Unidad III Análisis de esfuerzo y deformación. 3.1 Esfuerzo en una Dirección. Para entender este tema hay que saber lo que se indica en el siguiente dibujo Una bara prismática sometida a una fuerza axial F de tensión, el esfuerzo en la sección recta (a−a) normal al plano YZ y cuya área es A, tiene un valor uniforme: F 0z = A Este esfuerzo 0z es la medida de los esfuerzos internos desarrollados por la fuerza F en la sección recta A y representa la acción reciproca entre las dos porciones de barra producidas por la sección recta A debe ser igual a la fuerza F. Si se considera una sección oblicua (aI−aI) normail también al lano YZ y cuya áreaes A , obtenida por una rotacón l contra las manecillas, de la sección recta, la fuerza F desarrollará en ella esfuerzos internos cuyo valor uniforme es fz. Como A es mayor que A, fz es menor que 0z, F _ A F cos l l = 0 fz = 0z Fz = A A = cos l fz = A = 0zcos l para l = /2 fz = 0 La ecuación muestra que la fuerza F produce un esfuerzo máximo en la sección recta. La suma de esfuerzos fz en la sección oblicua A debe ser también igual a la fuerza F. El esfuerzo fz en la sección oblicua puede descomponerse en dos esfuerzos: 0n perpendicular a a la seciá, aI−aI y llamado esfuerzo normal y tangencial a la sección aI−aI y lllamado esfuerzo cortante como se muestra en la siguiente figura. 3 Si la fuerza F es de compresión, 0z tiene signo negativo y los esfuerzos normales y cortantes resultan con el signo correspondiente. Los signos de los esfuerzos normal y cortante seguirán la convención que muestra la suiente figura. El esfuerzo normal de tensión es positivo y el de compresión es negativo; el esfuerzo cortante es positivo al de tensión es positivo cuando parece girar según las manesilas y es negativo en el caso contrario. 3.2 Círculo de esfuerzos El círculo que muestra la siguiente figura tiene su centro en el eje Z y es tangente al eje Y y su ecuación es : CK2 + GK2 = CG2 (z − R)2 + y2 y2 = z D − z2 D = z2 + y2 Z Esta ecuación queda satisfecha si se dan los valores siguientes: D = oz z = 0n = 0z cos 2 l y = = 0z sen l cos l 1

Luego, el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas son (0n − ) y (0'n − `) es el círculo mostrado en la figura anterior en el cual el diametro es 0z. A cada punto del círculo de sfuerzos, corresponderá una sección normal al plano YZ en la barra y la abscisa y la ordenada del punto en el círculo, séran los esfuerzos normal y cortante respectivamente en la sección correspondiente de la barra. Los esfuerzos normal y cortante en los planos (A − O) (G − G') y (H − H') de la barra, serán las abcisas y ordenadas respectivamente, de los puntos correspondientes en el círculo como se muestra en la siguiente figura. 4 3.3 Deformaciones en el caso de esfuerzo en una dirección. Una barra sostenida a una fuerza axial F de tensión, actúa en la direción del eje Z un esfuerzo 0z que produce en la misma dirección un alargamiento unitario z y en las direcciones transversales X − Y produce contraciones x y y. Estas deformaciones unitarias se expresan: Z = 0z x = y= − 0z EE Y son las deformaciones lineales de una partícula unitaria (1x1x1) tomada de la barra, cuyas dimensiones finales serán : (1= z) (1 − x) (1 − y) y el volumen final de la partícula será, despreciando las potencias segunda y tercera de : (1 = z) (1 − x) (1− − y) = 1+ z − x − y La variación de volumen de la partícula, que es la variación unitaria de volumen se representa por : = z − x − y = 0z − 2 0z = 0z (1 − 2 ) = z (1 − 2 ) EEE Si la barra está sometida a compresión, se invierten los signos de 0 y . 3.4 Esfuerzos en dos direcciones perpendiculares. El cuerpo que muestra la siguiente figura está sometida a la acción simultánea de dos fuerzas axiales de tensión perpendiculares entre sí: F según el eje Z y F según el eje Y. El esfuerzo en la sección recta A es 0z y el esfuerzo en la seción recta B es y . Considérese una partícula unitaria limitada por las caras A y B perpendiculares al plano YZ, en las cuales actuarán respectivamente los esfuerzos 0z y 0y que muesra la siguiente figura 5 En la seccón G normal al plano YZ y que forma con la sección A un ángulo l medido contra las manesillas, 0z producira los esfuerzos: 0'n = 0z cos2 l ½ 0z sen 2 l y 0y producirá: 0n = 0y sen 2 l = − ½ 0y sen 2 l En las sección G' normal a la sección G y al plano YZ y que forma con el plano B un ángulo l medido contra las manecillas, 0z producirá los esfuerzos: 0'n = 0z sen2 l ½ 0z cos2 l y 0y producirá: 0n = 0y cos2 l = − ½ 0y sen 2 l 2

