Secci´ on Cuarta SOBRE

LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO

Residuos y no residuos cuadr´ aticos. 94. Teorema. Al tomar un n´ umero cualquiera m como m´odulo, de los n´ umeros 1 0, 1, 2, 3 , . . . m − 1, m´as de 2 m + 1 no pueden ser congruentes a un cuadrado si m es par, ni m´as de 12 m + 12 pueden serlo cuando m es impar. Demostraci´on. Puesto que los cuadrados de n´ umeros congruentes son congruentes, cualquier n´ umero que pueda ser congruente a alg´ un cuadrado, tambi´en ser´a congruente a alg´ un cuadrado cuya ra´ız sea < m. Por consiguiente, basta considerar los residuos m´ınimos de los cuadrados 0, 1, 4, 9 , . . . (m−1)2 . Pero se nota f´acilmente que (m − 1)2 es ≡ 1, (m − 2)2 ≡ 22 , (m − 3)2 ≡ 32 , etc. De aqu´ı tambi´en, cuando m es par, los residuos m´ınimos de los cuadrados ( 12 m − 1)2 y ( 12 m + 1)2 , ( 12 m − 2)2 y ( 12 m + 2)2 , etc. ser´an los mismos: cuando m es impar, los cuadrados ( 12 m − 12 )2 y ( 12 m + 12 )2 , ( 12 m − 32 )2 y ( 12 m + 32 )2 , etc. ser´an congruentes. De donde es evidente que otros n´ umeros no pueden ser congruentes a un cuadrado, mas que aqu´ellos que sean congruentes a alguno de los cuadrados 0, 1, 4, 9 , . . . ( 12 m)2 cuando m es par; y cuando m es impar, cualquier n´ umero que sea congruente a alg´ un cuadrado necesariamente es congruente a alguno de los n´ umeros 0, 1, 4, 9 , . . . ( 12 m − 12 )2 . Por lo tanto, en el primer caso se presentar´an a lo sumo 12 m + 1 residuos m´ınimos diferentes; en el segundo caso a lo sumo 12 m + 12 . Q. E. D. Ejemplo. Seg´ un el m´odulo 13, los n´ umeros 0, 1, 4, 9, 3, 12, 10 se encuentran como los residuos m´ınimos de los cuadrados de 0, 1, 2, 3, . . . 6; despu´es de esto

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aparecen en el orden inverso 10, 12, 3 etc. Por lo tanto, si alg´ un n´ umero no es congruente a ninguno de estos residuos m´ınimos, o sea, no es congruente a ninguno de 2, 5, 6, 7, 8, 11, entonces no puede ser congruente a ning´ un cuadrado. Seg´ un el m´odulo 15 se encuentran los residuos 0, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4; despu´es de esto aparecen en el orden inverso. Aqu´ı, por lo tanto, el n´ umero de residuos que 1 1 pueden ser congruentes a un cuadrado es menor que 2 m + 2 , puesto que son 0, 1, 4, 6, 9, 10. Pero los n´ umeros 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14, y los que son congruentes a alguno de ´estos, no pueden ser congruentes a ning´ un cuadrado seg´ un el m´odulo 15.

95. De esto resulta que para cualquier m´odulo, todos los n´ umeros pueden separarse en dos clases, una de las cuales contiene los n´ umeros que pueden ser congruentes a alg´ un cuadrado, la otra contiene los que no pueden serlo. Llamaremos a los primeros residuos cuadr´aticos del n´ umero que tomamos como m´odulo*), y los segundos no residuos cuadr´ aticos, o tambi´en, cuando no se origina ambig¨ uedad alguna simplemente residuos y no residuos. Es claro que basta poner en clases a los n´ umeros 0, 1, 2, . . . m − 1, puesto que todos los n´ umeros congruentes deber´an pertenecer a una misma clase. Iniciaremos esta investigaci´on con los m´odulos primos, lo cual deber´a por consiguiente entenderse aunque no se exprese verbalmente. Hay que excluir el n´ umero primo 2: se considerar´an solamente los n´ umeros primos impares.

Cuando el m´odulo es un n´ umero primo, el n´ umero de residuos menores que el m´ odulo es igual al n´ umero de no residuos menores. 96. Al tomar un n´ umero primo p como m´odulo, la mitad de los n´ umeros 1, 2, 3, . . . p − 1 ser´an residuos cuadr´ aticos, los restantes ser´an no residuos, i.e., se 1 presentar´an 2 (p − 1) residuos y otros tantos no residuos. *) En este caso, propiamente lo usamos con un sentido diferente al que hemos uasado hasta ahora. En efecto, conviene decir: r es un residuo del cuadrado a2 seg´ un el m´odulo m cuando r ≡ a2 (mod. m). Pero, por brevedad, en esta secci´ on decimos siempre que r es un residuo cuadr´atico de m mismo, para no tener ninguna ambig¨ uedad. Entonces desde ahora en adelante no usaremos la expresi´ on residuo para denotar un n´ umero congruente, salvo si se trata de residuos m´ınimos donde no pueda haber duda alguna.

MODULOS QUE SON NUMEROS PRIMOS.

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De hecho, se demuestra f´acilmente que todos los cuadrados 1, 4, 9, . . . 14 (p − 1)2 son incongruentes. En efecto, si pudiera ser r2 ≡ (r0 )2 (mod. p) y los n´ umeros r, 1 0 0 r distintos y no mayores que 2 (p − 1), poniendo r > r , resultar´ıa (r − r0 )(r + r0 ) positivo y divisible por p. Pero cada factor r − r0 y r + r0 es menor que p, por tanto la suposici´on no puede valer (art. 13). As´ı, se tienen 12 (p − 1) residuos cuadr´aticos contenidos entre los n´ umeros 1, 2, 3 , . . . p − 1; de hecho, no puede haber m´as de umero ellos puesto que al agregar el residuo 0, se producen 12 (p + 1) de ellos, y este n´ no puede exceder el n´ umero de todos los residuos. Por consiguiente, los restantes n´ umeros ser´an no residuos y el n´ umero de ellos = 12 (p − 1). Puesto que cero siempre es un residuo, lo excluimos de nuestras investigaciones, lo mismo que a los n´ umeros divisibles por el m´odulo. Puesto que este caso es claro por s´ı mismo, u ´nicamente dificultar´ıa la simetr´ıa del teorema. Por las mismas razones tambi´en hemos excluido el m´odulo 2.

97. Puesto que mucho de lo que expondremos en esta secci´on tambi´en podr´a derivarse de los principios de las secciones anteriores, y como no es in´ util estudiar a fondo la misma verdad por medio de m´etodos diferentes, explicaremos esta relaci´on. Se comprende f´acilmente que todos los n´ umeros congruentes a un cuadrado tienen ´ındices pares; mientras que los que no pueden de ning´ un modo ser congruentes a un cuadrado, los tienen impares. Puesto que p − 1 es un n´ umero par, tantos ´ındices 1 ser´an pares como impares, a saber 2 (p − 1), y entonces se presentar´an tantos residuos como no residuos. Ejemplo. Para el m´odulo. . . . . . los residuos son 3. . . . . . 1. 5. . . . . . 1, 4. 7. . . . . . 1, 2, 4. 11. . . . . . 1, 3, 4, 5, 9. 13. . . . . . 1, 3, 4, 9, 10, 12. 17. . . . . . 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 etc. y el resto de los n´ umeros menores que el m´odulo son no residuos.

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La cuesti´on de si un n´ umero compuesto es un residuo o un no residuo de un n´ umero primo dado depende de la naturaleza de los factores. 98. Teorema. El producto de dos residuos cuadr´aticos de un n´ umero primo p es un residuo; el producto de un residuo con un no residuo es un no residuo; finalmente, el producto de dos no residuos es un residuo. Demostraci´on. I. Sean A y B los residuos resultantes de los cuadrados a2 y b2 o sea A ≡ a2 , B ≡ b2 . El producto AB ser´a congruente al cuadrado del n´ umero ab, i.e., es un residuo. II. Cuando A es un residuo, por ejemplo ≡ a2 , pero B es un no residuo, AB ser´a un no residuo. Si fuera un residuo, p´ongase AB ≡ k2 , y sea el valor de la expresi´on ka (mod. p) ≡ b; as´ı tendr´ıamos a2 B ≡ a2 b2 , de donde B ≡ b2 , i.e., B es un residuo, contrariamente a la hip´otesis. Otra demostraci´on. Entre los n´ umeros 1, 2, 3 , . . . p − 1 (el n´ umero de ellos 1 = 2 (p − 1)), multipl´ıquense por A todos los que sean residuos. Todos los productos ser´an residuos cuadr´aticos, y ciertamente todos ser´an incongruentes. Ahora, si se multiplica el no residuo B por A, el producto no ser´a congruente a ninguno de los productos que ya se tienen; por lo tanto si fuera un residuo, se tendr´ıan 12 (p + 1) residuos incongruentes, entre los cuales todav´ıa no est´a el residuo 0, contrariamente al art. 96. III. Sean A y B no residuos. Entre los n´ umeros 1, 2, 3 , . . . p − 1, multipl´ıquense por A todos los que sean residuos. Se tendr´an 12 (p − 1) no residuos incongruentes entre s´ı (II); ahora el producto AB no puede ser congruente a ninguno de ellos. Entonces, si fuera un no residuo, se tendr´ıan 12 (p + 1) no residuos incongruentes entre s´ı, contra el art. 96. Por lo tanto el producto etc. Q. E. D. Estos teoremas pueden ser derivados m´as f´acilmente de los principios de la secci´on anterior. De hecho, puesto que los ´ındices de los residuos siempre son pares, y los ´ındices de los no residuos impares, el ´ındice del producto de dos residuos o de dos no residuos ser´a par, de donde el producto mismo ser´a un residuo. Por el contrario, el ´ındice del producto de un residuo y un no residuo ser´a impar y, por lo tanto, el producto mismo un no residuo. Cualquier m´etodo de demostraci´on tambi´en puede aplicarse para estos umeros teoremas: el valor de la expresi´ on ab (mod. p) ser´a un residuo cuando los n´ a y b sean a la vez residuos o a la vez no residuos; al contrario, ser´ a un no residuo cuando uno de los n´ umeros a o b sea un residuo y el otro un no residuo. Tambi´en pueden obtenerse al aplicar los teoremas precedentes.

