Resolución de Triángulos Oblicuángulos Un triángulo oblicuángulo es aquel que no contiene un ángulo recto. Utilizaremos letras mayúsculas de nuestro alfabeto para designar los ángulos y las letras minúsculas para designar a los lados de cualquier triángulo. Para resolver un triángulo oblicuángulo podemos utilizar la ley del seno y la ley de los cosenos.

A. Ley de los Senos: Sea ABC un triángulo. Sea A un ángulo en posición normal o estándar y coloquemos el ángulo B sobre el semieje positivo de x. y C h x D A B Consideremos la línea perpendicular al lado AB y paralela al semieje y. Sea D el punto que corta la línea al eje x. Tenemos que CD  eje x, por lo tanto CD = h (altura del ABC). Aplicando la definición de razones trigonométricas, tenemos que:

h b h  bsenA senA 

Con referencia al triángulo rectángulo BCD, observamos que:

h a h  asenB Al igualar las dos expresiones resulta que: bsenA  asenB senA senB  Lo anterior lo podemos escribir como: a b senB 

Si A se pone en posición estándar con C en el semi eje positivo de x y utilizando el mismo razonamiento resulta que:

senA senC  . a c

Ley de los Senos: “En cualquier triángulo, la razón de los senos de un ángulo y el lado opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo”. Si ABC es un triángulo oblicuo con ángulos A, B, C y lados a, b, c entonces:

senA senB senC   . a b c

Las condiciones bajo la cual podemos resolver un triángulo oblicuo empleando la ley de los senos son: a. Dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados: LLA b. Dos ángulos y cualquier lado: AAL ó ALA. 18

Ejemplo 1: Sea A = 67, a = 140, c = 125. Solución: Sustituimos los valores en la ley de los senos, obtenemos:

sen67 senC  140 125

125( sen67) 140 senC  0,8219 senC 

C  sen  1(0,8219) C  55,2775 Ejemplo 2: Una embarcación pesquera comercial utiliza equipo de sonar para detectar un banco de peces localizado 2 millas al este de la embarcación. El cardumen se mueve en dirección N51W a razón de 8 millas por hora. a. Si la embarcación navega a 20 millas por hora, ¿en qué dirección debe dirigirse para interceptar la embarcación? b. Halla, al minuto más cercano, el tiempo que tardará en interceptar el cardumen. C

51



B Solución:

2 millas

A

a. El triángulo ABC, observamos que ∡A = 90 - 51 = 39. Apliquemos la ley del seno:

senB sen39  b a Despejando B, resulta que: senB 

b sen39 a

Por otro lado, denotemos t el tiempo en que la embarcación y los peces se encontrarán en el punto C. Sabemos que, d 

V , es decir, d  Vt t

Al calcular la distancia de la embarcación al punto C, se tiene que: a = 20t. Al determinar la distancia del cardumen al punto C, se tiene que. b = 8t. Luego,

b 8t 2   a 20t 5

Por lo tanto, senB 

2 sen39  14,6 0 5

Como el rumbo se determina con la línea Norte – Sur, luego,  = 90 - 14,6=75,4. El rumbo que debe seguir la embarcación para interceptar el banco de peces es, N75,4E b. Podemos encontrar el tiempo usando la relación: a = 20t. Por ende, debemos hallar la distancia de B a C, es decir, c. En todo triángulo se cumple que: A + B + C = 180. Luego, C = 180 – (39 +14,6) = 126,4 19

Usemos la ley de los senos:

a c  senA senC csenA a senC 2 sen39 a sen126,4 a  1,56 millas Reemplazamos, t 

a 1,56   0,08 horas  5 minutos 20 20

Ejemplo 3: Un camino recto hace un ángulo de 15 con la horizontal. Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 57, un poste vertical que está a un lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo directamente cuesta abajo, como se muestra en la figura. Calcule la longitud del poste.

