´aica de Φ, de sus primeras derivadas parciales ∂µ Φ y de la m´etrica de Minkowki ηµν , LM = LM (Φ, ∂µ Φ, ηµν ). Suponiendo que LM es un escalar de Lorentz, definimos la acci´on correspondiente a la materia a trav´es de2 Z 1 SM [Φ] = LM (Φ, ∂µ Φ, ηµν )d4 x, c K

donde K ⊂ R4 es un subconjunto compacto del espacio-tiempo de Minkowski. Como en la mec´ anica cl´ asica, las ecuaciones de movimiento se obtienen de los puntos estacionarios de la acci´ on, δSM = 0, suponiendo que la variaci´on de Φ 1 Para los fermiones, Φ es un campo espinorial, pero por simplicidad excluimos este caso en este curso. 2 El factor de 1/c en la definici´ on de SM se pone para que LM y las componentes τ 00 del tensor de energ´ıa-impulso tengan las unidades de una densidad de energ´ıa.

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

134

es cero en la frontera ∂K del dominio K. El resultado son las ecuaciones de Euler-Lagrange, ∂LM ∂LM , Πµ := , (5.26) ∂µ Πµ = ∂Φ ∂(∂µ Φ) donde Πµ es el momento can´onico. La satisfacci´on de las ecuaciones de EulerLagrange implican la conservaci´on del tensor de enrg´ıa-impulso can´onico, τ µν := −Πµ ∂ ν Φ + η µν LM ,

∂µ τ µν = 0,

lo que a su vez implica la conservaci´on de la energ´ıa y del momento lineal total del sistema, Z ν P := τ 0ν d3 x, R3

asumiendo que Φ decae a cero suficientemente r´apido para |x| → ∞. Ejemplos: 1. La ecuaci´ on de onda con potencial Φ = F (Φ),

F (Φ) := −

∂V (Φ), ∂Φ

se obtiene del Lagrangiano 1 Lescalar (Φ, ∂µ Φ) = − η µν ∂µ Φ · ∂ν Φ − V (Φ). 2 El tensor de energ´ıa-impulso can´onico es 1 µν τescalar = ∂ µ Φ · ∂ ν Φ − η µν [∂ α Φ · ∂α Φ + 2V (Φ)] . 2 2. Las ecuaciones de Maxwell en ausencia de fuentes se pueden obtener del Lagrangiano 1 Lem (∂µ Aν ) = − η µα η νβ Fµν Fαβ , 4

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .

El momento can´onico es Πµν em =

∂Lem 1 ∂Fαβ = − F αβ = −F µν ∂(∂µ Aν ) 2 ∂(∂µ Aν )

y el tensor de energ´ıa-impulso can´onico es 1 µν τem = F µα ∂ ν Aα − η µν F αβ Fαβ . 4

5.3. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN CON MATERIA

135

Cuando pasamos a la relatividad general, el principio de equivalencia nos dice que debemos reemplazar ηµν por las componentes de la m´etrica curva gµν y las derivadas parciales ∂µ Φ por las derivadas covariantes ∇µ Φ. Con esto, el Lagrangiano para la materia tiene la forma LM = LM (Φ, ∇Φ, g),

(5.27)

y como antes, suponemos que LM es una funci´on sobre la variedad. Entonces la acci´ on correspondiente es Z 1 LM (Φ, ∇Φ, g), (5.28) SM [Φ, g] = c K

con K ⊂ M compacto. Para simplificar los c´alculos de abajo, suponemos que K ⊂ U est´ a contenido dentro de una carta local. La variaci´on de SM con respecto a Φ dejando la m´etrica g fija da Z 1 δΦ SM = δΦ LM (Φ, ∇Φ, g) c K  Z  1 ∂LM ∂LM = δΦ + (∇µ δΦ) c ∂Φ ∂(∇µ Φ) K     Z  Z 1 ∂LM ∂LM ∂LM = − ∇µ δΦ , δΦ + ∇µ c ∂Φ ∂(∇µ Φ) ∂(∇µ Φ) K

K

donde usamos el hecho de que δΦ (∇µ Φ) = ∇µ δΦ en el segundo paso. Aplicando el teorema de Gauss podemos convertir la segunda integral en una integral de frontera que es cero si suponemos otra vez que δΦ|∂K = 0. Entonces los puntos estacionarios de SM [Φ, g] con m´etrica fija g, es decir los campos Φ para los cuales δΦ SM [Φ, g] = 0 para todas las variaciones δΦ que son cero en ∂K, satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange covariantes, ∇·Π=

∂LM , ∂Φ

Π :=

∂LM . ∂(∇Φ)

(5.29)

Ahora variamos SM con respecto a la m´etrica g, fijando Φ. Usando el resultado del Lema 17 obtenemos  Z  1 1 −1 δg SM = δg LM + LM Tr(g δg) c 2 K  Z  1 ∂LM ∂LM 1 = δg (∇µ Φ) + δgµν + LM g µν δgµν . c ∂(∇µ Φ) ∂gµν 2 K

