Respuesta en Frecuencia • Respuesta en Frecuencia : El concepto obedece al comportamiento de la respuesta forzada y su variación respecto a la frecuencia angular • Resonancia : La condición que existe cuando una excitación senoidal de amplitud constante produce una respuesta de amplitud máxima. • El sistema resonante puede ser eléctrico, mecánico, hidráulico, acústico, o de cualquier otro tipo. • Se puede pensar en una frecuencia que se ajusta hasta que se obtiene la resonancia; también se puede ajustar el tamaño, la forma y el material del objeto mecánico sujeto a vibración, aunque esos procedimientos no sean fáciles de llevar a cabo físicamente. Resonancia Definición En circuitos de dos terminales que contengan por lo menos un inductor y un capacitor, la resonancia se define como la condición que existe cuando la impedancia de entrada de la red es puramente resistiva. Una red está en resonancia cuando el voltaje y la corriente de las terminales de entrada de la red se encuentran en fase. Resonancia en paralelo La definición de resonancia se aplicará al siguiente circuito RLC La admitancia presentada a la fuente ideal de corriente es : Por lo cual la resonancia ocurre cuando : Resonancia en Paralelo La condición de resonancia puede obtenerse ajustando , L o C; se dedicará atención al caso en que la variable es . Por tanto la frecuencia resonante 0 es También puede utilizarse la configuración de polos y ceros de la función de admitancia. Resonancia en Paralelo Se pueden mostrar los ceros de Y(s) factorizando el numerador: Donde y d representan las mismas cantidades. Es decir, es el coeficiente de amortiguamiento exponencial. d es la frecuencia resonante natural. El patrón de polos y ceros se obtiene de la forma factorizada Resonancia en paralelo 1

Dada la relación que existe entre ,d y 0 y la configuración de polos y ceros, la frecuencia resonante puede obtenerse a través de métodos puramente gráficos. Si se asume una fuente de corriente senoidal de amplitud constante para el circuito RLC que se mostró al principio, la respuesta de voltaje es proporcional a la impedancia de entrada. Esta respuesta puede obtenerse de la gráfica de polos y ceros. La respuesta comienza en cero, alcanza un valor máximo cerca de la frec. Resonante natural y luego cae a cero conforme tiende a infinito Resonancia en paralelo La admitancia definida por tiene una conductancia constante y una susceptancia que tiene una magnitud mínima (cero) en resonancia y su valor es de 1/R. El valor máximo de la impedancia R ocurre en resonancia. La corriente de L en resonancia es (IL,0= IR/j0L) y la corriente en C es (IC,0= j0CRI) . Ya que en resonancia Se encuentra que IC,0= −IL,0 = j0CRI o sea IC,0+ IL,0 = IL,C =0 El valor máximo de la magnitud de la respuesta y la frecuencia a la que ocurre no siempre se encuentran fácil. Factor de Calidad La esbeltez de la curva de respuesta de cualquier circuito resonante está determinada por la máxima cantidad de energía que puede almacenarse en el circuito, comparada con la energía que se pierde durante un período completo de la respuesta. Q = factor de Calidad = 2 máxima energía almacenada −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− energía total perdida por período Apliquemos la definición de arriba al circuito que vimos al principio. La función de excitación de corriente es i(t)= Imcos0t Obtenemos la respuesta de voltaje en resonancia v(t)= RImcos0t Factor de Calidad La energía almacenada en el capacitor es La energía instantánea almacenada en el inductor se convierte en Por consiguiente

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Entonces la energía total instantánea almacenada es constante: Factor de Calidad Para encontrar la energía disipada por el resistor se toma la potencia absorbida por el resistor, Se le multiplica por un período, para obtener Entonces se encuentra el factor de calidad en resonancia • Q0 = 2foRC = w0RC Esta ecuación es válida sólo para el circuito RLC en paralelo que hemos venido examinando hasta ahora. Factor de Calidad Los parámetros más importantes de un circuito resonante son la frecuencia de resonancia 0, y el factor de calidad Q 0. Tanto el coeficiente de amortiguamiento exponencial como la frecuencia resonante natural pueden expresarse en términos de 0 y Q0: También puede ser de utilidad una relación adicional que involucre a 0 y Q0: Factor de Calidad Puede escribirse en términos de y 0 : s2 + 2s + 20 En teoría de control se escribe éste factor ligeramente diferente agregando el parámetro adimensional (zeta),llamado factor de amortiguamiento: La comparación de éstas expresiones permite relacionar con otros parámetros EJEMPLO Calcule los valores numéricos de 0, , d y R para el circuito resonante que tiene L = 2.5mH, Q0= 5 y C = 0.01F. SOLUCION Interpretación de Qo Se puede interpretar Q0 en términos de los polos y ceros de la admitancia Y(s) del circuito RLC en paralelo. Conforme Q0 aumenta, la relación entre, Q0 y 0 indica que los dos ceros deben acercarse al eje j. Se deben alejar al mismo tiempo del eje . Cuando R es infinita Q0 también es infinita y los dos ceros se encuentran en s=± j0 sobre el eje j. Conforme R disminuye los ceros se desplazan hacia el eje a lo largo de la trayectoria circular uniéndose para formar un doble cero en s= − 0. Esta situación es la misma que la del amortiguamiento crítico de manera que d= 0 y = 0. 3