Los esfuerzos totales en los planos G y G' son los mostrados en la figura anterior en la suposición de que 0z es mayor que 0y y tendrán los valores siguientes: en el plano G 0n = cos2 l = 0y sen2 l = sen 2 l (0z − 0y) 2 en el plano G' 0n = sen2 l = 0y cos2 l `= sen 2 l (0z − 0y) 2 6 Unidad IV Círculo de Mohr (Esfuerzos) El círculo de esfuerzos para la partícula sometida a 0z y 0y. es un razo formado por los tres círculos (A−B), (A−O) Y (B−O) de la figura siguente. El Círculo (A−B) corresponde a las secciones normales al plano YZ; el círculo (A−O) a las seciones normales al plano XZ y el círculo (B−O) a las secciones normales al plano XY. Los puntos situados en el área comprendida enre los tres círculos corresponden a secciones oblicuas cualesquiera. Los planos A y B se laman principales por soportar esfuerzo normal máximo y esfuerzo cortante nulo; los planos H, J y K son también importantes por soportar esfuerzo cortante máximo. 4.1 Deformaciones en el caso de dos esfuerzos perpendiculares. En la partícula unitaría sometida a los esfuerzos de tensión 0z y 0y,que son perpendiculares entre sí, 0z produce un alargamiento 0z/E según el eje z y acortamientos − 0z/E según los ejes X y Y; 0y produce un alargamiento 0y/E según el eje Y y acortamientos − 0y/E según los eje X y Z. Las deformaciones lineales da la partícula unitaria según los res ejes se designan por x, y, y Z y sus valores son: X = − 0z − 0y y = 0y − 0z z = 0z − 0y EEEEEE 7 • Caso particular. La partícula unitaria está sometida a dos esfuerzos iguale pero de signo contrario; 0z es tensión y 0y es compresión y 0z = − 0y El cículo de esfuerzos es el mostrado en la figura anterior, que está formado por tres círculos, de los cuales el mayor es el diámetro AB que corresponde a las seciones normales al plano YZ. Los puntos A y B del círculo corresponden a las seccioines rectas A y B y los puntos H y H' del cículo corresponden a las secciones H − H' que forman Ángulos de 45 con las secione A y B. Las cordenadas del punto H son 0n = 0 y = 0z y las del punto H' son 0'n = 0 y `= − 0z. 8 3