En general, la expresi´ on ∇µ Φ depende de la m´etrica dado que ∇ es la conexi´on de Levi-Civita, y en coordenadas locales tiene la forma ∇µ Φ... ... = ∂µ Φ... ... + Γ. .. Φ... ... + ... − Γ. .. Φ... ... ,

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

136 de tal manera que

δg (∇µ Φ... ... ) = δΓ. .. Φ... ... + ... − δΓ. .. Φ... ... . Por otro lado, vimos en la ecuaci´on (5.19) que la variaci´on de los s´ımbolos de Christoffel forman las componentes de un campo tensorial que se puede escribir en t´erminos de las primeras derivadas covariantes de la variaci´on de la m´etrica, δg. Aplicando el teorema de Gauss, y asumiendo que δg|∂K = 0 podemos factorizar la variaci´on de g, y podemos escribir la variac´on de SM con respecto a g en la forma Z Z 1 1 Tr(T δg) = T µν δgµν , (5.30) δg SM = 2c 2c K

K

donde el campo tensorial T ∈ T 2 0 (M ) es sim´etrico y se llama tensor de energ´ıa-impulso. De esta manera, el tensor de energ´ıa-impulso tambi´en se puede interpretar como la derivada funcional de SM , y se escribe T µν := 2c

δSM . δgµν

(5.31)

Observaciones: 1. A diferencia del tensor de energ´ıa-impulso can´onico τ µν , T µν = T νµ es sim´etrico por definici´on. 2. Se puede mostrar que en relatividad especial siempre es posible sumar un t´ermino a τ µν para obtener un nuevo tensor Θµν sim´etrico con el mismo contenido f´ısico que τ µν . Este tensor coincide precisamente con el tensor T µν definido en (5.31) en el l´ımite donde gµν = ηµν es la m´etrica de Minkowski, ver la referencia [12]. 3. Podemos usar el mismo tipo de argumentos que en la secci´on previa para demostrar que las ecuaciones de Euler-Lagrange y la invarianza de SM bajo difeomorfismos implican que div T = 0.

(5.32)

Para demostrar esta afirmaci´on, tomamos el flujo ϕλ de un campo vectorial X ∈ X (M ) que es identicamente cero fuera de K, y consideramos la variaci´ on particular Φ(λ) := (ϕλ )∗ Φ, g(λ) := (ϕλ )∗ g. La invarianza de SM bajo difeomorfismos implica SM [Φ(λ), g(λ)] = SM [Φ, g] para todo |λ| suficientemente peque˜ no. Tomando la variaci´on a ambos lados, encontramos 0 = δSM = δΦ SM + δg SM .

5.3. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN CON MATERIA

137

La variaci´ on con respecto a Φ es cero si se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.29). Usando la definici´on del tensor de energ´ıa-impulso y δgµν = £X gµν = ∇µ Xν + ∇ν Xµ concluimos que Z 0 = T µν ∇µ Xν , K

lo que implica la ecuaci´ on (5.32) despu´es de aplicar el teorema de Gauss. En el espacio de Minkowski, la ecuaci´on (5.32) se reduce a ∂µ T µν = 0 y como vimos, esto da lugar a la conservaci´on de la energ´ıa y del momento lineal total del sistema. Para espacios curvos, la ecuaci´on (5.32) no da lugar a ninguna cantidad conservada en general. Efectivamente, para una m´etrica curva se pierde la invarianza traslacional, y por este motivo no se espera conservaci´ on de energ´ıa o de momento lineal, ni siquiera al nivel local. Una excepci´ on es cuando el espacio-tiempo (M, g) admite un vector de Killing k; en este caso se conserva la corriente J µ := −T µν kν , ∇µ J µ = 0, como vimos en el Lema 14, y el teorema de Gauss covariante da una ley de conservaci´ on. Otra excepci´on son los espacio-tiempos asint´oticamente planos para los cuales se pueden definir la masa y el momento lineal total del espacio-tiempo, ver el cap´ıtulo 11 en [2]. Ejemplos: Retomamos los ejemplos de la ecuaci´on de onda con potencial y de la teor´ıa de Maxwell, y calculamos el tensor de energ´ıa-impulso en ambos casos: 1. Para la ecuaci´ on de onda con potencial sobre un espacio curvo, la acci´on es Z 1 [g µν ∇µ Φ · ∇ν Φ + 2V (Φ)] . Sescalar [Φ, g] = − 2c K

Usando la f´ ormula (5.18) para la variaci´on de la m´etrica inversa y usando el resultado del Lema 17 encontramos  Z  1 1 µν α µ ν δg Sescalar = ∇ Φ · ∇ Φ − g [∇ Φ · ∇α Φ + 2V (Φ)] δgµν , 2c 2 K

y obtenemos 1 µν Tescalar = ∇µ Φ · ∇ν Φ − g µν [∇α Φ · ∇α Φ + 2V (Φ)] . 2 En el caso particular de un fondo de Minkowski, esto coincide precisamente con el tensor de energ´ıa-impulso can´onico. 2. Para el caso de Maxwell la acci´on es Z 1 Sem (A, g) = − g µα g νβ Fµν Fαβ , 4c K

Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

138 y δg Sem

=

=

 Z  1 σρ αβ µσ αρ νβ µα νσ βρ (g g g + g g g )Fµν Fαβ − g F Fαβ δgσρ 2 K  Z  1 1 F σα F ρ α − g σρ F αβ Fαβ δgσρ . 2c 4 1 4c

K

Entonces el tensor de energ´ıa-impulso es 1 µν Tem = F µβ F ν β − g µν F αβ Fαβ . 4 A diferencia de la expresi´on correspondiente para el tensor de energ´ıaµν impulso can´ onico, Tem es sim´etrico e invariante bajo transformaciones de norma Aµ 7→ Aµ + ∇µ χ. Finalmente, describimos el sistema acoplado formado por el campo gravitacional g y el campo de materia Φ. La acci´on para este sistema es la suma de la acci´ on de Einstein-Hilbert y de la acci´on material, S[Φ, g] = SEH [g] + SM [Φ, g],

(5.33)

donde SEH [g] est´ a definido en (5.16) y SM [Φ, g] en (5.28). Las ecuaciones de movimiento corresponden a los puntos estacionarios de S, 0 = δS = δΦ S + δg S, para todas las variaciones de Φ y de g que son cero cerca de ∂K. Fijando g y variando Φ obtenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.29), puesto que SEH [g] no depende de los campos materiales. Por otro lado, fijando Φ y variando con respecto a g obtenemos las ecuaciones de Einstein en presencia de materia, Gµν =

8πGN µν T . c4

(5.34)

Entonces la materia determina la curvatura del espacio tiempo a trav´es de las ecuaciones de Einstein. Por otro lado, la curvatura de la m´etrica afecta los campos materiales a trav´es de las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.29) covariantes. Este acople en ambas direcciones entre la m´etrica y los campos materiales hace que sea dif´ıcil encontrar soluciones del sistema total, pues hay que resolver el sistema acoplado (5.29,5.34). Notamos tambi´en que las propiedades del tensor de energ´ıa-impulso T µν son compatibles con las propiedades correspondientes del tensor de Einstein. Primero, T µν es sim´etrico en µν, segundo, su divergencia covariante es cero si se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange, lo que encaja perfectamente con la simetr´ıa de Gµν y las identidades de Bianchi contraidas (5.25).

5.4. FLUIDOS RELATIVISTAS

139

Ejemplo: El sistema acoplado formado por un campo electromagn´etico y un campo gravitacional se describe a trav´es de las ecuaciones de Einstein-Maxwell, ∇µ F µν = 0, Fµν = ∇µ Aν − ∇ν Aµ ,   1 µν αβ 8πGN 8πGN µν µβ ν µν Tem = F F β − g F Fαβ . G = c4 c4 4

(5.35) (5.36)

Dado que la traza del tensor de energ´ıa-impulso es cero en el caso de Maxwell3 , µν gµν Tem = 0, las ecuaciones de Einstein son equivalentes a Rµν =

5.4.

8πGN µν Tem . c4

Una formulaci´ on Lagrangiana para los fluidos relativistas

En la secci´ on previa vimos dos ejemplos de campos materiales cl´asicos: el campo escalar y el campo electromagn´etico. En esta secci´on vamos a formular un principio variacional para una clase importante de campos materiales que son los fluidos. Aunque a diferencia de los ejemplos previos estos campos no son fundamentales, su descripci´ on fenomenol´ogica juega un papel muy importante en procesos astrof´ısicos con campos gravitacionales fuertes, como por ejemplo un disco de acreci´ on alrededor de un agujero negro o el colapso gravitacional de una estrella suficientemente masiva. Describimos el fluido de la siguiente forma.4 Consideramos una variedad tridimensional Γ que describe el fluido en su forma de reposo. Es decir, cada punto q ∈ Γ representa un elemento dado del fluido. En este sentido, los puntos q de Γ se pueden interpretar como etiquetas que dan un nombre a cada elemento de fluido. El movimiento del fluido est´a descrito por un mapeo C ∞ -diferenciable F : M → Γ del espacio-tiempo (M, g) en Γ que tiene la siguiente interpretaci´on: q = F (p) es el elemento de fluido que se encuentra en el evento p. Entonces la l´ınea de flujo γq del elemento de fluido q es γq := F −1 (q) = {p ∈ M : F (p) = q} ⊂ M. Para garantizar que γq sea una curva diferenciable tipo tiempo hacemos las siguientes suposiciones sobre la diferencial dFp : Tp M → TF (p) Γ del mapeo F : Su n´ ucleo, ker(dFp ) ⊂ Tp M , es de dimensi´on uno y de tipo tiempo para todo p ∈ M . Por el teorema de la funci´on impl´ıcita, esto implica que existe en cada evento p ∈ M una u ´nica curva γ : (−ε, ε) → M a trav´es de p tal que F (γ(t)) = F (p) para todo |t| < ε. Por unicidad, γ ⊂ γq , y concluimos que γq es una curva diferenciable. Su vector tangente up est´a en el kernel de dFp para todo p, dado que d d 0 = q = F (γq ) = dFp (up ), dt dt 3 Esto

