Resistencia requerida y resistencia de diseño. Estados Límites. Se define Estado Límite aquel que corresponde a las máximas solicitaciones que pueden resistir los miembros estructurales sin llegar a alcanzar las condiciones de inseguridad de comportamientos tales como rotura frágil, fisuración excesiva, pandeo, rotaciones inadmisibles, fatiga, vibraciones peligrosas o pérdidas de funcionalidad y equilibrio. Los estados límites se clasifican en:  Estado límite de agotamiento resistente  Estado límite de servicio El estado límite de agotamiento resistente se alcanza para la más desfavorable de las solicitaciones que producen las combinaciones de las cargas factorizadas que actúan sobre la estructura que se analiza, mientras que el estado límite de servicio corresponde a los efectos de segundo orden que resultan de la combinación más desfavorable de las cargas de servicio. A) Estado límite de agotamiento resistente Los estados límites de agotamiento resistente U son producidos por las cargas factorizadas que actúan en las estructuras, dando origen a solicitaciones de:        

Flexión simple Flexión compuesta Compresión Flexo-tracción Corte Deslizamiento Torsión Punzonado

Las cargas actuantes en los miembros y nodos de una estructura pueden presentarse separadamente o en combinación simultánea, y se toma en cada caso con el sentido que resulte más desfavorable para el sistema, según se indica a continuación. Combinaciones de cargas para el Estado Límite de Agotamiento Resistente U = 1.4(CP+CF) U = 1.2(CP+CF+CT)+1.6(CV+CE)+0.5CVt U = 1.2CP+1.6CVt+(γ CV ó ± 0.8 W) U = 1.2CP ± 1.6 W + γ CV +0.5 CVt U = 1.2 CP + γ CV ± S U = 0.9CP ± 1.6 W U = 0.9 CP ± S U = 0.9CP ± 1.6 CE

Donde, CP = carga fija o permanente CV = carga variable o accidental CF = carga de fluidos con altura controlada CT = acción debida a cambios de temperatura CE = carga debida al empuje de tierra o granos CVt = carga variable de techos y cubiertas (terraza) S = solicitaciones debidas a acciones sísmicas W = solicitaciones debidas al viento Las cargas actuantes se afectan de factores de mayoración, mientras que las resistencias se multiplican por los factores de minoración φ. Este factor toma en consideración la probabilidad de variación en la calidad de los materiales empleados y en las dimensiones de los miembros, así como la inexactitud de los métodos de análisis y diseño. Factores de minoración de la Resistencia Teórica Resistencia Teórica Flexión o flexión simultánea con carga axial

Factor de minoración φ

a) Secciones controladas por compresión i) Miembros zunchados con refuerzo helicoidal continuo ii) Miembros con ligaduras cerradas como refuerzo transversal

0.7 0.65

b) Secciones controladas por tracción del acero

0.9

c) Secciones en la zona de transición entre los controles de tracción y * compresión d) Flexión en ménsula

0.75 Corte Para todos los miembros estructurales, incluyendo los muros que no pertenezcan al sistema que resiste cargas de sismo 0.75 Para los muros estructurales que formen parte del sistema resistente a sismo

0.60

En los nodos y vigas de acoplamiento interceptados por barras en diagonal 0.85 Torsión 0.75 Aplastamiento del concreto 0.65 Flexión, corte, compresión y aplastamiento en miembros estructurales de concreto simple o no reforzado 0.55

Los factores de minoración de resistencias (φ < 1) toman en cuenta la posibilidad de variación en la calidad de los materiales y las dimensiones de los miembros, así como en la falta de precisión de los métodos de cálculo y diseño. Los valores de φ varían asimismo según la importancia del miembro estructural y el tipo de solicitaciones actuantes. Nótese que φ es menor en columnas que en vigas. El criterio que rige es el de columna fuerte y viga más flexible, dado que la falla de una columna es siempre más peligrosa que la de una viga para la estabilidad de la estructura. B) Estado límite de servicio El estado límite de uso o servicio es el que se refiere a los efectos de segundo orden que afectan a las estructuras por la acción de cargas no factorizadas. Este estado límite se alcanza cuando bajo cargas de servicio se producen efectos importantes de deformación, derivas, asentamientos, desplazamientos laterales totales, creep, flechas instantáneas o diferidas y vibraciones importantes, en fin, efectos que pueden afectar seriamente la resistencia y durabilidad prevista de una construcción.