MODULOS QUE SON NUMEROS COMPUESTOS.

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99. En general, el producto de factores cualesquiera es un residuo ya sea cuando todos los factores son residuos o cuando todos son no residuos y el n´ umero de ellos es par. Pero cuando el n´ umero de los no residuos que quedan entre los factores es impar, el producto ser´a un no residuo. As´ı puede decidirse f´acilmente si un n´ umero compuesto es residuo o no, si de alg´ un modo se conoce cada uno de sus factores. Por lo tanto, hemos incluido solamente los n´ umeros primos en la tabla II. Esta es la organizaci´on de la tabla. En la orilla se han colocado los m´odulos*), con los n´ umeros primos consecutivos arriba. Cuando uno de ´estos es un residuo de alg´ un m´odulo, se coloca un gui´on en el espacio correspondiente a los dos, pero cuando el n´ umero primo es un no residuo del m´odulo, el espacio correspondiente queda en blanco.

Sobre los m´odulos que son numeros compuestos. 100. Antes de proceder a temas m´as dif´ıciles, debemos agregar algo acerca de los m´odulos no primos. umero primo p (donde Si se toma como m´odulo alguna potencia pn del n´ suponemos que p no es 2) la mitad de todos los n´ umeros no divisibles por p y menores que el m´odulo ser´an residuos, la otra mitad ser´a no residuos, i.e., el n´ umero de cada 1 n−1 uno = 2 (p − 1)p . De hecho, si r es un residuo, ser´a congruente a alg´ un cuadrado cuya ra´ız no supera la mitad del m´odulo, v´ease art. 94. Ahora se nota f´acilmente que se presentan 1 n−1 n´ umeros menores que la mitad del m´odulo y no divisibles por p. As´ı, 2 (p − 1)p falta demostrar que los cuadrados de todos estos n´ umeros son incongruentes, o sea producen residuos cuadr´aticos diferentes. Si los cuadrados de dos n´ umeros a y b no divisibles por p y menores que la mitad del m´odulo fueran congruentes, tendr´iamos a2 − b2 o sea (a − b)(a + b) divisible por pn (suponemos que a > b). Pero esto no puede suceder a menos que, o bien uno de los n´ umeros a − b, a + b sea divisible por n p , lo que no puede ser, puesto que los dos son < pn ; o bien uno por pm y el otro por pn−m , i.e., ambos por p. Pero esto tampoco puede suceder. En efecto, es claro que la suma y diferencia de 2a y 2b tambi´en ser´ıan divisibles por p, de donde tambi´en a y b, contrariamente a la hip´otesis.– De esto se sigue, finalmente, que entre los n´ umeros no divisibles por p y menores que el m´odulo se presentan 12 (p−1)pn residuos; *) Pronto mostraremos c´ omo podemos tratar con los m´ odulos compuestos tambi´en.

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los restantes, que son la misma cantidad, son no residuos. Q.E.D.– Este teorema tambi´en puede derivarse de las consideraciones de los ´ındices tal como en el art. 97.

101. Cualquier n´ umero no divisible por p, que es un residuo de p, tambi´en ser´a un n residuo de p ; pero si es un no residuo de p, tambi´en ser´a un no residuo de pn . La u ´ltima parte de esta proposici´on es muy clara. Si la primera parte fuera falsa, entre los n´ umeros menores que pn y a la vez no divisibles por p, habr´ıa m´as residuos de p que de pn , i.e., m´as de 12 pn−1 (p − 1). Pero, puede verse con facilidad que el n´ umero de residuos del n´ umero p entre esos n´ umeros es precisamente 1 n−1 = 2 p (p − 1). Es igualmente f´acil encontrar expl´ıcitamente un cuadrado congruente, seg´ un n el m´odulo p , a un residuo dado, si se tiene el cuadrado congruente a este residuo seg´ un el m´odulo p. En efecto, si se tiene un cuadrado a2 que es congruente al residuo dado A un el m´odulo seg´ un el m´odulo pμ , se puede encontrar un cuadrado congruente a A seg´ ν p (donde se supone ν > μ e = ´o < 2μ) de la siguiente manera. P´ongase la ra´ız del cuadrado deseado = ±a+xpμ . Se ve f´acilmente que debe tener esta forma, y debe ser a2 ≡ ±2axpμ + x2 p2μ ≡ A (mod. pν ), o sea, puesto que 2μ > ν, A − a2 ≡ ±2axpμ d (mod. pν ). Si A − a2 = pμ d, x ser´a un valor de la expresi´on ± 2a (mod. pν−μ ), que 2

ν es equivalente a ± A−a 2apμ (mod. p ). Por lo tanto, dado un cuadrado congruente a A seg´ un el m´odulo p, se deduce 2 de all´ı un cuadrado congruente a A seg´ un el m´odulo p ; de aqu´ı podemos ascender a 4 8 p , de all´ı a p etc.

Ejemplo. Propuesto el residuo 6 que es congruente al cuadrado 1 seg´ un el un 25, congruente a 162 m´odulo 5, encontramos que es congruente al cuadrado 92 seg´ seg´ un 125, etc.

102. Con respecto a los n´ umeros divisibles por p, es claro que sus cuadrados ser´an 2 divisibles por p , de donde todos los n´ umeros divisibles por p pero no por p2 ser´an umero pk A, donde A no es divisible no residuos de pn . En general, si se propone un n´ por p, podemos distinguir los siguientes casos:

MODULOS QUE SON NUMEROS COMPUESTOS.

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1) Cuando k = ´o > n, tendremos pk A ≡ 0 (mod. pn ), i.e., un residuo. 2) Cuando k < n e impar, pk A ser´a un no residuo.

De hecho, si tuvieramos pk A = p2χ+1 A ≡ s2 (mod. pn ), s2 ser´ıa divisible por ´nicamente podr´ıa ser el caso si s fuera divisible por pχ+1 . Entonces, p2χ+1 y ´este u tambi´en s2 ser´a divisible por p2χ+2 y as´ı tambi´en (puesto que en realidad 2χ + 2 no es mayor que n) pk A i.e., p2χ+1 A; o sea, A es divisible por p, contrariamente a la hip´otesis. 3) Cuando k < n y par. Entonces pk A ser´a un residuo o un no residuo seg´ un que A sea un residuo o un no residuo de p. De hecho, cuando A de es un residuo de p, ser´a tambi´en un residuo de pn−k . Suponiendo que A ≡ a2 (mod. pn−k ), obtendremos que Apk ≡ a2 pk (mod. pn ) y que a2 pk es un cuadrado. Pero, cuando A es un no residuo de p, pk A no puede ser un residuo de pn . De hecho, si pk A ≡ a2 (mod. pn ), necesariamente a2 ser´a divisible por pk . El cociente ser´a un un el m´odulo cuadrado congruente a A seg´ un el m´odulo pn−k , de donde tambi´en seg´ p, contrariamente a la hip´otesis. pn ,

103. Puesto que hemos excluido el caso p = 2, hay que decir algo sobre ´el. Cuando el n´ umero 2 es el m´odulo, cualquier n´ umero ser´a un residuo y ninguno ser´a un no residuo. Pero cuando 4 es el m´odulo, todos los n´ umeros impares de la forma 4k + 1 ser´an residuos, mientras que todos los de la forma 4k + 3 ser´an no residuos. Finalmente, cuando 8 o una potencia mayor del n´ umero 2 es el m´odulo, todos los n´ umeros impares de la forma 8k + 1 ser´an residuos, pero los restantes que son de las formas 8k + 3, 8k + 5, y 8k + 7 ser´an no residuos. La u ´ltima parte de esta proposici´on es clara porque el cuadrado de cualquier n´ umero impar, sea bien de la forma 4k + 1, o bien de la forma 4k − 1, ser´a de la forma 8k + 1. La primera parte la demostramos a continuaci´on: 1) Si la suma o diferencia de dos n´ umeros es divisible por 2n−1 , los cuadrados de dichos n´ umeros ser´an congruentes seg´ un el m´odulo 2n . Pues, si se pone uno de ellos = a, el otro ser´a de la forma 2n−1 h ± a, cuyo cuadrado es ≡ a2 (mod. 2n ). 2) Cualquier n´ umero impar que es un residuo cuadr´atico de 2n , ser´a congruente a alg´ un cuadrado cuya ra´ız es un n´ umero impar y < 2n−2 . Sea pues a2 cualquier cuadrado al cual el n´ umero es congruente y sea el n´ umero a ≡ ±α (mod. 2n−1 ) de manera que α no supere la mitad del m´odulo (art. 4). Entonces tendremos a2 ≡ α2 ,

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y el n´ umero propuesto ser´a tambi´en ≡ α2 . Pero entonces es claro que tanto a como α ser´an impares y α < 2n−2 . 3) Los cuadrados de todos los n´ umeros impares menores que 2n−2 ser´an umeros tales, cuyos cuadrados incongruentes seg´ un 2n . De hecho, si r y s son dos n´ n fueran congruentes seg´ un 2 , (r − s)(r + s) ser´ıa divisible por 2n (suponiendo que r > s). Pero se ve f´acilmente que los n´ umeros r − s y r + s, no pueden ser divisibles a la vez por 4; por lo tanto si uno es divisible s´olo por 2, el otro deber´a ser divisible por 2n−1 para que el producto sea divisible por 2n . Q.E.A., puesto que cada uno es < 2n−2 . 4) Si finalmente se reducen estos cuadrados a sus residuos m´ınimos positivos, se obtendr´an 2n−3 residuos cuadr´aticos diferentes menores que el m´odulo*) y cada uno ser´a de la forma 8k + 1. Sin embargo, como existen precisamente 2n−3 n´ umeros de la forma 8k + 1 menores que el m´odulo, todos estos n´ umeros deben ser residuos. Q. E. D. Para encontrar un cuadrado congruente a un n´ umero dado de la forma 8k + 1 n seg´ un el m´odulo 2 , puede emplearse un m´etodo como en el art. 101; v´ease tambi´en art. 88. – Finalmente, lo mismo que hemos expuesto en general en el art. 102 vale para los n´ umeros pares.