ya no es cierto en teor´ıas de la gravedad con dimensiones extra. hecho, la misma descripci´ on se puede usar para cuerpos el´ asticos, ver por ejemplo la referencia [12]. 4 De

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

140

y entonces γq es una curva tipo tiempo. Normalizamos u para que g(u, u) = −c2 , de tal manera que u sea la cuadrivelocidad del fluido. Ejemplo: Sean (M, g) = (R4 , η) el espacio de Minkowki y (Γ, m) = (R3 , δ) el espacio Euclideano. Un flujo homog´eneo con velocidad v se describe a trav´es del mapeo F : M → Γ definido por y = F (x) = x − tv,

(t, x) ∈ M.

La l´ınea de flujo correspondiente al elemento de fluido y es γy = {(t, y + tv) : t ∈ R} y su cuadrivelocidad es 1 u= q 1−

|v|2 c2

(∂t + v · ∇) .

Para describir la din´amica del fluido vamos a necesitar definir su densidad, aparte de su cuadrivelocidad. Para esto equipamos Γ con una m´etrica Riemanniana m que tiene el siguiente papel: El n´ umero N (V ) de part´ıculas contenidas en un subconjunto compacto V ⊂ Γ del fluido es Z N (V ) := 1. V

Si V est´ a contenidoR en una coordenadas (y a ) = (y 1 , y 2 , y 3 ), p carta local (W, ψ) con 3 −1 entonces N (V ) = ψ(V ) det(mab )(ψ (y))d y. En particular, las componentes mab de m tienen las unidades de uno entre longitud al cuadrado. Mediante el mapeo F : M → Γ, podemos introducir el pull-back de la m´etrica m sobre M , H := F ∗ m.

(5.37)

Lema 18 El campo tensorial H = F ∗ m ∈ T 0 2 (M ) satisface las siguientes propiedades: (i) H es sim´etrico: H(X, Y ) = H(Y, X) para todo X, Y ∈ X (M ). (ii) H es semi-positivo: H(X, X) ≥ 0 para todo X ∈ X (M ) y H(X, X) = 0 si y s´ olo si X es proporcional a u. (iii) H es ortogonal a u: H(u, Y ) = 0 para todo Y ∈ X (M ). (iv) H es invariante con respecto al flujo de u: £u H = 0. Demostraci´ on. (i) es una consecuencia directa de la simetr´ıa de m. Para ver (ii) tomamos X ∈ X (M ). Entonces H(X, X) = m(dF (X), dF (X)) ≥ 0 y H(X, X) = 0 si y s´olo si dF (X) = 0. Como ker(dF ) es generado por el vector u, esto es equivalente a decir que X es proporcional a u. Para (iii)

5.4. FLUIDOS RELATIVISTAS

141

tomamos Y ∈ X (M ). Entonces H(u, Y ) = m(dF (u), dF (Y )) = 0, dado que u ∈ ker(dF ). Para demostrar (iv) notamos primero que si ϕt es el flujo de u, entonces t 7→ ϕt (p) es la l´ınea de flujo a trav´es del punto p y F ◦ ϕt (p) = F (p) para todo (t, p) ∈ D. Entonces d d d t ∗ t ∗ (ϕ ) H = (F ◦ ϕ ) m = F ∗ m = 0. £u H = dt t=0 dt t=0 dt t=0

A continuaci´ on, definimos la densidad de part´ıculas n ∈ F(M ) y la corriente de part´ıculas J ∈ X (M ). Para esto, tomamos una tetrada e0 , e1 , e2 , e3 tal que e0 = u/c y consideramos las componentes Hab := H(ea , eb ), a, b = 1, 2, 3 del pull-back de la m´etrica m. Entonces definimos p J := nu. (5.38) n := det(Hab ), Observamos primero que la definici´on de n es independiente de la orientaci´on de los tres vectores e1 , e2 , e3 , porque si R = (Ra b ) ∈ O(3) es una rotaci´on o 0 = Ra c Rb d Hcd de tal una inversi´ on de la paridad y e0a := Ra b eb , entonces Hab 0 2 manera que det(Hab ) = det(Hab )| det(R)| = det(Hab ). Luego, demostramos que la corriente J es conservada. Teorema 12 La corriente J = nu satisface div J = 0. Demostraci´ on. Vamos a calcular el cambio infinitesimal £u n = u[n] de la densidad de part´ıculas a lo largo de una l´ınea de flujo. Usando el resultado del Lema 12 encontramos primero que 2n£u n = £u (n2 ) = n2 H ab u[Hab ] = n2 H ab [(£u H)(ea , eb ) + 2H(ea , £u eb )] , donde H ab denota las componentes de la matriz inversa a (Hab ). El primer t´ermino a la derecha es cero dado el resultado del Lema 18(iv). Para evaluar el segundo t´ermino usamos la simetr´ıa de la conexi´on para escribir £u eb = ∇u eb −∇eb u. Para analizar el primer t´ermino desarrollamos ∇u eb = Ab u+Cb c ec . Puesto que 0

