Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas Juan Emilio García Jiménez

Índice 1. Introducción. Justificación de la resolución de problemas 2. Objetivos de una educación matemática “centrada” en la resolución de problemas 3. Ejercicios y problemas 4. Metodología y orientaciones para la intervención docente 4.1. Analizar enunciados 4.2. Esquemas para facilitar la comprensión del problema 4.3. Juegos de lógica y estrategia 4.4. Procedimientos y estrategias heurísticas para la resolución de problemas 4.5. Recomendaciones 5. La resolución de problemas en el Informe PISA Bibliografía

Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

Enfrentarse, siempre enfrentarse, es el modo de resolver el problema. Enfrentarse a él. Conrad, Joseph (1857-1924); narrador británico de origen polaco.

1. INTRODUCCIÓN. JUSTIFICACIÓN

DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

L

a resolución de problemas debiera entenderse como actividad primordial de la educación matemática a todas las edades. El profesor Santaló señala que “enseñar Matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas” y el NTCM de USA recomienda desde hace más de 20 años que la resolución de problemas sea el objetivo nº 1 de la enseñanza de las matemáticas en las escuelas. Halmos (1980) sugirió que resolver problemas es el corazón de las matemáticas en alusión a que sea considerado como lo más importante, lo esencial, aquello a lo que dediquemos más tiempo, recursos y energías. Kleiner (1986) enfatizó que el desarrollo de conceptos y teorías matemáticas se originan a partir de un esfuerzo por resolver un determinado problema.

Hay un acuerdo casi unánime en que se debe incrementar la atención por la resolución de problemas en las clases, pero cuando preguntamos al profesorado se observan diferencias a la pregunta de ¿para qué los problemas?: • Para obligar a los niños a razonar. • Para desarrollar su capacidad de pensamiento. • Para que apliquen las operaciones. Esta última es la razón que alegan muchos docentes para proponer problemas a sus alumnos y por eso cuando el alumno lo resuelve a su manera o empleando otra operación se sienten frustrados. Pero los problemas no se proponen para aplicar una operación determinada, no están para justificar los algoritmos, los problemas pueden y deben abordarse por medio de estrategias personales y, en todo caso, en la puesta en común debemos discutir los procedimientos y los algoritmos empleados por cada uno. Los estándares fijados por la asociación de profesores de matemáticas de USA1 recomiendan trabajar con intensidad la resolución de problemas para:

1

NCTM. Estándares curriculares y para la evaluación matemática. SAEM Thales.

98

Juan Emilio García Jiménez I

Construir nuevos conocimientos a través de la resolución de problemas.

I

Resolver problemas que surjan de las matemáticas y de otros contextos.

I

Aplicar y adaptar diversas estrategias para resolver problemas.

I

Controlar el proceso de resolución de los problemas matemáticos y reflexionar sobre él.

Profesores y alumnos dedicamos tiempo a enseñar algoritmos de cálculo, no como finalidad en sí misma, sino como medio para dotar al alumno de los recursos necesarios para resolver cierto tipo de problemas. ¿De qué sirve a los alumnos saber operar con toda clase de números si ante situaciones de la vida cotidiana no sabe cuál de ellas ha de emplear?

En el libro de Hofstadter Gödel, Escher y Bach podemos encontrar la siguiente lista de capacidades de la inteligencia: I

Responder a situaciones con flexibilidad.

I

Sacar partido de circunstancias fortuitas.

I

Encontrar semejanzas entre situaciones a pesar de las diferencias que puedan separarlas. Encontrar diferencias entre situaciones a pesar de las semejanzas que las unan.

I

Sintetizar nuevos conceptos considerando viejos conceptos y uniéndolos de manera nueva.

I

Proponer ideas nuevas. Modificar hipótesis.

Si se piensa un instante en cada una de ellas, podrá convenirse que es en el campo de la resolución de problemas donde estas capacidades pueden desarrollarse mejor que en cualquier otra actividad. En muchas clases la práctica de la resolución de problemas se reduce a poner “problemas de aplicación” en los que el alumno lo único que tiene que hacer es recordar el algoritmo o la fórmula a aplicar. De algún modo solo comienzan si ya saben cómo resolver el problema, es decir, si en realidad no hay problema para quien tiene que hacerlo.

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Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

La resolución de problemas es una actividad compleja, pero hay bastantes evidencias de que haciendo genuinos problemas y utilizando técnicas o herramientas heurísticas puede mejorar sensiblemente la capacidad para afrontar y resolver problemas. Lo que todo el mundo entiende por resolver un problema en matemáticas, o en cualquier otro campo, es entrar en un proceso en el que se intentan diversos procedimientos que no llevan a ninguna parte, antes de encontrar aquel que conduce a la solución o soluciones o quizás reconocer que no hay solución. En la resolución de problemas se tienen que elegir continuamente los heurísticos a utilizar (dibujos, tablas...), los conceptos matemáticos a aplicar, los caminos por simples o por creativos a seguir, etc. No hay un procedimiento general para resolver problemas, no puede reducirse a un algoritmo, no puede enseñarse “paso a paso”. Lo que se puede enseñar es la actitud correcta ante los problemas, y enseñar a resolver problemas es el camino para resolverlos (...). El mejor método no es contarles cosas a los alumnos, sino preguntárselas y, mejor todavía, instarles a que se pregunten ellos mismos2.