104. Si A es un residuo de se deriva con facilidad de lo anterior lo siguiente acerca del n´ umero de valores diferentes un el m´odulo) √ (i.e., de losn incongruentes seg´ que admiten una expresi´on como V = A (mod. p ). (Suponemos, como antes, que el n´ umero p es primo y, por brevedad, incluimos aqu´ı el caso n = 1). I. Si A no es divisible por p, V tiene un valor u ´nico para p = 2, n = 1, a saber V = 1; dos valores cuando p es impar, o cuando p = 2, n = 2, a saber, al poner uno de ellos ≡ v, el otro ser´a ≡ −v; cuatro valores para p = 2, n > 2, en efecto, al poner uno de ellos ≡ v, los restantes ser´an ≡ −v, 2n−1 + v, 2n−1 − v. II. Si A es divisible por p, pero no por pn , sea p2μ la potencia m´as alta de p que divide a A, (de hecho, es claro que este exponente deber´a ser par) y tendremos A = ap2μ . Entonces, es claro que todos los valores de V ser´an divisibles por pμ , √ y los cocientes que resultan de la divisi´on ser´an valores de la expresi´on V 0 = a (mod. pn−2μ ); de donde producir´an todos los valores diferentes de V , al multiplicar pn ,

*) Porque el n´ umero de enteros impares menores que 2n−2 es 2n−3 .

MODULOS QUE SON NUMEROS COMPUESTOS.

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todos los valores de la expresi´on V 0 situados entre 0 y pn−μ por pμ . Por lo tanto se representar´an por vpμ , vpμ + pn−μ , vpμ + 2pn−μ , . . . vpμ + (pμ − 1)pn−μ donde el valor indeterminado v representa todos los valores diferentes de la expresi´on umero de ellos ser´a pμ , 2pμ , o 4pμ , seg´ un que el n´ umero de V 0 , de modo que el n´ 0 valores de V (por el caso I) sea 1, 2 o 4. III. Si A es divisible por pn , se ve f´acilmente, al colocar n = 2m ´o = 2m − 1, seg´ un sea par o impar, que todos los n´ umeros divisibles por pm son valores de V y no hay otros. Por consiguiente todos los valores diferentes ser´an 0, pm , 2pm , . . . (pn−m − 1)pm y el n´ umero de ellos es pn−m .

105. Falta el caso donde el m´odulo m est´a compuesto de varios n´ umeros primos. Sea m = abc . . . donde a, b, c, etc. denotan n´ umeros primos diferentes o potencias de n´ umeros primos diferentes. Es claro aqu´ı que si n es un residuo de m, tambi´en ser´a n un residuo de cada uno de los n´ umeros a, b, c, etc., de donde n ciertamente ser´a un no residuo de m, si es un no residuo de alguno de los n´ umeros a, b, c, etc. Y vice-versa: si n es un residuo de cada uno de a, b, c, etc., tambi´en ser´a un residuo del producto m. Pues, al suponer que n ≡ A2 , B 2 , C 2 , etc., mod. a, b, c, etc. respectivamente, es claro, si se deriva un n´ umero N congruente a A, B, C, un etc. seg´ un el m´odulo a, b, c, etc. respectivamente (art. 32), se tendr´a n ≡ N 2 seg´ todos estos m´odulos y tambi´en seg´ un su producto m. Se nota f´acilmente c´omo de √ una combinaci´on de cualquier valor de A, es decir n (mod. a), con cualquier valor √ de B, y con cualquier valor de C etc. resulta un valor de N, o de la expresi´on n (mod. m). Adem´as, diferentes combinaciones del producto dan diferentes valores de N y todas las combinaciones dan todos los valores de N. El n´ umero de todos los diferentes valores de N ser´a igual al producto de los n´ umeros de valores de A, B, C, etc. que ense˜ namos a determinar en el art´ıculo anterior. – Adem´as, es claro que si √ un valor de la expresi´on n (mod. m) o de N es conocido, a la vez ser´a ´este un valor de A, B, C, etc. Puesto que seg´ un el art´ıculo anterior, pueden deducirse todos los restantes valores de estas cantidades, sigue f´acilmente que, de un valor de N, pueden obtenerse todos los restantes.

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Ejemplo. Sea el m´odulo 315, del cual se desea saber si 46 es residuo o no residuo. Los divisores primos del n´ umero 315 son 3, 5, y 7; y el n´ umero 46 es un residuo de cada uno y por tanto tambi´en residuo de 315. Adem´as, puesto que 46 ≡ 1, y ≡ 64 (mod. 9); ≡ 1 y ≡ 16 (mod. 5); ≡ 4 y ≡ 25 (mod. 7), se encuentran las ra´ıces de los cuadrados a los que 46 es congruente seg´ un el m´odulo 315, que son los n´ umeros 19, 29, 44, 89, 226, 271, 289, 296.

Criterio general sobre si un n´ umero dado es un residuo de un n´ umero primo dado. 106. De lo anterior se concluye: si s´olo se puede decidir si un n´ umero primo dado es un residuo o un no residuo de un n´ umero primo dado, todos los casos restantes pueden reducirse a esto. Por lo tanto debemos dirigir todos nuestros estudios a investigar criterios verdaderos para este caso. Antes de llevar a cabo esta investigaci´on presentaremos un criterio derivado de la secci´on anterior, el cual en la pr´actica casi nunca tiene utilidad, pero que por su simplicidad y generalidad debe mencionarse. Cualquier n´ umero A no divisible por un n´ umero primo 2m + 1 es un residuo m o no residuo de este n´ umero primo seg´ un A ≡ +1 o ≡ −1 (mod. 2m + 1). Sea pues a el ´ındice del n´ umero A para el m´odulo 2m + 1 en un sistema cualquiera; a ser´a par cuando A es un residuo de 2m + 1, e impar cuando es un no un residuo. Pero, el ´ındice del n´ umero Am ser´a ma, i.e., ≡ 0 o ≡ m (mod. 2m) seg´ m a sea par o impar. De aqu´ı finalmente en el primer caso A ser´a ≡ +1, pero en el siguiente ≡ −1 (mod. 2m + 1). V´ease art´ıculos 57 y 62. Ejemplo. 3 es un residuo de 13 ya que 36 ≡ 1 (mod. 13), pero 2 es un no residuo de 13, puesto que 26 ≡ −1 (mod. 13). Tan pronto como los n´ umeros por examinarse sean moderadamente grandes, este criterio ser´a completamente in´ util a causa de la inmensidad del c´alculo.

Investigaciones sobre los n´ umeros primos cuyos residuos o no residuos sean n´ umeros dados. 107. Dado un m´odulo, es muy f´acil caracterizar todos los n´ umeros que son residuos o no residuos. Es claro: si se coloca este n´ umero = m, deben determinarse los cuadrados cuyas ra´ıces no superan la mitad de m, o tambi´en n´ umeros congruentes a

RESIDUO −1.

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estos cuadrados seg´ un m (en la pr´actica se presentan m´etodos m´as f´aciles). Entonces, todos los n´ umeros congruentes a alguno de ´estos seg´ un m ser´an residuos de m, y todos los n´ umeros no congruentes a ninguno de ellos ser´an no residuos. – Pero la situaci´on inversa, propuesto alg´ un n´ umero, asignar todos los n´ umeros, de los cuales aqu´el sea un residuo o no residuo, es un obst´aculo mucho m´as grande. Este problema, de cuya soluci´on depende lo que hemos propuesto en el art´ıculo precedente, ser´a estudiado a fondo en lo siguiente, comenzando con los casos m´as sencillos.

Residuo −1. 108. Teorema. −1 es un residuo cuadr´atico de todos los n´ umeros primos de la forma 4n + 1, pero es un no residuo de todos los n´ umeros primos de la forma 4n + 3. Ejemplo. −1 es un residuo de los n´ umeros 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, etc. originado de los cuadrados de los n´ umeros 2, 5, 4, 12, 6, 9, 23, 11, 27, 34, 22, etc. respectivamente; al contrario, es un no residuo de los n´ umeros 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, etc. Ya hemos mencionado este teorema en el art´ıculo 64. La demostraci´on se obtiene f´acilmente del art. 106. Pues, para un n´ umero primo de la forma 4n + 1 se 2n umero de la forma 4n + 3 se tiene (−1)2n+1 ≡ −1. tiene (−1) ≡ 1, pero para un n´ Esta demostraci´on concuerda con la del art´ıculo mencionado. Sin embargo, por la elegancia y utilidad del teorema, mostraremos otra soluci´on.

109. Denotamos al conjunto de todos los residuos del n´ umero primo p, menores que p, excluyendo el residuo 0, por la letra C. Puesto que el n´ umero de estos residuos p−1 siempre ser´a = 2 , es claro que ser´a par si p es de la forma 4n + 1, pero impar si p es de la forma 4n + 3. Por semejanza con el art. 77 donde se hablaba sobre n´ umeros en general, se llaman residuos asociados a dos n´ umeros cuyo producto ≡ 1 (mod. p). De hecho, es claro que si r es un residuo, tambi´en 1r (mod. p) ser´a un residuo. Puesto que un mismo residuo no puede tener m´as asociados entre los residuos C, es evidente que todos los residuos C pueden distribuirse en clases, de las cuales cada una contenga dos residuos asociados. Ahora, es claro, si no se presenta ning´ un residuo que no est´e asociado a s´ı mismo, i.e., si cada clase contuviera dos residuos diferentes, el n´ umero de todos los residuos ser´ıa el doble del n´ umero de todas las clases. Pero, si se presenta

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SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

algunos residuos que son sus propios asociados, i.e., algunas clases que contienen un residuo u ´nico, o, si se quiere, contienen el mismo residuo dos veces, y si se pone el n´ umero de estas clases = a, y el n´ umero de las restantes = b, entonces el n´ umero de todos los residuos C ser´a = a + 2b. De donde, cuando p es de la forma 4n + 1, a ser´a un n´ umero par. Cuando p es de la forma 4n + 3, a ser´a impar. Pero, no hay n´ umeros menores que p, salvo 1 y p − 1, que puedan estar asociados consigo mismos (v´ease art. 77). En el primer caso, 1 est´a entre los residuos; por lo tanto p − 1 (´o −1 que vale lo mismo) debe ser un residuo, pero en el segundo caso, debe ser un no residuo. Pues, en un caso ser´a a = 1, y en el otro = 2, lo cual es imposible.