=

(∇u g)(ea , eb ) = u[g(ea , eb )] + g(∇u ea , eb ) + g(ea , ∇u eb )

= Ca c δcb + Cb c δac = Cab + Cba , Cab es antisim´etrico, y por lo tanto, H ab H(ea , ∇u eb ) = H ab Cb c Hac = δ b c Cb c = 0. Finalmente, desarrollamos ∇eb u = B c b ec , y encontramos H ab H(ea , ∇eb u) = H ab B c b Hac = δ b c B c b = div u. Concluimos que £u n = −nH ab H(ea , ∇eb u) = −ndiv u, o div (nu) = 0.

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

142

Mediante el teorema de Gauss, ver el Teorema 5, la ecuaci´on div J = 0 implica que el flujo total, Z Z ν(J) = div J = 0, Ω

∂Ω

de J a trav´es de la frontera ∂Ω de una regi´on Ω ⊂ M del espacio-tiempo es cero. Esto refleja la conservaci´on del n´ umero de part´ıculas. En particular podemos aplicar este resultado a un regi´on del espacio-tiempo de la siguiente forma: Ωε := {ϕt (p) : 0 ≤ t ≤ ε, p ∈ S}, donde S es una superficie tridimensional espacial y compacta S, con frontera ∂S suave, que fluye a lo largo del flujo ϕt de u. La frontera de Ωε consiste de la superficie inicial S0 = S, de la superficie final, Sε = ϕε (S), y de la superficie de frontera T := {ϕt (p) : 0 ≤ t ≤ ε, p ∈ ∂S}. La integral sobre T es cero, dado que el campo de covectores normal unitario aniquila J: ν(u) = 0 sobre T . Entonces obtenemos la ley de conservaci´on Z Z N (S) := αdt(J) = αdt(J) S

Sε

para el n´ umero de part´ıculas N (S) contenidas en el interior de las superficies Sε , donde α > 0 es una funci´on que normaliza dt. Con respecto a coordenadas Lagrangianas x0 = ct, x1 , x2 , x3 adaptadas a u y S de tal manera que 1 ∂ = u, ∂x0 c

∂ tangente a St , j = 1, 2, 3, ∂xj

tenemos dt(J) = ndt(u) = n y entonces Z q N (S) = n(φ−1 (x)) − det(gµν )(φ−1 (x))d3 x, φ(S)

donde suponemos que S ⊂ U se encuentre dentro de la regi´on de validez de la carta Lagrangiana (U, φ) de M . Por otro lado, tenemos el resultado siguiente: ∂ Lema 19 Sean x0 , x1 , x2 , x3 coordenadas locales tales que u = c ∂x 0 . Entonces podemos escribir la densidad de part´ıculas n de la siguiente forma,

s n= donde Hij = H

∂ ∂ ∂xi , ∂xj




det(Hij ) , − det(gµν )

, i, j = 1, 2, 3.

5.4. FLUIDOS RELATIVISTAS

143

Demostraci´ on. Sea e0 = u/c, e1 , e2 , e3 una tetrada adaptada a las l´ıneas del fluido. Podemos expander e α = Aα

∂ ∂ + Bα i i . ∂x0 ∂x

Dado que e0 = u/c tenemos A0 = 1 y B0 i = 0. Puesto que H es ortogonal a u tenemos Hab = H(ea , eb ) = Ba i Bb j Hij , de tal manera que det(Hab ) = det(Hij )| det(Ba i )|2 . Por otro lado, g µν = η αβ eα µ eβ ν , de tal manera que det(g µν ) = det(η αβ )| det(eα µ )|2 = −| det(Ba i )|2 . Dado este resultado, podemos escribir Z q N (S) = det(Hij )(φ−1 (x))d3 x. φ(S)

Finalmente, podemos reescribir esta integral como una integral sobre la regi´on V := F (S) en Γ. Para esto, expandemos la diferencial de F en t´erminos de las coordenadas locales Lagrangianas xµ de M y de coordenadas locales y a de Γ, dF (X) =

