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Francisco Barrera García Bernardo Frontana de la Cruz Luis Humberto Soriano Sánchez
Tania Reyes Zúñiga Patricio Rosen Robles
Rogelio González Zepeda
COMISIÓN DE VINCULACIÓN ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA - COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES FACULTAD DE INGENIERÍA
ÍNDICE PRESENTACIÓN
i
INTRODUCCIÓN
ii
1. BREVE HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
1
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Y RECÍPROCAS REFERIDAS A UN ÁNGULO AGUDO 6 2.1 Resolución de Triángulos Rectángulos Ejemplos 9
8
3.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 15 Ejemplos 16 Ejercicios propuestos
17
4.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°
24
4.1 Funciones trigonométricas de ángulos múltiples de 30°, 45° y 60° Ejemplos 31 Ejercicios propuestos 34
28
5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO CUALQUIERA
37
5.1 Funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera 40 5.2 Funciones trigonométricas de los ángulos 0°, 90°, 80°, 270° y coterminales 44 5.3 Equivalencias de las razones trigonométricas 47 Ejercicios propuestos 49 6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
52
6.1 Pitagóricas, recíprocas, por cociente, diferencia y suma de ángulos, doble de un ángulo, semiángulo y de ángulos negativos. 52 Ejemplos 55 Ejercicios propuestos 65 7. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 7.1 Ley de los senos 68 7.2 Ley de los cosenos 70 Ejemplos 71 Ejercicios propuestos 82 BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
87
68
PRESENTACIÓN Debido a los resultados observados en el examen diagnóstico que se aplica a los alumnos de nuevo ingreso desde hace varias décadas, la Facultad de Ingeniería de la UNAM ha desarrollado una serie de actividades con la finalidad de apoyarlos para que enfrenten con éxito las asignaturas curriculares de su carrera. Así, se han implantado asesorías temáticas y psicopedagógicas con profesores expertos en estos campos, talleres de ejercicios, apuntes, libros y problemarios que contienen los conceptos básicos de las asignaturas de su División de Ciencias Básicas. Otra de las acciones relevantes para tal fin es la creación de la Comisión de Vinculación de la Facultad de Ingeniería (FI) con el Bachillerato de la UNAM, integrada por profesores de la División de Ciencias Básicas de la FI, de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP) y del Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH). Desde sus inicios, en el año 2000, la Comisión trabaja mediante Subcomisiones en las áreas propias de las ciencias básicas de la ingeniería: Matemáticas, Física y Química; así como en la de Orientación Vocacional. Algunos de sus resultados, fruto del trabajo de las Subcomisiones, son el diseño del perfil del alumno que ingresa a la Facultad, el cual contiene el anhelo de conocimientos, habilidades, actitudes y valores que los alumnos deben tener y practicar; la elaboración de la matriz de control para la elaboración de reactivos que consiste de los contenidos temáticos, los objetivos de aprendizaje y niveles taxonómicos de las áreas mencionadas; la realización de los reactivos para el examen diagnóstico; la producción de Guías de Estudio para el Examen Diagnóstico; la realización de cursos y diplomados dirigidos a los profesores del bachillerato, diseñados conforme a sus requerimientos; entre otros resultados. Conforme al programa de trabajo de la Comisión, en fechas recientes el Colegio de Ciencias y Humanidades publicó el libro CONCEPTOS, PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE QUÍMICA y la Escuela Nacional Preparatoria la Guía de Física 2006 para preparar el examen diagnóstico de los alumnos que ingresan a la Facultad de Ingeniería. Ahora, la Facultad de Ingeniería presenta el primero de cuatro libros del área de Matemáticas que se tienen programados: Trigonometría. Teoría y ejercicios. La presentación, edición y publicación de este libro correspondió a la FI; sin embargo, el contenido de ésta y las otras obras citadas han sido el fruto del trabajo desarrollado por profesores de las tres entidades de la UNAM que colaboran en las Subcomisiones, a quienes les manifiesto mi agradecimiento. De igual forma, aprovecho para hacer patente mi agradecimiento a las personas que colaboraron en la captura: Margarita Figueroa Martínez del Colegio de Ciencias y Humanidades y Guadalupe Martínez Dávalos de la Facultad de Ingeniería; asimismo a Araceli Gutiérrez Garnica por las correcciones en fórmulas y figuras e integrar con uniformidad el libro; y a Irene Patricia Valdez y Alfaro por las correcciones finales en fórmulas y figuras y por el diseño de la portada. La Comisión aspira que estos y todos los trabajos que realiza animosa y comprometidamente, favorezcan a los alumnos del bachillerato y de la Facultad para que sean de excelencia, como lo ambiciona nuestra Universidad.
Bernardo Frontana de la Cruz Coordinador General La Comisión de Vinculación
i
INTRODUCCIÓN La presente obra tiene como finalidad contribuir al conocimiento y estudio de la trigonometría por parte de los alumnos del bachillerato y apoyar a los profesores durante el desarrollo de las asignaturas del área de Matemáticas. Los conceptos se tratan en forma sencilla y con desarrollos teóricos breves que se acompañan con un buen número de ejemplos que los ilustran y facilitan la comprensión de los temas tratados; además, en la mayoría de los capítulos se incluyen ejercicios propuestos, todos con respuesta, con el propósito de que el estudiante verifique los resultados que obtenga y refuerce sus conocimientos y habilidades. Los capítulos que abarca esta obra corresponden, en gran medida, a los conceptos de trigonometría básica que se estudian en el bachillerato. Se inicia con una breve historia de la trigonometría que data del siglo II a.c. en Babilonia y Egipto como resultado de la observación de las sombras de los árboles y las medidas de los ángulos (capítulo 1). El capítulo 2 trata los conceptos de razones trigonométricas directas y recíprocas referidas a un ángulo agudo, con las cuales se determinan los ángulos y las longitudes de los lados de triángulos rectángulos; a continuación, en el capítulo 3 se estudian las funciones trigonométricas de ángulos complementarios y se presenta el análisis necesario para obtener los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45°, 60° y sus múltiplos (capítulo 4); este análisis se extiende en el siguiente capítulo al estudio de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera, con el fin de determinar los signos de estas funciones en los cuatro cuadrantes y se determinan las equivalencias de las razones trigonométricas para cualquier ángulo, positivo o negativo. El capítulo 6 se dedica al estudio de las identidades trigonométricas básicas como lo son las pitagóricas, las recíprocas, por cociente, de diferencia o suma de ángulos, ángulo doble y semiángulo; finalmente, el último capítulo corresponde a los triángulos oblicuángulos, se deducen las leyes de senos y cosenos y se aplican a la resolución de triángulos de este nombre. Anhelamos que esta obra realizada con el esfuerzo de profesores de la Facultad de Ingeniería, el Colegio de Ciencias y Humanidades y la Escuela Nacional Preparatoria; sea provechosa para los profesores y estudiantes del bachillerato, y contribuir así a mejorar la preparación de nuestros alumnos. Los autores Octubre de 2006
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1.
BREVE HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
El vocablo Trigonometría tiene su origen en tres palabras griegas: tri-gono-metría, que significan respectivamente “tres – ángulos – medida” e indican que, cuando se adoptó el nombre, el tema del que principalmente trataba estaba vinculado con las medidas de un triángulo. Es muy probable que los elementos o fuentes de donde surgió la Trigonometría hayan sido las sombras y las cuerdas de arco. La observación de sombras proyectadas por postes y árboles condujo al estudio de los triángulos semejantes. Los términos matemáticos de “cuerda” y “arco” se derivan ambos de la conocida arma antigua. arco
cuerda
La historia de la trigonometría empieza en Egipto y Babilonia*. Los Babilónicos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. En el siglo II AC el matemático y astrónomo griego Hipparchus compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos, alrededor del año 140 A.C. Dicha tabla proporcionaba la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo en un círculo de radio r y es equivalente a la tabla de seno. Aunque estas tablas no han sobrevivido, se conoce que Hipparchus escribió doce libros de tablas de cuerdas, lo que lo hace fundador de la trigonometría.
1
Otro brillante matemático griego que elaboró una tabla de cuerdas fue Menelao, aproximadamente 100 años AC. Menelao trabajó en Roma y escribió seis libros de tablas de cuerdas que se perdieron, pero su trabajo sobre esféricas ha sobrevivido y es el primer trabajo conocido sobre trigonometría esférica. Menelao también demostró una propiedad de triángulos planos y la correspondiente propiedad del triángulo esférico conocida como el regula sex quantitatum. Tres siglos después el astrónomo Ptolomeo construyó una tabla de cuerdas y utilizó 60 r debido a que los griegos habían adoptado el sistema numérico babilónico en base 60 (sexagecimal). Ptolomeo, junto con los escritores anteriores, utilizó una forma de la relación sen 2 x cos 2 x 1 , aunque –por supuesto– sin utilizar seno ni coseno. Con los autores más tempranos, usó una forma de la relación basada en cuerdas. Ellos conocían también, en términos de cuerdas, la regla para el seno de la suma de dos ángulos y la ley de senos, que actualmente se expresan: sen(x + y) = senx cosy + cosx seny
a b c senA senB senC Inicialmente, Ptolomeo calculó cuerdas inscribiendo polígonos regulares de lados 3, 4, 5 y 6 en un círculo, lo que le permitió calcular cuerdas respectivamente subtendidas por ángulos de 36°, 72°, 60°, 90° y 120°. Posteriormente él encontró un método para encontrar la cuerda subtendida por un arco mitad de una cuerda conocida. Esto junto con la interpolación hizo posible calcular cuerdas con un alto grado de precisión. En su obra “Almagesto”, Ptolomeo proporcionó una tabla de cuerdas de 0° a 180° con variaciones de 1°, con una exactitud de 1/3600 de una unidad. En ese libro él dio muchos ejemplos del uso de la tabla para encontrar partes desconocidas de triángulos a partir de ciertos elementos conocidos. Posiblemente, en la misma época de Euclides, los astrónomos de la India habían desarrollado un sistema trigonométrico basado en la función seno en lugar de la función cuerda utilizada por los griegos. Esta función seno era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa fija en lugar de ser la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa como se conoce hoy. En el siglo octavo los astrónomos musulmanes heredaron las tradiciones griegas e indias dando preferencia a la función seno. Al final del siglo décimo ellos habían completado las otras cinco funciones trigonométricas, descubrieron y demostraron varios teoremas básicos de la trigonometría para triángulos planos y esféricos. Todos estos descubrimientos fueron aplicados a la astronomía y para que los musulmanes pudieran encontrar la dirección de la Meca para hacer sus cinco
2
oraciones diarias. Las tablas para seno y tangente con variaciones de 1/60 de un grado fueron exactas con un error menor que una parte en 700 millones. La primera obra occidental sobre trigonometría de gran importancia fue escrita por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, conocido como Regiomontanus. Su obra De triangulis omnimodis, escrita en 1533, contenía trabajos sobre trigonometría plana y esférica desarrollados cerca de 1464. Posteriormente, el astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rheticus, publicó en 1542 las secciones trigonométricas del libro de Copérnico, De Revolutionibus, proporcionando fórmulas importantes para la astronomía de la época e introduciendo la concepción moderna de funciones trigonométricas como razones en lugar de longitudes de segmentos. También escribió tablas de senos y cosenos –aunque no las nombró así- que fueron publicadas después de su muerte. Estas fueron las primeras tablas de cosenos publicadas. El matemático francés François Viète introdujo el triángulo polar en trigonometría esférica, y estableció fórmulas para sen n y cos n en términos de sen y cos . El primer matemático en utilizar la notación “sin” para seno fue Edmund Gunter en 1624, mientras que el matemático francés Hérigone fue el primero en usar “sin” en un libro publicado en 1634. La segunda función trigonométrica más importante no era conocida como coseno, su nombre era seno versed, versin, que se relaciona con la hoy conocida como coseno mediante la relación ver sin x = 1 – cos x, seno girado de 90°. El nombre tangente fue utilizado por primera vez por Thomas Fincke en 1583 y el de cotangente por Edmund Gunter en 1620. La secante y la cosecante no fueron usadas por los primeros astrónomos. Estas fueron reconocidas por sus propiedades cuando navegantes del siglo XV empezaron a preparar tablas. Copérnico oía hablar de la secante que él llamó hipotenusa. Viète conocía las relaciones:
csc x 1 cot x sec x tan x 1 cos x senx csc x cot x El término “trigonometría” surgió por primera vez como el título del libro Trigonometría escrito por B. Pitiscus y publicado en 1595. Los cálculos trigonométricos fueron simplificados con la creación de los logaritmos por el matemático escocés John Napier a comienzos del siglo XVII. Cerca de medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral y logró representar sen x, cos x, tan x como series de potencias de x. 3
En el siglo XVIII el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas en términos de números complejos y mostró que las leyes básicas de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de estos números.
