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Estática Resumen de los temas cubiertos en Estática Capítulo 1 1.1 Definir el campo de estudio de la mecánica y sus divisiones. Conceptos básicos

Mecánica está definida coma la ciencia aplicada que describe y predice la condición de reposo o movimiento de un cuerpo bajo la acción de fuerzas. La mecánica se divide en tres partes que son: •

Mecánica de cuerpo rígido 1.- Estática 2.- Dinámica

•

Mecánica de cuerpo deformable

•

Mecánica de fluidos

1.- Mecánica de materiales 1.- Fluidos incompresibles 2.- Fluidos compresibles 1.2 Principios y conceptos fundamentales Cuerpo rígido: Es aquel que esta formado por una gran cantidad de partículas que se encuentran a una distancia fija entre sí y que permanecen a la misma distancia después de aplicar la carga, eso quiere decir que las deformaciones son pequeñas y pueden despreciarse. Ley del paralelogramo: Sirve para sumar o restar vectores. Principio de transmisibilidad: Este principio establece que las fuerzas se transmiten a lo largo de su línea de acción. Las Leyes de Newton Primera Ley. 1.- Si la resultante de una fuerza actuando sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo o se moverá a velocidad constante en línea recta. Segunda Ley 2.- Si la resultante de una fuerza actuando sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y a su dirección. F=ma Tercera Ley 3.- A cada fuerza de acción corresponde una reacción igual y en sentido contrario. Ley de la gravitación de Newton

GM g= 2 R

F =G

Mm r2

Gravedad

W = mg

g = 9.81

m s2

g = 32.2

ft s2

1.3 Sistema de Unidades. Sistema Internacional de Unidades (SI) Unidades básicas Longitud (m), masa (Kg) y tiempo (seg). La unida de fuerza es derivada de estas unidades

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Estática fundamentales.

1 N = (1kg )(1

m kg im ) =1 2 2 s s

Sistema Inglés (US) Unidades básicas Longitud (ft), fuerza (lb) y tiempo (s)

1 slug =

1 lb lbi s 2 =1 ft ft 1 2 s

Conversión de unidades. 1 ft = 0.3048 m

1 lb = 4.448 N

1 slug = 14.59 Kg

Cantidades escalares y vectoriales: La mayoría de las cantidades físicas que manejamos pueden expresarse en forma escalar o vectorial Ejemplos de cantidades escalares:

tiempo, masa, volumen etc.

Ejemplos de cantidades vectoriales: Fuerza, velocidad, aceleración, peso etc. Las cantidades vectoriales tienen que tener tres características principales que son: magnitud, dirección y sentido y ninguna de ellas puede faltar para definirla correctamente. Los vectores se pueden sumar o restar y para ello podemos usar la Ley del paralelogramo que me permite hacer esto. También se pueden multiplicar (producto punto ó producto cruz) ó multiplicar por un escalar así como dividirse Componentes rectangulares u ortogonales: Cualquier fuerza se puede descomponer en componentes que pueden ser rectangulares u ortogonales. Ejemplo:

F = Fx i + Fy j + Fz k F =

2

+ ( Fy ) + ( Fz )

Fx F

cos(θ y ) =

( Fx )

cos(θ x ) =

2

2

Fy F

cos(θ z ) =

Fz F

Resultante de fuerzas:

F R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + ...... F n FR = ∑F Solución de triángulos oblicuángulos

a Ley de los senos

a b c = = sin(α ) sin( β ) sin(γ ) Ley de los cosenos

β

b

γ

α c

c = a 2 + b 2 − 2ab cos(α )

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Resumen capítulo 2 2.1 Escalares y Vectores. Escalar : es una cantidad que representa un número el cual puede ser positivo, negativo o cero como por ejemplo la masa de un cuerpo, la inercia de un cuerpo, el volumen, o una longitud Vector: Es una cantidad que debe tener magnitud, dirección y sentido y que representa: velocidad, fuerza, peso o aceleración de un cuerpo rígido Hay muchos otros ejemplos de cantidades vectoriales y escalares que valdría la pena que pensaras en algunos que tu puedas identificar, para que tengas muy claro este importante concepto. 2.2 Operaciones con vectores. Multiplicación y división de un vector por escalares. Adición de vectores: Ley del paralelogramo (método gráfico) o suma de vectores (método analítico) Descomposición de vectores en componentes: 2.3 Adición de fuerzas

∑F = F

R

= F 1 + F 2 + F 3 + ....... + F n

F 1 = F1 X i + F1Y j + F1Z k F 2 = F2 X i + F2Y j + F2 Z k F 3 = F3 X i + F3Y j + F3 Z k F n = FnX i + FnY j + FnZ k

∑F

X

FRX = ∑ FX = F1 X + F2 X + F3 X + ........ + FnX

i)

∑F

Y

j)

FRY = ∑ FY = F1Y + F2Y + F3Y + ........ + FnY

∑F

Z

k)

FRZ = ∑ FZ = F1Z + F2 Z + F3 Z + ....... + FnZ

Dicha fuerza resultante puede ser representada en forma polar o en componentes rectangulares.