110. Tambi´en esta demostraci´on se debe al ilustre Euler, quien tambi´en encontr´o por primera vez el m´etodo anterior (v´ease Opuscula Analytica, T.1, p. 135). Con facilidad, se ver´a que ella est´a basada en principios semejantes a los de nuestra segunda demostraci´on del teorema de Wilson (art. 77). Pero si suponemos este teorema, la demostraci´on podr´ia simplificarse mucho. Es claro que entre los n´ umeros p−1 1, 2, 3 , . . . p − 1 habr´a 2 residuos cuadr´aticos de p y otros tantos no residuos. Por lo que el n´ umero de residuos ser´a par cuando p es de la forma 4n + 1; impar, cuando p es de la forma 4n + 3. De aqu´ı concluimos que el producto de todos los n´ umeros 1, 2, 3, , . . . p − 1 ser´a un residuo en el primer caso, un no residuo en el otro caso (art. 99). Pero este producto siempre ≡ −1 (mod. p); de donde −1 es un residuo en el primer caso y en el segundo caso ser´a un no residuo.

111. As´ı, si r es un residuo de alg´ un n´ umero primo de la forma 4n + 1, tambi´en −r ser´a un residuo de este primo; todos los no residuos de tal n´ umero se mantendr´an como no residuos, aunque se cambie el signo*). Lo contrario vale para los n´ umeros primos de la forma 4n + 3, cuyos residuos, cuando se cambia de signo, se convierten en no residuos y viceversa (v´ease art. 98). Adem´as de lo que precede, es f´acil derivar una regla general: −1 es un residuo de todos los n´ umeros no divisibles ni por 4 ni por ning´ un n´ umero primo de la forma 4n + 3. El es un no residuo de todos los restantes. V´eanse art. 103 y 105. *) Por eso, cuando hablamos de cualquier n´ umero, sea un residuo o no residuo de un n´ umero de la forma 4n + 1, podremos ignorar completamente el signo o bien emplear el signo doble ±.

RESIDUOS +2 Y −2.

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Residuos +2 y −2. 112. Llegamos a los residuos +2 y −2. Si de la tabla II recogemos todo n´ umero primo del cual +2 es un residuo, tendremos: 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97. Es f´acil observar que entre estos n´ umeros ninguno es de la forma 8n + 3 ni 8n + 5. Veamos si de esta inducci´on puede hacerse una certidumbre. Notamos primero que todo n´ umero compuesto de la forma 8n + 3 u 8n + 5 necesariamente involucra un factor primo de una de las dos formas 8n + 3 u 8n + 5. Pues, es claro que n´ umeros primos de la forma 8n + 1 u 8n + 7 pueden formar u ´nicamente n´ umeros que son de la forma 8n + 1 u 8n + 7. Por lo tanto, si nuestra inducci´on es cierta en general, no se presentar´a ning´ un n´ umero de la forma 8n + 3 u 8n + 5 cuyo residuo sea +2. Pero, ciertamente, no existe ning´ un n´ umero de esta forma menor que 100 del cual +2 es un residuo. Sin embargo, si se encuentran tales n´ umeros m´as all´a de este l´ımite, sea el menor de todos ellos = t. As´ı pues t ser´a o de la forma 8n + 3 o de la forma 8n + 5; +2 ser´a un residuo de t, pero un no residuo de todos los n´ umeros semejantes menores que t. Si se pone 2 ≡ a2 (mod. t), siempre a podr´a tomarse como impar y a la vez < t, (puesto que a tendr´a al menos dos valores positivos menores que t cuya suma = t, de los cuales uno es par y el otro impar, v´eanse art. 104 y 105). Por la misma raz´on, sea a2 = 2 + tu, es decir tu = a2 − 2, a2 ser´a de la forma 8n + 1, tu por lo tanto de la forma 8n − 1, y as´ı u ser´a de la forma 8n + 3 u 8n + 5 seg´ un sea t de la segunda forma o de la primera forma. Pero, de la 2 ecuaci´on a = 2 + tu se sigue tambi´en que 2 ≡ a2 (mod. u), i.e., 2 tambi´en ser´a un residuo de u. Pero con facilidad se percibe que u < t, de donde t no es el n´ umero menor en nuestra inducci´on, contrariamente a la hip´otesis. As´ı se sigue claramente que lo que hab´ıamos encontrado por inducci´on para el caso general es verdadero. Al combinar esto con la proposici´on del art. 111, encontramos los siguientes teoremas: I. +2 ser´a un no residuo y −2 un residuo de todos los n´ umeros primos de la forma 8n + 3. II. Tanto +2 como −2 ser´an no residuos de todos los n´ umeros primos de la forma 8n + 5.

113. Mediante una inducci´on semejante a la de la tabla II se encuentran que −2

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SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

es un residuo de los siguientes n´ umeros primos: 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97*). Puesto que ning´ uno de ellos es de la forma 8n + 5 u 8n + 7, investigaremos entonces si es que esta inducci´on puede tener la fuerza de un teorema general. Se demuestra de modo semejante al art´ıculo anterior que todo n´ umero compuesto de la forma 8n + 5 u 8n + 7 involucra un factor primo de la forma 8n + 5 u 8n + 7, de tal manera que, si nuestra generalizaci´on es cierta, −2 no puede ser un residuo de ning´ un n´ umero de la forma 8n + 5 u 8n + 7. Pero si tales n´ umeros existen, sea el menor de 2 ellos = t y tendremos −2 = a − tu. Si como antes se toma a impar y menor que t, u ser´a de la forma 8n + 5 u 8n + 7 seg´ un que t sea de la forma 8n + 7 u 8n + 5. 2 Pero de a + 2 = tu y a < t podr´a derivarse f´acilmente tambi´en que u ser´a menor que t. Finalmente, −2 ser´a un residuo de u, i.e., t no ser´a el menor n´ umero de los que −2 es residuo, contradiciendo la hip´otesis de nuestra inducci´on. Por lo que −2 necesariamente es un no residuo de todos los n´ umeros de las formas 8n + 5 y 8n + 7. Al combinarse esto con la proposici´on del art. 111, se obtienen estos teoremas: I. Tanto −2 como +2 son no residuos de todos los n´ umeros primos 8n + 5, tal como vimos en el art´ıculo anterior. II. −2 es un no residuo y +2 es un residuo de todos los n´ umeros primos de la forma 8n + 7. Adem´as, en ambas demostraciones habr´ıamos podido tomar a como un n´ umero par. Pero entonces, habr´ıamos tenido que distinguir el caso donde a fuera de la forma 4n + 2 del caso en donde a fuera de la forma 4n. El desarrollo procede tal como antes sin dificultad alguna.

114. Falta el caso en que el n´ umero primo es de la forma 8n + 1. Pero esto no se puede resolver por el m´etodo anterior y exige artificios muy particulares. Sea a cualquier ra´ız primitiva para el m´odulo 8n + 1, por lo que a4n ≡ −1 (mod. 8n + 1) (art. 62). Tal congruencia puede tambi´en expresarse en la forma (a2n + 1)2 ≡ 2a2n (mod. 8n + 1), o bien por (a2n − 1)2 ≡ −2a2n . De donde se sigue que tanto 2a2n como −2a2n son residuos de 8n + 1; pero puesto que a2n es un cuadrado no divisible por el m´odulo, es claro tambi´en que tanto +2 como −2 ser´an residuos (art. 98). *) Esto es considerando a −2 como producto de +2 y −1. V´ease art. 111.

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RESIDUOS +2 Y −2.

115. No ser´a in´ util agregar ahora otra demostraci´on de este teorema. Esta guarda una relaci´on con la anterior como la segunda demostraci´on (art. 109) del teorema del art. 108 con la primera (art. 108). Los peritos notar´an f´acilmente que las dos demostraciones no son tan diferentes como quiz´as aparentan al principio, tanto en el primer caso como en el segundo. I. Entre los n´ umeros 1, 2, 3, . . . 4m menores que un m´odulo primo cualquiera de la forma 4m + 1, aparecer´an m n´ umeros que pueden ser congruentes a un bicuadrado, mientras que los restantes 3m no podr´an ser congruentes. Esto se deriva f´acilmente de los principios de la secci´on anterior, pero tambi´en sin ´estos la demostraci´on es f´acil. En efecto, hemos demostrado que para tal m´odulo umero −1 siempre es un residuo cuadr´atico. Sea as´ı f 2 ≡ −1. Es claro que si z es un n´ cualquiera no divisible por el m´odulo, los bicuadrados de los cuatro n´ umeros +z, −z, +f z, −f z (se percibe con facilidad que dos cualesquiera de ellos son incongruentes) son congruentes entre s´ı. Adem´as, es claro que el bicuadrado de un n´ umero cualquiera que no es congruente a ninguno de estos cuatro no puede ser congruente a los bicuadrados de ellos (en efecto, la congruencia x4 ≡ z 4 , la cual es de cuarto grado, tendr´ıa m´as de cuatro ra´ıces, contrariamente al art. 43). De esto se deduce f´acilmente que todos los n´ umeros 1, 2, 3, . . . 4m dan lugar a m bicuadrados no congruentes y que entre estos mismos n´ umeros se encontrar´an m n´ umeros congruentes a ´estos, mientras que los restantes no podr´an ser congruentes a ning´ un bicuadrado. II. Seg´ un un m´odulo primo de la forma 8n + 1, −1 podr´a ser congruente a un bicuadrado (−1 ser´a un residuo bicuadr´atico de este n´ umero primo). De hecho, el n´ umero de residuos bicuadr´aticos menores que 8n+1 (excluyendo a cero) ser´a = 2n, i.e., par. Adem´as, se muestra f´acilmente que, si r es un residuo bicuadr´atico de 8n + 1, tambi´en ser´a un residuo el valor de la expresi´on 1 aticos podr´an distribuirse en r (mod. 8n + 1). De esto: todos los residuos bicuadr´ clases de modo semejante a como los distribuimos en el art. 109. La parte restante de la demostraci´on procede exactamente de la misma manera que all´ı. III. Ahora, sea g4 ≡ −1 y h un valor de la expresi´on tanto, ser´a

1 g

(mod. 8n + 1). Por

(g ± h)2 = g 2 + h2 ± 2gh ≡ g 2 + h2 ± 2 (ya que gh ≡ 1). Pero g4 ≡ −1 as´ı que −h2 ≡ g 4 h2 ≡ g 2 de donde g2 + h2 ≡ 0 y (g ± h)2 ≡ ±2, i.e., tanto +2 como −2 son residuos cuadr´aticos de 8n + 1. Q. E. D.

