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x = 1+2t y= t . z=1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y por B. b) Halla el punto de la recta r que está a la misma distancia de A y de B.

1. [ANDA] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta dada por

2. [ANDA] [EXT-B] Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(2,-1,3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r. b) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas. 3. [ANDA] [JUN-A] Considera la recta r que pasa por los puntos A(1,0,-1) y B(-1,1,0). a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C(-2,3,2). b) Calcula la distancia de r a s. x + 2y - z = 3 2x - y + z = 1 a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas. b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto (1,1,0).

4. [ANDA] [JUN-B] Sea r la recta definida por

5. [ARAG] [EXT-A] a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta r:

mx+y = 2 x+ mz = 3

sea paralela al plano

: 2x-y-z+6 = 0. b) Determine la distancia del punto P= (2,1,1) a la recta r cuando m = 2. x = 3 + 2 -  y=1++ z=  b) Determine la ecuación de la recta perpendicular a  que pasa por el punto P= (1,0,1). Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos.

6. [ARAG] [EXT-B] a) Estudie la posición relativa de los planos: : x-y-z = 0 ; ':

-2x +z -1 = 0 3x -y -3 = 0 a) Determine la ecuación general del plano (Ax+By+Cz+D = 0) que contiene al punto P y a la recta s. b) Determine el águlo que forman el plano : 2x+y-z+1 = 0 y la recta s.

7. [ARAG] [JUN-A] Dados el punto P  (1,-1,0) y la recta: s:

x y+2 z-(1/2) 2x-4z = 2 ; z: = = x+y+z = 1 2 a 1 a) Deteremine la posición relativa de dichas rectas, según los diferentes valores de a. b) Si a = 2, determine el ángulo que forman las rectas r y s.

8. [ARAG] [JUN-B] Considere las rectas: r:

9. [ASTU] [EXT-A] Considere las rectas r1: x = z = 0 y r2:

x+y+z = 5 . 2x-y+3z = 1

a) Estudie la posición relativa de r1 y r2. b) Encuentre, si es posible, un plano paralelo a r1 y que contenga a r2. 10. [ASTU] [EXT-B] Halle el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano x+y-2z-1 = 0 con los eje coordenados. 11. [ASTU] [JUN-A] Considere el punto P(-1,0,1) y el plano : x-y+z+2 = 0. Calcule: a) Las ecuaciones de una recta que pase por el punto P y sea perpendicular al plano . b) La distancia d del punto P al plano .

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12. [ASTU] [JUN-B] Se consideran los puntos en el espacio A(0,-1,2), B(2,2,3) y C(0,0,3). a) Halle la ecuación general o implícita del plano  que pasa por A, B y C. b) Dé las ecuaciones de una recta perpendicular a  pasando por A.

13. [C-LE] [EXT-A] Sea el punto A(1,1,3) y la recta de ecuación r 

x-y+2 = 0 . z=2

a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. b) Calcular la distancia del punto A a la recta r.

14. [C-LE] [EXT-B] a) Dados el punto A(3,5,1), la recta r 

x-1 = y+2 = z+1 y el plano   3x-2y+z+5 = 0, determinar el punto B de  2

tal que la recta AB sea paralela a la recta r. b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1, que sea perpendicular a los vectores PQ y PR, siendo P(1,3,-1), Q(2,0,1) y R(-1,1,0).

15. [C-LE] [JUN-A] Sea  el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por r 

x-7 y+6 z+3 = = . -1 2 2

a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano . b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano . 16. [C-LE] [JUN-B] Calcular la recta contenida en el plano 1  x+y+z = 3, paralela al plano 2  x = 0, y que pasa por el punto simétrico de B(-1,1,1) respecto de 2. 17. [C-MA] [EXT-B] a) Estudia, en función del valor del parámetro a  , la posición relativa de los planos: 1  x+y-z = 3 ; 2  x-y+az = -1 ; 3  ax+y-z = 5 b) Calcula, en función del parámetro a  , la distancia entre los planos 1 y 3. x+2y-z = 1 x+y = 0 y s se corten en un punto. -x+y-3z = 2 3x+2y+z = a b) Para dicho valor de a, da la ecuación implícita de un plano  que contenga a r y s.

18. [C-MA] [JUN-A] a) Halla a para que las rectas r 

x+z = 1 , a, se pide: 2x+y+az = 0 a) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y  sean paralelos. b) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y  se corten perpendicularmente. c) Para a = 1, da la ecuación implícita de un plano ' que contenga a r y corte perpendicularmente a .

