Story Transcript
Representación de datos y aritmética básica en sistemas digitales DIGITAL II - ECA
Departamento de Sistemas e Informática Escuela de Ingeniería Electrónica Rosa Corti
1
Sistemas de Numeración:
Alfabeto: Símbolos utilizados
Base: Cantidad de símbolos del alfabeto Sistemas Posicionales: La posición del dígito en la tira de símbolos da un “peso” a su valor 2
Sistemas de Numeración:
Sistema binario
{0,1}
Sistema octal
{0,1,2,3,4,5,6,7}
Sistema hexadecimal
{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} 3
Representación decimal: Código BCD Dígito decimal
Dígito decimal codificado en binario
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
4
Representación y operaciones básicas con enteros.
5
Representación de enteros
Magnitud y signo
Utilizada en la vida diaria
Complemento a la base Complementos Complemento a la base menos 1 6
Complemento a la base menos 1 Dado un número N en base r con n dígitos, el complemento (r – 1) de N se define como ( rn – 1) – N. Ejemplo en binario: N = (01101)2 -N = (10010)2
Ventaja: Implementación muy simple Inconveniente: Doble representación del cero
Ejemplo en decimal: N = (31.479)10 -N = (68.520)10
7
Complemento a la base
Dado un número N en base r con n dígitos, el complemento a r de N se define como rn – N. Ejemplo en binario:
Ejemplo en decimal:
N = (01101)2 -N = (10011)2
N = (31.479)10 -N = (68.521)10
Es el complemento más utilizado en sistemas digitales 8
Representación del signo: Ejemplo en binario: N = (14)10 = (0 00001110)2 -N = (- 14)10 = (1 11110010)2 Utilizando complemento a 2. -N = (- 14)10 = (1 11110001)2 Utilizando complemento a 1.
Ejemplo en decimal: N = (+ 258)10 = ( 0000 0010 0101 1000 ) BCD -N = (- 258)10 = ( 1001 0111 0100 0010 ) BCD , en C10. 9
Suma en C2 A
• Caso 1: A > 0 y B > 0 S=A+B
A B S= A+B
Cout
B Sumador Binario
Resultado correcto
Sistema decimal +6 +13 +19
Cin
S
Sistema binario 0 0000110 0 0001101 0 0 0010011 10
Suma en C2 • Caso 2: A < 0 y B < 0 Resultado correcto S = (rn – A) + ( rn – B) = rn + rn – ( |A| + |B| )
A B S= A+B
Sistema decimal -6 -13 -19
Sistema binario 1 1111010 1 1110011 1 1 1101101 11
Suma en C2 • Caso 3: A < 0 y B > 0 y |A| < |B| Resultado correcto S = (rn – A) + B = rn + ( |B| - |A| )
A B S= A+B
Sistema decimal Sistema binario -6 1 1111010 +13 0 0001101 +7 1 0 0000111 12
Suma en C2 • Caso 4: A > 0 y B < 0 y |A| < |B| Resultado correcto S = A + (rn – B) = rn - ( |B| - |A| )
A B S= A+B
Sistema decimal Sistema binario +6 0 0000110 -13 1 1110011 -7 0 1 1111001 13
Sumador binario en C2 A
Cout
B
Σ Sumador Binario
Cin
S
Cuando sumamos números positivos y negativos utilizando complemento a r, se obtendrá el resultado correcto siempre, si se ignora rn. 14
Sobreflujo (Overflow) El sobreflujo ocurre cuando al sumar dos números de n bits, el resultado ocupa n + 1bits.
Es un problema de la representación ligado al tamaño finito de los registros del sistema En general se detecta y se informa. 15
Bibliotecas Unificadas: Sumador binario Se disponen en distinto tamaño: 4, 8, 16 bits Son encadenables
Sumadores de mayor tamaño
Números sin signo o C2
Interpretación de los operandos 16
Suma Binaria
Suma BCD de dos dígitos
Se puede obtener utilizando un sumador binario ?