15 57

75 pies

Solución: La figura anterior, la podemos trazar de la siguiente manera: C



57

B

75 pies

A

15

D

En el triángulo rectángulo ABD, el ángulo  = 90 - 15 = 75. Por lo tanto, B = 180 - 75 = 105. En el triángulo ABC, A = 57- 15 =42 Calculemos el valor del ángulo C, C = 180 - (42 + 105) = 33 Apliquemos la ley del seno:

sen42 sen105 sen33   a b 75 pies 75sen42 a sen33 a  92,14 pies 20

Práctica 2 PROBLEMAS DE APLICACIÓN EMPLEANDO LA LEY DEL SENO. I. Resuelva los problemas de aplicación. 1. Para hallar la distancia entre dos puntos A y B en las márgenes opuestas de un río, un agrimensor traza un segmento AC de 240 yardas de longitud junto a una de las márgenes, y determina que las medidas de ∢BAC y ∢ACB son 6320’ y 5410’, respectivamente. Calcule la distancia AB. Respuesta: 219 yardas 1. La Estación Coiba de los guardabosques se encuentra a 60 millas al este de la Estación Chiriquí. Un barco en el mar envía una señal de auxilio que es recibida por ambas estaciones. La llamada de la Estación Coiba indica que la posición del barco es de 30 oeste del norte, la llamada de la Estación Chiriquí indica que la posición del barco es 25 al este del norte. ¿A qué distancia del barco se encuentran ambas estaciones? Resp: 63,43 mi; 66,38 mi. 3. Un teleférico transporta pasajeros de un punto A, que está a 12 millas del punto B, que se halla en la base de una montaña, hasta un punto P de la cima de la montaña. Los ángulos de elevación de P desde a y B son de 21 y 65, respectivamente, calcule: a. la distancia entre A y P. Respuesta: 16 millas b. la altura de la montaña Respuesta: 6 millas 4. Los ángulos de elevación de un globo desde un punto A y B a nivel del suelo son 24 10’ y 47 40’, respectivamente. Según la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas entre sí y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcule la altura del globo sobre el suelo. Respuesta: 2,7 millas. 5. La famosa torre de Pisa originalmente estaba perpendicularmente al suelo y medía 179 pies de altura; debido al hundimiento del suelo, ahora se ha inclinado a cierto ángulo  de la perpendicular. Cuando se observa la parte más alta de la torre desde un punto situado a 150 pies del centro de su base, el ángulo de elevación es de 53.3. Calcule el ángulo . Respuesta:  = 5,5 6. Dos salvavidas se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno del otro de 1,5 km en los puntos A y B, respectivamente. Divisan un bote que se está hundiendo en el punto C, si el salvavidas A mide un ángulo CAB = 79,3° y el que está en B mide CBA = 43,6°. a. ¿A qué distancia está el bote de cada salvavidas? R: 1,76 km de A b. ¿ A qué distancia está el bote de la costa? R: 1,23 km de B 7. Un guarda bosques ubicado en un punto de observación A avista un incendio en dirección N2710’E. Otro guarda bosques, que está en un punto de observación B a 6 millas directamente al este de A, advierte el mimo incendio en N5240’O. Calcule la distancia desde cada punto de observación al incendio. Respuesta: 3.7 millas de A y 5.4 millas de B. 8. Un poste inclinado 1020’ de la vertical hacia el Sol proyecta una sombra de 40,7 cm cuando el ángulo de elevación del Sol es de 4030’. Halle la longitud del poste. 21

9. Un puente del ferrocarril se encuentra sobre una cañada profunda. Un observador situado sobre el puente midió el ángulo de depresión de una peña en el fondo de la cañada como 8930’. Luego, caminó 30 m sobre el puente en dirección opuesta a la peña y midió de nuevo el ángulo de depresión como 7830’. ¿A qué distancia estaba la peña de su primera posición? R: 154 m 10. Un camino recto hace un ángulo de 22 con la horizontal. Desde un punto P sobre el camino, el ángulo de elevación del aeroplano en el punto A es de 57. En el mismo instante, desde otro punto Q situado a 100 metros cuesta arriba, el ángulo de elevación es de 63. Como se indica la figura, los puntos P, Q y A están en el mismo plano vertical. Calcula la distancia desde P al aeroplano. R: 628 m. A

P

Q 22

11. Si medimos los ángulos de elevación de una montaña a su parte más alta y desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38,5° y 40,2°, respectivamente. ¿Cuál es la altura de la montaña? 12. Un hombre de estatura de 5 píes con 9 pulgadas se para en un andén que se inclina hacia abajo con un ángulo constante. Un pote vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 18 pies de largo. El ángulo de depresión desde la mayor altura del hombre hasta la punta de su sombre es de 31°. Halle el ángulo 𝛼 que forma el andén con la horizontal. R: 15,11°

