LECCIÓN

Secuencias definidas de manera recursiva

CONDENSADA

1.1 En esta lección ● ● ●

escribirás definiciones y fórmulas recursivas para patrones y secuencias aprenderás a reconocer y escribir fórmulas para secuencias aritméticas y geométricas usarás la recursión para resolver problemas relacionados con la economía y con la geometría fractal

Muchos patrones matemáticos se pueden describir usando la idea de recursión. La recursión es un proceso en el cual cada paso de un patrón depende del paso o de los pasos anteriores. El Ejemplo A en tu libro trata de un patrón que se puede definir de manera recursiva. Lee ese ejemplo atentamente y después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Cada cuadrado del siguiente patrón tiene una longitud lateral de 1 unidad. Imagina que el patrón continúe. Halla el perímetro de la Figura 9. ¿Qué figura tiene un perímetro de 76 unidades? Escribe una definición recursiva para hallar el perímetro de cualquier figura del patrón.

Figura 1 

Solución

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Los perímetros de las figuras 1 a 4 son 10, 16, 22 y 28, respectivamente. Observa que en cada nueva figura, el perímetro aumenta en 6. Puedes registrar la información para las figuras dadas en una tabla y después continuar con el patrón, para hallar que la Figura 9 tiene un perímetro de 58 unidades y la Figura 12 tiene un perímetro de 76 unidades. Figura

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Perímetro

10

16

22

28

34

40

46

52

58

64

70

76

Ésta es una definición recursiva para el patrón que establece el valor inicial y dice cómo calcular cada valor subsiguiente: perímetro de Figura 1 ⫽ 10 perímetro de Figura n ⫽ perímetro de Figura (n ⫺ 1) ⫹ 6 Lee la información entre los Ejemplos A y B en tu libro. Observa que los perímetros del ejemplo anterior representan esta secuencia: 10, 16, 22, 28, … Ésta es una fórmula recursiva para la secuencia: u1 ⫽ 10 un ⫽ un⫺1 ⫹ 6 donde n ⱖ 2 Esto significa que el primer término es 10 y que cada término subsiguiente es igual al término anterior más 6. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press

CHAPTER 1

7

Lección 1.1 • Secuencias definidas de manera recursiva (continuación) El Ejemplo B en tu libro presenta otro ejemplo de una secuencia recursiva. Analiza ese ejemplo por tu cuenta. En las secuencias que has visto, cada término se genera sumando un número fijo al término anterior. Por ejemplo, en la secuencia de perímetros, se suma 6 a cada término para obtener el siguiente término. Las secuencias como ésta se llaman secuencias aritméticas y el número que se suma se conoce como la diferencia común (porque es la diferencia entre cada término y su inmediato anterior). Lee la definición de secuencia aritmética en tu libro.

Investigación: Control de inventario En tu libro, lee el primer párrafo de la investigación. Puedes usar un programa de hojas de cálculo para modelar lo que sucede con el número de grabados que quedan por fabricar y el inventario en las dos tiendas. Mira en Calculator Note 1C las instrucciones para trabajar con una hoja de cálculo en tu calculadora. Si no sabes usar una hoja de cálculo, puedes completar la tabla con la recurrencia en tu calculadora. La primera columna muestra el número de meses. Complétala hasta mostrar 30 meses. Cada mes Art suministra 40 grabados a FineArt y 10 grabados a Little Print Shoppe. Quiere decir que el número de grabados sin hacer disminuirá de a 50 cada mes. Crea una fórmula para la columna unmade (sin hacer) y complétala. Crea fórmulas y complétalas para modelar el número de grabados que tendrán FineArt y Little Print Shoppe. Luego usa la hoja de cálculo para responder a las preguntas del Paso 2. Para responder a la pregunta a, desplázate hacia abajo hasta que encuentres el mes en que el número de grabados sin hacer sea igual o menor que el número de grabados de FineArt. Consulta la hoja de cálculo a la derecha. Para responder a la pregunta b, busca el mes en que el inventario de grabados de FineArt sea mayor que el doble del número de grabados sin hacer. Debes hallar que esto ocurre en el mes 27.

