RENTAS FINANCIERAS

Carmen Badía, Hortènsia Fontanals, Merche Galisteo, José Mª Lecina, Mª Angels Pons, Teresa Preixens, Dídac Ramírez, F. Javier Sarrasí y Anna Mª Sucarrats

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y ACTUARIAL División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales Universidad de Barcelona

Rentas Financieras

1

3. RENTAS FINANCIERAS

3.1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Una renta financiera es un conjunto de capitales financieros que presentan periodicidad en sus diferimientos y se representa por:

{ ( Cr ,Tr ) }r =1,2,...,n

con

Tr − Tr −1 = P

r = 2,3,...,n

donde: • Cr es el término r-ésimo de la renta. • Tr es el diferimiento, expresado en años, asociado al término r-ésimo de la renta. • P es el periodo de la renta y, al igual que el diferimiento, está expresado en años. La

condición para que un conjunto de capitales constituya una renta financiera es que la diferencia entre dos diferimientos consecutivos sea siempre la misma: Tr − Tr −1 = P

r = 2,3,...,n .

El diferimiento Tr se puede expresar como:

Tr = T1 + (r − 1) ⋅ P

r = 1,2,...,n

de modo que el esquema temporal de una renta financiera, siendo 0 el origen de la operación financiera, o la fecha de análisis, es:

0

C1

C2

T1

T1+P P

.............

Cr

Cr+1

............... Cn-1

......... T1+(r-1)P T1+rP ...... P

Cn

T1+(n-2)P T1+(n-1)P años P

2

Introducción a la Matemática Financiera

Las rentas financieras pueden clasificarse en función de diferentes criterios: a. Según la periodicidad.

En función del periodo, P, una renta puede ser: Periodo (P) Frecuencia (m) anual semestral

1 12

1 2

trimestral

14

4

mensual

1 12

12

etc.

b. Según la localización del término dentro del periodo. Si se asume que cada término está asociado a un periodo, en función de la localización del término dentro del periodo, la renta puede ser: b.1. Vencida o pospagable si el término se hace efectivo al final de cada periodo. b.2. Anticipada o prepagable si el término se hace efectivo al inicio de cada periodo. c. Según el origen de la renta con respecto al origen de la operación. El origen de la renta puede coincidir o no con el origen de la operación de manera que la renta puede ser: c.1. Inmediata si el origen de la renta y el de la operación coinciden. • El esquema temporal de una renta inmediata y vencida, teniendo en cuenta que, en este

caso T1 = P , es:

0

C1

C2

C3

............... Cr-1

Cr

P

2P

3P

.............. (r-1)P

rP

..............

Cn-1

.............. (n-1)P

• Si la renta es inmediata y anticipada se cumple que T1 = 0

Cn

nP años

y su esquema temporal es:

Rentas Financieras

C1

C2

C3

C4

.............. Cr

Cr+1

.............. Cn

0

P

2P

3P

.............. (r-1)P

rP

.............. (n-1)P

3

nP años

c.2. Diferida si el origen de la renta es posterior al de la operación. La diferencia entre los dos orígenes se denomina diferimiento y se simboliza por d. El diferimiento

se expresará en

periodos de la renta. • Si la renta es diferida y vencida se cumple que T1 = (d + 1) ⋅ P

C1

0

dP

C2

........... Cr-1

Cr

.........

0

dP

Cn-1

Cn

(d+1)P (d+2)P ... (d+(r-1))P (d+r)P ... (d+(n-1))P (d+n)P años

• Si la renta es diferida y anticipada se cumple que T1 = d ⋅ P

C1

y su esquema temporal es:

C2

C3

........... Cr

y su esquema temporal es:

Cr+1 ..........

Cn

(d+1)P (d+2)P ... (d+(r-1))P (d+r)P ... (d+(n-1))P (d+n)P años

d. Según el número de términos de la renta. La renta puede ser: d.1. Temporal si la renta tiene un número (n) finito de términos. d.2. Perpetua si el final de renta no está definido. En este caso se considera que el número de términos de la renta tiende a infinito ( n → ∞ ) .

e. Según la naturaleza del término.

En función del término de la renta, Cr , la renta puede ser: e.1. Constante si todos los términos son iguales:

Cr = C

∀r ∈ Ν

4

Introducción a la Matemática Financiera

e.2. Variable si todos los términos son distintos. Por su utilización cabe destacar dos tipos

de rentas variables: e.2.1. Renta de variación geométrica cuando los términos de la renta cumplen la relación:

Cr = C1 ⋅ qr −1

∀r ∈ Ν siendo q la razón de la progresión geométrica.

e.2.2. Renta de variación lineal cuando los términos de dicha renta cumplen la relación:

Cr = C1 + h ⋅ (r − 1)

∀r ∈ Ν siendo h la diferencia de la progresión aritmética.