Intentar resolver un problema debe implicar, de algún modo, bloqueos iniciales, dudas o frustraciones. Esta idea fue muy bien expresada por el famoso pedagogo Jhon Dewey: Los límites de toda unidad de pensamiento son: al comienzo una situación de perplejidad, malestar o confusión y al final, una situación clarificada, unificada, resuelta.

La idea que los alumnos se van formando de lo que es resolver problemas tiene que ver con los problemas que se les propongan y con la actitud que nosotros como profesores adoptemos. Porque si lo que pedimos son cálculos y soluciones es una cosa, pero si recompensamos procesos de pensamiento matemático es otra bien distinta y entonces, aunque en ocasiones no hayan resuelto bien un problema, seremos capaces de apreciar todas las matemáticas que pueda haber. La resolución de problemas suele decirse que es más un viaje que un destino. El papel de los profesores puede ser muy positivo creando y manteniendo un ambiente de clase para que nuestros alumnos se animen a explorar, arriesgarse, compartir con los demás, preguntarse unos a otros… En este ambiente los alumnos van 2

HALMOS, P. (1991).

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Juan Emilio García Jiménez

a adquirir confianza en sus capacidades, voluntad para comprometerse y perseverancia para la búsqueda de soluciones. Los buenos problemas deben permitir que el alumno indague, explore y llegue a resultados propios, que permita el descubrimiento por parte del alumno, en lugar de que se le acostumbre a esperar y al final decirle cómo se hace. Encuentro muy ilustrativa esta cita de una maestra:

2. OBJETIVOS DE UNA EDUCACIÓN MATEMÁTICA “CENTRADA” EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La resolución de problemas debe constituir un objetivo en sí mismo de toda enseñanza/aprendizaje de las matemáticas. Es ciertamente mucho más que un objetivo porque es una de las principales maneras de aprender matemáticas. Tenemos que proponernos, como la principal de nuestras tareas, hacer a nuestros alumnos competentes para afrontar y resolver problemas, principalmente los problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana. Hace ya más de 20 años que el famoso Informe Cockroft nos comunicaba que:

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Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

La resolución de problemas es consustancial a las matemáticas. Las matemáticas solo son útiles en la medida en que puedan aplicarse a una situación concreta; precisamente la aplicación a las diversas situaciones posibles es lo que se denomina resolución de problemas.

Entendiendo que a resolver problemas no se aprende solo haciendo muchos problemas, que es precisa la docencia sobre nuestros alumnos, que: El profesor ha de ayudar a los alumnos a entender, en cada etapa del curso, como deben aplicar los conceptos y destrezas que estén aprendiendo.

La educación matemática que toma a la resolución de problemas como uno de sus principios esenciales debería tener, entre otros, los siguientes objetivos: I

Reconocer la resolución de problemas como una actividad en la que se fomente el gusto por hacer matemáticas, evitando que la dificultad se convierta en sinónimo de rechazo, sino más bien resulte un desafío para la mente.

I

Mejorar la comprensión de enunciados de problemas mediante el desarrollo de actitudes críticas.

I

Enseñar estrategias heurísticas y técnicas variadas de resolución de problemas.

I

Desarrollar estrategias “personales” de resolución de problemas.

3. EJERCICIOS

Y PROBLEMAS

Una actividad matemática podemos tipificarla como ejercicio cuando el resolutor dispone de un algoritmo directamente o consultando en la fuente adecuada, que una vez aplicado le lleva directamente a la solución. En el caso de los ejercicios, el único problema (si así puede llamársele) estriba en averiguar el algoritmo a aplicar. Según Weatley “resolver un problema es lo que haces cuando no sabes qué hay que hacer”. Un problema matemático implica un propósito con dificultad a conseguir, que hay obstáculos y requiere deliberación, ya que quien lo afronta no conoce ningún algoritmo para resolverlo. La situación requiere técnicas matemáticas para su resolución y debe ser aceptado por alguien como problema antes de

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Juan Emilio García Jiménez

ser llamado problema. Los buenos problemas matemáticos representan un desafío a las capacidades deseables de un matemático, tienen interés en sí mismos y estimulan en quienes los resuelven el deseo de proponerlos a otras personas.

4. METODOLOGÍA

Y ORIENTACIONES PARA LA INTER-

VENCIÓN DOCENTE La resolución de problemas requiere un ambiente de clase especial, en donde los alumnos “piensen matemáticamente” individualmente o en grupo y empleen estrategias personales de resolución de problemas. Es muy importante que hablen y escriban de matemáticas. Los intercambios orales entre los alumnos y con el profesor y la expresión escrita de lo que van haciendo y por qué lo hacen deben ser muy cuidados por parte de maestros y maestras. Anotar por escrito todo el proceso de resolución y luego debatir sus soluciones con el resto de compañeros y con el profesor ¿Por qué? ¿Para qué?: I

Para no olvidar las buenas ideas que nos llegan.

I

Para que cuando se desee repasar el problema resulte más cómodo hacerlo.