Abraham DeMoivre había incursionado en este campo y es conocido por su fórmula publicada en 1722:
cos isen
n
cos n isen n
Por su parte, Euler en 1748 relacionó la base para la exponencial con i y las funciones trigonométricas seno y coseno:
e i cos isen Johann Bernoulli encontró la relación entre sen 1 z y log z en 1702, mientras que Cotes mostró en un artículo publicado después de su muerte en 1722 que ix log cos x isenx , lo que es equivalente a la fórmula que Euler demostró posteriormente.
4
Las funciones trigonométricas hiperbólicas, senh, cosh, tanh etc., fueron introducidas posteriormente por Lambert.
5
2.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Y RECÍPROCAS REFERIDAS A UN ÁNGULO AGUDO.
Razón. La razón de un número p con otro número q distinto de cero, es el cociente que resulta de dividir p entre q; es decir, razón es el número que resulta de comparar mediante un cociente dos magnitudes. Razones trigonométricas. Son las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo y cambian al variar el ángulo de que se trate; es decir, que las razones son funciones del ángulo.
Sea el triángulo rectángulo ABC, con ángulos agudos A y B. B
c a A
b
C
En este triángulo rectángulo, C es el ángulo recto y c es la hipotenusa; si nos referimos al ángulo agudo A, a es el cateto opuesto, y b es el cateto adyacente al ángulo de referencia. Si en cambio nos referimos al ángulo agudo B, entonces b es el cateto opuesto y a es el cateto adyacente para dicho ángulo.
FIGURA 2.1
Las razones que resultan de comparar los lados del triángulo reciben los nombres de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; que se expresan en forma abreviada como sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente. Para un ángulo agudo A cualquiera (en particular el de la Figura 1), estas funciones se definen como sigue:
senA =
cateto opuesto a = c hipotenusa
cscA =
hipotenusa c = a cateto opuesto
senA =
cateto opuesto a = c hipotenusa
cscA =
hipotenusa c = a cateto opuesto
tanA =
¡Error!
6
cateto opuesto a = b cateto adyacente
cotA =
cateto adyacente b = a cateto opuesto
El seno, coseno y tangente se conocen como razones trigonométricas directas, mientras que la cosecante, secante y cotangente se conocen como razones trigonométricas recíprocas. Fracciones recíprocas. Dos fracciones son recíprocas cuando una resulta de la inversión de los términos de la otra. El producto de dos fracciones recíprocas es igual a la unidad.
3 2 son recíprocas, ya que y 3 2 2y
2 3 6 = = 1 3 2 6
1 son recíprocas, ya que (2) 2
1 2 1 2 2
Si comparamos las seis funciones trigonométricas de un ángulo, observamos que son recíprocas dos a dos.
b
a c
cosA =
b c
B
a tanA = b
a
cotA =
b a
secA =
c b
cscA =
c a
c A
senA =
C
Como medio mnemotécnico para recordar con facilidad cuáles funciones son recíprocas, se señalan como se indica.
7
Son recíprocas: a senA = y c
Son recíprocas: b cosA = y c
Son recíprocas: a tanA = y b
cscA =
secA =
cotA =
c de donde: a
senA cscA = 1
c de donde: b
senA =
1 csc A
…(2)
cscA =
1 senA
...(3)
cosA secA = 1
b de donde: a
…(1)
...(4)
cosA =
1 secA
...(5)
secA =
1 cos A
...(6)
tanA cotA = 1
...(7)
tanA =
1 cot A
...(8)
cotA =
1 tanA
...(9)
NOTA: Los números que se citan a la derecha de cada igualdad permitirán elaborar un formulario. 2.1
Resolución de triángulos rectángulos
Al resolver los triángulos rectángulos es importante tener presente que los elementos de un triángulo rectángulo son seis: tres lados y tres ángulos. Cuando en un triángulo rectángulo se conocen, además del ángulo recto, dos elementos, siendo uno de ellos un lado, es posible calcular el resto de los elementos utilizando las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras
Los catetos y la hipotenusa de todo triángulo rectángulo están relacionados en la forma:
c a2 b2
en donde
c b
a
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EJEMPLOS Ejemplo 2.1 Indicar, en los siguientes triángulos rectángulos, la hipotenusa, así como el cateto opuesto y el cateto adyacente respecto al ángulo indicado.
a)
b)
m M
w
f
o
A
n
h
s
m
a
c)
S H Resolución: a) hipotenusa= m, b) hipotenusa= o, c) hipotenusa= w,
cateto opuesto=a, cateto opuesto=m, cateto opuesto=h,
cateto adyacente=n cateto adyacente=s cateto adyacente=f
Ejemplo 2.2 Determinar las seis razones trigonométricas para los ángulos A y B del siguiente triángulo rectángulo. Resolución:
B 25 7
A
24
C
Para el ángulo A, el cateto opuesto tiene una longitud de 7, el cateto adyacente de 24 y la hipotenusa es 25. Entonces: 7 25 senA = cscA = 25 7 24 25 cosA = secA = 25 24 7 24 tanA = cotA = 24 7 Para el ángulo B, el cateto opuesto tiene una longitud de 24, el cateto adyacente de 7 y la hipotenusa es 25. Entonces: 24 25 senB = cscB = 25 24 7 25 cosB = secB = 25 7 24 7 tanB = cotB = 7 24
9
Ejemplo 2.3 Determina las seis razones trigonométricas para el ángulo R del siguiente triángulo rectángulo. Resolución:
T x 3 R
4
S
Por el teorema de Pitágoras: x 2 32 42 25 , por lo que x 5 Entonces: 3 5 senR = cscR = 3 5 4 5 cosR = secR = 5 4 3 4 tanR = cotR = 4 3
Ejemplo 2.4 Determina el valor de:
5 3 4 b) senB, si se sabe que cscB = 5 2 c) tanM, si se sabe que cotM = 3
a) cosA, si se sabe que secA =
Resolución:
1 1 1 1 3 a) cosA = sec A 5 5 5 3 3 1 1 1 5 1 b) senB = 4 4 4 cscB 5 5 1 1 1 1 3 c) tanM = 2 2 2 cotM 3 3 Ejemplo 2.5 Una avioneta se eleva a una altitud de 2000 metros, a lo largo de una trayectoria que forma un ángulo de 24° con el suelo. ¿Qué distancia horizontal recorre en este tramo?
10
Resolución: Sea x la distancia horizontal que recorre la avioneta.
Es posible plantear una ecuación que involucre una razón trigonométrica y la incógnita x, como sigue:
tan 24° =
2000 x
al despejar x se tiene: 2000 x= tan 24 2000 x= = 4492 0.4452
2000 24° x
Por lo que la distancia horizontal que recorre la avioneta es de 4492 metros. (Observación: este problema puede resolverse también utilizando cot 24°) Ejemplo 2.6 Un teleférico que une a dos cerros recorre 8 metros para elevarse a una altura de 1.5 metros. Si el teleférico viaja a lo largo de una trayectoria recta, ¿cuál será el ángulo de elevación de esta subida? Resolución: Sea M el ángulo de elevación. 1.5 senM = 0.1875 8 angsen (senM) = angsen (0.1875) M = 10.807°
8 1.5 M
Ejemplo 2.7 En un rectángulo ABCD, cuyo largo es de 12 cm y cuyo ancho es de 5cm se traza una de sus diagonales. Determinar el valor de las seis funciones trigonométricas de los ángulos DBC y CDB y por último las medidas de dichos ángulos.
11
12 cm.
B
C
5 cm. D
A
Al construir la diagonal BD del rectángulo se forman dos triángulos rectángulos. Si se pone atención en el triángulo BCD, ya se conocen las longitudes de los catetos BC = 12 cm y CD = 5 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras es posible calcular la longitud de la hipotenusa BD: (BD) 2 = (BC) 2 + (CD) 2 (BD) 2 = (12) 2 + (5) 2 (BD) 2 = 144 + 25 BD = 169 BD = 13 Aplicando entonces las definiciones de las seis razones trigonométricas se tiene que:
12
senDBC =
5 13
senCDB =
12 13
cscDBC =
13 5
cosDBC =
12 13
cosCDB =
5 13
cscCDB =
13 12
tanDBC =
5 12
tanCDB =
12 5
cotDBC =
12 5
cotCDB =
5 12
secDBC =
13 12
secCDB =
13 5
Por último, para determinar la medida de dichos ángulos podemos, usando una calculadora, emplear cualquiera de las funciones trigonométricas inversas, como sigue:
5 , entonces: 13 5 5 DBC = angsen = angsen = 22.62° 13 13
Como senDBC =
Ejemplo 2.8 Resolver los triángulos rectángulos (es decir, determinar el valor de los tres ángulos y de sus tres lados) a partir de la información que se proporciona en los siguientes incisos. Considerar al triángulo ABC que se muestra a continuación. B
c a A
C
b
a) Se conocen el lado b = 20 y A = 32.25°. b) Se conocen el lado a = 34.16 y b = 47.39. c) Se conocen el lado c = 30.95 y B = 40.05°. Resolución: a)
Datos: a=? b=20 c=?
Cálculo de c:
Cálculo de a: A=32.25° B=? C=90°
Cálculo de B: Como A+B+C=180° 32.25°+B+90°=180° B+122.25°=180° B=180°-122.5° B=57.5°
Se utiliza una función Por el teorema trigonométrica que Pitágoras: relacione a y b con c2=a2+b2 cualquiera de los entonces ángulos A o B. c= a 2 b 2
c= 12.62 2 20 2 c=23.65
a Sea tan A= b Entonces tan 32.25°=
de
a 20
al despejar a: a=20 tan 32.25° a=12.62
13
b) Datos: a=34.16 b=47.39 c=?