Has visto las secuencias aritméticas en las que cada término se genera al sumar un número fijo al término anterior. En una secuencia geométrica, cada término se genera al multiplicar el término anterior por una constante. Por ejemplo, 3, 6, 12, 24, 48, … es una secuencia geométrica en la que cada término es 2 veces el término anterior. La regla para esta secuencia es: u1 ⫽ 3 un ⫽ 2

⭈ un⫺1

donde n ⱖ 2

La constante por la cual se multiplican los términos de una secuencia geométrica se llama una razón común porque es la razón entre cada término y el término anterior. En la secuencia anterior, ᎏ63ᎏ  ᎏ162ᎏ  ᎏ21ᎏ42  ᎏ24ᎏ84  2. El Ejemplo C en tu libro presenta una secuencia geométrica relacionada con un fractal. Analiza ese ejemplo y luego lee el resto de la lección. 8

CHAPTER 1

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LECCIÓN

Modelación de crecimiento y deterioro

CONDENSADA

1.2 En esta lección ●

explorarás unas secuencias geométricas que modelan crecimiento y deterioro

En la lección anterior, viste varios ejemplos de secuencias geométricas. Recuerda que en una secuencia geométrica, cada término es igual al término anterior multiplicado por una razón común. La regla recursiva para una secuencia geométrica sigue la forma un ⫽ r ⭈ un⫺1. En esta lección explorarás más secuencias geométricas. En la mayoría de las secuencias que has analizado, has usado u1 como el primer término. En algunos casos, es más significativo considerar el primer término como el término cero, ó u0. El término cero modela el valor inicial antes de que ocurra cualquier cambio. El Ejemplo A en tu libro, usa una fórmula recursiva para modelar el valor decreciente de un auto. Analiza el Ejemplo A y después lee el siguiente ejemplo.



EJEMPLO

TV Central cerrará sus puertas al público en 8 semanas. Cada semana hasta que cierre, la compañía planea reducir los precios de la semana anterior en un 15%. Un televisor actualmente cuesta $899. Escribe una fórmula recursiva para hallar el precio del televisor después de 8 semanas, si no se ha vendido.

Solución

Cada semana, el precio del televisor será el 85% del precio de la semana anterior. Sea u0 el precio inicial del televisor, de modo que u1 represente el valor después de la semana 1 y así sucesivamente. La fórmula recursiva que genera la secuencia de precios semanales es: u0 ⫽ 899 un ⫽ 0.85 ⭈ un⫺1 donde n ⱖ 1 Puedes usar la función de recursión de tu calculadora, como muestra el Ejemplo A en tu libro o una hoja de cálculo para hallar u8.

Después de 8 semanas, el precio del televisor será $244.97.

Investigación: Observación de rebotes Si dejas caer una pelota y que rebote repetidamente, la altura de rebote se hace más pequeña en cada rebote. El patrón de las alturas de rebote puede modelarse con una secuencia geométrica. Si dispones de un sensor de movimiento, haz el experimento descrito en el Paso 1 de la investigación en tu libro. La calculadora construirá una gráfica con el tiempo transcurrido desde que accionaste el disparador en el eje x y la altura de la pelota en el eje y. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press

CHAPTER 1

9

Lección 1.2 • Modelación de crecimiento y deterioro (continuación) Recorre la gráfica para hallar la altura inicial y la altura de cada rebote. (Estas alturas se corresponden con los puntos altos de la gráfica.) Haz una tabla que muestre el número de rebotes y su altura. Si no puedes reunir tus propios datos, usa los datos de muestra que te damos a continuación. 0

1

2

3

4

5

6

100

79

62

50

38

31

24

Número de rebote Altura del rebote ( in)

Representa gráficamente tus datos en papel y en una calculadora. A la derecha están los datos de muestra. Calcula la razón de rebote para rebotes consecutivos. altura de rebote razón de rebote ⫽ ᎏᎏᎏ altura del rebote anterior Las razones de rebote para los datos de muestra (redondeadas al centésimo más cercano) son 0.79, 0.78, 0.81, 0.76, 0.82 y 0.77. Escoge un solo valor que mejor represente la razón de rebote de tu pelota. Para los datos de muestra, usaremos la media, 0.79. Usa la razón de rebote que escogiste para escribir una fórmula recursiva que modele tu secuencia de alturas de rebote. Usando un valor inicial de 100 pulgadas y una razón de rebote de 0.79, la fórmula es: u0 ⫽ 100 un ⫽ 0.79

⭈ un⫺1

donde n ⱖ 1

Puedes generar los primeros seis términos en tu calculadora. Compara tus datos experimentales con los términos generados por tu fórmula y considera las preguntas del Paso 6 en tu libro.