F R = FRX i + FRY j + FRZ k FR = Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)

( FRX ) + ( FRY ) + ( FRZ ) 2

2

3

2

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⎡ FRx ⎤ ⎥ ⎣ FR ⎦

⎡ FRy ⎤ ⎥ ⎣ FR ⎦

θ RX = cos −1 ⎢

⎡ FRz ⎤ ⎥ ⎣ FR ⎦

θ Ry = cos −1 ⎢

θ Rz = cos −1 ⎢

Recuerde que entre los ángulos forman un sistema ortogonal por lo que deben cumplir:

cos(θ RX ) 2 + cos(θ RY ) 2 + cos(θ RZ ) 2 = 1 Cada uno de estos ángulos representa el ángulo que se forma entre el eje respectivo y el vector y se les conoce como los cosenos directrices. 2.5 Vectores cartesianos Un vector se puede representar con sus componentes rectangulares, esto significa que lo podemos formar a traves de tres vectores que son perpendiculares entre sí. Ax, Ay y Az 2.7 Vectores de posición. El vector de posición se utiliza para definir en el espacio, la localización de un cuerpo con respecto a otro por lo que es muy importante entenderlo y sobre todo poderlo utilizar correctamente.

R = xi + y j + zk si queremos representar al vector unitario que se encuentra en la misma dirección del vector de posición entonces definimos lo siguiente:

ηR =

R = R

x x +y +z 2

2

2

i+

y x +y +z 2

2

2

j+

z x + y2 + z2 2

k

Nota: Observe que en este vector siempre sus componentes son menores que la unidad, por eso se llama vector unitario. Esto es muy importante de poderlo reconocer y entender, ya que los estaremos usando durante todo el curso siempre que definamos cualquier cantidad vectorial. Si deseamos obtener el vector de posición entre dos puntos conocidos entonces lo que tenemos que hacer es: restar las (coordenadas de la punta - coordenadas de la cola):

R = ( xB − x A ) i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A ) k Esto representa un vector de posición que va del punto A al punto B. Tienes que tener muy claro que el vector sale de A y se dirige hacia el punto B, no al reves. 2.8 Fuerza dirigida a lo largo de una dirección conocida.

⎡u u u ⎤ F = Fu = F ⎢ X i + Y j + Z k ⎥ u u ⎦ ⎣u 2.9 Equilibrio de una partícula Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es cero, entonces se dice que la partícula se encuentra en equilibrio. dicho equilibrio se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

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R = ∑F =0

∑F ∑F ∑F

x

=0

y

=0

z

=0

En equilibrio, la fuerza resultante vale cero, nunca se te olvide. Si se cumplen dichas ecuaciones entonces podemos decir que la partícula se encuentra en equilibrio de traslación. (no se mueve para ninguna parte o se mueve con velocidad constante)

2.10 Equilibrio de una partícula.

∑F = 0 = F

1

+ F 2 + F 3 + ....... + F n = 0

F 1 = F1 X i + F1Y j + F1Z k F 2 = F2 X i + F2Y j + F2 Z k F 3 = F3 X i + F3Y j + F3 Z k F n = FnX i + FnY j + FnZ k

∑F

=0

X

FRX = 0 = ∑ FX = F1 X + F2 X + F3 X + ........ + FnX

i)

∑F

Y

j)

FRY = ∑ FY = F1Y + F2Y + F3Y + ........ + FnY

∑F

Z

k)

=0

=0

FRZ = ∑ FZ = F1Z + F2 Z + F3 Z + ....... + FnZ

Observe que en equilibrio todas las fuerzas se eliminan entre si, eso significa que se anulan o dicho de otra forma, que la fuerza resultante es cero. Equilibrio significa que un cuerpo permanece en reposo o se mueve con velocidad constante ( la aceleración es cero a = 0 ) 2.11 Diagrama de cuerpo libre. Para resolver los problemas de estática es necesario primeramente hacer un diagrama de cuerpo libre donde aparecen las fuerzas que estamos considerando en el análisis del sistema y podemos hacer un Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) de cualquier parte del sistema. Los resortes se pueden modelar con el siguiente sistema