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SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

116. La siguiente regla general se deduce f´acilmente de lo anterior: +2 es un residuo de cualquier n´ umero que no puede dividirse ni por 4 ni por ning´ un n´ umero primo de la forma 8n + 3 u 8n + 5, pero es un no residuo de los restantes (por ejemplo, de todos los n´ umeros de la forma 8n + 3 y 8n + 5 tanto primos como compuestos). −2 es un residuo de cualquier n´ umero que no puede dividirse ni por 4, ni por ning´ un primo de la forma 8n+5 u 8n+7; pero de todos los restantes es un no residuo. El sagaz Fermat tambi´en conoci´o estos teoremas tan elegantes (Op. Mathem., p. 168). Aunque afirm´o tener una demostraci´on, nunca la present´o. Luego, el ilustre Euler la busc´o siempre en vano, pero fue el ilustre Lagrange qui´en logr´o la primera demostraci´on rigurosa, (Nouv. M´em. de l’Ac. de Berlin, 1775, p. 349, 351). El ilustre Euler parece no haberla visto cuando escribi´o su disertaci´on conservada en su Opusc. Analyt., (T. I., p. 259).

Residuos +3 y −3. 117. Pasamos a los residuos +3 y −3. Iniciamos con el segundo de ellos. De la tabla II encontramos que −3 es un residuo de estos n´ umeros primos: 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, entre los cuales no se encuentra ninguno de la forma 6n + 5. Demostramos de la manera siguiente que tampoco afuera de los l´ımites de la tabla existen primos de esta forma, de los cuales −3 es un residuo. Primero, es claro que cualquier n´ umero compuesto de la forma 6n + 5 involucra necesariamente alg´ un factor primo de la misma forma. Por lo tanto, hasta el punto en que no exista ning´ un n´ umero primo de la forma 6n + 5 cuyo residuo sea −3, tampoco existir´a un n´ umero compuesto con esta propiedad. Si tales n´ umeros existen fuera de los l´ımites de nuestra tabla, sea el menor de todos = t y sea −3 = a2 − tu. Por lo tanto, si a se toma par y menor que t, tendremos u < t y −3 ser´a un residuo de u. Pero cuando a es de la forma 6n ± 2, tu ser´a de la forma 6n + 1, de donde u es de la forma 6n + 5. Q. E. A., puesto que hemos supuesto que t es el menor de los n´ umeros contrariamente a nuestra inducci´on. Pero cuando a es de la forma 6n, ser´a tu de la forma 36n + 3, as´ı que 13 tu ser´a de la forma 12n + 1, por lo que 13 u ser´a de la forma 6n + 5; pero es claro que −3 ser´a tambi´en un residuo de 13 u aunque 13 u < t, Q. E. A. Por lo tanto es claro que −3 no puede ser un residuo de ning´ un n´ umero de la forma 6n + 5. Ya que cualquier n´ umero de la forma 6n + 5 est´a contenido necesariamente entre aqu´ellos de la forma 12n + 5 o 12n + 11 y puesto que la primera es de la forma

RESIDUOS +3 Y −3.

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4n + 1 y la segunda de la forma 4n + 3, se tienen los siguientes teoremas: I. Tanto −3 como +3 son no residuos de cualquier n´ umero primo de la forma 12n + 5. II. −3 es un no residuo y +3 es un residuo de cualquier n´ umero primo de la forma 12n + 11.

118. Los n´ umeros que encontramos en la tabla II y que tienen residuo +3 son: 3, 11, 13, 23, 37, 47, 59, 61, 71, 73, 83, 97; entre ellos, ninguno es de la forma 12n + 5 o 12n + 7. Puede comprobarse exactamente como en los art´ıculos 112, 113 y 117 que no existe ning´ un n´ umero de las formas 12n + 5 ni 12n + 7 cuyo residuo sea +3, por lo que suprimimos este desarrollo. Combinando estos resultados con los del art. 111 tenemos los siguentes teoremas: I. Tanto +3 como −3 son no residuos de cualquier n´ umero primo de la forma 12n + 5 (tal como ya encontramos en el art´ıculo anterior). II. +3 es un no residuo y −3 es un residuo de cualquier n´ umero primo de la forma 12n + 7.

119. Mediante este m´etodo, no se puede descubrir nada con respecto a los n´ umeros de la forma 12n + 1, por lo que exigen artificios particulares. Por una inducci´on se deduce f´acilmente que +3 y −3 son residuos de todos los n´ umeros primos de esta forma. Pero, es claro que debe demostrarse solamente que −3 es un residuo de tales n´ umeros, ya que necesariamente +3 ser´a un residuo (art. 111). Sin embargo demostraremos m´as generalmente que −3 es un residuo de cualquier n´ umero primo de la forma 3n + 1. Sea p un primo de este tipo y a un n´ umero que, para el m´odulo p, pertenece al exponente 3 (los cuales existen por el art. 54, ya que 3 es divisor de p − 1). Por eso ser´a a3 ≡ 1 (mod. p), i.e., a3 − 1 o sea (a2 + a + 1)(a − 1) ser´a divisible por p. Pero es claro que a no puede ser ≡ 1 (mod. p), ya que 1 pertenece al exponente 1, por lo que a − 1 no ser´a divisible por p, pero a2 + a + 1 lo ser´a, y de all´ı tambi´en 4a2 + 4a + 4, i.e., ser´a (2a + 1)2 ≡ −3 (mod. p) o sea −3 es un residuo de p. Q. E. D.

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SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

Adem´as, es evidente que esta demostraci´on (que es independiente de las precedentes) tambi´en comprende n´ umeros primos de la forma 12n + 7, a los que ya nos referimos en un art´ıculo anterior. Conviene observar que se podr´ia usar el m´etodo de los art´ıculos 109 y 115, pero por brevedad no nos detenemos en estos detalles.

120. De lo precedente se obtienen f´acilmente los siguientes teoremas (ver art. 102, 103 y 105). I. −3 es un residuo de todos los n´ umeros que no pueden dividirse ni por 8, ni por 9, ni por ning´ un n´ umero primo de la forma 6n + 5, y es un no residuo de todos los restantes. II. +3 es un residuo de todos los n´ umeros que no pueden dividirse ni por 4, ni por 9, ni por ning´ un primo de la forma 12n + 5 o 12n + 7, y es un no residuo de todos los restantes. Se tiene aqu´ı este caso particular: −3 es un residuo de todos los n´ umeros primos de la forma 3n + 1, o lo que es lo mismo, de todos los que son residuos de 3. Pero es un no residuo de todos los n´ umeros primos de la forma 6n + 5, o excluido 2, de todos los primos de la forma 3n + 2, i.e., de todos los primos que son no residuos de 3. Se ve f´acilmente que todos los casos restantes se siguen naturalmente de ´este. Fermat ya conoc´ıa las proposiciones sobre los residuos +3 y −3, Opera de Wallis, T. II, p. 857. Pero el ilustre Euler fue el primero en dar demostraciones, Comm. nov. Petr., T. VIII, p. 105 y siguientes. Esto resulta m´as admirable puesto que las demostraciones de las proposiciones pertenecientes a los residuos +2 y −2 est´an basadas en artificios bastante parecidos. V´ease tambi´en el comentario del ilustre Lagrange en Nouv. M´em. de l’ Ac. de Berlin, 1775, p. 352.

Residuos +5 y −5. 121. Por inducci´on se descubre que +5 no es un residuo de ning´ un n´ umero impar de la forma 5n + 2 o 5n + 3, i.e., de ning´ un n´ umero impar que sea no residuo de 5. Se demuestra que esta regla no tiene excepci´on alguna. Sea el n´ umero menor que constituya una excepci´on de esta regla = t, ´este por lo tanto es un no residuo del

RESIDUOS +5 Y −5.

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n´ umero 5, pero 5 es un residuo de t. Sea a2 = 5 + tu tal que a sea par y menor que t. Entonces u ser´a impar y menor que t, pero +5 ser´a un residuo de u. Ahora si a no es divisible por 5, tampoco lo ser´a u. Pero es claro que tu es un residuo de 5, por lo que, puesto que t es un no residuo de 5, tampoco lo ser´a u, i.e., existe un no residuo impar del n´ umero 5 cuyo residuo es +5, pero menor que t, contrariamente a la hip´otesis. Si por otro lado a es divisible por 5, se pone a = 5b y u = 5v de donde tv ≡ −1 ≡ 4 (mod. 5), i.e., tv ser´a un residuo del n´ umero 5. En lo restante la demostraci´on procede de manera an´aloga al caso anterior.