En una fórmula recursiva para una secuencia geométrica, te puede ser útil pensar en la razón común como 1 más o menos un cambio porcentual. Por lo tanto, en lugar de r, podrías escribir (1 ⫹ p) ó (1 ⫺ p). Por ejemplo, podrías escribir la regla recursiva para el ejemplo de TV Central como un ⫽ (1 ⫺ 0.15)un⫺1, indicando que el precio disminuye en un 15% cada semana. Tanto el ejemplo de TV Central como el experimento de las alturas de rebote implican un deterioro, o secuencias geométricas que disminuyen. El Ejemplo B en tu libro es acerca de ganar un interés compuesto en una cuenta de ahorro. Éste es un ejemplo de crecimiento, o una secuencia geométrica que aumenta. Analiza el Ejemplo B y después lee el resto de la lección. Observa que si la cuenta de Gloria hubiese ganado un 7% de interés acumulado mensualmente, entonces la fórmula recursiva hubiera sido: u0 ⫽ 2000 0.07 un ⫽ 1 ⫹ ᎏ1ᎏ 2 un⫺1 donde n ⱖ 1 En esta fórmula, n es el número de meses, no el número de años. Usa esta fórmula para calcular el saldo después de un año (12 meses). ¿Cómo se compara con el saldo cuando el interés se acumula anualmente? 10

CHAPTER 1

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LECCIÓN

CONDENSADA

1.3

Una primera mirada a los límites

En esta lección ●

investigarás unas secuencias que, a largo plazo, se aproximan a un límite

Algunas secuencias aumentan o disminuyen sin límite. Otras tienen términos que, a largo plazo, se aproximan a un valor específico, o límite. En esta lección explorarás secuencias que tienen límites.

Investigación: Dosis de medicina Los riñones filtran nuestra sangre continuamente, eliminando las impurezas. Los médicos consideran esto cuando recetan la dosis y la frecuencia de una medicina. Esta investigación simula lo que sucede en el cuerpo de un paciente cuando toma medicina. Si tienes los materiales pedidos en tu libro, realiza los experimentos descritos. Si no los tienes, piensa cómo cambiaría la cantidad de medicina. Intenta analizar la investigación por tu cuenta, antes de leer el siguiente texto. El primer experimento empieza con 1 L de líquido. De éste, 16 mL son de un líquido coloreado, que representa la medicina, y el resto es agua pura, que representa la sangre. Supón que los riñones de un paciente filtran el 25% de la medicina diariamente. Para simular esto, puedes eliminar ᎏ14ᎏ, ó 250 mL de la mezcla y sustituirla con 250 mL de agua pura. Puedes repetir esto muchas veces para simular lo que sucede durante varios días. En esta tabla se muestra la cantidad de medicina diaria en la sangre. Paso 1

Paso 2

La fórmula recursiva que genera la secuencia es:

u0 ⫽ 16 un ⫽ (1 ⫺ 0.25)un⫺1 donde n ⱖ 1

Día

Cantidad de medicina (mL)

0

16

1

12

2

9

3

6.75

4

5.0625

Puedes usar una hoja de cálculo o la función de recurrencia de tu calculadora para generar más valores. Debes hallar que en 10 días, la cantidad de medicamento en la sangre será menos de 1 mL. Paso 3

Teóricamente, la medicina nunca será eliminada completamente de la sangre. Cada día la cantidad de medicina se multiplica por 0.75, dando una cantidad cada vez más pequeña. Sin embargo, esta cantidad nunca llegará a ser 0 porque no existe un número x ⬎ 0, tal que 0.75x ⫽ 0. Paso 4

Cantidad de medicina (mL)