I

Para controlar el proceso de resolución del problema, puesto que está en todo momento delante de quien lo resuelve.

I

Para que el profesor pueda orientar no solo sobre las operaciones, sino sobre lo que es más importante: los procesos y pensamientos matemáticos desarrollados.

Sugerencias para resolver problemas matemáticos I

Lectura del enunciado y comentarios con compañeros próximos.

I

Tapar el problema y expresar oralmente con propias palabras, grosso modo, lo que expresa el enunciado. Oír las diferentes versiones y discutirlas.

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Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas I

Expresar por escrito un Plan de resolución en términos parecidos a los siguientes: “Yo haría esto y con lo que me salga haré esto otro para obtener.... Luego haré... y me saldrá tal cosa... que es la solución”.

I

También pueden hacerse esquemas.

I

Ejecutar el plan discutiendo el procedimiento con los compañeros. Expresar continuamente lo que se hace y para qué se hace.

I

Expresar la solución mediante una frase. En su caso “ajustar” la respuesta a las preguntas del problema.

I

Plantearse la pregunta ¿Hay otro modo de resolver el problema? Planificar y ejecutar otros modos de resolución.

I

Utilizar, cuando el caso lo requiera, diferentes estrategias, como plantearse casos más sencillos, hacer dibujos, representar los datos en tablas y buscar pautas, etc.

A continuación se presenta un esquema a seguir en la realización de problemas matemáticos:

104

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4.1. ANALIZAR

ENUNCIADOS

Como bien saben los profesores que imparten docencia a niños de 6 a 12 años, una de las mayores dificultades a la hora de resolver problemas se presenta a la hora de comprender el enunciado, por eso algunos autores (Puig y Cerdán)3 los identifican con el nombre de problemas verbales. Lessenger (1925) llegó a la conclusión de que si se mejora la habilidad para leer, mejora la habilidad para resolver problemas. Wilson (1922) ensayó este método para mejorar la comprensión de los problemas verbales: primero haciendo una serie de preguntas tendente a aclarar el significado del problema; segundo, haciendo una composición tomando el problema como tema y, tercero, dramatizando el problema o presentando la solución por medio de una pantomima. M. y R. Lyons de la Universidad de Laval (Canadá) en su Défi Matematique 1., plantean problemas con enunciados equívocos y en los que los chicos y chicas deben representar la solución. He aquí dos ejemplos: Una caja contiene cuatro canicas y se le añaden 5 cuerdas y tres guantes ¿Cuántas cuerdas hay en la caja? Dibuja tu solución. Tenía 5 manzanas y me comí 7. ¿Cuántas manzanas tengo ahora? Dibuja tu solución. El efecto producido en el comportamiento de los alumnos por un cierto tipo de enunciados es mayor de lo que pudiera suponerse. Cuando los alumnos resuelven un problema toman en consideración la adecuación de los datos a la pregunta propuesta, lo que les lleva a dar respuestas aparentemente estúpidas y fuera de toda lógica. Véase en el siguiente ejemplo (tomado del IREM4 de Grenoble) lo que ocurre cuando no se realiza una labor de análisis crítico de los enunciados en clase: 1. En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán? (IREM de Grenoble - 1). 2. Un pastor tiene 360 borregos y 10 perros. ¿Cuál es la edad del pastor? (IREM de Grenoble - 2). 3. En una clase hay 7 filas de 4 mesas. ¿Cuántos años tiene la maestra? (IREM de Grenoble - 3).

3

CERDÁN, F. y PUIG, L. (1988). Problemas aritméticos elementales. Madrid: Síntesis.

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Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

En los dos primeros casos los niños tuvieron reservas porque no veían relación ni lógica entre corderos y cabras con la edad del capitán, ni entre los otros animales con la del pastor. Sin embargo encontraron muy lógico el tercer caso y en consecuencia mayoritariamente contestaron que la edad de la maestra tenía que ser 28 años. En la resolución de problemas sobre situaciones propias de la vida cotidiana se dan casos de respuestas obvias con la operación apropiada y de resultado exacto como este: Un agricultor corta 12 metros de cuerda en piezas de 1’5 metros cada una, ¿cuántos trozos ha obtenido? En este caso la solución es el cociente de 12 entre 1’5. ¿Cómo resuelven los alumnos la situación? ¿Aplicando el algoritmo tradicional de la división con lápiz y papel? O bien considerando que se trata de que en el 12 hay 1 vez y media algo, ¿qué puede ser? Naturalmente 8, porque un ocho y medio son 12. Esto es lo que llamamos tener sentido numérico, aritmética mental, dominio de la estructura del sistema de numeración y de las operaciones. Así pues no basta con dar la solución a los problemas, es importante además que el profesorado se fije en el cómo, en los procedimientos empleados y trate de que sean plurales, lo más variados posibles. Partiendo de la idea del problema anterior, podríamos tener este otro: Un agricultor quiere tener una cuerda suficientemente larga como para que le alcance entre dos postes que están separados 12 metros, pero solo cuenta con trozos de 1’5 metros, ¿cuántos trozos necesitará para unir los dos postes? La mayoría de los alumnos responde que 12 metros obtenidos considerando que la situación es similar a la anterior, sin tener en cuenta que es necesario atar la cuerda a los dos postes y por lo tanto se necesita algo más de 12 metros o, dicho de otro modo, los trozos de los extremos deben medir más de 1’5 metros. Así pues, es necesario ir educando una actitud crítica y comprensiva de los enunciados y de lograr una buena representación. Trabajos de este tipo se vienen realizando desde hace bastante tiempo en países del este de Europa, que tienen una buena tradición en lo que a educación matemática se refiere. Así, en Polonia utilizan problemas con distintos tipos de datos para educar la actitud crítica y la comprensión. Veamos alguno de ellos:

106

Juan Emilio García Jiménez I

Mary invitó a 5 chicas y 3 chicos a su fiesta de cumpleaños. ¿Cuántos años cumplía?

