Resumen de Optica Miguel Silvera Alonso Octubre de 2000

´Indice 1. Sistemas Opticos ideales 1.1. Espejo Plano . . . . . 1.2. Espejo Esf´erico . . . . 1.3. l´amina delgada . . . . 1.4. Prisma . . . . . . . . 1.5. Lentes . . . . . . . .

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2 2 2 4 6 6

1. 1.1.

Sistemas Opticos ideales Espejo Plano

Espejo Plano: es una superficie lisa (figura 1). Crea una imagen virtual. el objeto S y su imagen S 0 estan sim´etricamente posicionados con respecto al plano en donde se encuentra el espejo. 1.2.

Espejo Esf´ erico

Espejo esf´erico es una superficie esf´erica lisa ver figura 2. Su eje ´optico es cualquier recta que pasa por el centro de curvatura G de la superficie esf´erica. El eje ´optico principal pasa por el centro de curvatura G y el polo del espejo O, que es el punto equidistante a las fronteras del espejo.

Figura 1: espejo plano

Los rayos paralelos al eje ´optico principal despu´es de reflejarse en la superficie esf´erica del espejo se reunen en un punto F llamado foco del espejo. La distancia desde el polo

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Figura 2: espejo esf´erico

del espejo hasta el foco F es llamada distanacia focal f : R (1) 2 en donde R es el radio de curvatura del espejo. Para los rayos paraxiales o sea aquellos rayos que forman un cono ´agudo con el eje perpendicular a la superficie ´esferica, es correcta la formula para el espejo esf´erico f=

1 2 1 1 = = + f R a b

(2)

en donde f es la distancia focal, a la distancia del espejo al objeto (fuente de luz), b es la distancia del espejo hasta la imagen. Si G es el tama˜no del objeto, B es el tama˜no de la imagen, entonces G a = (3) B b Las magnitudes a y b se consideran positivas, si se miden desde el polo del espejo O en direcci´on de la propagaci´on de la luz, y negativa en direcci´on contraria. La imagen en el espejo esf´erico es real si b < 0. En este caso el objeto y su imagen se encuentran de un solo lado desde el espejo 3

(ver figura 3). Si b > 0, entonces la imagen es virtual, el objeto y su imagen se encuentran en diferentes lados desde el espejo (ver figura 4). Si el espejo es concavo entonces la imagen siempre es virtual (figura 4).

Figura 3:

Figura 4:

1.3.

l´ amina delgada

Una l´amina delgada es un cuerpo transparente, limitado por dos lados planos paralelos de su superficie. Cuando la luz pasa a trav´es de tal sistema la luz se refracta en los dos l´ımites. La luz no cambia su direcci´on simplemente se desplaza paralelamente con respecto de si misma en una 4

cantidad a que se determina por la formula à ! r dsen(α + β) 1 − sen2 α a= = dsenα 1 − cos β n2 − sen2 α

(4)

end donde d es el grosor de la l´amina, α es el ´angulo de incidencia en el primer l´ımite de divisi´on, β es el ´angulo de refracci´on en el primer l´ımite de divisi´on, igual al ´angulo de incidencia en el segundo l´ımite de divisi´on, n es el ´ındice de refracci´on del material de la l´amina relativo al medio que lo rodea (ver figura 6). La fuente de luz S (objeto) nos parece

Figura 5: espejo esf´erico

m´as cercano a la superficie de la l´amina a una distancia à ! r 2 1 − sen α ∆=d 1− (5) n2 − sen2 α µ ¶ n−1 Si α = 0 (ca´ıda vertical de la luz), entonces a = 0, ∆ = d . n 5

1.4.

Prisma

El prisma es un cuerpo transparente, limitado por dos lados con superficies planas que forman entre s´ı un ´angulo ϕ, llamado ´angulo de refracci´on del prisma (ver figura 5. En el prisma el rayo de luz es dos veces refractado, por las dos superficies l´ımitantes que act´uan como divisores de los medios, cambiando su direcci´on. El ´angulo δ es el ´angulo de desviaci´on del rayo y se determina de la formula δ = α1 + β2 − ϕ

(6)

en donde α1 es el ´angulo de incidencia sobre el primer borde, β2 es el ´angulo sobre el segundo borde, ϕ es el ´angulo de refracci´on del prisma. De la geometr´ıa del prisma es consecuente que ϕ = α2 + β1 ver figura 6. El ´angulo m´ınimo de desviaci´on del rayo incidente δmin se observa bajo la condici´on α1 = β2 y β1 = α2 y se determina de la formula µ ¶ 1 ϕ sen (δmin + ϕ) = nsen (7) 2 2 en donde n es el ´ındice de refracci´on del material del prisma relativo a el medio que lo rodea. 1.5.