Cálculo de a:
Cálculo de B:
A=? B=? C=90°
Se utiliza una función Como A+B+C=180° trigonométrica que relacione a y b con 35.78°+B+90°=180° Cálculo de c: cualquiera de los B+125.78°=180° ángulos A o B. B=180°-125.78° Por el teorema de B=54.22° Pitágoras: a Sea tan A= c2=a2+b2 b entonces Entonces 34.16 c= a 2 b 2 tan A= 2 2 47.39 c= 34.16 47.39 tan A=0.7208 c=58.42 al despejar A: A= angtan 0.7208 A=35.78° c) Datos: a=? b=? c=30.95
Cálculo de a: A=? B=40.05° C=90°
Cálculo de A: Como A+B+C=180° A+ 40.05° +90°=180° A+130.05°=180° A=180°-130.05° A=49.95°
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Cálculo de b:
Se utiliza una función Por el teorema trigonométrica que Pitágoras: relacione c y a, o c y b, c2=a2+b2 con cualquiera de los por lo que b2= c2-a2 ángulos A o B. entonces a b= c 2 a 2 Sea sen A= c Entonces b= 30.95 2 22.96 2 a b=20.75 sen 49.95°= 30.95 al despejar a: a=30.95 sen 49.95° a=22.96
de
3.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIOS
DE
ÁNGULOS
En la figura siguiente, es posible apreciar que en un triángulo rectángulo sen A =cos B, cos A= sen B, tan A = cot B, y así sucesivamente.
senA =
a c
senB =
b c
a
cosA =
b c
cosB =
a c
C
tanA =
a b
tanB =
b a
cotA =
b a
cotB =
a b
secA =
c b
secB=
c a
cscA =
c a
cscB =
c b
B c
A
b
Para recordar con facilidad cuáles funciones son complementarias, se señalan como se indica. Si comparamos las funciones de los ángulos agudos A y C del triángulo ABC, tenemos:
senA = cosB;
tanA = cotB;
secA = cscB; y viceversa
cosA = senB;
cotA = tanB;
cscA = secB
La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 180°. En un triángulo rectángulo, como el de la figura anterior, que posee un ángulo C de 90°, los ángulos agudos A y B deben sumar 180°-90°=90°. Los ángulos cuya suma es 90°, se denominan complementarios. Del mismo modo, las funciones senA= cosB; cosA = senB, etc., reciben el nombre de cofunciones. Por otro lado, dado que A+B=90°, entonces B=90°-A, por lo que:
senA = cosB = cos (90° - A) Para las demás funciones trigonométricas se obtiene:
15
senA = cos (90° - A)
...(10)
cosA = sen (90° - A)
...(11)
tanA = cot (90° - A)
...(12)
cscA = sec (90° - A)
...(13)
secA = csc (90° - A)
...(14)
cotA = tan (90° - A)
...(15)
EJEMPLOS Ejemplo 3.1 Escribir los enunciados siguientes en términos de cofunciones: a) sen 58° b) cos 58° c) tan 40°30’ d) cot 40°30’ e) sec 15°30’ f) csc 15°30’ Resolución: a) sen 58° b) cos 58° c) tan 40°30’ d) cot 40°30’ e) sec 15°30’ f) csc 15°30’
= = = = = =
cos 32° sen 32° cot 49°30’ tan 49°30’ csc 74°30’ sec 74°30’
Ejemplo 3.2 Determinar el ángulo cuyo coseno es igual a sen 27°. Resolución: senA = cos (90° - A) sen 27° = cos (90° - 27°) = cos 63° El ángulo buscado es 63°. Ejemplo 3.3 Si el seno de un ángulo vale 0.525 ¿cuánto vale el coseno de su complemento? Resolución: Dado que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento, es decir: sen A = cos (90° - A) Entonces cos (90° - A) = 0.525
16
Ejemplo 3.4
En un triángulo rectángulo, la secante de un ángulo agudo vale
5 ¿cuánto vale la 9
cosecante del otro ángulo agudo? Resolución: Dado que la secante de un ángulo es igual a la cosecante de su complemento, es decir: secA = csc (90° - A) Entonces 5 csc (90° - A) = 9 Ejemplo 3.5 Si el coseno de 40° es 0.7660 ¿cuánto vale el seno de 50°? Resolución: Dado que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento, es decir cosA = sen (90° - A) y como 40° y 50° son ángulos complementarios entonces: cos 40° = sen 50° por lo que sen 50°=0.7660 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Indicar, en los siguientes triángulos rectángulos, la hipotenusa, así como el cateto opuesto y el cateto adyacente respecto al ángulo agudo indicado. a)
b)
c)
a p
l
d
P
m
r
s
M
d)
m
A
e)
t
f)
S r
u
w
q
y
x g s
R
Q z
17
Respuestas: a) hipotenusa= s, b) hipotenusa= m, c) hipotenusa= d, d) hipotenusa= u, e) hipotenusa= g, f) hipotenusa= w,
cateto opuesto=p, cateto opuesto=a, cateto opuesto=m, cateto opuesto=s, cateto opuesto=r, cateto opuesto=q,
cateto adyacente=l cateto adyacente=r cateto adyacente=t cateto adyacente=x cateto adyacente=y cateto adyacente=z
2. Expresar las seis funciones trigonométricas correspondientes a los ángulos agudos señalados con letras mayúsculas (dejar las respuestas en forma de fracción). Determinar también la medida de dichos ángulos. a)
b)
c)
1 6
4
3
5 M
P
6
A d)
e)
f)
S 24
8
5
25 4
10 B
Q
Respuestas: 3 45 45 6 3 6 a) senM = , cosM = , tanM = , cscM = , secM = , cotM = , 6 3 6 3 45 45 M = 26.56° 6 4 52 52 6 4 , cosP = , tanP = , cscP = , secP = , cotP= , b) senP = 4 6 4 6 52 52 P = 56.31° 26 26 1 5 1 5 c) senA = , cosA = , tanA = , cscA = , secA = , cotA = , 1 5 5 1 26 26 A = 11.31° 6 8 6 10 10 8 d) senB = , cosB = , tanB = , cscB = , secB = , cotB = , B = 36.87° 10 10 8 6 8 6
18
24 7 24 7 25 25 , cosQ = , tanQ = , cscQ = , secQ = , cotQ = , 25 25 7 24 7 24 Q = 73.74° 3 4 3 5 5 4 f) senS = , cosS = , tanS = , cscS = , secS = , cotS = , S = 36.87° 5 5 4 3 4 3
e) senQ =
En los ejercicios 3 al 6, considerar al triángulo rectángulo ABC con ángulo recto C y cuyos lados miden a, b y c. Calcular la longitud desconocida del lado faltante utilizando el teorema de Pitágoras. Finalmente, obtener las seis razones trigonométricas del ángulo A (dejar las respuestas en forma de fracción).
B c A
b
a C
3. a = 5, b = 12, Respuesta:
c = 13, senA =
5 12 5 13 13 12 , cosA = , tanA = , cscA = , secA = , cotA = 13 13 12 5 12 5
4. a = 3, b = 5 Respuesta:
c= 34 , senA =
3 34 34 5 3 5 , cosA = , tanA = , cscA = , secA = , cotA = 5 3 5 3 34 34
5. a = 6, c = 7 Respuesta:
6 7 13 13 6 7 b= 13 , senA = , cosA = , tanA = , cscA = , secA = , cotA = 7 7 6 6 13 13 6. b = 7, c = 12
19
Respuesta:
a= 95 , senA =
95 7 95 12 12 7 , cosA = , tanA = , cscA = , secA = , cotA = 12 12 7 7 95 95
7. Responder las preguntas de los siguientes incisos: 5 a) Si la tangente de un ángulo es ¿cuánto vale la cotangente del mismo 6 ángulo? 4 b) Si el seno de un ángulo es ¿cuánto vale la cosecante del mismo ángulo? 5 3 c) Si la secante de un ángulo es ¿cuánto vale el coseno del mismo ángulo? 2 d) ¿Cuánto vale el coseno de un ángulo A, si se sabe que la secante vale 8? Respuestas: 6 5 2 1 a) , b) , c) , d) 5 4 3 8
8. Realizar lo que se solicita en los siguientes incisos:
4 , expresar cscA. 5 5 b) Si cotM = , expresar tanM. 8 1 c) Si cosB = , expresar secB. 3 6 d) Si cscE = , expresar senE. 4
a) Si senA =
Respuestas:
5 8 4 a) cscA = , b) tanM = , c) secB = 3, d) senE = 4 5 6 9. Resolver los triángulos rectángulos (es decir, determinar el valor de los tres ángulos y de sus tres lados) a partir de la información que se proporciona en los siguientes incisos. Considerar al triángulo ABC que se muestra a continuación: B
c a A
20
b
C
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
Se conocen el lado a Se conocen el lado b Se conocen el lado a Se conocen el lado b Se conocen el lado c Se conocen el lado c Se conocen los lados a Se conocen los lados a Se conocen los lados b
Respuestas: a) a=17, b) a=34.08, c) a=37.16, d) a=20.96, e) a=8.48, f) a=10.01, g) a=24.5, h) a=48, i) a=235.48,
b=20.67, b=47, b=20.79, b=34.17, b=36.16, b=2.59, b=34.8, b=24.74, b=224,
= = = = = = = = =
17 47 37.16 4.17 37.14 10.34 24.5 48 224
yA yB yB yA yA yB yb yc yc
c=26.76, c=58.05, c=42.58, c=40.08, c=37.14, c=10.34, c=42.56, c=54, c=325,
= = = = = = = = =
39.43°. 54.05°. 29.23°. 31.53°. 13.2°. 14.5°. 34.8. 54. 325
A=39.43°, A= 35.95°, A=60.77°, A=31.53 °, A=13.2 °, A= 75.5°, A= 35.14°, A= 62.73°, A=46.43 °,
B=50.57° B=54.05° B=29.23° B=58.47° B=76.8° B=14.5° B=54.86° B=27.27° B=43.57°
y y y y y y y y y
C=90°. C=90°. C=90°. C=90°. C=90°. C=90°. C=90°. C=90°. C=90°.
10. Determinar la altura BC de un edificio, si a 50 metros de su base se colocó un aparato para medir el ángulo de elevación A que es de 40.5°. Considerar la figura siguiente: B
C
40.5° A 50m
Respuesta: BC =42.70 m 11. Desde un barco se ve un faro con un ángulo de elevación de 12.25°. Se sabe que el faro tiene 50 metros de altura sobre el nivel del mar. Calcular la distancia D del barco al faro.
21
12.25° D Respuesta: Distancia D del barco al faro: 230.28 m 12. Determinar el ángulo desconocido en los siguientes incisos: a) b) c) d)
csc 38° = secA tan 67° = cotB sen 58° = cosC sec 72° = cscD
Respuestas: a) A= 52° b) B=23° c) C=32° d) D=18°
e) cos 53°30’ = senE f) cot 27°50’ = tanF g) sen 88.5° = cosG h) csc 56°25’ = secH
e) E=36°30’ f) F=62°10’ g) G= 1.5° h) H= 33°35’
13. Escribir cada una de las funciones siguientes en términos de la cofunción: a) tan 40° e) tan 35.4° b) cot 35° f) sen 28.7° c) csc 64° g) cos 33°30’ d) sec 49° h) tan 46°10’ Respuestas: e) tan 40°= cot 50° f) cot 35°= tan 55° g) csc 64°= sec 26° h) sec 49°= csc 41°
e) tan 35.4°= cot 54.6° f) sen 28.7°= cos 61.3° g) cos 33°30’= sen 56°30’ h) tan 46°10’ = cot 43°50’
14. En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo vale vale la cotangente del otro ángulo agudo? Respuesta:
22
3 7
3 ¿cuánto 7
15. Determinar la altura h del triángulo que se representa en la siguiente figura. 16 m h 40.5 Respuesta: h=10.39 m 16. Un rectángulo mide 45 cm de base y 24 cm de altura. Calcular el valor del ángulo que forma la base con una de las diagonales. Respuesta: 28.07°
23
4.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°
En la trigonometría ciertos ángulos, tales como 30°, 45° y 60°, se presentan con bastante frecuencia en el ámbito de las matemáticas, que merecen atención especial. Los valores de las funciones trigonométricas de dichos ángulos pueden calcularse por medio de ciertas propiedades geométricas y el Teorema de Pitágoras. Para obtener los valores de las funciones trigonométricas de 30° y 60°, se traza un triángulo equilátero (triángulo cuyos lados y sus ángulos son iguales entre sí y, como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, cada ángulo mide 60°). Por conveniencia se traza un triángulo cuyos lados midan 2 unidades. Ver la figura 2.1 (a).