I

Un granjero tenía 12 cerdos. Fue al mercado y vendió 8 gallinas. ¿Cuántos cerdos le quedan?

I

Cada día Olga guarda dinero en su hucha de cerdito y apunta cuánto tiene en ella. El lunes tenía 3 euros en su hucha de cerdito. El martes tenía 4 euros en ella. El miércoles tenía 8 euros en su hucha de cerdito. ¿Cuánto dinero acumuló?

I

Ana tiene 7 años y Eduardo 10. ¿Cuántos años más vieja es Ana?

I

En el mercado un huevo costaba ayer 15 céntimos de €. Hoy un huevo cuesta 14 céntimos de € ¿Cuál será el precio de un huevo mañana?

Juan y Miguel están sentados en clase. Hay chicas de pie en la pizarra. Juan ve tres chicas y Miguel ve tres chicas. ¿Cuántas chicas hay de pie en la pizarra? I

Manuel tiene una bicicleta. Juan tiene una bicicleta. Tomás tiene una bicicleta. ¿Cuántas bicicletas tienen?

I

Mercedes escribió una carta a su tío. Juan escribió una carta a su tío. Toni escribió una carta a su tío. ¿Cuántos tíos recibieron cartas?

I

Margarita va a una escuela. Elena va a una escuela. Pedro va a una escuela. ¿A cuántas escuelas van?

4.2. ESQUEMAS

PARA FACILITAR LA COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA

En los primeros cursos de Primaria resulta muy conveniente iniciar a los alumnos en la elaboración de esquemas que faciliten la comprensión del problema. A continuación se muestra alguno de ellos: Para una excursión del colegio se apuntan 65 alumnos de 3º que viajarán en un autobús. Los alumnos de 4º que se apuntan para viajar en el segundo autobús son 63. ¿Cuántos alumnos van de excursión? ¿Cuántos alumnos de 3º viajan en el primer autobús?

¿Cuántos son los alumnos de 4º que viajan en el 2º autobús?

107

¿Cuántos alumnos van a la excursión en total?

Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

El padre de Alicia está mirando un escaparate para comprarse ropa. Necesita comprarse una chaqueta, una camisa y unos pantalones. Para saber cuánto dinero le costará todo, marca con una X la información que le es necesaria:

I I I I

I I I I

La dirección de la tienda. El precio de la camisa. Lo que cuesta el pantalón El número de su tarjeta de crédito.

El nombre de la tienda. El precio de una gorra. La fecha en que hace el pedido. La marca de la chaqueta.

¿Falta conocer algún dato para saber el precio total de la compra? Plantear un problema de varios pasos y proponer a los alumnos que antes de realizar las operaciones escriban un plan de resolución como el que se muestra. Un tren lleva 5 coches de pasajeros. En el primero van 32 personas, en el segundo van 13 viajeros más que en el primero, en el tercero van tantos viajeros como en el primero y en el segundo. El cuarto y quinto coche llevan cada uno 43 viajeros. ¿Cuántos viajeros lleva el tren?

Plan de resolución: a) Para determinar los viajeros que lleva el tren (esto es, la incógnita del problema) hemos de determinar los viajeros que lleva cada uno de los vagones. b) Sabemos cuántos viajeros llevan los vagones 1º, 4º, y 5º, porque son datos del problema. No sabemos los pasajeros que llevan los vagones 2º y 3º, luego hemos de determinar los viajeros que llevan estos vagones. c) Para determinar los viajeros del 2º vagón hemos de saber los que lleva el primer vagón (lo sabemos) y añadir 13 (una condición del problema). d) Para determinar los viajeros del tercer vagón hemos de saber los que llevan el primer vagón y el segundo (lo sabemos).

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Juan Emilio García Jiménez

Cuando presentamos a los alumnos enunciados como el siguiente es preciso realizar una labor previa de comprensión, realizando una serie de preguntas o bien pidiendo a los alumnos que lancen preguntas para facilitar la comprensión. Juan tiene una hermana y un hermano. Su hermana tiene 15 años y su hermano es 15 años más joven que ella. ¿Qué edad tiene su hermano? Juan tiene una hermana y un hermano. Su hermana tiene 15 años y es 5 años más joven que su hermano. ¿Qué edad tiene su hermano? I

¿De quién se habla en la historia?

I

¿Cuál es su relación?

I

¿Qué se nos dice de ellos?

I

¿De quién conocemos la edad?