FR = k ( ΔS ) donde k es una constante que tiene unidades de:

[k ] =

lbs N o in m

y la ΔS representa lo que estiró o encogió el resorte de su posición de equilibrio, en otras palabras el resorte no ejerce ninguna fuerza mientras no se deforme, ya sea que estire o que se comprima. Los cables no se estiran y en las poleas no existe fricción a menos que se indique lo contrario, esto significa Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)

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Estática que la tensión antes y después de la polea es la misma, independientemente del ángulo de la cuerda.

Otro concepto que tienes que tener muy claro es que cuando intervienen cuerdas en los sistemas, estas no se pueden aflojar, ya que si lo hacen no sirven para nada (con una cuerda no se puede empujar, pero si se puede jalar un objeto) Cuerpo rígido: Este concepto en Estática significa que todos los objetos que consideramos en los ejemplos y problemas son rígidos. Significa que no se deforman lo cual es falso, pero para lo que estamos realizando es una consideración que podemos suponer adecuada en esta materia, posteriormente cursaras Resistencia de Materiales (Mecánica de Materiales) donde si tomaremos en cuenta que todos los objetos se deforman en realidad y calcularemos dichas deformaciones que son muy pequeñas pero medibles. Resumen capítulo 3 3.1 Cuerpo Rígido Es un conjunto de partículas que ocupan un lugar en el espacio y que tienen una posición en el espacio fija una con respecto a otra. 3.2 Fuerza Externa Es la acción de un cuerpo rígido sobre otro Fuerza Interna Es la responsable de que las partículas se mantengan juntas en un cuerpo rígido 3.3 Principio de Transmisibilidad Una fuerza actuando sobre un cuerpo su efecto será el mismo si se aplica en cualquier punto sobre su línea de acción Una fuerza se transmite a lo largo de su línea de acción, por lo que el vector de posición puede ser cualquier vector que vaya del punto a intersectar un punto sobre la línea de acción de la fuerza cualquiera que sea. Fuerzas Equivalentes Un sistema de fuerzas es equivalente si el efecto total sobre el cuerpo es el mismo. La fuerza resultante y el momento total en algún punto es el mismo en ambos sistemas. 3.4 Producto vectorial de dos vectores (Producto cruz) El producto cruz de dos vectores es un tipo de operación definida entre dos vectores y representa fisicamente el momento producido por esa fuerza con respecto a un punto de interés. Recuerde que el vector resultante es un vector el cual es perpendicular al plano que contiene los otros dos vectores, siguiendo la regla de la mano derecha.

V = PQ sin(θ )

V = P ×Q • • •

El vector resultante es perpendicular al plano que contiene a los dos vectores La magnitud del vector V es igual al producto de PQsin(θ) El sentido de V seguirá la regla de la mano derecha

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(

) (

A × B = AX i + AY j + AZ k × BX i + BY j + BZ k

)

A × B = AX BY k − AX BZ j − AY BX k + AY BZ i + AZ BX j − AZ BY i A × B = ( AY BZ − AZ BY ) i + ( AZ BX − AX BZ ) j + ( AX BY − AY BX ) k Recuerde que no es conmutativo por lo que:

A× B ≠ B × A 3.5 Producto vectorial expresado en términos de componentes rectangulares

i ×i = 0

i× j =k

j× j =0 k ×k = 0

j×k = i k ×i = j

j

k

+

i

V = P × Q = ( Pxi + Py j + Pz k ) × (Qxi + Q y j + Qz k ) V = PxQ y k − PxQz j − PyQx k + PyQzi + PzQx j − PzQ y i V = ( PyQz − PzQ y )i + ( PzQx − PxQz ) j + ( PxQ y − PyQx )k V = Vxi + Vy j + Vz k