Lentes

Una lente es un cuerpo transparente, limitado por dos sus lados por superficies curvil´ıneas. Las lentes se consideran delgadas si su grosor es mucho menor que los radios de curvaturas R1 y R2 de sus superficies. La recta trazada a trav´es de los centros de curvatura de las superficies C1 y C2 se llama eje ´optico principal de la lente. En una lente delgada el punto de intersecci´on de las dos superficies con 6

Figura 6:

el eje ´optico principal se puede considerar el punto O, el cual es llamado centro ´optico de la lente. Las rectas que pasan por el centro ´optico de la lente que no coinciden con el eje ´optico principal son llamadas ejes secundarios. AL pasar los rayos de luz por la lente se refractan dos veces. Al construir el camino de los rayos de luz en las lentes delgadas la doble refracci´on es sustituida por una sola llamada refracci´on en el plano principal de la lente que pasa por el centro ´optico de la lente y perpendicular al eje ´optico principal. Todas las distancias se miden desde el plano principal de la lente. Los rayos paralelos al eje ´optico principal, se intersecan en un punto localizado sobre este eje y llamado foco de la lente. Cualquier lente tiene dos focos F1 y F2 , localizados a los lados de las superficies. Los planos que pasan por ca uno de los focos y perpendiculares al eje ´optico principal son llamados planos focales. La distancia desde el centro ´optico de la lente O hasta el foco es llamada distancia focal f . La magnitud D, inversa a la distancia focal f , es llamada fuerza ´optica de la lente: 7

Figura 7:

µ ¶ 1 1 1 + D = = (n − 1) f R1 R2

(8)

en donde n es el ´ıdice de refracci´on del material de las lentes relativo al medio que lo rodea, R1 y R2 los radios de curvaturas de las superficies curvil´ıneas. Los radios de curvatura de las superficies concavas son considerados positivos, y los convexos negativos. Para las superficies planas los radios de curvaturas son equivalentes a infinito. La lente se llama convergente, si f > 0 y divergente si f < 0. Para n > 1 (el ´ındice de refracci´on absoluto del material de la lente es mayor que el medio rodea la lente) las lentes convergentes pueden ser: 1. Biconcavas , R1 > 0, R2 > 0, figura 8a) 2. plana concava, R1 > 0, R2 = ∞, figura 8b) 3. concava convexa, R1 > 0, R2 < 0, figura 8c) Las lentes divergentes para n > 1 se considera a las lentes: 1. Biconvexas , R1 < 0, R2 < 0, figura 8d) 8

2. plana convexa, R1 < 0, R2 = ∞, figura 8e) 3. convexa concava, R1 < 0, R2 > 0, figura 8f) La unidad de fuerza ´optica es la dioptr´ıa (dp) 1 m En el caso de la lente delgada la ecuaci´on es [D] = 1dp =

(9)

1 1 1 + = a b f

(10)

en donde a es la distancia hasta el objeto, b es la distancia hasta la imagen. Si G es el tama˜no del objeto, B es el tama˜no de la imagen, entonces la magnitud B b = (11) G a determina el aumento de la lente. La lente delgada produce una imagen clara del objeto, si la luz es monocrom´atica, y el objeto es peque˜no o alejado de la lente tal que los rayos desde ´este son paralelos al eje principal de la lente. β=

Figura 8:

Cuando se construye las imagenes se utilizan las siguientes reglas 9

1. El rayo paralelo al eje ´optico principal despu´es de la refracci´on en la lente pasa por el foco. 2. El rayo que pasa por el foco, despu´es de freractarse en la lente sale paralelo al eje ´optico principal 3. El rayo que pasa a trav´es del centro de la lente, no cambia su direcci´on Para las lentes convergentes se tiene 1. Si a > 2f , entonces β < 1 y la imagen es real e invertida 2. Si a = 2f , entonces β = 1 y la imagen es real e invertida 3. Si f < a < 2f , entonces β > 1 y la imagen es real e invertida 4. Si a = f , entonces β = ∞ 5. Si a < f , entonces β > 1 y la imagen es virtual y recta. Para las lentes divergentes para cualquier valor de a el aumento β < 1 y la imagen es virtual y recta.

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