I

¿Quién es más joven?

I

¿Qué nos preguntan?

4.3. JUEGOS

DE LÓGICA Y ESTRATEGIA

Los juegos de lógica y estrategia nos permiten abordar de forma lúdica los procesos que se ponen en juego para la resolución de problemas y las estrategias heurísticas, como particularizar, empezar por el final y otras. Es importante que los alumnos vayan anotando todo lo que hacen y que se den cuenta de que lo importante no es ganar al otro con quien juegan sino que entre los dos deben “vencer” al juego o al problema. VENENO Se trata de un juego para dos jugadores. Se empieza colocando 10 fichas en fila. El primer jugador coge una o dos fichas de la fila y el segundo hace lo mismo. Así van cogiendo fichas por turnos y la última ficha que queda es “veneno”. El que coge la última ficha es veneno y pierde. Si tú pudieras elegir, ¿qué preferirías ser: primero o segundo? ¿Cómo hay que jugar para ganar siempre, en el supuesto de que pudieras elegir ser primero o segundo?

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Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

Para resolver este problema aconsejamos utilizar las estrategias de plantear uno más sencillo (particularizar) y empezar el problema por el final o dar el problema por resuelto. Planteamos un caso más sencillo: juguemos con cuatro fichas. Si después de jugar yo, al otro le quedan 4 fichas, entonces si él coge una, yo cogeré dos y si él cogiera dos, yo tomaría una. De cualquier modo dejo una para que él la tenga que coger y pierda. Siendo optimistas vamos a suponer que yo he ganado. Para ello he tenido que dejar, después de coger yo, una ficha. Me garantizo esa posición ganadora habiendo dejado antes 4 fichas. Siguiendo ese procedimiento hasta el final descubro que las posiciones ganadoras son las siguientes: 10........7.........4. El intervalo entre las posiciones ganadoras es de 3, observa que es uno más que el mayor número de fichas que se pueden coger (2). Como la primera posición ganadora es 10, si puedo elegir me pediré ser segundo, dejando 10 y que empiece el otro. Después yo iré actuando según el complementario de 3 en función de las que el otro coja que son una o dos. Se puede ganar siempre, si pudiendo elegir, se opta por ser segundo. En este caso, para ganar cogeremos una o dos fichas de este modo: si el primero coge una, el 2º coge dos, si el primero dos, el 2º una, Así sucesivamente hasta el final.

4.4. PROCEDIMIENTOS

Y ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

G. Polya5 en su famoso libro plantea que para resolver un problema se necesita:

5

I

Comprender el problema.

I

Concebir un plan.

I

Ejecución del plan.

I

Examinar la solución obtenida.

POLYA, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. México: Ed. Trillas.

110

Juan Emilio García Jiménez

Cada una de estas fases consta de varios apartados y a lo largo de ellos se van dando orientaciones de técnicas y estrategias heurísticas. La heurística podría entenderse como el arte de resolver problemas. A continuación se presentan algunas de ellas con problemas para ejemplificar el modo de utilizar cada una de ellas: a) Resolver primeramente un problema más simple Aurora y seis de sus amigas pasaron un día en el parque de atracciones. Al final de la mañana decidieron emparejarse para subir a los coches de choque. Cada una subiría con cada una de las otras una vez. ¿Cuántos viajes debieron hacer? Y si fuese toda una clase, por ejemplo de 30 alumnos, ¿cuántos viajes se harían en este caso? Para este problema, una estrategia útil para empezar es resolver primero uno más simple, preguntándose por ejemplo: ¿y si Aurora hubiese ido solo con una amiga?, ¿con dos?, ¿con tres?.,... Otra de las estrategias heurísticas es la de realizar dibujos que nos ayuden a “ver” la situación que nos plantean, gráficos que nos ayudan a entender el problema: 3 personas 3 viajes 2 personas 1 viaje

4 personas 6 viajes

Estos tres problemas más simples nos ayudan a encontrar una solución al problema. Haremos una tabla y veremos: Personas

1

2

3

4

5

6

7

Viajes

0

1

3

6

10

15

21

1

2

3

4

5

6

Diferencias

Para Aurora y sus 6 amigos la solución es, como vemos, de 21 viajes.

111

… …

30

Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas I

El número de viajes se obtiene multiplicando el número de personas por el anterior y dividiendo por dos (si no lo hiciésemos los contaríamos doble porque si A va con B es el mismo viaje que B con A).

I

Cada alumno sube al coche con todos los demás, excepto consigo mismo.

I

Para los 30 de la clase sería:

Habría que sacar 435 tikets b) Emplear dibujos o diagramas Un oso koala medio dormido quiere subir a lo alto de un árbol frutal de diez metros de altura. Cada día el oso trepa cinco metros, pero por la noche, mientras duerme, se resbala cuatro metros. A ese ritmo, ¿cuántos días le costará al oso llegar a la copa del árbol?