Entonces

V x = ( PyQz − PzQ y )i V y = ( PzQx − PxQz ) j V z = ( PxQ y − PyQx )k 3.6 Momento de una fuerza con respecto a un punto Enfoque escalar Mo = F d

la distancia d debe ser obligatoriamente perpendicular a la fuerza F

Enfoque Vectorial

Mo = R×F El vector R es un vector de posición que va del punto o a interceptar un punto sobre la línea de acción de la fuerza F es el vector de fuerza expresado en forma vectorial. El momento producido por una fuerza con respecto a un punto se puede calcular realizando el producto cruz de un vector de posición producto cruz con el vector fuerza. (Recuerde que el producto cruz no es conmutativo por lo que el orden de los vectores es muy importante a tomar en cuenta a la hora de multilicarlos entre si) La magnitud del momento también se puede evaluar si se conoce la distancia perpendicular y esto es simplemente el producto escalar de la fuerza por la distancia dandome como resultado la magnitud del momento en el punto de interés. Recuerde que esto se puede hacer siempre y cuando la distancia es perpendicular a la fuerza, de no cumplirse con esto, entonces no se puede hacer en forma escalar.

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M = Fd

F ⊥d

3.7 Teorema de Varignon En un sistema de fuerzas concurrentes el momento causado por todas las fuerzas individuales es igual al producido por la resultante del sistema con respecto al mismo punto. 3.9 Producto punto

A • B = AB cos (θ ) = B • A

El resultado del producto punto es un escalar y la aplicación principal que tiene, es para encontrar el ángulo que existe entre dos vectores y recuerde que dicho producto es conmutativo. Esto significa que el orden de los factores no altera el producto y también se puede usar para obtener las componentes perpendicular y transversal de un vector en cualquier dirección predeterminada.

⎡ A• B ⎤ ⎥ ⎣ AB ⎦

θ = cos −1 ⎢

0° ≤ θ ≤ 180°

Recuerde que:

i •i = j • j = k • k =1

cualquier otra combinación es cero

A • B = AX BX + AY BY + AZ BZ El resultado anterior se puede sumar ya que el resultado es un escalar (un simple número)

A• B = B • A

( )

( ) (

(

)

A = A cos(θ )u = A • u u

)

α ( A • B) = α A • B = A • α B = A • B α A) Ángulo entre dos vectores

cos (θ ) =

Ax Bx + Ay By + Az Bz A B

B) Proyección de un vector sobre un eje dado

AB =

A • B Ax Bx + Ay By + Az Bz = B B

La ecuación anterior nos da la proyección del vector A sobre la dirección del vector B. De una manera similar podemos obtener la proyección del vector B sobre la dirección del vector A.

BA =

A • B Ax Bx + Ay By + Az Bz = A A

3.10 Triple producto escalar El triple producto escalar se define como:

Sx

Sy

Sz

S • P × Q = Px Qx

Py Qy

Pz Qz

(

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)

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Que nos da el volumen del paralelepipedo formado por los tres vectores anteriores. También sirve para evaluar el momento a través de una línea. 3.11 Momento a traves de una línea (triple producto escalar)

M AB = η AB • ⎡⎣ R × F ⎤⎦

η AB

Es el vector unitario de la línea que va del punto A al punto B

R × F Es el momento de la fuerza con respecto a un punto que se encuentra sobre la línea AB El resultado del triple producto escalar es un escalar porque ya se conoce la dirección y sentido del momento sobre esa línea que es el vector unitario sobre esa misma línea. 3.12 Momento de un par. Un par se forma cuando dos fuerzas tienen la misma magnitud pero sentidos diferentes, a esto se le conoce como un par cuyo efecto final sobre un cuerpo es que tiende a girar el cuerpo sobre el cual actúa. Observe que la fuerza resultante de ese par es cero. Se anulan entre sí.

M = r×F 3.13 Pares equivalentes Un par es equivalente a otro par, si produce el mismo momento que cualquier otro par de fuerzas. Tienen que tener la misma magnitud y dirección para ser equivalente. El resultado sobre el cuerpo es el mismo tiende a girarlo 3.14 Suma de pares Todos los pares que se encuentran sobre el mismo plano se pueden sumar o restar dependiendo de la dirección sobre la cual estan definidos. si tienen el mismo sentido se suman y si tienen sentidos diferentes se restan. 3.17 Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par Para reducir un sistema a una fuerza y un par debemos obtener la fuerza resultante de todas la fuerzas actuantes sobre el cuerpo y también obtener el momento producido por todas las fuerzas con respecto a un punto y sustituir entonces todas las fuerzas por la resultante y un momento externo de la misma magnitud y dirección que el momento resultante producido por todas las fuerzas.