∂F a µ ∂ X , ∂xµ ∂y a

X = Xµ

∂ . ∂xµ

Entonces  Hij = H

∂ ∂ , ∂xi ∂xj



     ∂ ∂ ∂F a ∂F b = m dF , dF = mab , i i ∂x ∂x ∂xi ∂xj

para i, j = 1, 2, 3, y q

det(Hij ) =

p

 a  ∂F det(mab ) det . ∂xi

Aplicando la regla de sustituci´ on de variables y a = F a (x1 , x2 , x3 ), obtenemos Z q N (S) = det(Hij )(φ−1 (x))d3 x φ(S)

=

 a  Z p ∂F 3 det(mab )(φ−1 (x)) det d x ∂xi φ(S)

Z = ψ(V )

p det(mab )(ψ −1 (y))d3 y,

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

144

lo que es precisamente el n´ umero de part´ıculas contenidas en el volumen V de Γ. A continuaci´ on queremos describir la din´amica del fluido. Para simplificar el tratamiento vamos a hacer un par de suposiciones. Primero, vamos a despreciar los efectos de viscosidad y de transporte de calor. En este sentido, el fluido que consideramos es perfecto. Segundo, suponemos que la entrop´ıa de cada elemento de fluido no cambia en el tiempo. Con estas suposiciones, la acci´on toma la forma siguiente, Z 1 LM (F, n), SM [F, g] = c K donde el Lagrangiano depende algebraicamente del mapeo F y de la densidad de part´ıculas n. De manera m´as precisa introducimos las siguientes cantidades: v := 1/n: el volumen por part´ıcula, (F, v): la energ´ıa interna del elemento de fluido F , ∂ p := − ∂v : la presi´on.

Entonces el Lagrangiano LM (n) = −n(F, v) representa menos la densidad de energ´ıa. Para calcular las variaciones de SM necesitamos los siguientes resultados: Lema 20 Las derivadas de la densidad de part´ıculas n con respecto a los campos F a , ∂µ F a y gµν son dados por (i) (ii) (iii)

∂n ∂F a

= 0,

∂n ∂(∂µ F c ) ∂n ∂gµν

d

µν = nmcd ∂F , donde H µν := H ab ea µ eb µ , ∂xν H

= − n2 hµν , donde hµν := δ ab ea µ eb ν = g µν +

1 µ ν c2 u u .

Demostraci´ on. Usando otra vez el resultado del Lema 12, calculamos la variaci´ on de n2 = det(Hab ) con respecto a F y g: 2nδn = δ(n2 ) = n2 H ab δHab , de donde δn =

n ab H δHab . 2

(5.39) c

d

∂F µ ν Luego, Hab = H(ea , eb ) = m(dF (ea ), dF (eb )) = mcd ∂F ∂xµ ∂xν ea eb , lo que implica   c  ∂F ∂F d µ ν ∂F c ∂F d µ ν δn = nH ab mcd δ e e + m δ(e )e a b cd a b ∂xµ ∂xν ∂xµ ∂xν  c ∂F ∂F d µν = nmcd δ H + nH ab Hµν δ(ea µ )eb ν . µ ∂x ∂xν

5.4. FLUIDOS RELATIVISTAS

145

Por otro lado, podemos expander δea = Aa e0 + Ba c ec . Variando la ecuaci´on δab = g(ea , eb ) con respecto a g, obtenemos 0

=

(δg)(ea , eb ) + g(Aa e0 + Ba c ec , eb ) + g(ea , Ab e0 + Bb c ec )

=

(δg)(ea , eb ) + Ba c δcb + Bb c δac ,

lo que implica la ecuaci´ on B(ab) = −(δg)(ea , eb )/2 para la parte sim´etrica de Bab . Con esto encontramos H ab Hµν δ(ea µ )eb ν

= = =

H ab H(δea , eb ) = H ab H(Aa e0 + Ba c ec , eb ) 1 H ab Ba c Hcb = δ ab Bab = − δ ab (δg)(ea , eb ) 2 1 µν − h δgµν . 2

donde usamos e0 = u/c y el hecho de que H es ortogonal a u en el tercer paso. Para encontrar las ecuaciones de campo usamos ∂LM 1 ∂ 1 = − + = − (p + n) ∂n n ∂v n y la definici´ on del tensor de energ´ıa-impuslo T µν , Z Z T µν δgµν = 2cδg SM = (2δg LM + LM g µν δgµν ) K

K

Z =

[(p + n)hµν − nεg µν ] δgµν

K

y obtenemos −∇µ Πµ c = Gµν =

∂LM , ∂F c

8πGN Tµν , c4

Πµ c = −(p + n)H µν mcd Tµν =

n uµ uν + phµν . c2

∂F d ∂xν

(5.40) (5.41)

Estas son las ecuaciones acopladas para los campos F y g, dada una ecuaci´on de estado  = (F, v), v = 1/n. En la pr´actica, conviene reescribir las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.40) de otra forma. Como demostramos en la secci´on anterior, estas ecuaciones implican que el tensor de energ´ıa-impulso tiene divergencia cero. Como vamos a demostrar ahora, la ecuaci´on ∇µ T µν = 0 es, de hecho, equivalente a las ecuaciones de movimiento (5.40). Para ver esto, notamos primero que la generalizaci´ on a la relatividad general de la expresi´on del tensor de energ´ıaimpulso can´ onico es τ µν = −Πµ c ∇ν F c + g µν LM .