Representar un problema por medio de un dibujo es una estrategia muy útil para comprender el enunciado de un problema y poner los medios para su resolución. Es importante que en el dibujo se describan y reflejen todos los elementos del problema. La realización de un dibujo posibilita una solución eficaz del problema si hace posible que los alumnos puedan utilizar a partir de él otras estrategias. Por ejemplo, se puede sugerir a los alumnos que busquen una pauta de conducta en el dibujo. Así podrían observar que al final del primer día el oso está a un metro y al final del 2º día está a dos metros. Por tanto al final del día 5º el oso estaría a cinco metros. De esta forma el día 6º el oso treparía cinco metros y llegaría a la copa del árbol. Algunos alumnos pueden empezar en el metro 10 y hacer el ejercicio hacia atrás contando cinco hacia abajo para ver que el oso llega a la copa del árbol el día que empieza a trepar en el metro 5.

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c) Hacer tablas y buscar pautas

Irene leyó que dos de cada cinco personas tienen los ojos azules. Decidió usar esta idea para predecir cuantos de los 30 alumnos de su clase tendrían ojos azules. ¿Cuántos crees que predijo? ¿Y cuántos tendrán los ojos azules en un colegio de 350 alumnos?

Representa los datos del problema en una tabla como la siguiente. Observa que es importante escribir números con una secuencia ordenada para que luego podamos encontrar pistas. Ojos azules

2

Otros

3

Total

5

10

15

20

25

30

…

Aunque este problema puede resolverse dividiendo o multiplicando, el ayudar a los alumnos a representarlo en una tabla facilita su comprensión, les da pautas sobre la proporcionalidad, les ayuda a ser ordenados y sistemáticos en el plan de resolución de un problema y en definitiva les ayuda a encontrar la solución de forma razonada. La relación entre 2 y 5 es la clave para que el alumno amplíe la tabla multiplicando por 2, 3, 4,… La secuencia didáctica adecuada para este tipo de problemas pasa por resolver el problema planteado (en este caso para una clase de 30 alumnos), ampliarlo a otro número mayor (como es el de todo el colegio) y luego generalizar para cualquier número de alumnos. Así no solo habrán resuelto el problema planteado, sino que tendrán una forma de resolución para cualquier número de casos. d) Descomponer el problema en subproblemas Miguel compró para su tienda 18 cajas de manzanas a un precio de saldo de 3 cajas por 69 €. Las cajas de manzanas normales cuestan 32 € cada una. ¿Cuánto ahorró Miguel comprando las manzanas de saldo?

113

Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

La capacidad de hacerse las preguntas correctas está relacionada con la visualización del problema y por ende con la comprensión del mismo. Los problemas de varias etapas requieren que se hagan preguntas intermedias o que los cálculos intermedios se concluyan antes que la o las preguntas planteadas en el problema se puedan contestar. Solo después de que estas u otras preguntas similares se hayan hecho, se podrá averiguar el resultado final. 1. ¿Cuántos grupos de 3 cajas pueden hacerse con 18 cajas? 2. ¿Cuánto costarán 18 cajas si tres valen 69 €? 3. ¿Cuánto costarán 18 cajas a 32 € cada una? 4. ¿Cuál es la diferencia de precio entre 1 caja de manzanas a 69 € las 3 cajas y una caja a 32 €? Los alumnos necesitan desarrollar la capacidad de hacerse preguntas para comprender los enunciados de los problemas y, a partir de ahí, la comprensión de lo que plantea el problema. Para ayudar a desarrollar esta capacidad podemos: I

Leer a la clase un problema, luego escribir en la pizarra los datos que podrían usarse en el enunciado del problema. Ahora se puede pedir a los alumnos que escriban las preguntas.

I

Leer un problema de un solo paso sin pregunta. Decir la respuesta del problema. Ahora pedir a los alumnos que escriban la pregunta.

I

Presentar algunos datos a los alumnos y pedirles que escriban todo aquello que pueda determinarse a partir de los datos.

I

Leer un problema de un solo paso sin la pregunta. Pedir a los alumnos que determinen la respuesta. Leer después la pregunta. Averiguar si tienen respuesta a la pregunta.

e) Comparando problemas Muchos alumnos tienen dificultad para ver la estructura de un problema. Para ayudarles a centrar su atención en la estructura del problema se proponen varios enunciados diferentes que tienen al mismo tiempo elementos comunes. En los ejemplos presentados: I

Los problemas A y B están enunciados en el mismo contexto y se utilizan los mismos números, pero el problema A requiere de una división para resolverlo y el problema B precisa de una multiplicación.

I

Los problemas A y C tienen contextos y números diferentes, pero se resuelven con la misma operación.