F R = F 1 + F 2 + ... + F n M E = R1 × F 1 + R 2 × F 2 + ... + R n × F n + M ext 3.18 Sistemas equivalentes de fuerzas Dos sistemas de fuerzas son equivalente si la fuerza resultante es la misma en ambos cuerpos y también el momento producido por todas la fuerzas es el mismo con respecto al mismo punto. Si esto se cumple entonces podemos asegurar que los dos sistemas de fuerzas son equivalentes ya que producen el mismo efecto sobre el cuerpo. (La resultante es la misma y el momento también) Resumen capítulo 4 Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)

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Estática 4.1 Equilibrio de un cuerpo rígido

Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando la sumatoria de todas la fuerzas externas aplicadas sobre el cuerpo es cero (equilibrio de traslación) y además la suma de momentos de todas la fuerzas y pares externos aplicados sobre el cuerpo también es de cero (equilibrio de rotación). Las dos ecuaciones anteriores son vectoriales por lo que en realidad son seis ecuaciones (tres ecuaciones de suma de fuerzas a lo largo de cada eje y tres ecuaciones de suma de momentos a lo largo de cada eje)

∑F =0 ∑M = 0 En el caso particular de fuerzas y pares actuando en un plano exclusivamente tenemos que solamente podemos establecer tres ecuaciones que sería la sumatoria de fuerzas en X y Y, así como una suma de momentos alrededor de un punto para establecer el equilibrio de traslación y rotación. 4.2 Diagrama de cuerpo libre (DCL) Para poder establecer el equilibrio se tiene primeramente establecer el diagrama de cuerpo libre del sistema y posteriomente resolver para la fuerzas desconocidas que aparecen en el sistema. Es muy importante tener presente que se necesita memorizar para posteriormente entender todos los tipos de soportes que puede tener un cuerpo así como la cantidad de reacciones que se pueden ganerar en cada uno de ellos. Pero es muy importante agregar solamente las que realmente se necesitan, ya que poner reacciones de más o poner de menos implica obligatoriamente plantear y resolver mal el sistema. Revisar la figura 4-1 que se encuentran en las páginas 161 del libro de texto Beer & Johnston El diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica, donde se incluyen todas las fuerzas externas así como las reacciones causadas por todos los apoyos involucrados en esa sección aislada. Debe tener presente que se pueden realizar varios diagramas de cuerpo libre de acuerdo a las necesidades del usuario. 4.3 Equilibrio en dos dimensiones

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RECOMENDACIÓN MUY IMPORTANTE: Para poder elaborar buenos diagramas de cuerpo libre es necesario memorizar la tabla anterior. Te recuerdo que esto se logra muy fácilmente si haces muchos ejercicios y de esa manera es muy fácil aprenderse. Un día antes del examen no funciona 4.4 Equilibrio de un cuerpo rígido en dos dimensiones Para lograr el equilibrio de un cuerpo en dos dimensiones se puede generar tres ecuaciones (dos suma de fuerzas y una suma de momentos en algun punto)

∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0 X

Y

O

Esto significa que en un plano solamente podemos resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Observe que también podemos establecer unicamente tres ecuaciones que también pudiera ser una suma de fuerzas y dos sumas de momentos en dos puntos diferentes y estas ecuaciones serían linealmente independientes. También podemos establecer un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas estableciendo tres sumas de momentos en tres puntos diferentes para resolver el sistema, pero las ecuaciones de sumas de fuerzas ya no se pueden establecer ya que serían redundantes (ya no serían independientes entre si) 4.8 Equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones Para establecer el equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones se pueden generar tres ecuaciones de suma de fuerzas y tres suma de momentos a traves de los ejes x, y, z. Revisar la figura 4-10 que se encuentran en las páginas 193 del libro de texto Beer & Johnston Ecuaciones de equilibrio en tres dimensiones (DCL)

∑F = 0 ∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0 ∑M = 0 ∑M = 0 X

Y

Z

X

Y

Z

Al igual que sucedió en equilibrio en un plano, también podemos establecer el equilibrio de un cuerpo que se encuentra en el espacio, por lo que tendriamos que resolver un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas cuando mucho.

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Recuerde que aquí también es muy importante agregar solamente las reacciones necesarias en cada tipo de apoyo para poder resolver el sistema. Si agregamos de más, muy seguramente estará mal planteado y mal resuelto. Restricciones para un cuerpo rígido. Un cuerpo rígido puede tener apoyos de más, esto significa que existen más incógnitas que ecuaciones linealmente independientes por lo que a este tipo de sistemas se les conoce como sistemas hiperestáticos y no se pueden resolver solamente utilizando Estática (se necesita plantear ecuaciones de compatibilidad para poderlos resolver, eso se verá en el curso de Mecánica de Materiales I) También existe la posibilidad de tener restricciones impropias que causan que el sistema tampoco se pueda resolver para todas las incógnitas, ya que las ecuaciones no serían linealmente independientes entre sí.