La gráfica muestra lo que sucede a largo plazo. La cantidad de medicina disminuye rápidamente al principio, pero luego la disminución se reduce y se estabiliza cerca de 0 mL. Paso 5

15

10

5

0

5

10

15

Día (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press

CHAPTER 1

11

Lección 1.3 • Una primera mirada a los límites (continuación) A veces, los médicos recetan dosis regulares de medicina para producir y mantener cierto nivel de medicina en el cuerpo. Puedes modificar el experimento para simular lo que sucede cuando un paciente toma medicina diariamente. Este experimento también se inicia con 1 L de líquido. De éste, 16 mL son de un líquido coloreado, que representa la medicina, y el resto es agua pura, que representa la sangre. Como antes, supón que los riñones del paciente eliminan el 25% de la medicina diariamente. En este caso, sin embargo, supón que el paciente toma una dosis de 16 mL cada día. Para simular esta situación, puedes eliminar 250 mL de líquido y sustituirlo con 234 mL de agua y 16 mL de líquido coloreado. Esta tabla muestra la cantidad de medicina diaria en la sangre. Paso 6

Paso 7

La fórmula recursiva que genera la secuencia es:

u0 ⫽ 16 un ⫽ (1 ⫺ 0.25)un⫺1 ⫹ 16 donde n ⱖ 1

Día

Cantidad de medicina (mL)

0

16

1

28

2

37

3

43.75

4

48.8125

Si usas tu calculadora para generar muchos términos de la secuencia, hallarás que empiezan a estabilizarse en alrededor de 64 mL. Por lo tanto, parece que el líquido en el recipiente nunca se convertirá en medicina pura. Paso 8

Esta gráfica muestra lo que sucede al nivel de medicina en la sangre después de muchos días. La cantidad aumenta rápidamente al principio, pero después el incremento se frena y se nivela cerca de 64 mL.

Cantidad de medicina (mL)

Paso 9

60 50 40 30 20 10 0

4

8 Día

12

16

La eliminación de medicina en el cuerpo humano es un ejemplo de un sistema dinámico o cambiante. Los sistemas dinámicos a menudo alcanzan un punto de estabilidad a largo plazo. Por ejemplo, en el segundo experimento, la cantidad de sangre aumentó rápidamente al principio, pero llegó a estabilizarse. La cantidad asociada con un punto de estabilidad, por ejemplo, 64 mL en el segundo experimento, se conoce como un límite. En matemáticas, decimos que la secuencia de números asociada con el sistema se aproxima al límite. La secuencia del primer experimento tuvo un límite de cero. La secuencia del segundo experimento se corrió y se aproximó a un valor diferente de cero. Una secuencia geométrica corrida incluye la suma de un término en la regla recursiva. El ejemplo en tu libro trata de otra secuencia geométrica corrida. Analiza ese ejemplo atentamente.

12

CHAPTER 1

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LECCIÓN

CONDENSADA

1.4

Representación gráfica de secuencias

En esta lección ● ●

explorarás relaciones entre diferentes representaciones de secuencias hallarás secuencias que modelan datos

Puedes representar gráficamente los términos de una secuencia. Por ejemplo, esta gráfica representa la secuencia generada por la fórmula recursiva u0 ⫽ 3 y un ⫽ un⫺1 ⫺ 1, donde n ⱖ 1. La gráfica parece ser lineal. Es decir, los puntos parecen estar en una recta. La diferencia común, d ⫽ ⫺1, hace que cada nuevo punto caiga 1 unidad debajo del punto anterior. La gráfica de una secuencia es una gráfica discreta, esto significa que está hecha de puntos aislados. No tiene sentido conectar los puntos de la gráfica de una secuencia con una recta o una curva continua, porque el término número n debe ser un número entero.

un 4 (0, 3) (1, 2) 2 (2, 1) (3, 0) 0 ⫺2 ⫺4

n 6

(4, ⫺1) (5, ⫺2) (6, ⫺3)