30°
30° 60° 2
2 2
2 x 60°
x
60° 60° 2 1
FIGURA 4.1 (a). Triángulo equilátero
60° 1
FIGURA 4.1 (b). Dos triángulos rectángulos con ángulos de 30° y 60°
En la figura 2.1 (b) se muestra que si se bisecta un ángulo de este triángulo se forman dos triángulos rectángulos iguales, cada uno de los cuales tiene ángulos de 30°, 60° y 90°. La hipotenusa de dichos triángulos mide 2, el lado más corto tiene una longitud de 1. Si x representa la medida del otro cateto, es posible calcular su valor utilizando el teorema de Pitágoras:
22 12 x 2 4 1 x 2 x2 4 1 x 3
24
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO DE 30°
30 2
3 1 Las 6 razones trigonométricas para el ángulo de 30° son: sen 30
Para el ángulo de 30°, se tiene que: cos 30
hipotenusa = 2 cateto opuesto = 1
tan 30
cateto adyacente = 3
cateto opuesto hipotenusa
1 2
cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente
2
csc 30
3
1
3
2
sec 30
2
3 3
2
1
cot 30
2 3
3
3
3
3
1
En tan 30° y sec 30°, se racionalizó el denominador
De manera similar, para el ángulo de 60° se tiene lo siguiente: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO DE 60°
2 3 60°
1 Las 6 razones trigonométricas para el ángulo de 60° son: Para el ángulo de 60°, se tiene que: hipotenusa = 2 cateto opuesto =
sen 60
cateto opuesto hipotenusa
cos 60
cateto adyacente
tan 60
cateto opuesto
hipotenusa
3
csc 60
2
2
3 1 2
sec 60
2
cot 60
1
1
2 3 3
2
3
cateto adyacente =1
cateto adyacente
3 1
3
3
3 3
En csc 60° y cot 60°, se racionalizó el denominador
25
Los valores de las funciones trigonométricas para 45° se encuentran al trazar un triángulo rectángulo con dos ángulos de 45° cada uno. Éste es un triángulo isósceles, y por conveniencia se elige que las longitudes de los lados iguales midan 1. Utilizando el teorema de Pitágoras, es posible calcular el valor de la hipotenusa, como sigue:
Por el Teorema de Pitágoras: 45°
h 2 12 12
h
1
h 2 11 h 2
45°
1 Por lo tanto, se obtiene lo siguiente:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO DE 45° B
45° a
A
1
45° C
1
Las 6 razones trigonométricas para el ángulo de 60° son: sen 45
Para cualquiera de los ángulos de 45°, se tiene que:
cateto opuesto
1
hipotenusa cos 45
cateto adyacente
1
2
csc 45
2
2
hipotenusa
hipotenusa =
2
2
2
1 2
sec 45
2
2
2
1
2
cateto opuesto = 1 cateto adyacente =1
tan 45
cateto opuesto cateto adyacente
1 1
1
cot 45
1 1
1
En sen 45° y cos 45°, se racionalizó el denominador
En la tabla siguiente se resumen los valores de las razones trigonométricas para los ángulos anteriores expresados en grados o radianes. Los valores para los ángulos de 0° y 90°, pueden verificarse con una calculadora.
26
Valores de las funciones de ángulos especiales Ángulo en grados
en radianes
Sen
Cos
Tan
0°
0
0
1
0
1 2
3 2
3 3
2 2
1
30°
45°
60°
90°
6
4
3
2
2 2 3 2
1 2
1
0
3 No definida
Cot
No definida
3
1
3 3 0
Sec
1
2 3 3
Csc
No definida 2
2
2
2
2 3 3
No definida
1
27
4.1
Funciones trigonométricas de ángulos múltiplos de 30°, 45° y 60°
Podemos calcular cualquier múltiplo de los ángulos de 30°, 45° y 60°, trazando triángulos en planos cartesianos. Cálculo del ángulo de 120°
Se traza el triángulo rectángulo ADC con 3 y 1, y con catetos de medida hipotenusa de valor 2, como se muestra en la figura. Dado que 180° - 120° = 60°, entonces el ángulo DAC = 60° y como está en el segundo cuadrante del plano cartesiano, las coordenadas del punto C son (-1, 3 ).
Y
C
2
3
120° 60° D
A
-1
X
En consecuencia:
2 2 3 = 3 3
sen 120° =
3 2
csc 120° =
cos 120° = -
1 2
sec 120° = -2
tan 120° = - 3
cot 120° = -
1 3 =3 3
Del ángulo de 135°
Se traza el triángulo rectángulo APO con catetos de medida 1 y -1, y con hipotenusa de valor 2 , como se muestra en la figura. 180° - 135° = 45°, de donde el ángulo AOP = 45° y como está en el segundo cuadrante las coordenadas del punto P son (-1,1). En consecuencia:
Y
P
2 1
135° 45°
A
28
-1
O
X
1 2 = 2 2 1 2 =cos 135° = 2 2 tan 135° = -1
sen 135° =
csc 135° =
2
sec 135° = - 2 cot 135° = -1
Del ángulo de 150°
Se traza el triángulo rectángulo ADO con 3 y 1, y con catetos de medida hipotenusa de valor 2, como se muestra en la figura. 180° - 150° = 30°, de donde el ángulo AOD = 30° y como está en el segundo cuadrante las coordenadas del punto A son (- 3 ,1). En consecuencia:
Y
A 2 1
150°
30°
D
3
O
X
sen 150° =
cos 150° = -
tan150° =
csc 150° = 2
1 2
1 3
3 2 =-
sec 150° = -
3 3
2 2 3 =3 3
cot 150° = - 3
En forma semejante podemos calcular las funciones trigonométricas de los ángulos de 210°, 225°, 240°,300°, 315° y 330°. En la siguiente tabla se resumen los valores del seno, coseno, tangente, cotangente, cosecante y secante para los ángulos de 30°, 45°, 60° y sus múltiplos.
29
Grados
sen
cos
tan
cot
sec
csc
0°
0
1
0
No definida
1
No definida
30°
1 2
3 2
3 3
3
2 3 3
2
45°
2 2
2 2
1
1
2
2
60°
3 2
1 2
3
3 3
2
2 3 3
90°
1
0
No definida
0
No definida
1
120°
3 2
1 2
- 3
3 3
-2
2 3 3
135°
2 2
-
2 2
-1
-1
- 2
2
150°
1 2
-
3 2
3 3
- 3
2 3 3
2
180°
0
-1
No definida
2 3 3
-2
- 2
210°
-
-
-1
0
No definida
-
1 2
-
3 2
3 3
3
2 2
1
-
2 2
1
-
- 2
3 2
1 2
3
3 3
-2
-
-1
0
No definida
0
No definida
-
225°
240°
270°
-
-
-
2 3 3
-1
300°
-
3 2
1 2
- 3
315°
-
2 2
2 2
-1
-1
1 2
3 2
3 3
- 3
2 3 3
-2
0
1
No definida
1
No definida
330° 360°
30
-
-
-
0
-
3 3
2
2
-
2 3 3
- 2
EJEMPLOS Ejemplo 4.1 Reducir la siguiente expresión utilizando la información de la tabla 4sen30° + 2cos60° - 5sen45° + 3tan60° Resolución: En la expresión anterior sólo se sustituyen los valores numéricos de las razones trigonométricas, y se ejecutan las operaciones indicadas, esto es:
4sen30° + 2cos60° - 5sen45° + 3 tan60° 2 1 1 + 3( 3 ) = 4 + 2 - 5 2 2 2
=
4 2 5 2 + + 3 3 2 2 2
=
4 25 2 6 3 4 2 7.071 10.392 9.321 = = =4.6605 2 2 2
Ejemplo 4.2 Reducir la siguiente expresión utilizando la información de la tabla
7sen 2 60° - 5cos 4 30° +3 tan
4
Resolución: La expresión sen 2 A señala que el valor del seno se eleva al cuadrado. Es decir: sen 2 A = (sen A) 2 indica el cuadrado del seno de un ángulo; es diferente a sen(A) 2 que significa el seno del cuadrado de un ángulo. Esto mismo es válido para cos 2 , tan 2 , sec 2 y el resto de las funciones trigonoméricas.
Al sustituir los valores de las razones trigonométricas, se tiene: 7sen 2 60° - 5cos 4 30° + 3tan 3 = 7 2
2
3 - 5 2
3 3 = 7 - 5 4 4
=
4
4
+ 3(1)
2
+3
21 84 45 48 87 9 - 5 +3 = = 4 16 16 16
31
Ejemplo 4.3 Simplificar: 6sen30° cos30° + 8tan30° cos45°: Resolución: 6sen30° cos30° + 8tan30° cos45° 3 2 1 3 + 8 = 6 3 2 2 2
=
6 3 8 3 2 + 4 6
=
36 3 32 3 2 24
=
4 3 98 2 24
3 98 2 = 6
=
3 98 2 = 6
3 98 2 = 6
3 20.314 = 5.864 6
Ejemplo 4.4 Simplificar: 7sen120° +2cos135° - 6cot150° + 3csc135°- 4sec240°: Resolución: 7sen120° +2cos135° - 6cot 150° + 3csc135°- 4sec240° 3 2 + 2 = 7 2 - 6(- 3 ) + 3 2 - 4(-2) 2
=
7 3 2 2 6 3 3 2 16 2
=
13 3 2 16 2
= 19.96 Ejemplo 4.5 Efectuar las operaciones indicadas en la siguiente expresión:
7sen 2 30 tan 2 60 2 cot 2 30 sen 2 60 sec 2 30
32
2
Resolución:
7sen 2 30 tan 2 60 2 cot 2 30
2
sen 2 60 sec 2 30
=
1 7 2
2
3 2 3
2 2
2
2
3 2 3 2 3
2
1 2 7 3 2(3) 4 = 3 4(3) 4 9 1 2 7 3 7(9) 63 4 = = = (9)(4) 4 4 (4)(9)
Ejemplo 4.6 Determinar el valor de x que satisface la siguiente ecuación:
5x tan30° + 8xsen60° - 3xcos 2 45° = 4tan45° Resolución: En la ecuación anterior, se substituyen los valores de las razones trigonométricas y después se despeja a la incógnita x:
5xtan30° + 8xsen60° - 3xcos 2 45° = 4tan45° Por lo que tenemos: 3 2 3 - 3x 5x + 8x 3 2 2
2
3 2 3 - 3x 5x + 8x 2 3 2
2
= 4(1)
= 4(1)
33
5 3 6 x 4 3 4 4 3 4
x
4
5 3 6 20 3 48 3 18 4 3 3 4 12 48 48 x 0.481 68 3 18 99.779
48 68 3 18
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolver los siguientes ejercicios a partir de los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos vistos en esta sección. 1.
2 sen45°+ 3 tan30° = Respuesta: 2
2. 4 2 cos45°+ 5cos60° + 9 3 tan30° = Respuesta: 15.5 3.
8 9 sen60° - 4tan45° + tan60° = 3 3 Respuesta: 9
4. 8cos30° +2tan30° - 4cot30° = Respuesta: 1.155 5. - 4sen60° +2cos60° - 9tan60° = Respuesta: -18.052 6. 5cos120° -8sec135° + 9 cot150° – 2sen120° + 4tan225° = Respuesta: -4.507 7. 2tan30°+ 5cos60° - 3sen135° + 7tan150° = Respuesta: -2.508. 2
2
2
8. 8cos 30° +5sen 30° - 2tan 60° = Respuesta: -1.25 9. 4tan60° (3cos60°+ 2sen45°) = Respuesta: 20.190
34
10. 5sen2 60° (8sen 4 +7tan 6 ) = Respuesta: 36.369 11.
3 tan 2 30 4 cos 2 60 2sen 45 5 cos 45 Respuesta: -0.943
8sen 3 tan = 2 4 6 Respuesta: 57.75
12. 7cos 2
13. 9 cos 2 4sen 2 3 tan 2 6 4 3 Respuesta: 0.0625
2
=
3 cot 2 6 4 = 14. 2sen 2 2 cos 2 6 Respuesta: -0.446 4 tan 2
15. 5tan30°+ 4sen30° - cos 2 60° + 8cot60° = Respuesta: 9.255 16. 2cos 2 120° - 5sen2 45° + 9 tan2 150°- 4sec2 315°= Respuesta: -7
17.
3 tan 45 cos 2 30
4 5sen 45 2 cos 60 Respuesta: 0.0413
18. sec
+ 2tan
+ 3cot
4 4 Respuesta: 11.439
6
=
+ 4sen
4
=
3 cos 60 6 = 19. 4 tan 45 2 cos 60 Respuesta: -0.5 2sen 2 30 6 cos 2
35
20.