Suma BCD
Valor decimal
K Z8 Z4 Z2 Z1
C S 8 S4 S2 S1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
1
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
2
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
3
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
4
0 0 1 0 1
0 0 1 0 1
5
0 0 1 1 0
0 0 1 1 0
6
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
7
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
8
0 1 0 0 1
0 1 0 0 1
9
0 1 0 1 0
1 0 0 0 0
10
0 1 0 1 1
1 0 0 0 1
11
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
12
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
13
0 1 1 1 0
1 0 1 0 0
14
0 1 1 1 1
1 0 1 0 1
15
1 0 0 0 0
1 0 1 1 0
16
1 0 0 0 1
1 0 1 1 1
17
1 0 0 1 0
1 1 0 0 0
18
1 0 0 1 1
1 1 0 0 1
19
17
Suma en BCD •
Ejemplo 1: S = A + B, dónde A = (+ 184) y B = (+ 576) Signo
Centena
Decena
1
1
0000
0001
1000
0100
184
0000
0101
0111
0110
+ 576
0000
0111
1 0000
1010
0110
0110
0110
1 0000
Acarreo BCD
Suma Binaria Corrección
Suma BCD 0000
0111
Unidad Suma Decimal
760 18
Suma en BCD •
Ejemplo 2: S = A + B, dónde A = (- 184) y B = (- 576) C10(A) = 9 816 Signo
Centena
C10(B) = 9 424 Decena
Unidad Suma Decimal
Acarreo BCD 1 1001
1000
0001
0110
- 184
1001
0100
0010
0100
- 576
1 1011
1100
0100
1010
0110
0110
1 1001
1 0010
Suma Binaria Corrección Suma BCD
1
0110 0100
1 0000
- 760 19
Suma en C1 • Caso 1:
A
A>0yB>0 Cout
S=A+B
Resultado correcto
B Sumador Binario
Cin
S
A B S= A+B
Sistema decimal +6 +13 +19
Sistema binario 0 0000110 0 0001101 0 0 0010011 20
Suma en C1 • Caso 2: A < 0 y B < 0
Resultado correcto
S = (rn – 1 – A) + ( rn – 1 – B) = rn – 1 + rn – 1 – ( |A| + |B| )
A B S= A+B
Sistema decimal -6 -13 -19
Sistema binario 1 1111001 1 1110010 1 1 1101011 (- 20) 1 1 1101100 21
Suma en C1 • Caso 3: A < 0 y B > 0 y |A| < |B| Resultado correcto S = (rn – 1 – A) + B = rn – 1 + ( |B| – |A| )
A B S= A+B
Sistema decimal -6 +13 +7
Sistema binario 1 1111001 0 0001101 1 0 0000110 ( + 6) 1 00000111
22
Suma en C1 • Caso 4: A > 0 y B < 0 y |A| < |B| Resultado correcto S = A + (rn – 1 – B) = rn – 1 – ( |B| – |A| )
A B S= A+B
Sistema decimal Sistema binario +6 0 0000110 -13 1 1110010 -7 0 1 1111000 23
Sumador binario en C1 A
Cout
B Σ Sumador Binario
Cin
S
Cuando sumamos números positivos y negativos utilizando complemento a r – 1, se obtendrá el resultado correcto siempre, si se suma rn al dígito menos significativo. 24
Resta binaria
R=A-B
R = A + (- B)
Se complementa el sustraendo ( C2 ó C1)
Se obtiene a partir del bloque sumador 25
Bibliotecas Unificadas: Sumador/Restador binario Se disponen en distinto tamaño: 4, 8, 16 bits Son encadenables
Operandos de mayor tamaño
Números sin signo o C2
Interpretación de los operandos 26
Multiplicación y división binarias Se obtienen a partir de la suma y resta binarias , realizando los corrimientos correspondientes.
Se opera con los valores absolutos y se obtiene el signo del resultado a partir de los signos de los operandos.
ALU
• Operaciones aritméticas • Operaciones lógicas • Corrimientos y rotaciones 27
Representación de números reales.
28
Representación de números reales Se considera la coma o punto, fijo en cierta posición.
Representación de punto fijo Se almacena la posición que ocupa la coma o punto.
Representación de punto flotante 29
Representación en punto fijo El punto en el extremo izquierdo
El número es una fracción El punto en el extremo derecho
El número es un entero 30
Representación en punto flotante
Mantisa: Número de punto fijo con signo
N = m x re Exponente: Representa la posición del punto
La mantisa y el exponente se representan físicamente 31
Normalización en punto flotante Un número con punto flotante está normalizado si el dígito más significativo de la mantisa es distinto de cero. Ejemplo: Mantisa fraccionaria (magnitud y signo 8 bits), exponente (C2, 6 bits) Nro. binario + 0011,011
Número sin normalizar
Número normalizado
Mantisa
Exponente
Mantisa
Exponente
0 0011011
0 00100
0 1101100
0 0010
Bit de signo El punto está a la derecha del bit de signo
32
Representación computacional de datos.
33
Representación computacional de datos
Enteros o en punto fijo Reales en punto flotante Decimales Caracteres
Código ASCII 34
Representación computacional de enteros BYTE
8 Bits SBYTE WORD
16 Bits SWORD DWORD
32 Bits SDWORD 35
Conversión entre distintas longitudes Ejemplo: + 18 =
00010010 (complemento a dos, 8 bits).
+ 18 = 0000000000010010 (complemento a dos, 16 bits). -18 =
11101110 (complemento a dos, 8 bits).
- 18 = 1111111111101110 (complemento a dos, 16 bits).