122. Tanto +5 como −5 ser´an no residuos de todos los n´ umeros primos que simult´aneamente son no residuos de 5 y de la forma 4n + 1, i.e., de todos los n´ umeros primos de la forma 20n + 13 o 20n + 17. Pero +5 ser´a un no residuo y −5 un residuo de todos los n´ umeros primos de la forma 20n + 3 o 20n + 7. Puede demostrarse de modo parecido que −5 es un no residuo de todos los n´ umeros primos de las formas 20n + 11, 20n + 13, 20n + 17 y 20n + 19. Se nota umeros primos de la forma f´acilmente de aqu´ı que +5 es un residuo de todos los n´ 20n+11 o 20n+19, pero no residuo de todos los de la forma 20n+13 o 20n+17. Puesto que cada n´ umero primo, aparte de 2 y 5 (cuyos residuos son ±5), est´a contenido en alguna de las formas 20n + 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, es claro que se puede juzgar ahora a todos, excepto a los que son de la forma 20n + 1 o de la forma 20n + 9.

123. Por inducci´on se descubre f´acilmente que +5 y −5 son residuos de todos los n´ umeros primos de la forma 20n+1 o 20n+9. Ahora bien, si esto es cierto en general, se tendr´a una ley elegante, +5 es un residuo de todos los n´ umeros primos que sean residuos de 5 (pues ´estos est´an contenidos en una u otra de las formas 5n +1 o 5n +4, o en una de estas otras 20n +1, 9, 11, 19, de las cuales la tercera y la cuarta ya se han tratado), pero es un no residuo de todos los n´ umeros impares que son no residuos de 5, como ya lo hemos demostrado antes. Ahora es claro que este teorema es suficiente para juzgar si +5 (y tambi´en −5 si se considera como producto de +5 y −1) es un residuo o un no residuo de cualquier n´ umero dado. Finalmente se observa la analog´ıa de este teorema con aqu´el que presentamos en el art. 120 sobre el residuo −3.

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SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

Pero la verificaci´on de esta inducci´on no es tan f´acil. Cuando se presenta un n´ umero primo de la forma 20n + 1, o m´as generalmente de la forma 5n + 1, este asunto puede resolverse de un modo similar al de los art´ıculos 114 y 119. De hecho, sea a un n´ umero cualquiera perteneciente al exponente 5 para el m´odulo 5n + 1, el cual evidentemente existe por la secci´on anterior, y se tendr´a a5 ≡ 1, o sea (a − 1)(a4 + a3 + a2 + a + 1) ≡ 0 (mod. 5n + 1). Pero no puede ser a ≡ 1, por eso tampoco a − 1 ≡ 0; necesariamente ser´a a4 + a3 + a2 + a + 1 ≡ 0. Por lo tanto tambi´en 4(a4 + a3 + a2 + a + 1) = (2a2 + a + 2)2 − 5a2 ser´a ≡ 0, i.e., 5a2 ser´a un residuo de 5n + 1, de donde tambi´en lo ser´a 5, ya que a2 es un residuo no divisible por 5n + 1 (pues a no es divisible por 5n + 1 porque a5 ≡ 1). Q. E. D. Pero el caso donde se presenta un n´ umero primo de la forma 5n + 4 exige artificios m´as sutiles. Puesto que las proposiciones que necesitamos aqu´ı se tratar´an con m´as generalidad en lo que sigue, aqu´ı lo tocamos brevemente. I. Si p es un n´ umero primo y b un no residuo cuadr´atico dado de p, el valor de la expresi´on √ √ (x + b)p+1 − (x − b)p+1 √ (A) . . . b (se observa con facilidad que el desarrollo de ´esta carece de irracionales) siempre ser´a divisible por p, cualquiera que sea el n´ umero que se tome para x. De hecho, es claro de la inspecci´on de los coeficientes que se obtienen del desarrollo de A, que todos los t´erminos desde el segundo al pen´ ultimo (inclusive) son divisibles por p y p−1 que A ≡ 2(p + 1)(xp + xb 2 ) (mod. p). Pero ya que b es un no residuo de p, ser´a p−1 b 2 ≡ −1 (mod. p), (art. 106); pero xp siempre es ≡ x (secci´on anterior), de donde A ≡ 0. Q. E. D. II. En la congruencia A ≡ 0 (mod. p) la indeterminada x tiene exponente p y todos los n´ umeros 0, 1, 2, . . . p − 1 ser´an ra´ıces de ella. Ahora, t´omese a e como un divisor de p + 1. La expresi´on (x +

√ √ e b) − (x − b)e √ b

(la cual denotamos por B), si se desarrolla, no tendr´a irracionales, la indeterminada x tendr´a exponente e − 1, y resulta de los primeros elementos del an´alisis que A es divisible (algebraicamente) por B. Ahora digo que existen e − 1 valores de x, que sustituidos en B, hacen B divisible por p. En efecto, si A ≡ BC, x tendr´a exponente p − e + 1 en C, y la congruencia C ≡ 0 (mod. p) tendr´a no m´as que p − e + 1 ra´ıces.

RESIDUOS +7 Y −7.

93

De donde resulta evidente que todos los e − 1 n´ umeros restantes entre 0, 1, 2, 3, . . . p − 1, ser´an ra´ıces de la congruencia B ≡ 0. III. Ahora sup´ongase que p es de la forma 5n + 4, e = 5, b es un no residuo de p, y el n´ umero a se determina tal que (a +

√ √ 5 b) − (a − b)5 √ b

es divisible por p. Pero esa expresi´on es = 10a4 + 20a2 b + 2b2 = 2((b + 5a2 )2 − 20a4 ) Por lo tanto, tambi´en (b + 5a2 )2 − 20a4 ser´a divisible por p, i.e., 20a4 es un residuo de p; pero ya que 4a4 es un residuo no divisible por p (de hecho, se comprueba f´acilmente que a no puede dividirse por p), tambi´en 5 ser´a un residuo de p. Q. E. D. El teorema enunciado en el comienzo de este art´ıculo resulta verdadero. Notamos que las demostraciones para ambos casos se deben al ilustre Lagrange, M´em. de l’Ac. de Berlin, 1775, p. 352 y siguientes.

Sobre ±7. 124. Por un m´etodo similar se demuestra: −7 es un no residuo de cualquier n´ umero que sea no residuo de 7. Y por inducci´on se puede concluir: −7 es un residuo de cualquier n´ umero primo que sea residuo de 7. Pero nadie ha demostrado esto rigurosamente hasta ahora. La demostraci´on es f´acil para los residuos de 7 cuya forma es 4n − 1; en efecto, por el m´etodo conocido del art´ıculo precedente puede mostrarse que +7 siempre es un no residuo de tales n´ umeros primos y as´ı −7 es un residuo. Pero con esto se logra poco, ya que, los casos restantes no pueden tratarse con este m´etodo. S´olo podemos resolver un caso de modo similar a los art´ıculos 119 y 123. A saber: si p es un n´ umero primo de la forma 7n + 1, y a pertenece al exponente 7 para el m´odulo p, se observa f´acilmente que: 4(a7 − 1) = (2a3 + a2 − a − 2)2 + 7(a2 + a)2 a−1

94

SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

es divisible por p, de donde −7(a2 + a)2 ser´a un residuo de p. Pero (a2 + a)2 , como un cuadrado, es un residuo de p y no divisible por p; puesto que se supone que a pertenece al exponente 7, no puede ser ni ≡ 0, ni ≡ −1 (mod. p), i.e., ni a ni a + 1 ser´an divisibles por p, ni tampoco lo ser´a el cuadrado (a + 1)2 a2 . De donde tambi´en es evidente que −7 ser´a un residuo de p. Q.E.D.– Pero los n´ umeros primos de la forma 7n + 2 o 7n + 4 no se prestan a ninguno de los m´etodos tratados hasta ahora. Esta demostraci´on tambi´en fue encontrada primeramente por el ilustre Lagrange en la misma obra.– Posteriormente, en la Secci´on VII, ense˜ naremos m´as generalmente 4(xp −1) que la expresi´on x−1 siempre puede reducirse a la forma X 2 ∓ pY 2 (donde hay que tomar el signo superior cuando p es n´ umero primo de la forma 4n + 1 y el inferior cuando es de la forma 4n + 3). Aqu´ı X e Y denotan funciones racionales de x, libres de fracciones. El ilustre Lagrange no desarroll´o su an´alisis m´as all´a del caso p = 7 (vea p. 352 de su obra).

Preparaci´on para la investigaci´on general. 125. Puesto que los m´etodos precedentes no son suficientes para asegurar las demostraciones generales, es momento para exponer otro m´etodo libre de este defecto. Iniciamos con un teorema cuya demostraci´on por mucho tiempo nos eludi´o, aunque a primera vista parezca tan obvio como para que algunos ni siquiera hayan reconocido la necesidad de una demostraci´on. Es ´este: Cualquier n´ umero, excepto los cuadrados tomados positivamente, es un no residuo de algunos n´ umeros primos. Pero ya que usamos este teorema solamente como una ayuda para demostrar otros, no explicamos m´as que aquellos casos que necesitaremos para este fin. Los casos restantes se dar´an m´as adelante. Demostremos por tanto que cualquier n´ umero primo de la forma 4n+1 tomado positiva o negativamente*) es un no residuo de algunos n´ umeros primos, y, de hecho, (si es > 5) de algunos primos que son menores que s´ı mismo. Primero, cuando se presenta un n´ umero primo p de la forma 4n + 1 (> 17; aunque −13N3 y −17N5) tomado negativamente, sea 2a el primer n´ umero par mayor √ 2 que p; entonces se ve f´acilmente que 4a siempre ser´a < 2p o sea 4a2 − p < p. Pero 4a2 − p es de la forma 4n + 3 mientras que +p es un residuo cuadr´atico de 4a2 − p (ya que p ≡ 4a2 (mod. 4a2 − p)). Por eso si 4a2 − p es un n´ umero primo, −p ser´a un no 2 residuo de ´el; si no, necesariamente alg´ un factor de 4a − p ser´a de la forma 4n + 3; como +p tambi´en debe ser un residuo de ´el, −p ser´a un no residuo. Q. E. D. *) Es claro que +1 debe ser excluido.

PREPARACION PARA LA INVESTIGACION GENERAL.