4sen150 2sen 2 45 3 cot 2 135 3 sec 120 = 2 tan 135 2 sec 120 Respuesta: -1
sec 21.
2
45 3 sec 120 5 cos 180 3 cot 270
2sen150
2
2
=
Respuesta: 81 2
2 5sen 2 tan 6 4 22. 2 3 sen 2 cos 3 3 Respuesta: 3.143
=
Para los ejercicios 23 a 30 determinar los valores de x, y ó z, según el caso, que satisfacen las ecuaciones correspondientes. 23. xtan30° + 4cos30° = 3sen60° Respuesta: x=-1.5 24. xtan225° + 3sec300° -4cos120° = 7sec60° Respuesta: x=6 25.
x cot 45 2sen30 = 2tan45° 3 cos 60 Respuesta: x=2
4 tan 4 3 = 3cot 26. 6 x cos 6 Respuesta: x=-1.068 3sen
27. 2xtan45° - 4xcos60° = xcos30° - 2tan30° Respuesta: x = 1.333 28. ysec60° + 6tan45° = 9sen30° + 2ycsc30° Respuesta: y = 0.75 29. 3zsen30° - 4zcos60° = 5sen0° + 6cos0° Respuesta: z = 12 30. 7xsen60° = 3xtan60° - 2sec Respuesta: x = -2.667
36
6
5.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CUALQUIERA
PARA
UN
ÁNGULO
En el tema anterior se han definido las razones trigonométricas para ángulos comprendidos entre 0° y 90° (ángulos agudos). En esta sección se extenderá la definición para todos los ángulos. Con este fin se describe la posición estándar de un ángulo. ÁNGULO EN POSICIÓN ESTÁNDAR. Si se introduce un sistema coordenado rectangular o cartesiano, entonces la posición estándar de un ángulo se obtiene al colocar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial L1 coincida con el semieje positivo “X”. Su nombre dependerá del cuadrante en que quede ubicado el lado terminal L2 (ver figura 1)
Y
Y L2
L2
O
X
O
UN ÁNGULO POSITIVO DEL PRIMER CUADRANTE
L1 X
UN ÁNGULO NEGATIVO DEL SEGUNDO CUADRANTE
Y
Y
L1 O
L1 X
O
L2 UN ÁNGULO POSITIVO DEL TERCER CUADRANTE
L2
X
UN ÁNGULO NEGATIVO DEL CUARTO CUADRANTE
FIGURA 1 ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR
37
Ejercicio 5.1 Dibujar cada uno de los siguientes ángulos en posición estándar. a) 45° b) 570° c) –765° d) –225° Resolución
Y
Y 45°
Y
Y 570°
X
-765°
X
X
a)
b)
-225°
c)
X
d)
La cantidad de rotación y su dirección no está restringida, es posible hacer varias revoluciones en cualquier sentido alrededor del vértice O antes de llegar a la posición L2. Debido a esta característica existen muchos ángulos diferentes que tienen los mismos lados inicial y terminal llamados ángulos coterminales. Si es un ángulo cualquiera en posición estándar expresado en radianes y k es un número entero, entonces y + 2k son ángulos coterminales. Convención: Si el giro se ejecuta en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj, el ángulo generado se considera positivo y si se realiza en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj se considera negativo. Ejercicio 2 Dibujar los siguientes ángulos en posición estándar y calcular el ángulo comprendido entre 0° y 360° coterminal con cada uno. a) 420° b) –120° c) 900° d) –585° Resolución
Y
Y
Y
Y 180°
X
420°
60° coterminal con 420°
a)
38
135°
240°
60°
-120°
X
900°
240° coterminal con –120°
180° coterminal con 900°
b)
c)
X
-585°
135° coterminal con –585°
d)
X
DEFINICIONES Si es un ángulo en posición estándar y P(x, y) un punto cualquiera distinto del origen sobre el lado terminal (ver figura 5.2), entonces: y r r ( y 0) csc y sen
x r r ; sec ( x 0) x
; cos
y ( x 0) x x ; cot ( y 0) y ; tan
donde r x 2 y 2 es la distancia de P al origen.
Y P(x,y) y
r
o
x
X
FIGURA 5.2
De las definiciones anteriores se deduce que los signos de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera varían con los de las coordenadas correspondientes al punto P tomado sobre el lado terminal. Ejemplo 5.3 Sea P(–5, 12) un punto sobre el lado terminal de un ángulo en posición estándar. Calcular las razones trigonométricas de . Resolución
Y
P(-5, 12) r y
x
X
39
Empezar por localizar el punto y dibujar el ángulo en posición estándar. Construir el triángulo rectángulo asociado al ángulo y determinar los valores de sus lados. Entonces aplicar las definiciones de las razones trigonométricas: x 5 ;
y 12
r
y 12 ; cos r 13 r 13 csc ; sec y 12 sen
5
2
12 13 2
x 5 5 ; tan r 13 13 r 13 13 ; cot x 15 5
y 12 12 x 5 5 x 5 5 y 12 12
En los siguientes esquemas se presenta el análisis de los signos de las funciones trigonométricas para cada cuadrante:
5.1 Funciones Trigonométricas en los diferentes cuadrantes
Funciones Trigonométricas en el primer cuadrante
sen
Y cos P(x,y)
tan r y
cot
x
X
sec csc
40
y 0 r x 0 r y 0 x En el primer cuadrante todas son positivas x 0 y r 0 x r 0 y
Funciones trigonométricas en el segundo cuadrante
Y P(-x,y) r y
y 0 r x 0 cos r y 0 tan x En el segundo cuadrante sólo son positivas el seno y x 0 cot y r sec 0 x r csc 0 y sen
-x
X
Funciones trigonométricas en el tercer cuadrante Y
-x
X -y r
P(-X,-Y)
y 0 r x 0 cos r y tan 0 x En el tercer cuadrante sólo son positivas la tangente y x 0 cot y r 0 sec x r 0 csc y sen
41
Funciones trigonométricas en el cuarto cuadrante y Y 0 sen r x cos 0 r y 0 tan En el cuarto cuadrante sólo son x x 0 positivas el coseno y la secante cot x y X r -y sec 0 r x r P(x,-y) 0 csc y
Los resultados de los signos de las funciones trigonométricas para cada cuadrante, se resumen en la siguiente tabla: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
1er. cuadrante + + + + + +
Ejemplo 5.4 Determinar el signo de: a) sen 290°
CUADRANTES 2º. 3er. Cuadrante Cuadrante + + + + -
b) sec 1568°
4º. cuadrante + + -
c) csc (–581°)
Resolución a) 290° es un ángulo del cuarto cuadrante. En este cuadrante, únicamente coseno y secante son positivas, entonces sen 290° < 0. b) 1568° es coterminal con 128°, por lo tanto es un ángulo del segundo cuadrante. En este cuadrante, únicamente seno y cosecante son positivas, entonces sec1568° < 0. c) –581° es coterminal con 139°, por lo tanto es un ángulo del segundo cuadrante. En este cuadranate, únicamente seno y cosecante son positivas, entonces csc 581 0 .
42
Ejemplo 5.5 Si tan > 0 y cos . < 0, determinar el cuadrante en el que se ubica el ángulo en posición estándar. Resolución Si tan > 0, entonces puede ser un ángulo del primer o tercer cuadrante. Si cos < 0, entonces puede ser un ángulo del segundo o tercer cuadrante. Pero como debe cumplirse simultáneamente que tan > 0 y cos < 0, entonces: es un ángulo del tercer cuadrante Ejemplo 5.6 Si sen < 0 y cot < 0, determinar el signo de sec . Resolución Si sen < 0, entonces puede ser un ángulo del tercero o cuarto cuadrante. Si cot < 0, entonces puede ser un ángulo del segundo o cuarto cuadrante. Pero como debe cumplirse simultáneamente que sen < 0 y cot < 0, entonces: es un ángulo del cuarto cuadrante y por lo tanto sec > 0 . Ejemplo 5.7 Si csc = –1.6 y es un ángulo con lado terminal en el tercer cuadrante, determinar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de . Resolución Si csc = –1.6 y se localiza en el tercer cuadrante, entonces:
16 8 10 5 Así que: hipotenusa = 8 y cateto opuesto = –5 Usando el teorema de Pitágoras: 1.6
cateto adyacente = 8 5 64 25 39 Recordar que en el tercer cuadrante los catetos del triángulo que se forma son negativos (ver figura 8) Mediante las definiciones de las funciones trigonométricas se obtiene: 2
2
sen
5 5 8 8
;
cos
39 39 8 8
;
tan
5 5 39 39
csc
8 8 1.6 5 5
;
sec
8 8 39 39
;
cot
39 39 5 5
43
5.2 Funciones trigonométricas de los ángulos 0°, 90°, 180°, 270° y coterminales Las funciones trigonométricas de los ángulos 0° + k(90°), donde k es un número entero, se obtienen usando puntos como los de la figura y las definiciones de las funciones trigonométricas. Y P2(0,y2) P3(-x3,0)
P1(x1,0)
X P4(0,-y4)
Funciones trigonométricas del ángulo 0° Con el punto P1(x1, 0) de la figura 10 y las definiciones de las funciones trigonométricas se obtiene: x x1 ; y 0 r
x1
2
0 x1 2
sen 0
y 0 x x y 0 0 ; cos 0 1 1 ; tan 0 0 r x1 r x1 x x1
csc 0
r x1 y 0
; sec 0
r x1 x x 1 ; cot 0 1 x x1 y 0
Observar que la cotangente y la cosecante son indefinidas para el ángulo 0°
Estos resultados se generalizan para los ángulos 0° + k(360°), donde k es un número entero. Funciones trigonométricas del ángulo 90° Con el punto P2(0, y2) de la figura 10 y las definiciones de las funciones trigonométricas se obtiene: x 0 ; y y2 r sen 90
0
2
y2 y2 2
y y2 x 0 y y 1 ; cos 90 0 ; tan 90 2 r y2 r y2 x 0
r y2 r y x 0 1 ; sec 90 2 ; cot 90 0 y y2 x 0 y y2 Observar que la tangente y la secante son indefinidas para el ángulo 90° csc 90
44
Estos resultados se generalizan para los ángulos 90° + k(360°), donde k es un número entero. Funciones trigonométricas del ángulo 180° Con el punto P3(–x3, 0) de la figura 10 y las definiciones de las funciones trigonométricas se obtiene:
x x3 ; y 0 r
x3
2
0 x3 2
sen 180
0 0 y x x y 0 ; cos 180 3 1 ; tan 180 0 r x3 r x3 x x3
csc 180
r x3 0 y
; sec 180
x r x x 3 1 ; cot 180 3 0 x x3 y
Observar que la cotangente y la cosecante son indefinidas para el ángulo 180°
Estos resultados se generalizan para los ángulos 180° + k(360°), donde k es un número entero. Funciones trigonométricas del ángulo 270°
Con el punto P2(0, –y4) de la figura 10 y las definiciones de las funciones trigonométricas se obtiene:
x 0 ; y y 4 r
0
2
y 4 y 4 2
sen 270
y y 4 x 0 y y 4 1 ; cos 270 0 ; tan 270 r y4 r y4 x 0
csc 270
y r r y 4 1 ; sec 270 4 y y 4 x 0
; cot 270
x 0 0 y y 4
Observar que la tangente y la secante son indefinidas para el ángulo 270° Estos resultados se generalizan para los ángulos 270° + k(360°), donde k es un número entero. Los resultados de los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos 0° + k(90°), donde k es un número entero, se resumen en la siguiente tabla:
45
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
ÁNGULOS 90°+k(360°) 180°+k(360°) con k con k 1 0 0 -1 Indefinido 0 0 Indefinido Indefinido -1 1 Indefinido
0°+k(360°) con k 0 1 0 Indefinido 1 Indefinido
Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Ejemplo 5.8 Calcular: a) sen 810°
b) sec (-90°)
270°+k(360°) con k -1 0 Indefinido 0 Indefinido -1
c) tan 540°
Resolución: Empezar por dibujar el ángulo en posición estándar y seleccionar un punto sobre el lado terminal. Entonces aplicar la definición de la función trigonométrica correspondiente: Y Y Y P(0,1) P(-1,0) -90°
X
810°
540°
X
X
P(0,-1)
a)
b)
c)
a) 810° tiene su lado terminal sobre el eje “Y” positivo, así que un punto sobre este lado es P(0,1), entonces:
x0 ;
y 1 r
02 12
1 sen 810
y 1 1 r 1
b) –90° tiene su lado terminal sobre el eje “Y” negativo, así que un punto sobre este lado es P(0, –1), entonces:
x 0 ; y 1 r
02 12
1 sec 90
r 1 indefinida x 0
c) 540° tiene su lado terminal sobre el eje “X” negativo, así que un punto sobre este lado es P(–1, 0), entonces:
x 1 ;
46
y0 r
12 02
1 tan 540
0 y 0 x 1
5.3 Equivalencia de las razones trigonométricas para cualquier ángulo positivo o negativo con las del primer cuadrante
Ya se ha descrito cómo obtener el signo de las funciones trigonométricas para ángulos en cualquier cuadrante, sólo falta indicar cómo se calcula su magnitud. Para ello se usa un ángulo llamado ángulo de referencia. Ángulo de referencia Para un ángulo dado , el ángulo de referencia es un ángulo del primer cuadrante cuyos valores de las funciones trigonométricas sólo pueden diferir en el signo respecto a los de las funciones trigonométricas de . Y se obtiene reflejando el lado terminal de sobre el eje “Y”, el origen o el eje “X” (ver figura 11)
Y
Y
Y
X
Reflejar el lado terminal de a través del eje “Y” para generar .