Limitar las deformaciones por: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Flechas Alargamientos Acortamientos Derivas Diferencias de temperatura Asentamientos diferenciales Creep o fluencia lenta Distorsiones Deslizamientos diferenciales.

Clasificación de solicitaciones Las cargas actuantes en las estructuras provocan diferentes solicitaciones. Para diseñar las secciones de los elementos estructurales es necesario conocer con exactitud el tipo y la magnitud de la solicitación que actúa en cada caso, y además las deformaciones que producen, de modo de poder determinar las dimensiones necesarias de las secciones de concreto y la correcta ubicación de la armadura resistente, de acuerdo con las características y resistencia de los materiales empleados.

Solicitaciones, esfuerzos y deformaciones en las estructuras Solicitaciones

Deformaciones

Axial de tracción

Alargamiento

Axial de compresión

Acortamiento

Flexión

Curvatura

Corte

Distorsión plana

Torsión

Distorsión alabeada

Clasificación de solicitaciones, tensiones y deformaciones Tipo de Esquema de solicitación esfuerzos Axial tracción

los Deformaciones producidas Alargamiento

Esfuerzos característicos

Miembro estructural Tensor

Normales Axial compresión

Acortamiento

Puntal columna

Flexión

Curvatura

Normales tracción y compresión

Corte

Distorsión plana

Tangenciales de corte y punzonado

de de Viga

________

Distorsión plana Torsión

O alabeada

Tangenciales de torsión

________

o

Flexión y Corte. Diseño de Vigas

Teoría de la rotura

Flexión simple. La resistencia de los miembros de concreto armado, sujetos a flexión simple se determina a partir de ciertas hipótesis entre las cuales se pueden enumerar: 1.- La distribución de las deformaciones en la sección transversal es lineal. 2.- El concreto no resiste esfuerzos de tracción. 3.- La deformación unitaria máxima del concreto es ε c = 0,003 4.- No existe deslizamiento relativo entre las barras de acero y el concreto. 5.- La distribución de esfuerzos en la zona de compresión del concreto adopta la forma rectangular.

0,65 ≤β1 = (1,05β1 0,85 0,84 0,80

) f´c ≤280 300 350

Sección simplemente armada La figura muestra la distribución de esfuerzos y deformaciones de una sección rectangular simplemente armada. Para que la sección sea dúctil se debe cumplir εsu > εy c es la profundidad del eje neutro en el límite de agotamiento de la resistencia y εy es la deformación en el acero correspondiente al esfuerzo cedente a tracción.

εy =

Es= ε

C = 0,85 f´c a . b

T = As fy = ρbd fy

La cuantía geométrica

Por equilibrio C = T

ρ =

(a)

0,85 f´c a . b = As fy

a=

Utilizando la relación del triángulo de la figura anterior, obtenemos:

=

ε

; Multiplicamos y dividimos por Es = 2.1 x 10 6 Kgf/cm2

=

c= ku d ;

c=

a = β1. c

a = β1. ku. d

xd

(1)

a = β1. Ku. d =

ρ

=

Ku =

ρ

(2)

β

igualando (1) y (2)

Ku =

ρ

=

β

ρbal = β1 0.85 x

Se define así mismo la cuantía mecánica de la sección. ω = ρ

x

(b)

Para asegurar el comportamiento dúctil de la sección flexada se debe limitar el valor de ω en secciones simplemente armadas. Así

≤ ω ≤ 0.75 ωb

y

≤ ω ≤ 0.50 ωb → para zonas sísmicas

ωb es la cuantía mecánica de la sección balanceada.

El brazo del par de fuerzas j.ud = d -

ju.d = d -

= d -

ju.d = d - 0.50 d[

ρ

[

;

a = β1. c =

] = d - 0.50 [

]

Por lo tanto: ju.d = d - 0.50 d[

ρ

] = d - 0.50 d[

ρ

Sabemos que

]

ju d = d [1 - 0.59 ω]

]

ω=ρ

ju= [1 - 0.59 ω]

El momento de agotamiento puede así mismo expresarse por: a = β1. Ku. d

= ∅ 0,85 f´c. b. β1. Ku. d ju d,

no olvidemos que

= ∅ 0,85 f´c. b. a ju d

Ku =

ρ

y

β

ρ=

= ∅ 0,85 f´c. b. β1.