Debe completarse el formato usando el bit de signo 36
Representación computacional de decimales 9 BCD Empaquetado 9 BCD Desempaquetado 9 Modo Carácter Nº
BCD Empaquetado
BCD Desempaquetado
12
0001 0010
0000 0001 0000 0010
623
0000 0110 0010 0011
0000 0110 0000 0010 0000 0011
910
0000 1001 0001 0000
0000 1001 0000 0001 0000 0000
Nº
ASCII
12
0011 0001 0011 0010
623
0011 0110 0011 0010 0011 0011
910
0011 1001 0011 0001 0011 0000
37
Representación computacional en punto flotante
Mantisa normalizada
Exponente sesgado
Representada en magnitud y signo Se asume que es fraccionaria
Se suma un valor fijo para que sea siempre positivo
La base se conoce y por lo tanto no se representa 38
Estándar 754 de IEEE para punto flotante Los distintos formatos del esquema tienen la misma estructura
La mantisa se normaliza y no se representa el bit más significativo
SIGNIFICANTE
El significante es un número entre 1 y 2.
39
Estándar 754 de IEEE para punto flotante
40
Estándar 754 de IEEE para punto flotante
41
Estándar 754 de IEEE: Ejemplos
42
Estándar 754 de IEEE para punto flotante Los bits disponibles en cada formato de la norma se reparten entre significante y exponente
Existe un compromiso entre rango representable y resolución. 43
Suma y resta en punto flotante Se siguen los siguientes pasos:
Verificación de operandos nulos Alineación de significantes Suma o resta de significantes Normalización y redondeo del resultado 44
Suma y resta en punto flotante La suma y la resta obligan a realizar un alineamiento de significantes Los exponentes deben ser iguales
Se pierden dígitos significativos
Se desplaza el significante del número más chico Ejemplo en decimal: S = 123 100 + 456 10-2 = 123 100 + 4,56 100 = 127,56 100 45
Estándar 754 de IEEE: Bits de guarda Z = X – Y = 1,000 … 00 21 – 1,111 … 11 20 Sin bits de guarda:
Con bits de guarda:
X = 1,000.........00 x 21
X = 1,000.........00 0000 x 21
21
- Y = 0,111.........11 1000 x 21
Z = 0,000.........01 x 21
Z = 0,000.........00 1000 x 21
Z = 1, 000........00 x 2-22
Z = 1, 000........00 0000 x 2-23
- Y = 0,111.........11 x
Sirven para reducir los errores al operar
46
Estándar 754 de IEEE: Redondeo
Trunca los bits de guarda
Redondeo a cero
Redondeo al más próximo
Usada por defecto
Redondeo hacia + ∞
Redondeo hacia - ∞
Se utilizan sólo si las necesidades de exactitud son muy altas
47
Multiplicación y división en punto flotante Se siguen los siguientes pasos: Verificación de operandos nulos Suma o resta de exponentes Multiplicación o división de significantes Normalización y redondeo del resultado 48
Caracterización de las representaciones.
49
Caracterización de los sistemas de representación Capacidad de representación:
Cantidad de tiras de datos distintas que es posible representar en el sistema.
Depende del número de símbolos del alfabeto y de la longitud de la tira con la que se representan los valores. 50
Caracterización de los sistemas de representación Capacidad de representación, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Número de representaciones posibles
26 = 64
Que ocurre con el valor anterior si la representación es: Punto fijo, se representan enteros positivos. Punto fijo fraccionaria pura > = 0. Punto flotante, mantisa entera en C2 de 3 bits, exponente positivo de 3 bits. 51
Caracterización de los sistemas de representación Rango:
En sistemas de numéricos, es un entorno que queda definido por los valores mínimo y máximo que pueden representarse en la recta numérica.
52
Representación restringida a n bits: Parámetros Rango, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Números enteros >= 0 Números enteros, en C1
[0 , 63] [- 31 , +31]
Mantisa fraccionaria pura >= 0
[0 , 0.111111]
Mantisa entera >= 0 (2 bits), exponente en C1
[0 , 3*2 7] 53
Caracterización de los sistemas de representación Resolución:
En sistemas de representación numéricos, se define a partir de los números consecutivos en la recta numérica.
54
Representación restringida a n bits: Parámetros Resolución, ejemplos: Sistema con alfabeto binario restringido a 6 bits Números enteros >= 0 Mantisa fraccionaria pura >= 0
(1)2 (0.000001)2
Mantisa entera >= 0 (2 bits), exponente en C1
RM = (1* 27)2
Rm = (1*2-7)2
55
Conclusiones El número de símbolos del alfabeto y la longitud de la tira que se utiliza para representar los valores, son quienes determinan la capacidad de representación de un sistema.
Representaciones numéricas restringidas a n dígitos
El rango en punto flotante es más amplio que en punto fijo. 56
Conclusiones
Los sistemas numéricos en punto flotante, tienen resolución variable a lo largo de la recta numérica.
La distribución de los dígitos de la representación entre mantisa y exponente en un sistema en punto flotante constituye una solución de compromiso.
57
Conclusiones
Los sistemas reales tienen recursos limitados Los requerimientos del diseño determinan las características de la representación más adecuada.
La bondad del sistema de representación se evalúa en el contexto de la aplicación en la que se lo utiliza 58