X
Reflejar el lado terminal de a través del origen para generar .
X
Reflejar el lado terminal de a través del eje “X” para generar .
FIGURA 5.3
Si es un ángulo entre 0° y 360° inclusive y es el ángulo de referencia de , la forma de calcular es:
= , si es un ángulo del primer cuadrante. = 180° – , si es un ángulo del segundo cuadrante. = – 180°, si es un ángulo del tercer cuadrante. = 360° – , si es un ángulo del cuarto cuadrante. Si < 0° o > 360° se calcula previamente el ángulo coterminal entre 0° y 360°. Ejemplo 5.9 Determinar el ángulo de referencia para cada uno de los siguientes ángulos: a) 300° b) 1845° c) –1230° d) –240°
47
Resolución: a) 300° es un ángulo del cuarto cuadrante. Entonces el ángulo de referencia es: = 360° – = 360° – 300° = 60° b) 1845° es mayor que 360°, entonces se calcula el ángulo coterminal comprendido entre 0° y 360° : 1845° – 5(360°) = 45° 45° es un ángulo del primer cuadrante. Entonces el ángulo de referencia es: = = 45° c) – 1230° es menor que 0°, entonces se calcula el ángulo coterminal comprendido entre 0° y 360° : – 1230° + 4(360°) = 210° 210° es un ángulo del tercer cuadrante. Entonces el ángulo de referencia es: = – 180° = 210° – 180° = 30° d) – 240° es menor que 0°, entonces se calcula el ángulo coterminal comprendido entre 0° y 360° : – 240° + 1(360°) = 120° 120° es un ángulo del segundo cuadrante. Entonces el ángulo de referencia es: = 180° – = 180° – 120° = 60° Ejemplo 5.10 Calcular: a) csc 300° el ángulo de referencia.
b) sen 1845°
c) tan (–1230°)
d) sec (–240°), con
Resolución: a) 300° es un ángulo del cuarto cuadrante donde la cosecante es negativa y el ángulo de referencia es = 60°, entonces:
csc 300 csc 60
2 3
b) 1845° es un ángulo cuyo lado terminal se localiza en el primer cuadrante donde el seno es positivo y el ángulo de referencia es = 45°, entonces: sen 1845 sen 45
1 2 2 2
c) – 1230° es un ángulo cuyo lado terminal se localiza en el tercer cuadrante donde la tangente es positiva y el ángulo de referencia es = 30°, entonces: tan 1230 tan 30
1 3 3 3 d) – 240° es un ángulo cuyo lado terminal se localiza en el segundo cuadrante donde la secante es negativa y el ángulo de referencia es = 60°, entonces:
sec (–240°) = – sec 60° = –2
48
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Dibujar cada uno de los siguientes ángulos en posición estándar. a) 210° b) –135° c) –660° d) 1125° 2) Calcular el ángulo comprendido entre 0° y 360° que es coterminal con cada uno de los siguientes ángulos. a) –765° b) 930° c) –600° d) 1140° 3) Cada punto dado está sobre el lado terminal de un ángulo en posición estándar. Determinar los valores de las seis funciones trigonométricas de . 2 2 1 1 , a ) b) 1, 3 c) 2,2 3 d ) , 2 2 2 2
4) Determinar el signo de: a ) cos 110 b) cot 880
c) sec 735
d ) tan 1105
5) Si csc > 0 y cot < 0°, determinar el cuadrante en el que se ubica el ángulo en posición estándar. 6) Si tan > 0 y cos < 0, determinar el signo de sen . 7) Si sen = –0.6 y es un ángulo con lado terminal en el cuarto cuadrante, determinar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de .
5 y es un ángulo con lado terminal en el segundo cuadrante, 41 determinar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de .
8) Si cos
9) Calcular: a ) csc 1080
b) sen 1890
c) tan 900
d ) cot 810
10) Determinar el ángulo de referencia para cada uno de los siguientes ángulos: a) –225° b) 1470° c) –780° d) 1305°
11) Calcular: a) cot 225 con el ángulo de referencia.
b) sen 1470
c) csc 780
d ) cos 1305 ,
49
Respuestas de los ejercicios propuestos
1) Y
Y
210° X
-135°
a)
b)
Y
Y
-660°
1125°
X
c) 2)
3)
a) 315°
X
b) 210°
X
d) c) 120°
d) 60°
2 2 ; cos ; tan 1 ; cot 1 ; sec 2 ; csc 2 2 2 3 1 3 2 3 b) sen ; cos ; tan 3 ; cot ; sec 2 ; csc 2 2 3 3 3 1 3 2 3 c) sen ; cos ; tan 3 ; cot ; sec 2 ; csc 2 2 3 3 2 2 d ) sen ; cos ; tan 1 ; cot 1 ; sec 2 ; csc 2 2 2 a) sen
4)
a ) cos 110 0
5)
Si csc > 0 y cot < 0, entonces es un ángulo del segundo cuadrante.
50
b) cot 880 0
c) sec 735 0
d ) tan 1105 0
6)
Si tan > 0 y cos < 0, entonces sen < 0.
7)
cos
4 3 4 5 5 ; tan ; cot ; sec ; csc 5 4 3 4 3
8)
sen
4 41 4 5 41 41 ; tan ; cot ; sec ; csc 41 5 4 5 4
9)
a ) csc 1080
10)
a) 45
b) sen 1890 1
b) 30
c ) 60
11) a) cot 225 cot 45 1 c) csc 780 csc 60
2 3 3
c) tan 900 0
d ) cot 810
d ) 45 b) sen 1470 sen 30
1 2
d ) cos 1305 cos 45
2 2
51
6.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
6.1 Pitagóricas, recíprocas, por cociente, diferencia y suma de ángulos, doble en un ángulo y semiángulo y de ángulos negativos. Es una proposición de igualdad en la cual intervienen funciones trigonométricas; la igualdad se cumple para todo valor del argumento.
Identidad trigonométrica:
Las Identidades pitagóricas son:
sen 2 cos 2 1 ......... ( 1 )
1 tan 2 sec 2 .......... ( 2 ) 1 cot 2 csc 2 .......... ( 3 ) Las Identidades recíprocas son:
sen
1 .................. ( 4 ) csc
cos
1 .................. ( 5 ) sec
tan
1 ................... ( 6 ) cot
Las Identidades por cociente son:
52
tan
sen .................. ( 7 ) cos
cot
cos .................. ( 8 ) sen
Las Identidades para la suma y la diferencia de ángulos son:
sen A B
sen A cos B cos A sen B ............. ( 9 )
cos A B
cos A cos B m sen A sen B ............ ( 10 )
tan A B
tan A tan B .............................. ( 11 ) 1 m tan A tan B
Las Identidades para el doble de un ángulo son:
sen 2 2 sen cos .................................. ( 12 ) cos 2 cos 2 sen 2 .............................. ( 13 a ) 2cos 2 ..................................... ( 13 b )
1 2 sen 2 ...................................... ( 13 c )
tan 2
1 cos .................................. ( 14 ) cos
Las Identidades para el semiángulo (mitad de un ángulo) son:
sen
1 cos ............................... ( 15 ) 2
cos
1 cos ............................... ( 16 ) 2
tan
sen 1 cos ..................... ( 17 ) sen 1 cos
53
Funciones trigonométricas de ángulos negativos
Para obtener sen ( ) se hace uso de la identidad:
sen ( a b ) sen a cos b cos a senb de modo que:
sen ( ) sen ( 0 ) sen ( 0 ) cos cos ( 0 ) sen sen ( 0 ) 0
pero
sen ( ) sen
por lo que:
cos ( 0 ) 1
y
..................... ( 18 )
De manera similar, para cos ( ) se tiene:
cos ( ) cos ( 0 ) cos ( 0 ) cos sen ( 0 ) sen cos por lo que:
cos ( ) cos
......................... ( 19 )
Para determinar tan ( se usa la identidad ( 7 ), por lo que:
tan (
Entonces:
sen ( sen tan cos ( cos tan ( ) tan
...................... ( 20 )
Para las funciones recíprocas se usan las identidades ( 4 ), ( 5 ) y ( 6 ):
csc (
1 1 csc sen ( sen
sec (
1 1 sec cos ( cos
cot (
1 1 cot tan ( tan
54
Entonces:
csc ( csc
( 21 )
sec ( sec
( 22 )
cot ( cot
( 23 )
EJEMPLOS Ejemplo 6.1 Mediante identidades, calcular los posibles valores de , considerando que
sen
.
Resolución:
cos
De la identidad ( 1 ):
1 1 2
2
1 sen 2
3 2
por lo que:
3 30 o 2
ang cos
o
330 o
o bien:
3 o ang cos o 210 o 150 2 1 0 , por lo que el lado terminal del ángulo está en los pero sen 2 o cuadrantes I o II. Entonces: 30 o 150 o Ejemplo 6.2 Mediante identidades, calcular lo posibles valores de , considerando que sec . Resolución:
tan
De la identidad ( 2 ) :
2
2
1
sec 2 1
3
55
3 60 o ang tan 3 120 ang tan
por lo que:
240 o
o
o bien: pero
o
o
300 o
sec 2 0 , por lo que el lado terminal del ángulo está en los
cuadrantes II o III. Entonces, 120
o
o 240 . o
Otra forma:
1 1 sec 2
cos
De la identidad ( 5 ):
1 o 120 o 2
por lo que ang cos
ya que sec 2 0 , por
lo
240 o
que el lado terminal del ángulo está en los
cuadrantes II o III. Entonces , 120
o
o 240 . o
Ejemplo 6.3 o Mediante la identidad ( 9 ), calcular el valor de sen 15 , tomando en cuenta que
1
sen 45 o
1
, cos 45 o
2
, sen 30 o
2
Resolución: De la identidad ( 9 ):
sen 15 o sen 45 o 30 o
sen 45 o cos 30 o cos 45 o sen 30 o 2
1
3
2
56
2
3 2
1
2
1 2 2
1
3 1
2
2
2
3 1 o y cos 30 . 2 2
Ejemplo 6.4 o Mediante la identidad ( 10 ), calcular el valor de cos 75 , tomando en cuenta que
1
sen 45 o
1
, cos 45 o
2
, sen 30 o
2
Resolución: De la identidad ( 10 ):
cos 75 o cos 45 o 30 o
3 1 o y cos 30 . 2 2
cos 45 o cos 30 o sen 45 o sen 30 o 2 3
2 Nota:
3 2
1
1
2
2
1 2 2
1
3 1
2
2
2
Obsérvese que sen 15° = cos 75°, , lo cual se debe a que la función coseno es cofunción de la función seno y a que el ángulo 15° es complementario del ángulo 75°.