= ∅ 0,85. b.

= ∅ f´c b d2

ρ β

. d ju d

. d ju d

= ∅ 0,85. b. ρ

→

no olvidemos que

. d ju d

ju = [1 - 0.59 ω]

∅ = 0.90

[1 - 0.59 ω]

El coeficiente adimensional μ resulta:

μ =

= 0.90

[1 - 0.59 ω],

La tabla 2.1 relaciona los valores de μ con la cuantía mecánica ω y el factor ju que permite hallar el brazo del par interno o brazo mecánico de la sección, ju d, donde ju = [1 - 0.59 ω]

En diseño para asegurar la ductilidad del elemento flexado se adoptará el valor de ω = 0.18 al que corresponde un μ = 0.1448 y ju = 0.894 ∴ la ecuación despejada nos queda:

d≥

μ

La altura total resulta: h = d + cd ≥ d + cc + db1 + db/2 Donde db1 es el diámetro de la barra del estribo y db el diámetro de la mayor barra traccionada, la cual debe colocarse siempre en la fila más próxima al borde traccionado.

El recubrimiento neto del acero a tracción cc no debe ser menor que el diámetro db de la mayor de las barras ni inferior a la dimensión máxima del agregado grueso aumentado en 5 mm.

Reiterando, para el diseño de vigas de concreto armado se debe tomar en cuenta dos tipos de cuantías: la geométrica y la mecánica. Cuantía geométrica

ρ =

Cuantía mecánica

ω=ρ

La condición de acero mínimo en secciones rectangulares o en T, resulta:

As min = 0.79

As ≥

∅

bw d

→ f c ≥ 315 kgf/cm2

≥

As min =

→ f c < 315 kgf/cm2

bw d

Para asegurar un comportamiento dúctil de la sección flexada se debe limitar el valor de ω, así: ≤ ω ≤ 0.5 ωbal

Para:

ρbal = β1 0.85 x

Si no se cumple la condición preservar su ductilidad

x

ωbal = ρbal

ω ≤ 0.5 ωbal,

la sección debe armarse doblemente para

Debemos recordar que en una sección balanceada la falla del concreto y el acero es simultánea, es decir

εs = εy =

y en el concreto se alcanza εu = 0.003

La falla balanceada es de tipo frágil, violenta. Las normas para el caso de flexión obligan a utilizar

ρ < ρbal

garantizando así la falla por tracción. La sección balanceada tendría mucho

acero y relativamente poco concreto.

Las secciones de concreto armado se clasifican en: a) Secciones controladas por compresión: cuando el concreto en compresión alcanza su máxima deformación εcu = 0.003 y simultáneamente la deformación neta a tracción en el acero de refuerzo no logra superar la deformación de fluencia εy, es decir εs < εy b) Secciones controladas por tracción: cuando el concreto en compresión alcanza su máxima deformación εcu = 0.003 y simultáneamente la deformación neta a tracción en el acero de refuerzo εs > 0.005 c) Secciones en transición: cuando las secciones están comprendidas en una situación como la que sigue: εy N° 6 (20M) 5,0 Piezas vaciadas sobre el Todos los terreno y diámetros 7,5 No aplica permanentemente en contacto con el mismo. 1. Para grupos de barras, véase la Subsección 7.2.3.2 Notas 2. Al recubrimiento mínimo de protección se sumará el diámetro del acero de refuerzo transversal y se designará Cc.

Número máximo de barras que caben en los anchos de vigas b (cm) 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Φ ½” 2 3 4 6 7 8 10 11 12 14

Φ 5/8” 2 3 4 5 7 8 9 10 11 13

Φ 3/4” 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

Φ 7/8” 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Φ 1” 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10

Requisitos de ND2 y ND3 para el diseño por flexión - vigasComo requisito sismo – resistentes adicionales para los niveles superiores de diseño, se citan los siguientes: I) Requisitos de ND2 Adicionalmente a los requisitos establecidos para el diseño en flexión de vigas, se exige en ND2 que en las caras de los apoyos, el acero de refuerzo en el lecho inferior de la viga debe ser tal que la capacidad para resistir momentos positivos sea por lo menos 1/3 de la capacidad para resistir momentos negativos.