4.9 Reacciones en soportes y conexiones de una estructura en tres dimensiones

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Observación: Al igual que la tabla anterior, dicha tabla también deberá memorizarse para poder resolver este tipo de problemas. Resumen capítulo 5 5.3 Centroides de áreas y líneas La localización del centroide se encuentra localizado en:

x=

∫ xdL

y=

∫ ydL

L

L

5.4 Primer momento de áreas y líneas

Qy = ∫ xdA

⇒ Qy = xA

Qx = ∫ ydA

⇒ Qx = yA

5.5 Centroide de áreas compuestas Se puede obtener el centroide de figuras compuestas cuando conocemos la posición centroidal de figuras muy conocidas tales como: Cuadrados, Triángulos, Elipses, Rectángulos y Circunferencias. 5.6 Determinación de centroides por integración A continuación se muestran las diferentes opciones que se pueden aplicar para poder calcular el centroide de un área cualquiera Fig 5-12B del libro de texto.

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2

⎛ dy ⎞ dL = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠

2

⎛ dx ⎞ dL = 1 + ⎜ ⎟ dy ⎝ dy ⎠

2

⎛ dr ⎞ dL = r + ⎜ ⎟ dθ ⎝ dθ ⎠ 2

Las siguientes expresiones pueden ser utilizadas para calcular la longitud dL dependiendo de la variable independiente que se quiera utilizar (x, y, θ). 5.7 Teorema de Pappus - Guldinus Una superficie de revolución puede ser generada por una curva plana girando alrededor de un eje fijo. Un cuerpo de revolución puede generarse rotando un área plana alrededor de un eje fijo. Teorema I El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generada por la distancia viajada por el centroide de la curva mientras está siendo generada.

A = 2π yL donde 2πy es la distancia viajada por el centroide de L Note que la curva generada no debe cruzar el eje sobre el cual está girando. Teorema II El volumen de un sólido de revolución es igual al área generada multiplicada por la distancia viajada por el centroide del área mientras el cuerpo es generado.

V = 2π yA donde 2πy es la distancia viajada por el centroide de A. Note otra vez que el teorema no se puede aplicar si el eje de rotación intersecta el área generada. Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)

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Estática El teorema de Pappus - Guldinus sirve para calcuar el área de la superficie de revolución y el volumen del cuerpo de revolución. 5.8 Cargas distribuidas en vigas

Para calcular la carga equivalente de una carga distribuida sobre un cuerpo es necesario localizar el centroide del área y en ese punto localizar una carga que se calcula como el área de la carga distribuida. A continuación se muestra una tabla, la cual puedes utilizar para calcular los centroides de figuras compuestas por otras áreas básicas.

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Resumen capítulo 6 6.4 Método de nodos El método de nodos se aplica en cualquier estructura y consiste en determinar nodo por nodo los valores de las reacciones que se generan en cada nodo e ir resolviendo la estructura empezando normalmente en los apoyos e ir avanzando hasta llegar al otro lado de la misma. En cada nodo establecemos el equilibrio de ese nodo haciendo la sumatoria de todas la fuerzas externas y reacciones de las barras involucradas en ese nodo las cuales tienen que estar en equilibrio.

∑F ∑F

x

=0

y

=0

De esta manera vamos resolviendo nodo por nodo hasta terminar de analizar todos los nodos involucrados en la estructura. Este método es muy fácil de aplicar pero es muy tedioso y largo. 6.7 Método de secciones Este otro método es más poderoso ya que prácticamente podemos resolver cualquier elemento de la estructura sin tener que resolver demasiados nodos ya que el método consisten en cortar la estructura en el elemento que necesito resolver y establecer el equilibrio de una parte de la estructura haciendo la suma de fuerzas y de momentos respectiva. procure siempre cortar el menor número de miembros ya que cada elemento que se corta se tiene una incógnita por lo que normalmente cortamos como máximo tres elementos ya que es el número de ecuaciones linealmente independientes que podemos establecer en un plano.