Ejemplo 6.5 o Mediante las identidades ( 7 ), ( 9 ) y ( 10 ), calcular el valor de tan 210 . Resolución: De la identidad ( 7 ):
tan 210 o
Utilizando las identidades ( 9 )
sen 210 o ............. ( A ) cos 210 o
y ( 10 ):
57
sen 210 o sen 180 o 30 o
sen 180 o cos 30 o cos 180 o sen 30 o 0
3 2
1 1 1 2 2
cos 210 o cos 180 o 30 o
cos 180 o cos 30 o sen 180 o sen 30 o
1
3 3 1 0 2 2 2
Se sustituye en ( A ):
tan 210 o
Nota:
o
sen 210 cos 210 o
1 2 3 2
1 3
Este valor se puede calcular más rápidamente mediante la ecuación (11 ).
Ejemplo 6.6 o Mediante la identidad ( 16 ), calcular el valor de cos 105 , tomando en cuenta que
cos 210 o
3 2
Resolución: De la identidad ( 16 ):
58
cos 105 o
1 cos 210 o 2 1 2
3 2
2
3
2
pero el ángulo 105
cos 105 o
2 3 4
2
o
3
2
tiene su lado terminal en el cuadrante II, por lo que .
Ejemplo 6.7 Mediante la identidad ( 13 c ), calcular el valor de cos 2 , tomando en cuenta que
sen
3 . 5
Resolución: De la identidad ( 13 c ):
cos 2 1 2 sen 2 3 1 2 5
2
1
18 7 25 25
Ejemplo 6.8 Mediante la identidad ( 13 b ) calcular el valor de cos 2 , tomando en cuenta que
cos
2 3
Resolución: De la identidad ( 13 b ):
cos 2 2 cos 2 2 2 3
2
1
8 1 1 9 9
59
Ejemplo 6.9
Calcular el valor de sen 2 , tomando en cuenta que sen
3 . 5
Sea un ángulo agudo de un triángulo rectángulo como el que se muestra en la figura
3 cateto opuesto 5 hipotenusa
sen
5
3
x
Por el Teorema de Pitágoras:
por lo que cos
x
25 9 4
.
De la identidad ( 12 ):
sen 2 2 sen cos 3 4 24 2 5 5 25
Ejemplo 6.10 o Mediante la identidad ( 16 ), calcular el valor de cos 15 . Resolución: De la identidad ( 16 ):
60
1 cos 30 2
cos 15 o
2
cos 15 o
3 4
o
2
2
3 2
1
3
2
pero el lado terminal del ángulo está en el primer cuadrante, por lo que cos 15 o 0 . Entonces:
2
cos 15 o
3
2
Ejemplo 6.11 o Mediante las identidades ( 15 ) y ( 10 ), calcular el valor de sen 75 . Resolución: De la identidad ( 15 ):
1 cos 150 o 2
sen 75 o
pero cos 150
o
cos 180 o 30 o
por la identidad ( 10 ):
cos 150 o cos 180 o cos 30 o sen 180 o sen 30 o 1
3 2
1 0 2
3 2
61
Por lo que
3 1 2 2
sen 75 o
3 2
1 2 2
2
3 4
3
2
Pero el lado terminal del ángulo está en el primer cuadrante, por lo que
sen 75 o 0 . Entonces: sen 75
o
2
3
2
.
Ejemplo 6.12 o Mediante la identidad ( 7 ), calcular el valor de tan 15 . Resolución: De la identidad ( 7 ):
sen 15 o tan 15 cos 15 o o
pero, en el ejemplo 3 se obtuvo que :
3 1
sen 15 o 2
2
y en el ejemplo 10 se obtuvo que:
cos 15 o
62
2 2
3
por lo que
3 1 tan 15 o
2
2
2 3 2 Nota:
3 1 2
2
3
Este valor también se puede calcular mediante la identidad ( 11 ) , o o o considerando que 15 es igual a 45 menos 30 .
Ejemplo 6.13 o Mediante la identidad ( 18 ), calcular el valor de sen ( 240 ) . Resolución: o o Por la identidad ( 18 ): sen ( 240 ) sen 240 Pero
sen 240 o sen ( 240 o 180 o ) sen 60 o
3 2
3 sen ( 240 o ) 2
Entonces:
3 2
Ejemplo 6.14 o Mediante la identidad ( 19 ), calcular el valor de cos ( 300 ) . Resolución: o o Por la identidad ( 19 ): cos ( 300 ) cos 300 Pero
cos 300 o cos ( 360 o 300 o ) cos 60 o
1 2
Entonces:
cos ( 300 o )
1 2 63
Ejemplo 6.15 o Mediante la identidad ( 20 ), calcular el valor de tan ( 135 ) . Resolución: o o Por la identidad ( 20 ): tan ( 135 ) tan 135 Pero
tan 135 o tan ( 180 o 135 o ) tan 45 o 1 Entonces:
tan ( 135 o ) ( 1 ) 1 Ejemplo 6.16 o Mediante la identidad ( 4 ), calcular el valor de csc ( 240 ) . Resolución: Por la identidad ( 4 ): csc ( )
Por lo que:
csc ( 240 o )
1 sen ( 240 o )
En el ejemplo 13 se obtuvo:
sen ( 240 o )
3 2
Por lo que:
csc ( 240 o )
1 3 2
64
2 3
1 sen ( )
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Determinar el valor de , considerando que cos Respuesta:
2.
60 o
300 o
o
1 . 2
2
Calcular el valor de , considerando que csc
.
3 Respuesta: 3.
240 o
300 o
o
o
Mediante la identidad ( 10 ), calcular el valor de cos 15 , tomando en cuenta que:
cos 60 o
sen 45 o
1 , 2
3 , 2
sen 60 o
1
cos 45 o
y
2
1 2 cos 15 o
Respuesta:
1 2
4.
3 2 o
Mediante la identidad ( 9 ), calcular el valor de sen 75 , tomando en cuenta que
sen 45 o
1
,
1
cos 45 o
2 cos 30 o Respuesta:
y
3 2 sen 75 o
1
3 2
Mediante la identidad ( 6 ), calcular el valor de cot 150 Respuesta:
1 2
sen 30 o
2
2 5.
,
cot 150
o
o
.
3
65
6.
Mediante la identidad ( 15 ), calcular el valor de sen 120
cos 240 o Respuesta:
7.
1 . 2 sen 120 o
3 2
cos 2
Calcular el valor de cos 2 , considerando que cos Respuesta:
9.
considerando que
Calcular el valor de cos 2 , tomando en cuenta que sen Respuesta:
8.
o
cos 2
.
Calcular el valor de sen 2 , tomando en cuenta que cos Respuesta:
sen 2
2 . 3
.
o
10. Mediante la identidad ( 15 ), determinar el valor de sen 15 . Respuesta:
sen 15 o
2
3
2 o
11. Mediante la identidad ( 16 ), determinar el valor de cos 75 . Respuesta:
cos 75 o
2
3
2 o
12. Mediante las identidades ( 6 ) y ( 17 ), determinar el valor de cot 15 . Respuesta:
66
cot 15 o
1 2
2
3 3
13. Calcular el valor de sen ( 90 ) . o
Respuesta:
sen ( 90 o ) 1
14. Calcular el valor de cos ( 120 ) . o
Respuesta:
cos ( 120 o )
1 2
15. Calcular el valor de cot ( 210 ) . o
Respuesta:
cot ( 210 o )
3
67
7.
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Hasta este momento nos hemos enfocado principalmente a la resolución de triángulos rectángulos; Sin embargo, se dispone en este momento de toda la información necesaria para resolver también triángulos oblicuángulos. Un triángulo oblicuángulo es aquel que no contiene ángulo recto. En este tipo de triángulos, los tres ángulos son agudos, o bien, dos de sus ángulos son agudos y uno obtuso.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
Los datos que determinan un triángulo oblicuángulo pueden darse de una de las tres maneras siguientes: a)
Dando sus tres lados
b)
Dando dos ángulos y un lado
c)
Dando dos lados y un ángulo
Para resolver este tipo de triángulos se usan, dependiendo de los datos, la ley de los senos o la ley de los cosenos.
7.1 LEY DE LOS SENOS Sea el triángulo
68
Cc Trazando las alturas
E
b
CD y AE se tiene: del triángulo ACD tenemos:
a
CD b CD b sen ... 1
sen
A
D
c
B
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
Del triángulo BCD tenemos: CD sen CD a sen ... 2 a de ( 1 ) y ( 2 ) se tiene: b sen a sen de donde: a b ... 3 sen sen Por otro lado, del triángulo ACE tenemos: AE sen AE b sen ... 4 b Del triángulo ABE tenemos: AE sen AE c sen ... 5 c de ( 4 ) y ( 5 ) se tiene: b sen c sen
de donde: b c ... 6 sen sen
de ( 3 ) y ( 6 ) se llega a:
69
a b c sen sen sen
Ley de los senos
o también se puede escribir como: sen sen sen a b c
Ley de los senos
La ley de los senos también puede deducirse partiendo de un triángulo obtusángulo.
7.2
LEY DE LOS COSENOS
Sea el triángulo
B
a
c h
C b b-x Del triángulo ABD tenemos que: x cos ... 1 c x c cos
también:
70
... 2
A
D x
c2 = h2 + x2 h2 = c2 – x2 ... (3)
Por otro lado, del triángulo BCD se tiene: a2 = h2 + (b – x)2 ... (4) sustituyendo ( 3 ) en ( 4 ) :
a2 c2 x2
bx
2
a 2 c 2 x 2 b 2 2b x x 2 a 2 b 2 c 2 2b x como x c cos entonces: a 2 b 2 c 2 2bc cos
Ley de los cosenos
En forma análoga se puede llegar a que: b 2 a 2 c 2 2ac cos
Ley de los cosenos
c 2 a 2 b 2 2ab cos
Es conveniente señalar lo siguiente:
La ley de los senos es aplicable directamente cuando se conoce, de un triángulo oblicuángulo, dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, o cuando se conocen dos ángulos y un lado.
La ley de los cosenos es aplicable directamente cuando se conoce, de un triángulo oblicuángulo, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o cuando se conocen los tres lados.
EJEMPLOS Ejemplo 7.1 Para el triángulo ABC dado en la figura, calcular las partes restantes, si:
a) b) c) d) e)
= = = =
f)
a =
41° , 20° , 81° , 60° , 150° ,
c b
= = = a =
31° 11 m 20 m 150 M
10 m , b = 15 m
y y y y y
a
y
b b c c
= = = = =
10.5 m 210 m 12 m 30 m 30 m
c
=
12 m
71
B
c
a
A
b
Resolución: a) Como 180 180
180 62
Al aplicar la ley de los senos, se tiene:
b 10.5 o sen 62 sen 41o b 14.13 m
10.5 sen 62o b sen 41o
c 15.59 m
Por otro lado:
c 14.13 o sen 77 sen 62o 14.13 sen 77o c sen 62o Finalmente: a 10.5 m
41
b 14.13 m c 15.59 m
62 77
b)
72
Como + + = 180° = 180° - 20° - 31°
= 180° - - = 129°
C
Al aplicar la ley de los senos, se tiene:
a 210 sen 129o sen 20o 210 sen 129o a sen 20o
a 477.17 m
Por otro lado:
c 210 o sen 31 sen 20o c
210 sen 31o sen 20o
c 316.23 m
Finalmente:
a 477.17 m
129o
b 210 m
20o
c 316.23 m
31o
c)
Al aplicar la ley de los senos, se tiene:
11 12 = sen 81o sen
12 sen 81o sen 11
sen 1.08 1 Como el seno de un ángulo debe estar entre -1 y 1, y para el caso que nos ocupa se obtuvo que sen = 1.08, , se puede concluir que con los valores dados no se puede construir un triángulo. d)
Como se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, entonces es aplicable la ley de los cosenos.