31° Sombra  13. Un helicóptero vuela a una altitud de 1000 pies sobre la cima de una montaña que mide 5210 pies de altura. Desde lo alto de esta montaña y desde el helicóptero se ve una segunda montaña, más elevada que la primera. Desde el helicóptero, el ángulo depresión es de 43, y desde la cima de la primera montaña, el ángulo de elevación es de 18. a. Calcule la distancia de pico a piso. pies 43 b. Calcula la altura de la montaña más alta. 1000 18

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B.

Ley de los Cosenos: Demostremos la fórmula de la ley de los cosenos. Sea ABC un triángulo oblicuo, Coloquemos el ángulo A en posición normal. Hemos dibujado A como un ángulo obtuso, pero el análisis es válido si A es agudo. C (k, h) y h

a b x K (k, 0)

A

c

B (c, 0)

Consideremos la línea que pasa por C, paralela al eje y interceptando el eje x en un punto K(k, 0). Si determinamos la distancia de C a K, es de cir, CK = h (altura del ABC). Así, el punto C tiene coordenadas (k, h). Utilizando la definición de las razones trigonométricas resulta que:

k b h senA  b Al despejar k resulta :

cos A 

k  b cos A h  b sen A Como el segmento AB tiene longitud c, las coordenadas de B son (c, 0) y obtenemos:

a 2  d ( B, C )  (k  c) 2  (h  0) 2 2

a 2  (b cos A  c) 2  (bsenA) 2 a 2  b 2 cos 2 A  2bc cos A  c 2  b2sen 2 A a 2  b 2 (cos 2 A  sen 2 A)  c 2  2bc cos A a 2  b 2  c 2  2bc cos A Las otras fórmulas se pueden obtener de forma análoga.

Ley de los Cosenos: “El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de los mismos por el coseno del ángulo comprendido entre esos lados”. Si ABC es un triángulo, entonces se cumple que:

a 2  b 2  c 2  2bc cos A b 2  a 2  c 2  2ac cos B C

c 2  a 2  b 2  2ab cos C

b A

a c B

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Si deseamos encontrar el valor del ángulo, las fórmulas anteriores se transforman en : b2  c2 - a2 2bc 2 a  c2 - b2 cosB  2ac 2 a  b2 - c2 cosC  2ab cosA 

La ley de los cosenos se utiliza cuando se conoce:  Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos LLA  Tres lados LLL Ejemplo 1: Sea un triángulo oblicuo, ABC, con a = 90, b = 70, c = 40 Solución: Conocemos los tres lados del triángulo, determinemos los ángulos.

b 2  c 2 - a 2 70 2  40 2  90 2  1600 2 cosA     2bc 2(70)(40) 5600 7  2 A  cos 1     106,6  7 2 a  c 2 - b 2 90 2  40 2  70 2 4800 2 cosB     2ac 2(90)(40) 7200 3 2 B  cos 1    48,2  3 2 a  b 2 - c 2 90 2  70 2  40 2 11400 19 cosC     2ab 2(90)(70) 12600 21  19  C  cos 1    25,2  21  Ejemplo 2: Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 17 con la horizontal. Calcule la longitud mínima de cable que llegará a la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo (medido desde la base del poste) Solución: Veamos la ilustración: C 40 pies

72 pies

A

B 

17

Solución: Observe que  = 90 - 17 = 73 Tenemos que B = 180 - 73 = 107 24

Emplearemos la ley de los cosenos:

b 2  a 2  c 2  2ac cos A b 2  40 2  72 2  2(40)(72) cos 107 b 2  8468,06 b  8468,06 b  92,02 b  92 pies Práctica 4 PROBLEMAS DE APLICACIÓN EMPLEANDO LA LEY DE LOS COSENOS

I.