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

146

Usando el resultado del Lema 20 y el hecho de que F c se comporta como un escalar sobre M , encontramos −Πµ c ∇ν F c = (p + n)mcd

∂F d µσ νρ ∂F c H g = (p + n)g νρ Hσρ H µσ ∂xσ ∂xρ

Luego, g νρ Hσρ H µσ = η αβ eα ν eβ ρ Hσρ H cd ec µ ed σ = η αβ eα ν Hβd H cd ec µ = δ ac ea ν ec µ = hµν . Con esto encontramos que τ µν = (p + n)hµν − g µν n = T µν , es decir, la generalizaci´on covariante del tensor de energ´ıa-impulso can´ onico es exactamente T µν . Por otro lado, ∇µ T µν

∇µ τ µν = −(∇µ Πµ c )∇ν F c − Πµ c ∇µ ∇ν F c + ∇ν LM   c ∂LM µ νρ ∂F = − ∇ Π + Πµ c (∇ν ∇µ − ∇µ ∇ν )F c g µ c ∂F c ∂xρ   c ∂LM µ νρ ∂F − ∇ Π . (5.42) = g µ c ∂F c ∂xρ =

M Puesto que el rango de dFp es maximal, las ecuaciones de Euler-Lagrange ∂L ∂F c − ∇µ Πµ c = 0 se satisfacen si y s´olo si la divergencia covariante del tensor de energ´ıa-impulso es cero. Podemos escribir las ecuaciones ∇µ T µν = 0 de forma m´as expl´ıcita, notando que un observador que se mueve sobre una de las l´ıneas de flujo del fluido mide las siguientes componentes del tensor de energ´ıa-impulso con respecto a un sistema de referencia no-rotante e0 = u/c, e1 , e2 , e3 :

T00 = nε

(densidad de energ´ıa)

T0j = 0

(flujo de energ´ıa cero)

Tij = pδij

(tensi´on diagonal)

En t´erminos de las cantidades ρ := n

(expansi´on),

µ

(aceleraci´on),

θ := ∇µ u µ

µ

ν

a := ∇u u = u ∇ν u

(densidad de energ´ıa),

µ

la ecuaci´ on ∇µ T µν = 0 da 1 [(∇u ρ)uν + (ρ + p)θuν + (ρ + p)aν ] + hµν ∇µ p. c2

(5.43)

Las componentes paralelas y ortogonales a u dan las ecuaciones relativistas de continuidad y de Euler, ∇u ρ = −(ρ + p)θ, µ

(ρ + p)a respectivamente.

2 µν

= −c h ∇ν p,

(5.44) (5.45)

5.5. EL L´IMITE NEWTONIANO

5.5.

147

El l´ımite Newtoniano

En esta secci´ on vamos a demostrar que en el l´ımite Newtoniano, las ecuaciones de Einstein (5.34) se reducen a la ecuaci´on de Poisson. Para esto, partimos de b´ asicamente las mismas suposiciones (i),(ii) y (iii) que en la secci´on 4.4, salvo la suposici´ on (iii) que debe ser adaptada a condiciones sobre el tensor de energ´ıa-impulso. Entonces postulamos la existencia de coordenadas locales x0 = ct, x1 , x2 , x3 en una regi´ on del espacio-tiempo tales que (i) La m´etrica es casi plana, es decir, gµν = ηµν + hµν ,

|hµν |  1,

donde (ηµν ) = diag(−1, 1, 1, 1) es la m´etrica de Minkowski. (ii)

1 c |∂t hµν |

 |∂i hµν |, i = 1, 2, 3.

(iii) La componente T00 del tensor de energ´ıa-impulso domina, es decir |Tµj |  |T00 | para todo µ = 0, 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3. La suposici´ on (iii) se puede justificar facilmente en el caso del fluido perfecto considerado en la secci´ on previa, donde Tµν = (n + p)uµ uν /c2 + pgµν . En el l´ımite Newtoniano, la energ´ıa interna de un elemento de fluido se puede escribir como (v) = m0 c2 + N (v), |N (v)|  m0 c2 , donde m0 c2 representa la energ´ıa de reposo y N (v) la energ´ıa interna Newtoniana. Suponiendo que N (v) no varia mucho en v, concluimos que la presi´on p=−

∂ ∂N =− ∂v ∂v

es mucho m´ as peque˜ na que la densidad de energ´ıa ρ = n. Usando esto con (uµ /c) = γ(−1, v/c) y |v|  c encontramos que T00 ≈ nm0 c2 = ρ0 c2 , donde ρ0 = nm0 describe la densidad de masa de reposo, y Tµj ≈ 0 en la aproximaci´on Newtoniana, lo que justifica la suposici´on (iii). Ahora calculamos las componentes del tensor de Ricci bajo las suposiciones (i) y (ii), Rµν = ∂α Γα µν − ∂ν Γα αµ + O(Γ2 ), donde Γα µν =