19. [C-MA] [JUN-B] Dados el plano   x-y = 4 y la recta r 

x+y-z = 0 . x-2z = 1 a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto P y sea paralela a la recta r. b) Hallar la ecuación general de un plano que para por el punto P y contenga a la recta r.

20. [CANA] [EXT-A] Sea P el punto de coordenadas P(1,0,1) y r la recta de ecuación r 

21. [CANA] [EXT-B] Determinar la posición relativa de los siguientes planos: x = -1+3-2 x-2 1 2 , 2  x+y+z = 2 , 3  y+1 2 3 = 0 1  y = 4+ z = -2+2-5 z 1 1 22. [CANA] [JUN-A] Dados los puntos A(-1,0,3), B(2,4,1) y C(-4,3,1): a) Estudiar si los puntos A, B y C están alineados. b) Hallar la ecuación de la recta paralela al segmento AB y que pasa por C. Expresarla como intersección de dos planos.

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23. [CANA] [JUN-B] Determinar el valor de a para que la recta r de ecuación

r 

x-y+2z = 2 2x+y+z = 3

sea paralela al plano

  x-ay+10z = -3.

24. [CATA] [EXT] Sean r y s las rectas de 3 que tienen las siguientes ecuaciones: r: x+5 = y-5 =

z-3 x-3 y-2 z+1 y s: = = . 2 2 3 -1

a) Estudie el paralelismo y la perpendicularidad entre las rectas r y s. b) Halle la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz = D) del plano  que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. Calcule la distancia entre la recta s y el plano  obtenido. 25. [CATA] [JUN] Considere el punto A(1,2,3). a) Calcule el punto simétrico del punto A respecto de la recta de ecuación r: (x,y,z) = (3+,1,3-). b) Calcule el punto simétrico del punto A respecto del plano que tiene de ecuación : x+y+z = 3. x-2 z+1 =y= y s: (x,y,z) = (1+2,3-,4+3), con . 3 4 a) Compruebe que los puntos medios de los segmentos que tienen un extremo situado sobre la recta r y el otro extremo situado sobre la recta s forman un plano. b) Halle la ecuación general (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz = D) del plano del apartado anterior.

26. [CATA] [JUN] Sean r y s las rectas de 3 de ecuaciones r:

27. [EXTR] [EXT-A] a) Calcule el valor del parámetro k para que la recta

r:

x+y+z = 0 x-y-z = 0

sea paralela al plano  de ecuación

kx+y+kz = 1. b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, calcule la distancia de la recta r al plano . 28. [EXTR] [EXT-B] En 3, considere los cuatro puntos A=(0,1,1), B=(-2,0,-1), C=(-1,1,0) y D=(-2,2,1), y sea r la recta que pasa por C y por D. a) Obtenga ecuaciones paramétricas de r. b) Halle los puntos P de la recta r para los que el triángulo APB sea rectángulo en su vértice P.

29. [EXTR] [JUN-A] Considere en 3 las rectas r:

x=0 , s: z=0

x+y = 1 . x-y = 1

a) Obtenga un vector director de la recta s. b) Obtenga el plano  que contiene a r y es paralelo a s. c) Obtenga el plano  que contiene a r y es perpendicular a s. 30. [EXTR] [JUN-B] a) Dado el plano 1 de ecuación z = 0, escriba las ecuaciones de dos planos 2 y 3 tales que los planos 1, 2 y 3 se corten dos a dos pero no exista ningún punto común a los tres. b) Clasifique el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos 1, 2 y 3. 31. [MADR] [EXT-A] Dados los puntos A(2,0,-2), B(3,-4,-1), C(5,4,-3) y D(0,1,4), se pide: a) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD. 32. [MADR] [EXT-A] Dados los planos 1  2x-z-1 = 0 ; 2  x+z+2 = 0 ; 3  x+3y+2z-3 = 0, se pide: a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por 1 y 2. b) Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano 3.

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33. [MADR] [EXT-B] Dados el plano  y la recta r siguentes:   2x-y+2z+3 = 0, r 

x = 1-2t y = 2-2t , se pide: z = 1+t

a) Estudiar la posición relativa de r y . b) Calcular la distancia entre r y . c) Obtener el punto P' simétrico de P(3,2,1) respecto del plano .

34. [MADR] [JUN-A] Dados el punto P(1,0,1), el plano   x+5y-6z = 1, y la recta r 

x=0 , se pide: z=0

a) Calcular el punto P' simétrico a P respecto de . b) Hallar la distancia de P a r. c) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y las intersecciones de  con los ejes coordenados OX, OY y OZ.