∑M = 0 ∑F = 0 ∑F = 0 E

x

y

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Estática En cada corte establecemos el sistema de ecuaciones anterior y resolvemos para los elementos que me interesan conocer sus reacciones y puedo hacer tantos como como me convengan para encontrar las reacciones solicitadas. Resumen capítulo 7 7.2 Fuerzas internas en los elementos Las fuerzas internas que se generan en un cuerpo son debidas a las cargas externas aplicadas y son las causantes que los elementos se fracturen, rompan o deformen más de la cuenta.

Debido a lo anterior es necesario determinar la magnitud de estas fuerzas internas en los puntos más críticos para poder conocer el orden de magnitud de dichas fuerzas. En general las fuerzas pueden ser de tensión o compresión, fuerza cortante o momento flexionante y es de nuestro interés conocerlas para posteriormente poder calcular las dimensiones mínimas necesarias de la sección transversal para que la pieza sea capaz de soportar las cargas externas aplicadas. En este curso solamente determinaremos la magnitud de dichas fuerzas y elaboraremos los diagramas de corte y de momentos que son muy importantes en el fenómeno de flexión en vigas. 7.3 Vigas Elementos a los cuales se les aplica carga transversal se les denomina vigas y tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana. Las cargas aplicadas pueden ser puntuales, distribuidas o inclusive momentos externos y generan fuerzas internas que son normalmente fuerza cortante y momento flexionante. 7. 4 Fuerza cortante y momento flexionante Una viga es un miembro estructural que soporta carga transversal a su eje. Existen diferentes tipos de soportes para vigas los cuales generan diferentes reacciones. Los tipos de cargas que actuan en cada una de ellas pueden ser de diferentes tipos que son: Concentradas, distribuidas uniformemente, distribuidas linealmente, momento concentrado etc. Cada una de estas cargas genera internamente dentro del material fuerzas de corte y momentos internos que esfuerzan a la viga. Es necesario conocer estas fuerzas internas para poder diseñar la sección transversal.

Convención de signos

Mx

Vx

Vx

Mx -

+

Diagrama de corte:

Mx

Vx carita feliz

Vx

Mx carita triste

Es una gráfica que muestra la fuerza cortante interna que existe a todo lo largo de la viga Diagrama de momentos Es una gráfica que muestra la variación del momento flexionante interno a lo largo de toda la viga. 7.6 Relación entre los diagramas de corte y de momentos y las cargas aplicadas Existe una relación directa entre las cargas, diagramas de corte y de momentos y son las siguientes: Si derivamos el diagrama de Momentos con respecto a la variable independiente x obtenemos el diagrama de corte y si derivamos el diagrama de corte obtenemos el negativo de la carga que tiene aplicada la viga.

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dM =V dx

dV = −ω dx

Resumen capítulo 8 8.1 Fricción. La fricción aparece cuando dos superficies están en contacto, dicha fuerza de fricción puede tomar diferentes valores dependiendo del coeficiente de fricción el cual se obtiene de la tabla 8.1 El coeficiente de fricción es un valor que varia desde 0.15 hasta 1.0 dependiendo de los materiales que esten en contacto entre si. La máxima fuerza de fricción, se puede calcular multiplicando la fuerza normal por el coeficiente de fricción estático entre ambas superficies. Es muy importante aclarar que si esta máxima fuerza no es capaz de soportar las fuerzas en esa misma dirección entonces el cuerpo resbalará sobre la superficie y la fricción será el producto de la fuerza normal multiplicada por el coeficiente de fricción dinámico. Dicha fuerza es menor que la fuerza de fricción máxima y es aproximadamente un 25% menor.

No hay movimiento

Movimiento

F f max = μ s N F fr = μ k N

P En este tipo de problemas es muy importante poder establecer una suposición con respecto al valor de la fuerza de fricción, ya que varía, por lo que se debe tener mucho cuidado de como calcularla.

Fr max = μ s N

Fuerza de fricción máxima

Fk = μk N

Fuerza de fricción cinética

Se debe leer muy bien el enunciado, ya que si me dicen que el cuerpo está a punto de moverse o el movimiento es inminente entonces podemos suponer la fricción como máxima y calcular las otras incógnitas. Si no me dicen que el movimiento es inminente, entonces tendría que calcular la fuerza de fricción y compararla con la fricción máxima para saber quien es mayor y así poder saber que esta sucediendo en ese sistema. Si la fuerza de fricción es mayor a la fricción máxima entonces ya podemos saber si el cuerpo se está moviendo y por lo tanto la fuerza de fricción es el coeficiente de fricción cinético por su normal y está en equilibrio por lo que el cuerpo se esta moviendo con velocidad constante ( aceleración = 0 ). Angulo de fricción estático y cinético