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Para un n´ umero primo tomado positivamente distinguimos dos casos. Primero q sea p un n´ umero primo de la forma 8n + 5; sea a cualquier n´ umero positivo < 12 p. umero positivo de la forma 8n + 5 u 8n + 3 (seg´ un Entonces 8n + 5 − 2a2 ser´a un n´ que a sea par o impar) y por lo tanto necesariamente divisible por alg´ un primo de la forma 8n + 3 u 8n + 5, puesto que el producto de cualquier cantidad de n´ umeros de la forma 8n + 1 y 8n + 7 no puede tener ni la forma 8n + 3 ni 8n + 5. Sea este producto = q, as´ı que 8n + 5 ≡ 2a2 (mod. q). Pero 2 ser´a un no residuo de q (art. 112); as´ı tambi´en 2a2 *) y 8n + 5. Q. E. D.

126. Que cualquier n´ umero primo de la forma 8n+1 tomado positivamente siempre es un no residuo de alg´ un n´ umero primo menor que ´el, no puede demostrarse por artificios tan obvios. Como esta verdad es de gran importancia, no podemos excluir la demostraci´on rigurosa aunque sea algo prolija. Comencemos como sigue: Lema: Si se tienen dos series de n´ umeros, A, B, C, etc. . . . (I),

A0 , B 0 , C 0 , etc. . . . (II)

(no interesa si el n´ umero de t´erminos en un caso es el mismo que en el otro o no) confeccionadas de manera que, si p denota un n´ umero primo cualquiera o la potencia de un n´ umero primo, cuando p divide alg´ un t´ermino de la segunda serie (o varios), habr´a por lo menos tantos t´erminos de la primera serie divisibles por p. Entonces, afirmo que el producto de todos los n´ umeros (I) ser´a divisible por el producto de todos los n´ umeros (II). Ejemplo. Conste (I) de los n´ umeros 12, 18, 45; (II) de los n´ umeros 3, 4, 5, 6, 9. Entonces, si tomamos sucesivamente los n´ umeros 2, 4, 3, 9, 5, encontramos que hay 2, 1, 3, 2, 1 t´erminos en (I) y 2, 1, 3, 1, 1 t´erminos en (II) que son, respectivamente, divisibles por dichos n´ umeros y el producto de todos los t´erminos (I) = 9720 es divisible por el producto de todos los t´erminos (II), 3240. Demostraci´on. Sea el producto de todos los t´erminos (I) = Q, y el producto de umero primo todos los t´erminos de la serie (II) = Q0 . Es evidente que cualquier n´ 0 que es divisor de Q tambi´en ser´a divisor de Q. Ahora mostraremos que cualquier *) Art. 98. De hecho a2 es un residuo de q no divisible por q, pues de lo contrario el n´ umero primo p tambi´en ser´ıa divisible por q. Q.E.A.

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SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

factor primo de Q0 tiene un grado en Q al menos tan alto como lo tiene en Q0 . Sea tal divisor p y supongamos que en la serie (I) hay a t´erminos divisibles por p, b t´erminos divisibles por p2 , c t´erminos divisibles por p3 , etc. Las letras a0 , b0 , c0 , etc. denotan lo similar de la serie (II), y se ve f´acilmente que p tiene exponente a + b + c + etc. en Q, y a0 + b0 + c0 + etc. en Q0 . Pero ciertamente a0 no es mayor que a, b0 no es mayor que b etc. (por hip´otesis); por lo que a0 + b0 + c0 + etc. ciertamente no ser´a > a + b + c + etc.– Puesto que ning´ un n´ umero primo puede tener mayor exponente 0 0 en Q que en Q, Q ser´a divisible por Q (art. 17). Q. E. D.

127. Lema: En la progresi´on 1, 2, 3, 4, . . . n no puede haber m´as t´erminos divisibles por cualquier n´ umero h, que en la progresi´on a, a + 1, a + 2, . . . a + n − 1, que contiene el mismo n´ umero de t´erminos. En efecto se nota sin dificultad que si n es un m´ ultiplo de h, en ambas n ultiplo de progresiones habr´a h t´erminos que ser´an divisibles por h; si n no es m´ h, p´ongase n = eh + f , de manera que f sea < h. En la primera serie e t´erminos ser´an divisibles por h, y en la segunda lo ser´an e o e + 1 t´erminos. Como corolario de esto se sigue una proposici´on conocida de la teor´ıa de los n´ umeros figurados; a saber, que a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n − 1) 1 · 2 · 3 · ...n siempre es un n´ umero entero. Pero si no nos equivocamos, nadie lo ha demostrado directamente. Finalmente, este lema puede expresarse en forma m´as general: En la progresi´on a, a + 1, a + 2, . . . a + n − 1 existen por lo menos tantos t´erminos congruentes seg´ un el m´odulo h a un n´ umero dado cualquiera r como t´erminos divisibles por h haya en 1, 2, 3, . . . n.

128. Teorema. Sea a un n´ umero cualquiera de la forma 8n + 1, p cualquier n´ umero primo a a cuyo residuo es +a, y finalmente m un n´ umero arbitrario: entonces yo afirmo que en la progresi´ on a,

1 1 1 (a − 1), 2(a − 4), (a − 9), 2(a − 16), . . . 2(a − m2 ) o (a − m2 ) 2 2 2

PREPARACION PARA LA INVESTIGACION GENERAL.

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seg´ un que m sea par o impar, existen por lo menos tantos t´erminos divisibles por p como existan en la progresi´on: 1, 2, 3, . . . 2m + 1 Denotamos por (I) la primera progresi´on, por (II) la segunda. Demostraci´on. I. Cuando p = 2, en (I) todos los t´erminos aparte del primero, i.e., m t´erminos ser´an divisibles; habr´a igual n´ umero tambi´en en (II). II. Sea p un n´ umero impar, o el doble de un n´ umero impar, o el cu´adruplo 2 de un n´ umero impar, y a ≡ r (mod. p). Entonces, en la progresi´on −m, −(m − 1), −(m−2), . . . +m (la que tiene el mismo n´ umero de t´erminos que (II) y que denotamos por (III)) por lo menos tantos t´erminos ser´an congruentes a r, seg´ un el m´odulo p, como t´erminos en (II) sean divisibles por p (art´ıculo precedente). Entre ellos no pueden haber dos iguales en magnitud que difieran en signo*). Cada uno de ellos tendr´a un valor correspondiente en la serie (I), el cual ser´a divisible por p. Por supuesto, si ±b es un t´ermino de la serie (III) congruente a r seg´ un el m´odulo p, 2 a − b ser´a divisible por p. Por lo tanto, si por un lado b es par, el t´ermino de la serie (I), 2(a − b2 ) ser´a divisible por p. Por otro lado, si b es impar, el t´ermino 12 (a − b2 ) 2

ser´a entero par, dado que a − b2 es ser´a divisible por p: pues es evidente que a−b p divisible por 8, pero p es divisible a lo sumo por 4 (de hecho, por hip´otesis a es de la umero impar, es de la misma forma; forma 8n + 1 y b2 , por ser el cuadrado de un n´ por lo que la diferencia ser´a de la forma 8n). De esto finalmente se concluye que tantos t´erminos en la serie (I) son divisibles por p, como en (III) sean congruentes a r seg´ un el m´odulo p, i.e., igual n´ umero o m´as de los que son divisibles por p en (II). III. Sea p de la forma 8n y a ≡ r2 (mod. 2p). Entonces se observa f´acilmente que a, que por hip´otesis es un residuo de p, ser´a tambi´en un residuo de 2p. Entonces, en la serie (III) habr´a por lo menos tantos t´erminos congruentes a r, seg´ un p, como en la (II) sean divisibles por p, y todos ellos ser´an de magnitudes diferentes. Pero a cada uno de ellos corresponder´a alg´ un t´ermino divisible por p en (I). En efecto, si +b 2 2 o −b ≡ r (mod. p), ser´a b ≡ r (mod. 2p) †), de donde el t´ermino 12 (a − b2 ) ser´a *) En efecto, si fuera r ≡ −f ≡ +f (mod. p), 2f ser´ıa divisible por p; por lo tanto, tambi´en 2a (puesto que f 2 ≡ a (mod. p)). Pero esto es posible u ´nicamente cuando p = 2, pues por hip´otesis a es primo a p. Pero sobre este caso ya hemos hablado por separado.

†) De hecho, b2 − r2 = (b − r)(b + r) estar´a compuesto de dos factores, uno de los cuales es divisible por p (hip´otesis) y el otro por 2 (puesto que tanto b como r son impares); de donde b2 − r2 es divisible por 2p.

98

SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

divisible por p. Por lo que en (I) ser´an divisibles por p por lo menos tantos t´erminos como en (II). Q. E. D.

129. Teorema. Si a es un n´ umero primo de la forma 8n + 1, necesariamente √ habr´a alg´ un n´ umero primo menor que 2 a + 1 del cual a sea un no residuo. √ Demostraci´on. Sea a un residuo de todos los primos menores que 2 a + 1. Entonces, se observar´a con facilidad que a tambi´en ser´a un residuo de todos los √ n´ umeros compuestos menores que 2 a + 1 (refi´erase a las reglas por las cuales aprendimos a deducir si un n´ umero dado es un residuo de un n´ umero compuesto √ o no: art. 105). Sea m el mayor entero menor que a. Entonces en la serie 1 1 1 (I) (a − 1), 2(a − 4), (a − 9), . . . 2(a − m2 ) o (a − m2 ) 2 2 2 √ ser´an divisibles por alg´ un n´ umero menor que 2 a + 1 tantos o m´as t´erminos como en ´esta: 1, 2, 3, 4, . . . 2m + 1 (art. precedente) (II) a,

De esto se sigue que el producto de todos los t´erminos en (I) es divisible por el producto de todos los t´erminos en (II) (art. 126). Pero esto o es un que m sea = a(a − 1)(a − 4) · · · (a − m2 ) o bien la mitad de este producto (seg´ 2 par o impar). Por lo que el producto a(a − 1)(a − 4) · · · (a − m ) puede dividirse por el producto de todos los t´erminos en (II), y, puesto que todos estos t´erminos son primos a a, tambi´en lo ser´a su producto, omitido el factor a. Pero el producto de todos los t´erminos de (II) tambi´en puede presentarse as´ı: (m + 1) · ((m + 1)2 − 1) · ((m + 1)2 − 4) · · · · ((m + 1)2 − m2 ) Por lo tanto 1 a−1 a−4 a − m2 · · · · · · m + 1 (m + 1)2 − 1 (m + 1)2 − 4 (m + 1)2 − m2 ser´a un n´ umero entero, aunque sea un producto de fracciones menores que la unidad: √ √ puesto que en efecto a necesariamente debe ser irracional, ser´a m + 1 > a. Y por lo tanto (m + 1)2 > a. De esto finalmente se concluye que nuestra suposici´on no puede tener lugar. Q. E. D. √ Ahora, puesto que ciertamente a > 9, tendremos 2 a + 1 < a. Por lo tanto existir´a alg´ un primo < a del cual a es un no residuo.