3.2. VALORACIÓN DE UNA RENTA: VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL

Valorar una renta en el diferimiento T consiste en hallar la suma del valor financiero, en dicho diferimiento, de cada uno de los capitales que componen la renta. Si se valora la renta en el origen de la operación dicho valor recibe el nombre de valor actual y se simboliza por V0 , mientras que si la valoración se realiza al final de la operación entonces se denomina valor final y se simboliza por Vf . Dado que existen diversos tipos de rentas que surgen de la combinación de los distintos criterios de clasificación detallados en el apartado anterior, para sistematizar la valoración de las rentas se tomará como referencia una renta vencida, inmediata y temporal y se obtendrá su valor actual y final. Los resultados obtenidos se aplicarán en la valoración de cualquier otro tipo de renta, aplicando las correspondientes correcciones. En principio se considera que la renta tomada como modelo tiene periodicidad P, esto es con frecuencia m =

1 , y que sus términos pueden ser constantes o variables. En posteriores P

apartados se obtendrán expresiones particulares para los casos en que los términos sean constantes, de variación lineal o de variación geométrica. La valoración se realizará en régimen financiero de interés compuesto a tanto constante cuya expresión característica es: C′ = C ⋅ (1 + Im )m⋅t utilizando un tipo de interés Im , cuya frecuencia sea la misma que la de la renta, es decir, m=

1 . P

Rentas Financieras

5

3.2.1. Valor actual

Hallar el valor actual consiste en sumar en el origen de la operación, T=0, el valor financiero de todos los capitales que constituyen la renta. El valor actual de la renta ( V0 ) es la cuantía del capital financiero situado en el origen de la operación, T = 0, que es equivalente al conjunto de capitales financieros que constituyen la renta. Simbólicamente esta equivalencia se expresa como:

{ ( Cr ,Tr ) }

r =1,2,...,n

∼ { ( V0 ,0 )

}

3.2.1.1. Renta vencida, inmediata y temporal

Gráficamente el valor actual de una renta vencida, inmediata y temporal se corresponde con el siguiente esquema temporal:

0

C1

C2

..............................

Cr .............................. Cn

P

2P

.............................

rP ..............................

nP años

V0

Para hallar el valor actual, debe tenerse en cuenta que la actualización, en régimen financiero de interés compuesto, de cada uno de los capitales que constituye la renta resulta de:

Cr0 = Cr ⋅ (1 + Im )−r

donde Cr0 es el valor financiero en 0 de la cuantía Cr .

r =1,2,...,n

6

Introducción a la Matemática Financiera

Por lo tanto, el valor actual de la renta, V0 , se obtiene de:

V0 = C1 ⋅ (1 + Im )

−1

+ C2 ⋅ (1 + Im )

−2

+ ... + Cr ⋅ (1 + Im ) + ... + Cn ⋅ (1 + Im ) −r

n

V0 = ∑ Cr ⋅ (1 + Im )

−n

−r

r =1

Cabe destacar que al efectuar el sumatorio

n

∑ Cr ⋅ (1 + Im )

−r

se obtiene el valor de la renta un

r =1

periodo antes de donde se halla situada la primera de las cuantías, y que en el caso de que la renta sea vencida e inmediata dicho periodo coincide con el origen de la operación.

3.2.1.2. Renta anticipada, inmediata y temporal.

Para hallar el valor en el origen de la operación de una renta anticipada, inmediata y temporal debe tenerse en cuenta el siguiente esquema:

C1

C2

-P

0

P

V-P

V0

Si se aplica el sumatorio

n

..............

Cr

................ (r-1) P

∑ Cr ⋅ (1 + Im )

−r

Cr+1

................. Cn

rP ................. (n-1) P

nP años

en la valoración de esta renta el valor se obtiene un

r =1

periodo antes de donde se encuentra situada la primera cuantía de la renta, es decir, en –P . Para obtener el valor en el origen de la operación se debe capitalizar el valor, V−P , que se corresponde con la cuantía de un capital financiero situado en –P, hasta T=0, esto es, hay que capitalizar V−P un periodo.

Rentas Financieras

n

V0 = V−P ⋅ (1 + Im ) =

∑ Cr ⋅ (1 + Im )

−r

=1 r 

7

⋅ (1 + Im )

V

−P

En definitiva, si una renta es anticipada e inmediata se valora como si se tratara de una renta vencida e inmediata capitalizando el resultado obtenido un periodo.

3.2.1.3. Renta vencida, diferida y temporal

En este caso el esquema de la operación es:

C1

0

dP

V0

Vd

Si se aplica el sumatorio

n

C2

................. Cr

(d+1)P (d+2)P ........... (d+r)P

∑ Cr ⋅ (1 + Im )

−r

.................. Cn

............ (d+n)P años

en la valoración de esta renta el valor se obtiene un

r =1

periodo antes de donde se encuentra la primera cuantía de la renta, es decir, en dP. Para obtener el valor en el origen de la operación, V0, deberá actualizarse el valor en dP, Vd (cuantía de un capital situado en dP) hasta T=0, lo cual implica actualizar dicha cuantía d periodos de la renta.

V0 = Vd ⋅ (1 + Im )

−d

=

n

∑ Cr ⋅ (1 + Im )

−r

r =1 

V

d

⋅ (1 + Im )

−d

8

Introducción a la Matemática Financiera

3.2.1.4. Renta anticipada, diferida y temporal

En este caso, el esquema de la operación es:

C1

0

(d-1)P

V0

Vd-1

Si se aplica el sumatorio

C2

dP

n

∑ Cr ⋅ (1 + Im )

−r

........... Cr

............