Investigación: Correspondencias La investigación en tu libro muestra representaciones de secuencias en forma de tabla, de fórmula y de gráfica. Debes hacer corresponder cada tabla con la fórmula y la gráfica que representan la misma secuencia. Intenta completar la investigación por tu cuenta, antes de seguir leyendo. A continuación tienes las correspondencias correctas, junto con una explicación del razonamiento que podrías usar para realizarlas. 1, B, iv: El valor inicial es 8, por lo tanto la fórmula correcta debe ser A o B. La fórmula A da u1 ⫽ 6, que no se corresponde con el valor de la tabla. Los primeros términos generados por la fórmula B son 8, 4, 2 y 1, que se corresponden con los valores de la tabla. La fórmula B representa una secuencia decreciente que empieza en 8 y se hace cada vez más y más pequeña, aproximándose a 0. En la gráfica iv muestra una secuencia que se ajusta a esta descripción. 2, C, vi: La secuencia empieza en 0.5 y cada término subsiguiente es 2 veces el término anterior. Esto se corresponde con la fórmula C. La gráfica empezaría en 0.5 y aumentaría a una tasa cada vez más alta. La gráfica correcta debe ser vi. 3, F, iii: La secuencia tiene un valor inicial de ⫺2. No tiene una diferencia constante ni una razón constante, por lo tanto no es puramente aritmética ni geométrica. La única fórmula que se ajusta a esta descripción es F. Las gráficas iii y v tienen un valor inicial de ⫺2. La gráfica v es lineal y, por lo tanto, representa una secuencia aritmética. La gráfica iii es la correcta. 4, D, v: La secuencia tiene un valor inicial de ⫺2, así que la fórmula correcta debe ser D o F. Usando la fórmula D para generar los primeros siete términos, obtenemos ⫺2, 0, 4, 6, 8, 10, 12. Los valores de los términos 0, 2, 5 y 7 se corresponden con los de la tabla, por lo tanto la fórmula D se corresponde con la tabla 4. La gráfica v empieza en ⫺2 y aumenta en 2 unidades con cada punto. Esto se corresponde con la fórmula D. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press

CHAPTER 1

13

Lección 1.4 • Representación gráfica de secuencias (continuación) 5, A, ii: La secuencia tiene un valor inicial de 8, por lo tanto la fórmula correcta debe ser A o B. Usando la fórmula A para generar los primeros ocho términos, obtenemos 8, 6, 4, 2, 0, ⫺2, ⫺4, ⫺6. Los términos 0, 1, 3, 5 y 7 se corresponden con los de la tabla. La gráfica ii empieza en 8 y disminuye en 2 unidades con cada punto. Ésta se corresponde con la fórmula A. 6, E, i: La secuencia tiene un valor inicial de ⫺4 y cada término es el mismo que el término anterior (esto es, la secuencia tiene una diferencia constante de 0). La fórmula E genera esta secuencia. La gráfica i, que muestra una secuencia en la que cada término es ⫺4, corresponde con la tabla y con la fórmula. Éstas son algunas observaciones generales acerca de las relaciones entre secuencias, fórmulas recursivas y gráficas. ●

●

●

Las secuencias aritméticas tienen diferencias constantes, reglas recursivas de la forma un ⫽ un⫺1⫹ d y gráficas lineales con la pendiente igual a la diferencia constante. Si la diferencia constante es positiva, la secuencia aumenta y la gráfica es creciente. Si la diferencia constante es negativa, la secuencia disminuye y la gráfica es decreciente. Las secuencias geométricas tienen razones constantes, reglas recursivas de la forma un ⫽ run⫺1 y gráficas curvas. Si la razón constante es mayor que 1, la secuencia aumenta y la gráfica crece lentamente al principio y después con mayor rapidez. Si la razón constante está entre 0 y 1, la secuencia disminuye y la gráfica disminuye rápidamente al principio y después con mayor lentitud, aproximándose a 0. Las secuencias geométricas corridas no tienen ni diferencia constante ni razón constante. Tienen reglas recursivas de la forma un ⫽ aun⫺1 ⫹ b y gráficas curvas.