Además, en cualquier sección a lo largo del miembro, la capacidad resistente tanto para momentos positivos como negativos en cada tramo de la viga, será al menos igual a 1/5 de la capacidad resistente de la sección en la cara del apoyo, en el extremo donde el momento sea mayor.

II) Requisitos de ND3 Adicionalmente a los requisitos previamente mencionados para el diseño en flexión de vigas, en el ND3 se exige cumplir con las siguientes condiciones geométricas:

a) La luz libre Ln debe ser como mínimo 4 veces la altura h. Si esto no se cumple, la viga será tratada como de gran altura.

h≥

b) La relación de la sección transversal de la viga

≥ 0,3

c) La altura h de la viga debe ser mayor o igual a 15 veces el diámetro de la mayor barra longitudinal de la columna donde se apoya. d) El ancho mínimo b de la viga es de 25 cm.

e) El ancho b de la viga no debe exceder el lado de la columna donde apoya, medido en un plano perpendicular al eje de la viga. f)

Se acepta el diseño de las vigas para que las rótulas plásticas en flexión se formen alejadas de las columnas.

g) En cualquier sección de un miembro flexado, el área de acero de refuerzo mínimo en los lechos superior e inferior se calculará con las ecuaciones: As min = 0.79

As ≥

∅

bw d

→ f c ≥ 315 kgf/cm2

≥

As min =

bw d

→ f c < 315 kgf/cm2

h) En cada sección de la viga habrá por lo menos una barra continua no menor a ½” en cada esquina. Además, el detallado del acero de refuerzo longitudinal cumplirá con las siguientes condiciones:  En las caras de los apoyos, el acero de refuerzo en el lecho inferior de la viga debe ser tal que la capacidad para resistir momentos positivos sea por lo menos ½ de la capacidad para resistir momentos negativos.  En cualquier sección a lo largo del miembro, la capacidad resistente tanto para momentos positivos como negativos en cada tramo de la viga, será al menos igual a ¼ de la capacidad resistente de la sección en la cara del apoyo, en el extremo donde el momento sea mayor.

 La disposición de las barras longitudinales del miembro cumplirá con los requisitos de empalmes y anclajes de la sección.

Armadura de paramento Cuando la altura útil de la viga (d) es mayor a 75 cm se debe colocar un acero longitudinal de paramento Ask adicional, que se distribuya uniformemente en las caras laterales del miembro a una distancia h/2 de la cara traccionada. Ask será por lo menos el 10% del área de la armadura de tracción. El acero de paramento se puede incluir en el cálculo de la resistencia del miembro cuando se realiza un análisis de compatibilidad de deformaciones para determinar las tensiones en cada una de las barras. Para momentos positivos la armadura de paramento se ubica en la mitad inferior de la altura de la viga, y para momentos negativos en la mitad superior de la misma. La armadura de paramento cumple la función de limitar la fisuración en el alma de la viga evitando que allí la abertura de las fisuras alcance valores superiores a las que se producen a nivel de las barras traccionadas del acero de refuerzo principal.

Ejercicio 1. : Verificación de resistencia. Calcular el momento límite de agotamiento resistente de la viga simplemente armada de la figura, considerando un f´c = 280 kgf/cm2 y fy = 4200 kgf/cm2. Determine si la sección está controlada por la tracción y halle la máxima carga factorizada uniformemente distribuida que puede soportar. Se exige ND3. La viga se apoya en columnas cuya sección transversal se indica en el dibujo.

Solución.Se debe verificar si la sección cumple los requisitos geométricos de ND3 a) b)

= =

= 12,26 > 4 Cumple = 0,48 > 0,30 Cumple

c) h= 62 cm > 15 x 2,54 cm = 38,1 cm Cumple d)

b= 30 cm > 25 cm Cumple

e) b=30 cm < B col = 40 cm Cumple f)

La viga se asume simplemente apoyada en sus extremos, por lo tanto las rótulas plásticas no se forman en las caras de columnas. 0

g) El área de acero mínimo es

0 00

La cuantía geométrica se obtiene: 0 00

La cuantía mecánica es:

8

0

0

8

Cumple

0 02 0 8

Por lo tanto la sección

resulta dúctil, de manera que podemos concluir que está controlada por la tracción. Para verificarlo, se halla el valor de εs. Con el valor de 0

se lee en la tabla 2.1 los valores de

.