Cn

(d+1)P ..... (d+(r-1))P ...… (d+(n-1))P (d+n)P años

en la valoración de esta renta el valor se obtiene un

r =1

periodo antes de donde se encuentra la primera cuantía de la renta, es decir, en ( d − 1) P . Para obtener el valor en el origen de la operación, V0, se debe actualizar el valor en ( d − 1) P , Vd-1 (cuantía de un capital situado en ( d − 1) P ) hasta T=0. Es decir, debe actualizarse dicha cuantía d –1 periodos de la renta:

V0 = Vd−1 ⋅ (1 + Im )

−( d−1)

=

n

∑ Cr ⋅ (1 + Im )

−r

r =1 

⋅ (1 + Im )

−( d−1)

V

d−1

3.2.1.5. Renta vencida, inmediata y perpetua

Si la renta es perpetua, vencida y temporal su valor actual, V0∞ , se obtiene calculando el límite cuando n → ∞ del valor actual de la renta vencida, inmediata y temporal: V0∞ = lím V0 n→∞

En el caso que la renta perpetua tenga otras características distintas se aplicarán las mismas correcciones que para las rentas temporales.

Rentas Financieras

9

3.2.2. Valor final de una renta vencida, inmediata y temporal El valor final de una renta vencida, inmediata y temporal es la suma del valor financiero de todos los capitales de la renta en Tn . El valor final, Vf , es la cuantía del capital financiero situado en Tn , equivalente al conjunto de capitales financieros que constituye la renta:

{ ( Cr ,

}r =1,2,...,n

Tr )

∼ { ( Vf ,Tn )

}

Gráficamente el valor final de esta renta se corresponde con el siguiente esquema:

C1

C2

P

2P

0

............................

............................

Cr

................................. Cn

rP

............................... nP años

Vf

Aplicando régimen financiero de interés compuesto, el valor final de la renta, Vf, se determina del siguiente modo: Vf = C1 ⋅ (1 + Im )

n −1

+ C2 ⋅ (1 + Im )

n−2

+ ... + Cr ⋅ (1 + Im )

n −r

n

+ ... + Cn

Vf = ∑ Cr ⋅ (1 + Im )

n −r

r =1

Por otra parte, el valor final se puede expresar en función del valor actual: n

Vf = ∑ Cr ⋅ (1 + Im ) r =1

n −r

n

= (1 + Im ) ⋅ ∑ Cr ⋅ (1 + Im ) =1 r 

n

−r

V0

Vf = V0 ⋅ (1 + Im )

n

10

Introducción a la Matemática Financiera

Este resultado puede hacerse extensivo a cualquier otro tipo de renta teniendo en cuenta sus propias particularidades. Una vez que se ha obtenido el valor actual, el valor financiero en cualquier otro diferimiento se obtiene capitalizando hasta dicho diferimiento el valor actual. Las rentas perpetuas, al no tener un final conocido, no tienen valor final. Todos los sumatorios que se han obtenido se convierten en fórmulas de fácil aplicación cuando se consideran rentas cuyo término es constante, variable geométricamente o linealmente tal como se expone en los siguientes apartados.

3.3. RENTA CONSTANTE

A continuación se obtendrán las expresiones correspondientes al valor actual y final de una renta vencida, inmediata, temporal y constante. En el caso que la renta constante considerada presente unas características distintas a las citadas se aplicarán a las expresiones obtenidas las correcciones expuestas en el apartado anterior. Para hallar el valor actual de una renta constante, vencida, inmediata y temporal basta sustituir Cr = C

∀r ∈ Ν en la expresión general del valor actual de la renta modelo:

n

V0 = ∑ Cr ⋅ (1 + Im )−r = r =1

n

∑ C ⋅ (1 + Im )−r r =1

n

= C ⋅ ∑ (1 + Im )−r r =1

El sumatorio n

∑ (1 + Im )−r r =1

= (1 + Im ) + −1

(1 + Im )

−2

+ (1 + Im )

−3

+ ... + (1 + Im )

−n

es la suma de los n términos de una progresión geométrica de razón (1 + Im ) del siguiente modo:

Suma = donde:

a1 − an ⋅ q∗ 1 − q∗

−1

y se obtiene

Rentas Financieras

–

a1 = (1 + Im )

–

an = (1 + Im )

–

q∗ = (1 + Im )

−1

11

es el primer término de la progresión geométrica

−n

es el último término de la progresión

−1

es la razón de la progresión

de modo que, ∗

a

n

∑ (1 + Im )

−r

=

q an 1 



    (1 + Im )−1 − (1 + Im )−n · (1 + Im )−1

1 − (1 + Im )−1  

r =1

=

(1 + Im )

−1

⋅

1 − (1 + Im )

−n

1 − (1 + Im )

−1

=

q∗

=

1 − (1 + Im )

−n

(1 + Im ) ⋅ (1 − (1 + Im )

−1

=

)

1 − (1 + Im )−n 1 − (1 + Im )−n = Im (1 + Im ) − 1

Teniendo en cuenta la última expresión, el valor actual de una renta constante, vencida, inmediata y temporal es:

n

V0 = C ⋅ ∑ (1 + Im )−r

= C⋅

r =1

siendo an

Im

=

1 − (1 + Im )−n Im

1 − (1 + Im )−n Im

= C ⋅ an

Im

el valor actual de una renta unitaria (C=1 u.m.), vencida,

inmediata y temporal, valorada al tanto Im . V0 = C ⋅ an

Im

Si la renta es constante, vencida, inmediata y perpetua, el valor actual de la renta es: V0∞ = lím V0 n→∞