Ancho de Banda Definición El ancho de banda de un circuito resonante se define como la diferencia de las frecuencias de la mitad de potencia. = w2 − w1 Este ancho de banda se toma como la anchura de la curva de la respuesta, aún cuando en realidad la curva se extiende desde = o hasta =. A continuación se verá como expresar el ancho de banda en términos de Q0 y la frecuencia de resonancia. Ancho de Banda De nuevo se observa que en resonancia la magnitud de la admitancia es 1/R y que puede obtenerse una admitancia igual a cuando se elige una frecuencia tal que la parte imaginaria de la cantidad entre corchetes tiene una magnitud igual a uno. Así Al despejar se tiene Aunque las expresiones de la der. son complicadas su diferencia proporciona una expresión para el ancho de banda. Resonancia en Serie Por simplicidad se hará referencia a resultados obtenidos en la sección acerca de resonancia en paralelo. La frec. De resonancia es la frec. A la que la parte imaginaria de la impedancia de entrada se hace cero. Q0 se define como X el cociente de la máxima energía entre la energía perdida durante cada período . Las dos frecuencias de mitad de potencia w2s y w1s se definen como las frecuencias a las cuales la magnitud de la impedancia es veces la magnitud mínima de la impedancia. Resonancia en Serie Donde R es la diferencia entre las frecuencias superior e inferior de mitad de potencia. Este ancho de banda de mitad de potencia está dado por: El circuito resonante en serie se caracteriza por una baja impedancia en la resonancia, mientras que el circuito en paralelo produce una alta impedancia resonante. Este último da corrientes de inductor y de capacitor en resonancia que tiene amplitudes Q0 veces mayores que la corriente de la fuente; el circuito resonante en serie da voltajes de inductor y capacitor que son mayores que el voltaje de la fuente por un factor Q0s . Otras formas resonantes. 4

Los circuitos RLC que hemos tratado representan circuitos resonantes idealizados: Considérese un modelo útil de una red RLC en paralelo. (izq.) y su equivalente para una estrecha banda de frecuencias (der.) Antes de ocuparnos del circuito equivalente de la derecha, estudiaremos el circuito de la izquierda. La frecuencia angular resonante para ésta red no es 1/ aunque su valor puede ser muy cercano si R1 es bien pequeña. Otras formas resonantes. La definición de resonancia sigue igual y la frec. de resonancia se puede determinar igualando a cero la parte imaginaria de la admitancia. Así y Debe observarse que 0 es menor que 1/, pero si los valores de la razón R1/L son muy pequeños, la diferencia entre 0 y 1/será despreciable. EJEMPLO Calcule la frecuencia de resonancia para el circuito anterior que tiene L = 1H, R1= 2 y C = 1/8F y R1= 3. SOLUCION Esto permite calcular la admitancia de entrada La impedancia de entrada en la resonancia es A la frecuencia que sería la frecuencia de resonancia si R1 fuera 0 La impedancia de entrada vale entonces La frecuencia a la cual ocurre la magnitud máxima de la impedancia indicada por m , resulta ser m = 3.26 rad/s Y la impedancia que tiene la magnitud máxima es La magnitud de la impedancia en la resonancia y la magnitud máxima difieren en un 13%, (es demasiado grande para despreciarse en un examen.) Para transformar el circuito mostrado en la ilustración de la izq en la página 10 en el equivalente que se muestra a la derecha, consideremos los siguientes circuitos.

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Una red en serie de una resistencia Rs y una reactancia Xs puede transformarse en una red en paralelo tal que Ys = Yp a una frecuencia específica. La transformación inversa es posible. Ahora se efectuarán los detalles necesarios para calcular valores de Rp y Xp para la red en paralelo de la página 10, para alguna frecuencia específica. Se obtiene Al dividir ambas expresiones se tiene Por lo tanto las Q de las redes en serie y en paralelo deben ser iguales. Qs = Qp = Q Ahora se pueden simplificar las ecuaciones de transformación. Es evidente que se puede encontrar Rs y Xs si los valores dados son Rp y Xp; la transformación puede expresarse en cualquier dirección. Si Q"5 se introduce un pequeño error si se usan relaciones aproximadas. 13 IC IL ILC C R I L

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x x Plano s Z(s) jd −jd − o Plano s Y(s)

jd −jd − x 0.707II|R 7

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9

x

Q0=1/2 R=" Q0=" −

−

jd j −j −jd

10

Ce Re Le Y(s)! R2 C R1 L 11

Ys ! jXs Xs Rs Yp ! jXp 12

Xp Rp

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