tan (φs ) =

Fr max μ s N = = μs N N

Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)

tan (φk ) = 19

Fk μ k N = = μk N N 07/06/2012

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Estática

El ángulo de reposo es el ángulo en el cual, un material es capaz de permanecer sin resbalar, si usted toma un puño de arena y lo deja caer continuamente sobre una superficie plana, el ángulo que forma el cono se le conoce como el ángulo de reposo. 8.10 Fricción en bandas Cuando se considera la fricción en poleas entonces debemos usar el siguiente modelo el cual toma en cuenta que existe fricción entre la banda y el tambor por lo que las tensiones en los extremos de la banda serán diferentes a saber:

T2 = e μβ T1 T2 es la tensión más grande de un extremo de la banda T1 es la tensión en el otro lado de la banda μ es el coeficiente de fricción entre la banda y el tambor β es el ángulo de contacto entre la banda y el tambor, el cual se debe expresar en radianes

En este tipo de problemas existen tres posibilidades de lo que esta sucediendo que son: a) El cuerpo no desliza (la fricción calculada es menor a la fricción máxima) b) El cuerpo esta a punto de deslizar (La fricción es máxima = μN) c) El cuerpo se esta moviendo con velocidad constante (la fuerza de fricción calculada es mayor a la fuerza de fricción máxima por lo que la fricción se calcula con el coeficiente de fricción cinético). Resumen capítulo 9 9.1 Momentos de Inercia. El segundo momento de área o momento de inercia se puede obtener con las siguientes expresiones

I x = ∫ y 2 dA I y = ∫ x 2 dA Aquí se recomienda que se seleccione el elemento diferencial paralelo al mismo eje por facilidad a la hora de evaluar la integral anterior. Sin embargo no es la única forma de evaluarlo, ya que el elemento diferencial se puede proponer de cualquier manera. 9.2 Momento polar de inercia El momento polar de inercia de un área con respecto al punto o se puede obtener con la siguiente expresión.

J o = ∫ R 2 dA pero también se puede obtener como la suma de los momentos de inercia de los ejes que pasan por ese Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)

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Estática mismo punto.

J0 = Ix + I y El eje x y el eje y pasan por el punto o. 9.3 Radio de giro El radio de giro se puede obtener de la siguiente manera:

kx =

Ix A

El radio de giro es una distancia, que físicamente no significa nada, pero matemáticamente está definida con la expresión anterior. El término de radio de giro (K) aparece en las ecuaciones para el cálculo de columnas. 9.4 Teorema de ejes paralelos

I x´ = I c + Ad 2 El teorema de ejes paralelos sirve para trasladar el momento de inercia del centroide a cualquier otro eje, la única condición es que dicho nuevo eje sea paralelo al eje centroidal. d es la distancia que existe entre el eje centroidal y el eje sobre el cual se quiere obtener la inercia. De una manera similar se puede aplicar el mismo teorema de ejes paralelos para el momento polar de inercia.

J x´ = J c + Ad 2 Momento de inercia de masas El momento de inercia es una medida de la resistencia que ofrece un cuerpo a ponerse en movimiento.

I = ∫ r 2 dm El momento de inercia se puede obtener con respecto a cualquier eje por lo que podemos establecer las ecuaciones que se usan para calcular la inercia con respecto a los diferentes ejes de giro.

I x = ∫ ( y 2 + z 2 ) dm I y = ∫ ( x 2 + z 2 ) dm

I z = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm de forma similar a como lo hicimos con áreas, se puede establecer el momento de inercia sobre un eje cualquiera y se obtiene usando el teorema de ejes paralelos de la siguiente manera.

Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)

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Estática

( ) + m(x + z ) + m(x + y ) 2

2

2

2

2

2

I x = I x´ + m y + z I y = I y´ I z = I z´

Recuerde que se puede obtener la inercia con respecto a cualquier eje pero se tiene que conocer el momento de inercia con respecto al eje centroidal y así poder aplicar el teorema de ejes paralelos. El momento de inercia de un cuerpo tridimensional se puede obtener por integración o usando cuerpos compuestos, los cuales aparecen en las tablas de cuerpos simples de los cuales ya se conoce su inercia con respecto a los tres ejes principales. Recuerde que si el cuerpo es homogéneo entonces podemos calcular su diferencial de masa usando la densidad del material.

ρ=

Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)

m V

⇒ dm = ρ dV

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