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A) Cuarenta y cinco personas irán en coche al partido de futbol que juega el equipo de su localidad. En cada coche caben 5 personas. ¿Cuántos coches se necesitan? B) Beatriz va a traer 5 chocolatinas para cada persona del grupo que va al futbol. Si hay 45 personas en dicho grupo, ¿cuántas chocolatinas se necesitan? C) Antonio está organizando un juego. Cada equipo estará formado por 3 personas. Si quieren participar 18 personas, ¿cuántos equipos se podrán formar? 1. ¿Qué tienen en común los problemas A y B? ¿Qué tienen de diferente? 2. ¿En qué son iguales o diferentes los problemas A y C? Es importante hacer notar en qué los problemas son iguales y en qué son diferentes. Haciendo esto ayudamos a los alumnos a que vean que un mismo par de problemas pueden estar relacionados. Otra pregunta importante sería: ¿cuáles de los tres problemas están relacionados matemáticamente? Podemos preparar una batería de problemas y pedir a los alumnos que los clasifiquen en grupos matemáticamente relacionados (por contexto, por operación…). En pequeños grupos o individualmente podemos pedirles que expliquen las razones de sus agrupamientos. Estas actividades permiten a los alumnos centrar su atención en la estructura de los problemas. Una actitud muy conveniente para educar en la resolución de problemas es la de que sean ordenados y sistemáticos. Es naturalmente un objetivo-tendencia a alcanzar a medio plazo. Los alumnos deben apreciar las ventajas de proceder de ese modo para llegar a las buenas soluciones de los problemas. Veamos dos ejemplos: Muestra en una trama de puntos todas las regiones rectangulares que pueden hacerse con 24 cuadraditos de 1 cm2.

115

Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

Tengo en mi bolsillo monedas de 10, 20 y 50 céntimos de €. Si saco tres monedas del bolsillo, ¿cuánto dinero puedo haber sacado?

10 Céntimos

20 Céntimos

50 Céntimos

TOTAL

2

0

1

0´70

0

0

3

1´50

0

3

0

0´60

0

1

2

1´20

1

2

0

0´50

1

0

2

1´10

2

1

0

0´40

0

2

1

0´90

3

0

0

0´30

1

1

1

0´80

116

Juan Emilio García Jiménez

Si proceden realizando una tabla como esta podrán estar seguros de tener todas las soluciones posibles y además comprobarán cómo actúa cada una de las variables para el resultado del área final. Al final de todos los problemas siempre conviene tratar de generalizar la solución para tener un modelo de resolución de todos los problemas análogos.

4.5 RECOMENDACIONES a) Proponer a los alumnos problemas con diferentes tipos de contextos: reales, ficticios y puramente matemáticos. b) Proponer problemas variados en cuanto al número de soluciones: una solución, varias soluciones, sin solución. c) Presentar a los alumnos problemas variados desde el punto de vista de la adecuación de los datos: datos completos, incompletos, superfluos, datos que sobran. d) Cuidar las relaciones que influyen en el proceso de resolución tales como la relación entre alumnos (proponer problemas a resolver en grupo y siempre hacer lecturas y puestas en común con toda la clase) y relaciones alumnos-profesor. e) Poner el acento sobre los procesos de resolución y no solamente sobre los cálculos y las soluciones. f) Animar a los alumnos a comunicar oralmente o por escrito lo esencial del proceso de resolución de los problemas. g) Favorecer momentos en que los alumnos confronten sus métodos de resolución de problemas. h) Consecuentemente con la recomendación anterior, proponer problemas que necesiten diferentes métodos o estrategias de resolución. i) Diversificar las actividades de resolución de problemas: I

Dar un enunciado y pedir cuál podría ser la pregunta del problema.

I

Dada la incógnita se pregunta por los datos.

I

Ante una situación, pedir cuál podría ser el enunciado del problema.

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Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas I

Ante un conjunto de datos, se pide elegir los que encajan en la pregunta del problema.

I

Organizar con datos y preguntas el enunciado de un problema.

5. LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL INFORME

PISA

En este apartado de la educación matemática, como en el resto, los cambios que debemos introducir deben ir marcados por lo que se espera de nuestros estudiantes al enfrentarse más tarde a estudios internacionales como el de PISA, donde lo que se evalúa son problemas de situaciones reales, no cuánto sabe, sino cuánto sabe aplicar para la resolución de situaciones que es probable que cualquier ciudadano se encuentre. Identificar y comprender el papel que las matemáticas desempeñan en el mundo, realizar razonamientos bien fundados y usar e implicarse en las matemáticas en aquellos momentos en que se presenten necesidades en la vida de cada individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo6.

He aquí alguno de los tipos de problemas que responden al tipo de los planteados en el Informe PISA: Fiesta escolar Se va a celebrar una fiesta en el colegio a la que va a venir a tocar un famoso grupo musical. La mayoría de los alumnos del centro y de otros centros cercanos querrán asistir a la fiesta, de manera que es posible que se llene el local. a) Sabiendo que el grupo cobra una cantidad y que el colegio subvenciona con otra cantidad, los organizadores te encargan la tarea de averiguar el máximo número de personas que caben en el gimnasio y fijar un precio para la entrada. b) Explica cómo harías para resolver el problema y los pasos necesarios para encontrar la solución; c) Completa la tarea como creas conveniente. Si falta información precisa, emplea la estimación. d) Los organizadores quieren convencer al Director del colegio mediante una presentación corta de las conclusiones de tu trabajo. e) Elabora un guión corto con los puntos clave para que dicha exposición sea convincente. 6

INECSE, 2005, p. 15.