V0∞

= lím C ⋅ an n→∞

Im

1 − (1 + Im )−n = C ⋅ lím n→∞ Im

= C⋅

1 = C ⋅ a∞ Im

Im

12

Introducción a la Matemática Financiera

siendo a∞

Im

=

1 el valor actual de una renta unitaria, vencida, inmediata y perpetua, valorada Im

al tanto Im . V ∞ = C ⋅ a∞ 0

Im

El valor final de la renta constante, vencida, inmediata y temporal se obtiene a partir de

Vf = V0 ⋅ (1 + Im )

n

sustituyendo V0 por la expresión particular de la renta constante:

Vf = C ⋅ an

1 − (1 + Im )−n = C⋅ ⋅ (1 + Im ) Im

siendo sn

(1 + Im )n − 1 = Im Im

Im

n

⋅ (1 + Im )

= C⋅

n

(1 + Im )

=

n

Im

−1

= C ⋅ sn

Im

el valor final de una renta unitaria, vencida, inmediata y temporal,

valorada al tanto Im . V = C ⋅ sn f

Im

Ejemplo

Sea una renta de 60 términos mensuales de 600 € cada uno de ellos. Si el régimen financiero aplicado es el de interés compuesto y el tipo de interés un 5,7% anual capitalizable mensualmente, hallar el valor actual de la renta si ésta fuese: a. Vencida e inmediata

El esquema asociado a esta renta es:

Rentas Financieras

0

600

600

600

...................

600

1/12

2/12

3/12

...................

59/12

13

600 60/12 años

V0 Para hallar el valor actual en T = 0 de esta renta se aplica la fórmula deducida anteriormente para la renta modelo constante: C ⋅ an

Im

= C⋅

1 − (1 + Im )−n Im

teniendo en cuenta los siguientes datos: • C = 600 € • Im = I12 =

i12 = 0,00475 . Debe tenerse en cuenta que la frecuencia asociada al tanto efectivo 12

utilizado en la valoración de la renta debe coincidir con la frecuencia de la renta, de ahí que se utilice un tanto efectivo mensual. • n = 60 Teniendo en cuenta que de la aplicación de la fórmula se obtiene el valor de la renta un periodo antes de donde se localiza el primer término de la renta, dicho valor se obtiene ya en el momento T = 0 . V0 = 600 ⋅ a60

b. Anticipada e inmediata

El esquema asociado a la renta es:

I12

= 600 ⋅

1 − 1,00475 −60 = 31.260, 40 € 0,00475

14

Introducción a la Matemática Financiera

-1/12

600

600

600

...................

600

0

1/12

2/12

...................

59/12

60/12 años

V-1/12 V0 En este caso, el resultado de aplicar la fórmula de la renta constante, 600 ⋅ a60

I12

proporciona

la cuantía de un capital situado un periodo antes de donde se encuentra localizado el primer término de la renta, es decir, en T = − 1 12 : V−1/ 12 = 600 ⋅ a60

I12

= 31.260,40 €

Por tanto, para obtener el valor en T = 0 deberá capitalizarse el resultado anterior un periodo de la renta, un mes: V0 = 600 ⋅ a60 I ⋅ (1 + I12 ) = 31.408,89 € 12   

V−1/ 12

3.4. RENTA DE VARIACIÓN GEOMÉTRICA

Esta renta se caracteriza porque el cociente entre dos términos consecutivos es siempre el mismo: Cr +1 =q Cr

∀r ∈ Ν

Al ser un cociente de cuantías y ser éstas siempre estrictamente positivas, q debe ser siempre un número real positivo, q > 0 : • Si los términos de la renta son crecientes, entonces Cr +1 > Cr ∀r ∈ Ν y en este caso q > 1. • Si los términos de la renta son decrecientes, entonces Cr +1 < Cr ∀r ∈ Ν y en este caso 0 < q < 1.

Rentas Financieras

15

Los términos de una renta de variación geométrica se ajustan a la siguiente variación: Cr = C1 ⋅ qr −1

∀ r∈Ν

Para obtener el valor actual de una renta de variación geométrica que además es vencida, inmediata y temporal basta sustituir Cr = C1 ⋅ qr −1

∀r ∈ Ν en la expresión general del valor

actual de la renta modelo: n

n

= ∑ C1 ⋅ qr −1 ⋅ (1 + Im )

V0 = ∑ Cr ⋅ (1 + Im )−r r =1

r =1

−r

n

(

= C1 ⋅ q−1 ⋅ ∑ q ⋅ (1 + Im ) r =1

−1

)

r

Para deducir la expresión que permite obtener directamente el valor actual de la renta de variación geométrica, vencida, inmediata y temporal, es necesario distinguir dos casos: a. 1 + Im ≠ q n

∑

r =1

(

q ⋅ (1 + Im )

−1

)

r

es la suma de n términos de una progresión geométrica de razón

q∗ = q ⋅ (1 + Im ) , esto es, −1

∗

a

n

∑

r =1

( q ⋅ (1 + I ) ) −1

r

m

=

q an 1



    −1 −n −1 q ⋅ (1 + Im ) − qn ⋅ (1 + Im ) ⋅ q ⋅ (1 + Im )

1 − q ⋅ (1 + Im )  

−1

=

q∗

= q ⋅ (1 + Im ) ⋅ −1

1 − qn ⋅ (1 + Im ) 1 − q ⋅ (1 + Im )

−n

−1

= q⋅

1 − qn ⋅ (1 + Im )