• Esfuerzos en tres direcciones perpendiculares. La siguiente figura muestra una parícula unitaria sometida a esfuerzos 0z, 0y, y 0x en tres direcciones perpendiculares y tales que 0z > 0y > 0x y los tres son signo positivo Entre todas las seciones que se pueden establecer en la partícula, las más importantes sos A , B y D ya que son secciones rectas y en ellas el esfuerzo normal es máximo y el esfuerzo cortante es nulo; por esta razón se llaman planos principales y los esfuerzos normales que en ellos actúan se llaman esfuerzos principales. Según la siguiente figura el círculo AB corresponde a las secciones normales al plano Yz; el círculo AD corresponde a las secciones normales al plano XZ y el círculo BD corresponde a las seciones normales al plano XY. • Deformaciones en el caso de tres esfuerzos perpendiculares. Las deformaciones que los tres esfuerzos 0z, 0y y 0x producen en las tres direcciones Z, Y y X Puede tabularse en la forma siguiente: 9 dirección Z dirección Y dirección X 0z produce + 0z − 0z − 0z EEE 0y produce − 0y + 0y − 0y EEE 0x produce − 0x − 0x + 0x EEE La suma de estas deformaciones dará las deformaciones lineales según los ejes Z, Y y X en la partícula unitaria: z = 0z − 0y − 0x y = 0y − 0z − 0x x = 0x − 0z − 0y EEEEEEEEE Suponiendo positivos los valores de , el volumen final de la partícula, despreciando las potencias segunda y trecera de es : (1+ z) (1+ y) (1+ x) = 1 + z + y + x y la variación unitaria de volumen : = z + y + x = (1 −2 ) (0z + 0y + 0x) E En el caso particular en que los tres esfuerzos 0z,0y y 0x son iguales y con signo negativo: − 0z= −0y= −0x= −0 = − 3 0 (1−2 ) y si en esta expresión se hace K = E 4

E 3(1 − 2 ) Se obtiene: = − 0 K = − 0 K K es la relación entre el esfuerzo compresivo y la correspondiente deformación unitaria de volumen por esta razón recibe el nombre de módulo de elasticidad de volumen. • Esfuerzos principales. En una partícula sometida a esfueros, existen planos en los cuales el esfuerzo normal en máximo o mínimo y el esfuerzo cortante es nulo. Esos planos se llaman principales y los esfuerzos normales que en ellos actúan se llaman esfuerzos principales. En los círculos de esfuerzo de las siguientes figuras se observa que los puntos A,B y D cuyas abcisas son máximas o mínimas y cuyas ordenadas son nulas, corresponden a secciones A, B y D sometidas sólo a esfuerzos normales, ya que en ellas los esfuerzos cortantes son nulos. Las secones A,B y D son por lo tanto seciones prncipales y los esfuerzos normales que en elas actuán son los esfuerzos principales en la partícula. 10 Supongamos ahora que del intrior de ua pieza estructural se extrae ena partícula y que ésta se halla sometida a esfuerzos normales y cortantes en dos direcciones perpendiculares: en las caras G actúan la tensión 0z y el esfuerzo cortante positivo ; en las caras G' actúan la tensión 0y y el esfuerzo cortante positivo ; en las caras G' actúan la tensión 0z y el esfuerzo cortante negativo ` Como se muestra en las siguientes figuras: 11 Indice. Unidad III Análisis de esfuerzo y deformación....3 3.1 Esfuerzo en una dirección......3 3.2 Círculo de esfuerzos...4 3.3 Deformaciones en el caso de esfuerzo en una dirección.......5 3.4 Esfuerzos en dos direcciones perpendiculares...5 Unidad IV Círculo de Mohr (esfuerzos)7 4.1 Deformaciones en el caso de dos esfuerzos perpendiculares..7 4.2 Caso partícular.8

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4.3 Esfuerzos en tres direcciones perpendiculares..9 4.4 Deformaciones en el caso de tres esfuerzos perpendiculares9 4.5 Esfuerzos principales...10 Conclución.....12 Bibliografía......13 Conclución. Haciendo el resumen de este trabajo me quedo mas claro o que fueron estas dos últimas unidades lo que son los esfuerzos y deformaciones al igual que los círculos de esfuerzo, a mi en lo particular me gusto este curso ya que entendi bien los temas y pude resolver los problemas sin tanta dificultad como en otros cursos ya que la maestra tiene gran conocimiento e esta area y es arquitecta, tamien aprendi lo que significa esta materia aplicandola a la arquitectura ya que hicimos ejercios para comprender mejor esta materia como el ejercicio de los palillos. Bibliografía. Libro:Resistencia de Materiales Capítulo IV Páginas. 87 − 121

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