1 αβ η [∂µ hνβ + ∂ν hµβ − ∂β hµν ] + O(h2 ). 2

Despreciando t´erminos que son por lo menos cuadr´aticos en hµν y v/c y usando la hip´ otesis (ii) encontramos, en particular, que R00 = ∂k Γk 00 ,

1 Γk 00 = − ∂ k h00 . 2

148

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

Usando la correspondencia (4.7) entre h00 = −2φ/c2 y el potencial gravitacional Newtoniano φ encontramos que R00 =

1 ∆φ, c2

(5.46)

como se esperaba de la correspondencia (5.12). Por otro lado, las ecuaciones de Einstein (5.34) son equivalentes a   1 8πGN αβ T − Rµν = g g T . (5.47) µν µν αβ c4 2 Calculando las componentes 00 de la parte derecha tomando en cuenta la condici´ on (iii) encontramos   1 4πGN T00 8πGN T . T − = 00 00 4 c 2 c4 Comparando con (5.46) obtenemos la ecuaci´on de Poisson, ∆φ = 4πGN ρ0 ,

(5.48)

para la densidad de masa ρ0 = T00 /c2 . Ejercicio 24. Demuestre que las componentes 0j y ij, i, j = 1, 2, 3, de la ecuaci´ on (5.47) son compatibles con la ecuaci´on de Poisson en el l´ımite Newtoniano siempre y cuando 2φ h0j = 0, hij = −δij 2 . c

Ejercicio 25. Las ecuaciones Rµν = 4πGN c−4 Tµν tambi´en poseen el l´ımite Newtoniano correcto. Sin embargo, tienen un problema, ¿cu´al es? Ejercicio 26. Demuestre que en el l´ımite Newtoniano las ecuaciones (5.44,5.45) se reducen a la ecuaci´ on de continuidad y las ecuaciones de Euler no-relativistas, ρ˙ 0 + ∇ · (ρ0 v) ρ0 [v˙ + (∇ · v)v]

=

0,

= −∇p − ρ0 ∇φ.

(5.49) (5.50)

Ejercicio 27. Considere un teor´ıa escalar donde el campo gravitacional se describe a trav´es de una m´etrica conformemente plana, gµν = Ω2 ηµν , donde Ω ∈ F(M ) es una funci´on positiva y ηµν es la m´etrica plana de Minkowksi. En esta teor´ıa, se hacen los siguientes postulados: Las part´ıculas de prueba en ca´ıda libre siguen geod´esicas de tipo tiempo.

5.5. EL L´IMITE NEWTONIANO

149

La din´ amica del campo gravitacional est´a determinada por las siguientes ecuaciones de campo, R = κT, (5.51) con R el escalar de Ricci, T la traza del tensor de energ´ıa-impulso y κ una constante de acoplamiento. (a) Muestre que R = −6Ω−3 η µν ∂µ ∂ν Ω. (b) Elija la constante κ de tal manera que la teor´ıa posea el l´ımite Newtoniano correcto. ¿Cu´ al es la relaci´ on entre el factor conforme Ω y el potencial gravitacional Newtoniano φ? (c) Compare (5.51) con la ecuaci´on correspondiente (2.3) del cap´ıtulo 2.

150

CAP´ITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN

Cap´ıtulo 6

La soluci´ on de Schwarzschild En este cap´ıtulo analizamos las soluciones esfericamente sim´etricas de las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo. La m´etrica correspondiente fue encontrada por Karl Schwarzschild en 1916, solamente dos meses despu´es de que Einstein public´ o sus ecuaciones de campo. F´ısicamente la m´etrica de Schwarzschild describe el campo gravitacional en el exterior de una distribuci´on de masa esfericamente sim´etrica. Como vamos a ver, si esta distribuci´on de masa est´a concentrada en una regi´ on suficientemente peque˜ na, la m´etrica de Schwarzschild describe un agujero negro. Empezamos con la derivaci´ on de la m´etrica de Schwarzschild en la secci´on que sigue. Las propiedades f´ısicas y geom´etricas de la m´etrica se discuten en las secciones posteriores.

6.1.

La derivaci´ on de la soluci´ on de Schwarzschild

151

152

´ DE SCHWARZSCHILD CAP´ITULO 6. LA SOLUCION

Cap´ıtulo 7

Campos gravitacionales d´ ebiles

153

154

´ CAP´ITULO 7. CAMPOS GRAVITACIONALES DEBILES

Cap´ıtulo 8

Los universos de Friedmann-Lemaˆıtre

155

156

CAP´ITULO 8. LOS UNIVERSOS DE FRIEDMANN-LEMAˆITRE

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157