−n

1 + Im − q

de donde

n

(

V0 = C1 ⋅ q ⋅ ∑ q ⋅ (1 + Im ) −1

r =1

−1

)

r

−1

= C1 ⋅ q ⋅ q ⋅

V0 = C1 ⋅

1 − qn ⋅ (1 + Im ) 1 + Im − q

1 − qn ⋅ (1 + Im ) 1 + Im − q

−n

−n

= C1 ⋅

1 − qn ⋅ (1 + Im ) 1 + Im − q

−n

16

Introducción a la Matemática Financiera

b. 1 + Im = q En este caso

n

∑

r =1

( q ⋅ (1 + I ) ) −1

m

r

= n y, por tanto, se obtiene que: n

(

V0 = C1 ⋅ q−1 ⋅ ∑ q ⋅ (1 + Im ) r =1

−1

)

r

= C1 ⋅ n ⋅ q−1 = C1 ⋅ n ⋅ (1 + Im )

V0 = C1 ⋅ n ⋅ (1 + Im )

−1

−1

Si la renta geométrica es vencida, inmediata y perpetua, el valor actual sólo está definido cuando 0 < q ⋅ (1 + Im )

−1

< 1 y es:

V0∞

= lím V0 = lím C1 ⋅ n→∞

1 − qn ⋅ (1 + Im )

n→∞

V0∞ =

1 + Im − q

−n

=

C1 1 + Im − q

C1 1 + Im − q

Para obtener el valor final de la renta geométrica, vencida, inmediata y temporal se aplicará la expresión general deducida en el apartado 3.2.2..

Ejemplo Sea una renta de 48 términos trimestrales y crecientes en un 2% trimestral acumulativo. Si el primer término es de 1.000 € y la valoración se efectúa en régimen financiero de interés compuesto a un tipo de interés del 2,01% semestral, hallar el valor actual, en el origen de la operación, de la renta si ésta fuese:

a. Vencida y diferida 3 trimestres El esquema temporal de esta renta es,

Rentas Financieras

0

1/4

2/4

V0

3/4

C1

C2

.........

C47

4/4

5/4

........

50/4

17

C48

51/4 años

V3

Para hallar el valor de esta renta en T = 0

( V0 )

se aplicará la fórmula del valor actual de la

renta modelo de variación geométrica añadiendo la corrección necesaria para contemplar la existencia del diferimiento. Los datos de la renta son los siguientes: • C1 = 1.000 € • q = 1,02 • Im = I4 = 0,01 ~ I2 = 0,0201. Se comprueba que 1 + I4 ≠ q . • n = 48 • d = 3 trimestres

Al aplicar la fórmula C1 ⋅

1 − qn ⋅ (1 + Im )

−n

1 + Im − q

se obtiene el valor de la renta un trimestre antes del

momento en que se localiza el primer término, es decir, se obtiene en T = 3 4 . Por tanto, deberá actualizarse el resultado obtenido, V3 , 3 trimestres para poder obtener el valor en el origen de la operación: 1 − 1,0248 ⋅ 1,01−48 V0 = 1.000 ⋅ ⋅ 1,01−3 = 58.687,44 euros 1 + 0,01 − 1,02   

V3 4

b. Anticipada y diferida 3 trimestres El esquema temporal de esta renta es,

18

Introducción a la Matemática Financiera

0

V0

1/4

2/4

C1

C2

.........

C47

C48

3/4

4/4

........

49/4

50/4

51/4 años

V2

En este caso, al aplicar la fórmula del valor actual de la renta modelo de variación geométrica se obtiene el valor de la renta un trimestre antes del momento en que se localiza el primer término de la renta, es decir, en T = 2 4 ( V2 ) . Por tanto, para hallar el valor en el origen de la operación, V0 , deberá actualizarse el resultado obtenido, V2 , 2 trimestres:

1 − 1,0248 ⋅ 1,01−48 V0 = 1.000 ⋅ ⋅ 1,01−2 = 59.274,32 € 1 + 0,01 − 1,02   

V2 4

3.5. RENTA DE VARIACIÓN LINEAL Esta renta se caracteriza porque la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma:

Cr +1 − Cr = h

∀r ∈ Ν

• Si los términos de la renta son crecientes, entonces Cr +1 > Cr ∀r ∈ Ν y en este caso h > 0 . • Si los términos de la renta son decrecientes, entonces Cr +1 < Cr ∀r ∈ Ν y en este caso h < 0. Los términos de una renta de variación lineal se ajustan a la ley: Cr = C1 + h ⋅ ( r − 1)

∀r ∈ Ν

19

Rentas Financieras

Para obtener el valor actual de una renta de variación lineal vencida, inmediata y temporal se toma como punto de partida la definición general del valor actual para la renta modelo: n

V0 = ∑ Cr ⋅ (1 + Im )−r r =1

y se sustituye Cr por Cr = C1 + h ⋅ ( r − 1)

n

n

r =1

r =1

∀r ∈ Ν :

V0 = ∑ Cr ⋅ (1 + Im )−r = ∑ C1 + h ⋅ ( r − 1)  ⋅ (1 + Im )

−r

n

= C1 ⋅ ∑ (1 + Im )

−r

r =1

n

n

+ h ⋅ ∑ r ⋅ (1 + Im ) − h ⋅ ∑ (1 + Im ) −r

r =1

r =1

Teniendo en cuenta que n

h ⋅ ∑ r ⋅ (1 + Im )

−r

r =1

= h ⋅ (1 + Im ) n

= h ⋅ ∑ (1 + Im )