Se tiene que:
73
a 2 b 2 c 2 2bc cos a2
20
2
30
2
2 20
30
cos 60o
a 2 1300 600 a 26.46 m por otro lado:
b 2 a 2 c 2 2ac cos al despejar:
a2 c2 b2 cos 2ac
26.46 30 20 cos 2 26.46 30 cos 0.756 ang cos 0.756
2
2
40.89o
al calcular
, se tiene:
180o
180o 180o 60o 40.89o
79.11o Finalmente:
a 26.46 m
60o
b 20 m
40.89o
c 30 m
79.11o
74
2
e)
En este caso también se puede aplicar la ley de los cosenos.
b 2 a 2 c 2 2ac cos b2
150
2
30
2
2 150
30
cos 150o
b 2 23400 7794.23
b 2 31194.23
b 176.62 m
Por otro lado:
a 2 b 2 c 2 2bc cos
150
2
176.62
2
30 2 176.62 2
30
cos
de donde:
176.62 30 150 2 176.62 30 2
cos
2
2
cos 0.905 ang cos 0.905
25.18o
se sabe que:
180o al sustituir y , se tiene: 25.18o 150o 180o
180o 150o 25.18o
4.82o
Finalmente:
f)
a 150 m
25.18o
b 176.62 m
150o
c 30 m
4.82o
Conocidas las longitudes de los tres lados, se puede aplicar la ley de los cosenos.
75
Se tiene que:
a 2 b 2 c 2 2bc cos
10
2
15
2
12
2
2 15
12 cos
de donde:
cos
15
12 10 2 15 12
2
2
2
cos 0.747 entonces:
ang cos 0.747 41.67o
Al conocer el ángulo , es posible emplear la ley de los senos o bien, volver a aplicar la ley de los cosenos para determinar o . Empleando la ley de senos, se tiene:
a b sen sen al sustituir:
10 15 o sen 41.67 sen de donde:
sen
15 sen 41.67o 10
sen 0.997 entonces:
ang sen 0.997
85.56o Al obtener se tiene: 180o
180o 180o 41.67o 85.56o 52.77o
76
Finalmente:
a 10 m
41.67o
b 15 m
85.56o
c 12 m
52.77o
Ejemplo 7.2 Cuando un edificio se ve desde un punto A, el ángulo de elevación es de 41°. Cuando se ve desde otro punto B, que se encuentra a 20 m. más cerca del edificio, el ángulo de elevación es de 48°. Calcular la altura del edificio.
C
7
o
b
41
A
o
h?
a
132
o
c
48
o D
B
20 m
Resolución: Al aplicar la ley de los senos en el triángulo ABC se tiene:
ä 20 sen 41 sen7
a
20 sen 41 sen7
a 107.66 m
Del triángulo BCD se tiene: sen 48
h a
h 107.66 sen 48
h 80.01m
Ejemplo 7.3 Un avión de reconocimiento que vuela a una altura de 10 000 pies, localiza un barco A a un ángulo de depresión de 37° y a otro barco B a un ángulo de depresión de 21° ( ver figura ). Además, encuentra que el ángulo que se define al observar ambos barcos es de 130°. Calcular la distancia d entre los barcos.
77
C 37 o 130o
b
21o
10 000
a
D
21o
37o
A
B D =d?
Resolución:
Del triángulo ACD se obtiene: sen 37 o
Del triángulo BCD se obtiene: sen 21 o
10 000 10 000 b= = 16 616.4 pies. b sen 37 o
10 000 10 000 a = 27 904.28 pies. a sen 21o
Dado que se conocen, del triángulo ABC, los dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, se debe aplicar la Ley de los cosenos:
d 2 a 2 b 2 2ab cos 130o
27904.28 16616.4 2 27904.28 16616.4 cos 130o 2
2
7.7864810 8 2.76104 10 8 5.960810 8 1.65083 10 9 d= 40 630.44 pies
78
Ejemplo 7.4 Los puntos A y B de la figura están situados en orillas distintas de un río y son inaccesibles desde los puntos x e y. Determinar la distancia AB partiendo de los datos que se dan a continuación B
S A XY 129 o S AYX 32 o
A
S B YX 113o
L4 L3
L2
S B XY 43o
L1
Y
X 450 m
Resolución:
Del triángulo AXY se obtiene: A = 180º - AXY – AYX = 19º Al aplicar la ley de los senos:
L2 450 sen 19o sen 129o
L2
450 sen 129o sen 19o
1074.17 m
Del triángulo BXY se obtiene:
S B 180o S BYX S BXY 24o Al aplicar la ley de los senos: L4 450 sen 43 450 L4 sen 24 sen 43 sen 24
754.54 m
Al aplicar la ley de los cosenos
S AYB 113o 32 81o
L4
AB 2 L 2
2
2
2 L 2 L 4 cos 81o 1074 .17 754 .54 2 1074 .17 754.54 cos 81o
AB 2 1723 171.8 253 581.6
2
2
AB 1212.27 m
79
Ejemplo 7.5 Un helicóptero se encuentra suspendido a una altura de 1000 metros sobre la cumbre de una montaña que tiene 5 210 metros de altitud. Desde esa cima y desde el helicóptero puede verse la cúspide de otra montaña más alta. Desde la cima de la primer montaña, el ángulo de elevación es de 18°. Desde el helicóptero, el ángulo de depresión es de 43° ( ver figura ). Calcular: a) La distancia de un pico al otro. b) La altitud de la cumbre de la montaña más alta.
43°
1000 m
18°
Resolución: a) De la figura se obtiene: A
47 ° b 1 00 0
6 1°
C
a
72 ° 18° B
80
D
Al aplicar la ley de los senos en el triángulo ABC , se tiene:
1000 a o sen 47 sen 61o
a
1000 sen 47o sen 61o
836 .20 m
por lo tanto, la distancia entre los picos es 836.20 m. b)
Conocido el valor de = a 836 .20 m , del triángulo BCD se tiene:
sen 18o
CD a
CD a sen 18o
836.20 sen 18o
258.40 m
por lo tanto, la altitud del pico más alto es igual a:
Altitud 5210 258.40 5468.40 m Ejemplo 7.6 Una caja rectangular tiene dimensiones de 8 cm por 6 cm de base y una altura de 4 cm, como se muestra en la figura. Obtener el ángulo formado por la diagonal de la base y la diagonal de una cara de 6 cm x 4 cm. B
C 4 cm
A
6 cm
8 cm
Resolución: Es necesario calcular la longitud de las diagonales que definen el ángulo , además de la longitud de la diagonal de la cara de dimensiones 8 cm x 4 cm; con estas tres longitudes se puede aplicar la ley de los cosenos para calcular el ángulo pedido. De esta forma se puede obtener:
81
2
2
7.21 cm
2
2
10 cm
2
2
8.94 cm
AB
6 4
AC
8 6
BC
8 4
Al aplicar la ley de los cosenos:
BC
2
AB
2
AC
2 AB
2
AC
cos
sustituyendo:
8.94
2
7.21
2
10
2
2 7.21
10
cos
79.92 51.98 100 144.2 cos 151.98 144.2 cos
cos
151.98 79.92 144.2
ang cos 0.5
o 60
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Sea el triángulo
C
b
A
82
a
c
B
Al considerar ciertas partes conocidas del triángulo ABC, determinar qué ley debe utilizar para calcular los datos solicitados, ley de los senos o la ley de los cosenos, y obtener dichos datos: a)
a 17 m
,
c 14 m
y
30
;
calcular b
b)
b 17 m
,
a 12 m
y
24
;
calcular
c)
c 189 cm
,
a 150 cm
y
85.3 ;
calcular
d)
a 25.7 cm
,
b 38.7 cm y
10.8 ;
calcular c
2.
Tres circunferencias de radios 115, 150 y 225 m, respectivamente, son tangentes entre sí por la parte externa. Determinar los ángulos del triángulo formado al unir los centros de las circunferencias.
3.
Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 84 en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas por hora, respectivamente, ¿a qué distancia se hallarán al cabo de 20 minutos?
4.
Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 metros de longitud. Calcular el ángulo más pequeño entre los lados.
5.
Como se muestra en la figura, un teleférico transporta pasajeros desde el punto A, que está a 1.2 millas del punto B que se halla en la base de una montaña, hasta un punto P de la cima de la montaña. Los ángulos de elevación de P desde A y B son 21° y 65°, respectivamente. a)
Calcular la distancia entre A y P.
b)
Calcular la altura de la montaña
P
A
21°
B
65°
1.2 millas
83
6.
Un camino recto forma un ángulo de 22º con la horizontal. Desde un punto P sobre el camino, el ángulo de elevación de un aeroplano en el punto A es de 57º. En el mismo instante, desde otro punto Q situado a 100 metros cuesta arriba, el ángulo de elevación es de 63º. Como se indica en la figura, los puntos P, Q y A están en el mismo plano vertical. Calcular la distancia desde P al aeroplano.
A
camino Q P
7.
22°
Las tejas en estrella se forman a partir de un rombo ABCD con lados de longitud 1 y un ángulo interior de 72º. Primero se ubica un punto P de la diagonal AC que está a una distancia 1 del vértice C y luego se dibujan los segmentos PB y PD a los otros vértices de la diagonal, como se muestra en la figura. Las dos tejas formadas reciben el nombre de dardo y cometa. En química molecular se han aplicado figuras tridimensionales similares a dichas tejas. Calcular la medida en grados de
1
B
Cometa 1
C
1 1
P 72°
Dardo A
84
BPC ,
1
D
APB y
ABP .
8.
Una catedral se encuentra sobre una colina, como se muestra en la figura. Cuando se observa la parte superior del campanario desde la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48°; cuando se ve a una distancia 200 pies desde la base de la colina, es de 41°. La colina se eleva a un ángulo de 32°. Calcular la altura de la catedral.
41°
48°
200 9.
En la siguiente figura, determinar la longitud de CD . Sugerencia: Determinar primero la longitud de BD . D
125° 30° A
85° B
4m
C
10. Mientras viaja en un auto a 60 km/h, hacia una montaña, un pasajero observa que el ángulo de elevación hacia la cima de la montaña es 12°. Cinco minutos después, mide el ángulo de elevación y es 18°. ¿Cuál es la altura de la montaña? 11. Calcular el área del siguiente triángulo:
3m
115°
4m
85
12. Se construye un puente sobre un cañón. La longitud del puente es de 1537 m. Desde el punto más bajo del cañón, los ángulos de elevación de los extremos del puente son 78° y 72°. ¿Cuál es la profundidad del cañón? 1537 m
h
78
72
13. Demostrar que el área de un cuadrilátero es la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales por el seno del ángulo entre las mismas. RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
a)
Ley de cosenos ,
b 8.5 m
b)
Ley de senos
35
c) d)
Ley de senos , Ley de cosenos,
,
52.28 c 14.3 cm
43.17 , 61.33 y 75.5 24 millas . 4. 24.98 5. a) 1.6 millas . b) 0.6 millas . 6. 628 m 7. 72 , 108 y 36 8. 350 pies . 3.9 m 9. 10. 3.1 km 11. 5.44 m 2 12. h 2859.64 m 2. 3.
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BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 1)
Earl W. Swokowski, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Segunda Edición 1988, Grupo Editorial Iberoamérica.
2)
Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer, Trigonometría, Segunda Edición 1991, McGraw-Hill.
3)
Arthur Goodman/Lewis Hirsch, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Segunda Edición, 1996, Prentice Hall
4)
Swokowski – Cole, Trigonometría, Octava Edición 1997, Thomson, editores.
5)
Stanley A. Smith, et al. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica Addison – Wesley Iberoamericana, S.A. Segunda Edición, 1997.
6)
*Maor E. (1998). Trigonometric Delights. New Jersey: Princeton University Press. O´Connor J. & Robertson E. The trigonometric functions. Disponible en: http://wwwhistory.mcs.st andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions.html
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