0 08

0 00 8 08 08

200 280

0

La profundidad del eje neutro resulta, c= ku d = 0,1947 x 55 = 10 ,7 cm La altura del bloque rectangular de compresión es a= β1 c = 0.85 x 10,7 cm = 9,1 cm El brazo del par interno se obtiene: Por triángulos semejantes:

0 00 2

0 002

, por lo tanto se asume fs = fy por el comportamiento elasto-plástico del acero. La sección resulta por lo tanto controlada por la tracción.

La resultante de la compresión se obtiene: C= 0,85f´c.a.b = 0,85 x 280 x 9,1 x 30 = 65 t La resultante de la tracción: T = As.fy = 15,48 x 4200 = 65 t El momento límite de agotamiento resistente de la sección resulta: Mr = 0,90 x T x ju.d Mr = 0,90 x 65 x 0,505 = 29,54 tm. La máxima carga factorizada uniformemente distribuida, actuando sobre la viga, será:

Se debe colocar acero mínimo en la cara comprimida de la viga: As min = 5,5 cm2 < 5,69 cm2 que es el área correspondiente a 2 φ ¾”

Ejercicio 2. Diseño de viga simplemente armada. Diseñe la viga de azotea con ND3, apoyada sobre muros de mampostería armada, para las siguientes cargas de servicio. La viga pertenece a un entrepiso arriostrado y está debidamente anclada en los muros perimetrales. CP = 1,25 t/m; CV = 3,4 t/m; CVt = 1,5 t/m; f´c = 250 kgf/ cm2;

fy = 2800 kgf/cm2; b= 25 cm

Cargas factorizadas: 1,4 CP = 1,4 x 1,25 = 1,75 t/m 1,2 CP + 1,6 CV + 0,5 CVt = 1,2 x 1,25 + 1,6 x 3,4 + 0,5 x 1,5 = 7,69 t/m

→ se impone

1,2 CP + 1,6 CVt +0,5 CV = 1,2 x 1,25 + 1,6 x 1,5 + 0,5 x 3,4 = 5,6 t/m 2 0 se adopta d = 52 cm La sección está controlada por la tracción, pues el análisis. 8 ∅

2 0 000 0 0 0 0 2800

Se colocan ∅ 8 2 22 un cd = 8 cm, se adopta h = 60 cm

2

0

8. Se asume

0

para simplificar

20

en dos filas tal como se indica en la figura siguiente. Para

El centroide del área de las barras se obtiene tomando momento estático de las áreas con respecto al borde traccionado de la sección de concreto. Resulta cd = 8 cm y h= 60 cm

2 22 2 2

0 00

00

0 02

La viga cumple con todos los requisitos geométricos de ND3. El momento resistente factorizado es:

0 0

0 0 2 22 2800

8

2

8

2 0

Ejercicio 3. Diseño de acero de paramento Diseñe el acero de paramento para la viga alta, continua, de la figura, con acero de tracción en momento positivo de los tramos de apoyos de ∅

∅

y acero de tracción en momentos negativos de los

. Se exige ND3, tome fy = 4200 kgf/cm2

Verificar que se cumpla: 0 2

0 0

2 0 00

0 00

20 28

2

0 00

0 00

En los apoyos el acero inferior debe cumplir: +As > -As/2 = 25,35/2 = 12,67 cm2 ∅

2

2

En el tramo el acero superior debe cumplir: - Asmin > -As1/4 = 25,35 /4 = 6,33 cm2 2 ∅

8

Se coloca un acero de paramento de (10 % As principal) en cada caso, distribuido uniformemente en cada cara una altura de d/2 = 38 cm respectivamente. 0,1 x 25,35 = 2,54 cm2

∅

8 en la altura d/2 superior

0,1 x 20,28 = 2,03 cm2

∅

8 en la altura d/2 inferior

La separación en cada caso resulta: Por norma:

2

2 88

2

Por condición geométrica:

se impone