−1

+ 2 ⋅ h ⋅ (1 + Im )

−r

+ h ⋅ ∑ (1 + Im ) + h ⋅ ∑ (1 + Im )

n

r =1

−2

+ 3 ⋅ h ⋅ (1 + Im ) n

−r

r =2

r =3

−3

+ ... + n ⋅ h ⋅ (1 + Im ) −r

−n

n

+...+ h ⋅ ∑ (1 + Im )

= −r

r =n

la anterior expresión de V0 es:

n

n

n

n

V0 = C1 ⋅ ∑ (1 + Im ) + h ⋅ ∑ (1 + Im ) + h ⋅ ∑ (1 + Im ) + ... + h ⋅ ∑ (1 + Im ) r =1 

r = 2  r = 3  r = n   





−r

(1)

−r

(2)

−r

−r

(n)

(3)

V0 es la suma del valor actual de n rentas constantes cuyos esquemas temporales son los siguientes:

h (n) ...

0

h

h

...

h

h (3)

h

h

h

...

h

h (2)

C1

C1

C1

C1

...

C1

C1 (1)

P

2P

3P

4P

…

En función de este esquema, V0 es:

(n-2)P (n-1)P

nP años

−r

20

Introducción a la Matemática Financiera

− ( n −1)

V0 = C1 ⋅ an I + h ⋅ an−1 I ⋅ (1 + Im ) + h ⋅ an−2 I ⋅ (1 + Im ) + ... + h ⋅ a1 I ⋅ (1 + Im ) = m m m  

 

 m 

  

−1

(1)

( 2)

= C1 ⋅ an

(3)

n −1

= C1 ⋅ an = C1 ⋅ an

−2

+ ∑ h ⋅ an−s

Im

Im

Im

s =1

+

+

Im

⋅ (1 + Im )

−s

= C1 ⋅ an

(n)

Im

h n−1  −s −n ⋅ ∑ (1 + Im ) − (1 + Im )  = C1 ⋅ an   Im s =1

h Im

1 − (1 + Im )

n −1

+ h⋅ ∑

Im

s =1

Im

+

−( n − s )

h Im

⋅ (1 + Im )

−s

=

n −1 −s −n  n−1 ⋅  ∑ (1 + Im ) − ∑ (1 + Im )  = s =1  s =1 

n h h −s −n  −n n ⋅  ∑ (1 + Im ) − ∑ (1 + Im )  = C1 ⋅ an I + ⋅ an I − ⋅ n ⋅ (1 + Im ) = m m Im Im s =1  s =1    

( ∗)

= C1 ⋅ an

Im

h + ⋅ an Im

Im

+ n⋅h⋅

1 − (1 + Im )

−n

−1

Im

= C1 ⋅ an

Im

+

h ⋅a Im n

Im

+ n ⋅ h ⋅ an

Im

−

De esta última expresión se obtiene:   h V0 =  C1 + + n ⋅ h  ⋅ an Im  

Im

−

n⋅h Im

En el caso de que la renta lineal sea vencida, inmediata y perpetua, el valor actual es: V0∞ = lím V0 n→∞

Si se sustituye V0 por la expresión señalada con (*) en la demostración anterior, se obtiene

 V0∞ = lím V0 = lím  C1 ⋅ an n→∞ n→∞   h =  C1 +  ⋅ lím an Im  n→∞ 

puesto que se cumple que

Im

Im

−

+

h ⋅a Im n

Im

−

h −n  ⋅ n ⋅ (1 + Im )  = Im 

C h n h ⋅ lím = 1 + n n →∞ Im Im Im2 (1 + Im )

n⋅h Im

Rentas Financieras

• •

lím an

n→∞

lím

n→∞

Im

n

(1 + Im )

n

=

21

1 Im

1 ∞  =   = lím =0 n →∞ n ∞   (1 + Im ) ⋅ ln (1 + Im )

En definitiva, se obtiene que V0∞ =

C1 h + 2 Im Im

Para obtener el valor final de la renta lineal, vencida, inmediata y temporal se aplicará la expresión general deducida en el apartado 3.2.2..

Ejemplo Sea una renta de 72 términos mensuales y crecientes en 20 € cada mes. Si el primer término es de 150 € y la valoración se efectúa en régimen financiero de interés compuesto a un tipo de interés del 0,4% mensual, hallar el valor final de la renta si se considera vencida e inmediata. El esquema asociado a esta renta es:

C1

0

V0

C2

1/12 2/12

C3

C4

3/12 4/12

.............

C71

..............

71/12

C72

72/12 años

Vf

Para hallar el valor final de esta renta deben tenerse en cuenta los siguientes datos:

22

Introducción a la Matemática Financiera

• C1 = 150 € • h = 20 • Im = I12 = 0,004 • n = 72 De la aplicación inmediata de la fórmula del valor actual de la renta lineal, vencida, inmediata y temporal se obtiene el valor de la renta en el origen de la operación, es decir, en T=0 ( V0 ) . Por tanto, para obtener el valor al final de la operación basta capitalizar el resultado obtenido 72 meses:  20 20 ⋅ 72   72 Vf =   150 + + 20 ⋅ 72  ⋅ a72 0,004 −  ⋅ 1,004 = 68.726,33 € 0,004 0,004      

V0

3.6. RENTA FRACCIONADA Una renta fraccionada se caracteriza porque su frecuencia no coincide con la frecuencia de variación del término de dicha renta. Las características de la renta fraccionada son las siguientes: • Periodo de la renta: P (Frecuencia de la renta: m=1/P). • Periodo de la variación del término: P’ (Frecuencia de la variación del término: M=1/P’). • Número de términos de la renta: n. • Número de términos de cuantía diferente en el plazo de la renta: N. • El término general de la renta fraccionada es Cr , donde r=1,2,...,N puesto que el término sólo cambia N veces de cuantía. • Número de términos de igual cuantía dentro de cada periodo de variación: k. Se cumple que k =

m P′ n = = . M P N

El esquema temporal de una renta fraccionada, vencida, inmediata y temporal, es el siguiente:

Rentas Financieras

0

C1

C1

P

2P

...........