Aplique la ley de los cosenos y resuelva cada problema. 1. El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 7340’, y los lados que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies. Calcule la longitud del tercer lado. R: 196 pies. 2. Para hallar la distancia entre los puntos A y B, un agrimensor escoge un punto C, que está a 420 yardas de A y a 540 yardas de B. Si el ángulo ∡ACB =6310’, calcule la distancia AB. 3. Dos automóviles salen de una misma ciudad y a un mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 84 en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas por hora, respectivamente, ¿a qué distancia se halla uno del otro al cabo de 20 minutos? R: 24 mi. 4. Un terreno triangular tiene lados 420, 350 y 180 pies. Calcule el ángulo más pequeño. 5. Una embarcación sale de puerto a la 1:00 p. m. en dirección N35E a una velocidad de 24 millas por hora. Otra embarcación sale del mismo puerto a las 1:30 p. m. y navega en dirección S20W a razón de 18 millas por hora. Aproximadamente, ¿a qué distancia se encuentra una de otra embarcación a las 3:00 p. m.? R: 39 mi. 6. Un aeroplano vuela 165 millas desde un punto A en dirección 130 y luego 80 millas en dirección 245. ¿A qué distancia aproximada se encontrará del punto A? 7. Un trotador corre a una velocidad constante de 1 milla cada 8 minutos en dirección S40E durante 20 minutos y luego en dirección N20E durante los 16 siguientes minutos. Calcule la distancia desde el punto final al punto partida de la pista. R: 2,3 millas 8. Los puntos P y Q ubicados a nivel del suelo están en lados opuestos de un edificio. Para hallar la distancia entre los puntos, un agrimensor escoge un punto R que está 300 pies del punto P y a 438 pies de Q, y luego determina que el ángulo ∡PRQ = 3740’. Calcule la distancia entre P y Q.

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9. Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta con lados de 2km, 4 km y 3 km, respectivamente. Recorrió el primer lado en dirección N20W y el segundo en dirección SW, donde  es el ángulo medido en grados de un ángulo agudo. Calcule la dirección en que recorrió el tercer lado. R: N5531’E 10. La caja rectangular de la figura tiene tres dimensiones 8 m  6 m  4 m. Calcule el ángulo  formado por la diagonal de la base y una diagonal del lado 6 m  4 m.

4m  8m

6m

11. Un parque de béisbol tiene cuatro bases que forman un cuadrado y están a 90 pies una de la otra; el montículo del lanzador se halla a 60,5 pies del plato. Calcula la distancia del montículo del lanzador a cada una de las bases. R: 63,7 de primera y tercera base, 66,8 pies de segunda. 12. Un crucero zarpa con rumbo N47E desde una isla a un puerto ubicado en tierra firme, que está a 150 millas. Después de navegar por aguas de fuertes corrientes, la nave está fuera de curso en una posición P ubicada a N33E y a 80 millas de la isla. a. ¿A qué distancia estará del punto de destino? b. ¿Qué dirección debe seguir para corregir el rumbo? 13. Un aeroplano P de reconocimiento, que vuela a 10 000 pies por arriba de un punto R sobre la superficie del agua, localiza un submarino S a un ángulo de depresión de 37 y un buque tanque T a un ángulo de depresión de 21. Además, el ángulo ∡SPT = 110. Calcule la distancia entre el submarino y el buque tanque. R: 37 039 pies. P 37 110

21

R S

T

14. La distancia de una margen a otra del río se pueden determinar sin medir los ángulos. Se seleccionan los puntos B y C a las orillas opuestas, y los segmentos de recta AB y AC se prolongan. Se escogen los puntos D y E como se indican en la figura y se miden las distancias BC = 184 pies, BD =102 pies, CD = 236 pies, BE = 218 pies y CE = 80 pies. a. Calcule la distancia AB y AC. b. Calcule la distancia más corta a la otra orilla desde el punto A. A C E 26