A veces los datos reales pueden modelarse con una secuencia aritmética o una geométrica. La forma de la gráfica puede ayudarte a determinar a qué tipo de secuencia se ajusta, si se aplica. El ejemplo en tu libro modela un conjunto de datos con una secuencia geométrica. Analiza ese ejemplo atentamente, lee el resto de la lección y después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO



Solución

Aaron registró el número de problemas de matemáticas que resolvió cada noche durante la última semana y el tiempo que le tomó terminar cada tarea. Halla un modelo de secuencia que se ajuste aproximadamente a sus datos. Problemas

0

3

5

6

8

10

15

Tiempo (min)

0

21

35

43

60

72

100

La gráfica superior derecha es aproximadamente lineal, por lo tanto una secuencia aritmética sería un buen modelo. El valor inicial es 0. Para hallar la diferencia constante, halla la pendiente entre los pares de valores consecutivos. Estas pendientes son 7, 7, 8, 8.5, 6 y 5.6, respectivamente. Intenta usar la pendiente mediana, 7, como la diferencia constante. El modelo es, por lo tanto, u0 ⫽ 0 un ⫽ un⫺1 ⫹ 7 donde n ⱖ 1 Agrega estos puntos a tu gráfica como se muestra a la derecha. El modelo parece ajustarse bien.

14

CHAPTER 1

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LECCIÓN

CONDENSADA

1.5

Préstamos e inversiones

En esta lección ● ●

usarás lo que has aprendido sobre las secuencias recursivas para calcular el pago mensual de un préstamo usarás la recursión para calcular el saldo de una cuenta de inversiones

Las fórmulas recursivas son útiles para resolver problemas financieros.

Investigación: Los grandes gastos de la vida En esta investigación, usarás la recursión para explorar los saldos de los préstamos y las opciones de pago. Intenta completar los pasos por tu cuenta antes de leer el siguiente texto. Parte 1 Supón que consigues un préstamo de $22,000 para comprar un auto nuevo a pagar en 5 años (60 meses). El banco cobra un interés anual de 7.9%, acumulado mensualmente. La tasa de interés mensual es la tasa de interés anual dividida por 12, 7.9% 0.079 ____ lo cual da ____ 12 , ó 12 . Por lo tanto, el interés del primer mes sobre $22,000 0.079 es $22,000 ____ 12  , ó $144.83. Entonces el saldo total es $22,144.83. Si pagas $300 al final del mes, el saldo restante será $21,844.33. Paso 1

Paso 2

La regla de recursión para la secuencia de saldos mensuales es:

u0  22,000 0.079 u  300 donde n ⱖ 1 un  1 ⫹ _____ 12  n1 Puedes usar tu calculadora para hallar los saldos de los primeros 6 meses. Consulta Calculator Notes 1I e IJ para ver las instrucciones para crear y representar gráficamente las secuencias.

La tabla de la calculadora muestra que el saldo será pagado en 101 meses, u 8 años y 5 meses.

(continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2010 Key Curriculum Press

CHAPTER 1

15

Lección 1.5 • Préstamos e inversiones (continuación) Experimenta con otras cantidades de pago. Debes hallar que $445.03 es el mínimo pago mensual que te permite pagar el préstamo en exactamente 60 meses. Paso 3

Si pagas $445.03 por mes, harás 59 pagos de $445.03, más un pago de $444.92, que es el pago normal de $445.03 menos el sobrepago de $0.11, que puedes ver en la tabla anterior. (No puedes usar el saldo del mes número 59, porque todavía deberías intereses por éste.) Por consiguiente, la cantidad total que realmente pagas por el auto es 59($445.03) ⫹ $444.92 ⫽ $26,701.69. Paso 4

Parte 2 Para hallar el pago mensual de una hipoteca de $146,000 a 30 años (360 meses), con una tasa de interés anual de 7.25%, acumulada mensualmente, usa tu calculadora para experimentar con las reglas de la forma: u0 ⫽ 146,000 0.0725 un  1  ᎏ 12 un1  pago donde n ⱖ 1 Intenta hallar el valor para el menor pago posible, de modo que u359 ⬎ 0 y u360 ⱕ 0. Debes hallar que tal pago será de $995.98.

La cantidad total que realmente pagarías por la casa es $995.98 $992.61 ⫽ $358,549.43.

⭈ 359 ⫹

El ejemplo en tu libro presenta un problema acerca de inversiones. Analiza ese problema por tu cuenta.

16

CHAPTER 1

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