C1

............ kP

C2

C2

.........

C2

(k+1)P (k+2)P ........ 2kP

............

23

CN

............ nP años

Como se desprende del esquema anterior, el término de la renta no varía cada periodo sino que lo hace cada k periodos. Así, durante los k primeros periodos el término es el mismo y se simboliza por C1,, durante los k segundos periodos el término también es el mismo y se simboliza por C2, aunque distinto a los primeros k periodos y así sucesivamente. Una renta fraccionada se puede considerar como un conjunto de N rentas constantes. Para hallar el valor actual de la renta fraccionada se sustituye, en primer lugar, cada una de las N rentas constantes por su valor final:

0

C1

C1

...........

C1

P

2P

..........

kP

C2

C2

.........

C2

(k+1)P (k+2)P ........ 2kP

V1

V2

............

CN

............ nP años ............

VN

El valor final de una renta de k términos de cuantía constante Cr y de frecuencia m es:

Vr = Cr ⋅ sk

Im

r = 1,2,...,N

Así, la renta original puede sustituirse por otra renta de N términos de cuantía variable Vr ,

r = 1,2,...,N y de periodicidad P ' , esto es de frecuencia M, cuyo esquema temporal es:

V1 0

P

V2

............

VN

2P ........... P’=kP (k+1)P (k+2)P ..... 2P’=2kP ........ NP’=nP años

24

Introducción a la Matemática Financiera

El valor actual de la renta fraccionada, V0f , se obtiene del siguiente modo:

0

V1

V2

............

P’

2P’ ............

VN NP’ años

V0f N

V0f = ∑ Vr ⋅ (1 + IM )

−r

r =1

(1 + Im )

k

= =

−1

Im

N

= ∑ Cr ⋅ sk r =1

N

⋅ ∑ Cr ⋅ (1 + IM ) r =1

Im −r

⋅ (1 + IM )

=

−r

=

IM N −r ⋅ ∑ Cr ⋅ (1 + IM ) = Im r =1

N IM M i i −r −r ⋅ ⋅ ∑ k ⋅ Cr ⋅ (1 + IM ) = M ⋅ ∑ C 'r ⋅ (1 + IM ) = M ⋅ V0auxiliar Im m r =1 im r 

im =1 N

Vauxiliar 0

En definitiva, V0f =

iM ⋅ V0auxiliar im

V0auxiliar es el valor actual de una renta, denominada auxiliar, cuyas características son las siguientes: • Su frecuencia es igual a la frecuencia de variación de la renta fraccionada: M. • El número de términos (y, por tanto, el número de periodos) coincide con el número de términos de cuantía diferente en todo el plazo de la renta fraccionada: N. • El término de la renta es Cr′ = k ⋅ Cr

(r=1,2,...,N) y cada uno de ellos se sitúa donde está el

último término de cuantía Cr . Así, por ejemplo, el primer término de la renta auxiliar C1′ = k ⋅ C1

se sitúa donde está el último término de cuantía C1 .

El esquema de la renta auxiliar asociada al de la renta fraccionada es el siguiente:

Rentas Financieras

25

Renta fraccionada

0

C1

C1

...........

C1

P

2P

...........

kP

C2

C2

..........

C2

............

(k+1)P (k+2)P ......... 2kP

CN

......... nP años

Renta auxiliar C’1 = k⋅C1

0

P’=kP

C’2 = k⋅C2 ...... C’N = k⋅CN

2P’=2kP ....... NP’=nkP años

La renta auxiliar es una renta variable, vencida, inmediata y temporal y, por tanto, su valor actual se obtiene aplicando las fórmulas de las rentas de variación geométrica o lineal anteriormente vistas en los apartados 3.4. y 3.5. respectivamente.

El cociente

iM es el denominado factor corrector, que permite convertir el valor actual de la im

renta auxiliar en el valor actual de la renta fraccionada, vencida, inmediata y temporal. Dicho factor corrector es el cociente entre el tanto nominal de interés asociado a la frecuencia de la variación y el tanto nominal de interés asociado a la frecuencia de la renta fraccionada.