35. [MADR] [JUN-B] Dados el plano   2x-y = 2, y la recta r 

x=1 , se pide: y-2z = 2

a) Estudiar la posición relativa de r y . b) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a . c) Determinar la recta que pasa por A(-2,1,0), corta a r, y es paralela a . 36. [MURC] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a: x y z+6 x+3y = 8 ; s: = = r: 4y+z = 10 7 a-4 5a-6 b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas. 37. [MURC] [EXT-B] Considere la recta r y el plano  dados por las ecuaciones siguientes: x-2 y+4 z+1 = = y : 7x-y = 8 r: -4 0 3 a) Compruebe que la recta r corta al plano  y calcule el ángulo que forman. b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano .

38. [MURC] [JUN-A] a) Determine para qué valor del parámetro a la recta r:

x+y+z = 1 -x-2y+z = 0

es perpendicular al plano

: -6x+ay+2z = 0. b) Demuestre que si a = -8, la recta r corta al plano  en un punto y calcule dicho punto de corte. 39. [MURC] [JUN-B] Dos de los tres vértice de un triángulo son A=(1,1,1) y B=(1,1,3). El tercer vértice C está en la recta r que pasa por los puntos P=(-1,0,2) y Q=(0,0,2). a) Determine la ecuación de la recta r. b) Calcule las coordenadas del vértice C para que el área del triángulo sea 15 unidades cuadradas. Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas. 40. [RIOJ] [EXT] Sean u = (1,a,a), v = (0,0,1), w = (1,1,a). i) Halla los valores de a para los cuales los vectores u, v y w son ortogonales. ii) Determina los valores de a para los cuales el vector w está en el plano que contiene a O(0,0,0) y tiene por vectores directores a u y v. x = 3+2t y = 1-t , t. z = 1+3t i) Estudia, según los valores de , la posición relativa de plano  y la recta r.

41. [RIOJ] [EXT-A] Consideramos el plano : x-y+z = 0, y la recta r:

ii) Cuando  y r se corten en un punto, halla las coordenadas de dicho punto.

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42. [RIOJ] [JUN] i) Determina los valores de a que cumplen la ecuación ii) Halla un punto P de la recta

a 1 1 1 a 1 = 0. 4 2 a

y=0 que no sea coplanario con los puntos A(2,1,4), B(1,2,2) y C(1,1,2). z=0

43. [RIOJ] [JUN-A] Consideremos los puntos A(2,6,-3) y B(3,3,-2). i) Halla una ecuación para la recta r que contiene a los puntos A y B. ii) Determina una ecuación para el plano de los puntos que están a la misma distancia de A y B. iii) Halla el punto de intersección de la recta r con el plano x = 0. 44. [VALE] [EXT-A] Se dan los puntos A=(1,5,7) y B=(3,-1,-1). Se pide obtener razonadamente: a) Las ecuaciones de los planos 1 y 2 que son perpendiculares a la recta r que pasa por los puntos A y B, sabiendo que el plano 1 pasa por el punto A y el plano 2 pasa por el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A y B. b) La distancia entre los planos 1 y 2. c) Las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A y B, y los puntos de la recta r que están a distancia 3 del punto C=(1,0,1)

45. [VALE] [EXT-B] Se dan las rectas r

x-y = 0 y s z = 10

x+y = 8 . Obtener razonadamente: x+y+z = 13

a) Un vector director de cada recta. b) La ecuación del plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r. c) La distancia entre las rectas r y s.

46. [VALE] [JUN-A] Se dan el punto A=(-1,0,2) y las rectas r:

x-1 y = = z-2 y s: 3 2

x = -1-2 y = 1+3 . Obtener: z = 1+

a) La ecuación del plano  que pasa por el punto A y contiene a la recta r. b) La ecuación del plano  que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta s. c) Un vector dirección de la recta l intersección de los planos  y  y la distancia entre las rectas s y l. 47. [VALE] [JUN-B] Se da el triángulo T, cuyos vértices son A=(1,2,-2), B=(0,-3,1) y C=(-1,0,0), y los planos

1: x+y+z = 1

y

x = -++1 y = -2 . Obtener razonadamente: z = + a) La posición relativa del plano 1 y del plano que contiene al triángulo T.

2:

b) Un vector director n 1 perpendicular al plano 1 y un vactor n 2 perpendicular al plano 2 y el coseno del ángulo formado por los vectores n 1 y n 2. c) Las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos 1 y 2.

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