B D 15. Un viejo canal corre hacia el norte 500 metros, luego se debía N1630’E, 400 metros. ¿Qué longitud de tubería sería necesaria para reemplazar el canal, si se colocase en línea recta? R: 891 m 16. Una estación guardacosta recibe una llamada de auxilio de un barco que se encuentra a 20 millas náuticas y en dirección N3810’E de la estación. Un barco de rescate parte de un punto situado a 15 milla náuticas y en dirección S8020’E de la estación. Dicho barco de salvamento navega a una velocidad de 32 nudos (1 nudo = 1 milla náutica por hora). ¿Cuánto tiempo tardará en llegar el barco de rescate al lugar del percance? R: 34,5 minutos. 17. Para ir de San José a Villa Rica es necesario viajar 60 km al este y 25 km en dirección N2330’E. ¿Qué tan separadas están las dos ciudades? R: 73,6 km. 18. Dos barcos salen del mismo puerto a un mismo tiempo. Uno de ellos navega con rumbo 42 al oeste del norte a razón de 25 km por hora. El otro navega con rumbo 10 al oeste del sur a una velocidad de 15 km por hora. ¿A qué distancia se encuentran una del otro después de 3 horas? Respuesta: 59,1 km. 19. Una escalera de 6.1 m de longitud, está recostada sobre un muro inclinado, de manera que alcanza una altura de 5 m, sobre dicho muro. Si la parte inferior de la escalera está a 2.5 m de la base del muro, halla la inclinación de éste. Respuesta: 103.79.

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Práctica General La estación guardacosta Able está localizada a 150 millas al sur de la estación Baker. Una embarcación envía una llamada SOS que es recibida por cada estación. La llamada a la estación Able indica que el barco está localizado en dirección N55E; la llamada a la estación Baker indica que el navío está localizado en dirección S60E. a) Calcule la distancia del barco a cada estación. b) Si un helicóptero puede volar a una velocidad de 200 millas por hora y sale de la estación más cercana al barco. ¿Cuánto tiempo llegará a la embarcación? Para hallar la distancia de la casa A a la casa B un agrimensor mide el ángulo ∡BAC = 60 y camina una distancia de 100 pies a un punto C que se encuentra el este de A. Nuevamente mide otro ángulo, ∡ACB = 50. ¿Qué distancia hay de la casa A a la casa B? El navegante de un navío que se encuentra cerca de la costa, en el mar descubre dos faros A y B y sabe que entre los faros hay una distancia de 3 millas a lo largo de la costa en línea recta. El navegante determina que el ángulo formado entre la línea horizontal y la visual al faro A es de 15 y el ángulo formado entre la horizontal y la línea visual al faro B es de 35. a) ¿Cuál es la distancia del barco a los dos faros?. b) ¿Qué tan lejano se encuentra el barco de la orilla? Una de las siete maravillas del mundo es la Gran Pirámide Keops que data del año 2580 a. C. La altura original de la pirámide era de 480 pies con 11 pulgadas, pero debido a la erosión de la piedra ha perdido altura. Un observador mide un ángulo de elevación a la cúspide en la base de la pirámide y determina ∡ 46,27. Luego el camina en dirección opuesta a la base de la pirámide y nuevamente calcula otro ángulo de elevación ∡40,3. Si la distancia de la base de la pirámide al otro punto de observación es de 200 pies. Calcule la altura de la pirámide Keops. Una antena de radio de 500 pies de altura está localizada a un lado de una colina, la cual tiene un ángulo de elevación de 5 con respecto a la horizontal. ¿Cuál debe ser la longitud de dos alambres que se conectan a la cima de la torre y que deben ser asegurados a una distancia de 100 pies de la bases de la torre? Un barco crucero mantiene una velocidad promedio de 15 nudos (1 nudo = 1 milla / h) cuando viaja de San Juan de Puerto Rico a Barbados, que se encuentra a una distancia de 600 millas náuticas. Debido a una tormenta tropical el capitán enfila el avión fuera de la línea recta de San Juan a Barbados en una dirección de N20E. El capitán mantiene una velocidad de 15 nudos por 10 horas, después que el camino hacia Barbados mejore la tormenta. a) ¿Qué dirección debe seguir el capitán para enfilar el avión nuevamente hacia Barbados? b) Una vez que se haga el giro hacia Barbados, ¿cuánto tiempo tardará la nave en alcanzar Barbados si se mantiene la velocidad de 15 nudos? Un aeroplano vuela de la ciudad de Myers a Sarasota, a una distancia de 150 millas, y allí gira el avión en dirección N50E y se enfila hacia la ciudad de Orlando, a una distancia de 100 millas. ¿Qué tan lejos está la ciudad de Myers de la ciudad de Orlando. Orlando 100 mi 50 Sarasota 150 mi Myers

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