Ejemplo Sea una renta de 120 términos mensuales y vencidos, variables a razón de un 5% anual acumulativo. Hallar su valor actual si el tipo de interés es el 6% efectivo anual y durante el primer año cada término mensual es de 3.000 €. Las características de la renta fraccionada son: • Periodo de la renta: P = 1 12 ⇒ m = 12 • Periodo de la variación: P ′ = 1 ⇒ M = 1 • Número de términos de la renta: n=120 • Número de términos de cuantía diferente: N=10

26

Introducción a la Matemática Financiera

• Durante el primer año, el término mensual es de 3.000 € ( C1 = 3.000 ). Durante el segundo año se incrementará dicho término un 5% con respecto al del año anterior. Así, C2 = 1,05 ⋅ C1 = 3.150 . En definitiva, se cumplirá que Cr = C1 ⋅ 1,05 • Número

de

términos

de

igual

cuantía

dentro

de

r −1

cada

r = 1,2,3,... 10 periodo

de

variación:

n m

 P 12 120 K= = = 12 1 10 N N M

N

• La renta es vencida, inmediata y temporal Y las características de la renta auxiliar son: • Periodo de la renta: P ′ = 1 ⇒ M = 1 • Número de términos: N=10 • El primer término es C1′ = k ⋅ C1 = 12 ⋅ C1 = 36.000 € y está situado al final del primer año de la renta, que es precisamente donde está situado el último término de cuantía C1. El segundo término es C2′ = k ⋅ C2 = 12 ⋅ C2 = 12 ⋅ 1,05 ⋅ C1 = 1,05 ⋅ 12 ⋅ C1 = 1,05 ⋅ C1′ . Como puede apreciarse, la variación del término de la renta auxiliar es la misma que la de la renta fraccionada. Este resultado puede generalizarse al resto de los términos y ello permite expresar el término general como Cr′ = C1′ ⋅ 1,05

r −1

= 12 ⋅ C1 ⋅ 1,05

r −1

con

r = 1,2,3,...,10 . Así, la renta

auxiliar es una renta de variación geométrica a la cual se aplicará la fórmula obtenida en el apartado 3.4. de este capítulo. Los esquemas temporales correspondientes a las rentas fraccionada y auxiliar asociadas a la renta descrita en el ejemplo son los siguientes: Renta fraccionada C1 0

1/12

C1

..........

C1

2/12 ......... 12/12

C2 13/12

C2

..........

C2

............

C10

14/12 ......... 24/12 ....... 120/12 años

Renta auxiliar C’1=12⋅C1

0

1

C’2=12⋅C2 .... C’10 =12⋅C10

2

..........

10 años

Rentas Financieras

i

1

 0,06

27

C'

1

 1 − 1,0510 ⋅ 1,06−10 f ⋅ 36.000 ⋅ = 334.420,25 € V0 = 0,058411 1,06 − 1,05

 

  

i

V0auxiliar

12

3.6.1. Renta fraccionada anticipada, inmediata y temporal Si la renta fraccionada es anticipada, inmediata y temporal la valoración debe hacerse teniendo en cuenta el siguiente esquema: Renta fraccionada C1

C1

.............

0

P

............

C1 (k-1)P

C2 kP

C2

..........

C2

.........

(k+1)P ..... (2k-1)P

CN

...... (n-1)P

nP años

Renta auxiliar

-P

0 P

C’1 = k⋅C1

C’2 = k⋅C2 ...... C’N = k⋅CN

(k-1)P

(2k-1) P ........ (n-1)P

años

(k-1)P

En el caso de que la renta sea anticipada, el valor actual de la renta auxiliar se obtiene un periodo, P, antes del origen de la renta. Por tanto, para tener el valor en el origen de la operación deberá capitalizarse el resultado obtenido un periodo de la renta fraccionada:

V0f =

iM ⋅ V−auxiliar ⋅ (1 + Im ) P im

Ejemplo Hallar el valor actual de una renta de iguales características a la del ejemplo anterior pero anticipada. Los esquemas correspondientes a las rentas fraccionada y auxiliar son los siguientes:

28

Introducción a la Matemática Financiera

Renta fraccionada C1

C1 0

........

C1

C2

1/12 ........ 11/12

C2

12/12

............. C2

13/12 ........ 23/12

.............

C10

........ 119/12 120/12 años

Renta auxiliar

-1/12

0

C’1=12⋅C1

C’2=12⋅C2 .... C’10 =12⋅C10

11/12

1+11/12 ...... 9+11/12 años

11/12 años

Como la renta fraccionada es mensual y anticipada, el valor de la renta auxiliar se obtiene un mes antes del origen de la renta siendo necesario capitalizar el resultado un mes para poder tener el valor de la renta fraccionada en el origen de la operación. i

1 



V0f =

1 − 1,0510 ⋅ 1,06−10 ⋅ 36.000 ⋅ ⋅ 1,004867 = 336.048,06 € 0,058411 1,06 − 1,05  

     1+I12 0,06 i

12

Vauxiliar − 1 12

 

Vauxiliar 0

Rentas Financieras

29

Cuadro resumen de las fórmulas que permiten obtener el valor actual de las rentas financieras:

RENTA Cr = C

Cr = C1 ⋅ qr −1

PERPETUA

TEMPORAL

∀r ∈ Ν

∀r ∈ Ν

1 − (1 + Im )−n V0 = C ⋅ Im 1 + Im ≠ q ⇒ V0 = C1 ⋅

= C ⋅ an

1 − qn ⋅ (1 + Im )

−n

1 + Im − q

1 + Im = q ⇒ V0 = C1 ⋅ n ⋅ (1 + Im )

Cr = C1 + h ⋅ ( r − 1) ∀r ∈ Ν

V0∞ = C ⋅

Im

  h V0 =  C1 + + n ⋅ h  ⋅ an Im  

Im

−

−1

n⋅h Im

1 = C ⋅ a∞ Im

V0∞ = C1 ⋅

1 1 + Im − q

0 < q ⋅ (1 + Im )

V0∞ =

−1