POR INDUCCION SE APOYA UN TEOREMA GENERAL.

99

Por inducci´on se apoya un teorema general (fundamental), y se deducen algunas conclusiones de ´el. 130. Despu´es de haber demostrado rigurosamente que cada n´ umero primo de la forma 4n + 1, tomado positivo o negativamente, es un no residuo de alg´ un n´ umero primo menor que ´el mismo, pasamos entonces a una comparaci´on m´as exacta y m´as general de los n´ umeros primos, para ver cuando uno es un residuo o un no residuo del otro. Con todo rigor, hemos demostrado arriba que −3 y +5 son residuos o no residuos de todos los n´ umeros primos que son residuos o no residuos respectivamente de 3 y 5. Se encuentra por inducci´on que los n´ umeros −7, −11, +13, +17, −19, −23, +29, −31, +37, +41, −43, −47, +53, −59, etc., son residuos o no residuos de todos los n´ umeros primos, los cuales tomados positivamente, resultan residuos o no residuos de estos primos respectivamente. Esta inducci´on puede llevarse a cabo f´acilmente con ayuda de la tabla II. Quienquiera, con un poco de atenci´on, notar´a que de estos n´ umeros primos aqu´ellos con signo positivo son los de la forma 4n + 1, y los de signo negativo son los de la forma 4n + 3.

131. Demostraremos en seguida que lo que descubrimos por inducci´on tiene lugar en general. Pero, antes de entrar en este trabajo, ser´a necesario extraer todo lo que sigue de este teorema, si se supone verdadero. Enunciamos el teorema mismo as´ı: Si p es un n´ umero primo de la forma 4n + 1, +p ser´ a un residuo o no residuo de cualquier n´ umero primo que, tomado positivamente, es un residuo o no residuo del mismo p. Si p es un n´ umero primo de la forma 4n + 3, −p tendr´a la misma propiedad. Ya que casi todo lo que puede decirse sobre los residuos cuadr´aticos se apoya en este teorema, la denominaci´on teorema fundamental que usaremos en lo que sigue no ser´a inconveniente. Para poder presentar nuestro razonamiento lo m´as brevemente posible, umeros primos de la forma 4n + 1, por b, b0 , denotaremos por a, a0 , a00 , etc. los n´ umeros primos de la forma 4n + 3; por A, A0 , A00 , etc. los n´ umeros b00 , etc. los n´ 0 00 umeros cualesquiera de cualesquiera de la forma 4n + 1, por B, B , B , etc. los n´

100

SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

la forma 4n + 3. Finalmente la letra R puesta entre dos cantidades indicar´a que la primera es un residuo de la siguiente, mientras que la letra N tendr´a el significado contrario. Por ejemplo, +5R11, ±2N5 indicar´a que +5 es un residuo de 11, pero +2 y −2 son no residuos de 5. Ahora, al unir el teorema fundamental con los teoremas del art. 111 f´acilmente se deducir´an las siguientes proposiciones. Si

ser´a

± aRa0 . . . . . . ± a0 Ra

1.

2. ½ ± aNa¾0 . . . . . . ± a0 Na +aRb 3. −aNb . . . . . . ± bRa 4.

½

5. 6. 7. 8.

( (

¾

+aN b . . . . . . ± bNa −aRb ½ +aRb ± bRa . . . . . . −aNb ½ ± bNa . . . . . . +aNb −aRb )

(

+bRb0 +b0 Nb 0 ...... −bNb −b0 Rb )

(

+bNb0 +b0 Rb 0 ...... −b0 Nb −bRb

132. En esta tabla est´an contenidos todos los casos que pueden ocurrir al comparar dos n´ umeros primos: lo que sigue corresponder´a a n´ umeros cualesquiera, pero sus demostraciones son menos obvias. Si 9. 10. 11. 12. 13. 14.

ser´a

± aRA. . . . . . ½ ± ARa +ARb ± bRA . . . . . . −ANb + aRB. . . . . . ± BRa

− aRB. . . . . . ½ ± BNa −BRb + bRB . . . . . . +BN b ½ +BRb − bRB . . . . . . −BNb

POR INDUCCION SE APOYA UN TEOREMA GENERAL.

101

Puesto que los mismos principios conducen a las demostraciones de todas estas proposiciones, no ser´a necesario desarrollarlas todas: la demostraci´on de la proposici´on 9 que adjuntamos puede servir como ejemplo. Ante todo se notar´a que cada n´ umero de la forma 4n + 1 puede tener o ning´ un factor de la forma 4n + 3, o dos, o cuatro, etc., i.e., el n´ umero de tales factores (entre los cuales varios pueden ser iguales) siempre ser´a un n´ umero par. Por otro lado, cualquier n´ umero de la forma 4n + 3 tendr´a un n´ umero impar de factores de la forma 4n + 3 (i.e., o uno, o tres, o cinco etc.). El n´ umero de factores de la forma 4n + 1 permanece indeterminado. La Proposici´on 9 se demuestra de la siguiente forma. Sea A el producto de umero de factores b, b0 , los factores primos a0 , a00 , a000 , etc., b, b0 , b00 , etc.; donde el n´ b00 , etc. es par (puede tambi´en que no haya ninguno, lo que se reduce a lo mismo). Ahora, si a es un residuo de A, tambi´en ser´a un residuo de todos los factores a0 , a00 , a000 , etc., b, b0 , b00 , etc.; de donde por las proposiciones 1 y 3 del art´ıculo precedente cada uno de estos factores ser´an residuos de a; por lo tanto tambi´en el producto A, lo mismo que −A; sin embargo, si −a es un residuo de A y por lo tanto de los factores a0 , a00 , etc., b, b0 , etc., cada uno de a0 , a00 , etc. ser´a un residuo de a, y cada uno de b, umero de estos u ´ltimos es par, el producto de b0 , etc. un no residuo. Pero como el n´ todos, esto es A, ser´a un residuo de a, y as´ı tambi´en lo ser´a −A.

133. Iniciamos ahora una investigaci´on m´as general. Consideraremos dos n´ umeros impares cualesquiera P y Q, primos entre s´ı, provistos de signos cualesquiera. Conc´ıbase a P resuelto en sus factores primos sin consideraci´on de su signo, y se denotar´a por p el n´ umero de estos factores para los cuales Q sea un no residuo. Si alg´ un n´ umero primo, del cual Q es un no residuo, aparece varias veces entre los factores de P , tambi´en deber´an ser contados varias veces. De modo semejante, sea q el n´ umero de factores primos de Q de los cuales P es un no residuo. Entonces los n´ umero p y q tendr´an cierta relaci´on dependiente de la naturaleza de los n´ umeros P y Q. En efecto, si uno de los n´ umeros p o q es par o impar la forma de los n´ umeros P y Q mostrar´a si el otro es par o impar. Se presentar´a esta relaci´on en la siguiente tabla. Los n´ umeros p y q ser´an al mismo tiempo pares o al mismo tiempo impares,

102

SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO GRADO.

cuando los n´ umeros P y Q tienen las formas: 1.

+ A,

+A0

2.

+ A,

3.

+ A,

−A0

4.

+ A,

5.

− A,

6.

+ B,

+B

−B

−A0

−B 0

En el caso contrario, uno de los n´ umeros p o q ser´a par, y el otro impar, cuando los n´ umeros P y Q tienen las formas: 7.

− A,

+B

9.

− A,

+ B,

−B

10.

− B,

−B 0 *)

8.

+B 0

Ejemplo. Dados los n´ umeros −55 y +1197, que representan el cuarto caso, entonces 1197 es un no residuo de un solo factor primo de 55, en efecto, del n´ umero 5, mientras que −55 es un no residuo de tres factores primos de 1197, a saber, de los n´ umeros 3, 3 y 19. Si P y Q denotan n´ umeros primos, estas proposiciones se convierten en las que hemos tratado en el art. 131. De hecho, aqu´ı p y q no pueden ser mayores que 1; por lo que cuando p se toma par, necesariamente ser´a = 0, i.e., Q ser´a un residuo de P , pero cuando p es impar, Q ser´a un no residuo de P , y vice-versa. As´ı, si se escribe a y b en lugar de A y B, se sigue de 8 que si −a es un residuo o no residuo de b, −b ser´a un no residuo o residuo de a, lo que coincide con 3 y 4 del art. 131. Por lo general es evidente que Q no puede ser un no residuo de P a no ser que p = 0. Por lo tanto, si p es impar, ciertamente Q ser´a un no residuo de P . De aqu´ı tambi´en pueden derivarse sin dificultad las proposiciones del art´ıculo precedente. Por otra parte, pronto ser´a evidente que esta representaci´on general es m´as que una observaci´on est´eril, puesto que la demostraci´on completa del teorema fundamental apenas podr´ıa completarse sin ella. *) Sea l = 1 si ambos P , Q ≡ 3 (mod. 4); si no, sea l = 0, y sea m = 1 si ambos P y Q son negativos, y m = 0 en el caso contrario. As´ı la relaci´ on depende de l + m.