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Accidentes de tráfico (Nivel 3) (Reflexión crítica sobre el proceso de modelización y su uso en una aplicación real; evaluar el uso tendencioso de modelos matemáticos en general). En la siguiente tabla se indica el número de muertes por accidente de tráfico en un país en una serie de años: Año

1960

1965

1970

1975

1980

1984

Número de accidentes

110

200

330

480

590

550

a) La tabla es utilizada por una marca de coches conocida para justificar la necesidad de un nuevo sistema de seguridad instalado en sus vehículos. b) El slogan que acompaña a la tabla es el siguiente: “Cada 10 años se duplica o triplica el número de accidentes. Con nuestros vehículos equipados con el sistema HB1 viajará más seguro!!!” c) ¿Es correcta la frase de la primera parte del slogan? Justifica la respuesta. d) ¿Por qué esta casa comercial utiliza este recurso matemático? e) ¿Es posible utilizar erróneamente las matemáticas? El mejor coche Una revista de coches utiliza un sistema de puntuaciones para evaluar los nuevos coches y concede el premio de “mejor coche del año” al que obtiene la mejor puntuación. Se están evaluando cinco coches nuevos. Sus puntuaciones se muestran en la tabla. Para calcular la puntuación total de un coche, la revista utiliza la siguiente regla, que da una suma ponderada de las puntuaciones individuales. Puntuación total= (3xS)+C+D+H Calcula la puntuación total de Ca. El fabricante del coche Ca pensó que la regla no era justa. Escribe una regla para calcular que el coche Ca sea el ganador. Tu regla debe incluir las cuatro variables. Puntuación total= ….S+ ….C+ …D+…H

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Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

Coche

S

C

D

H

Ca

3

1

2

3

M2

2

2

2

2

Sp

3

1

3

2

N1

1

3

3

3

XK

3

2

3

2

La resolución de problemas constituye una especie de transversal de todo el aprendizaje de las matemáticas, es una forma de trabajar en las clases, sentir y hacer sentir a los alumnos como matemáticos cuando hacen sus tareas. Para mejorar como resolutores de problemas los alumnos deben ir ganando en confianza, creer que ellos pueden, deben además ir adquiriendo hábitos de perseverancia y curiosidad. Como ya se dijo, la resolución de problemas debe entenderse más como un viaje que como un destino, lo verdaderamente importante es lo que pasa mientras los alumnos tratan de resolver el problema, las matemáticas y los pensamientos puestos en juego.

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BIBLIOGRAFÍA CENTRO DE PROFESORES DE VILLARROBLEDO/DPTO. DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS DE LA UNIV. DE VALENCIA (1991). Resolución de Problemas. Consejos para profesores. Versión de la serie Problem solving tips for teachers de Phares G. O’Daffer. (Sin publicar). CERDÁN, F. Y PUIG, L. (1988). Problemas aritméticos elementales. Madrid: Síntesis. FISHER, R. Y VINCE, A. (1990). Investigando las Matemáticas. Ed. Akal. GARCIA, J.E. (2002). “Resolución de problemas y desarrollo de capacidades”. Revista UNO, nº 29. GARCIA, J.E. (2005). “Resolución de Problemas. Educación Primaria”. Revista Aula de Innovación Educativa, nº 142. GARCIA, J.E. (1992). “Ideas, Pautas y Estrategias heurísticas para la resolución de problemas”. Revista Aula de Innovación Educativa, nº 6. GÓMEZ GARCÍA, E.P. (1997). Bloqueos en los umbrales de la resolución de problemas. Huesca: CEP de Graus. GRUPO CERO (1987). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Valencia: Mestral Libros. GUZMAN, M. DE (1991). Para pensar mejor. Barcelona: Labor. HERNAN, P. Y CARRILLO, M.L. (1988). Recursos para el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis. MASON, J.; BURTON, L.; STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Barcelona: MEC-Labor NCTM (1990). Sugerencias para resolver problemas. México: Trillas. NCTM (2003). Estándares curriculares y para la evaluación matemática. Sevilla: SAEM Thales.

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Resolución de problemas: el corazón de las matemáticas

RAMÍREZ, A. Y USÓN, C. (1998). Variaciones sobre un mismo tema. Granada: Proyecto Sur. SHELL CENTRE FOR MATHEMATICAL EDUCATION (1993). Problemas con pautas y números. Bilbao: Universidad del País Vasco. SHOENFELD, A. (1985). Mathematical Problem Solving. Florida: Academic Press. STACEY, K. Y GROVES, S. (1999). Resolver problemas: Estrategias. Madrid: Ed. Narcea. VILA, A. Y CALLEJO, Mª L. (2004). Matemáticas para aprender a pensar. Madrid: Ed. Narcea.

Páginas WEB: Pautas y orientaciones para resolver problemas: http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/ Colección de problemas para Primaria: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/problemas/problema.html Problemas interactivos y para imprimir: http://www.xtec.cat/~jjareno/ Olimpiada Matemática Argentina: http://www.oma.org.ar/index.htm Problemas para 5º y 6º de las olimpiadas matemáticas de Cataluña: http://phobos.xtec.cat/edumatcat/fem_mates/moodle/ Problemas para 5º y 6º de las olimpiadas matemáticas de Galicia: http://www.agapema.com/agapema.html Para enseñar a pensar: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/matepre/index_enca.htm Taller de pensamiento: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/indexactiv.htm Juegos interactivos de lógica y estrategia: http://www.plastelina.net/examples/games/index.html Juegos de lógica y estrategia: http://juegosdelogica.net/

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